B Man bestimme den Rang der Matrix A = 1 a ab2 b 1 b2 a2b a2 1 in

B Man bestimme den Rang der Matrix

1
A= b
a2 b
a
1
a2

ab2
b2 
1
in Abhängigkeit von den Parametern a, b ∈ R.
Ziel ist es, die Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform zu bringen:
• Die unteren Einträge der ersten Spalte verschwinden, indem man
◦ das (−b)-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiert,
◦ das (−a2 b)-fache der 1. Zeile zur 3. Zeile addiert.
Damit ergibt sich die umgeformte Matrix

 
1
a
ab2
1
A1 =  0 1 − ab b2 − ab3  =  0
0 a2 − a3 b 1 − a3 b 3
0

a
ab2
1 − ab
b2 (1 − ab) 
2
a (1 − ab) 1 − a3 b3
• der unterste Eintrag der 2. Spalte wird zu 0, wenn man
◦ das (−a2 )-fache der 2. Zeile zur 3. Zeile addiert.
So ergibt sich die Zeilenstufenmatrix

 
1
a
ab2
1
= 0
b2 (1 − ab)
A2 =  0 1 − ab
0
0
1 − a3 b3 − a2 b2 (1 − ab)
0

a
ab2
1 − ab b2 (1 − ab) 
0
1 − a2 b 2
• Wie lautet nun die Aussage in Abhängigkeit der Parameter? Wenn der Term 1 − a2 b2 rechts unten zu
Null wird, verringert sich die Zeilenanzahl und damit der Rang der Matrix !
Die Gleichung 1 − (ab)2 = 0 ist erfüllt für ab = 1 oder ab = −1.
Fall 1: ab = 1, dann verschwindet die letzte Zeile - aber ebenfalls die ganze Zeile 2. Der Rang der
Matrix ist somit nur noch 1.
Fall 2: ab = −1, dann verschwindet die letzte Zeile - auf Stufe 2 steht aber der Wert 2. Damit ergibt
sich der Rang 2.
Fall 3: Tritt keiner der beiden genannten Fälle auf, d.h. (ab)2 6= 1, dann verschwindet keiner der
Stufeneinträge, und die Matrix hat damit vollen Rang 3.
• Zusammenfassung:
Bedingung
ab = 1
ab = −1
ab 6= 1, ab 6= −1
Rang
1
2
3
• Bemerkung: Man kann zunächst zur Veranschaulichung das Bsp. auch mit konkreten Zahlen lösen,
indem man z.B. für a = 2 und b = 3 einsetzt, und die Matrix


1 2 18
à =  3 1 9 
12 4 1
auf Zeilenstufenform bringt, was aber natürlich keine Aussage für andere Werte von a und b zuläßt!