03.12.2008

Rotation starrer Körper
Starrer Körper:
Wird beschrieben als Satz von fest miteinander
verbundenen Massenelementen ∆mi (i = 1, . . . , N )
mit Ortsvektoren ~
ri .
Drehmoment und Trägheitsmoment:
~ =
L
N
X
i=1
∆mi (~
ri × |{z}
~vi )
=~
ω ×~
ri
Bei Drehung um Symmetrieachse (oder i.a. geeignete
Wahl des Koordinatenursprungs auf Drehachse) ist

~ =
L
I=
N
X
N
X
i=1

ω
∆mi ρ2
~ =Iω
~
i
−ρi
∆mi ρ2
i
ρi
∆m i
∆m i’
i=1
= Trägheitsmoment
[I] = kg m2
ri
0
⇒ I hängt von Orientierung
der Drehachse ab
⇒ Symmetrieachse geht
durch Schwerpunkt
ω
2.3 Drehungen. . .
3. Dezember 2008
Translation
Rotation
3. Dezember 2008
Länge x
Drehwinkel φ
Geschwindigkeit v = dx
dt
Winkelgeschwindigkeit ω = dφ
dt
Masse M
Trägheitsmoment I
Impuls p
~ = M~v
~ = I~
ω
Drehimpuls L
~
Kraft F
~ =~
~
r×F
Drehmoment D
~ = d~p
2. Newtonsches G. F
dt
~
~ = dL
D
dt
kinetische Energie
Rotationsenergie
1 M v2
Ekin = 2
2
Erot = 1
Iω
2
Vergleich Drehung - Translation
2.3 Drehungen. . .
Äquivalente Variablen:
Planetenbahnen
Erhaltungssätze:
• Impuls: p
~tot = p
~P + p
~S (P = Planet, S = Sonne)
⇒ Beschreibung im Schwerpunktsystem,
MS
Verwendung der reduzierten Masse µ = MMP P+M
≈ MP
S
~ =~
• Drehimpuls: L
rSP × p
~P (~
rSP zeigt von S zu P)
~
⇒ ebene Bewegung (da p
~P ⊥ L)
• Energie: Etot = Ep + Ekin = −G MrPSPMS + Ekin
Keplersche Gesetze:
(können aus den Erhaltungssätzen hergeleitet werden)
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen
um die Sonne, die in einem der Brennpunkte steht.
2. Die vom Abstandsvektor ~
rSP pro Zeiteinheit
überstrichene Fläche ist konstant:
y
t2
S
A2
A1
=
= const.
∆t1
∆t2
A2
t2 +∆ t2
rSP
t 1 +∆ t1
A1
x
t1
3. Für die Umlaufzeiten TP und die großen Halbachsen
aP aller Planetenbahnen gilt
TP2
a3
P
= const.
2.4 Schwingungen und Wellen. . .
3. Dezember 2008
Ellipsen
y
b
P
r SP
r
S
−a
BP1
0
a
BP2
x
−b
Mathematische Beschreibung
• Charakterisiert durch Halbachsen
a (große Halbachse), b (kleine Halbachse)
• Ellipsengleichung:
• Exzentrität:
• Brennpunkte:
y2
x2
+ 2 =1
a2
b
s
2
b
ǫ= 1−
a
BP1,2 = (±aǫ, 0)
• Konstruktion: Umfang des Dreiecks ∆(BP1BP2 P )
ist konstant für alle P auf Ellipse
2.4 Schwingungen und Wellen. . .
3. Dezember 2008
Die Schwingungsgleichung
Mechanische Schwingungen . . .
sind periodische Bewegungsvorgänge:
~
r (t + T ) = ~
r (t)
(T ist die Schwingungsdauer)
D
0 (Gleichgewicht)
M
x
Beispiel: Federpendel
• Masse M an Feder mit Federkonstante D
im Schwerefeld der Erde
• x = 0 im Gleichgewicht (Schwerkraft = Federkraft)
• Auslenkung aus Gleichgewicht ⇒
Schwingung um x = 0
• 2. Newtonsches Gesetz:
dp
= F ⇒ M ẍ = −Dx
dt
⇒ Schwingungsgleichung (SG):
2.4 Schwingungen und Wellen. . .
ẍ = −
D
x
M
3. Dezember 2008
Harmonische Schwingungen
Lösung der Schwingungsgleichung:
• SG ist Differentialgleichung
• Lösung bei gegebenen Anfangsbedingungen
x(0) = x0 und ẋ(0) = v0 eindeutig.

• Ansatz:

ẋ(t) = Aω cos(ωt + ϕ)
x(t) = A sin(ωt + ϕ) ⇒ ẍ(t) = −Aω 2 sin(ωt + ϕ)

−Aω 2 = −A D (SG)
M

p


ω = D/M = 2π/T = Kreisfrequenz
= x0ω/v0 = Phasenverschiebung
⇒ tan ϕq


A = x2 + (v0 /ω)2 = Amplitude
0
• Energiebilanz:
Ep = Dx2 /2 = D [A sin(ωt + ϕ)]2 /2
Ekin = M ẋ2/2 = M [Aω cos(ωt + ϕ)]2 /2
⇒ Etot = Ep + Ekin = DA2/2 = M (Aω)2/2 = const.
x , v, a
v
Sinusförmige
Schwingungen
heißen
harmonisch.
x
T
0
2T
t
a
Ep ,
Ekin
E tot =const.
t
2.4 Schwingungen und Wellen. . .
3. Dezember 2008
Das mathematische Pendel
Mathematisches
Pendel:
• Masse M an Faden der
Länge l im
Schwerefeld der Erde
• Schwerkraft wirkt
Auslenkung entgegen
• Geometrische Ausdehnung
von M vernachlässigbar
(andernfalls:
“physikalisches Pendel”)
φ
l
M
FII
FN
F=Mg
Gesucht: Winkel φ(t)
• Drehbewegung um Aufhängepunkt (•)
• Beschreibung mit Drehimpuls L und Drehmoment D
L = Iω = M l2φ̇
D = −lFk = −lF sin φ = −M lg sin φ
⇒ −M lg sin φ = M l2φ̈ ⇒ φ̈ = −(g/l) sin φ
• Keine harmonische Schwingung
(φ(t) = A sin(ωt + ϕ) ist keine Lösung)!
• Für φ ≪ 1 gilt sin φ ≈ φ. In dieser Näherung
ist die Schwingung harmonisch:
p
φ(t) = A sin(ωt + ϕ) mit ω = g/l
• Schwingungsfrequenz ist unabhängig von M und von
der Amplitude A
• Messung von ω und l ⇒ Bestimmung von g.
2.4 Schwingungen und Wellen. . .
3. Dezember 2008