Zusatz-Aufgaben - Fachbereich Mathematik

Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Apl. Prof. Dr. W. Rump,
A. Reiswich, R. Bauer
Mathematik I für Informatiker
und Softwaretechniker
WS 2015/16
Zusatz-Aufgaben
Aufgabe 1 [ Mengen ]
Zeigen Sie die folgenden Mengengleichungen:
i)
A ∖ (B ∪ C) = (A ∖ B) ∩ (A ∖ C)
A ∖ (B ∩ C) = (A ∖ B) ∪ (A ∖ C)
ii)
Aufgabe 2 [ Bilder und Urbilder ]
Sei f ∶ R → R,
f (x) = sin(x).
i) Bestimmen Sie die Bilder der folgenden Mengen:
a)
c)
A = [0, π],
B = [−π, 0],
b)
C = [−π/2, π/2],
D = R.
d)
ii) Bestimmen Sie die Urbilder der folgenden Mengen:
a)
c)
A = [0, 1],
C = R,
b)
d)
B = [−1, 0],
D = R ∖ [−1, 1].
Aufgabe 3 [ Injektivität und Surjektivität ]
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen injektiv oder surjektiv sind:
√
√
i)
f ∶ R → R,
x ↦ ∣x∣,
ii)
f ∶ R → [0, ∞),
x ↦ ∣x∣,
√
√
iv)
f ∶ [0, ∞) → [0, ∞),
x ↦ x.
iii)
f ∶ [0, ∞) → R,
x ↦ x,
Aufgabe 4 [ Vollständige Induktion ]
Zeigen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion (auch wenn es eventuell einen
einfacheren Weg gibt):
i) Für jedes q ∈ N ∖ {1, 2} und jede natürliche Zahl n ist q n − 1 durch q − 1 teilbar.
ii) Für jede natürliche Zahl n ist n2 + n gerade.
iii) Für jede natürliche Zahl n ist ∑nk=1 k 2 =
n(n+1)(2n+1)
.
6
Aufgabe 5 [ komplexe Zahlen ]
Sei z = 1 + i. Skizzieren Sie die folgenden komplexen Zahlen, ohne diese zu berechnen:
1
i)
z1 = z + 1,
ii)
z2 = z + i,
iii)
z3 = i ⋅ z,
iv)
z4 = (2e
3πi
2
)z.
Termin: 0
Aufgabe 6 [ komplexe Zahlen ]
Sei wieder z = 1 + i. Berechnen Sie
i)
iii)
z1 = ∣z∣,
ii)
z3 = eπz ,
iv)
1
z2 = ,
z
zn = z n , für beliebiges, natürliches n.
Aufgabe 7 [ Gruppen, Homomorphismen ]
Sei n eine natürliche Zahl.
i) Zeigen Sie, dass durch ψ ∶ (C× , ⋅) → (C× , ⋅) mit z ↦ z n ein Gruppenhomomorphismus
definiert ist.
ii) Bestimmen Sie den Kern dieses Homomorphismus.
ii) Begründen Sie, dass für jede natürliche Zahl n die Gesamtheit der komplexen Lösungen
der Gleichung
zn = 1
eine Untergruppe von (C× , ⋅) bildet. Hinweis: Das kann auch direkt bewiesen werden, aber
es reicht ein einfaches Argument aus der Theorie.
Aufgabe 8 [ Gruppen, Homomorphismen ]
Sei z ∈ C× .
i) Zeigen Sie, dass durch φ ∶ (Z, +) → (C× , ⋅) mit n ↦ z n ein Gruppenhomomorphismus
definiert ist.
ii) Bestimmen und skizzieren Sie das Bild von φ für z = eπi/3 .
Aufgabe 9 [ lineare Abhängigkeit ]
Gegeben seien die Vektoren
⎛1⎞
⎛−1⎞
⎛2⎞
v1 = ⎜2⎟ , v2 = ⎜ 3 ⎟ , v3 = ⎜4⎟ .
⎝3⎠
⎝2⎠
⎝6⎠
i) Sind die Vektoren v1 , v2 , v3 linear abhängig?
ii) Ist die lineare Abbildung ψ ∶ R3 → R3 mit #»
x ↦ (v1 , v2 , v3 ) #»
x surjektiv? Ist sie injektiv?
iii) Sei #»
z ∈ R3 . Ist das Gleichungssystem
x1
+
2x2
+
3x3
=
z1
− x1
+
3x2
+
2x3
=
z2
2x1
+
4x2
+
6x3
=
z3
universell lösbar (das heißt, gibt es zu jedem z ∈ R3 ein x ∈ R3 , welches das obige LGS
löst)? Sind solche Lösungen eindeutig?
iv) Vergleichen Sie Ihre Antworten aus den Aufgabenteilen i), ii) und iii) und versuchen Sie,
einen Zusammenhang aufzustellen.
2
Termin: 0
Aufgabe 10 [ Basiswechsel ]
Gegeben sei die lineare Abbildung φ ∶ R2 → R2 , welche in der Standardbasis von der Matrix A
beschrieben wird.
i) Zeigen Sie, dass B = {e1 − 2e2 , e1 + 2e2 } eine Basis des R2 ist.
ii) Wie sieht die φ beschreibende Matrix bezüglich B aus?
Aufgabe 11 [ Dimensionsformel ]
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Beweisen Sie: Eine lineare Abbildung ϕ ∶ V → V
ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist.
Aufgabe 12 [ Invertierbarkeit von Matrizen, lineare Gleichungssysteme ]
1 2
Gegeben sei die Matrix A = (
).
1 −2
i) Berechnen Sie die Determinante von A.
ii) Berechnen Sie die Inverse A−1 von A.
1
iii) Berechnen Sie die Lösung des Gleichungssystems A #»
x = ( ) mithilfe der Inversen von A.
2
Aufgabe 13 [ lineare Gleichungssysteme ]
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Systems A #»
x = #»
y mit
i)
und #»
y = (1, 0, 0)T .
0 −1⎞
⎛1
2 ⎟,
A = ⎜−1 0
⎝ 1 −1 1 ⎠
ii)
⎛ 1 3 2⎞
A = ⎜−1 4 1⎟ .
⎝ 1 2 3⎠
Aufgabe 14 [ Diagonalisierbarkeit ]
Betrachten Sie die Matrix
1 α
).
Aα = (
2 1
i) Bestimmen Sie alle α ∈ C, für welche die Matrix Aα komplex diagonalisierbar ist.
ii) Bestimmen Sie alle α ∈ R, für welche die Matrix Aα reell diagonalisierbar ist.
iii) Geben Sie für die Werte α, für welche Aα nicht komplex diagonalisierbar ist, die Determinante, sowie eine Jordan-Normalform der Matrix Aα an.
Aufgabe 15 [ Eigenräume, Eigenvektoren ]
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume und geben Sie die algebraischen
und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte für die folgenden Matrizen an:
i)
3
⎛1 5 4⎞
⎜0 2 0⎟ ,
⎝0 3 2⎠
ii)
⎛3 0 0⎞
⎜1 2 2⎟ .
⎝1 0 4⎠
Termin: 0
Aufgabe 16 [ Jordan’sche Normalform ]
Bestimmen Sie die Jordan’sche Normalform für die folgenden Matrizen:
i)
0 −1
)
A=(
1 0
ii)
iii)
0 1
)
C =(
0 0
iv)
0 1
)
B=(
1 0
⎛0 1 0⎞
D = ⎜1 0 0⎟
⎝0 0 1⎠
und
⎛0 −1 0 0 0 0 0 0 0⎞
⎜1 0 0 0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎜0 0 0 1 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎜0 0 1 0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
A = ⎜0 0 0 0 0 1 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎜0 0 0 0 0 0 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎜0 0 0 0 0 0 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 0 0 0 0 0 1 0 0⎟
⎝0 0 0 0 0 0 0 0 1⎠
Hinweis: Interpretieren Sie A als eine Blockmatrix.
Aufgabe 17 [ Folgen, Reihen, Potenzreihen ]
Betrachten Sie die Folge (an )n∈N mit
an = (−1)n
i) Zeigen Sie, dass (an )n∈N eine Nullfolge ist.
n
.
1 + n2
ii) Zeigen Sie, dass die Reihe ∑∞
n=1 an konvergiert.
n
iii) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe x ↦ ∑∞
n=1 an x .
iv) Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten am Rand.
4
Termin: 0