Kapitel 7 - IAP TU

Kapitel 7
Ph ik der
Physik
d Gase
G
: Elementare
El
t Thermodynamik
Th
d
ik
1
…elementare Unterschiede zwischen Gasen und Festkörpern :
Gase : stark komprimierbar,
komprimierbar d.h.
d h große Volumenänderung bei relativ geringer
Kraft bzw. Druck möglich, z.B. mit Luftpumpe, (siehe Abb.)
Festkörper : schwer komprimierbar; typisch nur unter extremen Bedingungen
möglich, z:b. bei der Kernfusion nach Komprimierung von Festkörper-Targets
mittels laser
laser-erzeugten
erzeugten Schockwellen; Laseranlage zur Kernfusion (siehe Abb. rechts)
und laser-erzeugtes Plasma am Target (siehe Inset in der Abb.)
www.grundschule-badsoden.de
2
…(einfache) physikalische Beschreibung von Gasen :
Ö individuelle Teilchen ((Atome,, Moleküle))
Anmerkung : die Näherung ist (im Modell harter Kugeln) gültig,
wenn der Abstand der Teilchen >> Teilchendurchmesser
Ö beliebig expandierbar und stark komprimierbar
Ö Ekin(T) > Epot
d.h. vernachlässigbare Wechselwirkung zwischen den Teilchen
Ö keinerlei NahNah oder Fernordnung
► Eigenschaften bestimmt durch statistische Mittelung
über Bewegung (und Stöße) vieler Teilchen
Ö mikroskopische Beschreibung : kinetische Gastheorie
relevante makroskopische Größen : Druck (p), Volumen (V), Temperatur (T)
3
Boyle-Mariott‘sches Gesetz
Experimentell
E
perimentell bestimmter Zusammenhang
Z sammenhang
zwischen Druck und Volumen eines Gases :
p ⋅ V = const.
Anmerkung : Konstante hängt von der Temperatur ab
Ö Gasgesetz kann zur Bestimmung
der Temperatur benutzt werden
Differenzieren liefert :
dV
constt.
V
=−
=−
2
dp
p
p
p
Ö vergleiche
g
mit der Definition der Kompressibilität
p
:
1 ∂V
κ =−
V ∂p
Anmerkung : Die Kompressibilität beschreibt die
Mö li hk it zur Variation
Möglichkeit
V i ti
d
des
Vl
Volumens
∂V/∂
∂V/∂p
(normiert auf das Ausgangsvolumen V)
4
für konstante Temperatur ist die totale Ableitung dV/dp
gleich der partiellen Ableitung ∂V/∂p; es folgt somit :
1 dV 1
κ =−
=
V dp
p p
d.h. jje kleiner der Druck,, umso besser lässt sich ein Gas komprimieren
p
Dichte des Gases beim Druck p :
mit :
V=
M
ρ
Ö
p
ρ
= const.
Ö
p∝ρ
d.h. die Dichte des Gases wächst proportional zum Druck
5
Anmerkung : Einheiten des Drucks in Gasen (Pascal, Bar, Torr)
SI-Einheit des Drucks :
[p] = 1 N/m2 = 1 Pa (Pascal)
1 hPa = 102 = 102 Pa
andere gebräuchl. Einheiten :
1 bar = 10 = 105 Pa = 103 hPa
1 mbar = 10-3 bar = 0.75 torr
[1 torr] ist definiert als der Druck einer Quecksilbersäule der Höhe 1 mm
[1 bar]
b ] iist definiert
d fi i als
l Luftdruck
L f d k am Erdboden
E db d
Luftdruck bei “Normalbedingungen”
Normalbedingungen :
1 atm = 1013,25
1013 25 hPa = 760 torr
1 atm = 1,01325
,
bar
6
Barometrische Höhenformel
► Luftdruck variiert mit der Höhe h,
h da das Gewicht (bzw.
(bzw das Volumen) der
auf einer Fläche in der Höhe h lastenden Luftsäule mit der Höhe abnimmt
es gilt für den Schweredruck (Luftdruck) :
F Mg Vρ g
p= =
=
= ρgh
A
A
A
Änderung mit Variation der Höhe um dh :
dp = − ρ g dh
beachte : für Gase ist ρ = ρ(h)
mit :
p
ρ
= const.
aus Boyle-Mariott
Ö
p
ρ
mit Dichte und Druck in Höhe h = 0 (Meereshöhe)
=
p0
ρ0
7
Ö
p ρ0
dp = −
g dh
p0
Integration liefert :
Ö
ln(( p ) = −
ρ0
dp
=−
g dh
p
p0
ρ0
p0
gh
Ö
p(h ) = p0 e
−
ρ0
p0
gh
barometrische Höhenformel
Luftdruck
L
ftd k nimmt
i
t exponentiell
ti ll mit
it
Höhe ab. Die Stärke der Variation
ist durch (ρ0/p0 g) gegeben.
gegeben Bei ca.
ca
5 km Höhe ist der Luftdruck bereits
um die Hälfte gesunken.
g
beachte : das Verhältnis ρ0/p0 ist
temperaturabhängig
8
vergleiche Druckvariation in einer Flüssigkeit (vgl. Kapitel 6) :
Flüssigkeit ist inkompressibel Ö Dichte ist konstant ρ(h) = ρ0
Ö
p(h ) = ρ 0 g h
dd.h.
h lineare Abnahme des Drucks mit der Höhe
(gemessen z:b. vom Meeresboden aus bis zur Meeresoberfläche)
Druck in einer Wassersäule mit 10 m
Höhe. Zum reinen Wasserdruck addiert
sich
i h nochh der
d Luftdruck
L ftd k (1 bar)
b ) an der
d
Wasseroberfläche bei h = 10 m
9
Anmerkung : Alternative Schreibweise der Höhenformel
wie
ie wir
ir später noch sehen werden,
erden ist die Konstante im Boyle-Mariott‘schen
Bo le Mariott‘schen
Gesetz proportional zur Temperatur :
p ⋅ V = const. ≡ R ⋅ T
Ö
p
RT
=
ρ M
Einsetzen in :
mit der Gas-Konstanten R
für Masse 1 Mol und Mol-Volumen V
ρ0
M
=
p0 R T
Ö
p(h ) = p0 e
−
ρ0
p0
gh
liefert :
p(h ) = p0 e
−
M
gh
RT
beachte : M ist die Mol-Masse der Luft
10
Formel be
bezogen
ogen aauff ein Molekül der Masse m :
p(h ) = p0 e
−
NA m
gh
RT
mit
it der
d Zahl
Z hl NA ≈ 6 ⋅ 1023(Avogadro-Zahl)
(A
d Z hl) der
d Moleküle
M l kül in
i Masse
M
1 Mol
M l
mit der Boltzmann-Konstanten
Bolt mann Konstanten k = R/NA
Ö
p(h ) = p0 e
−
mgh
kT
betrachte Exponenten : mgh ist die potentielle Energie eines Teilchens
kT ist offensichtlich die thermische Energie
g
Ö die barometrische Höhenformel setzt die vorhandene thermische Energie
eines Gas-Teilchens in Beziehung zur potentiellen Energie,
Energie die das Teilchen
zum Aufenthalt in der Höhe h benötigt
11
Anmerkung : Auftrieb in der Atmosphäre
► äquivalent zum Archimedischen Prinzip des Auftriebs in Flüssigkeiten gilt
auch in Gasen : Ein Körper erfährt in Gasen eine Auftriebskraft, die gleich dem
Gewicht der verdrängten
g Gasmenge
g ist.
Ö ein Ballon kann in der Luft schweben, wenn er durch sein großes Volumen
mehr
h Luft
L ft verdrängt
d ä t als
l seinem
i
Ei
Eigengewicht
i ht entspricht
t i ht :
g M Ballon ≤ VBallon ρ Luft g
12
Kinetische Gastheorie
Die von Boltzmann
Boltzmann, Clausius,
Clausius Maxwell u.
u a.
a in der zweiten Hälfte des 19.
19 Jh.
Jh
entwickelte kinetische Gastheorie führt alle Eigenschaften eines Gases auf die
Bewegung
g g der Gas-Atome und deren Wechselwirkung
g bei Stößen zurück
► Modell des idealen Gases : Ein Gas besteht aus Atomen oder Molekülen, die
sich mit statistisch verteilten Geschwindigkeiten bewegen und die sich wie
kleine starre Kugeln mit Radius r0 verhalten. r0 sei viel kleiner als der mittlere
p
Abstand zwischen den Teilchen Ö Gas als Ensemble von Massenpunkten
(Eigenvolumen vernachlässigbar). Ebenso sei die Wechselwirkung zwischen
den Teilchen vernachlässigbar (kein Binnendruck)
► Stöße zwischen Teilchen seien völlig elastisch Ö Stöße führen lediglich zu
Umverteilung von kinetischer Energie Ö keine Anregung innerer Energien
► Druck als Folge von elastischen Stößen der Teilchen mit der Wand, d.h.
p
gp
pro Zeit und Fläche.
Druck = Impulsübertrag
13
Anmerkungen …zur Kraft zwischen Gas-Teilchen und deren Idealisierung
Epot
Epot
Epot
rmin
ΔEkin
r
EB
( )
(a)
r
r
(b)
( )
(c)
(a) typischer Verlauf der Wechselwirkungsenergie zwischen zwei Gas-Atomen (äquivalent zum
M l kül t ti l P t ti l) (b) Idealisierung
Molekülpotential-Potential);
Id li i
1 harte
1:
h t Kugeln;
K l gute
t Näherung
Näh
fü EB =
für
Epot(rmin) << Ekin; (c) Idealisierung 2 : Teilchenvolumen → 0; gute Näherung für NVTeilchen <<
VBehälter; beachte : Energie- und Impulsaustausch ist auch im Rahmen der Näherungen möglich 14
Abschätzungen :
Dichte bei Luftdruck
L ftdr ck (1 bar) :
ρ = 3 ⋅ 1019 Teilchen/cm3 = 3 ⋅ 1025 Teilchen/m3
Ö verfügbares Volumen pro Teilchen :
VB = 1/3 ⋅ 10-25 m3
Ö mittlerer Abstand der Teilchen :
r = VB1/3 ≈ 4 ⋅ 10-9 m
Vergleich mit Atomdurchmesser : ro ≈ 0.1 nm = 1Å = 10-10 m << r0
Ö Idealisierung Eigenvolumen → 0 ist gute Näherung für p = 1 bar
Ö zusätzlich : Näherung harter Kugeln, bzw. Ekin >> EB
Ö ideales Gas
falls Wechselwirkung und Eigenvolumen nicht vernachlässigbar sind
(z.B. bei hohem Druck) Ö „reale“ Gase
15
Druck : Mikroskopische Erklärung
► Druck,, den das Gas auf die Wand ausübt,, wird durch den Impulsübertrag
p
g
der Atome bei Stößen mit der Wand bewirkt
Definition : Druck = Kraft pro Fläche
Ö
r
dF ( N , v )
p=
dA
Kraft F ist von Anzahl der Stöße
und Geschwindigkeit abhängig
mit :
d (ΔP )
dF =
dt
d
d
d.h. Kraft = übertragener Impuls pro Zeiteinheit
oder :
dF = Z& 2 m v
mit der Anzahl dZ/dt von Stößen pro Zeiteinheit
16
beachte : wir betrachten zunächst nur senkrechte Stöße mit der Wand
wir betrachten jetzt den Teil nx aller Moleküle pro cm3, die sich in einem
Würfel-Volumen V mit der Geschwindigkeit vx in x-Richtung bewegen :
Ö Anzahl von Stößen mit der Wand :
dZ = nx v x dA dt
Ö Kraft auf die Wand:
dF = 2 m nx v dA
2
x
Ö Druck auf die Wand:
p = 2 m nx v
2
x
muss noch bestimmt werden
werden, zz.B.
B im
Mittel über viele Teilchen bzw. Stöße
17
Anmerkung : Teilchen, die nicht senkrecht zur Wand fliegen bzw. stoßen : auch wenn
ein Molekül schräg zur Wand fliegt, so wird von ihm beim elastischen Stoß auf die
ebene
b
W d in
Wand
i der
d yz-Ebene
Eb
ebenfalls
b f ll nur der
d Impuls
I
l 2mv
2 x übertragen,
üb t
weil
il die
di
Tangentialkomponenten vy, vz keinen Impuls in Wandrichtung bewirken
18
…zur Bestimmung der Geschwindigkeiten vx :
vi = 0
betrachte Mittelwert :
; i =x,y,z
d.h. es gibt gleich viele Teilchen, die nach links oder rechts fliegen
beachte allerdings :
v
≠0
Isotropie verlangt :
2
x
= v
2
i
v
2
y
= v
∞
Ö
2
i
v
2
z
∞
1
1 2
1
2
= ∫ N (vi ) vi dvi = v = ∫ N (v) v 2 dv
N0
3
N0
insbesondere also :
v
2
x
1 2
= v
3
19
wir ersetzen in :
p = 2 m nx v
die Geschwindigkeit durch den Mittelwert :
v → v
2
x
2
x
beachten die Isotropie der Dichte :
2
x
1 2
= v
3
nx = n y = nz = n
sowie
i die
di Tatsache,
T
h dass
d nur die
di Hälfte
Hälf dder T
Teilchen
il h nachh rechts
h in
i Richtung
Ri h
(+x) fliegen und mit der Wand stoßen Ö weiterer Faktor ½ in der Gleichung
Ö
1
2
p = mn v
3
mit der mittleren
kinetischen Energie :
Ekin
1
= m v2
2
Ö ähnlich wie Boyle-Mariott :
Ö
2
p = n Ekin
3
2
p ⋅ V = N Ekin
3
Ö die Konstante in Boyle-Mariott ist proportional zur mittleren kinetischen Energie
20
Anmerkung :
…später werden wir sehen : die mittlere kinetische Energie definiert die
Temperatur (thermische Energie) Ö Temperatur ist Teilchenbewegung
Ekin
1
3
2
= m v ≡ k T = ET
2
2
mit der Boltzmann-Konstanten k
k ≈ 1.38 ⋅ 10-23 J/K
Anmerkung : Faktor 3 in der Definition der thermischen Energie berücksichtigt die drei
F ih it
Freiheitsgrade
d der
d Translationsbewegung
T
l ti b
Ö bei völlig ruhenden Teilchen wird T → 0 (absoluter Nullpunkt Kelvin-Skala)
Ö
p ⋅V = N k T
oder :
p=nkT
Ö bei fester Temperatur
(bzw kin.
(bzw.
kin Energie) und Dichte folgt :
Ideale
Gas-Gleichung
p ⋅ V = const.
Boyle-Mariott
21
Anmerkung … zum Zusammenspiel von Theorie und Experiment
kinetische Gastheorie liefert :
Experiment lieferte :
2
p ⋅ V = N Ekin
3
p ⋅V ∝ T
Ö Definition :
p ⋅V = N k T
Ö Proportionalitäts-Konstante k, normiert auf die Dichte
Ö Vergleich Theorie – Experiment
ergibt
ibt die
di Definition
D fi iti der
d Temperatur
T
t :
Ekin
dd.h.
h bbeii drei
d i Freiheitsgraden
F ih i
d der
d Translation
T
l i
ergibt sich die Energie pro Freiheitsgrad :
3
≡ kT
2
Ekin
1
= kT
2
Gleichverteilungssatz : Bei einem Gas, das genügend lange bei einer konstanten
p
Tg
gehalten wird,, verteilt sich die Energie
g der Teilchen durch Stöße
Temperatur
gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade, sodass im Mittel jedes Teilchen die Energie
22
⟨Ekin ⟩ = f/2⋅ kT hat, wenn f die Zahl der Freiheitsgrade ist.
Abschätzung :
Teilchendichte bei Luftdruck
L ftdr ck (1 bar = 105 Pa) :
p=nkT
5
Ö
p
10
⎡ 1 ⎤
= ... ≈
n=
− 23
3⎥
⎢
kT
1.3 ⋅10 ⋅ 300 ⎣ m ⎦
25 1
19 1
≈ 10
0
= 100
3
3
m
cm
23
Anmerkungen : Wirkung des Gas-Drucks
Abpumpen, Ventil schließen
(
(links)
) betrachte einen nicht aufgeblasenen
fg
Luftballon
f
in einer luftgefüllten
fg f
Kammer; die Einblasöffnung
ff
g des
Luftballons sei verschlossen; da der Druck im Luftballon und in der Kammer gleich sind, liegt der Luftballon
schlaff am Boden der Kammer; mikroskopische Deutung : statistisch gleich viele Stöße von Molekülen
außerhalb und innerhalb des Ballons an die Gummihülle Ö keine Netto-Kraft Ö keine Expansion; (rechts)
wenn die Kammer evakuiert wird, dann ist der Druck im Luftballon höher als in der Kammer Ö der
Luftballon expandiert durch die Wirkung des Gas-Drucks im Inneren; mikroskopische Deutung : mehr Stöße
der Luftmoleküle im Inneren des Ballons an die Wand als von außen Ö Netto-Kraft von innen nach außen Ö
Expansion, bis die rücktreibende Kraft der Ausdehnung des Gummis (Elastizität) gleich der Netto-Kraft
durch Molekülstöße ist; beachte : obwohl die Wirkung des Stoßes eines einzelnen Moleküls vernachlässigbar
scheint, addieren sich die Stöße der hohen Anzahl von Molekülen zu einem makroskopischen Druck auf
24
Abschätzung der Kraft auf die Halbkugeln :
Durchmesser : D = 10 cm
Ö Fläche A ≈ π D2/4 ≈ 0.01
0 01 m2
Druck p = F/A (Luftdruck p = 105 Pa)
Ö Kraft F = p A = …= 103 [N]
Kraft entspricht Gewicht von :
F = M g FG = 103 [N] = M g Ö M ≈100 kg
Magdeburger Halbkugeln : evakuierte Halbkugeln scheinen sich mit großer Kraft anzuziehen;
mikroskopische Deutung : mehr Stöße von Molekülen außerhalb der Kugeln auf die Wände als von innerhalb
Ö Netto-Kraft
f von außen
ß nachh innen Ö Halbkugeln
lbk l werden
d durch
d h den
d Luftdruck
f d k zusammengepresst
25
Magdeburger
g
g Halbkugeln
g
: historisches Experiment
p
von Otto von Guericke ((1657);
); zwei Halbkugeln
g
(Durchmesser 47 cm) wurden evakuiert und konnten auch von insgesamt 16 Pferden nicht
auseinandergezogen werden; Quelle : http://www.laurentianum.de/physikmuseum/magdeburg.htm
26
mathematische Zwischenbemerkung : Verteilungsfunktionen
► die bisherigen Überlegungen zeigen : Thermodynamik = statistische Physik
Ö makroskopische Beobachtung können durch Mittelung
üb mikroskopische
über
ik k i h Effekte
Eff kt erklärt
klä t werden
d
und : mikroskopische Eigenschaften (z.B. Geschwindigkeit) eines bestimmten
einzelnen Teilchens in einem Ensemble können nur im Rahmen statistischer
Wahrscheinlichkeiten vorausgesagt werden Ö Verteilungsfunktionen
z.B. eine Verteilungsfunktion f(v) dv für die Geschwindigkeit gibt an, welcher
Bruchteil von Teilchen (bezogen auf die Gesamtzahl der Teilchen) in einem
Ensemble eine Geschwindigkeit im Intervall v±dv besitzt :
+∞
N (v) dv
f (v) dv =
N
Normierung :
∫ f (v) dv = 1
−∞
+∞
Ö Bildung des Mittelwerts :
v = ∫ v f (v) dv
−∞
27
betrachte eine physikalische Größe (z.B. Geschwindigkeit) für Teilchen in
einem Ensemble beim thermischen Gleichgewicht (d.h. die Verteilungsfunktion
fT(v) sei zeitlich konstant)
durch eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt t
könnten wir die momentanen Geschwindigkeit aller Teilchen ermitteln
Ö Bestimmung der Verteilungsfunktion fN(v)
Ö Bestimmung eines „Scharmittels“
alternativ könnten wir die Variation der Geschwindigkeit
eines einzelnen Teilchens mit der Zeit t ermitteln
Ö Bestimmung der zeitlichen Verteilungsfunktion ft(v)
Ö Bestimmung eines „Zeitmittels“
Wenn sowohl N als auch t hinreichend groß sind, gilt :
Erdogen-Hypothese
d.h. nach Ermittlung von fN(v) muss nicht nochmals
der Effekt zeitlicher Variationen betrachtet werden
f N (v ) = f t (v )
Scharmittel = Zeitmittel
28
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
betrachte die barometrische Höhenformel :
äquivalente Formulierung für die Dichte :
p(h ) = p0 e
−
mgh
kT
ρ (h ) = ρ 0 e
−
mgh
kT
Ö der Exponent in der Höhenformel kann als Relation zwischen potentieller
und thermischer Energie eines Teilchens interpretiert werden :
Ö
ρ = ρ0 e
−
E pot
kT
Ö Teilchen-Dichte :
n = n0 e
−
E pot
kT
Ö alternative Interpretation der Höhenformel : offensichtlich beschreibt die
Gleichungg die Wahrscheinlichkeit,, in einem Ensemble der Temperatur
p
T einen
Bruchteil von Teilchen mit der Energie Epot zu finden; je höher Epot (d.h. je
größer die Höhe h), umso weniger wahrscheinlich wird es, dass die thermische
Energie die „Besetzung“ des Zustandes Epot erlaubt
29
Ö Verteilungsfunktion für
b li bi Energie-Formen
beliebige
E
i F
:
f (E) = e
Ö wir erhalten für ein Ensemble
mit kinetischer Energie Ekin
(in einer Dimension z)
−
E
kT
f (v z ) = e
allgemeiner (mit Normierungs-Konstanter) :
BoltzmannV
Verteilung
il
E
− kin
kT
=e
f (v z ) = C e
∫ f (v ) dv
z
−∞
1 m v z2
−
2 kT
2
+∞
Normierung der Funktion fordert :
1 m v z2
−
2 kT
= C
+∞ − 1 m v z
2 kT
∫e
dv ≡ 1
−∞
beachte : Geschwindigkeit vz kann von – ∞ bis + ∞ variieren (Richtung –z, +z)
30
Lös ng des Integrals und
Lösung
nd Ansetzen
Anset en der Norm liefert :
f (v z ) =
Ö normierte Verteilungsfunktion :
m
C=
2π k T
m
e
2π k T
1 m v z2
−
2 kT
Erweiterung auf Verteilung in drei Dimensionen:
r
f (v ) = C e
Ö Normierung liefert :
(
2
2
2
1 m vx +v y +vz
−
2
kT
)
= Ce
⎛ m ⎞
⎟⎟
C = ⎜⎜
⎝ 2π k T ⎠
1 m v x2
−
2 kT
e
2
1 mvy
−
2 kT
e
1 m v z2
−
2 kT
3
2
31
wenn lediglich der Betrag |v| von Interesse ist (die Richtung von v also beliebig
sein kann) , ergibt sich für die Verteilungsfunktion :
3
2
⎛ m ⎞
⎟⎟ 4 π v 2 e
f (v) = ⎜⎜
⎝ 2π k T ⎠
1 mv2
−
2 kT
Maxwell-Boltzmann
GeschwindigkeitsVerteilung
Anmerkung : zusätzlicher Faktor 4πv2 beschreibt statistisches Gewicht
Interpretation :
► f(v) dv beschreibt die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Teilchen eine Geschwindigkeit im Intervall dv um v besitzt
► f(v) beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte, d.h. die Wahrscheinlichkeit
einer bestimmte Geschwindigkeit v pro Geschwindigkeitsinterval
Ö Anzahl der Teilchen im Geschwindigkeitsintervall dv um v :
N (v) dv = N 0 f (v) dv
mit der Gesamtzahl der Teilchen N0
32
…mathematische Zwischenbemerkung : statistisches Gewicht
math. Motivation : bei vorgegebener Geschwindigkeit |v| ± dv gibt es eine „Anzahl
math
Anzahl“
(bzw. statistische Wahrscheinlichkeit) von Möglichkeiten für Vektoren (vx, vy,vz), die
Bedingung |(vx, vy,vz)| = |v| ± dv zu erfüllen; die Wahrscheinlichkeit kann durch das
Volumen in der Kugelschale |v| ± dv beschrieben werden
y
vz
v
v
vy
vx
x
dv
P (v) ∝ V (v) = 4 π v dv
2
statistisches Gewicht
33
beachte : betrachte f(vz), d.h. Verteilung für eine Geschwindigkeitskomponente :
f (v z ) =
m
e
2π k T
1 m v z2
−
2 kT
Anmerkung : statistisches Gewicht = 1
vz kann variieren im Bereich -∞ bis +∞
Ö symmetrische Verteilung um vz = 0
Ö Mittelwert ⟨vz⟩ = 0
► im Gegensatz
g
dazu ist die Verteilung
g des Betrags
g der Geschwindigkeiten
g
im
drei-dimensionalen Raum asymmetrisch : |v| kann variieren von 0 bis +∞ Ö es
gibt irgendwo eine wahrscheinlichste Geschwindigkeit vW mit f(vW) = max und
einen Mittelwert ⟨|v|⟩ ≠ 0; beachte : vW ≠ ⟨|v|⟩
34
mit
it der
d Maxwell-Boltzmann-Verteilung
M
ll B lt
V t il
ergibt sich aus df(vW)/dv = 0 :
2kT
vW =
m
wahrscheinlichste
h h i li h t
Geschwindigkeit
+∞
sowie
i aus :
v = ∫ v f (v) dv
0
die mittlere Geschwindigkeit :
8k T
v =
πm
Ö Geschwindigkeiten wachsen mit Temperatur T
35
+∞
Mittelwert des Geschwindigkeitsquadrats :
v
2
= ∫ v f (v) dv
2
0
liefert :
v
2
3k T
=
m
beachte : ⟨v⟩2 = 0, aber : ⟨v2⟩ ≠ 0
Ö mittlere kinetische Energie im Ensemble :
1
3
2
E = m v = kT
2
2
Ö Die kinetische Energie ist proportional zur Temperatur T des Ensembles
und : mittlere Energie pro Freiheitsgrad (hier : Transmission) ⟨E⟩ = ½ kT
36
typische Werte :
z.B. für Luft (N2) bei Zimmertemperatur (T = 300 K) :
27 kg
26 kg
m(N
(N2) = 2 ⋅ 14 ⋅ 1.6
1 6 ⋅ 10-27
k ≈ 2 ⋅ 10-26
k
Ö
2 ⋅1.3 ⋅10 −23 ⋅ 300
vW =
4 ⋅10 − 26
und :
⎡m⎤
5
≈
2
⋅
10
⎢s⎥
⎣ ⎦
⎡m⎤
⎡m⎤
⎢ s ⎥ ≈ 450 ⎢ s ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡m⎤
v =
vW ≈ 500 ⎢ ⎥
π
⎣s⎦
2
d.h. thermische Geschwindigkeiten kleiner Moleküle liegen bei einigen 100 m/s
sowie :
3
1 − 20
− 23
E = 1.3 ⋅10 ⋅ 300 [J ] ≈ 10 [J ] ≈ 0.05 [eV ]
2
2
d.h. thermische Energien kleiner Moleküle liegen im Bereich von 10 meV
37
Geschwindigkeitsverteilung von N2-Molekülen bei zwei verschiedenen Temperaturen. Die wahrscheinlichste
und mittlere Geschwindigkeit verschieben sich bei wachsender Temperatur zu größeren Werten. Gleichzeitig
wird die Verteilung breiter, da jetzt auch sehr große Geschwindigkeiten mit höherer Wahrscheinlichkeit
vorkommen können. Beachte : Die Flächen unter beiden Kurven geben die gesamte Teilchenzahl pro
Volumeneinheit an und sind deshalb bei einer abgeschlossenen Gasmenge gleich. Wenn die Verteilung bei
38
höherer Temperatur breiter wird, muss die Kurve (bei konstanter Fläche) daher flacher werden.
Beispiel : MB-Geschwindigkeitsverteilung für verschiedene Temperaturen
N2
T = 100 K
T = 300 K
T = 1000 K
Vmax = 242 m/s
f (v) [a.u.]
Vmax = 424 m/s
= 424 m/s
Vmax = 758 m/s
0
200
400
600 800 1000 1200 1400
v[m/s]
Geschwindigkeitsverteilung von N2-Molekülen bei drei verschiedenen Temperaturen (siehe oben)
39
Beispiel : MB-Geschwindigkeitsverteilung für verschiedene Massen
Xe: xm= 131
T = 300 K
CO2: xm= 38
Vmax = 197 m/s
N2:
f (v) [[a.u.]
Vmax = 364 m/s
364 /
xm= 28
He2: xm= 4
Vmax = 424 m/s
Vmax = 1121 m/s
1121 m/s
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
v [m/s]
MB-Verteilung für verschiedene Massen bei gleicher Temperatur : für verschiedene Massen ergeben sich
verschiedene Verteilungen; die Vergrößerung der Masse in der MB-Verteilung hat denselben Effekt wie die
Reduzierung der Temperatur Ö kleine Massen zeigen breitere Verteilung und größere Geschwindigkeiten 40
Thermodynamische Freiheitsgrade
► thermische Energie pro Freiheitsgrad ⟨E⟩ = ½ kT
► drei Freiheitsgrade der Translation
zusätzlich bei Molekülen : Freiheitsgrade
g
der Schwingung
g g und Rotation
Ö Aufnahme/Austausch innerer Energie durch thermische Stöße möglich
Ö
Ö
Ö
(oben) Austausch von Translations-Energie im elastischen Stoß; (Mitte) Anregung von Rotationsenergie;
41
(unten) Austausch von Schwingungsenergie
Anmerkung : Molekulare Rotation
z
2
Rotationsenergie :
Erot
L
=
2I
L
Lz
Lx = L y = L z
Ö drei Freiheitsgrade der Rotation Ö frot = 3
y
Ly
im thermischen Gleichgewicht gilt :
Lx
x
aber (bei zwei-atomigen Molekülen) : bei „moderaten“ Temperaturen sind nur
zwei Freiheitsgrade zugänglich Ö frot = 2
bei „moderaten“ Temperaturen sind nur Rotationen
um Achsen senkrecht zur Kernverbindungsachse
möglich;
die
Rotation
(blau)
um
die
Kernverbindungsachse benötigt extrem hohe
g , da das Trägheitsmoment
g
I∼r
thermische Energien,
in diesem Fall sehr klein und damit Erot ∼ 1/I sehr
groß wird (vgl. Quantenmechanik, s.u.)
42
Anmerkung : Molekulare Schwingung
zwei-atomiges
ei atomiges Molekül :
eine Möglichkeit zur Schwingung
aber : zwei Energieformen (potentiell/kinetisch)
Ö zwei Freiheitsgrade der Schwingung Ö fvib = 2
drei-atomiges Molekül :
d i Möglichkeit
drei
Mö li hk it zur Schwingung
S h i
und : zwei Energieformen (potentiell/kinetisch)
Ö sechs
h Freiheitsgrade
F ih it
d der
d Schwingung
S h i
Ö fvib = 6
43
► Gleichverteilungssatz : thermische Energie pro Freiheitsgrad ⟨E⟩ = ½ kT
Ö für Atome :
f = ftrans = 3
Ö für zwei
zwei-atomiges
atomiges Molekül : f = ftrans + frot + fvib = 3+2+2 = 7
Ö für drei-atomiges Molekül : f = ftrans + frot + fvib
ib = 3+3+6 = 12
beachte : die Rotation für drei-atomiges
g Molekül ist auch bei moderaten Temperaturen
p
nicht den Einschränkungen des zwei-atomigen Moleküls unterworfen, d.h. frot = 3
Anmerkung : ⟨E⟩ = ½ kT gibt quantitativen Zusammenhang zwischen Energie
und Temperatur via statisches Mittel über viele Teilchen und/oder lange Zeiten.
Di Temperatur
Die
T
t
i t nur dann
ist
d
eine
i
physikalisch
h ik li h sinnvolle
i
ll Größe,
G öß wenn
Verteilungsfunktionen für das thermische Gleichgewicht angegeben werden.
44
Zwischenbemerkungen : … ein kurzer Ausflug in die Quantenmechanik
2
wir betrachten die Rotationsenergie eines Moleküls :
Erot
L
=
2I
Ö klassische Erwartung
g : die Rotationsenergie
g kann p
prinzipiell
p
beliebige
g Werte
annehmen – da auch der Drehimpuls beliebige Werte annehmen kann
► die Quantenmechanik
Q antenmechanik zeigt
eigt hingegen : Drehimpuls
Drehimp ls ist gequantelt
geq antelt
L = h l (l + 1)
2
2
mit
it :
l = 0 ; 1 ; 2 ; ...
und
d:
h
h=
2π
2
Ö Rotationsenergie ist gequantelt :
Erot
h
=
l (l + 1) ≡ C l (l + 1)
2I
beachte : in der Konstanten C ist Information über das Trägheitsmoment, d.h.
über den Abstand zwischen den Kernen enthalten Ö spektroskopische Messung
der Rotationsenergien erlaubt Bestimmung des Kernabstands
45
(oben) energetische Position von Rotations-Energien in
einem molekularen Rotator; der Abstand der
R t ti
Rotationsenergien
i wächst
ä h t mit
it der
d Quantenzahl
Q t
hl l;
l (unten)
( t )
Rotations-Frequenzspektrum, d.h. Übergänge zwischen
benachbarten Rotations-Niveaus; die Abstände zwischen
den Übergangsfrequenzen sind konstant
l
Energien :
Erot ,(l ) = C l (l + 1)
Ö Abstände :
ΔE(l ) = Erot ,(l +1) − Erot ,(l )
= 2C (l + 1)
Ö Übergangsfrequenzen
g g q
:
hν (l ) = ΔE( l ) = 2C (l + 1)
Ö Abstände zwischen Frequenzen :
Übergangsfrequenz
hν (l +1) − hν (l ) = 2C = const.
46
benötigte Mindest-Energie
g g der Rotation :
zur Anregung
Erot ,( l =1)
h2
=
≡ k TC
I
mit der „kritischen“ Temperatur TC, ab der genug thermische Energie im
Ensemble vorhanden ist, um die Rotation anzuregen
A
B
Ö Trägheitsmoment bzgl. Drehung um Achse A :
I A ≈ M 1 R12 + M 2 R22
Ö Trägheitsmoment bzgl. Drehung um Achse B :
I B ≈ M1 d 2 + M 2 d 2
Anmerkung : für homo-nukleare Moleküle (H2, N2, O2,…) ist R1 = R2
47
Bindungslänge im Molekül R (ca. 10-10 m) >> Kern-Ausdehnung d (ca. 10-15 m)
Ö IA >> IB
betrachte :
( B)
Erot
I B TC( B )
=
≡ ( A)
( A)
Erot
I A TC
Ö Rotation um B benötigt
g viel höhere (thermische)
(
) Energie
g zur Anregung
g g
ÖTC ist sehr hoch für Rotation um B
Ö bei „moderaten“ Temperaturen kann Rotation um B vernachlässigt werden
IInterpretation
i : Rotation
R i wird
i d angeregt durch
d h Energieübertrag
E
i üb
(i l i h
(inelastischer
Stoß) von Translationsenergie auf innere Energie (Rotation); die verfügbare
Translationsenergie ist proportional zur Temperatur; wenn die Temperatur (bzw.
(bzw
die verfügbare Translationsenergie) zu niedrig ist, kann die gequantelte
g g werden und das Molekül bleibt im Grundzustand der
Rotation nicht angeregt
Rotation, d.h. l = 0 mit Erot = 0
48
wir betrachten jetzt die Schwingung (Vibration) eines Moleküls :
► die Quantenmechanik zeigt : auch die Schwingungsenergie ist gequantelt
betrachte harmonischen Oszillator als Näherung für molekulare Schwingung :
F = − D (r − r0 )
E pot
Ö
D
2
= − ∫ F dr = (r − r0 )
2
mit Auslenkung
A slenk ng r-r
r r0 aus
a s der Ruhelage
R helage
Potential quadratisch
i der
in
d Auslenkung
A l k
Epot
Ö gequantelte Energieniveaus :
1⎞
⎛
E (v ) = h ω0 ⎜ν + ⎟
2⎠
⎝
r-r0
mit Eigenfrequenz ω0
und Schwingungsquantenzahl ν
49
1⎞
⎛
E (v ) = h ω0 ⎜ν + ⎟
2⎠
⎝
Epot
v=3
v=2
v=1
v=0
r-r0
Ö Nullpunkts-Schwingungsenergie
N ll kt S h i
i
h ω0
E (0 ) =
≠0
2
und : äquidistante Energieniveuas
Anregung der Vibration verlangt Mindestenergie (Übergang v = 0 nach v = 1) :
ΔE = h ω0 ≡ k TC
mit der krit. Temp. TC zur Anregung der Vibration
beachte : dies ist ein anderes TC als bei der Rotation
Ö falls T << TC kann die Schwingung nicht angeregt werden
f ll T > TC kann
falls
k
die
di Schwingung
S h i
angeregtt werden
d
Anmerkung : Interpretation äquivalent wie bei der Rotation
50
beachte : Vibrationsfreiheitsgrade zählen doppelt
klassisches Argument : Anregung von pot.
pot und kinet.
kinet Energie bei Vibration;
die Quantenmechanische Rechnung liefert das Ergebnis direkt :
mittlere Schwingungsenergie :
Evib
1
= 2⋅ k T = k T
2
typisches Verhalten für kleine Moleküle :
TC( Rot , A) < TC(Vib ) << TC( Rot , B )
z.B. im Bereich von Zimmertemperatur (T = 300 K)
Ö Anregung von Rotation um Achse ⊥ Kernverbindungsachse möglich
Ö Anregung von Vibration schwer möglich
Ö Anregung
g g von Rotation um Kernverbindungsachse
g
nicht möglich
g
51
Energie [10000 cm‐1]
4
Dissoziations‐Kontinuum
Morse‐
Potential
3
2
Reales Molekülpotential und Vibrationsniveaus
in H2; das Potential lässt sich nur für kleine
Auslenkungen
g
um
die
Ruhelage
g
als
harmonischer Oszillator beschreiben; für
höhere Energien gibt es Abweichungen vom
parabel-förmigen
Verlauf;
diese
Anharmonizität führt dazu, dass die
Schwingungsniveaus nicht mehr äquidistant
liegen; der Abstand der Schwingungsniveaus
konvergiert gegen Null; die Niveaus erreichen
schließlich das Dissoziationskontinuum; ab der
Dissoziationsgrenze sind die Kerne nicht mehr
zum Molekül
M l kül gebunden;
b d
zur analytischen
l i h
Beschreibung des realen Potentialverlaufs
können höhere Näherungen benutzt werden,
z.B.
B das
d Morse-Potential;
M
P t ti l
1⎞ h ω ⎛
1⎞
⎛
E (v ) = hω0 ⎜ v + ⎟ −
⎜v + ⎟
2 ⎠ 4D ⎝
2⎠
⎝
2
1
E0 = ½ ħω
R [Å]
R [Å]
2
0
2
Zahlenwerte : Vibrationsquant ω0 = 4159 cm-1
( l typische
(vgl.
i h Werte
W
fü kleine
für
kl i
M l kül
Moleküle
100…1000 cm-1); Kernabstand in Ruhelage R0
= 0.8 Å, Dissoziationsenergie D ≈ 38.000 cm-1
Anmerkung :
Termwerte [cm-1] = [E/hc] = [hv/hc] = [1/λ]
52
Transportprozesse in Gasen
Transportpro esse in Gasen werden
Transportprozesse
erden bestimmt durch
d rch :
► Diffusion von Teilchen (Transport von Materie)
► Wärmeleitung (Transport von Energie)
► Viskosität („Zähigkeit“, Transport von Impuls)
► Streuung von Teilchen (Ablenkung von der ursprünglichen Flugrichtung)
53
Streuprozesse
Näherung
Näher
ng der Streuung
Stre ng in Gasen :
Modell harter Kugeln
Ö Stoß (Streuprozess) findet nur statt,
falls Stoßparameter b < r1 + r2
Ö Stoßquerschnitt :
mit:
σ =π r
*2
r = r1 + r2
*
Anmerkung :
„harte Kugeln
Kugeln“ ist grobe Näherung
i.d.R. ist Epot = Epot(r)
d h größere
d.h.
öß R
Reichweite
i h it des
d Potentials
P t ti l
dann wird : σ = σ(E)
d.h. Stoßquerschnitt wird abhängig von Stoß-Energie
54
Abschwächung eines Teilchenstrahls (in Propagationsrichtung) durch Streuung :
betrachte ein Teilchen A,
A das durch ein Volumen mit Streuern B fliegt :
viele Teilchen B mit „Querschnittssscheibe“
Q
h itt
h ib “
dx
Teilchen A Ö Wahrscheinlichkeit für einen Stoß : W = abgedeckte Fläche / Gesamtfläche
Ö
Ö
1
W = ∑σ i
A i
W = nB σ dx
mit :
∑σ
i
i
= NB σ
und :
N B = nB A dx
55
Ö Anzahl der Stöße :
dN A = N A W = N A nB σ dx
aus der ursprünglichen Flugrichtung gehen Teilchen A durch Streuung zur Seite
verloren Ö Abschwächung des Strahls A in Flugrichtung
Ö
Integration liefert :
dN A
= − nB σ dx
NA
ln ( N A ) = −nB σ x + C
mit Anfangsbedingung NA(0) = NA,0 folgt:
N A ( x ) = N A, 0 e
− nB σ x
d.h. die Teilchenzahl in Flugrichtung nimmt exponentiell mit der Flugstrecke ab
56
N A ( x)
dW =
N A, 0
betrachte die Wahrscheinlichkeit für
einen Stoß auf der Strecke dx :
Ö Strecke, die im Mittel stoßfrei durchlaufen werden kann :
∞
1
Λ = x = ∫ x dW ( x) =
N A, 0
0
Ö
1
Λ=
N A, 0
∞
(
dN A ( x)
∫0 x dx dx
)
d
− nB σ x
N A, 0 e
dx = nB σ
∫0 x dx
d
∞
wir nutzen das Integral :
∫ xe
0
und erhalten :
∞
Λ=
1
nB σ
−α x
dx =
∞
∫ xe
− nB σ x
dx
0
1
α2
mittlere freie
Weglänge
57
N A ( x ) = N A, 0 e
− nB σ x
= N A, 0 e
−x/Λ
Interpretation
p
der mittleren freien Weglänge
g g :
die Anzahl der Teilchen A im Strahl ist nach einer Strecke von Λ= nB σ auf 1/e
vom Anfangswert
g
NA,0
gefallen Ö für ein Teilchen ((d.h. NA,0
) ist dadurch
A0 g
A 0 = 1)
eine charakteristische Strecke Λ gegeben, nach der das Teilchen aus der
58
Flugrichtung gestreut wurde
Brown‘sche Bewegung
betrachte die Bahnkurve eines einzelnen Teilchens,, das sich durch ein Volumen von
Streuern bewegt Ö Sequenzen von Stößen, typischerweise nach Propagation über die
mittlere, freie Weglänge; während die Stoß-Frequenz durch die mittlere TeilchenGeschwindigkeit und mittlere,
mittlere freie Weglänge ungefähr bestimmt ist,
ist bleibt die
Richtung des Teilchens nach den Stößen völlig unbestimmt
W(L)
(a) Statistische Bahn eines Teilchens unter dem Einfluss von Stößen mit Luftmolekülen; (b) Histogramm für
die Messung der Längenverteilung zwischen zwei Stößen (d.h. Verteilung der Länge L gerader Wegstücke).
59
Das Histogramm stellt dar : Wie oft kommt eine bestimmte Weglänge zwischen zwei Stößen vor ?
Diffusion
► Diffusion ist der Transport von Teilchen aus einem Raumgebiet hoher
Konzentration in ein Raumgebiet niedriger Konzentration
Ö Diffusion benötigt Dichtegradienten grad n(x) ≠ 0
Betrachte den in der Abbildung gezeigten
Behälter, der durch eine Wand in zwei
Hälften getrennt ist,
ist welche jeweils nur
Teilchen
A
bzw.
B
enthalten.
Experimentelle Beobachtung : Nach
Entfernung der Trennwand werden sich die
beiden Komponenten A und B (durch
Diffusion) durchmischen und schließlich
das gganze Volumen mit räumlich
konstanter
Konzentration
einnehmen
(Gleichgewicht).
Beachte
:
trotz
mikroskopischer, freier Weglängen werden
die Gase in ausreichend langer Zeit
makroskopische Entfernungen zurücklegen
60
bbetrachte
h (a)
( ) Diffusion
D ff
ohne
h Zustrom
Z
von Teilchen
T l h A,
A d.h.
d h ein abgeschlossenes
b
hl
S
System
Ö im
Gleichgewicht (d.h. nach langer Beobachtungszeit, rote Kurve) wird grad nA = 0;(b) Diffusion
mit Zustrom von Teilchen A, d.h. ein nicht abgeschlossenes SystemÖ Fließgleichgewicht (d.h.
nach langer Beobachtungszeit, rote Kurve) wird grad nA ≠ 0
61
Diffusions-Gleichung
betrachte Dichte-Verteilung n(x),
n(x)
die in x-Richtung variiert (z.B. sinkt),
n(x)
aber konstant in y,z ist
Ö Strom von links
r nach rechts
Ö Stromdichte j
Die mittlere,
mittlere freie Weglänge in der Nähe einer
Fläche x = x0 sei Λ Ö Die Wahrscheinlichkeit
W-, dass ein Teilchen nach Stoß bei x- = x0−Λ
cos Ԃ mit
i einer
i
G h i di k i v unter einem
Geschwindigkeit
i
Winkel Ԃ gegen die x-Richtung die Fläche x =
x0 von links nach rechts durchquert, ist genauso
groß ist wie die Wahrscheinlichkeit W+, dass
ein Teilchen von x- = x0+Λ cos Ԃ nach seinem
letzten Stoßß die Fläche von rechts nach links
durchläuft.
(oben) Dichteverteilung;
(unten) Fluß durch Ebene bei x0
62
Ö Zahl der Teilchen dN+, (links von der Fläche), die während der Zeit dt die
Fläche dA, aus dem Raumwinkel dΩ kommend mit der Geschwindigkeit dv
unter dem Winkel ϑ durchqueren :
dΩ
dN + (v) = n+ v cos ϑ dt dA f (v) dv
4π
Dichte
i h
ebenso :
Volumen
l
Geschwindigkeitsh i di k i
Verteilung
Raumwinkel
relativ zum
ggesamten Raum
dΩ
dN − (v) = n− v cos ϑ dt dA f (v) dv
4π
63
Zur Berechnung der Dichten n+ und n- :
n(x)
n( x0 ) = n0
dn
n( x− ) = n0 − Δx
dx
dn
n( x+ ) = n0 + Δx
dx
64
Ö Netto-Strom :
Teilchen dN + dN −
=
−
≡ j x (v ) dA
dI x (v) =
Z
Zeit
dt
d
dt
d
mit dem Strom I (Strom = Teilchen/Zeit)
und der Stromdichte j (Stromdichte = Strom/Fläche)
Einsetzen von N± in die obige Gleichung, Ersetzen von dΩ = sin ϑ dϑ dϕ
undd ffolgende
l d Integration
I
i der
d Differential
Diff
i l Gleichung
Gl i h
liefert
li f :
Λ
dn
jx = − v
3
dx
Ö in drei Dimensionen :
r
r
Λ
j = − v ∇n
3
mit der Diffusions-Konstanten :
Λ
1
D=
v =
3
3 nσ
8k T
πm
Ö
r
r
j = − D ∇n
d.h. die Teilchenstromdichte folgt dem Dichtegradienten
Diffusionsg
Gleichung
65
betrachte die Diffusions-Konstanten :
1
D=
3 nσ
8k T
πm
bestimmt Stärke (Geschwindigkeit) der Diffusion
Eigenschaften :
wenn Masse m wächst, sinkt D
Ö schwere Teilchen diffundiere langsamer
bei höherer Temperatur T wird D größer
Ö heiße (schnelle) Teilchen diffundieren schneller
bei höherer Dichte n (oder Querschnitt σ) wird D kleiner
Ö Diffusion wird durch Stöße mit anderen Teilchen behindert
66
Beispiel : Zur schnelleren Diffusion leichter Teilchen
betrachte Diffusion durch einen porösen Tonzylinder : Der
Tonzylinder ist gut durchlässig für leichte Helium-Atome
(He), aber weniger durchlässig für schwerere Stickstoff
Stickstoff- (N2)
oder Sauerstoff-Moleküle (O2).
Anfangs
f g zeigt
g ein Druckmesser im Inneren des
Zylinders den gleichen Druck p an wie die umgebende
Luft. Stülpt man jetzt zur Zeit t1 ein Becherglas über
den Zylinder, in das man Helium einleitet, so zeigt das
Manometer anfangs einen großen Überdruck an, der
dann nach einiger Zeit wieder auf Null abgebaut wird
(durch Diffusion von Helium nach außen). Entfernt
man jetzt zur Zeit t2 das
d Becherglas,
h l so wird
d anfangs
f
ein Unterdruck angezeigt, der dann auch bald wieder
abgebaut wird. Der Unterdruck entsteht dadurch, dass
di Helium-Atome
die
H li
At
schneller
h ll von innen
i
nach
h außen
ß
diffundieren, als Luftmoleküle von außen nach innen.
67
Wärmeleitung in Gasen
► ähnlich wie Teilchen-Diffusion,, beruht auch die Wärmeleitung
g in Gasen auf
Teilchenbewegung Ö Wärmetransport als Energie-„Diffusion“ von Bereichen
hoher Energie (Temperatur) zu Bereichen niedriger Energie (Temperatur)
betrachte Wärmetransport von einer heißen
Platte zu einer kalten Platte :
Fall (1) : Λ > d (z.B. bei geringer Dichte)
Ö Teilchen nehmen an der heißen Platte
Energie auf und transportieren diese Energie
direkt ((ohne Stöße)) zur linken Platte
das Flächenelement dA1 verliert
pro Zeiteinheit die Energie :
dW1
dN1
=−
Ekin ,1
dt
dt
mit der Anzahl von Teilchen dN1 , die aus dA1 von der linken Platte wegfliegen68
mit der mittleren Energie
der Teilchen von links :
m 2
f
Ekin,1 =
v1 = k T1
2
2
andererseits
d
it gewinnt
i t Flächenelement
Flä h l
t dA1
Energie durch auftreffende Teilchen, die
von der rechten Platte kommen :
mit der mittleren Energie der
Teilchen von der rechten Platte :
Ekin , 2
im stationären Gleichgewicht
g
ggilt :
dW2 dN 2
Ekin , 2
=
dt
dt
m 2
f
=
v2 = k T2
2
2
dN1 dN 2
+
=0
dt
dt
es folgt somit die Energie-Bilanz :
dN1
dN1 f
⎛ dW2 dW1 ⎞
(Ekin,2 − Ekin,1 ) =
+
k (T2 − T1 )
⎜
⎟ =
dt ⎠
dt
dt 2
⎝ dt
69
Anzahl der Teilchen dN1/dt berechnet sich nach (s.o. Kap. Diffusion) :
dΩ
dN1 (Ω, v ) = n v cos ϑ dt dA f (v) dv
4π
umgeschrieben, und mit
Ö
dΩ = sin ϑ dϑ dϕ
dN1 (ϑ , ϕ , v )
sin ϑ dϑ
= n v cos ϑ dA f (v) dv
dϕ
dt
4π
Integration über Raumwinkel und Geschwindigkeiten liefert :
n
dN1 (ϑ , ϕ , v)
=
dA ∫ v f (v) dv ∫ cos ϑ sin ϑ dϑ ∫ dϕ
dt
4π
mittlere Geschwindigkeit ⟨v⟩
70
Ö Auswertung der Integrale liefert :
Einsetzen in Energiebilanz :
ergibt :
dN1 n
= dA v
dt
4
dN1 f
⎛ dW2 dW1 ⎞
k (T2 − T1 )
+
⎟ =
⎜
dt ⎠
dt 2
⎝ dt
f
n
⎛ dW2 dW1 ⎞
+
v
k (T2 − T1 ) dA1
⎟ =
⎜
4
2
dt ⎠
⎝ dt
Integration
g
über dA1 ergibt
g die
Energiebilanz für die gesamte Fläche :
1
&
ΔW = n f k v (T2 − T1 ) A1
8
mit der Wärmeübergangszahl κ :
1
κ = nfk v
8
Ö
ΔW& = κ (T2 − T1 ) A1
71
Eigenschaften der Wärmeleitung :
1
κ = nfk v
8
ΔW& = κ (T2 − T1 ) A1
Wärme wird umso schneller geleitet :
* je größer der Temperaturunterschied ist
* je größer die Dichte ist (d.h.
(d h die Anzahl der „Transporter
Transporter“))
* je mehr Freiheitsgrade die Teilchen haben
* je schneller die Teilchen sind
Anmerkung
g:
anfangs ist T2 ≠ T1
Ö wg. pV = nkT sind somit auch die Dichten n2 ≠ n1
Ö bei höherer Temperatur herrscht eine geringere Dichte
72
Fall (2) : Λ ≤ d (z.B. bei hoher Dichte)
Ö Teilchen nehmen an der heißen Platte Energie
auf und transportieren diese Energie indirekt
mittels Stößen (Diffusion) zur linken Platte
Ö analoge Überlegung wie bei Diffusion liefert :
r
ΔW& = λ ∇T
mit der Wärmeleitfähigkeit λ :
1
1 fk v
λ =
Λn f k v =
12
12 σ
d.h. bei hoher Dichte (Λ ≤ d) ist Wärmetransport unabhängig von der Dichte
Grund : bei hohen Dichten steigt zwar die Anzahl der „Transporter“,
aber gleichzeitig wird die freie Diffusion durch mehr Stöße behindert
73