Inhaltsverzeichnis
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Formelsammlung TGM 1 / 42 Formelsammlung Technisches Gymnasium Profil Mechatronik Version09.03.15 Inhaltsverzeichnis 1 Energietechnik ..............................................................................................................................................3 2 Grundlagen Elektrotechnik............................................................................................................................4 Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R.......................................................................4 Widerstand ...........................................................................................................................................................5 Reihenschaltung....................................................................................................................................................5 Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle..............................................................................................................6 Parallelschaltung....................................................................................................................................................6 Knoten- und Maschenregel.....................................................................................................................................6 Spannungsteiler.....................................................................................................................................................7 Brückenschaltung...................................................................................................................................................7 Dioden und LEDs...................................................................................................................................................8 Kondensator..........................................................................................................................................................9 Durchflutung........................................................................................................................................................10 Induktion ............................................................................................................................................................10 Spule...................................................................................................................................................................11 Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien...................................................................................................................12 Motor Leistungsbilanz...........................................................................................................................................12 Transistor und Transistorschaltungen....................................................................................................................13 PWM-Signal, Tastgrad..........................................................................................................................................13 Transistor-Brückenschaltung.................................................................................................................................14 Tiefsetzsteller......................................................................................................................................................14 Hochsetzsteller.....................................................................................................................................................14 Operationsverstärker............................................................................................................................................15 Wechselstrom......................................................................................................................................................18 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R)............................................................................18 Kapazität im Wechselstromkreis............................................................................................................................19 Induktivität im Wechselstromkreis.........................................................................................................................19 Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand)................................................................20 Parallelschaltung R und XL....................................................................................................................................21 Parallelschaltung R und XC...................................................................................................................................22 Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand)..............................................................23 Blindleistungs-Kompensation.................................................................................................................................24 Siebschaltungen (passive Filter)............................................................................................................................25 RC- und LR-Tiefpässe...........................................................................................................................................26 CR- und RL-Hochpässe.........................................................................................................................................26 Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom.................................................................................................................27 Betriebswerte von Drehstromasynchronmotoren (DASM)........................................................................................28 Drehstrom-Asynchronmotor DASM........................................................................................................................29 Symbole der Elektrotechnik...................................................................................................................................30 Symbole der RI-Fließtechnik.................................................................................................................................30 Betriebsmittelkennzeichnung nach DIN EN 81346-2 (Auszug).................................................................................31 Normreihen von Widerständen..............................................................................................................................32 3 Steuerungstechnik.......................................................................................................................................33 Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra..............................................................................................................33 Variablen mit elementaren Datentypen..................................................................................................................34 Schlüsselwörter für die Variablendeklarationen (Lokaldaten)...................................................................................34 Bistabile Speicher ................................................................................................................................................34 Flankenauswertung..............................................................................................................................................35 Vergleicher..........................................................................................................................................................35 Übertragungsfunktion...........................................................................................................................................35 Zeitgeber.............................................................................................................................................................36 Ablaufsprache......................................................................................................................................................37 Schrittketten: Grundregeln....................................................................................................................................39 Codes..................................................................................................................................................................39 Formelsammlung_TGM.odt 1 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 2 / 42 4 Mathematische Grundformeln.....................................................................................................................40 Zehnerpotenzen...................................................................................................................................................40 Umrechnungen....................................................................................................................................................40 Flächen- und Volumenberechnungen.....................................................................................................................41 Winkelfunktionen.................................................................................................................................................41 5 Physikalische Grundformeln und Einheiten................................................................................................42 Physikalische Formeln...........................................................................................................................................42 Einheiten ............................................................................................................................................................42 Zahlenangaben und Tabellenwerte ohne Gewähr! Danke an Herrn Tritschler für die zu Verfügung gestellte Tabellen der SPS Fehler und Ergänzungswünsche schicken Sie bitte an: [email protected] Formelsammlung_TGM.odt 2 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 1 3 / 42 Energietechnik 1.1 Erster Hauptsatz der Wärmelehre Q: allgemein Q+W = U Isobarer Prozess Q = c P m T (p = konst.) Isochorer Prozess Q = c V m T (V = konst.) ausgetauschte Wärmemenge in J 1 J = 1 Ws = 1 Nm 1 t SKE = 2,93 · 1010 J ausgetauschte spezifische Wärmemenge in kJ/kg Arbeit in J spezifische Arbeit in kJ/kg Innere Energie absolute Temperatur in K (273 K 0 °C) spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck q: W: w: U: T: cP: Isothermer Prozess (T = konst.) Q=–W in cV: Adiabater Prozess Q=0 spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen in Kreisprozess ∑Q + ∑W = 0 1.2 Wärme im T, s – Diagramm kJ kg ⋅K kJ kg ⋅K q: ausgetauschte spezifische Wärmemenge in kJ/kg s: Änderung der spezifischen Entropie in p: V: m: Druck Volumen Masse Ri: spezifische Gaskonstante in W12: verrichtete Arbeit bei Zustandsänderung von 1 nach 2 : Adiabatenexponent; q = T s 1.3 Zustandsänderungen idealer Gase Allgemeine Gasgleichung pV konst. T p V m Ri T Isobarer Prozess V1 V2 T1 T2 W12 p V W12 = 0 Isothermer Prozess p1 V1 p 2 V2 W12 m R i T ln kJ kg⋅K cP cV Gas cP cV Ri Kohlendioxid 0,84 0,66 0,19 Luft 1,01 0,72 0,29 Sauerstoff 0,92 0,66 0,26 Stickstoff 1,04 0,74 0,3 Isochorer Prozess p1 p 2 T1 T2 kJ kg ⋅K V2 p m R i T ln 1 V1 p2 Adiabater Prozess p V konst. W12 1.4 T1 p1 T2 p 2 1 V 2 V1 1 1 1 m Ri m R i T1 V1 m R i T1 p 2 T2 T1 1 1 p1 1 1 V 1 2 Thermischer Wirkungsgrad: th 1 Formelsammlung_TGM.odt Q ab Q zu 3 Wnutz Q zu 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 2 4 / 42 Grundlagen Elektrotechnik Ladung Q, Strom I, Spannung U, Arbeit W, Leistung P, Widerstand R - + 2 Arten von Ladungen (positiv und negativ) gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige ziehen sich an Ladung ist übertragbar im Raum zwischen Ladungen wirken Kräfte auf Ladungen, die durch ein „elektrisches Feld“ erklärt werden • • • • Ladung, Ladungsmenge Q = N⋅e 1 e entspricht −1,602 x 10−19 C Stromstärke I= Q t I= dQ dt bei Gleichspannung, bei Wechselspannung Spannung = Arbeit beim Transport der Ladung pro Ladungsmenge U= Spannung = Potenzialdifferenz U12 = ϕ 2 − ϕ1 Elektrische Energie, Energiemenge, Arbeit (engl. Work) W = P⋅ t Elektrische Leistung (engl. Power) P= W Q W t W = U⋅ Q Widerstand R R= I R U I Elementarladung (kleinstmögliche Ladung) N Anzahl der Ladungsträger Q Ladung in As = C (Coulomb) I Q t Stromstärke in A (Ampere) Ladungsmenge in As Zeit in s U Q W Spannung in V (Volt) Ladungsmenge in As Arbeit in Ws φ Potenzial in V bezogen auf Bezugspunkt, (oft Schaltungsmasse) P t Leistung in W (Watt) Zeit in s 1 Ws = 1 VAs = 1 J R Widerstand in Ω R U I Widerstand in Ω Spannung in V Strom in A P = U⋅ I Leistung am Widerstand P = I2 ⋅R e P= U2 R U = R ⋅I Für R1 und R2 gilt: R= Konstant R1 und R2 sind lineare Widerstände. U U =Konst Ohm'sches Gesetz I Die Lampe besitzt einen nichtlinearen Widerstand. Formelsammlung_TGM.odt 4 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 5 / 42 Widerstand Leitungswiderstand R= Temperaturabhängiger Widerstand ϱ⋅l A l A Leiterlänge in m Leiterquerschnitt in mm2 ϱ spezifischer Widerstand in Material Spezifischer Widerstand in Kupfer 0,0178 Stahl 0,13 Aluminium 0,028 Gold 0,0244 Kohle 40 Δ R = α ⋅ Δ T⋅RK RW = RK + Δ R ΔR Widerstandsänderung in Ω α Temperaturbeiwert RK RW ΔT Kaltwiderstand in Ω Warmwiderstand in Ω Temperaturdifferenz in K Ω⋅mm2 m Ω⋅mm2 m 1 K Reihenschaltung I Iges = I1 = I2 = I3 R1 U1 U ges = U1 + U 2 + U3 Uges R2 U2 R ges = R 1 + R2 + R3 U3 R3 U Gesamtspannung U1, U2, U3 Teilspannungen R Gesamtwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstände Pges = P1 + P2 + P3 Durch jeden Widerstand fließt der selbe Strom I Grafische Ermittlung der Größen I I R1 1,2 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10 Ω 1,2 A 0,5 A R1 = 12 V / 0,5 A = 24 Ω 0,5 A R2 = 12 V / 1,2 A = 10 Ω U1 Uges R2 I U2 R1 = 12 V / 0,5 A = 24 Ω 0,35 A U U 12 V 12 V U1 = 8,47 V U2 = 3,53 V Formelsammlung_TGM.odt 5 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 6 / 42 Innenwiderstand Ri einer Spannungsquelle Ri U0 U0 I= R i +R 1 I U1 R1 U1 I Ersatzschaltbild Akku U0 LeerlaufSpannung ΔU Verbraucher Laststrom Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle R1 Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers U1 Spannung an den Anschluss-Klemmen U0 Leerlauf-Spannung Spannung der idealen Spannungsquelle ΔI I Ik KurzsschlussStrom ∣ ∣∣ Leistungsanpassung: R1 erhält die maximale Leistung bei R1 = Ri I R i= Δ U (U 2−U1) = ΔI (I2−I1 ) R i= U0 IK ∣ Parallelschaltung Iges U ges = U1 = U 2 = U3 I1 U I2 R1 R2 I3 R3 Iges = I1 + I2 + I3 1 1 1 1 = + + R ges R1 R 2 R 3 Pges = P1 + P2 + P3 Iges Gesamtstrom I1, I2, I3 Teilströme Rges Gesamtwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstände An jedem Widerstand liegt dieselbe Spannung U Knoten- und Maschenregel Knotenregel I1 Maschenregel I2 R1 I3 U1 Maschen umlauf Uges R2 I1 +I2 +I3 = 0 U3 R3 U2 U1 + U2 − U3 = 0 Formelsammlung_TGM.odt 6 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 7 / 42 Spannungsteiler unbelastet (Reihenschaltung) belastet (Gruppenschaltung) Iges I R1 R1 U1 Uges Uges IL I2 = I q R2 U2 = U1 U2 R2 R2 ⋅ Uges R1 + R2 U2 R 2L ⋅ Uges R 1 + R2L U2 = RL R2L = R 2⋅ R L R2 + R L RL Lastwiderstand R2L Ersatzwiderstand für R2 und RL Brückenschaltung Iges R1 R3 U1 U3 wenn: UAB = 0 (Abgleich) Uges I12 A R2 Formelsammlung_TGM.odt UAB U2 U4 U2 UAB B R4 I34 U4 7 R1 R 3 R2 R4 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 8 / 42 Dioden und LEDs Anode Stromfluss in Durchlassrichtung Anode Diode Kathode Merkregel: Kathode = Kennzeichnung LED Kathode Kathode Merkregel: Kathode = Kurzes Bein = Kante Kennlinien Diode und LEDs I in mA 20 18 16 14 12 Silizium-Diode LED, grün LED, w eiß LED, rot LED, blau 10 8 6 4 2 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 U in V Arbeitspunkt und Arbeitsgerade Arbeitspunkt und Arbeitsgerade I in mA IG 20 18 16 R G UR UG 14 12 AP 10 UD LED, rot Widerstandsgerade Lineare Regression für Widerstandsgerade 8 6 f(x) = -3,07x + 15,36 4 2 0 ΔU R =∣ ∣ ΔI 0,0 0,5 1,0 1,5 (Kehrwert des Betrags der Steigung der Arbeitsgeraden) Formelsammlung_TGM.odt 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 U in V vergl. Reihenschaltung 8 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 9 / 42 Kondensator d C= E +Q -Q U Ed Q U A C = ϵ0 ⋅ϵr ⋅ d C2 Plattenabstand in m Kapazität in F (Farad) = As/V Ladungsmenge in As = Cb (Coulomb) Spannung in V ε0 Feldkonstante ϵ0=0,885⋅ 10 −11 Parallelschaltung von Kondensatoren C3 C1 1 1 1 1 C C1 C2 C3 Auf- und Entladung UR IC = C ⋅ + G 1µF U C1 ΔU C Δt 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 Aufladevorgang Kondensator R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 uC(t) uC(t) in V i(t) in mA i(t) 0 1 2 3 ( 4 −t UC (t) = U⋅ 1 − e τ 5 Zeit in ms ) −t uC(t) in V i(t) in mA i(t) 1 2 3 4 5 Zeit in ms −t UC (t) = U⋅e τ U −tτ ⋅e R Formelsammlung_TGM.odt R=1kΩ , C=1µF, τ=R*C=1ms uC (t) 0 UR (t) = U⋅e τ I(t) = Entladevorgang Kondensator uc(t) in V, i(t) in mA Uc 10V uc(t) in V, i(t) in mA C3 Zeitkonstante in s Widerstand in Ω Kapazität in F τ R C τ = R ⋅C 1K C2 C C1 C2 C3 R1 V1 As Vm A Plattenfläche in m² εr Dielektrizitätskonstante εr (Luft) ≈ 1 εr (dest. Wasser) ≈ 80 εr (Isolation Unterwasserkabel) ≈ 2,4 Reihenschaltung von Kondensatoren C1 d C Q U I(t) =− 9 U −tτ ⋅e R 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 10 / 42 Durchflutung Rechte Handregel: Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld dessen Feldlinien ringförmig um den Leiter verlaufen. ld etfe n g Ma Daumen zeigt in Stromrichtung Finger zeigen im Magnetfeldrichtung Kreuz: Strom fließt nach hinten (Merkregel: Pfeilende) m Stro Kompass I Punkt: Strom fließt nach vorne (Merkregel: Pfeilspitze) Leitung Kraft auf Ursache Strom (Daumen nach hinten) stromdurchflossenen Leiter Vermittlung Magnetfeld (Zeigefinger nach unten) im Magnetfeld Wirkung Kraft (Mittelfinger nach links) Kraft F Ursache Strom Wirkung Kraft N St ro m I S Vermittlung Magnetfeld Flussdichte B= Φ A B magnetische Flussdichte in Vs/m² = T Φ magentischer Fluss in Vs A Querschnittsfläche in m² B A=1m² Induktion U U Magnetfeld B ändert sich ΔΦ Uinduziert =N Δt mit Φ = B⋅A t I klein Magnetfeld B ändert sich U Drehung S N vom Magnetfeld durchströmte Fläche A ändert sich I gross t U S N durchstömte Fläche A ändert sich Uinduziert induzierte Spannung in V Selbstinduktion Formelsammlung_TGM.odt ΔI Uind=L ⋅ İ = L ⋅ Δt 10 N Windungszahl ΔΦ Flussänderung in Vs Δt Zeitdauer der Flussänderung in s ΔI Stromänderung in A Δt Zeitdauer der Stromänderung in s İ Stromänderung in A/s 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 11 / 42 Spule L + A vom Feld durchsetzte Fläche (Querschnitt) μ0 Feldkonstante des magnetischen Feldes I L 0 r N2 _ A l Vs Am Permeabilitätszahl r = r Eisen 200 ... 6000 r Elektroblech 500 ... 7000 −6 1,257⋅10 0 = Reihenschaltung von Spulen L1 V⋅s Induktivität in H = A (Henry) Parallelschaltung von Spulen L2 L3 L1 L2 L3 1 1 1 1 L L1 L2 L3 L L1 L2 L3 Spule an Rechtechspannung S1 S1 geschlossen U1 = U2 = Uspule + UR USpule I max L U 1 S2 R U2 UR I~UR 63%max 37%max G I~UR USpule τ L U2 R Selbstinduktion τ= L R ΔI UL = L⋅ = L⋅İ Δt USpule Ausschalten ( −t UR (t) = Umax ⋅ 1 − e τ I(t) = t τ -37%max Einschalten Zeitkonstante S2 geschlossen 0 = Uspule + UR → Uspule = - UR −t Umax ⋅1−e τ R ( ) −t UR (t) = Umax ⋅e τ −t ) I(t) = Istart ⋅e τ −t −t USpule (t) = Umax ⋅e τ USpule (t) =−Umax ⋅e τ U in V 10 URecht Impulszeit ti << τ eingeschwungener Zustand! UL t 0 1ms Formelsammlung_TGM.odt 11 +40µs +80µs +120µs 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 12 / 42 Motor: Ersatzschaltbild und Kennlinien IAnker UAnker RAnker Uinduziert = konst n UR Uinduziert ~ n Drehzahl n Spannung am Motoranker IAnker Stromaufnahme des Motors in A RAnker Ankerwiderstand in Ω n Drehzahl des Motors in 1/s Uinduziert im Motor induzierte Spannung in V Mab = konst I Anker Strom I n UAnker =UR +Uinduziert UAnker n in 1/s 4 3 I 2 U2 U3 < U1 U1 1 0 0 Drehm om e nt M 20 40 60 ab Drehmoment M = F⋅r M r ΔW Pmech = = F⋅v Δt Pmech = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M F Mechanische Leistung 80 100 M in Nm M Drehmoment in Nm F Kraft in N r Radius in m Pmech Mechanische Leistung in W = Nm/s ΔW Arbeit in Nm ω Winkelgeschwindigkeit in 1/s n Drehzahl in 1/s v Geschwindigkeit in m/s mit F in Bewegungsrichtung Motor Leistungsbilanz Mechanische Verluste (Lager, Bürsten,...), hervorgerufen durch Reibungsmoment MReib Mmech = Mreib + Mab wenn Mreib<< Mmech dann: Mmech≈ Mab und Pmech≈ Pab Wärmeverluste Pverlust = UR * IAnker Pverlust = I²Anker * RAnker IAnker Pelekt Formelsammlung_TGM.odt vom Motor abgegebene Leistung Pab = ω * Mab Mechanische Leistung Pmech ω * Mmech zugeführte Leistung Pzu = Pelekt UAnker * IAnker UAnker RAnker UR t P Verlus Uinduziert ~ n 12 Pmech 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 13 / 42 Transistor und Transistorschaltungen Transistor-Art und -Bezeichnungen Schaltzeichen Bipolar-Transistor B Basis E Emitter C Kollektor +12V C IC IB M B E Feldeffekt-Transistor, hier MOSFET G Gate D Drain S Source UCE +12V ID M IMotor=ID G RG UGS S Gate-Source-Spannung UGS steuert Drainstrom ID wird gesteuert (insulated-gate bipolar transistor) UDS UBatt USteuer U GS +400V C IC M G IMotor=IC RG Gate-Emitter-Spannung UGE steuert Drainstrom ID wird gesteuert UBatt USteuer D Gate Emitter Kollektor IMotor=IC RB ISteuer Basisstrom IB steuert Kollektorstrom IC wird gesteuert IGBT G E C Schaltungsbeispiel UBatt UCE USteuer E Schaltzustände beim Transistor Transistor sperrt (wie Schalter offen) +12V M RB +12V Umotor 0V IMotor=0A UGS 12V Transistor leitet (wie Schalter geschlossen) M M 0V Umotor 11,8V IMotor=1A Ubatt 12V RB 12V 12V USteuer=0V UGS 0,2V M Ubatt 12V 12V 12V 0V USteuer=5V PWM-Signal, Tastgrad T ti tP f Periodendauer Impulszeit Pausenzeit Frequenz 1 f= T Formelsammlung_TGM.odt t U Tastgrad = i = Mittelwert T UMaximalwert Flächen gleich gross tp ( t UEffektivwert Tastgrad = i = T UMaximalwert 2 ) 13 Maximalwert Mittelwert 0V ti T T 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 14 / 42 Transistor-Brückenschaltung UVersorgung UVersorgung T3 T1 T1 M 1 T3 M 1 1 1 T4 T2 T2 T4 0V 0V Tiefsetzsteller USpule I T U2= U1 UR ~I UR U2 U1 UR ~I USpule U2=0 t USpule T Uein USpule I U2 PWM L R UR C Mittelwert UR = Uaus Uaus AusgangGleichspannung EingangsGleichspannung Uein U t U U2= Uein Mittelwert UR = Uaus U2=0 ti t T Hochsetzsteller I USpule + L Uein - PWM Formelsammlung_TGM.odt C T UT Uaus RL 14 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 15 / 42 Operationsverstärker Spannungsversorgung des Operationsverstärkers Für Abituraufgaben im TG Mechatronik gilt: In allen dargestellten Schaltungen besitzt der Operationsverstärker die links abgebildete symmetrische Spannungsversorgung mit +/-Ub +Ub + Ub G ⊲∞ - ‒ + + + Ub G - -Ub nicht invertierender Komparator Komparator: Vergleicher mit einer Schaltschwelle Schaltschwelle wird mit dem Spannungsteiler R2, R1 eingestellt. invertierender Komparator: Eingänge + und - vertauschen +Ub ⊲∞ R2 + + - Ue R1 Ua -Ub invertierender Verstärker R2 ⊲∞ R1 ‒ Ue vu = + Ua R2 =− Ue R1 Spannungsverstärkungsfaktor + Ua Formelsammlung_TGM.odt 15 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 16 / 42 nicht invertierender Verstärker ⊲∞ + + ‒ R2 Ue vu = Ua R2 = 1+ Ue R1 Spannungsverstärkungsfaktor R1 invertierender Summierverstärker R11 R2 R12 ⊲∞ ‒ Ue1 Ua =−( + Ue2 R2 R2 ⋅ Ue1 + ⋅ Ue2) R11 R12 + Ua nicht invertierender Schwellwertschalter mit Hysterese (Schmitt-Trigger) R2 ⊲∞ R1 + Ue ‒ UeKipp R1 = Uamax R2 + Ua Formelsammlung_TGM.odt 16 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 17 / 42 Differenzverstärker R2 ⊲∞ R1 ‒ R1 + Ua = + Ue1 Ue2 R2 ⋅(Ue2−Ue1) R1 Ua R2 Rechteckgenerator R0 R1 ⊲∞ + + f= 2 ⋅R0⋅C⋅ln (1 + 2⋅ ‒ C Formelsammlung_TGM.odt R2 1 Ua 17 R2 ) R1 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 18 / 42 Wechselstrom U Periodendauer T Amplitude = Spitzenwert USpitze Effektivwert Ueff t Periodendauer T T = 20ms bei f = 50Hz Frequenz Periodendauer 1 f= T Effektivwert bei sinusförmigen Wechselgrößen Ueff= USpitze √2 Ieff = ISpitze √2 1 s f Frequenz in Hz = T Periodendauer in s Ueff USpitze Ieff ISpitze Effektivwert der Wechselspannung in V Spitzenwert der Wechselspannung in V Effektivwert des Wechselstroms in A Spitzenwert des Wechselstroms in A Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis (Wirkwiderstand R) Strom und Spannung sind „in Phase“ (gemeinsame Nulldurchgänge). A i(t) Zeiger U I V u(t) R u(t), i(t), p(t) am Wirkwiderstand R u(t) in V i(t) in A p(t) in W û=10V, R=4Ω, f=50Hz 25 p(t) 20 u(t) = û ⋅ sin(ω⋅ t) = û ⋅ sin(2 π f ⋅t) 15 10 u(t ) û i(t) = = ⋅sin(2 π f ⋅t ) R R u(t) 5 i(t) 0 -5 -10 0 Formelsammlung_TGM.odt 5 18 10 15 20 25 Zeit in ms 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 19 / 42 Kapazität im Wechselstromkreis Liniendiagramm u, i X C kapazitiver Blindwiders tan d 1 u 0,5 XC 1 2f C u i 0 i -0,5 -1 A 0 90 180 i(t) C V u(t) 270 π 360 2π φ Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom verläuft 90° „voreilend“). Zeiger (Effektivwerte): I ˆ sin(2f t ) u(t) u i(t) U û sin(2f t ) XC 2 Induktivität im Wechselstromkreis X L Induktiver Blindwiderstand Liniendiagramm u, i 1 XL 2 f L i 0,5 u i 0 A i(t) u -0,5 -1 0 V u(t) 90 180 L 270 π 360 2π φ Strom und Spannung sind „phasenverschoben“ (der Strom verläuft 90° „nacheilend“). Zeiger (Effektivwerte): U I ˆ sin(2f t ) u(t) u i(t) Formelsammlung_TGM.odt 19 û sin(2f t ) XL 2 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 20 / 42 Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XL (induktiver Blindwiderstand) R I XL L UR Induktiver Blindwiderstand XL = 2 f L UL U Z Scheinwiderstand U I Gesamtspannung Strom Spannungsdreieck U UL UR XL = UR U cos U2 UR 2 UL 2 UL U sin U UR 2 UL 2 UR I R UL I X L UL I U R= R I Normierung mit I (ähnliches Dreieck) Z R XL R Z cos Z2 R 2 XL 2 XL Z sin Z R 2 XL 2 Z= U I cos Wirkleistungsfaktor Leistungsdreieck S=U I Q=UL I S P QL P S cos S2 P2 QL 2 QL S sin S P2 QL 2 S UI P=UR I Normierung mit 1/I (ähnliches Dreieck) Formelsammlung_TGM.odt [Z] = W U UR UL I Widerstandsdreieck U Z= I [X L ] 20 S Scheinleistung P Wirkleistung Q Blindleistung [S] = V × A [P] = W [Q] = var 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 21 / 42 Parallelschaltung R und XL L I IR R IL U UR UL IL IR I U Z L Zeigerdiagramm der Ströme U IR IL I 1 IR = R U I2 = I2R + I 2L IL = I⋅ sinϕ I = √ IR + IL IR = 1 1 1 = + ⃗ ⃗ Z R X⃗L 1 1 1 2 = 2 + 2 Z R XL 2 √ Leitwert = cos ϕ = Normierung mit 1/U (ähnliches Dreieck) Leistungsdreieck P=U IR Q=U IL 21 U R IL = U XL 1 I = Z U 1 Widerstand Z R sin ϕ = Z XL ⃗ =P ⃗ + Q⃗L S P = S⋅cos ϕ S2 = P2 + Q2C Q L = S⋅ sinϕ S = √ P + QL S = U⋅ I 2 S=U I Formelsammlung_TGM.odt IR = I⋅cos ϕ 1 1 1 = + 2 2 Z R XL 1 I = L XL U 1 I = Z U ⃗I = I⃗R + I⃗L 2 Leitwertsdreieck Induktivität Spulenstrom (Blindstrom) Wirkstrom Gesamtstrom Gesamtspannung Scheinwiderstand 2 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 22 / 42 Parallelschaltung R und XC I IR R IC U UR UC C C IC IR I U Zeigerdiagramm der Ströme I IC IR 1 IR = R U ⃗I = I⃗R + I⃗C IR = I⋅cos ϕ I2 = I2R + I 2C IC = I⋅ sin ϕ I = √ IR + IC IR = 1 1 1 = + ⃗ ⃗ Z R X⃗C 1 1 1 2 = 2 + 2 Z R XC 2 U 1 I = Z U Kapazität Kondensatorstrom (Blindstrom) Wirkstrom Gesamtstrom Gesamtspannung I 1 = C XC U 2 √ S=U I QC =U IC IC = 1 1 1 = + 2 2 Z R XC 1 I = Z U 1 1 = ⋅sin ϕ XC Z 1 1 = ⋅cos ϕ R Z ⃗ =P ⃗ + Q⃗C S P = S⋅cos ϕ S2 = P2 + Q2C Q L = S⋅ sinϕ S = √ P + QC S = U⋅ I 2 U R 2 U XC P=U IR Formelsammlung_TGM.odt 22 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 23 / 42 Reihenschaltung R (Wirkwiderstand) und XC (kapazitiver Blindwiderstand) R I XC C UR Kapazitiver Blindwiderstand XC= UC [X C ] = W 1 2f C U U UR UC UR U cos I U2 UR 2 UC 2 UC U sin UC U UR 2 UC 2 UR I R Spannungsdreieck UR U UC I X C Widerstandsdreieck U R= R I U Z= I U XC = C I Leistungsdreieck P=UR I Q=UC I S=U I Formelsammlung_TGM.odt 23 Z R XC R Z cos Z2 R 2 X C2 X C Z sin Z R 2 X C2 Z= S P QC P S cos S2 P2 QC 2 QC S sin S P2 QC 2 S UI U I 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 24 / 42 Blindleistungs-Kompensation R Iges Ic L IRL UR C QL UL Uges=Uc S 2= P 2+(Q L −QC )2 Teilweise Kompensation Uges UL Iges Uges UL IC φ IRL Wirkleistung Blindleistung Scheinleistung P wobei (P=P1+P2+...), (QC=QC1+QC2+...), (QL=QL1+QL2+...) Vollständige Kompensation QC = Q L S=P cosφ=1 Z = R. QC S P=UR⋅IR Iges IRL UR Q C=U C⋅IC IC Q L=UL⋅IL S=U ges⋅Iges UR P Wirkleistung in W UR, IR Spannung und Strom am Widerstand QC, QL Blindleistungen in var S2 = P2 + Q2 P cos(ϕ) = = 0..1induktiv /kapazitiv S UC, IC Spannung und Strom am Kondensator UL, IL Spannung und Strom an der Spule S Scheinleistung in VA Uges, Iges Gesamtspannung und Gesamtstrom an einer Schaltung aus R,L,C S in VA Q in var cos(φ) Leistungsfaktor, Verschiebungsfaktor φ φ P in W Uges und Iges φ Formelsammlung_TGM.odt Phasenverschiebungswinkel zwischen 24 Winkel zwischen S und P 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 25 / 42 Siebschaltungen (passive Filter) Grenzfrequenz: Tiefpass 1 Ua/Ue Die Grenze zwischen Durchlass- und Sperrbereich ist durch die Grenzfrequenz festgelegt. bei f fg gilt : Ua Ue 2 Ue 0,707 Ue UR UC bzw. UL UR R XC bzw. XL R Pa Ua f 0 0,1fg 10fg fg Sperrbereich Durchlassbereich Pe 2 Hochpass Amplitudengang Die Ausgangsspannung Ua ist in Abhängigkeit von der Frequenz stets kleiner (oder gleich) der Eingangsspannung Ue. 1 Ue Ua/Ue Ua Das Verhältnis Ua/Ue wird als Amplitudengang bezeichnet. Ua Amplitudengang f(Frequenz) Ue Die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangsspannung ist ebenfalls frequenzabhängig und wird als Phasengang bezeichnet. 1 Ue Ua Ue dB Durchlassbereich Ua/Ue 0 0,1fgu Bandsperre Die Dämpfung (Verstärkung) der Eingangsspannung wird oft im Verstärkungsmaß a angegeben. a 10fg fg Ua Ua ,Ue Phasengang f(Frequenz) Verstärkungsmaß 0,1fg Sperrbereich Bandpass Phasengang f 0 1 Ue f 10fgu fgu fgo Durchlassbereich Ua/Ue Ua U 20 log a Ue 0 0,1fgu [a] dB (Dezibel) f fgu 10fgu fgo Sperrbereich Tiefpass: Verstärkung in dB Ua/Ue in dB Beispiel: fg = 10kHz 0 Beispiele: -10 Ua 1 Ue 2 Verstärkung Ua 1 Ue 10 Verstärkung Ua Ue Ua Ue 20 log 0,707 3dB (Dezibel) -20 dB -30 20 log 0,1 20dB (Dezibel) -40 dB -50 0,01 Formelsammlung_TGM.odt 25 f in kHz 0,10 1,00 10,00 100,00 1000,00 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 26 / 42 RC- und LR-Tiefpässe Grenzfrequenz UR fG I R U1 U2 C ( UC ) fG UL L I U2 U1 1 2 R C R (RC-Tiefpass) 1 2 (RL-Tiefpass) L R U2 U1 1 1 70, 7% 2 Sperrbereich Durchlassbereich ( UR ) fg f CR- und RL-Hochpässe UC I fG C U1 U2 R ( UR ) fG UR I 1 R U1 L U2 1 2 R C (RC-Hochpass) 1 (RL-Hochpass) L 2 R U2 U1 1 2 70, 7% Sperrbereich Durchlassbereich ( UL ) fg Formelsammlung_TGM.odt 26 f 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 27 / 42 Dreiphasiger Wechselstrom, Drehstrom L1 L2 L3 S N N Transformator L1 L1 L1 L2 L2 L2 L3 L3 Transformator L1 L2 L3 L3 N N PE Synchron-Generator im Kraftwerk Dreieckschaltung 3 x 400V HochspannungsÜbertragung Sternschaltung 3 x 230V Verbraucher (im Haus) 3 Phasen mit 120° Phasenverschiebung zu jedem Zeitpunkt gilt: u1(t) + u2(t) + u3(t) = 0 U in V Dreiphasen-Wechselstrom (Drehstrom) 400 300 U3 u1(t) Drehung u2(t) u3(t) 200 100 U1 uges(t) 0 0 5 10 90° 180° 15 20 25 t in ms -100 -200 U2 -300 -400 30° 360° Sternschaltung Dreieckschaltung Verbraucher zwischen Phase und Nulleiter geschaltet Verbraucher zwischen zwei Phasen geschaltet Spannung am Verbraucher im Haushalt: 230V Spannung am Verbraucher im Haushalt: 400V L1 L2 L3 L1 I1 I2 I3 I1 I12 R1 U1N R2 U2N R3 U3N L2 I2 L3 I3 P PStern = Dreieck 3 Pges= √3⋅U⋅I⋅cos(ϕ) Sges= √3⋅U⋅I Formelsammlung_TGM.odt UStern Strangstrom U12 R3 N U UStern = Dreieck √3 R1 R2 U31 I12= I1 √3 U23 PStern PDreieck Spannung in Sternschaltung (zwischen Phase L und Nulleiter N) U1N, U2N, U3N Spannung in Dreieckschaltung (zwischen 2 Phasen) U12, U23, U31 Leistung in Sternschaltung in W Leistung in Dreieckschaltung in W Pges Sges U I cos(φ) φ Gesamte Wirkleistung in W Gesamte Scheinleistung in VA Leiterspannung (U12, U23, U31) zwischen den Außenleitern Außenleiterstrom I1, I2, I3 Leistungsfaktor Phasenverschiebungswinkel zwischen U und I UDreieck 27 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 28 / 42 Mittelspannung Hochspannungsübertragung 10 / 20 KV Niederspannungsübertragung 110 / 220 / 380 KV Transformator Generator 230 V / 400 V Transformator 4 Verbraucher 4 3 Transformator Generator 3 Betriebswerte von Drehstromasynchronmotoren (DASM) Betriebsdaten von DASM (Käfigläufermotoren) bei 50 Hz / 400 V Baugröße PN in kW Drehfelddrehzahl nf = 3000 nN in 1 min IN in A MN in Nm η in % MA MN 1 min 63 0,25 2765 0,68 0,86 66 2,3 71 0,55 2800 1,3 1,9 71 2,3 80 0,75 2850 1,7 2,5 74 2,4 80 1,1 2850 2,6 3,7 77 2,4 90S 1,5 2860 3,4 5 77 2,5 90L 2,2 2860 4,6 7,4 82 2,8 100L 3 2895 6,1 9,8 83 2,4 112L 4 2895 7,8 13 84 2,4 132S 5,5 2825 10,6 18 85 2,2 Drehfelddrehzahl nf = 1500 1 min 71 0,25 1325 0,75 1,8 62 1,7 80 0,55 1400 1,4 3,7 71 2,3 80 0,75 1400 1,8 5,1 74 2,5 90S 1,1 1410 2,6 7,5 75 2,1 90L 1,5 1405 3,5 10 75 2,2 100L 2,1 1415 4,9 15 79 2,2 100L 3 1415 6,4 20 81 2,7 112M 4 1435 8,7 27 83 2,9 132S 5,5 1450 11,1 36 84 2,2 Formelsammlung_TGM.odt 28 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 29 / 42 Drehstrom-Asynchronmotor DASM Hochlaufkennlinie M(n) MK IA M/Nm I/A Hochlaufkennlinie bei Nenndrehzahl MN MA MSa Leerlauf n 0 nSa nK s= nD − n nD n = f⋅ (1 − s) p nS = nD −n M= 2⋅ MK sK s + s sK Typenschildangaben Frequenz der Motorspannung in 1/s Polpaarzahl Drehfelddrehzahl in 1/s Läuferdrehzahl in 1/s Schlupfdrehzahl Schlupf (Angabe manchmal in %) Kippschlupf Leistungsaufnahme in W Leiterspannung in V Außenleiterstrom in A Leistungsfaktor Drehmoment in Nm Bemessungswerte = Nennwerte 3~ 50 Hz 230/400 V Drehstrommotor Bemessungsfrequenz kleinerer Wert darf max. an der Motorspule anliegen, UMotor in Δ 230V , in Y 400V Bemessungsstrom in A Bemessungsdrehzahl in 1/min Abgegebene mechanische Leistung im Bemessungsbetrieb Leistungsfaktor im Bemessungsbetrieb xx/yy A 1410 min-1 5 kW cosφ 0,75 Formelsammlung_TGM.odt f p nD n nS s sK Pel U I cosφ M nD Pel = √ 3⋅U⋅I⋅ cos ϕ Pmech M= 2⋅ π⋅ n Drehmoment in Nm Läuferdrehzahl in 1/s Nennmoment, Bemessungsmoment Nenndrehzahl, Bemessungsdrehzahl Anlaufmomenmoment Kippmoment Kippdrehzahl Sattelmoment Satteldrehzahl Drehfelddrehzahl nN Leerlaufschlupf f nD = p M n MN nN MA MK nK MSa nSa nD 29 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 30 / 42 Symbole der Elektrotechnik Taster Schalter Schließerkontakt Öffnerkontakt Umschalter Anzeigelampe Lampe LED Diode Schottky-Diode Widerstand Veränderbarer Widerstand Widerstand mit Schleifkontakt PTC Kaltleiter NTC Heißleiter ϑ ↑↑ ϑ ↑↓ Schalten Anzeigen Dioden Widerstände Spule Kondensator Kondensator mit Polung Batterieelement, Akku + + Sicherung Solarzelle Relais Relais mit Kontakt N-Kanal-IGFET ideale Spannungsquelle Ideale Stromquelle Signalgenerator Gleichspannung Signalgenerator Wechselspannung Umlaufender Generator G G G Leistungsmesser, Wattmeter LeistungsfaktorMessgerät Energiemesser, Wattstundenzähler Quellen Spannungsmesser, Voltmeter Messgeräte Masse, Erde V U Strommesser, Amperemeter A I W Analog/Digital-Umsetzer, n Bit A n P cosφ Wh Wh Digital/Analog-Umsetzer, n Bit Ո/# n n D n #/Ո Umsetzer D A Komparator, Schwellwertschalter Schmitt-Trigger, Zweipunktregler comp Symbole der RI-Fließtechnik Behälter mit Flüssigkeit Motor Kompressor Ventil Messstelle Rührer Druckluftantrieb Niveauangabe Hauptflussrichtung M Heizung / Wärmetauscher Formelsammlung_TGM.odt Pumpe 30 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 31 / 42 Betriebsmittelkennzeichnung nach DIN EN 81346-2 (Auszug) Kennbuchstabe Beispiel B Messumformer, Mikrophon, Bewegungswächter, Photozelle, Grenzwertschalter, Positionsschalter, Sensor, Überstromschutzrelais, Wächter, Videokamera Umwandeln einer Eingangsvariablen (physikalische Eigenschaft, Zustand oder Ereignis) in ein zur Weiterverarbeitung bestimmtes Signal C Kondensator Speichern von Material, Energie oder Information E Beleuchtung, Lampe, Heizung, Warmwasserspeicher Liefern von Strahlungsenergie oder Wärmeenergie F Sicherungen, Motorschutzschalter, Leistungsschalter, Fehlerstromschutzschalter Direkt (selbsttätig) einen Energiefluss, Signale, Personal oder Ausrüstungen vor gefährlichen oder unerwünschten Zuständen schützen. G Akku, Drehstromgenerator, Batterie, Gleichrichter, Solarzelle, Brennstoffzelle, Ventilator, Hebezeug, Fördereinrichtung Initiieren eines Energie oder Materialflusses. Erzeugen von Signalen als Informationsträger oder Referenzquelle; Produzieren einer neuen Materialart oder eines neuen Produktes H Meldeleuchten Anzeige von Betriebszuständen K Hilfsschütz, Hilfsrelais, Zeitrelais, Spannungsregler, Transistor, Automatisierungsgerät, Optokoppler, Steuerventil, Auslöser Verarbeiten (Empfang, Verarbeitung, Bereitstellung) von Signalen oder Informationen (ausgenommen Objekte für Schutzzwecke, siehe Kennbuchstabe B oder F) M Motor, Antriebsspule, Antrieb, Aktor, Verbrennungsmotor, Turbine, Hubmagnet, Stellantrieb Bereitstellung von mechanischer Energie (mechanische Dreh- oder Linearbewegung) zu Antriebszwecken P Anzeige, Hupe, LED, Lautsprecher, Voltmeter, Amperemeter, Wattmeter, Leistungsfaktoranzeiger, Ereigniszähler, Wirkleistungszähler, Blindleistungszähler Darstellung von Information Q Leistungsschalter, Schütz, Trennschalter, Leistungstransistor, Lasttrennschalter Kontrolliertes Schalten oder Variieren eines Energie-, oder Signalflusses oder Materialflusses R Diode, Drossel, Widerstand, Zenerdiode Begrenzung oder Stabilisierung von Bewegung oder Fluss von Energie, Information oder Material S Steuerschalter, Wahlschalter, Taster Umwandeln einer manuellen Betätigung in ein zur Weiterverarbeitung bestimmtes Signal T Ladegerät, Netzgerät, Gleichrichter, Verstärker, Frequenzwandler, Transformator, Wechselrichter Umwandeln von Energie unter Beibehaltung der Energieart; Umwandeln eines bestehenden Signals unter Beibehaltung des Informationsgehalts; W Kabel, Leiter, Datenbus, Lichtwellenleiter, Leiten oder Führen von Energie, Signalen oder Materialien oder Produkten von einem Ort zu einem anderen X Trenn- und Steckverbindung, Steckdose Verbinden von Objekten Formelsammlung_TGM.odt Zweck oder Aufgabe 31 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 32 / 42 Normreihen von Widerständen E6 (20%) E12 (10%) E24 (5%) E48 (2%) 1 1 1,05 1 1,1 1,1 1,15 1 1,2 1,21 1,27 1,2 1,3 1,33 1,4 1,47 1,5 1,54 1,5 1,62 1,6 1,69 1,5 1,78 1,8 1,87 1,8 1,96 2 2,05 2,15 2,2 2,26 2,2 2,37 2,4 2,2 2,49 2,61 2,74 2,7 2,87 2,7 3,01 3 3,16 Formelsammlung_TGM.odt E96 (1%) E6 (20%) E12 (10%) E24 (5%) 1 E48 (2%) 3,32 1,02 3,3 1,05 3,3 1,07 1,1 3,48 3,6 1,13 1,15 3,3 1,18 3,65 3,83 3,9 1,21 4,02 1,24 3,9 1,27 4,22 1,3 4,3 1,33 4,42 1,37 1,4 4,64 1,43 4,7 1,47 4,87 1,5 4,7 1,54 5,11 1,58 5,1 1,62 5,36 1,65 4,7 1,69 5,62 1,74 5,6 1,78 5,9 1,82 5,6 1,87 6,19 1,91 6,2 1,96 6,49 2 2,05 6,81 2,1 6,8 2,15 7,15 2,21 6,8 2,26 7,5 2,32 7,5 2,37 7,87 2,43 6,8 2,49 8,25 2,55 8,2 2,61 8,66 2,67 8,2 2,74 9,09 2,8 9,1 2,87 9,53 2,94 E96 (1%) 3,32 3,4 3,48 3,57 3,65 3,74 3,83 3,92 4,02 4,12 4,22 4,32 4,42 4,53 4,64 4,75 4,87 4,99 5,11 5,23 5,36 5,49 5,62 5,76 5,9 6,04 6,19 6,34 6,49 6,65 6,81 6,98 7,15 7,32 7,5 7,68 7,87 8,06 8,25 8,45 8,66 8,87 9,09 9,31 9,53 9,76 3,01 3,09 3,16 3,24 32 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 3 33 / 42 Steuerungstechnik Digitaltechnik Symbole und Schaltalgebra IECDarstellung Verknüpfung Step 7Darstellung NICHT Funktionsgleichung A 0 1 Y 1 0 Y=A B Y = A B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 >=1 Y=A+B Y = A B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 1 XOR Y = (A ● /B) + (/A ● B) B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 Y 0 1 1 0 Y = /A Y= A NOT UND AND & AND ODER OR OR Exklusiv-ODER XOR FunktionsTabelle XOR (Antivalenz) ● Bit-Zuweisung UND / ODER XOR Verknüpfungen können beliebig viele Eingänge haben. hat 2 Eingänge. wichtige Verknüfungsregeln: UND ≙ • / ODER ≙ + A ⋅ B ⋅ C= A + B + C A + B + C=A ⋅ B ⋅ C A • (B • C) = (A • C) • B = C • A • B (A • B) + (A • C) = A • (B + C) (A • B) + (A • C) = A•B+A•C UND vor ODER: (A • B) + (A • C) Formelsammlung_TGM.odt = A•B+A•C 33 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 34 / 42 Variablen mit elementaren Datentypen Datentyp Schlüsselwort IEC 63113-3 Informationsbreite Kennung Bit BOOL 1 Bit X *) Byte BYTE 8 Bit B Wort WORD 16 Bit W DWORD 32 Bit D Doppelwort *) SIMATIC STEP 7 nur bei DB Schlüsselwörter für die Variablendeklarationen (Lokaldaten) Schlüsselwörter IEC STEP 7 Input VAR_INPUT IN Output VAR_OUTPUT OUT In-Output VAR_IN_OUT IN_OUT Statische VAR STAT Temporäre VAR_TEMP TEMP Bistabile Speicher Speicherfunktion Speicher mit vorrangigem Rücksetzen S R IEC STEP 7 Speicheroperand Speicheroperand S S R1 Q1 R Q Q Speicher mit vorrangigem Setzen S R Speicheroperand S1 R R Q1 S Q Q SET-BOX (S-Anschluss eines Speichers) S S RESET-BOX (R-Anschluss eines Speichers) R R Formelsammlung_TGM.odt 34 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 35 / 42 Flankenauswertung Flankenauswertung IEC STEP 7 Instanz Instanz (R: Rise = steigen) R_TRIG P Negative Flanke Instanz Instanz F_TRIG N Positive Flanke (F: Fall = fallen) Vergleicher (***) Vergleichsfunktionen (CMP) Symbol Vergleich auf gleich ==I ==R Vergleich auf ungleich <>I <>R Vergleich auf größer >I Vergleich auf größer oder gleich >=I Vergleich auf kleiner <I Vergleich auf kleiner oder gleich <=I CMP *** IN1 >R IN2 >=R <R <=R Integer (I) Ganzzahlen Real (R) Gleitpunktzahl Eingänge: IN1 IN2 Eingang 1 Eingang 2 Ausgang: INTEGER / REAL INTEGER / REAL BOOL Übertragungsfunktion MOVE Symbol Operanden und Variablen mit elementaren Datentypen zu transferieren Eingänge: Ausgang: Formelsammlung_TGM.odt EN IN OUT MOVE EN IN OUT BOOL BYTE, WORD, DWORD BYTE, WORD, DWORD 35 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 36 / 42 Zeitgeber Zeitgeber, Timer nach IEC-Darstellung, Step 7-Timer nicht mehr verwenden Impuls TP IN TP (Timer Pulse) Instanzname ET TP Q IN Q PT ET Pt Pt Einschaltverzögerung TON IN TON (Timer – ON delay) Instanzname t ET TON t Q IN Q PT ET t Pt Ausschaltverzögerung TOF IN TOF (Timer – OFF delay) Instanzname t ET TOF t Q IN Q PT ET t Pt Pt Beschreibung IN : Start-Bit (BOOL) PT : Zeitvorgabe (TIME) Zeitvorgabe: Tag(d)-Std(h)-Min(m)-Sek(s)-Millisek(ms) Zeitbereich: (32 Bit – DWORD) 1ms bis 24d 29h 31m 23s 647ms Q : Zeitstatus-Bit (BOOL) ET: Aktueller Zeitwert Typ -(Time) Formelsammlung_TGM.odt Zeitvorgabe PT: T# ….. (Bsp.: T#2m15s) 36 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 37 / 42 Ablaufsprache Die Bestandteile einer Ablaufsteuerung gliedern sich in drei Teile: • Ablaufkette • Transitionsbedingungen (Weiterschaltbedingungen) • Aktionen (Befehlsausgabe) S_1 Transition_1 & // Beschreibung der Transition Transition_2 S_2 Jeder Schritt hat eine Nummer ┼ An der Wirkungslinie werden Übergangsbedingungen (Transitionen) angegeben Aktor S_3 Start - Initialierung Anfangsschritt (Initialschritt) ist doppelt umrandet S_2 Befehls- Beschreibung der Aktion art S_1 Transitionbeding(en) & Aktionsblock S_2 Transition- Rechts neben dem Schritt wird die Befehlsart, beding(en) die Aktion und der Ausführende (Aktor angegeben) Transitionbeding(en) //Schritt 1 //Initialschritt Befehlsart Aktion - Schritt 2 & Aktionsblöcke S_3 & Befehlsart Befehlsart Aktion - Schritt 3 Aktion - Schritt 3 S_1 Befehlsart Bedeutung Beschreibung N nicht speichernd (Non-stored) Aktor erhält “1“-Signal, solange der Schritt aktiv ist S Gespeichert (Set stored) Aktor wird auf “1“-Signal gesetzt bis zu einem RESET R Rücksetzen (Reset stored) Aktor wird auf “0“-Signal zurückgesetzt L T# … Zeitbegrenzt (time Limited) Aktor wird für eine bestimmte Zeit aktiviert, solange der Schritt gesetzt ist D T# … Zeitverzögert (time Delayed) Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, solange der Schritt aktiv ist LS T# … Zeitbegrenzt u. gespeichert (time Limited and Stored) Aktor wird für eine bestimmte Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wird DS T# … Zeitverzögert u. gespeichert (Delayed and Stored) Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, sofern der Schritt noch aktiv ist und bleibt aktiviert bis zu einem RESET SD T# ... Gespeichert u. zeitverzögert (Stored und Delayed ) Aktor wird nach einer bestimmten Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wird. Der Aktor bleibt aktiviert bis zu einem RESET NC Nicht speichernd mit Zusatzbedingung (Non Control) Aktor ist aktiv, solange der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist SC Speichern mit Zusatzbedingung (Saved Control) Aktor wird auf “1“-Signal gesetzt, wenn der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist. RC Rücksetzen mit Zusatzbedingung (Reset Control) Aktor wird auf “0“-Signal zurückgesetzt, wenn der Schritt aktiv und die Zusatzbedingung erfüllt ist. Formelsammlung_TGM.odt 37 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 38 / 42 N-Befehl ( Nicht speichernd) 1 Step_2 N Motor an M1 0 1 0 Schritt 2 Motor ist an, solange der Schritt aktiv ist Motor S-Befehl ( Setzen, speichernd) R-Befehl ( Rücksetzen, speichernd) 1 Step_3 S Heizung ein E5 0 1 0 Schritt 3 Heizung wird eingeschaltet und bleibt an bis zu einem Reset Heizung 1 Step_6 R Heizung aus E5 Schritt 6 0 Heizung zu Beginn des Schritts ausschalten L-Befehl ( zeitbegrenzt, Limited) 1 Step_7 L Pumpe ein M2 T#4s 0 1 0 Schritt 7 Ist Schritt 7 kürzer als 4s, geht die Pumpe aus 4s Pumpe Pumpe wird für bestimmte Zeit aktiviert, solange der Schritt aktiv ist Schritt 8 Schritt 8 muss länger als 4s sein, sonst wird der Zylinder nicht angesteuert. D-Befehl ( zeitverzögert, Delayed) 1 Step_8 D Stanze ein M3 T#4s 0 4s 1 0 LS-Befehl ( zeitbegrenzt, speichernd Limited, Stored) Step_9 LS Pumpe ein M2 T#4s 1 0 1 0 DS-Befehl ( zeitverzögert, speichernd Delayed, Stored) Step10 DS Stanze ein M3 T#4s 1 0 Pumpe bleibt 4s an, obwohl Schritt 9 kürzer ist Schritt 9 4s Pumpe Pumpe wird für bestimmte Zeit aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wurde Schritt 10 Schritt 10 muss länger als 4s sein, sonst wird der Zylinder nicht angesteuert. 4s 1 Stanze 0 1 Step12 R Stanze aus M3 M3 SD-Befehl (speichernd, zeitverzögert Stored, Delayed) Step13 SD Stanze ein M3 T#4s Schritt 12 1 0 1 Schritt 13 kann kürzer als 4s sein, Stanze wird trotzdem zeitverzögert angesteuert. Schritt 13 4s Stanze 1 R Formelsammlung_TGM.odt Stanze aus M3 M3 Stanze wird zeitverzögert aktiviert, sofern der Schritt aktiv noch ist und wird deaktiviert mit Reset. 0 0 Step15 Stanze wird zeitverzögert aktiviert, solange der Schritt aktiv ist. Stanze Schritt 15 Stanze wird zeitverzögert aktiviert, auch wenn der Schritt deaktiviert wurde und wird deaktiviert mit Reset. 0 38 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 39 / 42 Schrittketten: Grundregeln • Beim Setzen eines Schrittes wird dieser aktiv geschaltet, die Variable hat den Wert true, die zugeordnete Aktion wird ausgeführt • Rücksetzen eines Schrittes schaltet diesen inaktiv, die Variable hat den Wert false, die zugeordnete Aktion wird nicht ausgeführt • Bei der Aktivierung einer Schrittkette wird der Initialschritt und nur dieser gesetzt • Alle anderen Schritte werden gesetzt, wenn der vorhergehende Schritt aktiv und die Weiterschaltbedingung (Transition) erfüllt ist. • Ein Schritt wird zurückgesetzt, wenn der nachfolgende Schritt gesetzt wird. Codes Dual- Code (8-4-2-1-Code) 3 2 Gray- Code 1 0 Dezimal 2 =8 2 =4 2 =2 2 =1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 HEX 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F BCD- Codes / 4-Bit Codes keine Gewichtung D C B A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 Spezielle Umcodierer G0 B G1 C G2 D G3 BCD / dez. A B C D Formelsammlung_TGM.odt BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 Ziffern > 9 sind nicht definiert Umcodierer mit 7-Segmentanzeige BCD / Gray A Dez. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD / 7-Seg. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D 39 a b c d e f g DPY a f g b c e d dp 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 4 40 / 42 Mathematische Grundformeln Zehnerpotenzen Symbol Name Wert P Peta 1015 1.000.000.000.000.000 Billiarde T Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion G Giga 109 1.000.000.000 Milliarde M Mega 106 1.000.000 Million k Kilo 103 1.000 Tausend h Hekto 102 100 Hundert da Deka 101 10 Zehn 100 1 Eins d Dezi 10−1 0,1 Zehntel c Zenti 10−2 0,01 Hundertstel m Milli 10−3 0,001 Tausendstel μ Mikro 10−6 0,000.001 Millionstel n Nano 10−9 0,000.000.001 Milliardstel p Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel f Femto 10−15 0,000.000.000.000.001 Billiardstel Umrechnungen 1 Jahr = 365 Tage = 8760 Stunden 1Stunde = 60 min = 3600Sekunden Formelsammlung_TGM.odt 40 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 41 / 42 Flächen- und Volumenberechnungen Kreisfläche A = π ⋅r 2 Kreisumfang U = 2⋅ π⋅ r Dreiecksfläche A= 1 ⋅a⋅ h 2 Trapezfläche A= 1 ⋅(a + c )⋅ h 2 h h a O = π⋅r 2 + π⋅r ⋅ s V= s h 1 2 ⋅π⋅ r ⋅h 3 r R 1 2 2 V = ⋅π⋅ h⋅(R + R ⋅r + r ) 3 Kegelstumpf Fläche in m² Kreisradius in m Umfang in m Mantelfläche in m² Oberfläche in m² Volumen in m³ c a M = π ⋅r ⋅ s Kegel A r U M O V h r O= G + M Pyramide V= h 1 ⋅ G⋅h 3 r O = 2⋅π⋅ r 2 + 2⋅ π⋅r⋅h Zylinder G Grundfläche in m² M Summe der Dreiecksflächen G h V = π ⋅r 2 ⋅h O = 4⋅ π⋅ r 2 Kugel V= 4 3 ⋅π ⋅r 3 Winkelfunktionen sin(α) = G H cos(α) = G Δy tan (α) = = m= A Δx Formelsammlung_TGM.odt A H Δy H Δx α A 41 G H A G α m Hypotenuse Ankathete Gegenkathete Winkel zwischen A und H Steigung 9. Mrz 15 Formelsammlung TGM 5 42 / 42 Physikalische Grundformeln und Einheiten Physikalische Formeln gleichförmige Bewegung v= beschleunigte Bewegung a= s t v t Arbeit W = F⋅s Leistung P= s= 1 2 ⋅ a⋅t 2 W t P = F⋅ v = ω⋅M = 2⋅π⋅n⋅M Drehmoment M = F⋅r Wirkungsgrad η= Druck F p= A Dichte m ϱ= V M Nutzen Aufwand r F m s v Geschwindigkeit in s t zurückgelegter Weg in m Zeit in s a Beschleunigung in W F P M Arbeit in J = Nm = Ws Kraft in N Leistung in W = Nm/s Drehmoment in Nm ω Winkelgeschwindigkeit in n Drehzahl in r Radius in m p Druck in m s2 1 s 1 s N m2 5 1 bar = 10 Pa = 10 5 N m2 kg m3 ϱ Dichte in A m V Fläche in m² Masse in kg Volumen in m3 Einheiten SI-Basiseinheiten abgeleitete SI-Einheiten Name Eineit Symbol Einheitenzeichen Länge Meter l Masse Kilogramm Zeit Einheitenzeichen in anderen SIEinheiten in Basiseinheiten Name Einheit m Frequenz Hertz Hz m kg Kraft Newton N J/m m·kg·s−2 Sekunde t s Druck Pascal Pa N/m2 m−1·kg·s−2 Stromstärke Ampere I A Energie, Arbeit, Wärmemenge Joule J Nm; Ws m2·kg·s−2 Temperatur Kelvin T K Leistung Watt W J/s; VA m2·kg·s−3 Stoffmenge Mol N mol elektrische Ladung Coulomb C Lichtstärke Candela Formelsammlung_TGM.odt IV cd s−1 A·s elektrische Spannung Volt V W/A; J/C m ·kg·s−3·A−1 elektrische Kapazität Farad F C/V m−2·kg−1·s4·A2 elektrischer Widerstand Ohm Ω V/A m2·kg·s−3·A−2 elektrischer Leitwert Siemens S 1/Ω m−2·kg−1·s3·A2 magnetischer Fluss Weber Wb Vs m2·kg·s−2·A−1 magnetische Flussdichte Tesla T Wb/m2 kg·s−2·A−1 Induktivität Henry H Wb/A m2·kg·s−2·A−2 Celsius-Temperatur Grad Celsius °C 42 2 K 9. Mrz 15