Physik I für Chemiker und Lehramt nicht vertieft ¨Ubungen Blatt 7

Institut für Theoretische Physik
PD Dr. Michael Seidl
Tobias Mauerer
Wintersemester 2008/09
Physik I für Chemiker und Lehramt nicht vertieft
Übungen
Blatt 7
Aufgabe 1: Mathematik
Berechnen sie folgende Integrale mit Hilfe von Substitution, partieller Integration und/oder Partialbruchzerlegung.
Rπ
(a) 0 dx x2 sin x
R π2
√
(b) 0 dx sin x
Rπ
(c) 0 dα sin α cos2 α
R3
(d) 2 dx x2x−1
Entscheiden Sie mit elementaren Argumenten ob folgende unendliche Reihen
einen endlichen Grenzwert (wenn ja: welchen ?) haben,
P∞ 1
1
1
1
(e)
n=1 n = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
P∞ 1
1
1
1
(f)
n=0 2n = 1 + 2 + 4 + 8 + ...
Aufgabe 2
Ein Geschoß der Masse m = 0.10 kg wird mit der Anfangsgeschwindigkeit
v0 = 80 ms unter einem Winkel von 45◦ gegen die Horizontale abgeschossen,
 1√ 
2
2
0 .
~v(t = 0) = v0  √
1
2
2
In dem Augenblick texpl , da sein Geschwindigkeitsvektor ~v (t) horizontal ist,
vz (texpl ) = 0, zerfällt das Geschoß explosiv in zwei Bruchstücke. Das eine
dieser Bruchstücke (m1 = 0.08 kg) ist zum Zeitpunkt t = texpl (unmittelbar
nach der Explosion) in Ruhe und fällt dann senkrecht zu Boden.
(a) An welchen Orten x1 bzw. x2 und zu welchen Zeiten t1 bzw. t2 treffen
die beiden Teile am Boden auf?
(b) (Nur LA Physik) Das Bruchstück (m1 = 0.08 kg) sei nun zum Zeitpunkt t = texpl nicht in Ruhe, sondern bewege sich mit der momentanen
Geschwindigkeit


0
m
~v1 (texpl ) =  10  .
s
−10
An welchen Orten x1 bzw. x2 und zu welchen Zeiten t1 bzw. t2 treffen
die beiden Teile nun am Boden auf?
Aufgabe 3
Im schwerelosen Raum seien zwei Massen m1 = m2 = 100 kg durch einen
starren (gewichtslosen) Stab der Länge l = 2.00 m verbunden. In einem
Inertialsystem (IS) befinden sich diese Massen anfangs in Ruhe an den Orten
~r1 = (0, +1.00 m, 0) bzw. ~r2 = (0, −1.00 m, 0). Zur Zeit t = 0 wird eine
der Massen von einem Meteoriten getroffen, so dass auf sie für kurze Zeit
∆t = 1.00×10−3 s die konstante Kraft F~ = (1.00 kN, 0, 0) wirkt. Wo befindet
sich der Schwerpunkt dieser Hantel zur Zeit t = 100 s ?
(Die Bewegung während der kurzen Stoßdauer ∆t darf ignoriert werden.)
Aufgabe 4
Zwei Massen m1 = 1.00 kg und m2 = 3.00 kg, die sich reibungslos auf
der x-Achse bewegen, sind durch eine Schraubenfeder mit Federkonstante
N
k = 3.00 m
und Gleichgewichtslänge r0 = 1.00 m verbunden. Zur Zeit t =
0 befinden sie sich bei x1 (0) = 0 bzw. x2 (0) = +1.20 m und haben die
momentanen Geschwindigkeiten ẋ1 (0) = 0 bzw. ẋ2 (0) = 0.24 ms .
(a) Mit welcher Geschwindigkeit
Ẋ(t) =
d
d m1 x1 (t) + m2 x2 (t)
X(t) ≡
dt
dt
m1 + m2
bewegt sich der Schwerpunkt ? Ändert diese sich im Laufe der Zeit ?
Geben Sie die Position X(t) des Schwerpunkts als Funktion von t > 0
an.
(b) Betrachten Sie den momentanen Abstand r(t) = x2 (t) − x1 (t).
Wie groß sind r(0) und ṙ(0) ? Lösen Sie zu diesen Anfangsbedingungen
die relative Bewegungsgleichung
h
i
mr̈ = −k r(t) − r0 ,
mit der reduzierten Masse m =
m1 m2
.
m1 +m2
(c) An welchen Positionen x1 (t0 ) bzw. x2 (t0 ) befinden sich die Massen zur
Zeit t0 = 10.0 s ?
Aufgabe 5
Mit welcher Frequenz ν = T1 führt das klassische Molekül aus Aufgabe 6
von Blatt 6 (Lennard-Jones-Potential) kleine Schwingungen aus, wenn seine
beiden Atome jeweils die Masse m1 = m2 = 3.32 × 10−26 kg besitzen ?
Aufgabe 6
(Nur LA Physik)
Ein Tischtennisball wird aus der Höhe z0 = 1.00 m fallen gelassen. Bei jedem
Aufprall auf dem Boden verliert er den Bruchteil 1 − q 2 seiner kinetischen
Energie (0 < q < 1). Wie lange dauert es nach dem ersten Aufprall, bis er
auf dem Boden zur Ruhe kommt ?
Hinweis: Die Summe einer geometrischen Reihe ist
n
X
k=0
xk =
1 − xn+1
.
1−x