Schulzentrum Rübekamp Mathematik 17.12.2015 Stochastik II Name: Internetsucht Viele Jugendliche zeigen ein problematisches Verhalten im Umgang mit dem Internet. Die sogenannte PINTA-Studie für das Bundesministerium für Gesundheit untersuchte unter anderem die Internetsucht junger Deutscher im Alter von 14 bis 24 Jahren, die im Folgenden als „Jugendliche“ bezeichnet werden. Der Studie zu Folge gelten rund 14 % der Jugendlichen als suchtgefährdet. Runde Deine Ergebnisse immer auf drei Nachkommastellen genau! 1. Es werden 25 zufällig ausgewählte Jugendliche befragt. a) Es soll die Frage „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein suchtgefährdeter Jugendlicher dabei ist?“ untersucht werden. Erläutere, was eine BERNOULLI-Kette ausmacht und warum dieser Versuch als eine BERNOULLI-Kette angesehen werden kann. 6 Punkte b) Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der suchtgefährdeten Jugendlichen an. Ergänze die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. (Mit anderen Worten: Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 Befragten genau 6 Suchtgefährdete dabei sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 Befragten genau 7 Suchtgefährdete dabei sind). Schreibe Deinen Rechenweg gut nachvollziehbar auf! k (Anzahl der suchtgefährdeten unter den 25 Befragten) 0 1 2 3 4 5 p(X=k) 0,023 0,094 0,183 0,229 0,205 0,140 6 7 8 Punkte c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens fünf suchtgefährdete Jugendliche dabei sind. 4 Punkte d) Bestimme p(1≤X≤4) und erläutere die Bedeutung des Werts im Zusammenhang der Aufgabe. 4 Punkte Schulzentrum Rübekamp 2. Die Jugendlichen stellen Gesamtbevölkerung. Mathematik einen Anteil 17.12.2015 von ca. 11 % an der deutschen a) Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte deutsche Person jugendlich und zudem noch suchtgefährdet ist, 1,5 4% beträgt. Erstelle dazu ein passendes Baumdiagramm. 8 Punkte b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 zufällig ausgewählten Deutschen genau eine jugendliche und zudem suchtgefährdete Person ist. Nimm dazu entsprechend der Aufgabe 2a) an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Deutscher ein Jugendlicher und zudem noch suchtgefährdet ist, 1,5 4% beträgt. 4 Punkte 3. Erwartungswert a) Berechne zu der Wahrscheinlichkeitsverteilung den Erwartungswert. k p(X = k) 0 1 2 0,2 0,7 0,1 8 Punkte b) Ein Spielautomat hat drei Felder. In jedem Feld zeigt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% eine Münze, ansonsten Bananen an. Die Abbildung zeigt ein mögliches Ergebnis. Sind zwei Münzen zu sehen, so wirft der Automat 1.-€ aus. Sind drei Münzen zu sehen, so wirft der Automat 3.-€ aus. Ansonsten gibt es keinen Gewinn. Der Einsatz beträgt 0,50€. Ist das Spiel fair? 8 Punkte Bewertungseinheiten (BE): KMK Punkte: /50 Schulzentrum Rübekamp Mathematik 17.12.2015 Musterlösung Aufgabe 1 a) Drei Dinge sind wesentlich für eine BERNOULLI-Kette: i. Bei jeder Stufe (Wiederholung) gibt es genau zwei Möglichkeiten, nämlich einen Erfolg oder einen Misserfolg. ii. Bei jeder Stufe (Wiederholung) ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich. iii. Es gibt n Stufen (Wiederholungen) In diesem Fall liegt eine BERNOULLI-Kette vor, denn i. Bei jeder Stufe (Wiederholung) gibt es genau zwei Möglichkeiten, nämlich einen Erfolg (z.B. „suchtgefährdet“) oder einen Misserfolg („nicht suchtgefährdet“). ii. Bei jeder Stufe (Wiederholung) ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich, nämlich p = 0,14. iii. Es gibt n Stufen (Wiederholungen), nämlich 25. 25 b) a) 𝑝(𝑋 = 6) = ( ) ∙ 0,146 ∙ 0,8619 ≈ 𝟎, 𝟎𝟕𝟔 6 25 b) 𝑝(𝑋 = 7) = ( ) ∙ 0,147 ∙ 0,8618 ≈ 𝟎, 𝟎𝟑𝟒 7 c) Im Folgenden steht p(k) für p(k Suchtgefährdete) (z.B. p(0) für p(0 Suchtgefährdete)) p(höchstens 5 Suchtgefährdete) = p(0) + p(1) + p(2) p(3) + p(4) + p(5) │vgl. Tabelle = 0,023 0,094 + 0,183 + 0,229 + 0,205 + 0,140 = 0,874 d) p(1≤X≤4) bedeutet „die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 und maximal 4 Suchtgefährdete dabei sind“. p(1≤X≤4) = p(1) p(2) + p(3) + p(4) = … = 0,711 Aufgabe 2 a) Baumdiagramm: J – jugendliche Person E – erwachsene Person sg – suchtgefährdet nsg – nicht suchtgefährdet 0,11 J E 0,14 sg nsg p(J, sg) = 0,11∙0,14 = 0,0154 Damit ist die Aussage bewiesen. 25 b) 𝑝(𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 1 𝑠𝑢𝑐ℎ𝑡𝑔𝑒𝑓äℎ𝑟𝑑𝑒𝑡𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛) = ( ) ∙ 0,01541 ∙ 0,984624 ≈ 𝟎, 𝟐𝟔𝟓𝟑 1 Schulzentrum Rübekamp Mathematik 17.12.2015 Aufgabe 3 a) E[X] = 0∙0,2 + 1∙0,7 + 2∙0,2 = 0,9 b) Erstelle zunächst die Gewinn-Verteilung, dazu: 3 𝑝(𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 2 𝑀ü𝑛𝑧𝑒𝑛) = ( ) ∙ 0,32 ∙ 0,71 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟗 2 3 𝑝(𝑔𝑒𝑛𝑎𝑢 3 𝑀ü𝑛𝑧𝑒𝑛) = ( ) ∙ 0,33 ∙ 0,70 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟕 3 Münzen Auszahlung Gewinn p 0 0.-€ 1 0.-0,50€ 2 1.0,50€ 3 3.2,50€ 0,784 0,189 0,027 Berechne nun den Erwartungswert: E[X] = -0,50€∙0,784 + 0,50€∙0,189 + 2,50€∙0,027 = -0,23€ Da der Erwartungswert nicht Null ist, ist das Spiel nicht fair.