Ganzheitsringe von Kreisteilungskörper

Ganzheitsringe von Kreisteilungskörper
Bachelorarbeit
von
Till Heller
geboren am 25. Juli 1991 in Bad Friedrichshall
18. August 2013
Betreuer:
Prof. Dr. J. Steuding
Universität Würzburg
Fachbereich Mathematik
Lehrstuhl IV (Funktionentheorie)
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst, keine anderen als die
angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet und die Arbeit keiner anderen Prüfungsbehörde
unter Erlangung eines akademischen Grades vorgelegt habe.
___________________________
Ort, Datum
Till Heller
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Historischer Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Deklaration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Euklidische Ringe und Idealtheorie
2.1 Euklidische Ringe . . . . . . . . . .
2.2 Ganzheitsringe . . . . . . . . . . .
2.3 Idealtheorie . . . . . . . . . . . . .
2.4 Die Klassenzahl . . . . . . . . . . .
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3 Betrachtungen über Zahlkörper
3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Normeuklidische Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Der
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Kreisteilungskörper und dessen Ganzheitsring
Der Kreisteilungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Ganzheitsring eines Kreisteilungskörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Diskriminante eines Kreisteilungskörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Beispielfälle
5.1 Der Fall n=4
5.2 Der Fall n=7
5.3 Der Fall n=8
5.4 Der Fall n=15
5.5 Der Fall n=23
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6 Resultate
6.1 Große Fermat’sche Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Faktorielle Ganzheitsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Euklidische Ganzheitsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Grundlagen
7.1 Tiefergehende Lineare Algebra
7.2 Zahlentheorie . . . . . . . . . .
7.3 Gruppentheorie . . . . . . . . .
7.4 Ringtheorie . . . . . . . . . . .
7.5 Körpertheorie . . . . . . . . . .
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8 Quellen
8.1 Bücher und Veröffentlichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Weblinks zu historischen Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1
Einleitung
Vorwort
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der unterschiedlichen Struktur der Ganzheitsringe von Kreisteilungskörpern. Ziel ist es, einige euklidische Ganzheitsringe von Kreisteilungskörpern zu bestimmen.
Diese sind von besonderer Bedeutung, da in diesen Ringen Arithmetik1 betrieben werden kann.
Zunächst werden euklidische Ringe und allgemeinere Strukturen von Ringen, darunter auch Ganzheitsringe von Zahlkörpern definiert. Ausgehend von diesen Ringen folgert man die Idealtheorie,
die mit der Klassenzahl ein wichtiges Instrument zur Bestimmung von faktoriellen Ganzheitsringen
liefert, welches im fünften Kapitel auch Verwendung findet.
Im dritten Kapitel werden zunächst Zahlkörper betrachtet um einige allgemeinere Ergebnisse zu
folgern, die dann später auf Kreisteilungskörper spezifiziert werden.
Die Hinführung zu Kreisteilungspolynomen und deren Zerfällungskörpern findet sich im darauffolgenden Kapitel.
Des weiteren sind beispielhaft die Untersuchungen für n = 4, 7, 8, 15, 23 in Kapitel fünf dargestellt,
die die unterschiedlichen Beweisstrukturen für die verschiedenen Ganzheitsringe deutlich machen
soll. Die Resultate verschiedener Mathematiker sind im sechsten Kapitel aufgeführt, darunter das
historisch wichtige Ergebnis von Kummer und weitere spezifischere Klassifizierungen von faktoriellen bzw. euklidischen Ganzheitsringen.
Im Anhang werden Definitionen und Sätze aus den tiefergehenden Vorlesungen über Zahlentheorie
und Algebra vorgestellt, die in dieser Arbeit verwendet werden.
1.2
Historischer Hintergrund
Den Ganzheitsringen von Kreisteilungskörpern wurde im Zuge der Beweisversuche der Großen Fermat’schen Vermutung eine größere Aufmerksamkeit und Wichtigkeit zuteil. Die Große Fermat’sche
Vermutung, von Pierre Fermat irgendwann zwischen den Jahren 1637 und 1643 aufgestellt, besagt,
dass es keine nichttrivialen Lösungen der Gleichung
xn + y n = z n
für x, y, z ∈ Z und n ≥ 3 gibt. Das einfache Verständnis dieser Aussage und der Tatsache, dass
Pierre Fermat in seinen Notizen schrieb, er hätte einen „wundervollen“ Beweis dieser Vermutung
gefunden, trieb Mathematiker an, dieses Problem zu lösen.
Recht früh erkannte man, dass man „nur“ die Fälle n = 4 und n = p, p ∈ P, zu betrachten hat.
Denn ist n > 2 keine Primzahl, so wird sie von 4 oder einer ungeraden Primzahl geteilt. Seien nun
e = 4 oder e ∈ P und d ∈ N mit n = de. Ferner sei an + bn = cn eine Lösung zum Exponenten n.
Dann existiert auch eine Lösung zum Exponenten e, gegeben durch (ad )e + (bd )e = (cd )e . Somit
reicht es zu zeigen, dass die Fermat’sche Vermutung für alle Primzahlen und n = 4 gültig ist.
Die Gleichung der Großen Fermat’schen Vermutung kann zu
xp = z p − y p =
p
Y
(z − ξpi y)
i=1
mit ξp als primitive p-te Einheitswurzel umgeschrieben werden. Dadurch wird nun eine Faktorisierung in Z[ξp ] betrachtet. Dieser Ring ist der sogenannte Ganzheitsring von Q(ξp ) und er umfasst
alle Elemente aus Q(ξp ), die ein Polynom mit Koeffizienten aus Z annulliert. Somit spielt der
Ganzheitsring des Kreisteilungskörpers eine wichtige Rolle bei diesem Beweisansatz der Großen
Fermat’schen Vermutung für p ∈ P.
Ernst Kummer erkannte, dass in solchen Ganzheitsringen jedoch nicht zwangsläufig eine eindeutige
Primfaktorzerlegung gegeben ist. In solchen Ringen sprach Kummer von „idealen Zahlen“, die dem
heutigen Verständnis von Idealen entsprechen. Diese Erkenntnis widerlegte einige vorangegangene
Beweisversuche, da Lamé und auch Kummer zuvor angenommen hatten, diese Zerlegung würde
auch in Z[ξp ] existieren. Mit Hilfe eines weiteren Hilfsmittels, der Klassenzahl, konnte Kummer die
Charakterisierung von Z[ξp ] vorantreiben und schuf somit den Grundstein der Idealtheorie. Die
1 Die Arithmetik ermöglicht eine Betrachtung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Zahlen, der Division mit Rest und weitere Teilbarkeitsbeziehungen. Desweiteren existiert eine eindeutige Primfaktorzerlegung. In
euklidischen Ringen ist dies möglich, in allgemeineren Ringen dagegen muss eventuell auf Primideale ausgewichen
werden um eine Primfaktorzerlegung zu definieren. Mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, der nach Definition in
euklidischen Ringen existiert, lässt sich eine solche Primfaktorzerlegung bestimmen.
2
Klassenzahl ist ein Maß dafür, wie „weit“ ein Ganzheitsring, allgemeiner ein Dedekindring, von
einer eindeutigen Primfaktorzerlegung „entfernt“ ist.
Letzten Endes entdeckte er eine Klasse von Primzahlen, für die die Aussage der Großen Fermat’schen Vermutung richtig ist, die sogenannten regulären Primzahlen. Doch auch hier liegt im
Allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Primideale vor. Im Jahre 1995 wurde die Große Fermat’sche Vermutung schließlich von Andrew Wiles und Richard Taylor bewiesen. Man nimmt
heutzutage an, dass Pierre de Fermat lediglich einen Beweis für den Fall n = 4 gefundet hatte,
da die nach heutigen Kenntnissen notwendigen Hilfsmittel erst später geschaffen wurden. Dennoch
gab Pierre de Fermat den Anstoß, diese speziellen Ganzheitsringe genauer zu betrachten und zu
untersuchen. Im weiteren Verlauf wurden diese Ringe immer genauer charakterisiert; neben weiteren Mathematikern leisteten Montgomery, Uchida, Masley und Lenstra maßgebliche Arbeit.
1.3
Deklaration
In der gesamten Arbeit soll ein Ring immer kommutativ sein und ein Einselement 1 besitzen. Die
Menge der Primzahlen wird mit P bezeichnet.
3
2
Euklidische Ringe und Idealtheorie
In diesem Kapitel werden im ersten Abschnitt die grundlegende Ringstrukturen und ihre Beziehungen zu einander dargelegt. Im zweiten Abschnitt wird eine weitere Klasse von Ringen definiert,
die Ganzheitsringe, die Gegenstand der Betrachtungen dieser Arbeit sind. Um diese Ganzheitsringe in die aus dem ersten Abschnitt bekannten Klassen von Ringen einordnen zu können, werden
Hilfsmittel aus der Idealtheorie benötigt, diese sind im dritten Abschnitt zu finden. Hierbei wird
zunächst eine weitere Klasse von Ringen eingeführt, die sogenannten Dedekindringe, die eine allgemeinere Struktur beschreiben. Mit Hilfe dieser Ringe lässt sich nun im vierten Abschnitt das
zentrale Hilfsmittel zur Charakterisierung von Dedekindringen, die Klassenzahl, erklären.
Da eine zentrale Fragestellung dieser Arbeit sich mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung beschäftigt (siehe Kapitel „faktorielle Ganzheitsringe“), ist zunächst zu klären, was denn ein Primelement ist. Eng verbunden mit dem Begriff eines primen Elementes ist der des irreduziblen Elementes,
da diese beiden Eigenschaften in Hauptidealringen, wie zum Beispiel in Z, äquivalent sind.
Im Folgenden sei durch R immer ein Ring beschrieben.
Definition 2.1. Ein Element p ∈ R\R∗ heißt irreduzibel in R, falls aus p = ab mit a, b ∈ R folgt
a ∈ R∗ oder b ∈ R∗ . Hierbei bezeichnet R∗ die Einheitengruppe von R, d.h. alle invertierbaren
Elemente aus R (vgl. Definition 7.4.1). Im Folgenden soll R∗ immer die Einheitengruppe von R
beschreiben.
Definition 2.2. Ein Element p ∈ R\R∗ heißt prim, wenn für alle a, b ∈ R gilt: p | ab impliziert
p | a oder p | b.
Mithilfe obiger Definition können wir nun die Primfaktorzerlegung definieren, die im weiteren
Verlauf ein zentraler Punkt der Untersuchung sein wird. Zunächst definieren wir diese für natürliche
Zahlen, für allgemeine Ringe folgt die Definition analog.
Definition 2.3. Sei n eine natürliche Zahl. Eine Zahl p ∈ N heißt Primfaktor von n, wenn p die
Zahl n teilt und p ∈ P gilt. Die Darstellung
n=
k
Y
pekk
i=1
mit verschiedenen Primfaktoren pk und deren Exponenten ek heißt Primfaktorzerlegung von n.
Diese Aussage, dass jede Zahl n ∈ N eine solche eindeutige Darstellung besitzt, ist auch als
Fundamentalsatz der Arithmetik bekannt. Obwohl der erste vollständige Beweis dieses Satzes von
Carl Friedrich Gauß in seinem Werk Disquisitiones Arithmeticae erst 1801 veröffentlicht wurde,
war diese Aussage schon Euklid (∼ 300 v. Chr.) bekannt, wenn auch in leicht abgewandelter Form.
2.1
Euklidische Ringe
Ziel dieses Abschnittes ist die Definition von euklidischen Ringen, die, wie sich herausstellen wird,
in allen anderen Klassen von Ringen enthalten ist, die wir kennen lernen werden. Bevor euklidische
Ringe definiert werden können, benötigt man zunächst einige allgemeinere Strukturen von Ringen.
Definition 2.4. Ein Ring R heißt Integritätsbereich oder nullteilerfrei, wenn R 6= {0} und R keine
Nullteiler besitzt.
Ein Element a 6= 0 aus R wird als Nullteiler bezeichnet, wenn ein b 6= 0 in R existiert, sodass
ab = 0 gilt.
Beispiel 2.5. Ein Beispiel für einen Integritätsring ist Z. Doch auch Z[x], der Ring aller Polynome
mit Koeffizienten aus Z, ist ein Integritätsring.
Im weiteren Verlauf dieser Arbeit soll jeder Ring R zugleich ein Integritätsring sein. In Integritätsringen gilt folgende Implikation der zwei obigen Eigenschaften.
Satz 2.6. Sei R ein Integritätsring. Für p ∈ R gilt: Ist p prim, so auch irreduzibel.
Beweis. Aus p = ab für a, b ∈ R folgt p | a oder p | b. Somit folgt b ∈ R∗ oder a ∈ R∗ .
4
Die Umkehrung dieser Aussage gilt im Allgemeinen nicht. In Hauptidealringen stimmt jedoch
der Begriff irreduzibles Element und primes Element überein.
Innerhalb eines Ringes R kann man eine Struktur definieren, um diese genauer zu charakterisieren. Desweiteren kann somit die Primfaktorzerlegung verallgemeinert werden.
Definition 2.7. Es sei R ein Ring. Eine Teilmenge A ⊆ R heißt Ideal in R, wenn gilt:
i) A ist eine additive Untergruppe von R.
ii) Aus r ∈ R, a ∈ A folgt ra ∈ A.
Der deutsche Mathematiker Ernst Kummer2 sprach in allgemeineren Ringen schon von „idealen
Zahlen“, heute spricht man von Idealen. In gewissem Sinne sind Ideale also eine Abstraktion der
herkömmlichen Zahlen wie sie aus Z oder N bekannt sind.
Ausgehend von beliebigen Idealen A, B ⊆ R kann man weitere Ideale konstruieren:
A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}
A·B ={
n
X
ai bi |ai ∈ A, bi ∈ B, n ∈ N}
i=1
Es ist also möglich, mit den Idealen zu „rechnen“. Auch Teilbarkeitsbeziehungen lassen sich auf
Ideale übertragen, wie sich in der nächsten Definition zeigt.
Definition 2.8. Seien I 6= 0 und J zwei Ideale in einem Ring R. Dann teilt I das Ideal J,
geschrieben I | J, genau dann, wenn ein weiteres Ideal H in R existiert, sodass
J = IH
gilt.
Aus dieser Definition folgt unmittelbar ein grundlegendes Korollar.
Korollar 2.9. Sei R ein Ring. Seien ferner I, J Ideale in R. Wenn I | J gilt, dann folgt I ⊇ J.
Beweis. Nach obiger Definition existiert wegen I | J ein Ideal H mit J = IH. Nach der Definition
eines Ideals folgt ferner IH ⊆ I, also J ⊆ I.
Definition 2.10. Es sei R ein Ring. Ein Ideal A ⊆ R heißt prim oder Primideal, wenn A von R
verschieden ist und wenn für a, b ∈ R mit ab ∈ A stets a ∈ A oder b ∈ A folgt.
Die anschließende zweite Definition von Primidealen ist äquivalent zur oberen, macht jedoch
den Zusammenhang zu Primzahlen noch deutlicher.
Definition 2.11. Ein Ideal P 6= 0 eines Ringes R heißt Primideal, wenn gilt: P | IJ, mit I, J
Ideale in R, so folgt P | I oder P | J.
Da wir uns in dieser Arbeit mit der Primfaktorzerlegung in Ganzheitsringen von Kreisteilungskörpern auseinandersetzen, ist es notwendig diese Primfaktorzerlegung etwas genauer zu untersuchen.
√ Eine Zerlegung in Primfaktoren existiert im Allgemeinen jedoch nicht. So wird z.B. im Ring
Z[ −5] die Zahl 6 auf folgende Weise zerlegt:
√
√
6 = 2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
Hierbei sieht man, dass die Primfaktorzerlegung im Allgemeinen also nicht eindeutig ist. Geht
man nun allerdings über zu einer Primidealzerlegung, so kann man wenigstens hier eine eindeutige
Zerlegung erreichen. Hierbei betrachtet man nun nicht mehr die Zahl 6, sondern das Ideal (6). In
diesem Fall existiert nun für dieses Beispiel eine eindeutige Zerlegung in Primideale. Die eindeutige
Primfaktorzerlegung und Primidealzerlegung werden wir im weiteren Verlauf dieser Arbeit noch
spezifizieren.
Eine weitere wichtige Klasse von Idealen wird durch die nächste Definition eingeführt. Sie
spielen besonders bei Betrachtung von Faktorringen eine große Rolle, es sind genau die Ideale M
für die der Faktorring R/M ein Körper bildet (vgl. Lemma 7.4.6).
2 Ernst Kummer (1810 - 1893) war ein deutscher Mathematiker, der vor allem in den Bereichen Zahlentheorie
und Analysis forschte. Bei der Untersuchung von Ringen führte er die sogenannten idealen Zahlen ein um den Begriff
der Primfaktorzerlegung zu verallgemeinern. Mit Ergebnissen über die idealen Zahlen legte er den Grundstein der
Idealtheorie, die im späteren Verlauf von P. Dirichlet und L. Kronecker erweitert wurde.
5
Definition 2.12. Es sei R ein Ring. Ein Ideal A ⊆ R heißt maximal, wenn A von R verschieden
ist und wenn gilt: Ist A ⊆ R ein Ideal mit A ⊆ B ⊆ R, so folgt B = A oder B = R.
Da für jedes Primideal P der Faktorring R/P ein Integritätsring ist, ist jedes maximale Ideal
ein Primideal (vgl. Lemma 7.4.6). Später werden wir Dedekindringe so definieren, dass diese Eigenschaften äquivalent zueinander sind.
Definition 2.13. Für a ∈ R nennt man Ra = {ra | r ∈ R} das von a erzeugte Ideal. Ist das Ideal
nur von einem a ∈ R erzeugt, so nennt man (a) auch Hauptideal. Diese Bezeichnung kann man auf
allgemeine Ideale ausweiten, so nennt man Ra1 + Ra2 + ... + Ran = {ra1 + ra2 + ... + ran | r ∈ R}
für a1 , a2 , ..., an ∈ R das von a1 , a2 , ..., an erzeugte Ideal.
Sind alle Ideale eines Ringes R von je einem Element aus R erzeugt, so besitzt R eine besondere
Struktur.
Definition 2.14. Ist R ein Integritätsbereich und ist jedes Ideal in R ein Hauptideal, so heißt R
Hauptidealring.
Beispiel 2.15. Der Ring Z ist nicht nur ein Integritätsring, sondern auch ein Hauptidealring. Die
Ideale von Z sind von der Form nZ, n ∈ N.
Ein weiterer Hauptidealring ist der Ring der ganzen gaußschen Zahlen, Z[i], wie sich in Kapitel
5.1 zeigen wird. Kein Hauptidealring dagegen ist der Ring Z[x], da das Ideal (2, x) nicht durch ein
Polynom aus diesem Ring erzeugt werden kann.
Wie am Anfang dieses Abschnittes angedeutet, gilt in Hauptidealringen folgender Satz. Somit
kann es in Hauptidealringen keine irreduziblen nichtprimen Elemente geben.
Satz 2.16. Sei R ein Hauptidealring. Dann gilt: Ist p irreduzibel, so auch prim.
Beweis. Da p irreduzibel ist, ist R/pR nach Satz 5.4.6 ein Körper, also insbesondere nullteilerfrei.
Mit Satz 5.4.7 ist p prim.
Eine weitere Klasse von Ringen bilden die faktoriellen Ringe. In diesen existiert eine eindeutige
Primfaktorzerlegung; sie werden deshalb auch in manchen Büchern als ZPE-Ring (Zerlegung in
Primelemente eindeutig) bezeichnet.
Definition 2.17. Ein Integritätsring R heißt faktorieller Ring, wenn jedes Element aus R\(R∗ ∪
{0}) durch ein Produkt von (endlich vielen) irreduziblen Elementen dargestellt werden kann und
diese Produktdarstellung im Wesentlichen eindeutig ist (d.h. aus a1 a2 ...an = b1 b2 ...bm mit irreduziblen ai , bj ∈ R folgt n = m und ai = bφ(i) für eine Permutation φ ∈ Sn ).
Da diese Definition für eine Charakterisierung eines gegebenen Ringes sehr unhandlich ist, bietet der nächste Satz eine äquivalente Beschreibung faktorieller Ringe. Zuvor wird jedoch noch eine
notwendige Klasse von Ringen definiert. Der Begriff noethersch geht auf die Mathematikerin Emmy
Noether3 zurück.
Nach Definition 7.4.2 wissen wir, dass jede geordnete Menge (S, ≤) noethersch heißt, wenn jede
Teilmenge X ⊆ S ein maximales Element m ∈ X besitzt. Desweiteren gilt die äquivalente Charakterisierung, dass jede Kette von Elementen in S schließlich konstant ist (vgl. Lemma 7.4.3).
Überträgt man die Eigenschaft noethersch auf Ringe, so folgt nach Satz 7.4.4, dass ein Ring R
genau dann noethersch ist, wenn alle seine Ideale endlich erzeugt sind. Diese Aussagen und ihre
Beweise finden sich im Anhang unter dem Abschnitt „Ringtheorie“.
Satz 2.18. Ein Integritätsring ist genau dann faktoriell, wenn
i) die Menge der Hauptideale noethersch ist und
ii) alle irreduziblen Elemente prim sind.
Beweis. Sei R ein faktorieller Ring und a ∈ R\(R∗ ∪ {0}). Dann existieren irreduzible Elemente
pi mit a = p1 ...pn . Da R faktoriell ist, lassen sich alle Teiler b von a bis auf Elemente aus R∗ als
Produkt von einigen pi darstellen. Somit kann es nur endlich viele Hauptideale bR geben, die aR
umfassen. Die Kette der Hauptideale ist also noethersch.
3 Emmy Noether (1882-1935) war eine deutsche Mathematikern, die die Theorie über Ringe und Körper maßgeblich beeinflusste und in diesem Bereich grundlegende Ergebnisse entdeckte. In ihrer Forschung wendete sie sich
auch der allgemeinen Idealtheorie zu und leistete große Arbeit in der theoretischen Physik. Sie war zudem die erste
Frau, die in Deutschland im Fachbereich Mathematik habilitierte.
6
Q
Q
Sei p ∈ R irreduzibel
a, b ∈QR. Es sei a, b 6=
Q und ein Teiler von ab mit Q
Q0 und a = pi , b = qi .
Ferner sei ab/p =
ri . Da die Zerlegung von
pi qi = ab = p ri (bis auf Einheiten und
Reihenfolge) eindeutig ist, folgt p | a oder p | b.
Seien nun i) und ii) gegeben. Sei aR = (a) maximal in der Menge der Hauptideale (b) mit b ∈
R\(R∗ ∪ {0}) ohne Zerlegung in irreduzible Elemente. Ferner sei (m) maximal in der Menge der
Hauptideale I mit (a) ⊆ I 6= R.
Da (a) ⊆ (m) gilt, ist m ein Teiler von a. Weiter gilt (a) ⊂ (a/m), also eine echte Teilmenge,
da m keine Einheit ist. Somit hat a/m = p1 ...pm eine Zerlegung in irreduzible Elemente. Wegen
der Maximalität von (m) ist m irreduzibel und somit besitzt auch a = mp1 ...pk eine irreduzible
Zerlegung. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, a sei nicht in irreduzible Elemente zerlegbar.
Weiter ist die Eindeutigkeit dieser Zerlegung zu zeigen. Seien p1 ...pm = q1 ...qn zwei Zerlegungen
von a. Da beide Seiten durch p1 teilbar sind und p1 nach Bedingung ii) assoziiert zu einem qj ist,
können (bis auf Einheiten) alle pi und qj weggekürzt werden und es folgt m = n. Zudem existiert
eine Bijektion σ auf {1, ..., n} mit pi = qσ(i) für alle i = 1, ..., n.
Definition 2.19. Sei R ein Integritätsbereich. R heißt euklidischer Ring, wenn eine Gradfunktion,
auch euklidische Funktion genannt,
γ : R\{0} → N0
existiert, so dass zu
a, b ∈ R mit b 6= 0 Elemente q, r ∈ R mit a = bq + r und r = 0 oder γ(r) < γ(b)
existieren (Division mit Rest). Auch wenn die naheliegende Wahl einer solchen euklidischen Funktion die Norm ist, ist die Gradfunktion im Allgemeinen von der Normfunktion verschieden.
Da nun die Definitionen und einige Eigenschaften dieser Ringe bekannt sind, können die Teilmengenbeziehungen untersucht werden.
Satz 2.20. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
Beweis. Sei R ein euklidischer Ring. Es gilt {0} = 0R. Sei I 6= {0} ein Ideal von R, und b ∈ I\{0}
sei so gewählt, dass γ(b) minimal ist. Wegen b ∈ I gilt bR ⊂ I. Für die andere Inklusion schreibe
a ∈ I in der Form a = bq + r. Der Fall r 6= 0 führt zu einen Widerspruch, wegen r = a − bq ∈ I
und γ(r) < γ(b) und der minimalen Wahl von b. Also ist r = 0 und daher a = bq ∈ bR.
Satz 2.21. Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring.
Beweis. Nach Satz 7.4.4 ist ein Hauptidealring noethersch, somit ist die Bedingung i) aus Satz
2.18 erfüllt. Desweiteren ist in Hauptidealen nach Satz 2.16 jedes irreduzible Element auch prim,
die Bedingung ii) ist somit ebenfalls erfüllt. Daraus folgt mit Satz 2.18 die Behauptung.
Es ergeben sich folgende Inklusionen der verschiedenen Ringstrukturen:
euklidische Ringe
∩
Hauptidealringe
∩
faktorielle Ringe
∩
Integritätsringe
Ausgehend von diesen Beziehungen und obigen Beispielen sieht man, dass nicht jeder faktorielle Ring ein Hauptidealring ist. Wir werden später sehen, dass für Dedekindringe eine Äquivalenz
zwischen diesen beiden Begriffen besteht.
2.2
Ganzheitsringe
Nun wenden wir uns einer weiteren Klasse von Ringen zu, die aus speziellen Elementen von Zahlkörpern gebildet werden. Dazu werden zuerst einige Eigenschaften von Elementen aus Zahlkörpern,
die Zahlen, definiert. Im Folgenden sei K ein Zahlkörper.
7
Definition 2.22. Eine Zahl α ∈ K heißt algebraisch bezüglich K, wenn α ein Polynom
f (x) = xn + a1 xn−1 + ... + an
mit Koeffizienten a1 , ...an ∈ K, f 6= 0, anulliert. Das Polynom kleinsten Grades, dass von α
annulliert wird, heißt Minimalpolynom von α. Man kann zeigen, dass das Minimalpolynom immer
in normierter, irreduzibler Form vorliegt (vgl. [1]). Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass
jede Zahl, die nicht algebraisch ist, transzendent genannt wird.
Im Folgenden wird im Bezug auf diese Definition immer der Fall K = Q betrachtet. Ist die
Definition 2.22 eindeutig, so wird diese Eigenschaft nur mit algebraisch bezeichnet.
Satz 2.23. Die algebraischen Zahlen bilden einen Körper.
Beweis. Angenommen, α1 und α2 sind algebraische Zahlen. Nun ist zunächst zu zeigen, dass auch
α1 α2 und α1 + α2 algebraische Zahlen sind. Sei α1n + r1 α1n−1 + ... + rn = 0 und α2m + s1 α2m−1 +
... + sm = 0 mit ri , sj ∈ Q. Ferner sei V das Q-Modul, welches durch alle Q-Linearkombinationen
der Elemente α1 i α2 j , 0 ≤ i < n und 0 ≤ j < m, erzeugt wird.
Für γ ∈ V ist α1 γ ∈ V und α2 γ ∈ V . Folglich ist also auch (α1 + α2 )γ ∈ V und (α1 α2 )γ ∈ V .
Nach Lemma 7.1.2 (siehe Anhang) folgt dass α1 + α2 und α1 α2 algebraische Zahlen sind.
Letztendlich bleibt zu zeigen, dass für die algebraische Zahl α (ungleich 0) auch α−1 algebraisch ist.
Angenommen, a0 αn + a1 αn−1 + ... + an = 0, mit ai ∈ Q, so ist an α−n + an−1 α−(n−1) + ... + a0 = 0.
Somit folgt die Aussage.
In der Menge der algebraischen Zahlen existiert eine weitere Klasse von Zahlen, die im Folgenden
Gegenstand der Betrachtungen sein wird.
Definition 2.24. Eine komplexe Zahl ξ ist eine ganz algebraische Zahl, wenn ein normiertes
Polynom mit Koeffizienten aus Z existiert, sodass p(ξ) = 0 gilt.
Satz 2.25. Die Menge aller ganz algebraischen Zahlen bilden einen Unterring des Körpers der
algebraischen Zahlen. Im weiteren Verlauf wird dieser Ring mit B bezeichnet.
Beweis. Der Beweis folgt dem gleichen Muster wie der Beweis des Satzes 2.23. In diesem Fall greift
man auf das Ergebnis aus Lemma 7.1.3 zurück.
Definition 2.26. Für einen beliebigen Zahlkörper K ist der Ring der ganzen Zahlen bezüglich K
definiert durch O = K ∩ B. Mit Satz 2.25 folgt direkt, dass O ein Unterring von K ist. Ferner gilt
Z ⊆ Q ⊆ K und Z ⊆ B.
Somit folgt Z ⊆ O.
Um den Ganzheitsring der rationalen Zahlen zu bestimmen, benötigen wir zunächst eine weitere
Charakterisierung von ganz algebraischen Zahlen.
Satz 2.27. Eine algebraische Zahl α ist genau dann eine ganz algebraische Zahl, wenn das Minimalpolynom von α über Q Koeffizienten in Z besitzt.
Beweis. Sei p das Minimalpolynom von α über Q. Nach Definition ist p somit normiert und irreduzibel in Q[x]. Die Inklusion „⇒“ ist klar. Nun zu der anderen Richtung. Es existiert ein normiertes
Poynom q ∈ Z mit q(α) = 0, da α ganz algebraisch ist. Ferner gilt p | q. Nach Satz 7.5.3 (Lemma
von Gauß) folgt p ∈ Z[x].
Satz 2.28. Der Ganzheitsring der rationalen Zahlen ist Z.
Beweis. Die Inklusion Z ⊆ B ∩ Q ist nach Definition 2.28 klar. Für die umgekehrte Inklusion sei
nun α ∈ B ∩ Q. Da α ∈ Q ist, ist das Minimalpolynom von α über Q durch t − α gegeben. Nach
Satz 2.27 sind die Koeffizienten in Z enthalten. Also gilt −α ∈ Z und damit auch α ∈ Z.
Wir beschränken uns hier auf einen Spezialfall des Kreisteilungskörpers, die Aussage für allgemeine Körpererweiterungen ist jedoch analog zu beweisen. Da wir die Struktur des Ganzheitsringes
eines Kreisteilungskörpers noch nicht kennen, wird dieser hier allgemein mit OQ(ξn ) bezeichnet.
Hierbei bezeichnet Q(ξn ) den n-ten Kreisteilungskörper, den wir ebenfalls erst später kennen lernen werden. Im späteren Kapitel wird der Ganzheitsring dann durch Z[ξ] bezeichnet.
8
Satz 2.29. Sei Q(ξ)/Q eine endliche (Körper-)Erweiterung. Die Ideale des Ganzheitsringes OQ(ξ)
sind endlich erzeugt.
Beweis. Da OQ(ξ) ⊂ Q(ξ) gilt, ist OQ(ξ) ein Integritätsring. Da eine endliche Körpererweiterung
vorliegt, ist OQ(ξ) ein endlich erzeugtes Z-Modul. Da die Ideale von Z genau von der Form nZ,
n ∈ N, sind, sind die Ideale von Z endlich erzeugt. Somit sind alle Ideale von OQ(ξ) als Z-Module
endlich erzeugt. Da OQ(ξ) /Z eine endliche Erweiterung ist, sind alle Ideale von OQ(ξ) ebenfalls
endlich erzeugte OQ(ξ) -Module.
Nach Satz 7.4.4 ist diese Aussage äquivalent zu der Eigenschaft noethersch. Diese erste Charakterisierung hilft uns im folgenden Abschnitt um die Ganzheitsringe noch allgemeiner fassen zu
können.
2.3
Idealtheorie
In diesem Abschnitt werden wir zunächst die allgemeinere Charakterisierung der Ganzheitsringe
fortführen, indem wir die Struktur des Dedekindringes einführen. Im weiteren Verlauf werden die
Dedekindringe mit Hilfe einiger Ergebnisse aus der sogenannten Idealtheorie genauer beschrieben
um die Untersuchung von Ganzheitsringen von Kreisteilungskörpern im vierten Kapitel zu ermöglichen.
Für die Definition von Dedekindringen benötigen wir noch eine weitere Eigenschaft von Ringen,
die die Beziehung zu dem Quotientenkörper beschreibt.
Definition 2.30. Sei dazu α/β ∈ Q(R), dem Quotientenkörper von R (vgl. Def. 7.5.1). Ferner sei
f ∈ R[x] normiert und f 6= 0. Dann nennt einen Ring R ganzabgeschlossen, wenn für f (α/β) = 0
bereits α/β ∈ R folgt.
Nun sind wir in der Lage, Dedekindringe4 zu definieren.
Definition 2.31. Sei R ein Integritätsbereich. R heißt Dedekindring, wenn folgende Bedingungen
erfüllt sind:
i) Jedes Ideal von R ist endlich erzeugt.
ii) Jedes nichtleere Primideal P von R ist maximal.
iii) R ist ganzabgeschlossen.
Satz 2.32. Jeder Ganzheitsring ist ein Dedekindring.
Diese Aussage wird an dieser Stelle nicht bewiesen, da die notwendigen Hilfsmittel dafür nicht
zielführend wären. Ein Beweis dieses historisch bedeutsamem Ergebnisses findet sich in [3]. Im
Blick auf diese Einordnung der Ganzheitsringe führen wir die Untersuchung nun bezüglich Dedekindringe durch.
Um die Untersuchung auf eine Primfaktorzerlegung bzw. einer Primidealzerlegung voranzutreiben,
beweisen wir zunächst eine Zerlegung von Elementen aus einem Dedekindring bezüglich eines Zahlkörpers in irreduzible Elemente. Diese Darstellung kann als Verallgemeinerung der Primfaktorzerlegung aufgefasst werden. Aus Satz 2.6 ist bekannt, dass jedes prime Element zugleich irreduzibel
ist. Die eindeutige Zerlegung in Primfaktoren scheitert also daran, dass im Allgemeinen in einem
Ring irreduzible Elemente exisiteren, die nicht prim sind.
Satz 2.33. Sei K ein Zahlkörper. Dann besitzt jedes α ∈ OK eine Darstellung als Produkt von irreduziblen Elementen. Desweiteren ist diese Darstellung eindeutig, wenn jedes irreduzible Element
aus OK prim ist. Diese Aussage kann etwas weiter gefasst werden.
Sei dazu R ein Integritätsring in dem jedes Element α 6= 0 in ein Produkt von irreduziblen Elementen faktorisiert werden kann. Genau dann ist diese Darstellung wieder eindeutig, wenn jedes
irreduzible Element prim ist.
4 Diese Klasse von Ringen ist nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind (1831-1916) benannt, der
unter anderem von Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) unterrichtet wurde. Auf R. Dedekind gehen die
Begriffe eines Ringes und eines Körpers zurück, der dadurch einen Grundstein der abstrakten Algebra legte. Im
Anhang des Werkes Zahlentheorie von P. Dirichlet stellte er seinen Aufbau der Idealtheorie dar, der damals noch in
Konkurrenz zu dem von L. Kronecker stand.
9
Für einen Beweis dieser Aussage siehe [3]. Da in einem Hauptidealring jedes irreduzible Element
auch prim ist, wollen wir die Hauptidealringe aus der Menge der Ganzheitsringe eines Zahlkörpers
K genauer untersuchen. Die nächsten Lemmata zielen auf die Hauptaussage in diesem Kapitel ab;
der Äquivalenz zwischen faktoriellen Ringen und Hauptidealringen in der Menge der Dedekindringe.
Lemma 2.34. Sei R ein Dedekindring und I ein Ideal in R. Dann enthält I ein Produkt von
Primidealen in R.
Beweis. Sei S die Menge aller Ideale in R, die kein Produkt von Primidealen enthalten. Ist S
gleich der leeren Menge, ist nichts zu zeigen. Sei also S 6= {0}. Da ein Dedekindring nach Satz 7.4.4
noethersch ist, existiert ein maximales Element M in S. Ferner gilt, dass M kein Primideal ist,
denn andernfalls würde es ein solches Produkt enthalten, genauer gesagt sich selbst. Also existieren
r, s ∈ R mit rs ∈ M und rM , sM . Da M in den beiden Idealen M + (r) und M + (s) enthalten
ist, enthalten diese zwei Ideale Produkte von Primidealen. Ferner gilt
(M + (r))(M + (s)) ⊆ M,
ein Widerspruch zur Annahme. Somit ist S also leer und dies zeigt die Behauptung.
Lemma 2.35. Sei R ein Dedekindring und Q sein Quotientenkörper. Sei ferner I ein echtes Ideal
in R. Dann existiert ein γ ∈ Q\R, sodass γI ⊆ R gilt.
Beweis. Sei α ∈ I ein fixes Element ungleich 0. Nach Lemma 2.34 enthält das Hauptideal (α) ein
Produkt von Primidealen P1 ...Pr . Hierbei sei r so minimal gewählt, dass das obiges Produkt in (α)
ein Produkt von Primidealen ist. Da jedes echte Ideal in einem maximalen Ideal enthalten ist und
jedes maximale Ideal zugleich ein Primideal ist, gilt I ⊆ P für ein Primideal P . Da P prim ist,
folgt Pj ⊆ P für ein j ∈ {1, ..., r}. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei j = 1. Da in einem
Dedekindring jedes Primideal zugleich ein maximales Ideal ist, folgt P1 = P . Weil α kein Produkt
von weniger als r Primidealen enthält, existiert ein β ∈ P2 · · · Pr /(α). Ferner gilt
β
1
∈
P2 · · · Pr ⊆ Q/R.
α (α)
Somit gilt
βP ⊆ P P2 · · · Pr ⊆ (α).
Gilt nun δ ∈ P , so folgt βδ ∈ (α). Für δ ∈ I folgt insbesondere βδ ∈ (α), also
β
δ ∈ R.
α
Anders ausgedrückt besagt dies
γI =
β
I ⊆ R.
α
Lemma 2.36. Sei R ein Dedekindring und sei I ein Ideal in R mit I 6= 0. Dann existiert ein Ideal
J in R, J 6= 0, deart, dass IJ ein Hauptideal ist.
Beweis. Sei I ein Ideal, I 6= 0, mit α ∈ I und sei ferner
J = {β ∈ R | βI ⊆ (α)}.
Also ist J ein Ideal, das α enthält und somit nichtleer ist. Weiter gilt
IJ ⊆ (α).
Um die Gleichheit zu zeigen, sei
1
IJ.
α
Dann ist L ⊆ R. Da I, J Ideale sind, ist auch L ein Ideal. Angenommen, L sei ein echtes Ideal in
R. Nach Lemma 2.34 existiert ein γ ∈ Q\R, sodass γL ⊆ R. Mit Hilfe der Eigenschaft c) aus der
Definition eines Dedekindringes (vgl. Definition 2.31) wird nun ein Widerspruch hergeleitet, indem
gezeigt wird, dass γ eine Nullstelle eines normierten Polynoms über R ist.
Da J ⊆ L mit α ∈ I gilt, folgt γJ ⊆ γL ⊆ R. Also gilt γJI ⊆ RI ⊆ I, und somit folgt
L=
10
γJ ⊆ J.
Sei {β1 , ...βr } ein Erzeugendensystem von J. Durch obige Teilmengenbeziehung existieren zi,j ∈ Z,
sodass
r
X
γβi =
zi,j βj
j=1
für i = 1, ..., r gilt. Betrachtet man nun das homogene lineare Gleichungssystem
(z1,1 − γ)x1 + z1,2 x2 + · · · + z1,r xr = 0
z2,1 x1 + (z2,2 − γ)x2 + · · · + z2,r xr = 0
·······································
zr,1 x1 + zr,2 x2 + · · · + (zr,r − γ)xr = 0,
so besitzt dieses die nichttriviale Lösung xj = βj . Somit ist die Determinante


(z1,1 − γ)
z1,2
...
z1,r
 z2,1
(z2,2 − γ) . . .
z2,r 


det 

..
..
..
.
.


.
.
.
.
zr,1
zr,2
. . . (zr,r − γ)
gleich Null. Damit genügt γ dem geforderten normierten Polynom über R.
Korollar 2.37. Seien I, J, L R-Ideale in dem Dedekindring R. Wenn IJ = IL gilt, so folgt J = L.
Beweis. Sei H ein Ideal mit IH = (α). Dann ist J(α) = L(α). Ferner gilt
L ⊆ L(α) = J(α) ⊆ J
und
J ⊆ J(α) = L(α) ⊆ L.
Somist folgt L = J.
Korollar 2.38. Seien I und J Ideale in einem Dedekindring R. Genau dann gilt I ⊆ J, wenn
I | J gilt.
Beweis. Nach Definition 2.7 und Korollar 2.8 ist die eine Implikation klar. Gilt nun I ⊆ J, so sei
L ein Ideal mit LI = (α), für ein α ∈ R. Dann ist α1 LJ ein Ideal und somit gilt
IH = J.
Nun sind genügend Hilfsmittel aus der Idealtheorie vorhanden, um die eindeutige Zerlegung
von Idealen in Dedekindringen beweisen zu können.
Satz 2.39. Jedes echte, nichtleere Ideal in einem Dedekindring R besitzt die (bis auf die Reihenfolge) eindeutige Darstellung I = P1 a1 P2 a2 ...Pn an , wobei die Pi verschiedene Primideale seien, die
I enthalten. Die Exponenten aj stammen aus N.
Beweis. Zunächst widmen wir uns der Existenz einer solchen Zerlegung. Sei S die Menge aller
echten Ideale ungleich dem Nullideal, die keine Zerlegung in der obigen Form besitzen. Ist S6= {0},
so existiert ein maximales Element M , da jeder Dedekindring noethersch ist. Da jedes maximale
Ideal ein Primideal ist (vgl. Lemma 7.4.6) und jedes echte Ideal in einem maximalen Ideal enthalten
ist, gibt es ein Primideal P mit M ⊆ P . Also existiert nach Korollar 2.38 ein Ideal I, sodass M = IP
gilt. Dadurch folgt I ⊇ M . Ist nun I = M , so folgt I = IP und somit P = R, ein Widerspruch.
Es gilt also I ⊂ M . Durch die maximale Wahl von M muss I ein Produkt von Primidealen sein.
Also gilt M = IP und dies widerspricht der Tatsache, dass M aus S gewählt war. Schließlich folgt
S6= {0}.
Nun bleibt die Eindeutigkeit der Zerlegung zu zeigen. Dazu seien Pj und Qk Primideale in R,
sodass gilt
P1 ...Pr = Q1 ...Qs .
11
Damit folgt P1 ⊇ Q1 ...Qs , also Qj ⊆ P1 für ein j = 1, 2, ..., s. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei j = 1, andernfalls ordnet man die Qk um. Da in einem Dedekindring jedes Primideal,
ausgenommen das Nullideal, zugleich ein maximales Ideal ist, folgt P1 = Q1 . Mit Korollar 2.37 gilt
nun
P2 ...Pr = Q2 ...Qs .
Setzt man dieses Schema induktiv fort, ergibt sich r = s und Pj = Qj , für alle j.
Mit diesem Ergebnis sind wir der eindeutigen Primfaktorzerlegung einen Schritt näher gekommen. Eine schärfere Aussage werden wir für Dedekindringe bzw. im speziellen für Ganzheitsringe
nicht finden können, siehe dazu Kapitel 5.4.
Satz 2.40. Sei R ein Dedekindring. Dann gilt: R ist genau dann ein faktorieller Ring, wenn R
ein Hauptidealring ist.
Beweis. Nach Satz 2.22 ist bekannt, dass jeder Hauptidealring ein faktorieller Ring ist. Somit
bleibt die Implikation „⇒“ zu zeigen. Sei R ein faktorieller Ring. Wenn ein Ideal existiert, das
kein Hauptideal ist, so folgt nach Satz 2.39, dass es ein Primideal P gibt, das kein Hauptideal
ist. Sei S die Menge aller Ideale I, sodass P I ein Hauptideal ist. Nach Lemma 2.36 ist S 6= {0}.
Nach Definition 7.4.2 und dem Satz über die Charakterisierung von noetherschen Ringen (vgl.
Satz 7.4.4) hat S ein maximales Element M . Sei P M = (α). Wenn α = βγ mit β ∈ P irreduzibel
gilt, so folgt (β) = P J, wobei J ein Ideal mit J | M , also J ⊇ M , ist. Da die Maximalität von
M vorausgesetzt war, folgt J = M und somit ist γ eine Einheit und α ist irreduzibel. Da P kein
Hauptideal ist, existiert ein δ ∈ P \(α), δ 6= 0. Da aber M = (α) die Gleichheit zwischen P und R
implizieren würde, so existiert ein θ ∈ M \(α), θ 6= 0. Somit folgt δθ ∈ P M ⊆ (α), also α | δθ. Da
α weder δ noch θ teilt, ist α nicht prim. Dies ist ein Widerspruch zu Satz 2.33.
Da nach Satz 2.32 jeder Ganzheitsring auch ein Dedekindring ist, vereinfacht dies die Klassifizierung erheblich. Mit Hilfe der nächsten Sätze wird eine Charakterisierung von faktoriellen Ringen
geschaffen, die im weiteren Verlauf von zentraler Bedeutung sein wird.
2.4
Die Klassenzahl
Mit Hilfe der Klassenzahl, die in diesem Abschnitt definiert wird, lassen sich Hauptidealringe über
deren Ideale charakterisieren. Um diese Zahl zu berechnen sind jedoch weitere Eigenschaften des
Ringes vonnöten, die mitunter ebenfalls aufwändig berechnet werden müssen. Hier wird die sogenannte analytische Klassenzahlformel vorgestellt, deren Berechnung für imaginär-quadratische
Zahlkörper verhältnismäßig einfach ist.
Definition 2.41. Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper Q. Ein Modul M ungleich
Null, welches in Q enthalten ist, heißt gebrochenes Ideal, wenn ein α ∈ R derart existiert, sodass
αM ⊆ R. Wenn M ⊆ R gilt, so ist M genau dann ein gebrochenes Ideal, wenn M ein Ideal ist.
Die Menge aller gebrochenen Ideale bildet mit der Verknüpfung
n
X
IJ = {
ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J}
i=1
eine multiplikative abelsche Gruppe, die Gruppe der gebrochenen Ideale. Diese wird im Folgenden
mit F(R) bezeichnet. Die Menge aller gebrochenen Hauptideale bildet eine Untergruppe von F(R).
Sie wird im folgenden mit H(R) bezeichnet.
Definition 2.42. Sei R ein Dedekindring. Die Idealklassengruppe, definiert durch die Faktorgruppe
CR = F(R)/H(R),
wird mit CR bezeichnet. Ihre Ordnung hR wird als Klassenzahl bezeichnet.
Satz 2.43. Sei R ein Dedekindring. Genau dann ist R ein faktorieller Ring, wenn C(R) Ordnung
1 hat, in anderen Worten, wenn die Klassenzahl 1 ist.
Beweis. Nach Satz 2.41 ist R genau dann ein faktorieller Ring, wenn R ein Hauptidealring ist. Da
nach Definition des Hauptidealringes alle Ideale zugleich Hauptideale sind, so gilt F(R) = H(R).
Die Ordnung von CR = F(R)/H(R) ist somit 1.
12
Desweiteren kann man zeigen, dass die Klassenzahl immer endlich ist. Mit diesem letzten Satz
steht nun eine klare Charakterisierung von faktoriellen Ringen fest. Unklar bleibt jedoch, wie man
diese Klassenzahl bestimmen kann, ohne mühsam die Idealklassengruppe bestimmen zu müssen.
Definition 2.44. Sei d eine Diskriminanten zu einem Zahlkörper K. Dann heißt d eine Fundamentaldiskriminante, wenn d ≡ 0 mod 4 oder d ≡ 1 mod 4 gilt. Zu dem Kroneckersymbol XdK
erklärt man die Dirichlet’sche Reihe
L(1, XdK ) =
∞
X
XdK (n)
.
n
n=1
Für eine genaue Definition siehe [17].
Im Jahr 1839 legte P. Dirichlet mit seinem Werk Recherches sur dicerses applications de
l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres den Grundstein der analytischen Zahlentheorie.
In diesem Werk führte er die analytische Klassenzahlformel ein um zu zeigen, dass L(1, Xd ) 6= 0 gilt.
Satz 2.45 (Analytische Klassenzahlformel). Die Klassenzahl hK eines imaginär-quadratischen
Zahlkörpers K mit Fundamentaldiskriminante dK berechnet sich durch
ωp
h=
|dK |L(1, XdK ).
2π
In diesem Fall wird die Anzahl der Einheiten in dem zugehörigen Ganzheitsring durch ω beschrieben.
Auf einen Beweis dieser Aussage wird hier verzichtet, der interessierte Leser wird auf [17]
verwiesen.
Eine konkrete
Berechnung der Klassenzahl wird im folgenden Beispiel an dem Zahlkörper
√
√
Q( −15) = {a + b −15 | a, b ∈ Q} vorgerechnet.
Man berechnet näherungsweise
∞
X
L(1, XdQ(√−15) ) =
{
m=0
1
1
1
1
1
+
+
−
+
−
15m + 1 15m + 2 15m + 4 15m + 7 15m + 8
1
1
1
−
+
}
15m + 11 15m + 13 15m + 14
⊕
Z
1
1 + x + x3 − x6 + x7 − x10 − x12 − x13
dx
1 − x15
=
0
≈ 1, 622...
mit ⊕
Z
0
1
1
dx =
1 − x15
Z
∞
1 X
x15m dx =
0 m=0
,
∞ Z
X
m=0
1
x15m dx =
0
∞
X
x15m+1 1
|
,
15m + 1 x=0
m=0
aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe auf dem Intervall [0, 1].
Mit diesem Ergebnis folgt nun
hQ(√−15) =
1√
15 · 1, 622...
π
= 2,
da die Klassenzahl ein Element der natürlichen Zahlen sein muss.
Diese Berechnung soll als Beispiel für die Anwendung der analytischen Klassenzahlformel ausreichen. Wir werden im Folgenden keine Klassenzahl eines Kreisteilungskörpers explizit berechnen,
sondern uns auf die Charakterisierung von faktoriellen Ringen anhand der Klassenzahl beschränken.
13
3
Betrachtungen über Zahlkörper
Ziel dieses Kapitels sind zwei Aussagen von H.W. Lenstra5 , die Hilfsmittel zur Bestimmung von
normeuklidischen Ganzheitsringen liefern. Hier werden zunächst allgemeine Zahlkörper betrachtet.
Jede endliche Körpererweiterung von Q nennen wir Zahlkörper (vgl. Definition 7.5.5).
Im ersten Abschnitt wird die Diskriminante eines Zahlkörpers definiert, die wiederum benutzt werden kann, um einen Zahlkörper zu charakterisieren.
Die Verzweigung eines Primideals wird im darauffolgenden Abschnitt definiert und untersucht. Im
vorherigen Kapitel haben wir bereits die eindeutige Primidealzerlegung in Ganzheitsringen kennen
gelernt, hier werden wir nun Primideale P in OK in Beziehung zu dem Faktorring OK /P setzen.
Im dritten Abschnitt werden dann die Resultate von H.W. Lenstra vorgestellt, welche wir später
zur Untersuchung verwenden werden.
3.1
Grundlagen
Wir starten hier mit einigen Definitionen, die im Folgenden immer wieder auftreten werden.
Definition 3.1. Sei L/K eine endliche Körpererweiterung
mit Grad n. Seien ferner α1 , α2 , ..., αn
P
eine Basis von L/K und α ∈ L. Dann gilt ααi = j bij αj mit bij ∈ K. Nun ist
die Norm von α durch NL/K (α) = det(b
P ij ) und
die Spur von α durch trL/K (α) = i aii
definiert. Ist die Bezeichnung eindeutig, wird der Index auch oft weggelassen. Oftmals wird diese
Norm und Spur auch als relative Norm bzw. relative Spur genannt, da sie in Abhängigkeit der
Körpererweiterung steht.
Definition 3.2. Es sei α1 , ..., αn eine Q-Basis des Zahlkörpers K. Wenn die Basisdarstellung aller
Elemente aus K zu einer Basis nur Koeefizienten in Q enthält, so nennt man B eine Q-Basis. Als
Diskriminante einer Basis bezeichnet man die Zahl
d(α1 , ..., αn ) = det(tr(αi αk ))1≤i,k≤n .
Definition 3.3. Die Diskriminante d(OK ) des Ganzheitsrings von K wird als Diskriminante des
Körpers K bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist im folgenden dK .
Wählt man nun verschieden Basen, so unterscheidet sich die Berechnung der Diskriminante.
Trotzdem kann ein Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen Basen hergestellt werden.
Satz 3.4. Seien α1 , ..., αn und β1 , ..., βn Basen für K/Q. Sei ferner αi =
Dann gilt für die Diskriminante d(α1 , ..., αn ) = det(aij )2 · d(β1 , ..., βn ).
P
j
aij βj mit aij ∈ Q.
P P
Beweis. Zunächst nimmt man die Spur auf beiden Seiten der Gleichung αi αk = j l aij akl βj βl .
Seien A = (tr(αi αj )), B = (tr(βj βl )) und C = (aij ). Somit erhält man A = C T BC. Da det(C T ) =
det(C) gilt, folgt nach Determinantenbildung die Behauptung.
Mit folgendem Satz kann man die Diskriminante eines Körpers mit dem Minimalpolynom in
Verbindung setzen. In unserem Fall ist dies sehr praktisch, da wir später das Minimalpolynom
der Einheitswurzeln kennenlernen werden und somit die Diskriminante eines Kreisteilungskörpers
verhältnismäßig einfach ausrechnen können.
Satz 3.5. Sei L/K eine seperable Körpererweiterung vom Grad n. Seien ferner 1, β, ..., β n−1 ∈ L
linear unabhängig über K. Ist nun f (x) ∈ K[x] das Minimalpolynom von β über K und f 0 (x) die
Ableitung von f (x). Dann gilt
d(1, β, ...β n−1 ) = (−1)(n(n−1))/2 N (f 0 (β)).
5 H.W. Lenstra (1949) beschäftigt sich in seiner Forschung unter anderem mit euklidischen Ganzheitsringen. Er
promovierte 1977 an der Universtität Amsterdam mit einer Arbeit über euklidische Zahlkörper, fortan veröffentlichte
er weitere Arbeiten über den euklidischen Algorithmus und euklidische Zahlkörper, darunter Euclidean number fields
1-3 (1979-1980) und Euclidean number fields of large degree(1977).
14
Beweis. Die Matrix ((β (j) )(i) ) mit i = 0, ..., n − 1 und j = 1, ..., n ist von Vandermonde-Gestalt6
und somit ist die Determinante
Y
(β (j) − β (i) ).
i<j
Folglich gilt
Y
d(1, β, ...β n−1 ) = (−1)(n(n−1))/2
(β (j) − β (i) ).
i6=j
Es gilt f (x) = i (x − β (i) ) und somit f 0 (β (j) ) = i (β (j) − β (i) ) mit i 6= j. Ferner gilt f 0 (β (j) ) =
(f 0 (β))(j) . Nimmt man nun das Produkt über j, so folgt die Behauptung.
Q
3.2
Q
Verzweigung
In diesem Abschnitt wird der Verzweigungsindex und der Grad von Primidealen definiert. Diese
Aussagen werden teilweise später in der Charakterisierung von den verschiedenen Ganzheitsringen
verwendet, doch auch schon bei der allgemeinen Herleitung des Ganzheitsringes von einem Kreisteilungskörper werden diese Ergebnisse benötigt.
In diesem Kapitel sei K ein Zahlkörper. Ferner sei P ein Primideal des Ganzheitsrings OK und
von p ∈ Z erzeugt, also (p) = P , da P ∩ Z 6= {0} und somit P ein Primideal in Z ist.
Definition 3.6. Sei p ∈ Z eine Primzahl und sei P1 , ..., Pg die Primideale in OK , die (p) enthalten.
Nach dem Satz über die Primidealzerlegung in Dedekindringen gilt
(p) = P1e1 ...Pgeg .
Die Zahl e = ordp (p) heißt Verzweigungsindex von P . Ferner ist OK /P ein endlicher Körper, der
Z/pZ enthält. Dadurch sind die Elemente aus OK /P von der Form pf für ein f ≥ 1. Die Zahl
f heißt Grad von P . Im Folgenden werden durch ei der Verzweigungsindex und fi der Grad von
Pi beschrieben. Um die zentrale Beziehung dieser Zahlen herstellen zu können, benötigen wir noch
einige Hilfsmittel.
Lemma 3.7. Sei β ∈ K. Dann existiert ein b ∈ Z, b 6= 0, sodass bβ ∈ OK ist.
Beweis. β genügt einer Gleichung a0 β n + a1 β n−1 + ... + an = 0 mit ai ∈ Z, a0 6= 0. Multipliziert
man nun beide Seiten mit an−1
, so erhält man
0
(a0 β)n + a1 (ao β)n−1 + ... + an a0n−1 = 0.
Da für alle i das Produkt ai ai−1
in Z liegt, ist a0 β eine algebraische Zahl.
0
Lemma 3.8. Jedes Ideal I von OK enthält eine Basis von K über Q.
Beweis. Sei β1 , ..., βn eine Basis von K über Q. Nach Lemma 3.7 existiert ein b ∈ Z, b 6= 0, sodass
bβ1 , ..., bβn ∈ OK sind. Nun wählt man α ∈ I, α 6= 0. Dann sind die Elemente bβ1 α, ..., bβn α in I
enthalten und bilden zusammen eine Basis von K über Q.
Lemma 3.9. Sei I ein Ideal in OK . Ferner seien α1 , ..., αn ∈ I eine Basis von K/Q mit
|d(α1 , ..., αn )| minimal. Dann ist
I = Zα1 + ... + Zαn .
Beweis. Da der Betrag der Diskriminante einer Basis eine positive Zahl ist, existiert eine Basis mit
minimalem Betrag der Diskriminiante. Sei α ∈ I mit α = γ1 α1 + γ2 α2 + ... + γn αn mit γi ∈ Q.
Nun müssen wir zeigen, dass γi ∈ Z gilt. Angenommen, dies ist nicht so. Dann existiert mind. ein
γi Z. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei dies γ1 . Wir schreiben γ1 = m + τ , mit m ∈ Z und
0 < τ < 1. Sei β1 = α − mα1 , β2 = α2 , ..., βn = αn . Dann bilden β1 , β2 , ..., βn ∈ I eine Basis von K
über Q. Wegen β1 = τ α1 + γ2 α2 + ... + γn αn ist die Transformationsmatrix zwischen diesen beiden
Basen


n−1
2
1
6
1
Wir bezeichnen eine Matrix der Form  .
 ..
1
α1
α2
..
.
αn
α1
α22
..
.
α2n
15
...
...
..
.
···
α1
α2n−1 
.. 
 als Vandermonde-Matrix.
.
αn−1
n
τ
0

0

 ..
.
γ2
1
0
..
.
γ3
0
1
..
.
···
···
···
..
.

γn
0

0

.. 
.
0
0
0
···
1

Nach Satz 3.4 gilt d(β1 , ..., βn ) = τ 2 d(α1 , ..., αn ). Wegen 0 < τ < 1 ist dies ein Widerspruch zur
Minimalität von |d(α1 , ..., αn )|. Also war die Annahme falsch und es gilt γi ∈ Z und
I = Zα1 + Zα2 + ... + Zαn .
Lemma 3.10. Gilt I ⊆ OK , so ist I ∩ Z 6= 0.
Beweis. Sei α ∈ I, α 6= 0. Dann existieren ai ∈ Z, sodass
αm + a1 αm−1 + ... + am = 0
für ein minimales m gilt. Nun ist am 6= 0, denn andernfalls würde
α(αm−1 + a1 αm−2 + ... + am−1 ) = 0
gelten. Da α 6= 0 vorausgesetzt war, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität von m. So gilt nun
0 6= am ∈ I ∩ Z.
Lemma 3.11. Sei I ein Ideal in OK . Dann ist OK /I endlich.
Beweis. Nach Lemma 3.10 finden wir ein Element a ∈ I ∩ Z mit a 6= 0. Sei (a) ein Hauptideal in
OK . Da die Abbildung τ : OK /(a) → OK /I surjektiv ist, reicht es zu zeigen, dass OK /(a) endlich
ist. Tatsächlich werden wir sogar zeigen, dass |OK /(a)| = an gilt.
Nach Lemma 3.9 kann man
OK = Zω1 + ... + Zω2 + ... + Zωn
P
schreiben. Sei S = { γi ωi | 0 ≤ γi < a}. Wir behaupten,
S ist die Menge von Repräsentanten der
P
Nebenklassen von OK /(a). Angenommen,
ω
=
m
ω
∈
OK . Dann schreiben wir mi = qi a + γi
i i
P
mit 0 ≤ γi < a. Somit gilt
ω
≡
γ
ω
mod
(a).
Folglich
enthält jede Nebenklasse von I ein
iPi
P
0
Element von S. Sind nun
γi ωi und
γi ωi in S und in derselben Nebenklasse modulo (a), so
0
folgt mit der linearen Unabhängigkeit der ωi , dass γi − γi durch a in Z teilbar ist. Da aber 0 ≤
0
0
γi , γi < a vorausgesetzt war, folgt γi = γi . Schließlich folgt, dass S die Menge der Repräsentanten
der Nebenklassen ist und OK /(a) hat an Elemente, wie behauptet.
Nun haben wir genügend Hilfssätze beisammen um die Anzahl der Elemente in dem Restklassenring OK /P zu bestimmen. Dieses Ergebnis werden wir später im Beweis der efg-Gleichung
benötigen.
Proposition 3.12. Sei P ein Primideal in OK und sei pf die Anzahl der Elemente in OK /P .
Die Anzahl der Elemente in OK /P e ist pef .
Beweis. Für e = 1 ist die Behauptung erfüllt. Gilt nun e > 1, so ist P e−1 /P e eine Untergruppe
von OK /P e und für die Faktorgruppe gilt
(OK /P e )/(P e−1 /P e ) ∼
= OK /P e−1
(vgl. Satz 7.3.3 (2. Isomorphiesatz)). Da P e ⊆ P e−1 gilt, existiert ein α ∈ P e−1 mit αP e . Wegen
P e ⊆ (α) + P e muss (α) + P e ein Vielfaches von P sein. Da ferner (α) + P e ⊆ P e−1 gilt, muss
(α) + P e = P e−1
sein. Sei σ : OK → P e−1 /P e , γ → γα + P e ein surjektiver Homomorphismus. Ein Element γ ist
im Kern von σ genau dann, wenn γα ∈ P e , genauer gesagt wenn ordP (γα) ≥ e. Nun gilt
ordP (γα) = ordP (γ) + ordP (α) = ordP (γ) + e − 1.
Folglich ist γ im Kern von σ genau dann, wenn ordP (γ) ≥ 1. Dies ist wiederum äquivalent zu
γ ∈ P . Daraus folgt schließlich
OK /P ∼
= P e−1 /P e
und somit hat P e−1 /P e genau pf Elemente. Mittels vollständiger Induktion folgt nun die Behauptung.
16
Das anschließende Lemma ist auch unter dem Namen Chinesischer Restsatz (für Ringe)7 bekannt.
Satz 3.13 (Chinesischer Restsatz). Sei R ein Integritätsring. Angenommen, I1 , ..., Ig sind Ideale
in R, für die Ii + Ij = R für i 6= j gilt. Sei I = I1 · · · Ig . Dann gilt
R/I ∼
= R/I1 ⊕ · · · ⊕ R/Ig .
Beweis. Sei σi die kanonische Projektion von R nach R/Ii und sei σ : R → R/I1 ⊕ · · · ⊕ R/Ig
definiert durch σ(γ) = (σ1 (γ), σ2 (γ), ..., σg (γ)). Nun gilt es zu zeigen, dass σ surjektiv ist und den
Kern I besitzt.
Um die Surjektivität zu zeigen ist es hinreichend, dass für beliebige γ1 , γ2 , ..., γg ∈ R das System
von Kongruenzen x ≡ γi mod Ii , i = 1, ..., g simultan lösbar ist. Multipliziert man das Produkt
(I1 + I2 )(I1 + I3 ) · · · (I1 + Ig ) aus, so sieht man dass alle Summanden, außer dem letzten, in I1
liegen. Somit gilt also I1 + I2 I3 · · · Ig = R. Es existieren Elemente v1 ∈ I1 und v1 ∈ I2 I3 · · · Ig mit
v1 + u1 = 1. Dann gilt u1 ≡ 1 modI1 und u1 ≡ 0 mod Ii für i 6= 1. Dieses Verfahren kann man
ausweiten, sodass für jedes j ein uj existiert mit uj ≡ 1 mod Ij und uj ≡ 0 mod Ii für i 6= j. Nun
ist x = γ1 u1 + γ2 u2 + · · · + γg ug eine Lösung des Kongruenzsystems. Somit ist σ surjektiv.
Es bleibt zu zeigen, dass kerσ = I gilt. Klar ist, dass kerσ = I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ Ig gilt. Diese Durchschnittsbildung muss nun gleich dem Produkt der Ideale sein. Dies geschieht durch vollständige
Induktion über g. Sei g = 2. Wegen I1 + I2 = R existieren Elemente α1 ∈ I1 und α2 ∈ I2 , sodass
α1 + α2 = 1 gilt. Ist nun α ∈ I1 ∩ I2 , so gilt α = αα1 + αα2 ∈ I1 I2 . Somit folgt (I1 ∩ I2 ) ⊆ I1 I2 .
Die umgekehrte Inklusion ist klar, also folgt die Behauptung für g = 2.
Sei nun g > 2 und die Behauptung sei wahr für g−1. Dann gilt I1 ∩I2 ∩· · ·∩Ig = I1 ∩I2 I3 · · · Ig . Nach
dem ersten Teil des Beweises folgt I1 + I2 I3 · · · Ig = R. Schließlich folgt I1 ∩ I2 I3 · · · Ig = I1 I2 · · · Ig
und somit die Behauptung.
Satz 3.14 (efg-Gleichung). Für die obigen Definitionen gilt
g
X
ei fi = n.
i=1
e
e
Beweis. Sei (p) = P1e1 ...Pg g . Es ist klar, dass Piei + Pj j = OK für i 6= j gilt. Nach Lemma 3.13 gilt
OK /(p) ∼
= OK /P1e1 ⊕ ... ⊕ OK /Pgeg .
Der Beweis des Lemmas 3.11 zeigt |OK /(p)| = pn . Ferner folgt mit Lemma 3.12 |OK /Piei | = pei fi .
Also folgt
pn = pe1 f1 ...peg fg .
Schließlich folgt
n = e1 f1 + ... + eg fg ,
wie behauptet.
Definition 3.15. Ist ei = e(Pi /(p)) = 1, so heißt Pi /(p) unverzweigt, andernfalls verzweigt. Wenn
die Zahl g gleich dem Körpergrad n ist, so heißt (p) in K voll zerlegt. Ist dagegen e = n, dann
heißt (p) in K voll verzweigt.
Wir betrachten im Folgenden eine Galoiserweiterung K/Q, das heißt alle Isomorphismen von
K nach C, die K elementweise fixieren, sind Automorphismen. Nun kann man obige Aussage
verschärfen. Für einen solchen Automorphismus σ und ein Ideal I schreiben wir nun σ(I)={σα | α ∈
I}. Dann ist σ(I) wieder ein Ideal. Dadurch gilt σ(OK )=OK . Ferner gilt
OK /σI = σOK /σI ∼
= OK /I.
Insbesondere ist σI ein Primideal, wenn I ein Primideal ist.
7 Der chinesische Mathematiker Sun Tzu (zwischen 3. und 5. Jahrhundert n. Chr.) veröffentlichte in seinem Werk
Sun Tzu’s Calculation Classic unter anderem eine Aussage zur Lösung simultaner Kongruenzen, wenn die Moduln
teilerfremd zueinander sind.
17
Satz 3.16 (spezielle efg-Gleichung). Sei K/Q eine Galoiserweiterung. Sei p ∈ P und (p) =
e
P1e1 ...Pg g . Dann folgt e1 = e2 = · · · = eg und f1 = f2 = · · · = fg . Somit gilt insgesamt
ef g = n.
Beweis. Für einen gegebenen Index i existiert ein σ aus der Menge der Automorphismen von K
nach C, sodass σ(P1 ) = Pi gilt. Wegen D/P1 ∼
= D/σ(P1 ) = D/Pi folgt f1 = fi . Wählt man nun
weitere Automorphismen, so folgt dass alle fj gleich sind.
e
Wendet man σ auf beide Seiten der Gleichung (p) = P1e1 · · · Pg g , so folgt
(p) = (σ(P1 ))e1 (σ(P2 ))e2 · · · (σ(Pg ))eg ,
da p ∈ Z von allen Automorphismen σ auf sich selbst abgebildet wird. Betrachtet man nun diese
Gleichung, so ist der Exponent von Pi = σ(P1 ) gleich e1 . In der ersten Darstellung von (p) ist der
Exponent von Pi aber ei . Durch die Eindeutigkeit der Primidealzerlegung folgtP
e1 = ei . Wählt
man nun wieder weitere Automorphismen, so folgt dass alle ej gleich sind. Aus
ei fi = n folgt
schließlich ef g = n, wie behauptet.
3.3
Normeuklidische Zahlkörper
Inhalt dieses Abschnittes sind zwei Sätze von H.W. Lenstra, die eine Charakterisierung von euklidischen Zahlkörpern ermöglichen. Für unsere Betrachtungen sind diese Sätze gut geeignet, da
die benötigten Variablen für einen p-ten Kreisteilungskörper, p ∈ P, verhältnismäßig einfach zu
bestimmen sind.
Zunächst benötigen wir jedoch ein Maß für den Ganzheitsring eines solchen Zahlkörpers.
Definition 3.17. Sei K ein algebraischer Zahlkörper vom Grad n und OK sein Ganzheitsring.
Dann heißt ω1 , ..., ωm ∈ OK eine Ausnahmefolge, wenn alle Differenzen ωi − ωj ∈ O∗K für i 6= j
sind. Das Maximum M der Längen m von Ausnahmefolgen heißt Lenstra-Konstante von K.
Satz 3.18 (Lenstra). Sei K = Q(γ) ein Zahlkörper vom Grad n mit der Diskriminante dK . Sei
c die Anzahl der Paare komplexkonjugierter Nullstellen des Minimalpolynoms von γ über Q. Gilt
nun für die Lenstra-Konstante M von K die Abschätzung
4 n!
M > ( )c n |dK |1/2 ,
π n
so ist K normeuklidisch.
Der Beweis dieses Satzes wird an dieser Stelle weggelassen, da er tiefergehende Hilfsmittel aus
der Theorie über Gitter benötigt. Für einen ausführlichen Beweis siehe [6], S. 272f.
Folgender Satz stammt ebenfalls von H.W. Lenstra, der eine weitere Charakterisierung von
speziellen Zahlkörpern liefert.
Satz 3.19 (Lenstra). Sei K ein Zahlkörper vom Grad 8 über Q. Ferner sei K eine rein-imaginäre
quadratische Erweiterung eines rein-rellen Körpers T . Gilt nun für die Diskriminante dT /Q < 4096,
so ist OK euklidisch.
Für einen Beweis siehe [14]. Nun haben wir genügend Hilfsmittel beisammen um uns im Speziellen den Kreisteilungskörper zuzuwenden.
18
4
Der Kreisteilungskörper und dessen Ganzheitsring
In diesem Kapitel werden die Kreisteilungskörper ausgehend von den Einheitswurzeln und deren
Minimalpolynom, das sogenannte Kreisteilungspolynom, hergeleitet. Im Zuge dieser Herleitung
werden zudem einige Aussagen über Kreisteilungspolynome und Kreisteilungskörper vorgestellt.
Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels wird dann der Ganzheitsring des n-ten Kreisteilungskörpers
erklärt, welcher zugleich Grundlage der weiteren Beobachtungen im anschließenden Kapitel ist.
Desweiteren wird ein Satz zur expliziten Berechnung der Diskriminante eines Kreisteilungskörpers
im dritten Abschnitt vorgestellt.
4.1
Der Kreisteilungskörper
Definition 4.1. Die komplexen Nullstellen des Polynoms xn − 1 heißen n-te Einheitswurzeln. Sie
besitzen die Darstellung
ξn k = exp(
2πk
2πk
2πik
) = cos(
) + i sin(
)
n
n
n
für 0 < k ≤ n. Von primitiven Einheitswurzeln spricht man, wenn ggT (n, k) = 1 gilt.
Im Folgenden sei ξn = ξn1 . Die Einheitswurzeln sind in der Gaußschen Zahlenebene auf dem Einheitskreis um den Nullpunkt angeordnet. Die nachstehende Grafik zeigt die Anordnung der ersten
Einheitswurzeln.
Quelle: [34]
Definition 4.2. Für n ≥ 1 ist das Kreisteilungspolynom Φn (x) definiert als
φ(n)
Φn (x) =
Y
(x − ξi ),
i=1
wobei ξ1 , ..., ξn die primitiven Einheitswurzeln der Ordnung n sind. Hierbei bezeichnet φ(n) die
Eulerfunktion und somit ist der Grad von Φn (x) gleich φ(n).
Q
Satz 4.3. Es gilt xm − 1 = d/m Φd (x).
Beweis. Es gilt
xm − 1 =
m−1
Y
(x − ξm i ) =
i=0
Y
Y
(x − ξm i ).
d/m ggT (i,m)=d
Gilt nun
Y
(x − ξm i ) = Φm/d (x),
ggT (i,m)=d
so folgt die Behauptung. Ist ggT (i, m) = d, so sei i = dj. Also folgt
ξm i = ξm dj = ξm/d j .
Weiter gilt ggT (j, m/d) = 1. Somit
Y
(x − ξm i ) =
ggT (i,m)=d
Y
(x − ξm/d j ) = Φm/d (x),
ggT (j,m/d)=1
und so folgt schließlich die Behauptung.
Korollar 4.4. Es gilt die Rekursionsformel
Φn (x) = Q
xn − 1
.
d|n,d6=n Φd (x)
19
Beweis. Diese Behauptung folgt unmittelbar aus dem vorangehenden Satz.
Beispiel 4.5. Die ersten Kreisteilungspolynome sind gegeben durch
Φ1 = x − 1
Φ2 = x + 1
Φ3 = x2 + x + 1, ...
Anhand dieser ersten Polynome liegt die Vermutung nahe, dass alle Koeffizienten von Φn sogar
aus Z stammen. Tatsächlich ist diese Aussage der Inhalt des nächsten Satzes.
Satz 4.6. Das Kreisteilungspolynom Φn (x) ist ein Polynom aus Z[x].
Beweis. Da Z[x] ein euklidischer Ring ist, existiert eine Division mit Rest. Die Behauptung folgt
mit obiger Rekursionsformel aus Korollar 4.4 durch Induktion nach n.
Um im weiteren Verlauf von einem eindeutigen Kreisteilungskörper sprechen zu können, betrachtet man diesen Körper als Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms.
Definition 4.7. Der Zerfällungskörper von Φn über Q wird n-ter Kreisteilungskörper genannt. Im
Folgenden wird dieser Körper mit Q(ξn ) oder Qn bezeichnet.
Nach Satz 7.5.8 ist dieser Körper bis auf Isomorphie eindeutig, man spricht also von dem n-ten
Kreisteilungskörper.
Um den Grad der Körpererweiterung [Q(ξn ) : Q] bestimmen zu können, ist es notwendig, das
Minimalpolynom von ξn und insbesondere dessen Grad zu kennen. Dass kein Polynom mit kleinerem Grad als φ(n) existiert, das durch ξn annulliert wird, besagt folgender Satz:
Satz 4.8. Das n-te Kreisteilungspolynom Φn ist das Minimalpolynom von ξn .
Beweis. Sei f ∈ Z[x] das Minimalpolynom von ξn . Da ξn eine algebraische Zahl ist, sind die
Koeffizienten von f aus Z. Nun ist zu zeigen, dass auch ξnk für ggT (n, k) = 1 eine Nullstelle von
f ist. Es reicht hierbei den Fall k = p, p ∈ P, mit p - n zu betrachten. Sei xn − 1 = f (x)g(x) mit
normierten f, g ∈ Q[x]. Nach Satz 7.5.3 (Lemma von Gauß) sind f, g ∈ Z[x]. Wäre f (ξnp ) 6= 0, so
muss g(ξnp ) = 0 sein. ξnp muss also eine Nullstelle von g1 (x) := g(xp ) sein. Das Minimalpolynom f
von ξn muss also ein Teiler von g1 sein, folglich gilt
g1 (x) = f (x)h(x),
h(x) ∈ Z[x].
Reduktion modulo p liefert
g1 (x) = f (x)h(x) in Fp
p
p
mit g1 (x) = g(x ) = (g(x)) . Wegen f | g1 ist ggT (f , g) 6= 1, und somit haben f g im algebraischen
Abschluss Fp von Fp eine gemeinsame Nullstelle. Weiter folgt, dass xn − 1 in Fp eine mehrfache
Nullstelle besitzt. Dies ist jedoch aufgrund von p - n nicht möglich. Also ist die Annahme falsch
und es gilt
f (x) = Φn (x).
Nach der Definition des Minimalpolynoms (vgl. Definition 2.22) ist Φn (x) somit auch irreduzibel in Z[x].
Satz 4.9. Der Grad [Q(ξn ) : Q] der Körpererweiterung ist φ(n).
Beweis. Φn (x) ist das Minimalpolynom von ξn über Q. Da dieses Grad φ(n) hat, folgt dies unmittelbar aus der Definition 7.5.4.
Da wir nun die Vektorraumdimension von Q(ξn ) über Q kennen, ist die Anzahl der Basiselemente des n-ten Kreisteilungskörpers bekannt. Die Mächtigkeit einer solchen Basis ist durch die
Anzahl der primitiven Einheitswurzeln gegeben. Im Spezialfall n = p, p ∈ P, ist die kanonische
Basis durch B = {1, ξp , ξp2 , ..., ξpp−2 } gegeben. Im späteren Verlauf werden wir auf diese Basis zurückgreifen, um die Diskriminante des p-ten Kreisteilungskörpers zu bestimmen.
20
Eine weitere wichtige Eigenschaft eines Kreisteilungskörpers ist im nachfolgenden Satz dargestellt. Der Begriff Galoiserweiterung wurde nach Évariste Galois8 benannt.
Satz 4.10. Die Erweiterung Q(ξn )/Q ist eine Galoiserweiterung (vgl. Definition 7.5.12).
Beweis. Da wir den Kreisteilungskörper als Zerfällungskörper definiert haben, ist die Normalität
klar (vgl. Definition 7.5.7). Die Separabilität (vgl. Definition 7.5.11) folgt unmittelbar aus charQ =
0. Somit liegt eine Galoiserweiterung vor.
Nun kennen wir auch die Galoisgruppe GalQ(ξn )/Q , die auf den Nullstellen des n-ten Kreisteilungskörpers operiert (vgl. Definition 7.5.12). Mit Hilfe dieser Automorphismen lassen sich nun die
relative Norm und relative Spur etwas spezifischer definieren (vgl. Definition 3.1). Dazu sei nun
x ∈ Q(ξn ) ein beliebiges Element aus dem n-ten Kreisteilungskörper. Dann ist die relative Norm
durch
Y
ρ(x)
NQ(ξn )/Q (x) =
ρ∈GalQ(ξn )/Q
und die relative Spur durch
X
trQ(ξn )/Q (x) =
ρ(x)
ρ∈GalQ(ξn )/Q
definiert.
Als Beispiel soll hier nun die Norm von 1 − ξp berechnet werden, wobei p ∈ P gelten soll. Auf
dieses Ergebnis werden wir wieder zurückgreifen. Es gilt:
N (1 − ξp )
Y
=
(1 − ρ(ξp ))
ρ∈GalQ(ξn )/Q
φ(p)
=
Y
(1 − ξpi )
i=1
=
p−1
Y
(1 − ξpi )
i=1
=
Φp (1)
=
1p−1 + 1p−2 + ... + 11 + 1
=
p.
Es folgt N (1 − ξp ) = p.
4.2
(4.1)
Der Ganzheitsring eines Kreisteilungskörpers
Aus unseren bisherigen Ergebnissen ist bekannt, dass Z der Ganzheitsring von Q ist. Desweiteren
ist der n-te Kreisteilungskörper Q(ξn ) eine Erweiterung von Q. Somit gilt
Z ⊂ Q
und
Q ⊂ Q(ξn ).
Über den Ganzheitsring von Q(ξn ) wissen wir nur, dass er ein Teilring von Q(ξn ) ist. Die Struktur
und die Beziehung zu Z ist bis jetzt unbekannt. Es ergeben sich folgende Beziehungen untereinander.
8 Évariste Galois (1811-1832) war ein französischer Mathematiker, der mit seinen Ergebnissen über die Auflösung algebraischer Gleichungen die abstrakte Algebra begründete. Erst posthum erkannte man den unschätzbaren
Wert der Ausarbeitungen von É. Galois, dem zu Lebzeiten der Zutritt zu der École polytechnique, der damals
angesehensten Universität in Frankreich, verwehrt geblieben ist.
21
Quelle: eigene Grafik
Satz 4.11. Für n ∈ N ist Z[ξn ] der Ganzheitsring des Kreisteilungskörpers Q(ξn ).
Dieser Satz ist nicht leicht zu beweisen, wir werden uns an dieser Stelle auf den Fall n ∈ P
beschränken. Für einen allgemeinen Beweis siehe [4]. Zunächst benötigen wir dafür einen Hilfssatz,
der in unserem Fall verwendet wird.
Lemma 4.12. Sei p ∈ P. Dann ist p in Q(ξp ) voll verzweigt. Ferner sei P = (1 − ξp ). Dann ist P
ein Primideal und (p) = P p−1 . Desweiteren besitzt P den Grad 1.
Q
Beweis. Es sei p = 1≤i≤p−1 (1 − ξpi ). Sei ferner
ui =
(1 − ξ i )
= 1 + ξ + ... + ξ i−1 .
1−ξ
Da p - i gilt, existiert ein j ∈ Z, sodass ij ≡ 1 mod p. Es folgt
u−1
=
i
1 − ξ ij
1−ξ
=
= 1 + ξ i + ... + (ξ i )j−1 .
1 − ξi
1 − ξi
Also ist u−1
eine algebraische Zahl und somit ist ui eine Einheit. Weiter folgt
i
Y
Y
p=
(1 − ξ i ) = (1 − ξ)p−1
ui
und somit (p) = P p−1 . Mit Hilfe der speziellen efg-Gleichung ef g = φ(p) = p − 1 (vgl. Satz 3.16)
folgt, dass P ein Primideal ist.
Nun zum Beweis von Satz 4.11:
Beweis. Die Inklusion Z[ξp ] ⊆ OQ(ξ) ist klar. Sei α ∈ OQ(ξ) , dann existieren a0 , a1 , ..., ap−2 ∈ Q,
sodass
α = a0 + a1 ξ + ... + ap−2 ξ p−2 .
Für p - j und die Spurabbildung tr : Q(ξ) → Q gilt tr(ξ j ) = −1. Weiter folgt, dass
tr(αξ −s ) = −a0 − a1 − ... − as−1 + (p − 1)as − as+1 − ... − ap−2
ist. Somit gilt tr(αξ −s − αξ) = pas , s = 0, ..., p − 2. Weil αξ −s − αξ ∈ OQ(ξ) gilt, folgt dass pas in
Z enthalten ist. Also sind alle pai mit i = 0, ..., p − 2 in Z.
Ist λ = 1−ξ, so gilt mit obigem Lemma 4.12 (λ)p−1 = (p). Mit dem obigen existieren b0 , b1 , ..., bp−2 ∈
Z, sodass
pα = b0 + b1 λ + ... + bp−2 λp−2 .
Folglich gilt λ|b0 und betrachtet man die Normen, so zeigt sich ferner p|b0 . Daraus folgt, dass
λp−1 |b0 und eine Reduktion modulo λ2 liefert λ2 |b1 λ, also λ|b1 . Dies impliziert wiederum p|b1 .
Führt man diesen Schritt nun rekursive für höhere Potenzen von λ durch, so erhält man p|bj für
j = 0, ..., p − 2. Division durch p liefert schließlich α ∈ Z[ξp ].
Somit ist der Ganzheitsring des n-ten Kreisteilungskörpers durch Z[ξn ] bestimmt. Ergänzt man
nun obiges Diagramm mit den neuen Ergebnissen, ergibt sich
Quelle: eigene Grafik
22
Nun ist der Ganzheitsring OQ(ξ) bestimmt. Aus dem vorherigen Kapitel stehen Hilfsmittel zur
Verfügung, die nun zur Charakterisierung dieser Ringe eingesetzt werden können.
4.3
Die Diskriminante eines Kreisteilungskörpers
Um das Ergebnis von H.W. Lenstra aus dem vorangegangenen Kapitel nutzen zu können, muss
man die Diskriminante eines Kreisteilungskörpers kennen.
Satz 4.13. Sei ξp eine primitive p-te Einheitswurzel, p ∈ P. Der Ganzheitsring des p-ten Kreisteilungskörpers ist Z[ξp ]. Für die Diskriminante gilt
d(Z[ξp ]) = d(ξ 0 , ..., ξ p−2 ) = (−1)
φ(p)(φ(p)−1)
2
pp−2 .
Beweis. Es ist nach Satz 3.5
dQ(ξp ) = (−1)
φ(p)(φ(p)−1)
2
· N (Φ0p (ξ)).
Ferner gilt N (ξ) = (−1)φ(p) = 1 und wegen (1 − x)Φp = 1 − xp folgt
N (Φ0p (ξ)) = N (
−pξ p−1
pφ(p)
)=
.
1−ξ
N (1 − ξ)
Die Norm von (1 − ξp ) haben wir bereits in einem Beispiel berechnet, es gilt N (1 − ξp ) = p (vgl.
(4.1)). Somit folgt die Behauptung.
Mit diesem letzten Ergebnis sind nun alle notwendigen Eigenschaften von Kreisteilungskörpern
und dessen Ganzheitsring bekannt und wir können uns der Untersuchung dieser Ringe zuwenden.
23
5
Beispielfälle
Nun widmen wir uns der Charakterisierung von Ganzheitsringen. Anhand verschiedener Beispiele sollen die verschiedenen Strukturen und die notwendigen Beweismethoden dargestellt werden.
Allgemeinere Aussagen, die viele Fälle auf einmal abdecken, wurden erst im fortgeschrittenen 20.
Jahrhundert entdeckt. Bis dahin war die Untersuchung auf spezielle Fälle beschränkt, man benötigte viele verschieden Ansätze um die Struktur erfassen zu können.
5.1
Der Fall n=4
Die vierten Einheitswurzeln sind die Nullstellen des Polynoms p = x4 −1. Diese sind durch die Menge {1, i, −1, −i} gegeben. Der Ganzheitsring von Q(ξ4 ) ist somit Z[i], genannt Ring der Gauß’schen
ganzen Zahlen. Dass die Große Fermat’sche Vermutung für n = 4 gilt, wurde erstmals von Bernard Frénicle de Bessy im Jahre 1676 bewiesen. Etwas mehr als 50 Jahre später, im Jahr 1738,
veröffentlichte Leonard Euler seinen Beweis für den Fall n = 4. Mittlerweile existieren etwa 20
verschiedene Beweise für diesen Spezialfall.
Für n = 4 gilt nicht nur die Große Fermat’sche Vermutung, in dem Ring Z[ξ4 ] existiert sogar eine
euklidische Funktion
γ : Z[i]\{0} → N0 ,
sodass ein euklidischer Ring vorliegt.
Satz 5.1. Z[i] ist ein euklidischer Ring.
Beweis. Sei a + ib, c + id ∈ Z[i], c + id 6= 0. Sei ferner γ(a + ib) = a2 + b2 = |a + ib|2 . Angenommen
a+ib
c+id
= x + iy mit x =
Dann existieren e, f ∈ Z mit
|e − x| ≤
ac+bd
c2 +d2 , y
=
bc−ad
c2 +d2 .
1
1
, |f − y| ≤ ,
2
2
also |(x + iy) − (e + if )|2 = (e − x)2 + (f − y)2 ≤
1
4
+
1
4
< 1. Multiplikation mit |(c + id)|2 liefert
|(a + ib) − (c + id)(e + if )|2 < |(c + id)|2 .
Sei nun (a + ib) − (c + id)(e + if ) = r + is ∈ Z[i], so folgt
(a + ib) = (c + id)(e + if ) + (r + is)
mit
γ(r + is) < γ(c + id).
Die Definition eines euklidischen Ringes ist erfüllt und Z[i] ist somit ein euklidischer Ring.
Diese Beweismethode ist sehr fundamental, sie benötigt keine tiefergehenden Hilfsmittel.
5.2
Der Fall n=7
Die Untersuchung von n = 7 folgt mit einem Ergebnis von H.W. Lenstra, der im Kapitel über
Zahlkörper durch Satz 3.18 vorgestellt wurde. Zunächst prüfen wir die Voraussetzungen.
Lemma 5.2. Die Lenstra-Konstante M ist in diesem Fall M = 6.
Beweis. Der Ganzheitsring Z[ξ7 ] des 7-ten Kreisteilungskörpers besitzt in p=(1 − ξ7 )Z[ξ7 ] ein voll
verzweigtes Primideal (vgl Definition 3.15 und Lemma 4.12). Dieses Primideal wird von jeder Zahl
1 − ξ7s , 7 - s, erzeugt. Somit ist ω = (1 − ξ7i )/(1 − ξ7 ), (0 ≤ i ≤ 6), eine Ausnahmefolge der Länge
6. Somit gilt M = 6.
24
Ferner gilt mit Satz 4.13 für die Diskriminante |∆Q(ξ7 ) | = 77−2 = 75 . Der Grad der Körpererweiterung ist n = φ(7) = 6, und somit folgt nun
6
4
6!
> ( )3 · 6 · 7(7−2)/2
π
6
64 720 √
≈
·
· 16807
31 46656
≈ 4.13.
Damit ist der Satz von H.W. Lenstra erfüllt und Z[ξ7 ] ist ein normeuklidischer Ganzheitsring.
Man kann dieses Verfahren noch für weitere Primzahlen austesten, die Werte der Rechnung
sind in folgender Tabelle dargestellt:
Primzahl
3
5
7
11
Lenstra-Konstante
2
4
6
10
Abschätzung (gerundet)
1.103
1.70
4.13
58.96
Dadurch folgt, dass mit Hilfe dieses Satzes für p = 3, 5, 7 die Normeuklidizität der Ganzheitsringe folgt. Für p = 11 ist dieser Satz nicht anwendbar, da die Abschätzung in diesem Fall nicht
erfüllt ist.
5.3
Der Fall n=8
Um zu zeigen, dass Z[ξ8 ] ein euklidischer Ring ist, benötigen wird zunächst eine Hilfsaussage.
Lemma 5.3. Sei ξ8 eine primitive Einheitswurzel. Es existiert eine Konstante 0 < C < 1, sodass
für alle
δ = a + bξ8 + cξ82 + dξ83 ∈ Q(ξ8 )
mit −1/2 ≤ a, b, c, d ≤ 1/2 die Abschätzung
|NQ(ξ8 )/Q (δ)| ≤ C
gilt.
Beweis. Für w, x, y, z ∈ [−1/2, 1/2] ⊂ R setzen wir u = w2 + x2 + y 2 + z 2 , v = wx − wz + xy + yz
und
F (w, x, y, z) = (w2 + x2 + y 2 + z 2 )2 − 2(wx − wz + xy + yz)2 = u2 − 2v 2 .
Für alle w, x, y, z aus dem vorgegebenen Intervall gilt 0 ≤ u ≤ 1 und −1/2 ≤ v ≤ 1/2. Mit Hilfe
dieser Abschätzungen folgt −1/2 ≤ u2 − 2v 2 ≤ 1. Der einzige Fall in dem u2 − 2v 2 = 1 gilt, ist
für u = 1, v = 0. Hierbei wird durch u = 1 die Werte von w, x, y, z ∈ {± 21 } impliziert. Überprüft
man nun alle 16 möglichen Fälle, so sieht man, dass v = 0 nicht auftritt. Also gilt u2 − 2v 2 < 1
für alle w, x, y, z ∈ [−1/2, 1/2] und somit |F (w, x, y, z)| < 1 für das oben angegebene Intervall. Da
aber ein Intervall kompakt ist und F auf diesem stetig ist, muss F ein Maximum und Minimum
annehmen. Daraus folgt die Existenz einer Konstanten 0 < C < 1 mit |F (w, x, y, z)| ≤ C für alle
w, x, y, z ∈ [−1/2, 1/2]. Für a, b, c, d ∈ Q ∩ [−1/2, 1/2] gilt
|NQ(ξ8 )/Q (a + bξ8 + cξ82 + dξ83 )| = |F (a, b, c, d)| ≤ C.
Daraus folgt nun die Behauptung.
Als direkte Konsequenz dieses Lemmas können wir nun einen euklidischen Algorithmus in Z[ξ8 ]
definieren.
Seien dafür α = a0 + a1 ξ8 + a2 ξ82 + a3 ξ83 und β = b0 + b1 ξ8 + b2 ξ82 + b3 ξ83 Elemente aus Z[ξ8 ] mit
β 6= 0 und n = NQ(ξ8 )/Q (β). Sind die Konjugierten von β in Q(ξ8 ) über Q durch β1 , β2 , β3 , β4 mit
β = β1 gegeben, so setzen wir
γ = αβ2 β3 β4 ,
25
und schreiben γ = g0 + g1 ξ8 + g2 ξ82 + g3 ξ83 . Für 0 ≤ j ≤ 3 sei qj die näheste natürliche Zahl zu gj /n
und rj = gj − nqj . Nun folgt mit ρ = rn0 + rn1 ξ8 + rn2 ξ82 + rn3 ξ83 die Gleichung
γ
α
= = (q0 + q1 ξ8 + q2 ξ82 + q3 ξ83 ) + ρ.
β
n
r
Nach Konstruktion ist | nj | ≤ 1/2 und so ergibt eine Anwendung des Lemmas 5.3 |NQ(ξ8 )/Q (ρ)| ≤
C < 1. Dann gilt |NQ(ξ8 )/Q (ρβ)| ≤ C|NQ(ξ8 )/Q (β)| < |NQ(ξ8 )/Q (β)|. Ferner folgt ρβ ∈ Z[ξ8 ], da
ρβ = α − β(q0 + q1 ξ8 + q2 ξ82 + q3 ξ83 ). Folglich haben wir nun
α = (q0 + q1 ξ8 + q2 ξ82 + q3 ξ83 )β + ρβ, ρβ ∈ Z[ξ8 ],
|NQ(ξ8 )/Q (ρβ)| < |NQ(ξ8 )/Q (β)|.
und
Somit existiert in Z[ξ8 ] ein euklidischer Algorithmus.
5.4
Der Fall n=15
Um zu zeigen dass Q(ξ15 ) einen euklidischen Ganzheitsring besitzt, benutzen wir das Ergebnis von
H.W. Lenstra aus Satz 3.19. Zunächst müssen jedoch die Voraussetzungen geprüft werden.
−1
Satz 5.4. Q(ξ15 + ξ15
) ist ein reeller Teilkörper von Q(ξ15 ).
−1
−1
Beweis. Die Inklusion Q(ξ15 + ξ15
) ⊆ Q(ξ15 ) ist klar. Desweiteren gilt ξ15 = exp( 2πi
15 ) und ξ15 =
−2πi
exp( 15 ). Somit ergibt sich für die Summe
−1
ξ15 + ξ15
= 2 cos(
−2π
),
15
−1
und dies ist eine Zahl aus R. Also gilt Q(ξ15 + ξ15
) ⊂ R.
−1
Satz 5.5. Der Grad von Q(ξ15 )/Q ist 8 und der Grad von Q(ξ15 )/Q(ξ15 + ξ15
) ist 2.
−1
Beweis. Nach Satz 4.9 gilt [Q(ξ15 ) : Q] = φ(15) = 8. Ferner ist [Q(ξ15 )/Q(ξ15 + ξ15
)] = 2, da das
−1
−1
2
Minimalpolynom von ξ15 über Q(ξ15 + ξ15 ) durch f = x − (ξ15 + ξ15 )x + 1 gegeben ist.
Somit sind alle Voraussetzungen erfüllt und der Satz darf angewendet werden. Dieses Verfahren lässt sich auch auf weitere Kreisteilungskörper übertragen. Weitere Kreisteilungskörper, die die
Voraussetzungen erfüllen, sind Q(ξ16 ) und Q(ξ20 ), sowie Q(ξ24 ) und Q(ξ30 ). Folgende Tabelle fasst
die Ergebnisse zusammen.
Kreisteilungskörper
Q(ξ15 )
Q(ξ16 )
Q(ξ20 )
Q(ξ24 )
Q(ξ30 )
reeller Teilkörper
−1
Q(ξ15 + ξ15
)
−1
Q(ξ16 + ξ16
)
−1
Q(ξ20 + ξ20
)
−1
Q(ξ24 + ξ24
)
−1
Q(ξ30 + ξ30
)
Diskriminante
∆ = 1125
∆ = 16777216
∆ = 2000
∆ = 2304
∆ = 1265625
Für die Kreisteilungskörper Q(ξ16 ) und Q(ξ30 ) kann keine Aussage getroffen werden, denn der
Wert der Diskriminante genügt nicht der gewünschten Abschätzung. Im späteren Kapitel über
faktorielle und normeuklidische Ganzheitsringe werden wir jedoch sehen, dass all diese Ganzheitsringe zumindest faktoriell sind, Z[ξ15 ] und Z[ξ30 ] sind insbesondere isomorph zueinander und sogar
normeuklidisch.
5.5
Der Fall n=23
Dieser Fall ist vor allem von historischer Bedeutung. Die kleinste Primzahl, für die Z[ξ23 ] keine
eindeutige Primfaktorzerlegung besitzt, ist n = 23. Ernst Kummer entdeckte eine nichteindeutige
Zerlegung in diesem Ring. Infolgedessen wurde unter anderem ein Beweisversuch der Großen Fermat’schen Vermutung von Lamé widerlegt. Mit dem Ergebnis aus Satz 2.43 genügt es zu zeigen,
dass Q(ξ23 ) nicht Klassenzahl 1 besitzt. Wir werden an dieser Stelle zeigen, dass nicht alle Ideale
in Z[ξ23 ] Hauptideale sind. Nach Satz 2.43 ist Z[ξ23 ] somit kein faktorieller Ring, insbesondere kein
euklidischer Ring.
26
Satz 5.6. Z[ξ23 ] ist kein Hauptidealring.
Beweis. Aus [19] ist bekannt, dass jeder
√ quadratische Zahlkörper in einem Kreisteilungskörper
enthalten
ist.
In
diesem
Fall
gilt
Q(
−23) ⊂ √
Q(ξ23 ), vgl. [4]. Die Primzahl 2 splittet sich in
√
Q( −23) in pp auf, wobei p das Ideal (2, (1 + −23)) ist. Sei P ein Primideal in Q(ξ23 ), dass
oberhalb von p liegt. Ist nun√P ein Ideal, so auch die Norm von P . Die relative Norm von P bezüglich
der Erweiterung Q(ξ23 )/Q( −23)√ist pf (vgl. [17]). Hierbei bezeichnet f den Grad der Erweiterung.
Im speziellen gilt f |[Q(ξ23 ) : Q( −23)] = 11, also f = 11 oder f = 1. Gilt nun f = 1, so ist
N (P ) = p und p ist offensichtlich kein Hauptideal. Somit kann auch der zugehörige Ganzheitsring
kein Hauptidealring sein. Angenommen, es gilt f = 11. Ferner gilt dann N (P ) = p11 = p3 p3 p3 p2 .
Da die Klassenzahl von OQ(√−23) gleich 3 ist, so folgt dass p3 ein Hauptideal ist. Für p2 gilt
p2 = (4, 1 +
√
√
1
−23, (−22 + 2 −23)).
4
Durch Vereinfachungen folgt schließlich, dass P kein Hauptideal ist und letztendlich die Behauptung.
Die Untersuchung der verschiedenen Ganzheitsringe soll verdeutlichen, dass viele Ansätze notwendig waren, um eine Charakterisierung durchführen zu können. Die kanonischen Ansätze, die
im Fall n = 4 und n = 8 zum Ziel führten, scheitern beim Versuch, diese auf weitere Fälle anzuwenden. Die aufwendigen Hilfsmittel, die benötigt werden um weitere Fälle zu charakterisieren,
wurden zum Teil erst im Laufe des 19. Jahrhundert entdeckt und bewiesen.
27
6
Resultate
Wie im Kapitel zuvor dargestellt, benötigte die Einordnung der Ganzheitsringe in die verschiedenen Ringstrukturen viel Zeit und viele verschiedene Ansätze. In diesem Kapitel werden nun die
Resultate über die Untersuchung und Charakterisierung der Ganzheitsringe von Kreisteilungskörpern vorgestellt. Dabei werden zunächst die Ergebnisse von Ernst Kummer vorgestellt, die den
Anstoß zur Betrachtung dieser Ringe gegeben haben.
Dass reguläre Primzahlen kein Indiz für eine eindeutige Primfaktorzerlegung sind, zeigt der Fall
n = 23, siehe vorheriges Kapitel. Die weiteren Untersuchungen spezifizieren die verschiedenen Klassen dieser Ganzheitsringe.
Auf Beweise wird in diesem Kapitel verzichtet, die notwendigen Hilfsmittel dazu benötigen tiefergehende Aussagen aus der algebraischen Zahlentheorie. Diese hier dazustellen würde den Rahmen
dieser Arbeit sprengen, dem interessierten Leser stehen die Literaturangaben zu den Veröffentlichungen zur Verfügung.
Wird von einer Anzahl von verschiedenen Ganzheitsringen gesprochen, so werden die Fälle
Z[ξ1 ] = Z[ξ2 ] = Z
nicht beachtet, denn der zugeörige Kreisteilungskörper enspricht Q, es liegt also keine echte Körpererweiterung vor.
6.1
Große Fermat’sche Vermutung
Gabriel Lamé reichte im Jahre 1847 einen kompletten Beweise der Großen Fermat’sche Vermutung
ein, den er auf der Grundlage von
xp = z p − y p =
p
Y
(z − ξpi y)
i=1
geführt hatte. Dabei nahm er stillschweigend die eindeutige Primfaktorzerlegung im Ring Z[ξp ] an.
Ernst Kummer entdeckte im selben Jahr eine nicht-eindeutige Primfaktorzerlegung in Z[ξ23 ] und
machte so auf diesen Fehler aufmerksam. Insbesondere ist p = 23 die erste Primzahl, für die keine
eindeutige Primfaktorzerlegung in Z[ξ23 ] existiert.
Um auf das Ergebnis von Kummer eingehen zu können, wird eine besondere Klasse von Primzahlen benötigt. Die regulären Primzahlen wurden von Kummer über die sogenannten BernoulliZahlen eingeführt.
Definition 6.1. Die Bernboulli-Zahlen sind durch die Koeffizienten der Taylorreihe
∞
X xi
x
Bi
=
x
e −1
i!
i=0
definiert.
Beispiel 6.2. Die ersten Bernoulli-Zahlen sind gegeben durch:
B0 = 1,
B1 =
1
,
2
B2 =
1
,
6
B3 = 0,
B4 = −
1
, ...
30
Definition 6.3. Eine Primzahl p, p > 2, heißt regulär, wenn p keinen Zähler der Bernoulli-Zahlen
B2 , B4 , ..., Bp−3 teilt.
Beispiel 6.4. p = 5 ist eine reguläre Primzahl, da 5 nicht den Zähler von B2 =
irregulären Primzahlen sind 37, 59, 67, 101, ....
1
6
teilt. Die ersten
Durch folgenden Satz stellte Kummer einen Zusammenhang zwischen regulären Primzahlen
und der Klassenzahl des zugehörigen Kreisteilungskörpers her.
Satz 6.5. Eine Primzahl p ist genau dann regulär, wenn gilt p - hQ(ξn ) .
28
Für einen ausführlichen Beweis siehe [3].
Weiterhin ist bekannt, dass es unendlich viele irreguläre Primzahlen gibt. Bis heute ist jedoch
die Vermutung, dass auch unendlich viele reguläre Primzahlen existieren, unbewiesen. Heutzutage
schätzt man, dass ungefähr 61% aller Primzahlen regulär sind.
Durch die Ergebnisse von Kummer konnte somit der Beweis der Großen Fermat’schen Vermutung
auf irreguläre Primzahlen eingeschränkt werden. Als direkte Folgerung des obigen Satzes ergibt
sich, dass für eine eindeutige Primfaktorzerlegung in Z[ξp ] die Regularität von p eine notwendige,
jedoch nicht hinreichende Eigenschaft ist, denn ein p-ter Kreisteilungskörper zu einer regulären
Primzahl garantiert nicht zwangsläufig einen faktoriellen Ganzheitsring, wie im Fall n = 23 im
vorherigen Kapitel dargestellt wurde.
6.2
Faktorielle Ganzheitsringe
Ausgehend von der Fermat’schen Vermutung wurde die Betrachtung von Ganzheitsringen von
Kreisteilungskörpern immer weiter vorangetrieben, denn das Ergebnis von Kummer machte keine
Aussagen über reguläre Primzahlen. Wie im Abschnitt über die Klassenzahl dargestellt, ist die
Klassenzahl 1 eine äquivalente Charakterisierung für faktorielle Ringe. Man stellt sich nun die
Frage, für welche p der zugehörige Ganzheitsring Klassenzahl 1 besitzt. Es stellte sich heraus, dass
die Klassenzahl sehr schnell ansteigt, wenn p größer wird.
Der deutsche Mathematiker Carl Ludwig Siegel (1896-1981) entdeckt zusammen mit Richard Brauer (1901-1977) den sogenannten Satz von Brauer-Siegel, der unter anderem dazu verwendet wurde,
um zu zeigen, dass nur endlich viele p mit einer eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z[ξp ] existieren.
Desweiteren zeigte C. Siegel im Jahre 1964, dass hQ(ξp ) = 1 die Tatsache p ≤ C impliziert. Hierbei
beschreibt C eine berechenbare Konstante, die jedoch zu groß war, um mögliche Berechnungen
durchführbar zu machen.
Die beiden Mathematiker H. Montgomery und K. Uchida entdeckten unabhängig voneinander im
Jahre 1971 eine bessere Abschätzung für p ≤ C.
Satz 6.6 (Montgomery & Uchida). Für den Ganzheitsring von Q(ξp ) gilt: hQ(ξp ) = 1 genau dann,
wenn p ≤ 19 ist.
Mit der Hilfe von H. Montgomery konnte nun John Myron Masley weitere Fälle untersuchen.
Diese Methode benutzt hauptsächlich die Relativklassenzahl h− , die durch
h− = hK /h+ = hK /hK∩R
definiert ist. Dabei bezeichnet K ∩ R den reellen Teilkörper von K und h+ dessen Klassenzahl.
Durch die Untersuchung der Relativklassenzahl h+ konnte J. Masley weitere Ganzheitsringe mit
Klassenzahl 1 bestimmen.
Satz 6.7 (Masley & Montgomery (1976)). Es existieren genau 29 verschiedene Ganzheitsringe von
Kreisteilungskörpern mit hQ(ξn ) = 1. Diese werden durch folgende Zahlen dargestellt:
n = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84
Einen ausführlichen Beweis dieser Aussage findet sich in [15]. Die Eindeutigkeit dieser Ringe
ist von Bedeutung, denn ist m ungerade, so gilt φ(m) = φ(2m). Somit folgt Z[ξm ] = Z[ξ2m ]. Durch
das Ergebnis von J.M. Masley und H. Montgomery sind alle faktoriellen Ganzheitsringe bekannt.
6.3
Euklidische Ganzheitsringe
Masley entdeckte neben der oben vorgestellten Aussage über faktorielle Ganzheitsringe auch einen
Satz, der normeuklidische Ganzheitsringe beschreibt. Dieses Ergebnis wurde im Jahr 1972 in der
mathematischen Zeitschrift Notices of the American Mathematical Society veröffentlicht (siehe [9]).
Satz 6.8 (Masley). Gilt φ(n) ≤ 4, so ist Z[ξn ] normeuklidisch.
Diese erste Aussage liefert fünf verschiedene normeuklidische Ganzheitsringe. Um weitere euklidische oder normeuklidische Ganzheitsringe zu finden benötigen wir nun weitere Sätze. Der
29
niederländische Mathematiker H.W. Lenstra entdeckte neben den schon vorgestellten Charakterisierungen von euklidischen Ganzheitsringen von Zahlkörpern auch eine Aussage9 über euklidische
Ganzheitsringe von Kreisteilungskörpern, die uns weitere normeuklidische Ringe liefert.
Satz 6.9 (Lenstra). Sei φ(n) ≤ 10, n 6= 16, n 6= 24. Dann ist Z[ξn ] normeuklidisch.
Für einen Beweis dieser Aussage siehe [10]. Nun folgt durch obigen Satz die Existenz von zehn
nicht-isomorphen normeuklidischen Ganzheisringen für
m = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 15.
Eine noch allgemeinere Aussage trifft folgendes Ergebnis von Peter Weinberger, dass jedoch
unter der Hypothese bewiesen wurde, dass die verallgemeinerte Riemannvermutung10 wahr ist.
Die Riemannvermutung ist eines der sogenannten Milleniumprobleme 11 und bis heute unbewiesen.
Satz 6.10 (Weinberger). Sei R ein Ganzheitsring mit unendlich vielen Einheiten, sprich invertierbaren Elementen. Angenommen, die verallgemeinerte Riemannvermutung ist wahr. Dann gilt:
R ist ein Hauptidealring ⇔ R ist ein euklidischer Ring.
Der Beweis dieser Aussage findet sich unter [13]. Mittlerweile hat man zwar einige äquivalente
Aussagen zur Riemannvermutung gefunden, doch ein Beweis ist für keine dieser Aussagen bekannt.
Nun bleibt offen, ob in einem Ganzheitsring eines Kreisteilungskörpers überhaupt unendlich viele
Einheiten existieren. Der Einheitensatz von Dirichlet beantwortet diese Frage.
Satz 6.11 (Einheitensatz von Dirichlet). Sei K = Q(ξn ) ein Zahlkörper und f das Minimalpolynom
ξn vom Grad φ(n). Desweiteren sei r1 die Anzahl der reellen Nullstellen des Minimalpolynoms
f und r2 die Anzahl der imaginären Nullstellen. Dann gilt für die Einheitengruppe Z[ξn ]∗ des
Ganzheitsrings
Z[ξn ]∗ ∼
= Zr1 +r2 −1 ⊕ < ξn > ∼
=< u1 > ⊕ < u2 > ⊕ · · · ⊕ < ur1 +r2 −1 > ⊕ < ξn > .
Der interessierte Leser wird für einen Beweis auf [3] verwiesen. Die Fälle n = 1 oder n = 2
sind für uns insofern uninteressant, da der zugehörige Ganzheitsring Z ist und dieser bereits genau
charakterisiert ist. In unserem Fall gilt also r1 + r2 = φ(n) > 1 für n > 2. Somit umfasst die
Einheitengruppe in jedem Fall unendliche viele Einheiten, die Bedingung von Satz 6.10 ist also
erfüllt.
Viele Mathematiker gehen heutzutage davon aus, dass die Riemannvermutung wahr ist und
somit wären alle euklidischen Ganzheitsringe bekannt. Doch neuere Forschungsergebnisse von M.
Harper und M. Murty zeigen, dass auf die Vorausetzung der verallgemeinerten Riemannvermutung verzichtet werden kann, wenn K eine Galoiserweiterung von Q mit Rang der zugehörigen
Einheitengruppe r ≥ 4 ist. Hierbei gilt r = r1 + r2 − 1, wobei r1 und r2 wie oben definiert sind.
Ist die Körpererweiterung K/Q abelsch, d.h. eine abelsche Automorphismengruppe, so gilt obiges
Ergebnis auch im Fall r = 3 (siehe [20]).
Mit diesem letzten Ergebnis endet hier nun die Untersuchung von Ganzheitsringen von Kreisteilungskörpern.
9 Das obige Resultat stammt aus der Veröffentlichung Euclidean number fields 1, welche 1979 im Mathematical
Intelligencer erschienen ist.
10 Die Riemannvermutung trifft eine Aussage über die Verteilung der nichttrivialen Nullstellen der RiemannschenZeta-Funktion. Sie besagt, dass alle diese nichttrivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen. Die verallgemeinerte
Riemannvermutung beinhaltet eine ähnliche Aussage über die analytische Fortsetzung von Dirichlet’schen L-Reihen
und deren Nullstellen.
11 Als Milleniumprobleme bezeichnet man eine Liste von sieben Problemen der Mathematik, deren Lösung die Mathematik in besonderem Maße voranbringen soll. Bis zum heutigen Stand ist nur eines der Probleme, die sogenannte
Poincaré-Vermutung, bewiesen worden.
30
7
Grundlagen
Hier befinden sich nun einige Definitionen und Sätze aus verschiedenen Bereichen der Mathematik,
auf die in der Arbeit verwiesen wurde.
7.1
Tiefergehende Lineare Algebra
Die nächste Definition eine Moduls wird im späteren Abschnitt über Ganzheitsringe benötigt um
Aussagen über die Menge der algebraischen und die ganz algebraischen Zahlen zu treffen. Diese
Struktur wird ebenfalls in der Idealtheorie gebraucht um Ringe genauer untersuchen zu können.
Definition 7.1.1. Sei R ein Ring. Eine Teilmenge V ⊆ C der komplexen Zahlen wird R-Modul
genannt, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
i) γ1 , γ2 ∈ V impliziert γ1 ± γ2 ∈ V .
ii) γ ∈ V und r ∈ R impliziert rγ ∈ V .
Pl
iii) Es existieren γ1 , γ2 , ..., γl ∈ V , sodass jedes γ ∈ V durch eine Summe i=1 ri γi mit ri ∈ R
dargestellt werden kann.
Lemma 7.1.2. Sei α ∈ C. Sei ferner V = (γ1 , γ2 , ..., γl ) ein Q-Modul. Angenommen, für α gilt
αγ ∈ V für alle γ ∈ V . Dann ist α eine algebraische Zahl.
Pl
Beweis. Es gilt αγi ∈ V für i = 1, 2, ..., l. Also folgt αγi =
j=1 aij γj mit aij ∈ Q. Es folgt
Pl
0 = j=1 (aij − δij α)γj , wobei δij das Kroneckerdelta bezeichnet. Aus der Linearen Algebra folgt
det(aij − δij α) = 0. Wird die Determinante nun ausführlich aufgeschrieben, so erkennt man, dass
α ein Polynom vom Grad l mit rationalen Koeffizienten anulliert. Also ist α eine algebraische
Zahl.
Lemma 7.1.3. Sei ω ∈ C. Sei ferner W ein Z-Modul. Angenommen, für ω gilt ωγ ∈ W für alle
γ ∈ W . Dann ist ω eine ganz algebraische Zahl.
Beweis. Beweis analog wie obiger von Lemma 7.1.2.
7.2
Zahlentheorie
Eine wichtige Funktion, die in vielen Bereichen der Mathematik auftaucht, ist die eulersche PhiFunktion. Hier wird sie im Besonderen bei den Kreisteilungspolynomen einen wichtigen Platz
einnehmen.
Definition 7.2.1. Die Eulersche Phi-Funktion φ(n) gibt die Anzahl der teilerfremden Zahlen zu
n an, die kleiner als n sind. In anderen Worten, sie gibt die Mächtigkeit der Menge {m ∈ N | m <
n, ggT (n, m) = 1} an.
Definition 7.2.2. Eine Kongruenz ist beschreibt die Beziehung dreier ganzer Zahlen a, b, m. Zwei
Zahlen a, b heißen kongruent bzgl. eines Moduls m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen
Rest besitzen. Man schreibt dafür a ≡ b mod m.
Diese Definition lässt sich auf Faktorringe übertragen, wir werden diesen Sachverhalt in mehreren Beweisen benötigen.
Definition 7.2.3. Ein nichttrivialer Gruppenhomomorphismus
X : G = (Z/qZ)∗ → C∗
heißt Dirichlet-Charakter oder Charakter. Desweiteren ist die Dirichlet’sche L-Reihe definiert durch
L(s, X ) =
∞
X
Xn
,
ns
n=1
wobei X den Dirichlet-Charakter beschreibt.
31
7.3
Gruppentheorie
Definition 7.3.1. Ein Untergruppe U einer Gruppe G heißt Normalteiler von G, falls gU = U g
für alle g ∈ G gilt.
Definition 7.3.2. Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler. Dann bildet G/N = {gN | g ∈ G}
mit dem Komplexprodukt eine Gruppe, die sogenannte Faktorgruppe von G nach N.
Satz 7.3.3 (2. Isomorphiegesetz). Sei G eine Gruppe und seien N , H Normalteiler in G mit
N ⊆ H ⊆ G. Dann ist N auch ein Normalteiler in H, und man kann H/N als Normalteiler in
G/N auffassen. Es gilt dann
(G/N )/(H/N ) ∼
= G/H.
Auf einen Beweis des 2. Isomorphiegesetzes wird hier verzichtet, für einen Beweis siehe [1].
7.4
Ringtheorie
Definition 7.4.1. Die Einheitengruppe R∗ eines Ringes besteht aus den invertierbaren Elementen
des Ringes.
Die folgende Definition benötigen wir um eine weitere Klasse von Ringen einzuführen, die
sogenannten noetherschen Ringe. Diese sind wiederum wichtig um eine Charakterisierung von faktoriellen Ringen zu gewährleisten (vgl. Satz 2.18).
Definition 7.4.2. Eine geordnete Menge (S, ≤) heißt noethersch, wenn jede Teilmenge X ⊆ S
ein maximales Element m ∈ X besitzt.
Lemma 7.4.3. Eine geordnete Menge (S, ≤) ist genau dann noethersch, wenn jede Kette s1 ≤
s2 ≤ ... von Elementen in S schließlich konstant ist.
Beweis. Sei (S, ≤) noethersch und s1 ≤ s2 ≤ ... eine Kette in S. Ist si ein maximales Element von
{s1 , s2 , ....}, so gilt si = sj für alle j ≥ i.
Gelte nun umgekehrt die Kettenbedingung und sei X ⊆ S, X 6= {}. Nun wählt man x1 ∈ X und
für k ∈ N induktiv xk+1 ∈ X mit xk < xk+1 . Ist dies nicht möglich, so wähle xk+1 = xk . Nach
Voraussetzung ist diese Kette konstant und somit findet sich ein maximales Element in X.
Satz 7.4.4. Sei R ein Integritätsring. R ist genau dann noethersch, wenn alle seine Ideale endlich
erzeugt sind.
Beweis. Sei R noethersch und I ein Ideal. Sei M = (x1 , ...xn ) ⊆ I ein maximales Element aus der
Menge aller endlich erzeugten Ideale die in I enthalten sind. Für x ∈ I gilt dann (x, x1 , ...xn ) = M ,
und es folgt I = M . Also ist I endlich erzeugt.
Sei umgekehrt
S jedes Ideal endlich erzeugt und I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ ... eine Kette von Idealen. Dann ist
das RIdeal i∈N Ii endlich erzeugt. Sei also I von (x1 , ...xn ) erzeugt. Dann existiert ein m ∈ N mit
x1 , ..., xn ∈ Im . Somit ist die Kette der Ideale ab m konstant gleich Im . Nach Lemmma 7.4.3 ist R
noethersch.
Definition 7.4.5. Sei R ein Ring und I ein Ideal in R. Nach Definition der Faktorgruppe bildet
R/I = {r + I | r ∈ R}
eine abelsche Gruppe mit der Addition
(r + I) + (s + I) = (r + s) + I für r, s ∈ R.
Sei durch
(r + I) ∗ (s + I) = (rs) + I für r, s ∈ R
eine Multiplikation auf R/I definiert. Somit bildet R/I einen Ring, den sogenannten Faktorring
von R modulo I.
Lemma 7.4.6. Sei R ein Integritätsring und I ein Ideal in R. Dann ist der Faktorring R/I genau
dann ein Körper, wenn I ein maximales Ideal ist.
32
Beweis. Sei I maximal und a + I ∈ R/I mit a ∈ R\I. Da R als kommutativer Ring vorausgesetzt
wurde, ist J = aR + I ein Ideal in R und es gilt J 6= I, da a ∈ J. Da ferner I maximal ist, muss
J = R gelten. Somit existieren b ∈ R und i ∈ I mit ab + i = 1. Daraus folgt
(a + I)(b + I) = ab + I = 1 + I,
also existiert zu jedem Element aus R/I ein Inverses.
Sei nun für die umgekehrte Implikation I nicht maximal und J ein Ideal mit
I ⊂ J ⊂ R.
Für ein a ∈ J\I und für alle r ∈ R folgt dann
(a + I)(r + I) = ar + I ⊆ J + I ⊆ J,
also 1(a + I)(r + I). Somit ist a + I 6= 0 + I nicht invertierbar in R/I.
Lemma 7.4.7. Sei R ein Hauptidealring. Dann ist pR für ein irreduzibles p ∈ R ein maximales
Ideal von R, insbesondere ist R/pR ein Körper (nach Lemma 7.4.6).
Beweis. Sei pR ⊆ I ein Ideal. Dann gibt es ein a ∈ R mit I = aR. Wegen
p ∈ pR ⊆ I = aR
ist p = ab für ein b ∈ R. Da p als irreduzibel vorausgesetzt war, folgt a ∈ E(R) oder b ∈ E(R).
Schließlich gilt dann I = aR = R oder I = aR = pb−1 R = pR.
Lemma 7.4.8. Sei R ein Integritätsring und p ∈ R. p ist genau dann prim, wenn der Faktorring
R/pR nullteilerfrei ist.
Beweis. Dies ist die Negation von der Definition eines Primelementes.
7.5
Körpertheorie
Definition 7.5.1. Sei R ein Integritätsring. Der Quotientenkörper Q(R), auch Körper der Brüche
genannt, ist der kleinste Körper, der R enthält.
Pn
Definition 7.5.2. Sei R ein faktorieller Ring. Ein Polynom f = i=0 ai xi aus R[x] heißt primitiv,
wenn ggT (a0 , ..., an ) = 1 gilt. Man kann zeigen, dass für primitive Polynome f, g ∈ R[x] auch f g
primitiv ist.
Satz 7.5.3 (Lemma von Gauß). Sei R ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper Q. Sei p ∈ R[x]
ein primitives Polynom, das in Q[x] die Zerlegung f = gh mit g, h ∈ Q[x], deg(g) > 0, deg(h) > 0
0
0
0 0
besitzt. Dann existieren primitive Polynome g , h ∈ R[x] mit f = g h , sodass die Beziehungen
0
0
g = bg, h = ch mit b, c ∈ Q erfüllt sind.
Beweis. Seien f, g, h wie oben definiert. Multipliziert man g und h mit dem kgV des Nenners der
Koeffizienten, so erhält man Vielfache, die in R[x] liegen. Indem man diese durch den ggT der
0
0
0
0
Koeffizienten teilt, erhält man primitive Polynome g , h ∈ R[x] mit g = bg, h = ch mit b, c ∈ Q.
0
0 0
0
0
Nun sei f = g h ∈ R[x]. Mit obiger Definition ist f primitiv, andererseits ist f = a · f mit
0
p
a = bc ∈ Q. Wir schreiben a = q mit p, q ∈ R, ggT (p, q) = 1. Damit gilt nun q · f = p · f .
0
Für das Polynom q · f ist q der ggT der Koeffizienten, für p · f ist der ggT der Koeffizienten p.
Wegen ggT (p, q) = 1 muss p ∈ R∗ und q ∈ R∗ gelten. Somit ist auch a ∈ R∗ . Schließlich gilt
0
0
0
0
f = (a−1 g ) · (h ) mit primitiven a−1 g und h in R[x], die konstante Vielfache von g, h sind.
Das Lemma von Gauß beinhaltet eigentlich noch weitere Aussagen zu primitiven Polynomen in
R[x] und Q[x], die hier aber weggelassen wurden, da sie nicht benötigt werden. Für die komplette
Aussage siehe [5].
Um Kreisteilungskörper zu definieren benötigt man ebenfalls einige Ergebnisse aus der Körpertheorie.
33
Definition 7.5.4. Seien L und K Körper. L heißt Körpererweiterung von K, wenn K ⊆ L gilt.
Man schreibt für diese Erweiterung auch L/K. Diese Erweiterung kann man auf die Ringstruktur
übertragen. Unter der Vektorraumdimension [L : K] = dimK L versteht man den Grad von L über
K. Ist dieser endlich, so spricht man von einer endlichen (Körper-)Erweiterung. Man kann zeigen,
dass in dem speziellen Fall K(α)/K der Grad [K(α) : K] gleich dem Grad des Minimalpolynoms
von α über K ist. Für Kreisteilungskörper ist dies also erfüllt. Desweiteren sind Kreisteilungskörper
eine Teilmenge einer bestimmten Klasse von Erweiterungskörpern.
Definition 7.5.5. Ein Erweiterungskörper K von Q heißt Zahlkörper, wenn der Grad [K : Q] = n
endlich ist.
Definition 7.5.6. Sei L | K eine Körpererweiterung und f ∈ K[x] ein Polynom vom Grad n ≥ 1.
Dann heißt
Qn L Zerfällungskörper von f über K, wenn
i) f = c j=1 (x − aj ) mit c, aj ∈ L und
ii) L = K(a1 , ..., a2 ) gilt.
Über L muss f also in Linearkombinationen zerfallen und L darf nicht unnötig groß sein.
Definition 7.5.7. Eine endliche Körpererweiterung L/K heißt normal, falls L ein Zerfällungskörper über K eines Polynoms f ∈ K[x] ist.
Die folgenden Aussagen werden an dieser Stelle nicht bewiesen, da die notwendigen Hilfsmittel
nicht zielführend wären. Die Beweise finden sich unter anderem bei [1].
0
Satz 7.5.8. Je zwei Zerfällungskörper L und L eines Polynoms über einem Körper K sind isomorph zueinander.
Definition 7.5.9. Sei K ein Körper und f ∈ K[x] ein nicht-konstantes Polynom. Dann heißt f
separabel, wenn alle Nullstellen einfach sind.
Die Charakteristik eines Körpers K ist durch
char(K)=
min{m ∈ N |
Pm
k=1
1 = 0}, falls ein solches m ∈ N existiert
0, falls kein solches m ∈ N existiert
definiert. Mit Hilfe dieser lassen sich nun separable Polynome einfacher bestimmen.
Satz 7.5.10. Sei K ein Körper und f ∈ K[x] irreduzibel. Ist char(K) = 0, so ist f separabel.
Definition 7.5.11. Eine Körpererweiterung L/K heißt separabel, falls jedes α ∈ L algebraisch
über K ist und das Minimalpolynom von α separabel ist. Insbesondere kann man zeigen, dass jede
endliche Erweiterung L/K separabel ist, falls K die Charakteristik 0 besitzt.
Folgende Definition ist die Grundlage für einen wichtigen Zweig der Algebra, der sogenannten
Galoistheorie.
Definition 7.5.12. Eine Körpererweiterung L/K heißt Galoiserweiterung, wenn sie normal und
separabel ist. Die Galoisgruppe GalL/K umfasst alle Automorphismen von L, die den Grundkörper
K elementweise fixieren. Man nennt solche Automorphismen auch K-Automorphismen. Ist L ein
Zerfällungskörper des Polynoms f , so bildet jeder Automorphismus eine Nullstelle von f wieder
auf eine Nullstelle ab.
34
8
Quellen
8.1
Bücher und Veröffentlichungen
[1] S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006
[2] L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Springer Verlag New York 1982
[3] R.A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC Press LLC 1999
[4] K. Ireland & M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer Verlag New York 1990
[5] R. Schulze-Pillot, Einführung in Algebra und Zahlentheorie, Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008
[6] A. Leutbecher, Zahlentheorie, Springer Verlag Berlin Heidelberg 1996
[7] R. Fricke, Lehrbuch der Algebra III, Friedr. Vieweg & Sohn Akt.Ges. Verlag 1928
[8] W. Scharlau & H. Opolka, Von Fermat bis Minkowski, Springer Verlag Berlin Heidelberg
1980
[9] J.M. Masley, On cyclotomic fields euclidean for the norm map, Notices Amer. Math. Soc.
19, 1972, S.A-813 (abstract 700-A3)
[10] H.W. Lenstra, Euclid’s Algorithm in Cyclotomic Fields, J.London Math. Soc. 10, 1975,
S.457-465
[11] H.W. Lenstra, Euclidean Number Fields of Large Degree, Inventiones Mathematicae (38),
1977, S.237-254
[12] H.W. Lenstra, Euclidean Number Fields 1, Math. Intelligencer 2 (1), 1979, S.6–15
[13] H.W. Lenstra, Euclidean Number Fields 3, Math. Intelligencer 2 (2), 1980, S.99–103
[14] H.W. Lenstra, Quelques exemples d’anneaux euclidiens, Comptes Rendus de l’Acad‘emie
des Sciences 286, 1978, S.683-685
[15] J.M. Masley & H. Montgomery, Cyclotomic fields with unique factorization, J. reine u.
angew. Math. 286/287, 1976, S.248-256
√
[16] M. Elia & C. Monico, On the representation of primes in Q( 2) as sums of squares, JP J.
Algebra Number Theory Appl. 8, 2007, S.121-133
[17] W. Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer Verlag
Berlin Heidelberg 1990
[18] Mitschrift zur Vorlesung „Einführung in die Algebra“, gelesen von Dr. Rosehr, WS 2011/2012,
Universität Würzburg
[19] Mitschrift zur Vorlesung „Einführung in die Zahlentheorie“, gelesen von Prof. Dr. Steuding,
SS 2012, Universität Würzburg
[20] M. Murty & M. Harper, Euclidean Rings of Algebraic Integers, Canadian J. Math 56 No.1,
2004, S.71-76
35
8.2
Weblinks zu historischen Anmerkungen
[21] http://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013,
10:45 MEZ
[22] http://de.wikipedia.org/wiki/Hugh_Montgomery, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013, 10:45
MEZ
[23] http://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013, 10:45
MEZ
[24] http://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013, 10:45
MEZ
[25] https://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013, 10:45
MEZ
[26] http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie), zuletzt aufgerufen am 07.08.2013,
10:45 MEZ
[27] http://de.wikipedia.org/wiki/Großer_fermatscher_Satz, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013,
10:45 MEZ
[28] http://de.wikipedia.org/wiki/Millennium-Probleme, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013, 10:45
MEZ
[29] http://de.wikipedia.org/wiki/Évariste_Galois, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013, 10:45 MEZ
[30] http://en.wikipedia.org/wiki/Sun_Tzu_(mathematician), zuletzt aufgerufen am 07.08.2013,
10:45 MEZ
[31] http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Vermutung, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013,
10:45 MEZ
[32] http://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013,
10:45 MEZ
[33] http://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013, 10:45
MEZ
8.3
Abbildungsverzeichnis
[34] http://www.mathe-online.at/mathint/komplex/grafiken/einheitswurzeln.png, zuletzt aufgerufen am 07.08.2013, 10:45 MEZ
36