Schwarzkörperstrahlung

inhalt
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/inhalt.htm
Atomphysik III
Der Weg zur Quantenphysik
Viele Physiker glaubten am Ende des 19. Jahrhunderts, daß das
physikalische Weltbild im Wesentlichen abgeschlossen sei und nur mehr
einer detaillierteren Ausarbeitung bedürfe. An der Wende vom 19. zum 20.
Jahrhundert häuften sich jedoch die experimentellen und theoretischen
Indizien dafür, daß das Weltbild doch nicht so abgeschlossen sein konnte. Es
gab Experimente, die man sich nicht erklären konnte (Photoelektrischer
Effekt) und es gab theoretische Vorhersagen, die falsch waren
(Schwarzkörper-Strahlung).
Schließlich kam es durch die Einführung des Wirkungsquantums durch
Planck und der Quantenhypothese von Einstein zu einem
"Paradigmenwechsel", der letztlich eine neue Theorie, die Quantenmechanik,
begründete.
Da das Charakteristische einer neuen Theorie gerade in der
Entstehungsphase am deutlichsten zu erkennen ist, wenden wir uns in diesem
Kapitel jenen Problemen zu, die zu einer Überwindung des klassischen
physikalischen Weltbildes führten.
Die Schwarzkörper-Strahlung - Einführung des Wirkungsquantums
Der photoelektrische Effekt - Die Quantenhypothese (Die Teilchennatur von
Wellen)
Experimentelle Bestimmung des Wirkungsquantums
Elektronenbeugung (Die Wellennatur von Teilchen)
1 von 1
05.02.00 14:57
teil1
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil1.htm
Die Schwarzkörper-Strahlung
Eine Oberfläche, die alle einfallende Strahlung absorbiert, bezeichnet man als
schwarzen Körper. Einem Beobachter, der durch ein kleines Loch in der Wand
eines Hohlraums von außen in diesen hineinsieht, wird die Öffnung wie die
Oberfläche eines schwarzen Körpers erscheinen, insbesondere wenn die
Innenseiten der Hohlraumwände rauh und geschwärzt sind. Das ist so, weil
einfach jegliche Strahlung (Licht), die von außen in das Loch einfällt, durch
Mehrfachreflexionen im Hohlraum nahezu vollkommen absorbiert wird, auch
wenn die Innenwände nicht total absorbierend sind. Aus diesen Gründen bezeichnen wir die
Strahlung, die durch eine Öffnung in der Wand eines Hohlraums kommt, als
Strahlung schwarzer Körper. G.R. Kirchhoff zeigte anhand allgemeiner
thermodynamischer Überlegungen, daß für eine beliebige Oberfläche das
Verhältnis ihrer Emissionsfähigkeit zur Emission einer Schwarzkörperoberfläche
bei einer bestimmten Wellenlänge den Absorptionskoeffizienten des Stoffes bei
eben dieser Wellenlänge angibt. Da die Charakteristik der
Schwarzkörperstralung einzig und allein von der Temperatur der
Oberfläche abhängt, kann der schwarze Körper als universeller Strahler
gelten. Aus diesem Grund lenkte er auch das Interesse vieler Physiker auf sich .
Schematische Darstellung eines Versuchsaufbaues
zur Messung der Schwarzkörperstrahlung
Gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts waren schon genaue Messungen der
Strahlung des schwarzen Körpers ausgeführt worden; insbesondere wurde eine
Beziehung aufgestellt, die die Wellenlänge maximaler Strahlungsintensität in
Abhängigkeit von der Temperatur angibt. Diese Beziehung heißt Wiensches
Verschiebungsgesetz und lautet:
λmaxT = const.=2,898 10^-3 mK.
Nach dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz ist die Gesamtstrahlungsintensität
(Integral über die Strahlungsenergiedichte im Hohlraum) zur vierten Potenz der
Temperatur proportional:
I = σ T4
mit
σ = 5,668 10^-8 W/m^2K^4
1 von 4
05.02.00 14:59
teil1
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil1.htm
Typische Intensitätsverteilungen der Schwarzkörperstrahlung bei verschiedenen
Temperaturen (T5=727-T1=1727 Grad Celsius). Der Wellenlängenbereich
erstreckt
sich von 0 bis 6 10^-6 m, die Intensität von 0 bis 6 10^-10 W/m^3.
Das wichtigste theoretische Problem war jedoch die Ableitung des
Strahlungsgesetzes (Strahlungsenergiedichte im Hohlraum als Funktion der
Wellenlänge und der Temperatur) anhand von Grundprinzipien. Es gab zwar
theoretische Ansätze von Wien bzw. von Rayleigh und Jeans, diese waren jedoch
nur in eingeschränkten Bereichen gültig (nur bei großen bzw. nur bei kleinen
Frequenzen f).
Die Einführung des Wirkungsquantums
2 von 4
05.02.00 14:59
teil1
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil1.htm
Am 14. Dezember1900 präsentierte Max Planck seine Ableitung des Gesetzes
der Strahlung des schwarzen Körpers auf einer Versammlung der Deutschen
Physikalischen Gesellschaft in Berlin; dieser Tag kann als das Geburtsdatum der
Quantenphysik angesehen werden.
Max Planck
(1858-1947)
Bei seiner Ableitung eines theoretischen Ausdrucks für die Strahlungsintensität in
Abhängigkeit von Wellenlänge und Temperatur wich Planck von der klassischen
Physik und ihren Vorstellungen ab und stellte die folgende radikale ad hoc
Annahme auf:
Ein Oszillator der Eigenfrequenz f kann Energie nur in "Paketen"
aufnehmen oder abgeben, wobei ein solches Energiepaket durch E=hf
gegeben ist. h ist eine neue fundamentale Natur-Konstante (Plancksches
Wirkungsquantum).
Planck selbst war eigentlich nur widerwillig von der klassischen Physik
abgewichen. Nach der Entdeckung des Wirkungsquantums versuchte er noch
mehrere Jahre lang, das Phänomen der Schwarzkörperstrahlung mit rein
klassischen Vorstellungen zu beschreiben, hatte jedoch keinen
Erfolg.
Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet:
wobei I(λ, T) die Strahlungsenergiedichte im Hohlraum bei einer Wellenlänge λ
und einer
Temperatur T ist; k ist die Boltzmannkonstante (1.38 10^-23 J/K), c die
Lichtgeschwindigkeit.
Um die Lage des Maximums von I(λ, T) als Funktion von λ bei konstantem T zu
3 von 4
05.02.00 14:59
teil1
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil1.htm
finden, setzen wir die Ableitung von I(λ, T) nach λ gleich Null und lösen die
erhaltene Gleichung. Auf diese Weise gelangen wir zu:
Diese Beziehung entspricht dem Wienschen Verschiebungsgesetz, das wir weiter
oben angegeben haben. Da λmax und T einfach gemessen werden können und c
bekannt ist, können wir dann mit Hilfe obiger Gleichung h/k experimentell
bestimmen.
Zurück
4 von 4
05.02.00 14:59
teil2
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil2.htm
Der photoelektrische Effekt
Um die Jahrhundertwende wußte man aus Versuchen, daß aus einer
Metalloberfläche durch einen einfallenden Lichtstrahl (aus dem sichtbaren oder
ultravioletten
Bereich) Elektronen herausgeschlagen werden können. Dieses Phänomen ist an
und für sich nichts Überraschendes, da Licht ja elektromagnetische Strahlung ist.
Wir können also annehmen, daß das elektrische Feld des Lichtes auf die
Elektronen der Metalloberfläche eine Kraft ausübt und dadurch bewirkt, daß
einige Elektronen emittiert werden. Erstaunlich ist aber, daß die kinetische
Energie der emittierten Elektronen nicht von der Intensität des Lichts, sondern auf
sehr einfache Art von dessen Frequenz abhängt: Die kinetische Energie der
Elektronen nimmt linear mit der Lichtfrequenz zu. Wird die Intensität des Lichts
erhöht, dann
werden lediglich mehr Elektronen pro Zeiteinheit emittiert, ihre Energie vergrößert
sich jedoch nicht. Vom klassischen Standpunkt aus gesehen ist dies sehr schwer
zu verstehen,
da man erwarten würde, daß bei höherer Intensität der Lichtwelle - also auch
größerer Amplitude des elektrischen Feldes der Welle - die Elektronen auch auf
höhere Geschwindigkeiten beschleunigt werden. Außerdem konnte man
beobachten, daß unterhalb einer bestimmten Grenzfrequenz des einfallenden
Lichtes überhaupt keine Elektronen ausgeschlagen wurden. Schließlich konnte
man auch zeigen, daß der Wert dieser Grenzfrequenz vom verwendeten Metall
abhängig war.
Schematische Darstellung einer Versuchsanordnung
zur Untersuchung des photoelektrischen Effekts.
Die Elektronen werden durch das einfallende
monochromatische Licht (Filter) aus der Photokathode ausgeschlagen
und müssen auf dem Weg zum Kollektor ein Bremspotential überwinden.
Dies war bereits vor 1905 von P. Lenard und anderen festgestellt worden. Genaue
Messungen des Zusammenhangs zwischen Lichtfrequenz und Energie der
emittierten Elektronen wurden jedoch erst 10 Jahre später ausgeführt.
Fassen wir also die empirischen Befunde zusammen:
Die Energie der Elektronen hängt nicht von der Intensität des einfallenden
1 von 3
05.02.00 14:59
teil2
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil2.htm
Lichtes ab. Mit der Intensität steigt lediglich die Anzahl der pro Zeiteinheit
emittierten Elektronen.
Der quantitative Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz ist linear.
Unterhalb einer gewissen Grenzfrequenz werden keine Elektronen aus dem
Metall ausgeschlagen. Diese Grenzfrequenz hängt vom verwendeten Metall
ab.
Die Quantenhypothese (Die Teilchennatur von Wellen)
Im Jahre 1905 hatte Albert Einstein eine Lösung für dieses Problem (für die er
dann auch den Nobelpreis erhielt).
Albert Einstein
(1879-1955).
Seiner Auslegung zufolge besteht ein monochromatischer Lichtstrahl aus
Energiepaketen hf (Quantenhypothese), wobei f die Frequenz des Lichts ist; ein
solches Energiequant hf kann vollständig auf ein Elektron übertragen werden. Das
Elektron nimmt also, noch im Metall befindlich, die Energie E = hf auf. Nehmen
wir nun an, daß eine bestimmte Arbeit W verrichtet werden muß, um das Elektron
aus dem Metall herauszuschlagen, dann verlassen die Elektronen die
Metalloberfläche mit einer kinetischen Energie Ekin=E-W bzw.
Ekin = hf - W.
Die Größe W, die sogenannte Austrittsarbeit für das Metall, ist eine
Materialkonstante und von
der Frequenz f unabhängig.
Die Energie der emittierten Elektronen nimmt mit der Frequenz linear zu, ist
jedoch von der Intensität der Lichtstrahlung unabhängig. Die Anzahl der
emittierten Elektronen ist natürlich der Anzahl der einfallenden Lichtquanten
proportional, also proportional der Intensität des einfallenden Lichts. Auf diese
Weise erklärte Einstein die qualitativen Gesichtspunkte des photoelektrischen
2 von 3
05.02.00 14:59
teil2
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil2.htm
Effekts, soweit sie ihm zu dieser Zeit bekannt waren.
Man sollte annehmen, daß nach der Formulierung des Planckschen
Strahlungsgesetzes, die Quantenhypothese eine naheliegende und logische
Konsequenz gewesen wäre. Tatsächlich aber war die eigentliche Bedeutung von
Plancks Annahme zu dieser Zeit ziemlich unklar.
Einstein gelangte zu seiner Hypothese, als ihm auffiel, daß das sonderbare
Plancksche Gesetz über die Strahlung des schwarzen Körpers in gewissen
Punkten verständlicher wurde, wenn man der elektromagnetischen Strahlung im
Hohlraum Teilcheneigenschaften zuschrieb, also annahm, daß die
Strahlungsenergie aus Quanten besteht. Einsteins neuartige Betrachtungsweise der
Strahlung des schwarzen Körpers war daher ein wichtiger Fortschritt. Am meisten
Bedeutung kam jedoch der Tatsache zu, daß Einsteins Erklärung auch auf den
photoelektrischen Effekt mit Erfolg angewendet werden konnte.
Zurück
3 von 3
05.02.00 14:59
teil3
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil3.htm
Experimentelle Bestimmung des Wirkungsquantums
Die Gleichung Ekin = hf - W stellte eine präzise theoretische Voraussage dar und
kann somit in Versuchen quantitativ überprüft werden. Außerdem ergibt sich
dadurch eine Möglichkeit zur Messung des Planckschen Wirkungsquantums.
Monochromatisches Licht fällt auf eine Metallfläche, meist ein Alkalimetall, und
bewirkt den Austritt von Photoelektronen. Eine Kollektorelektrode, die auf einem
beliebigen Potential -V gegenüber der Photokathode gehalten wird, befindet sich
nahe der lichtempfindlichen Fläche; der Strom der Photoelektronen wird
gemessen.
Da alle Elektronen mit der gleichen kinetischen Energie Ekin emittiert werden, ist
ganz klar, daß keines der Elektronen die Kollektorelektrode (Anode) erreichen
kann, wenn eV> Ekin ist. Wir
können also den Strom als Funktion des Bremspotentials V aufzeichnen; wenn V0
das Potential ist, bei dem der Strom gerade Null wird, dann gilt
Tragen wir das Grenzbremspotential V0 gegen die Frequenz auf, dann erhalten wir
eine Gerade. Die Steigung dieser Geraden ergibt die Konstante h/e, und ihr
Schnittpunkt mit der V0-Achse liefert die Materialkonstante W/e.
Betrachten wir die das Experiment vom numerischen Gesichtspunkt.
Mit h=6,63 10^-34 Js und e=1,60 10-19 C erhalten wir h/e=4,14 lO-15 Vs.
Wellenlängen des sichtbaren Lichts liegen zwischen 400 nm und 700 nm. Das
entspricht einem Frequenzbereich von (4,3 ...7,5) 10^14 1/s. Blaues Licht hat
eine Frequenz von ungefähr 7 10^l4 1/s, und damit ergibt sich (h/e)f= 2,8V. Für
Licht im sichtbaren Bereichs oder im nahen Ultraviolett wird das Bremspotential
also etwa von der Größenordnung 1 V sein. Experimentell wurde festgestellt, daß
auch die Materialkonstante W von dieser Größenordnung ist. Für Alkalimetalle ist
die Austrittsarbeit besonders gering, daher werden die Photokathoden der
Photozellen
für sichtbares Licht aus solchem Material hergestellt.
Das folgende Programm stellt eine einfache Simulation des photoelektrischen
Effektes dar. Durch Klicken auf einen der drei Filter links oben, können die die
Frequenz des einfallenden Lichtes wählen (Die Frequenz ist unter den Filtern
angegeben). Links unten haben Sie drei Metalle für die Kathode zur Auswahl.
Starten Sie nun durch Klicken auf den Druckknopf das Experiment. Es werden
Elektronen aus der Kathode ausgeschlagen. Auf dem Weg zur Anode überwinden
sie ein Bremspotential, das durch den Drehschalter rechts eingestellt werden kann
(Klicken Sie auf die Pfeil-Felder). Der gemessene Strom wird rechts unten
angezeigt. Erhöhen Sie nun die Spannung so lange bis der Strom gerade
verschwindet. Auf diese Weise bestimmen Sie die Energie der Elektronen. Durch
nochmaliges Klicken auf den Druckknopf können sie das Experiment beenden und
andere Filter bzw. Metalle auswählen.
1 von 2
05.02.00 15:00
teil3
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil3.htm
Aufgaben:
Bestimmen Sie für ein bestimmtes Metall die Energie der Elektronen bei
allen drei Filtereinstellungen. Tragen Sie die Spannung bei der der Strom
verschwindet über der Frequenz des Lichts auf. Welche Kurve erhalten Sie?
Wiederholen Sie dieses Experiment mit den anderen Metallen.
In welcher Relation stehen die Kurven zueinander?
Berechnen Sie aus den Kurven das Wirkungsquantum.
Bestimmen Sie für alle drei Metalle die Austrittsarbeit der Elektronen.
Zurück
2 von 2
05.02.00 15:01
teil4
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil4.htm
Elektronenbeugung (Die Wellennatur von Teilchen)
Zahlreiche Experimente haben gezeigt, daß Materieteilchen auch
Welleneigenschaften besitzen. Diese Tatsache ist heute allgemein bekannt.
Allerdings erschien die Wellennatur von Objekten wie des Elektrons in den ersten
Jahrzehnten des 20.Jahrhunderts als etwas sehr Merkwürdiges. Man war nämlich
gewohnt, das Elektron als klassisches Teilchen anzusehen, da die ersten Versuche
mit Elektronen auf ein solches Modell hinwiesen. Vor 1927 war jedenfalls noch
kein eindeutiger Versuch durchgeführt worden, der die Wellennatur von Teilchen
erwiesen hätte.
Bei Photonen wurden die Welleneigenschaften zuerst, die Teilcheneigenschaften
erst später entdeckt. Bei den Elektronen war es gerade umgekehrt. Aufgrund
dieser historischen Abfolge der Ereignisse herrscht allgemein die Ansicht vor, daß
Licht aus Wellen besteht und Elektronen Materieteilchen sind. Damit werden die
Tatsachen jedoch nur höchst unvollständig beschrieben. Photonen und Elektronen
sind sich sehr ähnlich, da sie zum Teil Teilcheneigenschaften und zum Teil
Welleneigenschaften aufweisen.
Louis de Broglie stellte um 1923 als erster die Hypothese auf, daß Teilchen auch
als Wellen betrachtet werden können, und leitete eine Beziehung her, die den
Impuls eines Teilchens mit einer Wellenlänge verknüpft.
Louis Victor Prince de Broglie
(1892-1981)
Diese Beziehung lautet:
h / λ = p (h ist das Wirkungsquantum).
Ein erster experimenteller Nachweis, der diesen Zusammenhang zwischen Impuls
und Wellenlänge bestätigte, gelang in einem Elektronenbeugungsexperiment 1927
(Davisson und Germer). In diesem Experiment wurden Elektronen mit einer
Energie in der Größenordnung von 50 eV auf einen Nickelkristall (im einer
Vakuumkammer) geschickt. Die Elektronen trafen senkrecht auf die Kristallfläche
auf. In dieser Fläche liegt ein Gitter regelmäßig angeordneter Atome.
1 von 3
05.02.00 15:01
teil4
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil4.htm
Illustration zur Elektronenbeugung an einer Kristalloberfläche
Die einfallende Welle wird an jedem Atom des Kristallgitters gebeugt. In
bestimmten Richtungen werden sich die an den Atomen gebeugten Wellen
verstärken, in anderen Richtungen wieder gegenseitig aufheben (Interferenz). Die
Bedingung für gegenseitige Verstärkung der gebeugten Wellen ist:
Die Differenzen der Abstände verschiedener Atome bis zum Beobachtungspunkt
(einem Schirm etwa) müssen ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge sein.
Nehmen wir an, daß der Beobachtungspunkt weit entfernt ist, so ist es leicht zu
sehen, daß die Bedingung für Verstärkung gleich
d sin(θ) = n λ
ist; n ist eine ganze Zahl. Diese Beziehung besagt nichts anderes, als daß die
Differenz der Weglängen von zwei benachbarten Atomen zum
Beobachtungspunkt ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein muß.
Beugungsmaxima werden daher in den Richtungen auftreten, für die der Winkel θ
die obige Bedingung erfüllt. Der Gitterabstand d wird als bekannt vorausgesetzt,
er kann auf andere Weise, etwa durch Röntgenbeugung, bestimmt
werden.
Typische Werte für d sind 2,15 10^-10 m. Bei einer Elektronenenergie von 54 eV
ergibt sich somit das erste Beugungsmaximum bei θ = 50 Grad. Für n = 1 ergab
der experimentell
erhaltene Winkel θ eine Wellenlänge von 0,165 nm, wahrend die nach der de
Broglie Beziehung berechnete Wellenlänge 0,167 nm betrug, also eine
zufriedenstellende Übereinstimmung.
2 von 3
05.02.00 15:01
teil4
file:///I|/fernlehre skriptum/Studienbrief3/teil4.htm
Typisches Muster (Beugungsringe), wie es bei der Beugung
von Elektronen an einem Kristall auftritt.
Zurück
3 von 3
05.02.00 15:01