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Nakajima Monome und Young-Tableaux
Matthias Meng
Sei g eine Lie-Algebra vom Rang n mit Gewichtsgitter P , einfachen Wurzeln αi ∈ P,
i ∈ I = {1, . . . , n} und Fundamentalgewichten Λi .
Nakajima Monome
M :=
Y
yi (n)
Yi (n)
; mit ganzen Zahlen yi (n) = 0 für fast alle (i, n) .
i∈I,n∈Z
Spezielle Monome (Typ An )
Monome und Matrizen
Folgende Monome spielen eine wichtige Rolle.
Für i ∈ {1, . . . , n + 1} und j ∈ Z setze:
• Xi (j) := Yi−1 (j + 1)−1 Yi (j)
und für i ∈ I:
• Ai (j) = Xi (j)Xi+1 (j)−1 .
Proposition (Typ An ähnlich für Cn )
Für M ∈ M existieren mij ∈ Z≥0 , so dass
Y
Xi (j)mij .
M=
Bekannte Resultate
Proposition [Kashiwara]
Sei M ∈ M mit ẽi (M ) = 0 für alle i ∈ I und vom
Gewicht λ. Dann ist die Zusammenhangskomponente B(M ) von M, die M enthält, isomorph
zur kristallinen Basis B(λ).
Proposition [Kang, Kim, Shin] (Typ An )
n
P
Q
Sei λ =
ak Λk und Mλ =
Yi (0)ai . Dann ist
i∈I
k=1
B(Mλ ) die Menge aller Monome der Form
M=
Y
Xi (j)mij ,
i∈{1,...,n+1}
j∈{0,...,n−1}
mit
•
n+1
P
mij = aj+1 + . . . + an
i=1
für j = 0, . . . , n − 1,
n+1
n+1
P
P
•
mk,j ≤
mk,j−1
k=i
k=i+1
für j = 1, . . . , n und i = 1, . . . , n + 1.
i∈{1,...,n+1},j∈Z
Sei weiter Matn+1×Z (Z≥0 ) der Raum der Matrizen mit unendlich vielen Spalten aber je
nur endlich vielen verschieden von null. Mittels einer geschickten Äquivalenzrelation und
Kristallstruktur auf diesem Raum erhält man
einen Kristallisomorphismus
Φ : M → Matn+1×Z (Z≥0 )/ ∼ .
Konstruktion von Ψ
Sei M ∈ M und Φ(M ) die zugehörige Matrix. Wir zerlegen Φ(M ) = M1 + M2 , so dass
M1 maximal viele Einträge von Φ(M ) erhält
und Φ−1 (M1 ) ∈ N. Dann verschieben wir alle
Einträge von M2 eine Spalte nach links und
addieren diese Matrix zu M1 . Die aus dieser
Summe entstandene Matrix bezeichnen wir mit
M (1) . Dann zerlegen wir M (1) wieder und nach
endlich vielen Schritten erhalten wir M (n) mit
Φ−1 (M (n) ) ∈ N.
Theorem
Ψ : M →
N
−1
M 7→ Φ (M (n) )
ist ein Kristallmorphismus.
Ziel
Für ein beliebiges M ∈ M suchen wir ein λ
und ein Ψ(M ) ∈ B(Mλ ), so dass die Zusammenhangskomponenten im Kristallgraph die gleiche
Form haben.
Setzen wir
[
N :=
B(Mλ ),
λ
suchen wir also einen konkreten Kristallmorphismus
Ψ : M → N.
Monome und Tableaux
Im An -Fall ist folgende Realisierung von B(λ)
bekannt:
B(λ) = {T ; T ist semi-standard Young-Tableau
der Form λ}.
Damit induziert Ψ einen Kristallisomorphismus
zwischen B(M ) und B(λ).
Ähnliche Konstruktionen scheinen auch für LieAlgebren vom Typ Bn und Dn zu funktionieren.
Diese Verallgemeinerungen sind geplant.