Physik Skript 9

Inhaltsverzeichnis
1
Einführung ................................................................................................................ - 1 1.1
Was ist Physik ................................................................................................... - 1 1.2
Erkenntnisse in der Physik, opt. Täuschungen.................................................... - 1 1.3
Teilgebiete der Physik........................................................................................ - 1 1.4
Phys. Größen ..................................................................................................... - 2 2
Mechanik................................................................................................................... - 4 2.1
Einführung......................................................................................................... - 4 2.2
Bewegung des Massenpunkts (MP).................................................................... - 4 2.2.1
Kinematik des Massenpunktes.................................................................... - 7 2.3
Grundgesetz der klassischen Physik: ................................................................ - 14 2.3.1
Kräfte und fundamentale Wechselwirkung ............................................... - 14 2.4
Anwendung der Newtonschen Gesetze............................................................. - 17 2.4.1
Federpendel: ............................................................................................ - 17 2.4.2
Schwerependel oder Math. Pendel............................................................ - 19 2.4.3
Planetenbewegung ................................................................................... - 20 2.4.4
Gültigkeitsbereich der Newton’schen Mechanik....................................... - 22 2.5
Der Impuls....................................................................................................... - 22 2.5.1
Der Kraftstoß ........................................................................................... - 22 2.5.2
Systeme von Massenpunkten (MP)........................................................... - 23 2.6
Stoßprozesse .................................................................................................... - 25 2.6.1
Eindimensionaler Fall .............................................................................. - 25 2.7
Arbeit und Energie........................................................................................... - 25 2.7.1
Beispiel Federschwingung........................................................................ - 25 2.7.2
Potentielle Energie und konservative Kräfte ............................................. - 27 2.7.3
Berücksichtigung von Reibungskräften am Beispiel der schiefen Ebene .. - 29 2.7.4
Einheiten von Energie, Arbeit und Leistung ............................................. - 30 2.8
Drehbewegung................................................................................................. - 30 2.8.1
Drehbewegung eines MP.......................................................................... - 30 2.8.2
Arbeit, Energie und Leitungen bei Drehbewegung ................................... - 32 2.8.3
Vergleich „linearer Bewegungen & Drehbewegung“................................ - 32 2.9
Mechanik des starren Körpers .......................................................................... - 33 2.9.1
Kinematik des starren Körpers ................................................................. - 33 2.9.2
Kräftewirkung am starren Körper ............................................................. - 34 2.9.3
Statik: Wann starrer Körper in Ruhe? ....................................................... - 35 2.9.4
Trägheitsmoment starrer Körper............................................................... - 36 2.9.5
Drehung im Raum: Der Kreisel ................................................................ - 39 2.10 Beschleunigte Bezugssysteme.......................................................................... - 42 2.10.1 Geradlinig beschleunigte Bezugssysteme ................................................. - 43 2.10.2 Gleichförmig rotierende Bezugssysteme................................................... - 44 2.11 Mechanik deformierter Körper......................................................................... - 47 2.11.1 Deformierte feste Körper.......................................................................... - 47 2.11.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase .............................................................. - 52 2.11.3 Strömungsvorgänge.................................................................................. - 56 2.12 Spezielle Relativitätstheorie (SRT) (Relat. Mechanik) ..................................... - 60 2.12.1 Grundlagen .............................................................................................. - 60 2.12.2 Einsteins spez. Relativitätstheorie............................................................. - 61 3
Thermodynamik ...................................................................................................... - 67 3.1
Grundlegende Begriffe..................................................................................... - 67 Skript 1 Physik 1
Thon
3.1.1
Allg. Zustandsgleichung idealer Gase....................................................... - 70 3.2
Kinetische Gastheorie: Mikroskop. Erklärung des Drucks................................ - 71 3.2.1
thermische Energie und Temperatur ......................................................... - 72 3.2.2
Barometrische Höhenformel..................................................................... - 73 3.3
Hauptsätze der Thermodynamik....................................................................... - 76 3.3.1
Wärmeenergie .......................................................................................... - 76 3.3.2
1. Hauptsatz der Thermodynamik............................................................. - 76 3.3.3
Wärmekapazität und Molare Bewegung ................................................... - 77 3.3.4
Zustandsnderungen idealer Gase .............................................................. - 77 3.3.5
Kreisprozesse (ideale Gase)...................................................................... - 79 -
Skript 1 Physik 1
Thon
1
Einführung
1.1
Was ist Physik
Teil der Naturwissenschaft „unbelebte Natur“ Übergang zur Chemie (fließend)
Ing. Wiss: Übertragung bekannter phys. Gesetze auf techn. Probleme -> industrielle
Praxis
z.B. Maschinenbau, Starkstromtechnik, Elektronik aber auch Beschleuniger,
Raumfahrttechnik,…
1.2
Erkenntnisse in der Physik, opt. Täuschungen
Experiment <-> math. Modell
2. Verallgemeinerung der Ereignisse
1. Experiment
Verifikation
3. phys. Gesetze
& Messvorschriften
Modell
Theorie
4. Vorhersagen aus phys. Gesetzen
1.3
Teilgebiete der Physik
Physik
Wirkung >>h
Energie x Zeit
(Wirkung)
incl. Relath. klass. Physik
Wirkung
h
Quantenphysik
anschaulich
streng determin
genaue Messung
möglich
abstrakt
nur statisch determin.
Unschärferelation
Klassische Physik
-Mechanik (incl. Relat.)
-Thermodynamik
-Elektrizität und Magnetismus
-Wellenlehre (Akustik, Optik, Elektrodynamik)
Quantenphysik
-Quantenmechanik
-Quanten Elektrodynamik
-Atom & Kernphysik
Skript 1 Physik 1
-1-
Thon
-Teilchenphysik
-Festkörperphysik
1.4
Phys. Größen
Das SI System (seit 1978 gesetzl. Maßstab)
phys. Größe beschreibt Zustand: Größe muss messbar sein!
G
=
{G}
x [G]
Symbol Zahlenwert
Einheit
Si System: 7 Größen
Einheit
Zeit
Größe
sek.
Länge
Meter
Masse
kg
Elektr.
Temperatur Lichtstärke Stoffmenge
Stromstärke
Ampère
Kelvin
Candela
mol
Naturgesetze:
Aus dem gemess. Zusammenhang phys. Größen werden Naturgesetze formuliert:
z.B.: - Gravitationsgesetz
- Coulombgesetz
- Induktionsgesetz
Darin treten Proportionalitätskonstanten auf: Naturkonstanten
•
entweder per Definition einen gewissen wert zuordnen z.B.:
e= 2,997924 x 108 m/s
x 10-7- Vs/Am
0 =4
•
oder genau messen z.B.:
•
Grav.-Konstante = 6,67x 10-11 Nm2/kg2
•
Avogadrokonstante NA = 6,0221367 x 1023 Teilchen/mol
•
Elementarladung e= 1,60217733 x 10-19 As
•
Plancksche Wirkungsquandrum n= 6,6260 x10-34 Js
4,13567 x 10-15 eVs
M M
F =γ 1 2
g
γ2
Messgenauigkeit (Messen einer phys. Größe):
• durch Vergleich mit SI-Größen (nach SI-Vereinbarung)
oder
• durch ein darauf geeichtes Messverfahren
Skript 1 Physik 1
-2-
Thon
Fehler:
Systematische Fehler
zufällige statistische Fehler
Aus Fehleranalyse/-rechner
Historgramm der Häufigkeit
Häufigkeit
x
xi
N i ( xi )
N
Bei großer Zahl N der Versuche in „Glockenkurve“ über:
Häufigkeit hi für Messwerteintervall xi: hi =
∞
h( x) =
1
2πσ 2
(x − µ )2
exp −
2σ 2
nomiert auf h( x)dx = 1
0
mit:
x = Messwert
= Erwartungswert „wahrer Wert“
2
= Varianz
= Streuung
− 3δ
-δ
+δ
68,3%
+ 3δ
95,4%
99,7%
ω ( x, x + dx) = h( x) ⋅ dx
Skript 1 Physik 1
-3-
Thon
Schätzwerte aus den gemessenen Verteilungen:
1. arithmetischer Mittelwert x =
1
N
x bester Schätzwert für
i
εi =
i
3. Standartabweichung S =
N
2
2. Summe der Fehlerquadrate
( xi − x) 2
i
εi
2
bester Schätzwert für Streuung
N −1
4. Standartabweichung für x : ∆ x =
S
N
„Messwertfehler“ für x
[Anmerkung: siehe Hering ab S.9 oder Stroppe ab S.513]
2
2.1
Mechanik
Einführung
− Allg. Grundlage der Physik
− Anwendung in allen Teilgebieten der Physik
− Bewegung von Objekten im Raum und Zeit
Für quant. Aussagen: Maßeinheit für Raum (→Länge und Zeit )
2.2
Bewegung des Massenpunkts (MP)
− Zeitmessung
Objekt: Zeit wird gemessen durch Bezug auf periodische Vorgänge
Erddrehung, Planetenbewegung, Urpendel, Schwingquarz
1d zu 24h zu 60min zu 60s
mitt. Sonnentag: 1d =ˆ 86400s
1a =ˆ 365 ¼d ≈ π 107s
mittl. Sonnensekunde:
Erddrehung nicht konst.
→1s über Cs-Atom
Heute:
Quarzuhren → elektr. angeregte Schwingung eines Quarzes ~ 1MHz
∆t
≥ 10 −8
t
1
[Hz]
T
Messung der Lichtgeschwindigkeit, zuerst durch o-Römer (1676 „Jupitermonde“)
→ T Periodeυ =
Frequenz υ ( f ) ←
Skript 1 Physik 1
-4-
Thon
Fundamentale, exp. bestimmte Annahme: Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen
konst. (Einstein spez. Relationstheorie 1905)
Längenmessung: 1m ≅
1
Abstand Pol Äquator (→ Pariser Normalmeter)
10.000.000
Def. des Meters heute:
λ Kr
1m = 165076373 ∴λKr
86
Kr: Orange λKr = 605.8 nm
1
2
Schirm
Michelson Interferometer
Messung großer Längen:
Triangulation
Skript 1 Physik 1
-5-
Thon
s
[rad ] Bogenmaß
r
1 rad =ˆ 57,3°
1 ° =ˆ 17,5mrad
Kleinwinkel Näherrung
sin ϕ ≈ tan ϕ ≈ ϕ [rad ]
(ϕ << 1rad )
Winkel ϕ =
cos ϕ ≈ 1 −
Euklid: α + β + γ = 180°
a
b
=
=
Sinussatz:
sin α sin β
ϕ2
2
[rad ]
Messung astronomischer Entfernung
L
L, α , β , 
→ LEM auf 10% Erdradius
LES
=90°
LES (in RE) auf Faktor 10
Parallaxe →scheinbare Beweg erdnaher Sterne vor
Fixsternhimmel
. S
E
Skript 1 Physik 1
2AE
-6-
Thon
1° =ˆ 60′(min) ≅ 60 × 60′′( sek )
Winkeleinheiten:
1
1′′ =
3600
°
=ˆ
1cm
2km
Erreichbar (terrestisch) : 0,1′′
(Astronomisch): 0,01′′
Astronomische Längeneinheit (AE): Große Halbachsen der Erdbahn
1 AE= 1,495x1011 m
− Par sec [pc]:
1,5 × 1011 m
1 pc =ˆ
tan 111
Lichtjahr :
d=
3 × 1016 m
1AE 1AE
≈
tan δ
δ
1pc = 3,26 LJ
1LJ = 9,45 × 1015 m
AE
d
Parallaxenmethode brauchbar bis ~ 100LJ = 30pc
2.2.1
Kinematik des Massenpunktes
− Geradlinge Bewegung (1Ortkorrd. : x = f(t) = x(t)
Skript 1 Physik 1
-7-
Thon
x
X2
X1
t
t 1 t2
Momentangeschwindigkeit v(t) =
∆x
lim ∆t
=
∆t → 0
Momentanbeschleunigung a(t) =
∆v
lim ∆t
dx
=x
dt
=
∆t → 0
dv
=v
dt
4 facher Weg =ˆ doppelter Zeit
Wie x=f(t), damit x (2t0)=4x(t0)
x
4
4
1
4
t
Gleichung des freien Falls:
g 2
t
2
v(t ) = gt
x (t ) =
a (t ) = g
g 2
t
2
g
g 2
x(2t 0 ) = (2t 0 ) 2 = 4 t 0 = 4 x(t 0 )
2
2
x (t 0 ) =
g= Erdbeschleunigung
Umkehrung der Differentiation: Integration
Skript 1 Physik 1
-8-
Thon
t
aus a(t)→v(t) aτ dτ +v 0 =
[ a(τ )dτ ]
τ =t
τ =0
0
t
aus v(t)→x(t) x0+ v(T )dT
!
0
a(t) = const.
v(t) = v0+at
Gleichförmige beschleunigte Bewegung
a
x(t) = x0+v0t+ t 2
2
Bewegung im Raum, Koordinatensystemen, Vektoren
Einteilung phys. Größen
•
•
Skalar 1 Zahl (Zeit, Masse, Temp.)
Vektor Betrag („Länge“) und Richtung
Kartesisches Koordinatensystem:
z
az
y
ay
ax
x
a = (a x , a y , a z )
Addition. Komponentenweise
"
2
2
a = a = a x + a y + az
2
#
Multiplikation mit Skalar ka = (ka x + ka y + ka z )
Polar Koordinaten:
y
x = r cos ϕ
Eben x,y:
y = r sin ϕ
r
$
x
Skript 1 Physik 1
-9-
Thon
x = r sin ϑ cos ϕ
Räumlich (x, y ,z): y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ
Kinematik des Massenpunktes :
Bahnkurve
y
Ortsvektor r(t)
x
Kartesicher 3D Fall: r (t ) = x(t ), y (t ), z (t )
Analog zu 1D Fall
%
r (t + ∆ t ) − r (t )
v ( t ) = lim
∆→ 0
∆t
dx
dy
dz
,
,
Geschwindigkeit =
dt
dt
dt
oder r = ( x , y , z )
'
+,-
(
'
+,-
(
)*
+,-
(
)*
'
)*
&
&
&
dv
d 2x d 2 y d 2z
a(t)=…=
=
,
,
dt
dt
dt
dt
4
123
123
1
/0
Skript 1 Physik 1
123
1
1
.
.
.
.
/0
.
.
/0
- 10 -
Thon
Ableitung nach t: Punkt
Bsp: Wurf mit horizontaler Anfangsgeschwindigkeit
a (t ) = (0 − g )
v0 (t ) = (v 0 ,0)
Anfangsbedingung
5
r (t = 0) = r0 = (0,0)
5
5
Bewegung in x,y unabhängig
x
t
v x (t ) = v x (0) + a x (τ )dτ
6
0
= v0 + 0
v0 = (v0 ,0)
t
v y (t ) = v y (0) + a y (τ )dτ
7
0
= 0 + [− gτ ] = − gt
t
0
t
x(t ) = x0 + v 0 (τ )dτ = 0 + [v0τ ]0 = v 0 t
8
t
0
t
8
(− gτ )dτ = 0 −
y (t ) = y 0 +
0
x = v0 t → t 2 =
x2
v0
2
g 2
t
2
→ y ( x) = −
g
2v 0
2
x2
Ebene iA gekrümmte Bewegung r (t ) = ( x(t ); y (t ))
9
Annahme:
Geschwindigkeit v = v const. entlang der Bahnkurve
:
v (t )
<
v (t + ∆t )
=
v (t )
<
∆v
>
v (t + ∆t )
=
∆v
;
v
;
= ∆ϕ
Skript 1 Physik 1
- 11 -
Thon
Obwohl ∆v const. ist a =
?
@
dv
≠ 0 Richtungsänderung
dt
@
Vektorielle Zerlegung der Beschleunigung
dv d 2 s
=
dt dt 2
dv
dϕ
=v
an =
dt
dt
tang
Tangential: at =
normal:
A
norm
Speziell:
Kreisbewegung: Massenpunkt auf Kreisbahn (r = const.)
Beste Wahl des Koordinaten Systems (KS): Polar Koordinaten
x(t ) = r (t ) cos ϕ (t )
y (t ) = r (t ) sin ϕ (t )
x(t ) = r cos ϕ (t )
dϕ
dt
dϕ
y = r cos ϕ (t ) ×
dt
x = − r sin ϕ (t ) ×
B
C
y (t ) = r sin ϕ (t )
dr
D
E
2
L
v=
dt
=
IJK
dx
dt
r (t ) = r da r = const.
F
GH
2
dy
+
dt
IJK
zusätzlich: v= const. →
F
GH
dϕ
=r
dt
dϕ
v = r sin ϕ + cos ϕ
dt
2
(
2
2
dϕ
= const.
dt
Winkelgeschwindigkeit: ω =
)
2
PQR
=r
M
NO
∆s
r
∆ϕ
dϕ v
=
dt r
Über ϕ (t ) = ωt können wir schreiben ω = const.
x(t ) = r cos ωt
y (t ) = r sin ωt
V
- 12 -
∆s
r
∆ϕ 1
=
∆t r
dϕ
=ω
dt
v = rω
~
SUT
Beschleunigung bei Kreisbewegung mit v= const. Gleichförmig
Skript 1 Physik 1
dϕ
dt
Thon
dv
=0
dt
dϕ
v2
2
an = v
= vω = rω =
dt
r
↓
a (t ) =
rω
Radiale Beschleunigung a r = −rω 2 = −
Vektorschreibweise: a = −
W
Einheitsvektor rˆ =
r
r
X
v2
nach innen Zentripetalbeschleunigung
r
v2
rˆ
r
r =1
Ungleichförmige Kreisbewegung: ω = ω (t )
dv
dω
d 2ϕ
=r
=r 2
dt
dt
dt
Y
Winkelbeschleunigung
Wechsel von Koordinatensystem:
Koordinatentransformation bei Parallelverschiebung
Z
Z
y’
Z
r′ = r − A
Z
y
Z
Z
Z
[
v′ = r − A = v
[
d.h. v , a invariant gegen Paralellverschiebung
\
A const
\
x’
x
Koordinatentransformation bei bewegten Koordinatensystemen:
Einfacher Fall:
S
y
x ′ = x − ut
y′ = y
z′ = z
Nur gültig für u << c
(t ′ = t )
S’
y’
x
n*t
Skript 1 Physik 1
x’
Galileitransformation
- 13 -
Thon
2.3
Grundgesetz der klassischen Physik:
1686 Newton/ Phil. Nat. Princ. Math.
Absolute Euklische Geometrie
Grundgedanke: Kraft als Ursache der Beschleunigung
•
Kinematische Größe v , a
\
\
]
•
Masse m, Kraft F
Die Newtonschen Axiome (siehe Buch S. 32 Tabelle 2.2)
Zu NG II: Schlitten auf Luftkissenbahn
Aufnehmer
x
F= m*g
m
2.3.1
Kräfte und fundamentale Wechselwirkung
1
F
m
Masse: Maß für Trägheit (träge Masse)
Kraft F : Ursache für Geschwindigkeitsänderungen oder Deformation
NG II Bewegungsgleichung a =
^
^
_
]
Gewichtskraft:
`
F
Laser
Verformung eines Balkens
Federkraft, kompensiert im Ggw die Gewichtskraft
Reibungskraft
Einheit der Kraft 1 Newton= 1N
1 Newton ist die Kraft die die Masse m= 1kg mit a=1m/s2 beschleunigt
Skript 1 Physik 1
- 14 -
`
1N=kgm/s2
Thon
Kraft ist Vektorkraft
F1
`
vekt. Addition von Kräften
F1 + F2
Kräfteparallelogramm
F2
Schiefe Ebene
FT + FN = FG
a
a
FN
a
FT
FG = mg
FT = mg sin α
FN = mg cosα
Reibungskraft = Entgegen der Bewegungsrichtung
Ansatz: FR = µFN
(µ H > µ G )
µ = Re ibungskoeffizient , µ H = Haftreibung , µ G = Gleitreibung ( µ H > µ G )
Bedingung für Gleiten F > FR ,GL
mg sin α > µ G mg cos α
α > tg −1 µ G
µ G = tgα Grenzwinkel
z.B.: µ G = 0,1
b
α = 5,7°
Jetzt zu NG III (actio= reactio)
Fundamentale Kräfte
1. Gravitation:
Zwei Körper der Massen m1 und m2 ziehen sich gegenseitig mit der Kraft F an, für dir
gilt:
Skript 1 Physik 1
- 15 -
Thon
F
α
mm
F =γ 12 2
r
γ = 6,6726 × 10
−11
1
r2
=> α = proportional
Nm 2
kg 2
x
Feldteilchen: Gravitonen noch nicht entdeckt
Von oben:
Laser
m
Spiegel
(siehe Buch S.81)
„Hantel mit 2x mam Quarzfaden“
2. Elektrische Kraft
F el =
mit
1
4πε 0
1
4πε
×
Q1Q 2
r0
0
≅ 9 × 10 9
2
m2
N
( As )2
Elektrische Kraft extrem stark im Vergleich mit der Gravitation:
2x 1As im Abstand 1m: F ≈ 1010 N =ˆ Gewichtskr aft 10 6 t
3. Starke Wechselwirkung zwischen Quarks (Feldteilchen: Gluonen)
4. Schwache Wechselwirkung zwischen Quarks und Leptonen (e-, e+,
(Feldteilchen: Z0, W+-)
5. Elektromagnetische Wechselwirkung Feldteilchen: Photonen
+
c
,
c
, …)
Daraus abgeleitete Kräfte:
Skript 1 Physik 1
- 16 -
Thon
−
−
−
−
−
Reibungskräfte
Seilkräfte
Elastische Kräfte (Federkraft, Deformationskraft)
Chemische Bindungskräfte
Kernkraft (zwischen Nukleonen im Kern)
Bemerkung zur Masse:
In NG I-III: Träge Masse
Im Gravitationsgesetz: Schwere Masse
per Def. ms = mt
2.4
Anwendung der Newtonschen Gesetze
2.4.1 Federpendel:
FFeder
FGewicht
0
Ruhend
l0
l
∆l = l0 − 0 = l 0 prop. Zum Gewicht m × g
Federkraft:
FF = k∆l
[k]=
N
m
k= Federkonstante
In Ruhelage:
Fresult = FF + FG = −kl 0 + mg
Skript 1 Physik 1
- 17 -
Thon
Auslenkung aus der Ruhelage
`
Schwingung um Ruhelage !
Fres = mg − kl
= mg − k (l − l 0 + l 0 )
d
x(t )
= mg − kl 0 − kx(t )
j
eih
=0
egf
= −kx(t )
x (t ) +
k
k
k
x(t )) = 0 DGL der freien, ungedämpften Schwingung
m
x(t ) = A cos ωt
x(t ) = − Aω sin ωt
l
x(t ) = − Aω 2 cos ωt
l
l
= −ω 2 x(t )
DGL erfüllt mit ω 2 =
k
(spezielle Lösung)
m
Versuch:
ω=
m=50
2π
=
t
k
m
m
T = 2π
k
l0(50g)=10cm
0,5 N
0,1m
N
=5
m
ω 2 = (2πf ) 2
f =
1
T
0,05kgms 2
= 2π
5kgm
k=
= 2π × 0,1s
= 0,63s
x(t ) = A cos ωt
ist spezielle Lösung mit den Anfangsbedingungen:
x(t=0)= A
v(t=0)= 0
Andere spezielle Lösung ist:
x(t ) = A sin ωt
x(t=0)= 0
v(t=0)= ωA
Allgemeine Lösung:
Skript 1 Physik 1
- 18 -
Thon
x(t ) = a sin ωt + b cosωt
v(t ) = aω cosωt − bω sin ωt
a(t ) = −ω 2 a sin ωt − ω 2 b cos ωt = −ω 2 x(t )
Anfangsbedingung:
x(t=0)= b
v(t=0)= ωa
Amplitude A=
Kreisfrequenz ω =
a2 + b2
k
m
2.4.2 Schwerependel oder Math. Pendel
(harmonische Schwingung bei kleiner Auslenkung)
m
l
x
s
FT
s = l* ~ x
m
F = m*g
Ft = mg sin ϕ
tuv
sin ϕ ≈ ϕ für ϕ << 1rad
Ft ≅ mgϕ ≈ mg
q
rs
x
l
mg
x
l
FRücktreib = −
p
n
o
K
Skript 1 Physik 1
- 19 -
Thon
ω=
Harmonische Schwingung mit
k
m
=
mg
lm
=
g
l
l
g
Bei 4x Pendellänge doppelte Schwingungsdauer
T= 2 π
2.4.3
Planetenbewegung
Ptolemäus ca. 100- 160 n. Chr. geozentrisches Weltbild
Link: home.t-online.de/nagel.klaus/astdir/astro.htm
−
−
−
−
N. Kopernikus (1473- 1543) Heliozentrisches Weltbild
T. Brake (11546- 1601) Exakte Beobachtung
J. Kepler (1571- 1630) Kepler’sche Gesetze
I Newton (1643- 1727) Herleitung. der KG aus den NG und Gravitationsgesetz
Kepler’sche Gesetze:
I. Planetenbewegung auf Ellipsen in deren einem Brennpunkt die Sonne steht
II. Der von der Sonne zum Planeten reichende Radiusvektor v überstreicht in gleichen
Zeiten ∆t gleiche Flächen ∆A
∆A
= const .
∆t
III. Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten Verhalten sich wie die
Kuben der großen Halbachse a1 und a2
2
3
T1
a1
=
2
3
T2
a2
w
Speziell: Kreisbahn (a= b= r Sonne im Zentrum)
KG I & II:
az= agrav
M
v2
= rω 2 = γ 2s
2
r
r
r 2ω 2 = γM = const ∀ Planetenbahnen
Skript 1 Physik 1
- 20 -
Thon
γ
M s =const
T
4π 2
rE = 1,5 ⋅ 1011 m; TE = 3,16 ⋅ 10 7 s
KG III
γ3
aus r, T, γ
=
3
x
Masse des Zentralgestirns berechen (hier Sonne)
y
M Sonne = 2,0 × 10 30 kg
Aus Monddaten Masse der Erde:
rm = 3,84x108m
ρE =
Tm =27,3d
x
MErde = 5,97x1024kg
M Erde
g
= 5,5 3
4
cm
πRE 3
3
g
cm 3
Erde hat schweren Kern: Flüssig Fe, Ni
An der Oberfläche ρ ≈ 2,7
1. m außerhalb der Kugel mit Masse M
Kraft so, als ob Kugelmasse M im Zentrum
d
R
2. m innerhalb der Kugel M:
nur Masse innerhalb r ≤ d trägt bei
d
F =γ
Skript 1 Physik 1
− mM (r ≤ d )
d2
- 21 -
Thon
Gewichtskraft
ME
FG = γ
z
RE
|
2
m = mg
{
g
m
s2
Versuch: Pendelmagnet => chaotisches System
Mit ME, RE, γ
g= 9,818
x
2.4.4 Gültigkeitsbereich der Newton’schen Mechanik
Prinzipielle Schranken für Kenntnis der Entwicklung eines Systems in der Zukunft
1.
Chaotisches Verhalten nicht lin. Systeme
− Wetter
− Turbulente Strömungen
2. Quantenphysik
Unschärferelation: Ort und Impuls nicht gleichzeitig genau messbar
}
m2
h
34
= 10 kg
∆x × ∆p x ≥
=
2π
s
Genauigkeit der Anfangsbedingung beschränkt
~
2.5 Der Impuls
Def. Impuls: Masse x Geschwindigkeit
Erhaltungsgröße für abgeschlossene Systeme P = mv


2.5.1 Der Kraftstoß
ma = F
NG II
€
dv
dt
a

€

dp
=F
dt
t2
‚
‚
ƒ
‰
∆p = p 2 − p1 = F (t )dt
dp = F (t )dt
ƒ
‰
‰
‰
Š
„‡†
„g…
t1
ˆ
Kraftstoß
Skript 1 Physik 1
- 22 -
Thon
F(t)
F(t)
gleiches p
”
t
t1
t
t2
t2
Ž

F (t )dt =ˆ Fläche ≈ F∆t
t1
∆p
F
∆t
Um Kraft zu minimieren, muß ∆t möglich groß sein! (=>Knautschzone)
∆p gegeben F =
Stahlkugel auf Unterlage (Stall)
m=10g
h=
g 2
t => t =
2
v(t)=gt

‘“’
10
F =
∆p = 2mv1 = F ∆t
2h
g
v= 2 g h =2
∆ = 4 ⋅ 0,01kg
h=0,2m
m 0,2 m
m
s
s2
m
= 0,04 Ns
s
0,04 Ns 10 −2
= −5 N = 10 3 N
−5
4 x10 s 10
2.5.2 Systeme von Massenpunkten (MP)
m3
m2
r3
Œ
Bisher: 1MP + äußere Kraft
r2

m1
r1
Skript 1 Physik 1
‹
- 23 -
Thon
Neu: Mehrer MP + innere Kräfte (zwischen MP’s) + äußere Kräfte
Def. Schwerpunkt:
1 n
rs =
mi ri = mit M =
M i =1
•
•
n
mi
–
I =1
Bewegung des Schwerpunkts:
˜
vs =
™
drs
1
=
dt M
vi
—
n
™
mi
dri
1
=
dt M
n
i =1
›
œ
pi
š
Impuls des SP:
p s = Mv s = mi v =
œ
˜
™
™
i =1
›
pi
œ
œ
i
(Summe der Einzelimpulse)
Einfluss von Kräften:
Fi= äußere Kraft
1.
Fik= innere Kraft
F2
F12
2.
1
F
F1
2
dp1
1)
= F1 + F12
dt
dp1
= F2 + F21
2)
dt



ž
ž
ž
dp s dp1 dp 2
=
+
= F1 + F2 = F12 + F21
dt
dt
dt
= 0 ( wegenNGIII )
£
£
¢
£
£
Ÿ‡¡
dp s
dv
=M s =
dt
dt
¥
Ergebnis:
Ÿg ¥
(Summe der äußeren Kräfte)
Fi
¥
¤
i
Def.:
Abgeschlossen (mech.) System:
§
Fi = 0
¦
(Summe der äußeren Kräfte = 0)
i
Im abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls p s konstant
¨
ps =
ª
©
p i = const
ª
Skript 1 Physik 1
- 24 -
Thon
2.6
Stoßprozesse
Wichtig wegen:
-
Struktur kleinster Systeme aus Streuexperiment
kinetische Gastheorie
2.6.1 Eindimensionaler Fall
m1v1
m2v2
m1v1
vorher
m2v2
nachher
Impulssatz: m1v1 + m 2 v 2 = m1v1 '+ m2 v ' 2
«­®
«±¬
°
«¯®
«­¬
°
gegeben
gesucht
Zu wenig ! 1 Gleichung für 2 Unbekannte
1
1) Elastische dh. auch Ekin enthalten (Ekin= mv 2 )
2
Energiesatz:
1
1
1
1
2
2
m1v1 + m2 v 2 = m1v1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
2
2
2
2
2 Größen aus 2 Gleichungen => Übungen
2) Grenzfall: Total inelastisch
v1’= v2’ (= vs)
²
nur noch eine Unbekannte d.h. Impulssatz ausreichend
vs =
2.7
m v + m2 v2
1
ps = 1 1
M
m1 + m 2
Arbeit und Energie
2.7.1 Beispiel Federschwingung
Skript 1 Physik 1
- 25 -
Thon
m,v(t)
k
1
2
mv 0
2
Staucht Feder aus Ruhelage bei x=0 und wird dadurch abgebremst
d
d 1 2
1
dv
E kin =
mv (t ) = m2v (t )
= Fv
dt
dt 2
2
dt
Masse m mit v0=v(x=0) und Ekin =
³
a=
F
m
Im Intervall dt gilt: dEkin= Fdx = -kxdx
E2 ( x )
E kin ( x) − E0 =
¶
x2
−k
2
dE kin = − k x!dx!=
¹
¹
´
·¸µ
x
·
Abnahme von Ekin
0
E0
¶
´
µ
( −1) Änderung der E pot
Def.:
Feder
E pot
( x) = k
x2
2
Ekin(x) + Epot(x) = const = Eges
E
Eges
Ekin
-Epot
x
x = 0: Feder ungestaucht
Wiederholung:
Impuls + Kraftstoß
p = mv
p=F
»
»
»
º
»
∆p = F (t )dt = F∆t
¾
¼
½
Kraftstoß
Skript 1 Physik 1
- 26 -
Thon
Schwerpunkt eines Systems vom MP
rs =
¿
1
M
N
mi ri
À
¿
i =1
innere und äußere Kräfte:
dp s
= Mv s = Fi Summe der äußeren Kräfte
dt
i
Wiederholung Ende
Â
Ã
Á
Â
Â
2.7.2 Potentielle Energie und konservative Kräfte
x2
Arbeit
W12 = Fdx
Ä
Allg.: (1D)
x1
P=
dW
= Fv
dt
Leistung
Potentielle Energie im 1D Fall
x
E pot = − F ( x )dx + c (c ist beliebig wählbar)
Å
x0
3D Fall:
r
Ç
É
E pot (r ) =
É
Ì
+c
Fdr
É
È
Æ
Wegintegral
Ê
Ë
SkalaresFeld
r0 Skalarprodukt
È
Skalares Feld
r1
Î
c2
c1
r0
Í
Gravitationskraft:
− Integration auf Kreis: Wegintegrall 0
− Integration entlang r: Wegintegral maximal
Skript 1 Physik 1
- 27 -
Thon
Konservatives Feld:
Epot ist nur Funktion des Ortes r (Endpunkt von c) und nicht vom Integrationsweg abhängig
Ï
2 Folgerungen:
1.
(3D) F (r ) = −
Ð
Ep(r ) ´
grad
Differentialoperator "Gradient"
Ñ
Ñ
( gradE p ) x =
( gradE p ) y =
( gradE p ) z =
Ñ
∂E p
∂x
∂E p
∂y
∂E p
∂z
2. Erhaltung der mech. Energie
E kin (r ) + E pot (r ) = const. = E ges
Ò
Ò
r
Ö
c2
c1
Nicht konservative Kräfte:
z.B.: - Reibungskräfte
- Lorenzkraft
r0
Õ
Bsp: Freier Fall (im homogenen Gravitaionsfeld)
Fgrav , y = − mg (= const )
Ó
y
y
0
0
h
E pot = − Fg dy ) = mg [ y ′] + c = mgy
1D
Fall aus der Höhe h:
E k ( y ) + E pot ( y ) = const = E pot (h) => weil E K (h) = 0
1 2
mv ( y ) + mgy = mgh
2
Ô
v( y ) = 2 g ( h − y )
Lösung ohne Bewegungsgleichung, weil Epot schon Integration enthält !
Skript 1 Physik 1
- 28 -
Thon
Y
Ep(y)
h
Epot(h)
y1
Ek(y1)
E
Exkurs : Luftpistolenschuss auf Luftkissenfahrzeug
Mit m ~ 200g und v’ ~ 0174m/s
1
v
m = v ′m
400
v = 400v ′
m
v ≈ 70
s
ballistisches Pendel
2.7.3
Berücksichtigung von Reibungskräften am Beispiel der schiefen Ebene
1. Ohne Reibung
Y
Fs
mg
s
×
Bewegung entlang s
Fs = mg sin α ( Hangabtriebskraft )
dy
ds
×
dEkin = Fds → Fs ds
Ø
Ø
dE pot = mgdy
dE ges = dE kin + dE pot = m g sin αds − mg sin αds = 0
هÜ
ÙÞÚ
هÜ
Ý
dEkin
ß
ÙÛÚ
Ý
dE pot
Gesamtenergie konstant!
Skript 1 Physik 1
- 29 -
Thon
2.
mit Reibung:
FR
FS0
FR = µFN entgegen zu v!
Gesamtkraft: Fs = mg sin α − µmg cosα
à‡ã
àÞá
ä
à‡ã
FS 0
å
å
àâá
ä
FN
dE ges = mg sin αds − µmg cos αds ≠ 0
Gesamtenergie nicht konstant!
Keine Epot definierbar
d ( E kin + E pot )
− µFN v
dt =
è
æ
ç
Leistung der Re ibungskraft
Mechanische Gesamtenergie nimmt ab
2.7.4 Einheiten von Energie, Arbeit und Leistung
Energie, Arbeit [E]: 1W=Kraft x Länge; z.B.: 1N=1J=1Ws (im SI-System)
Leistung [P]: =
Kraft × Länge
Zeit
SI: 1W=1N
kgm 2
m
=1 3
s
s
Elektr. Energie in kWh = 3,6 106 Ws
Atomare Einheit : 1eV = 1,602 10-19J
2.8
Drehbewegung
2.8.1 Drehbewegung eines MP
Neue Begriffe analog:
Zur linearen Bewegung:
− Drehmoment
Skript 1 Physik 1
- 30 -
Thon
M =
rF
ê
ê
é
ê
Vektorprodukt
Grafik
ë
M = M = rF sin α
Drehmoment max für α = 90°
− Drehimpuls:
L=r×p
ì
ì
ì
Grafik
Kreisbewegung (r ω ):
L = r × m( r ω )
mω (r r ) − mr (r ω )
ï
ï
ï
ð
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
î
Skalar
Skalar
Skalarprodukt r ω = 0 , da r ⊥ ω
ñ
ñ
ò
ò
ó
ô
LKreisbeweg ung = mr 2 ω
ô
J
.
v
r
ω
− Trägheitsmoment eines MP bezüglich Ursprung
J = mr2
õ
L = Jω (analog; p = mv )
õ
ö
ö
ø
ø
dL d
dr
dL
= (r × p ) =
× p+r×p=
= r ×F = M
dt dt
dt
dt
F
ø
ø
ø
ø
ø
ø
ø
ø
ø
÷
ü
û
ù
ú
= 0, da v p
ü
ÿ
(analog:
p
þ
ý
ü
þ
=F)
zeitlichabgeleitet
Skript 1 Physik 1
- 31 -
Thon
p=F
L = r ×F = M
dω
α=
dt
M = Jα
2.8.2 Arbeit, Energie und Leitungen bei Drehbewegung
ϕ1
Arbeit: We1 M (ϕ )dϕ ( Skalarprodukt )
0
Torsionsfeder: M Dϕ (Torsionskonst. D)
ϕ
1
1
Wϕ = Dϕdϕ = Dϕ 2 analog zu Feder: kx 2
2
2
0
dW
= Mω
dt
Fv
Momentane Leistung P =
Def.: - rot = rotation
- trans = translation
1
Jω 2
2
1
= mv 2
2
rot
E kin
=
trans
E kin
2.8.3 Vergleich „linearer Bewegungen & Drehbewegung“
m
2
m
2
r
M = -D ϕ
[NG] M = J α mit J = mr2
− Dϕ = Jα
− Dϕ = ϕmr 2 ⇐ Bewegungsg leichung
ϕ (t ) = ϕ 0 cosωt
ϕ (t ) = −ϕ 0ω sin(ωt )
ϕ (t ) = −ϕ 0ω 2 cos(ωt ) = −ω 2ϕ (t )
Skript 1 Physik 1
- 32 -
Thon
D
mr 2
2π
T=
ω2
ω
=
2π
mr 2
D
Versuch:
D=
T = 2π
M
ϕ
=
0,25 N ⋅ 0,3m
Nm
≈ 0,025
π ⋅ rad
rad
0,4kg ⋅ 0,1m 2 ⋅ 40s 2
≈ 10 s T im Experiment = 6s
kg ⋅ m 2
Analogie Federpendel:
Drehpendel:
F=-kx
M=-D ϕ
2
E pot = k
x
x
E pot = D =
1
E kin = mv 2
2
x(t ) = A cos ωt
ω=
k
m
2.9
Mechanik des starren Körpers
ϕ2
2
1
Jω 2
2
ϕ (t ) = ϕ 0 cos ωt
E kin =
ω=
D
J
2.9.1 Kinematik des starren Körpers
System von MP mit konst. Abstände!
Sehr nützliche Idealisierung
Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translation + Rotation
Skript 1 Physik 1
- 33 -
Thon
rot
trans
momentaner Drehpunkt
2.9.2 Kräftewirkung am starren Körper
Starrer Körper: innere Kräfte unwirksam1
Zahl der Freiheitsgrade
N
MP: 3N
Starrer Körper 3 (transl) + 6 (rot) = 6
Ursachen der Rotation: Kräftepaar F F ′
F′
r
A
F
B
F
Angriffspunkt P kann entlang Wirkungslinie AB
verschoben werden
A
Skript 1 Physik 1
- 34 -
Thon
Zweikräfte:
A
#
F1
B
%
FR
$
F2
Resultierende Kraft FR kann entlang Wirkungslinie (WL) verschoben werden
Falls F2 = − F1 = − F aber verschiedene parallele WL, dann erzeugt dieses Kräftepaar
Drehmoment M = (r1 − r2 ) × F
&
F3
S
(r2 − r1 )
)
r1
)
$
'
F2
r2
(
Kräftepaar kann innerhalb des starren Körpers verschoben werden ohne Änderung von M
Betrag von M :
M = sF
2.9.3 Statik: Wann starrer Körper in Ruhe?
Fi = 0 (Fi = äußere Kraft)
1.
"
2.
!
M i = 0 (Mi = äußeres Drehmoment)
=0
Starre Kräfte im schwere Feld
*
SP
*
Skript 1 Physik 1
- 35 -
Thon
im SP unterstützt
In jeder Stellung in Ruhe => indifferentes Gleichgewicht
Potentialkurve:
Epot
P über SP
stabiles Gleichgewicht
indifferentes Gleichgewicht
P unter SP
labiles Gleichgewicht
*
0
2.9.4 Trägheitsmoment starrer Körper
E rot =
1
Jω 2
2
Skript 1 Physik 1
- 36 -
Thon
Drehachse
dm
r
.
J = mr 2
(MP)
,
r 2 dm
Jp =
Zylinder um Symmetrieachse gedreht
Vol
,
J p = ϕ (r )r 2 dV
+
+
Vol
r
*
R
Zylinder Höhe h
Radius R
Dünnwand Zylinder mit dr hat:
dJ − dmr 2 mit dm = ϕ ⋅ dr ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dz
-/0
-
-/.
-
1
dV
h
J =ϕ
2π
R
h
dzr dϕdr = ϕ [z ] [ϕ ]
2π
0
3
89
z =0 ϕ =0 r = 0
0
Mit M = Formelfehlt gilt J Vollzyl . =
Skript 1 Physik 1
567
r4
4
R
= ϕh 2π
2
34
0
R4
4
1
MR 2
2
- 37 -
Thon
Ri
RA
J Hohlzylinder =
1
2
2
M HZ ( Ri + Ra )
2
Physikalisches Pendel:
s
Trägheitsmoment bezüglich D (keine SP-Achse) sei JD
M = − mgs ⋅ sin ϕ
rücktreibendes Moment : ≈ − mgs ⋅ ϕ
D
:
;
D
SP
:
ω=
mgs
JD
<
Steinerscher Satz:
D
Skript 1 Physik 1
SP
s - 38
Thon
1
JDω 2
2
1
1
= Ms 2ω 2 + J SPω 2
2
2
1
= ( Ms 2 + J SP )ω 2
2
E rot =
A
=?@
=?>
JD
Steiner: J D = J S + Ms 2
2.9.5 Drehung im Raum: Der Kreisel
Bisher Drehung um feste Achse
J eine SP Achse mit maximalen und eine SP Achse mit minimalem Trägheitsmoment
Diese beiden plus eine ⊥ dazu
3 Hauptträgheitsachsen eines starren Körpers
B
Zylinder:
y
z
x
Skript 1 Physik 1
- 39 -
Thon
J z = min
J x = J Y = max
Scheibe:
y
Jz = min
Jx = Jy = max
z
x
Quader:
y
Je nach Dimension einer der Ji max
x
z
Nur Körper mit gewissen Symmetrien Hauptträgheitsachsen sind freie Achsen d.h. bei
Drehung der Figurachse treten keine Lagerkräfte auf (technisch keine Umwelt).
B
Skript 1 Physik 1
- 40 -
Thon
Kreisel:
Drehteile ( ∃ zwei
Hier symmetrische Kreisel, die rot. sym. zur Figurachse (FA) sind
Achsen ⊥ zur Figurachse mit gleichem J).
Übliche Form von Kreiseln: J bezüglich FA maximal
Kräftefreie Aufhängung (z.B. Kardanische Aufhängung): kein Drehmoment durch äußere
Kräfte, z.B. Schwerkraft
B
Bsp: Kreiselkompass
Versuch: (von oben)
F
M
M =
C
∆L (t + ∆t )
J
H
∆L
I
∆L (t )
dL
dt
C
→ ∆L = M∆t
∆L
∆L
∆tω p ≈
→ ∆t =
L
Lω p
∆L =
M∆L
Lω p
ωp
G
D
M = Lω p
Vektorgleichung:
M =
E
dL
=ωp × L
dt
E
E
E
Die Erde als Kreisel:
Skript 1 Physik 1
- 41 -
Thon
23°
ωE
L
ÄE
S
M
Wulst => Drehmoment
Wegen Gravitationswirkung durch Mond und Sonne
Messung von ω E ?
Extrem wichtig für genaue GPS Messung!
Kötzing (Bayrischer Wald) Größter Ringlaser der Welt!
Sagnae Effekt z.B.: Änderung der Tageslänge auf 10-9 ca. 01ms (www.wettzell.ifag.de)
Präzision der Erde wegen Abplattung
ωp
ωE
Tpräz = 25700 Jahre
2.10 Beschleunigte Bezugssysteme
Betrachtet System S
Soll bezüglich Inertial- System (IS)
1. Geradlinig beschleunigt
2. mit ω - const. gedreht (später)
K
Skript 1 Physik 1
- 42 -
Thon
2.10.1 Geradlinig beschleunigte Bezugssysteme
Y’
Y
a S = const
T
S
rS
R
IS
X’
rS (t )
S
X
Im IS:
F = ma
M
M
In S
F = ma = ma − ma S Trägheitskraft oder Scheinkraft
1
rS = a S t 2
2
rS = a S t
N
N
O
N
N
O
O
O
Zur Gültigkeit der Newton’schen Mechanik muss in S die Trägheitskraft Ft = − ma S
einführen
P
P
Bsp. Fahrstuhl:
− Im IS (-Erde) → Gravitationskraft F = mg
− System (Fahrstuhl) → wird mit aS in vertikaler Richtung (y nach oben)
′
beschleunigt: a y = − g − a S
Q
Scheinbare Gewicht eines Körper in S (Fahrstuhl)
′
Fg = m(− g − a A )
Für aS <0 (Beschleunigung nach unten) erscheint „leichter“
Für aS =-g wird es gewichtslos
Im Flugzeug
y
Parabel
Skript 1 Physik 1
vx=const vy=v0-gt
=> Schwerelosigkeit
x - 43 -
Thon
2.10.2 Gleichförmig rotierende Bezugssysteme
y
v = v S′ + ω × r
1. tangential (⊥ zu ωr )
2. prop. zu r (Abstand von Drehachse)
U
U
U
U
V
x’
y’
V
IS
S
ωt
x
ω = const
_
Daraus durch Differentiation:
=
a′
[
W
2ωxv ′
−
a
[
X
[
^
[
Z
Z
\
]
Beschleunigung in S
Beschleunigung im IS
Coriolisbe schleunigung → ac = 2ωxv ′
+ ω 2 r⊥
[
Z
Y
2
a zf =ω r⊥
Zwei Beobachten
BH: Kreidestrich radial nach außen Geschwindigkeit vr
BH
BS
BS: Sicht gekrümmte Bahn
ω
BS interpretiert s(t) als beschleunigte Bewegung
Skript 1 Physik 1
- 44 -
s (t ) = r (t )ϕ (t )
= v r tωt − v r ωt 2
s(t)
Thon
s (t ) =
a 2
t mit acor = 2v r ω
2
Beispiel für Zentrifugalkräfte:
Becherglas
α
Form der Oberfläche (hr) gegeben durch
Forderung:
`
Frsult ⊥ Oberfläche
tan α ′ =
a
h
dh =
0
h( r ) =
FZ dmrω 2 rω 2 dh
=
=
=
G
dmg
g
dr
ω2
g
ω2
2g
a
r
rdr
0
r2
ω
FZ = mrω2
ω
Kerze auf
Drehtisch
FG = mg
Kerzenflamme neigt
sich nach innen
Drehwaage:
α2
α1
Skript 1 Physik 1
- 45 m1
m2
Thon
tan α =
FZ
FG
mt = träge Masse ms = schwere Masse
mt rω 2
ms g
Eötvos’sche Drehwaage:
Vergleiche verschiedene Paare von Materialien; prüfe ob α 1 = α 2 !
tan α =
Experimentelles Ergebnis:
m s − mt
< 10 −8
ms
„5. Kraft“
Ultra Zentrifuge:
U
U
=103
min
s
r=01cm
60000
→
rω 2
≈ 4 ⋅ 10 5
g
− Sedimentationsgeschwindigkeit um 4 ⋅10 5 verbessern
− Isotopentrennung
Beispiel für Coriolis – Kräfte:
beim freien Fall:
ω Erde
c
Fcor = 2m(v × m) nach Osten!
b
G
FZ
F,v
b
Bei einer Höhe h=100m: Stein kommt 1,5 cm weiter nach Osten
an!
d
d
ϑ
Viele andere Effekte auf der Erde als rotierendes Bezugssystem!
z.B:
H
Skript 1 Physik 1
T
- 46 -
Thon
Auf N- Halbkugel Rechtsablenkung (der Strömung) !
Gezeiten:
Erde
Mond
FZ
FZ
FG
FG
resultierend
SP: Rotation um den gemeinsamen
Schwerpunkt
e
2 Flutberge; Periode: Ebbe – Flut = 12h
Foucault’sches Pendel:
ωE
h
ω (ϑ )
g
ϑ
für Erlangen:
ϑ = 49°
=> ω ER = 11,3° / h
2.11 Mechanik deformierter Körper
2.11.1 Deformierte feste Körper
Starre Körper
Idealisierung
Reversible Formänderung => elastische Verformung
Irreversible Formänderung => plastische Verformung
f
Skript 1 Physik 1
- 47 -
Thon
∆l
Riß
0
∆l
F
F
Spannung:
dF
dFM
dFm
δ > 0 Zugspannung
dA
δ < 0 Druckspanung
dF
− Schubspannung τ = t
dA
− Normalspannung δ =
Dehnung eines Drahtes: Normalkraft bzgl. Querschnittsfläche A
∆l ~ Fn
→ ∆l ~ l
1
∆l ~
A
∆l ~
Fn
dFn
∆l
l =>
=E
A
dA
l
E = Elastizitätsmodul (Materialkonst.)
Stoff
δ = Eε Hook’sches Gesetz
µ
N
K[109 m 2 ]
N
G[109 m 2 ]
17
72
76
126
0,44
0,34
0,17
0,35
44
75
38
140
6,5
27
33
47
195
0,28
170
80
E [109
Pb
Al
Glas
Cu
VZA
(Stahl)
GN
m2
i
N
]
m2
Querkontraktion.
Mit jeder Drehung ist eine Kontraktion in Querrichtung verbunden
Skript 1 Physik 1
- 48 -
Thon
1
d
2
d0
εq −
∆d
∆l
= − µ = − µε
d0
l0
m
ε
µ = Poisson’sche Zahl, dimensionslos
∆l
n
FN
Volumen bei Dehnung: Stab mit quadratischen Querschnitt d0 und Länge l0
l 0 → l 0 + ∆l
d 0 → d 0 + ∆d
V = (d 0 + ∆d ) 2 (l0 + ∆l 0 )
2
= (d 0 + 2d 0 ∆d 0 + ∆d 2 )(l 0 + ∆l ) ≈
2
2
= d 0 l 0 + d 0 ∆l + 2d 0 l 0 ∆d + 2d 0 ∆d 0 ∆l
j
V0
2
l
V − V0 d 0 ∆l 0 + 2d 0 l 0 ∆d ∆l 0
∆d
=
=
+2
2
V0
l0
d0
d 0 l0
k
µε
Volumenänderung positiv für pos ε >> µ ≤
speziell: µ =
1
2
1
∆V
⇔
=0
2
V
Kompression z.B. Würfel in Hydrauliköl:
Skript 1 Physik 1
- 49 -
Thon
δZ
δY
δX
Druck: p =
Fn
A
δ X = δY = δ Z
δ = −p
o
Volumenänderung durch δ x
∆V
δ
P
= (1 − 2 µ )ε x
=−
V
E
E
p
Für alle 3 Raumrichtungen:
∆V
3(1 − 2µ )
=−
= −χ ⋅ p
V
E
3(1 − 2 µ
=
E
χ=
q
1
K
Kompressib ilität
Einfluss der Schubspannung ( → Kraft parallel zur Fläche):
A
s
u
Ft
tgα =
τ=
h
Im elektrischen Bereich gilt
s
für kleine Winkel
h
FT
A
τ = Gα
r
t
s
Schub mod ul [ Pa =
N
m2
]
vgl.: τ = Eε
Skript 1 Physik 1
- 50 -
Thon
0 ≤ ϖ ≤ 0,5
aus
E
E
≤G≤
3
3
E
es gilt: G =
2(1 + µ )
v
z.B. Al: E = 72 GPa
µ = 0,34
G = 27GPa
Torsion eines Stabes:
β
r
d
Bogen s
Drehung M
h
α
R
fest
Holzylinder r,dr
Scherung um α : tgα =
β=
s
r
w
α=
s
für kleine Winkel
h
r
β
h
erforderliche Schubspannung
r
τ = Gα = G β
h
Schubspannung τ = Tangentialkraft dF(r) an Zylinder (r)
dF
r2
τ (r ) = r
dF = τ (r )2πrdr = 2πG βdr
dA
h
dA
x
y
z
|
{
=> Drehmoment auf Holzylinder:
r3
dM = rdF (r ) = 2πG βdr
h
Skript 1 Physik 1
- 51 -
Thon
gesamtes Drehmoment durch Integration
R
r3
π R4
M ges = dM = 2π
βdr = G
β
h
2
h
0
}
}
π R4
M =
„
Gβ =
2 h
ƒ‚
€
D*
β
~
Winkelrichtgröße
D*
Drehschwingung: Scheibe mit Trägheit
Scheibe mit Trägheitsmoment Js an Torsionsdraht => ω =
…
2π
T
h=1,01m
D*
JS
Durchmesser der Scheibe 143mm
R=4,2x10-4m
JS =
1
MR 2 = 8 ⋅ 10 −3 kgm 2
2
Masse der Scheibe MS = 3,14 kg
Schwingungsdauer T ~ 9,3s
D* =
D* =
2π
T
Š‹Œ
π
2
G
2
‡
ˆ‰
J S = 3,6 ⋅ 10 −3 kg
R4
h
†
m2
s2
G = 70GPa
2.11.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase
Unterschied zum Festkörper(FK): - Moleküle leicht beweglich
- keine feste Gestalt
− Flüssigkeiten: Molekülbestand ~ so wie im FK => schwer komprimierbar
− Gase: - Molekülabstände wesentlich größer als im FK(bei 1 bar ~ 10x größer)
- leicht komprimierbar; Dichte ca. 10-3 x FK
Druck, Kompressibilität (statisch: keine lineare Dehnung, keine Scherkräfte)
Aber: Kompression durch Druckänderung!
Skript 1 Physik 1
- 52 -
Thon
Normaldruck: 1atm = 760mmHG =ˆ 101325 Pa = 1013,25 hPa#
Druck = p
F
[Pa ] = N2
A
m
‘’
Ž

1 bar =105 Pa
technische Atmosphäre = 1 at = 1
kp
= 980,66 hPa
cm 2
− Ruhende Flüssigkeiten:
“
”
Pstat = ρ
Dichte
gh
Höhe der Flüssigkei tssäule
h
Hydrodynamisches Paradoxon: Bodendruck unabhängig von Gestalt der Flüssigkeitssäule,
nur von der Höhe abhängig!
U-Rohr-Manometer
P
h
Wasser, HG
Der Druck ist p = ∆hρa
Skript 1 Physik 1
- 53 -
Thon
Auftrieb in Flüssigkeiten:
F1
h1
h2
Kräfte auf beide Seitenflächen
heben sich auf!
F2
ρ Fl
A = Fläche (F1, F2)
∆FA = h2 ρgA − h1 ρgA
∆FA = (h2 − h1 ) Aρg = Vρg Auftrieb Gewicht des verdrängten Wassers
š
•™˜
•—–
Vol
−
Grenzfläche: Oberfläche
=> Bildung neuer Oberflächen erfordert Arbeit/ Fläche
δ =
dW Fdx F
=
=
dA 2ldx 2l
›
δ =
F
Oberflächen
2l
dx
Quantitativ:
R = 7cm FG(Ring in Luft) = 50mN
F(beim hochziehen mit Haut) = 110mN
δ =
l
F
N
= 7 ⋅ 10 − 2
2 ⋅ 2πR
m
Skript 1 Physik 1
- 54 -
Thon
Ableitung der Steighöhe:
Fδ = FG
Fδ = δl = δ 2πr
FG = πr 2 hδg
œ
h
Vollständige Benetzung (α=0°)
2r
2δ
h=
rρg
Bsp. Kapillar ein Pflanzen:
r = 0,1mm = 10-4 m
ρ=
1g
cm 3
δ = 0,07
N
=> h=143m
m
− Ruhende Gase:
Evakuierter Gaskolben gewogen
=> ρ Luft = 1,3
∆m = 5,4 g
V = 4l
g
kg
= 1,3 3
l
m
− Zusammenhang zwischen Druck und Volumen:
Zeit zwishen 2 Stößen
prop. zum Volumen
1
=> Kraft geht mit
v
V
F=p
£
=> p ⋅ V = cont
2V
Als Konsequenz der leichten Komprimierbarkeit => starke Abhängigkeit der Dichte von h

p = p 0 ⋅ exp −
¡¢
Skript 1 Physik 1
ρ 0πh
p 0r
žŸ
temp. = const.
- 55 -
Thon
Barometrische Höhenformel
h
h0
p0
101325 Nm 3 s 2
=
= 7998m(= h0 )
ρ 0 g 1,2928kgm 2 981m
p 1
Bei h0 = 8 km ist
= ≈ 37%
p0 e
p = p0 e
−
mit h0 =
2.11.3 Strömungsvorgänge
− Hydrodynamik: Strömung inkompressibler Flüssigkeit
− Aerodynamik: Strömung kompressibler Gase
Strömungsfeld:
Länge => Geschwindigkeit
Liniendichte => Stromdichte
A2
A1
Stromröhre:
Wand wird nicht von Flusslinien geschnitten!
Strömung = Massentransport => Transportgleichung
Ähnlich - Wärmetransport
- Ladungstransport
Je nach „Zähigkeit“ („Viskosität“) des Mediums und seiner Geschwindigkeit
2 Fälle:
− laminare Strömung (-> glatte Stromfäden)
− turbulente Strömung (-> Wirbelbildung)
¤
0
Laminare Strömung und innere Reibung
Wand (fest)
v(x)
u
Geschwindigkeit der Wand
Wand (beweglich)
Skript 1 Physik 1
- 56 -
Thon
Geschwindigkeits-Gradient
dv
dx
dv
Fläche dx
η
Reibungskraft: FR =
¥
¦
A
dynamische Zähigkeit (Viskosität )
Laminare Umströmung einer Kugel: FR = 6πηrv
FR
6πηrv
(r ) =
u 3
Fg
πr ρg
J
=> große Kugel fällt schneller!
Konstante Endgeschwindigkeit v ∞ aus:
FR (v∞ ) = v k ( ρ k − ρ A ) g
Glycerin: η (20°) = 0,85
§
Ns
m2
v∞ =
2 r 2 ∆ρg
g η
Stahl r = 1mm ∆ρ = 7 ⋅ 10 3
kg
m3
¨
v∞ = 2
cm
s
Kugelfall – Viskometer
©
Laminare Strömung durch zyl. Rohre
v(r)
Visk η
dv π R 4
=
∆p
dt 8η L
Konsequenz: Bei geringen Ablagerungen in den Adern erhöhter Blutdruck!
Volumenstrom
©
Strömung (inkompressibler) Flüssigkeit
Inkompression v = Au = const (Kontinuitätsgleichung)
ª
Skript 1 Physik 1
- 57 -
Thon
u1
u2
A1
A2
Engstele
Incl. Druck und Energie
Vor Engstelle
u1
p1
Geschwindigkeit
Druck
Beschleunigungsarbeit
In Engstelle
u2>u1
p2
1
2
2
m(u 2 − u1 ) = V ( p1 − p 2 )
2
V = A2 l 2 = A1l1 = const
p1 =
F1 F1l1
=
A1
V
F2 l 2
V
V ( p1 − p 2 ) = F1l1 − F2 l 2 = ∆W
1
2
2
Durch V geteilt: ( p1 − p 2 = ϕ (u 2 − u1 )
2
1
1
2
2
ptotal = p1 + ρu1 = p 2 + ρu 2
2
2
1
p stat + ϕu 2 = ptotoal = const <= Bernoullische Gleichung
2
p2=
Unterdruck
Stom
leichter
Unterdruck
Skript 1 Physik 1
- 58 -
Thon
Ball im Luftstrom
FR
Fquer
FG
Fquer wegen Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit
Luftwiderstand
Rx =
ρv 2
Cx
«
Wieders tan dsbeiwert "( Cw )"
A
2
¬
Querschnittsfläche
Auto mit Cw = 0,30 und ρ = 1,29
kg
m3
aus A = 4m2 und v = 40
m
=> Rx = 1,24kN
s
=>Rxv = 49,5 kW
Auftrieb einer Tragfläche:
Ry =
ρv 2
Cy
­
Autriebskoeffizient
2
gute Tragfläche K =
A
CY
max !
Cx
®
Turbulente Strömung (im Ggs. zur laminaren Strömung)
Typisch: Wirbelnde Durchmischung der Grenzschichten
Übergang laminar => turbulent
Charakterisiert mit Hilfe der Reynold’schen Zahl Re
Beschleunigungsarbeit luρ lu
=
=
Re ibungsarbeit
η
v
Re =
l = charakteristische Länge [m] z.B. Rohrradius
m
u = Geschwindigkeit des Mediums
z.B. v
s
kg
ρ = Dichte des Mediums
m3
²³´
°±
¯
¸¹º
¶·
µ
Skript 1 Physik 1
- 59 -
Thon
η = Zähigkeit
¾¿À
Ns
m2
¼½
»
η
Nms
= kinematische Zähigkeit
ρ
kg
v=
ÄÅÆ
Á
ÂÃ
Zur Herleitung „Dimensionsbetrachtung“
1
mu 2 → l 3 ρu 2
2
u
= Freib l = η A 2 l = ηl 2 u
l2 l
Wbeschl =
Wreib
=> Re =
Ç
l 3 ρ u 2 lρ u
=
η
ηl 2 u
klein
groß
Re
Beschl.-arbeit überwiegt (Re
=> ∞ ) reibungsfrei
Reibungsarbeit
dominiert => laminar!
=> turbulente Strömung
Fall
Re
Glattes Rohr
Re>1000 für turbulente Strömung
Fallendes Tröpfchen (Millikan)
Re<1 sonst gilt Stokessches Gesetz nicht!
Flugzeuge
Arbeiten bei Re ~ 106 => an kleinen Modellen nicht erreichbar
2.12 Spezielle Relativitätstheorie (SRT) (Relat. Mechanik)
2.12.1 Grundlagen
-
Inertialsystem
Gültigkeit der Newton’schen Gesetze
mit Galilei Transformation (GT) von einem IS zum IS‘
È
Kritik:
- Gleichzeitigkeit in verschiedenen Inertialsystemen
- Exp. Befunde des Michelson-Morley-Experiments
Minkowski- Raum (x,y,z,t)
Skript 1 Physik 1
- 60 -
Thon
Hier nur x- Koordinate und Zeit
neue Einheit von x: 1 Lichtsekunde [Ls] = 1cs = 3x108 m#
Experiment zur Ausbreitung von Licht
Medium für el. mag. Schwingung => Äther
Im Medium z.B. Luft:
Doppler Effekt: z.B. Bewegte Quelle
fB =
(c = Phasengeschwindigkeit)
" − "bei Annäherung
fQ
ve
1FV1
c
∆λ ∆f Q v E
km
=> d.h.
=
≈
s
fB
c
λ
vErde (um Sonne) ~30
km
s
= 10 −9 bequem nachweisbar!
5 km
3 ⋅ 10
s
30
É
Michl. Exp. => kein Äther
Die Lichtgeschwindigkeit hat unabhängig vom Bewegungszustand der App. den gleichen
Wert
Lorentz (1904): Maxwelle Gleichung invariant unter der sog. Lorentz Transformation
Newton’sche Gleichung invariant unter LT wenn m = γm0
v
0,9
2,3
0,1
1,005
c
8
0,99
71
Erl.syn. (Ee = 3,5 GeV
~ 7000
2.12.2 Einsteins spez. Relativitätstheorie
Ë
weitere Folgerungen: − F = p mit p = γm0 v
Ë
Ê
-
Ì
Ì
Äquivalenz von Masse und Energie E = mc 2
S
S’
x’
v(t)
Skript 1 Physik 1
x
- 61 -
Thon
Zeitdilatation (-dehnung)
Í
Einstein’sche Lichtuhr
L
Blitz
-
+
zl
c
′
′
x 2 = x1
Wenn PZ Blitz registriert wird instantan Blitz getriggert => Periode
zl
′
Annahme: Uhr ruht in S‘: t 2 − t1 − ∆t ′ =
c
Von S aus beobachtet:
c
L
x2
x1
∆t
2
x
3
v
∆t
L + v
2
2
2
ÑÒÓ
ÏÐ
Î
c∆t
=
2
∆t
2
2
ÑÒÓ
Î
ÏÐ
∆t 2 2
c − v2
4
2l
1
2l
∆t =
=γ
= γ∆t ′
2
c
c
v
1− 2
c
L2 =
(
Skript 1 Physik 1
)
- 62 -
Thon
Bewegte Uhren: gehen langsamer
1) π- Mesonen entsteht in ~ h=5km durch Höhenstrahlung
π ruhe ~ 2,6 10-8 bei vπ < c
Weg in einer Lebensdauer? L~ πc = 2,6 ⋅ 10 −8 × 3 ⋅10 8
m
~ 10m
s
t
N(t)= N0 e π
N 1
= ~ 37%
N0 e
N
500
Nach 500 ⋅ 100m
= (0,37 )
N0
Wegen Zeitdehnung Beobachtung in Meereshöhe möglich!
Nach t=τ ist
Ô
Gleichzeitigkeit (GZK) in verschiedenen Systemen
Õ
STR:
Messung der Ankunftszeit + Koordinaten auf Laufzeit
∆t (t ) =
x
c
t1
t 1’
Raumschiff
s
s’
Blitz
x1’
x1
∆t =
Õ
γv∆x′
c2
Längenkontraktion: Ein in S‘ ruh. Maßstab wird von S aus abgelesen. Position der beiden
Enden zur selben Zeit
t1 = t 2 = t
x1' = γ ( x1 − vt )
x2' = γ ( x2 − vt )
∆x′ = γ∆x
1
∆x = ∆x′
γ
Im täglichen Leben nicht relevant!
Skript 1 Physik 1
- 63 -
Thon
1
V = 30 km/h => γ
ÙÛ
Ú
Ù
Ý
1 v2
1−
2 c2
1
2
Ö
=
Ö
Ø
×
1
1 v2
~
1
+
= 10 −7
2
2
1v
2c
1−
2
2c
Ü
γ
ÙÚÛ
v
= 10 −7 1 + 5 ⋅ 10 −15
c
Ö
×Ø
Addition von Geschwindigkeiten
C in allen Systemen gleich
t
t’
u ′ = (u x' 0,0)
ß
s
s’
u′
à
vt
x’
x
LT: x = γ ( x′ + vt ′)
t = γ (t ′
v
x′)
c2
Nach t‘ diff und unformen:
dx
dx ′
v dx ′
=γ
+γ 2
dt ′
dt
c dt ′
Dx = γdx′ + γvdt ′
Mit u x =
dt = γdt ′ + γ
v
dt ′
c2
γdx′ + γvdt ′ dt ′
dx
dx
gilt u x =
=
:
dt
dt γdt ′ + γ v dx′ dx′
c2
á
Grenzfälle: u x' = c
Skript 1 Physik 1
Þ
ux =
ux =
u x' + v
vu '
1 + 2x
c
c + v c (c + v )
=
=c
v
c+v
1+
c
- 64 -
Thon
u x' + εc
u xi
'
ε
ε
~
u
+
c
1
+
x
εcu '
c
1+ 2 x
c
(
v << c = u x = +
)
æçè
ã
æ
ε
ã
äå
2
u x' + u x' + εc + ε 2u x'
c
v
â
æçè
u x' 1 +
æ
εu x'
ã
c
ã
äå
+v
~ u x' + v
Für kleine Relativgeschwindigkeit S-S‘ addieren sich die Geschwindigkeiten
Relativistische Dynamik (Impuls, Energie …)
é
d
d
u≠
u′
dt
dt ′
ê
ê
Wie Bewegungsgleichung abändern damit sie invariant gegen LT wird?
Ruhemasse
Relat. Impuls: p = γ m0 v
ð
ë
ï
ì™î
ì—í
m(v)
Relat. Energie: E = γ
m0 c 2
ñ
kin. Energie E kin = E − E0 = (γ − 1)m0c 2
Ruheenergie E0m0c 2
Ekin für
v
1
<< 1 = mv 2!!!
c
2
Bsp Bindungsenergie von Atomen:
[
frei
frei
M (Z , A ) < Z × M prot
+ ( A − Z )M neutron
]
Ebin = ZM p + ( A − Z )M p − M ( AZ ) c 2
ò
Bei Umsetzung von chemischen Prozessen(z.B. Verbrennung): 1m/m ~ 10-10
∆m
0,2GeV
Bei Kernspaltung :
~
~ 10 −6
m
235 × 938GeV
ó
Relat. Kraft: F =
ô
d
d
m0v
p= (
dt
dt
v2
1− 2
c
ô
ô
Annahme v in x Richtung => Fx = m0 3 ax
Fy = m0γa y
õ
ö
Fz = m0γa z
Skript 1 Physik 1
- 65 -
Thon
F||
a|| =
÷
3
γ m0
a⊥ =
÷
Fsenk
γm0
a⊥ > a||
÷
ø
ù
Beschleunigung hängt davon ab ob F parallel (||) oder senkrecht ( ⊥ ) zur
momentanen Geschwindigkeit steht
ù
Nicht erfüllt im allg.: a || F
ú
E2
Zusammenhang E-p:
= p 2 + m02 c 2
2
c
þÿ
þ
Für m0=0 (Photon Neutron) p ph =
E
c
û
û
üý
Einstein
hµ h
=
c
λ
λ=
h
de Broglie
p
Vierervektoren: x =(ct,x,y,z)
v =(γc,γvx, γvy, γvz
F
p (
, px, py , pz )
c
Betrag eines Vierevektors
b = b 2 − bx2 − bx2 − bz2
Skript 1 Physik 1
- 66 -
Thon
3
Thermodynamik
3.1 Grundlegende Begriffe
Thermodyn. Ggw.(naiv): Temperaturausgleich
Allg: Thermo Energie so verteilt, dass auf jedem Freiheitsgrad im Mittel die selbe Energie!
Temp./ Thermo. Energie = ein Maß für Wärmebewegung!
Sollte bei Tabs=0 zur Ruhe kommen Einschränkung durch Unschärferelation der QM
FK-körper
Flüssigkeit
geordnete
GitterStruktur
Atomsch
wingung
um
Ruhelage
-
Gas
unordnete
GitterStruktur
freie Bewegung aber
prakt. konst. Abstand
untereinander
keine
GitterStruktur
freibeweg
lich
Temp.erhöhung
zufällige Bewegung
Mittelwert
FK schmelzen
Flüssigkeiten verdampfen/aufgeheizt
Gase Dämpfe
Fusionsreaktion ionisiert Plasma
Thermodynamische Syteme:
- offene
- geschlossen: kein Massentransport
- abgeschlossen: kein Massentransport
+ Energieaustausch
•
Zustandsgröße: T, p, V (therm. Zustandsgrößen direkt Meßbar)
daraus abgeleitete Zustandsgrößen:
U = innere Energie
H = Entalpie
Zustandsfunktionen
S = Entropie
(nur Anfangs und Endzusatnd ab)
Skript 1 Physik 1
- 67 -
Thon
Wegunabhängigkeit (im Zustandsdiagramm) => wie bei konservativen Systemen ( ∆E pot
wegunabhängig)
Größen unabhängig von der Stoffmenge (p, T) oder abhängig von der Stoffmenge (<=
Masse
kg
) (U, H)
=> spezifiche Größen als Molmenge
mol
Messung der Temperatur:
–
p = const. T
Gasthermometer
T
p
= abs
p 0 300k
Einheit der Tabs =>
1 Kelvin =
T0 = 300K
1
Teil der Temperatur beim Tripelpunkt vom Wasser
273,16
ϑ
Celsiusskala:
°C
=
T
− 273,16
K
Für prakt. Gebrauch ist Skala der Temperaturmessung
von 1990 mit 20 Fixpunkten
Trippelpunktskala
Wasserstoff
Hg
H2O
13,8033 K
234,3156 K
273,16 K
SP von Indium
SP von Ac
SP von Cu
429,7485 K
933,473 K
1357,77K
Prakt. Meß´verfahren:
– Alk.-thermometer -110 - +210°C
– Thermoelemente Ni – CrNi
Thermische Ausdehnung:
Feste Körper (Draht, Stab): Längenausdehnung
α
l = l0 1 +
linearer Ausdehnungskoeffitie nt
Skript 1 Physik 1
(T − T0 )
- 68 -
Thon
Größenordnung für FK
= 10-5
K
Stoff
α × 10
Stahl
Al
Invarstahl
Quarzglas
Zerodur (Schott)
−5
K
1,1
2,4
0,09
0,05
noch geringer
– Volumenausdehnung
%
"
#
γ
V = V0 1 +
#
(T − T0 )
$
!
Volumenausdehnungskoeffizient
3
)
3
0
v(t ) ≈ l 1 + αTt
mit t = T-T0
*+,
'
(
&
<<1
0
≈ v 0 1 + 3α t + ...
123
-
.
/
γ =3α
Falls Ausdehnung bei T –Änderung behindert => sehr große Kräfte treten auf !!!
Bsp. Stahlstab:
A = 1 cm3 (Querschnitt)
α = 1,1 ⋅10 −5 K
∆T = 500 K
E = 2 ⋅ 1011 Pa
∆l
∆l
= α∆T → ε =
= 5,5 ⋅ 10 3
l
l
9
δ = εE → 1,1 ⋅ 10 Pa
F = δA → 1,1 ⋅ 10 5 N => Fges = 10t
Vflüss=V0[1+ flüsst+ ’t2+…] mit t=T-T
flüss ca 10-100 x größer als FK
4
5
4
Stoff
Wasser
Queksilber
Äthyl.-Alkohol
[1/k]
0.208 10-3
0.182 10-3
1.10 10-3
4
Anomalie von Wasser: Max Dichte bei δ =4°C
Skript 1 Physik 1
- 69 -
Thon
ρ[ g
cm 3
]
0,9998
ϑ[°C ]
1 2 3 4 5 6 7
•
Vol.-Ausdehnung von Gasen
p=const
V=V0[1+ (T-T0)] Gay Lussac
4
hat für „ideale“ Gase denselben Wert: =
5
4
1
1
=
273,15 K T0
Reale Gase folgen GL umso besser, je geringerer Dichte höher Temp.
• T-abhängigkeit des Druckes
(V=const)
p=p0[1+ (T-T0)] : =
6
3.1.1
6
4
Allg. Zustandsgleichung idealer Gase
1) p*V =const (Boyle Mariotte)
2) GL
pV
=>
= const
T
1) Bei Normalbedingungen (TN=0°C, pN=1013,25hPa=101325Pa)
einer gewissen Gasmenge
7
p V
pV
= N N mit VN=
T
TN
m
ρN
pV=mRiT mit m=Masse des Gases Ri=
Skript 1 Physik 1
pN
TN ρ N
- 70 -
indiv. Gaskonst
Thon
RLuft=
J
101325kgm 2 m 3
=> RLuft=287
2
2
kgK
273,15km ⋅ 1,293kgs
2. Möglichkeit
über Molvolumen Vm normal =22,414 l/mol
Avagadrösche Zahl: NA =6,02214*1023teilchen/mol
=>Stoffmenge in Mol (m -> = Zahl der Mole ) VN = Vm
8
8
normal
p V
J
=> pV= RmT mit Rm= N N = 8,3145
Universelle(molare) Gaskonstante
TN
molK
8
3) Auf Moleküle bezogen: N= NA
8
pV = N
3.2
RM
R
J
T = NkT mit k = M = 1,3807 ⋅ 10 − 23
NA
NA
K
Kinetische Gastheorie: Mikroskop. Erklärung des Drucks
Vorher:
Film: Brownsche Molekularbewegung (~1827 entdeckt)
Modellgas
vi
Annahme: Elastische Stöße mit
- Wand
- anderen Teilchen
v
z
Beim Auftreffen auf Wand: px=2mmvx
y
9
x
∆p x 2mM v x mM v x2
Fx =
=
=
a
∆t
a
2
vx
:
;
;
F
F
m v2 m v2
Druck = x = 2x = M 3 x = M x
A a
a
a
Skript 1 Physik 1
- 71 -
Thon
Verallg. Zu: N-Teilchen
3D (vx2=vy2=vz2=1/3 v2) alle v quer)
1N
m M v 2 Grundgleichung der kin Gastheorie
3V
1
p = ρv 2 mit Dichte
3
p=
<
Mittlere Geschwindigkeit v M = v RMS = v 2
Luft bei Normalbedingung v M =
(RMS=Root Mean Square)
3p
ρ
3.2.1 thermische Energie und Temperatur
[
]
1
N m M v 2 = NkT
3
3
=> E kin = kT
2
pV =
=> v M =
3R M T
3kT
=
mM
M
=
[2Ekin]
(vM prop Wurzel T)
Molmasse
• Gleichverteilungssatz:
Bewegung in drei Raumrichtungen: f=3
E kin =
3
kT
2
>
E kin 1
= kT
f
2
Moleküle mit Struktur => zusätlich Freiheitsgrademöglich :f >3!
Barometrische Höhenformel (bei T=const.) (=>Boltzmann-Verteilung)
∆p = − p(h) g∆h dp = −
h
p (h) g
dh
p
pV = p 0V0
p V0
p
=
=
p0 V
p0
Flüssigkeits oder Gassäule
Skript 1 Physik 1
- 72 -
Thon
p
dp
=
p
p0
?
?
p g
pg p p 0
=
dh = 0
p p p0
p0
k
0
CDE
k
?
@
AB
dh
p0 g
p0 h
p g
p
ln
= 0
p0
p0 h
[lnx] pp = −
0
ρ0g
h
p = p0 e p0 h = p0 e h0
Allg. Zustandsgleichung idealer Gase
1)
2)
pV = m Ri T
pV = Rm T
3)
pV = NkT
m=Masse Ri=indiv. Gaskonstante
=Molzahl Rm=molare Masse
R
k = M Bolzmannkonstante
NA
F
kinet. Gastheorie: p =
F
1N
m M v 2 v RMS = v 2
3V
E 1
= kT
f 2
E pro Freiheitsgrad:
T=Temperatur[k]
ϑ =Temp in C [C]
3.2.2 Barometrische Höhenformel
G
p = p 0 exp
ρ 0 gh
JKL
p0
HI
(Vor.: T=T0=const)
Mit p 0 =
lT0 ρ 0
gilt
mM
M
M
∆E pot
m gh
n ( h)
= exp − M
= exp −
n0
kt
kt
Q
PQR
PR
N
NO
bei Temp. T im thermischen Gleichgewicht
O
2 Zustände:
g
E − E1
N
´= 2 exp − 2
2
g1
kt
N
S
VWX
Skript 1 Physik 1
TU
- 73 -
Thon
Pi = Cg i e
Allgemein:
−
Ei
kt
PI = 1
Ei=E vom Zustand i (I=1,2,3…)
gi= statist. Gewichte
Pi = Wahrscheinlicher Zustand i
C =Norm. Konstante
Y
Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen
3D Geschwindigkeitsraum:
Kugelschale Dicke dv
r
Ei
Z
v KS = 4πv 2 dv
1
mM v 2
2
[
f (v)dv = C 4πv 2 dv exp −
^_`
mM v
2kT
2
\]
∞
Wahrscheinlich, das Teilchen in [v, v+dv]
f (v ) => Normkons tan te
a
0
b
3
2
mM
mM v 2
f (v)dv = 4πv
exp −
2πkT
2kT
Maxwell- Boltzmann Verteilung
2
klm
h
efg
ij
Skript 1 Physik 1
cd
ruhendes Gas
- 74 -
Thon
f(v)
vW
vRMS
v
v
2kT
mM
v RMS = v 2 =
v = v2 =
8kT
= 0,92v RMS
πm M
vv = v 2 =
2kT
= 0,82v RMS
mM
H2
VRMS =
3p
ρ
→
Luft
T0 p0
Skript 1 Physik 1
485
m
s
n
- 75 -
Thon
3.3
Hauptsätze der Thermodynamik
3.3.1 Wärmeenergie
dQ= CdT
Q=Wärmemenge [J] C=Wärmekapazität
dT=T-änder
auf Massen bezogen: Spezifische WK: c =
auf Mole bezogen: Molare WK c M =
-
C
[J/Kkg]
m
C
[J/Kmol]
v
FK und Flüssigkeiten:~ inkompressibel
Gas kompressibel => Arbeitsleist. Gegen äuß. Druck berücksichtigen
p = const => cp
v = const => cv
Zufuhr
Wärmeenergie => Erwärmung
=> Phasenübergang – Verdampfen/Kondensieren
- Schmelzen/Erstarren
Erstarren einer unterkühlten Schmelze Na2S2O3SH3O(Natriumthiosulfat)
SP: ϑ = 48,2 C
3.3.2
1. Hauptsatz der Thermodynamik
In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe der Energie konstant. Verschiedene
Energieformen können sich ineinander umwandeln
•
Innere Energie U (=> Wärmebewegung)
dU = δQ + δW zugeführt: positiv
Ideales Gas:
Nur von T abhängig, nicht von V!
f
f
U = N kT = ν RmT
2
2
v = const => dU = νC mv fT
( δW = 0 )
Verdrängungsarbeit dW bei geändertem Volumen
A
δW = Fds = − pdV
P
v2
W12 = − p (V )dV
o
v1
Skript 1 Physik 1
- 76 -
Thon
P
v1
3.3.3
V
v2
Wärmekapazität und Molare Bewegung
dU = νC mp dT − pdV
dU = νC mv dT
C mp − C mv =
p dV
= Rm
ν dT
f
Rm T folgt
2
f
= Rm
2
f
=
+1 R
2
Aus U = ν
C mv
p
stu
C mp
qr
Iseutropenexponent
(Änderung bei konst. Eutropie)
C mp
2
χ=
= 1+
C mv
f
v
z{|
w
z
w
xy
Mol
Einatomig
(Edelgas)
Starre Hantel
Schwing. Hantel
Translat.
Rot.
Vibr.
3
_
_
3
3
2
2
2
3.3.4 Zustandsnderungen idealer Gase
a)
Isotherme ZÄ T=const.
p(v)
v2
Skript 1 Physik 1
v1
- 77 -
Thon
v2
}
W12 = − p(V )dV mit p(V ) =
v1
W12 = νRm T ln
v1
v2
T = const => U = const
dU = δQ + δW = 0
P
T1
1
νRm T
V
T2
W12 = -Q12
Isothermo
T2 > T1
v2
V
v1
b)
Isochore Zustandsänderungen (ZÄ)
V = const. keine mech. Arbeit !
Q12 = νC mv (T2 − T1 )
P
T1
T2
Isobar
Isochor
V
v = const
c)
Isobare ZÄ
p = const
V νRm
=
= const
T
P
Q12 = νC mp (T2 − T1 )
W12 = − p (V2 − V1 )
δQ − dU − δW
~
~
Q12 = (U 2 − U 1 ) + p (V2 − V1 )
C mp > C mv
Skript 1 Physik 1
- 78 -
Thon
d)
Iseutrope ZÄ
δQ = 0
Iso – Eutropie
(Zylinderthermisch isoliert)
=> Poisson’sche Zustandsgleichung
pV χ = const
TV − χ = const
χ
T p
− ( χ −1)
ideales Gas
= const
Tabelle (Hering-Buch S.170)
3.3.5 Kreisprozesse (ideale Gase)
P
abgegebene Verdrängungsarbeit W12
1
2
aufgenom. Verdrängungsarbeit W21
‚
Nutzarbeit:
V
W = δW
‚
= p(V )dV
rechstläufig, (linksläufig)
Für geschlossene Wege:
€
∆T = const dh. U = const d.h.

U = const
1. Hauptsatz => δW + δQ = 0


rechtsläufig
Kraftmaschine (Motor)
Wärmefluss
bei T2 > T1 aufgenommen
bei T1 abgegeben
linksläufig
Arbeitsmaschine (z.B.
Wärmepumpe
bei T1 < T2 aufgenommen
bei T2 abgegeben
Energiefluss im rechtläufigen Caruotprozess:
Skript 1 Physik 1
- 79 -
Thon
Quelle
T3
Qzu
abgegebene Nutzarbeit
ƒ
w = pdV
Senke
T1
Therm. Wirkungsgrad
W
allg. Def.
η +U =
Q zu
Caruot Prozess:
η th,Caruot =
z.B.:
T3 − T1
T
= 1− 1
T3
T3
ϑ1 = 50°C
ϑ2 = 500°C
η th,C = 58%
(Obere Grenze für technische Kreisprozesse)
Skript 1 Physik 1
- 80 -
Thon