FS13_4

19. März 2013
Übungen Serie 4
Physik für Informatiker
Abt. IIIC
FS 2013
Prof. Dr. A. Rubbia
1. Rotierendes Pendel
Eine Punktmasse m ist an einem (masselosen) Faden der Länge ` befestigt und rotiere
mit konstanter Geschwindigkeit v in einer horizontalen Ebene um die vertikale Achse (s.
Figur), so dass der Faden immer gestreckt ist. Die Masse m beschreibt eine Kreisbahn mit
(konstantem) Radius r, d.h., die resultierende Kraft F~ muss auf die Achse (Zentrum der
Kreisbahn) zeigen und senkrecht zur Achse stehen.
~
a) Wie gross ist, bei gegebenem Winkel α, die Seilkraft S = |S|?
b) Berechnen Sie den Winkel α für eine Umlaufszeit (Periode) T =1 s und eine Pendellänge
l = 30 cm; g = 9.8 m/s2 .
a
F
l
S
r
F
=
S
+
m g
m
m g
2. Schiefe Ebene
Eine Masse m bewege sich reibungsfrei auf einer schiefen Ebene, die einen Neigungswinkel α
zur Horizontalen hat. Die Masse werde zur Zeit t = 0 bei x = 0, y = h in Ruhe losgelassen
(als Referenzpunkt z.B. die linke untere Ecke der Masse verwenden, siehe Figur).
a) Geben Sie die Bewegungsgleichungen x(t) und y(t) an für die Masse m auf der schiefen
Ebene.
b) Wie gross ist der Betrag der Geschwindigkeit, nachdem die Masse einen Höhenunterschied
∆h durchlaufen hat, d.h., bei y = h − ∆h? Vergleichen Sie diese Geschwindigkeit mit
derjenigen einer frei fallenden Masse.
1
y
m
h
m g
a
0
x
3. Geostationärer Satellit
Ein geostationärer Satellit befindet sich immer über demselben Punkt des Aequators; d.h
seine Umlaufszeit um die Erde betrg̈t ein Sterntag (1 Sterntag = 86164 s, ist definiert als
das Zeitintervall zwischen zwei oberen Meridiandurchgängen des Frühlingspunktes).
G = 6.673 · 10−11 N m2 /kg 2 , mErde = 6 · 1024 kg, RErde = 6370 km.
• Wie hoch über dem Aequator befindet sich ein geostationärer Satellit?
4. Harmonische Schwingung eines Pendels
Ein (mathematisches) Pendel besteht aus einer (Punkt-) Masse m, die an einem masselosen
Faden der Länge ` befestigt ist. Das Pendel ist an einer horizontalen Decke befestigt (siehe
Figur). Das Pendel werde (bei gestrecktem Faden) aus der vertikalen Ruhelage um den
Winkel φ0 ausgelenkt und dann zur Zeit t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Die Auslenkung φ0
ist so klein, dass für die Winkel φ(t) die Näherung sin(φ) ≈ φ verwendet werden kann (φ
im Bogenmass). Die Masse bewegt sich auf einem Kreisbogen mit Radius ` um die vertikale
Ruhelage, d.h., die Auslenkung s der Masse aus der Ruhelage ist gegeben durch s = ` · φ.
Die Erdbeschleunigung ist g = 9.8 m/s2 .
a) Berechnen Sie die rücktreibende Kraft F~r als Funktion des Winkels φ und zeigen Sie,
dass für die Funktion φ(t) die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung gilt.
b) Wie gross ist die Peridendauer T der harmonischen Schwingung für ` = 1m?
c) Geben Sie für die Anfangsbedingungen φ(0) = φ0 und v(0) = 0 die Funktion φ(t) an.
~ beim Durchd) Wie gross ist die Geschwindigkeit v der Masse und die Fadenspannung |S|
gang durch die Ruhelage (tiefster Punkt) für m = 1 kg und φ0 = 0.2 rad?
f
l
S
F
s
m
r
f
2
m
g
5. Relativistische Energie und relativistischer Impuls
Ein Teilchen mit der Ruhemasse m bewege sich mit einer Geschwindigkeit v (die Lichtgeschwindigkeit beträgt c = 3 · 108 m/s).
a) Zeigen Sie, dass der Lorentz-Faktor γ und der Geschwindigkeitsparameter v/c des
Teilchens gegeben sind durch
γ=
E
;
mc2
v/c =
pc
E
(1)
wobei E die totale Energie (Ruhemasse-Energie plus kinetische Energie) bedeutet.
b) Beweisen Sie folgende Beziehung zwischen der totalen (relativistischen) Energie E und
dem relativistischen Impuls p für ein Teilchen mit der Ruhemasse m
E 2 = p2 c2 + m2 c4
(2)
c) Plotten Sie den Lorentz-Faktor γ als Funktion des Geschwindigkeitsparameters v/c im
Intervall 0 ≤ v/c < 1.
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