Tutorium 1

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
SS 2014
Blatt 1
15.04.2014
Tutorium zur Vorlesung
Lineare Algebra und analytische Geometrie II“
”


5 −11 7
1. Gegeben sei die Matrix A = −2 2 2 ∈ R3×3 .
3 −9 9
 
1

a) Man zeige, daß x = 0 ∈ R3 ein Eigenvektor von A ist, und bestimme
1
den zugehörigen Eigenwert.
b) Man zeige, daß λ = 4 ein Eigenwert von A ist, und bestimme den zugehörigen Eigenraum.
2. Man bestimme alle Eigenwerte sowie Basen der zugehörigen Eigenräume für




5
0
−2
4
6 −2 −2
 0 9 0 0
1 −2

A=
,
B = 8 −2 −4 und C = 
−2 0 8 2 .
2 3
2 −1 1
4 0 2 5


−2 2 −2
3. Gegeben sei die Matrix A =  2 −4 3  ∈ R3×3 .
4 −6 5
a) Man bestimme das charakteristische Polynom von A und zeige, daß A genau
die beiden Eigenwerte λ1 = 0 und λ2 = −1 besitzt.
b) Man zeige, daß beide Eigenräume eindimensional sind, und bestimme jeweils
einen Eigenvektor v1 zu λ1 und v2 zu λ2 .
c) Man zeige, daß v1 , v2 , e1 eine Basis von R3 ist, und bestimme die darstellende
Matrix von `A bezüglich dieser Basis.
4. (Staatsexamensaufgabe Frühjahr 2007). Es sei V ein reeller Vektorraum mit der
Basis v1 , v2 , v3 , v4 . Weiter sei f : V → V die lineare Abbildung mit
f (v1 ) = v2 ,
f (v2 ) = v3 ,
f (v3 ) = v4 ,
f (v4 ) = v1 .
Man berechne Basen für die Eigenräume von f in V und entscheide, ob f diagonalisierbar ist.