Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Grundlagen der

Lösungen zu Übungs-Blatt 7
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Zu Aufgabe 1)
G sei ein Gerät mit n parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen.
Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden Bauelemente der Reihe ausfällt.
Die Bauelemente Ei j fallen stochastisch unabhängig voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
P(Ei j = not OK) = 0,1 für alle i = 1,...,n; j = 1, 2, aus.
Wieviele Reihen muß das Gerät haben, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit p des Gerätes 0,1 % nicht
überschreitet, d.h. damit gilt
p = P(G = not OK) ≤ 0,001 ?
Lösung: Skizze des Gerätes:
Es gilt:
p = P(G = not OK)
= P( Reihe 1 = not OK ∩ Reihe 2 = not OK ∩…∩ Reihe n = not OK)
= P( Reihe 1 = not OK)⋅P(Reihe 2 = not OK)⋅ … ⋅P(Reihe n = not OK)
(wegen der stochastischen Unabhängigkeit aller Bauelemente)
n
n
n
i =1
i =1
i =1
= Π P(Reihe i = not OK) = Π (1-P(Reihe i = OK)) = Π (1- P(E i1 = OK ∩Ei2 = OK))
n
= Π (1- P(E i1 = OK)⋅P(Ei2 = OK)) (Wegen der stochastischen Unabhängigkeit der Bauelemente)
i =1
n
= Π (1-(1- P(E i1 = not OK))⋅(1-P(Ei2 = not OK)))
i =1
n
= Π (1-(1-0,1)2) = (1-0,92)n = 0,19n
i =1
Wir lösen die Ungleichung p = 0,19n ≤ 0,001 nach n auf und erhalten :
0,19n ≤ 0,001 ⇔ n ln (0,19) ≤ ln (0,001) ⇔ n ≥ ln (0,001)/ ln (0,19) ≈ 4,16
D.h., das Gerät muss mindestens 5 Reihen besitzen.
Zu Aufgabe 2)
G sei ein Gerät mit 2 parallelen Reihen, die jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet enthalten.
Das Gerät fällt aus, falls alle Reihen ausfallen.
E1
E2
E3
E4
Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden Bauelemente der Reihe ausfällt.
Die Bauelemente Eij fallen stochastisch unabhängig voneinander mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit P(Ei = not OK) = q für alle i = 1,...,4, aus.
Welche Ausfallwahrscheinlichkeit q der Bauelemente darf nicht überschritten werden, damit das
Gerät mit mindestens 90%tiger Wahrscheinlichkeit nicht ausfällt?
Es gilt:
0,9 ≤ p = P(G = OK) = 1 – P(G = not OK)
=1 - P( Reihe 1 = not OK ∩ Reihe 2 = not OK)
= 1 - P( Reihe 1 = not OK)⋅P(Reihe 2 = not OK)
(wegen der stochastischen Unabhängigkeit aller Bauelemente)
= 1- (1-P( Reihe 1 = OK))⋅(1-P(Reihe 2 = OK))
= 1- (1- P(E11 = OK ∩E 12 = OK))⋅(1-P(E21 = OK∩E22 = OK))
= 1- (1- P(E11 = OK)P(E 12 = OK))⋅(1-P(E21 = OK)P(E22 = OK))
(Wegen der stochastischen Unabhängigkeit der Bauelemente)
= 1- (1- (1-q)2)2
Wir lösen die Ungleichung 0,9 ≤ 1- (1- (1-q)2)2 nach q auf und erhalten
0,9 ≤ 1- (1- (1-q)2)2 ⇔ (1- (1-q)2)2 ≤ 0,1
⇔ 1 − (1 − q) 2 ≤ 0,1 ⇔ (1 − q) 2 ≥ 1 − 0,1 ⇔ 1 − q ≥ 1 − 0,1
⇔ q ≤ 1 − 1 − 0,1
⇔ q ≤ 0,1731
D.h., die Ausfallwahrscheinlichkeit der Bauelemente darf 0,1731
nicht überschreiten!
Zu Aufgabe 3)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Beobachter in einem gewissen Zeitraum ein Signal auf
einem Bildschirm übersieht, sei 0,2 und bei allen Beobachtern gleich. Wie viele unabhängig
voneinander arbeitende Beobachter benötigt man, wenn insgesamt die Wahrscheinlichkeit
dass ein Signal übersehen wird (Ereignis A), nicht größer als 0,01 sein soll?
Lösung:
Sei S = „Signal wird übersehen“ und sei Ai = „Beobachter i übersieht das Signal“.
Dann gilt: S = A1 ∩A2 ∩…∩An
Gesucht ist das n für welches gilt: P( S) = P(A1 ∩A2 ∩…∩An) ≤ 0,01.
Aus der stochastischen Unabhängigkeit der Ai (Beobachter arbeiten unabhängig voneinander)
und wegen P(Ai) = 0,2 folgt:
P( S) = P(A1 ∩A2 ∩…∩An) = (0,2)n ≤ 0,01 ⇔ n ≥ ln(0,01) / ln (0,02) ≈ 1,177
D.h., es werden mindestens 2 Beobachter benötigt!
Zu Aufgabe 4)
Erarbeiten Sie sich im Skript II: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kapitel: 1.6.
den Satz von Bayes und die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit. Lösen Sie anschließend
die Übungsaufgaben 5 und 6.
Satz.: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Menge
Ereignisfeld zu V.
Ω von Elementarereignissen, sei E das
Seien weiterhin B⊆Ω ein beliebiges Ereignis zu V und A1,...,An ein vollständiges Ereignissystem
in E (d.h., Ai ⊆ Ω∀i = 1,..., n , A i ∩ A j = ∅ für i ≠ j und A 1 ∪ A 2 ∪L∪A n = Ω ).
Dann gilt:
1) (Formel der totalen Wahrscheinlichkeit).
P( B) = P( B / A 1 ) ⋅ P(A 1 ) + P( B / A 2 ) ⋅ P(A 2 )+L+ P( B / A n ) ⋅ P(A n )
2) (Satz von Bayes)
a) Es gilt: P(A / B) =
P (A ) ⋅ P ( B / A )
P( B)
b) (Verallgemeinerung):
Seien A i ⊆ Ω i = 1,..., n Ereignisse mit A i ∩ A j und A 1 ∪ A 2 ∪L∪A n = Ω .
Sei B ⊆ Ω . Dann gilt:
P(A i ) ⋅ P( B / A i )
P(A i ) ⋅ P( B / A i )
= n
P(A i / B) =
P( B)
P Aj ⋅P B/ Aj
∑ ( ) (
j=1
)
Zu Aufgabe 5)
Eine Firma bezieht jeweils 30 %, 20% bzw. 50% an benötigten Teilen von 3 verschiedenen
Zulieferern Z1, Z2 bzw. Z3. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den
gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z1 1%, bei Z2 und Z3 2% bzw. 0,5 % beträgt.
a) Wie viel % Ausschuss (Ereignis A) erhält die Firma insgesamt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z1?
Gegeben: P(Z1) = 0,3, P(Z2)= 0,2, P(Z3) = 0,5 ,
P(A/Z1) = 0,01, P(A/Z2) = 0,02, P(A/Z3) = 0,005
Zu a) Ges: P(A)
Lösung: Nach Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ist:
P(A) = P(A/Z1)P(Z1) + P(A/Z2) P(Z2) + P(A/Z3) P(Z3)
= 0,01⋅ 0,3 + 0,02 ⋅0,2 + 0,005 ⋅ 0,5
= 0,0095 = 0,95%
Zu b) Ges: P(Z1/A)
Lösung:
Nach Satz von Bayes gilt:
P( A / Z1) P( Z1) 0,01 ⋅ 0,3 30
P(Z1/A) =
=
=
= 0,316
P ( A)
0,0095
95
Zu Aufgabe 6)
Sei A eine technische Fehlerart, die bei 5 % aller Geräte eines bestimmten Typs vorkommt.
Sei B ein Merkmal, anhand dessen die Fehlerart A diagnostiziert werden kann. D.h., bei der
technischen Fehlerdiagnose wird ein Gerät als defekt (mit dem Fehler A behaftet) eingestuft, falls das
Merkmal B beobachtet wird.
Nun sei folgendes bekannt: Bei 10 % aller defekten Geräte tritt B nicht auf. Bei 95% aller
nichtdefekten Geräte tritt B leider ebenfalls auf.
a) Wie viel % aller als defekt eingestuften Geräte sind nichtdefekt?
b) Wie viel % aller als nichtdefekt eingestuften Geräte sind defekt?
Gegeben: P(A) = 0,05, P( B |A)=0,1, P(B| A ) = 0,95
Zu a) Ges: P( A |B)
Lösung: Nach Satz von Bayes ist:
P( A /B) =
P( B / A ) P( A ) 0,95 ⋅ 0,95
=
P( B)
P( B)
P(B) berechnen wir in Anwendung der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit . Es ist:
P(B) = P(B/A)P(A) + P(B/ A ) P( A )
= 0,9⋅ 0,05 + 0,95 ⋅0,95
= 0,9475
0,95 ⋅ 0,95
= 0,9525 = 95,25 %
Daraus folgt: P( A /B) =
0,9475
(Das ist sehr hoch, weil B bei 95% aller nichtdefekten Geräte leider ebenfalls auftritt. Damit ist B
zur Fehlerdiagnose ungeeignet!)
Zu b) Ges: P(A| B )
Lösung: Nach Satz von Bayes gilt:
0,1 ⋅ 0,05
0,005
P( B / A) P( A)
= 0,095
P(A| B ) =
=
=
1 − 0,9475 0,0525
P( B )