Serie 3

16.3.2017
Statistische Thermodynamik I
T00
T0
V1
V2
VV110
VV2 20
P1
P2
P10
P20
Abbildung 1: Anfangs- und Endzustand eines idealen Gases
Serie 3
I. Messbare Grössen für das ideale Gas
1. Berechne die Grössen CP − CV , α, κ T und β für das ideale Gas.
Es gilt
∂V
Nk b
1
=
= ,
∂T
PV
T
P
1 ∂V
1
Nk b T
κT = −
= ,
=
2
V ∂T T
P
VP
Nk b
1
1 ∂P
=
= .
β=
P ∂T T
PV
T
(2)
TVα2
PV
= Nk b ,
=
κT
T
(4)
1
α=
V
(1)
(3)
Damit erhalten wir
CP − CV =
was mit dem Resultat (1.25) übereinstimmt.
II. Zustandsänderung eines idealen Gases
Ein ideales Gas hat im Teilvolumen V1 den Druck P1 und in V2 den Druck P2 . Die
Anfangstemperatur ist in beiden Teilvolumen T0 und die Teilvolumen sind untereinander nicht wärmeisoliert. Nur das Gesamtsystem V = V1 + V2 ist wärmeisoliert.
Durch Lösen der Arretierung der Trennwand tritt ein Druckausgleich ein, siehe
Abbildung 1.
1. Berechne die Temperatur T00 und den Druck P0 im Endzustand.
In jedem Teilvolumen gilt die ideale Gasgleichung
Pi Vi = Ni k b T0 .
(5)
Die Teilchenzahl in den Teilvolumen ändert sich nicht, somit gilt im Endzustand
P0 Vi0 = Ni k b T00 .
(6)
16.3.2017
Statistische Thermodynamik I
Wenn wir die zweite Gleichung durch die erste teilen erhalten wir
P0 = Pi
Vi T00
.
Vi0 T0
(7)
Weil die innere Energie des Gesamtsytems erhalten ist und die innere Energie
nur von der Temperatur abhängt, gilt T0 = T00 . Gleichung (7) wird damit zu
P0 = Pi
Vi
.
Vi0
(8)
Weil das Gesamtvolumen erhalten ist erhalten wir
V10 = V1 + V2 − V20 ,
(9)
was, wenn in Gleichung (8) eingesetzt zu
P1
V2
V1
= P2
0
V1
V1 + V2 − V10
(10)
führt. Auflösen dieser Gleichung nach V10 gibt
V10 = (V1 + V2 )
P1 V1
.
P1 V1 + P2 V2
(11)
einsetzen in Gleichung (8) führt zu
P0 =
P1 V1 + P2 V2
.
V1 + V2
(12)
2. Wie ändert sich die innere Energie der Teilsysteme und des Gesamtsystems?
Weil die Temperatur erhalten ist, ändern sich die inneren Energien nicht.
3. Wie ändert sich die Enthalpie der Teilsysteme und des Gesamtsystems?
Die Enthalpie ist gegeben durch
H = U + PV = U + Nk b T.
(13)
Weil die innere Energie und die Temperatur konstant sind, ändert sich auch
die Enthalpie nicht.
4. Wie ändert sich die Entropie der Teilsysteme und des Gesamtsystems?
Mit dem Resultat für die Entropie der letzten Serie und weil die Temperatur
konstant ist, erhalten wir
∆Si = Ni k b ln
Vi0
.
Vi
(14)
16.3.2017
Statistische Thermodynamik I
Mit Gleichung (7) und der idealen Gasgleichung erhalten wir
Pi Vi
P (V + V2 )
ln i 1
,
T0
P1 V1 + P2 V2
(15)
P1 V1
P (V + V2 )
PV
P (V + V2 )
ln 1 1
+ 2 2 ln 2 1
T0
P1 V1 + P2 V2
T0
P1 V1 + P2 V2
(16)
∆Si =
und somit
∆S =
5. Wieviel Wärme ∆Q1 , ∆Q2 und ∆Q = ∆Q1 + ∆Q2 müsste man bei reversibler
Prozessführung zuführen, um den gleichen Endzustand zu erreichen? Wieviel
Arbeit −∆W wäre dabei vom Kolben abzugeben?
Für einen reversiblen Prozess gilt
δQ = TdS.
(17)
Weil T konstant ist, können wir einen isothermen Prozess verwenden und
erhalten
P (V + V2 )
∆Qi = T0 ∆Si = Pi Vi ln i 1
,
(18)
P1 V1 + P2 V2
was zu
P (V + V2 )
P (V + V2 )
∆Q = P1 V1 ln 1 1
+ P2 V2 ln 2 1
(19)
P1 V1 + P2 V2
P1 V1 + P2 V2
führt. Weil die innere Energie erhalten ist gilt ∆Q = −∆W.