Elektrizität II

Elektrizität 2
Elektrizität II
Skriptum zur Fachvorlesung
Mag. Peter Schnögl
Mag. Harald Wiltsche
Elektrizität 2
Magnetismus
Magnetismus, Magnetfeld
Die Bezeichnung "Magnet" ist abgeleitet von Magnetit (Magneteisenstein, Fe3O4). Dieses
Gestein wurde erstmals im Altertum in der Nähe der griechischen Stadt Magnesia (heute
Westanatolien) abgebaut.
Magnete erkennt man an ihren Wirkungen (der Mensch besitzt im Gegensatz zu einigen
Tieren kein Organ, um die Gegenwart eines Magneten feststellen zu können).
In der Umgebung eines Magneten herrscht eine magnetische Kraft. Der Raum um den
Magneten, in der diese Kraft wirksam ist, nennt man Magnetfeld.
Wie das elektrische Feld wird auch das magnetische Feld durch Feldlinien dargestellt.
Jeder Magnet besitzt einen Nord- und einen Südpol. Ein Pol alleine kann nicht vorkommen.
Gleichartige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige Pole ziehen sich an.
Etwas mehr Information zum Thema aus "Tipler-Physik":
Wann genau das Phänomen des Magnetismus entdeckt wurde, ist nicht bekannt. Bereits die
Griechen kannten jedoch den natürlich vorkommenden Magnetstein oder Magnetit, der eine
anziehende Wirkung auf Eisen ausübt. Das erste Mal erwähnt wird die Verwendung von
Magneten in der Navigation bereits im 12. Jahrhundert. Die Wissenschaft vom Magnetismus
wurde durch eine kurze Abhandlung von Pierre de Maricourt im Jahre 1269 begründet. Er hatte
entdeckt, dass eine Nadel, die man auf einen oder in die Nähe eines kugelförmigen Magneten legt,
sich entlang von Linien ausrichtet, die an sich gegenüberliegenden Punkten des Magneten
zusammenlaufen. Diese Endpunkte nannte er Pole. In der Folgezeit befassten sich viele
Experimentatoren mit dem Magnetismus und erkannten, dass jeder Magnet zwei Pole, einen Nordund einen Südpol, hat, an denen die magnetische Kraft am größten ist, und dass sich gleichnamige
Pole abstoßen und ungleichnamige anziehen.
Im Jahre 1600 stellte William Gilbert fest, dass die Erde selbst ein natürlicher Magnet ist, dessen
magnetische Pole in der Nähe der geographischen Pole liegen. Da der Nordpol einer
Kompassnadel nach Norden zeigt (diese Konvention gilt seit
dem Mittelalter), muss es sich im Norden der Erde um einen
magnetischen Südpol handeln. Die erste quantitative
Untersuchung der magnetischen Kraftwirkung wurde von John
Mitchell im Jahre 1750 mit einer Torsionswaage durchgeführt. Er
beobachtete, dass die Kraft umgekehrt proportional zum Quadrat
des Abstandes zwischen zwei Magneten ist. Dieses Ergebnis
wurde wenige Jahre später (1784-1785) von Coulomb bestätigt.
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Elektrizität 2
Was die Abstandsabhängigkeit angeht, so ähneln sich magnetische und elektrische Kräfte zwar sehr,
es gibt aber einen wesentlichen Unterschied zwischen elektrischer Ladung und magnetischen Polen:
Im Gegensatz zu elektrischen Ladungen treten magnetische Pole nur paarweise auf. Teilt man einen
Magneten in zwei Hälften, so entstehen an den Enden sofort wieder entgegengesetzte Pole.
Magnetische Monopole, über deren Existenz immer wieder spekuliert wird, konnten auch in
einer Vielzahl von Experimenten in jüngerer Zeit bisher nicht nachgewiesen werden. Der
Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Kraftwirkungen war lange Zeit nicht
bekannt, bis Hans Christian Oersted 1820 entdeckte, dass ein elektrischer Strom eine Kraftwirkung
auf eine Kompassnadel hat, wodurch diese ihre Orientierung ändert. Nachfolgende Experimente,
unter anderem von Andre-Marie Ampere, ergaben, dass elektrische Ströme magnetische Kräfte
aufeinander ausüben. Er schlug daraufhin ein Modell zur Erklärung des Magnetismus vor, das bis
heute gültig ist und dessen Kernaussage lautet: Elektrische Ströme sind die alleinige Quelle der
magnetischen Kräfte.
Ferner führte er den Magnetismus von Permanentmagneten auf molekulare Ringströme im
Material zurück. Wir wissen heute, dass diese Annahme in der Tat stimmt und dass die
molekularen Ringströme einerseits von der Bewegung der Elektronen um den Atomkern und
andererseits vom Elektronenspin (einer rein quantenmechanischen Größe) herrühren. Die
fundamentale magnetische Wechselwirkung besteht also in der Kraft, die eine bewegte Ladung auf
eine andere bewegte Ladung ausübt. Genau wie beim elektrischen Feld gehen wir davon aus, dass diese
Wechselwirkung durch ein Feld vermittelt wird, das so genannte Magnetfeld. Da eine bewegte
Ladung nichts anderes als einen elektrischen Strom repräsentiert, kann man sich die magnetische
Wechselwirkung als Wechselwirkung zwischen elektrischen Strömen vorstellen. Zu Beginn der
dreißiger Jahre des letzten Jahrhunderts konnten Michael Faraday und Joseph Henry unabhängig
voneinander zeigen, dass ein elektrisches Feld, das sich zeitlich ändert, ein magnetisches Feld
hervorruft. Drei Jahrzehnte später stellte James Clerk Maxwell eine vollständige Theorie der
elektrischen und magnetischen Felder, die Elektrodynamik, auf.
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Magnetisches Feld eines Permanentmagneten
Magnetische Feldlinien zeigen die Wirkung der magnetischen Kraft an.
Abb.: Magnetfeldlinien innerhalb und außerhalb eines Stabmagneten.
Die Feldlinien verlaufen außerhalb des Magneten vom Nordpol zum Südpol. Sie haben
keinen Anfang und kein Ende; sind in sich geschlossen.
Lagert man einen Magneten auf seiner Achse, so erhält man einen Magnetkompass. In
einem magnetischen Feld richtet sich dieser immer längs der magnet. Feldlinien aus.
Mikroskopisches Bild des Magnetismus
Magnetisierbare Substanzen (ferromagnetische Stoffe wie Fe, Co, Ni) besitzen kleinste
magnetische Dipole (Elementarmagnete). Ist der Stoff unmagnetisch, so sind diese
Bereiche völlig ungeordnet und heben sich in ihrer Wirkung nach außen hin gegenseitig auf.
Unter dem Einfluss eines äußeren Magnetfeldes (in der Nähe eines Magneten) orientieren
sich diese Elementarmagnete. Es entstehen Bereiche, in denen die magnetischen Dipole
parallel und gleichsinnig gerichtet sind. Man nennt diese Orientierung auch magnetische
Influenz. Es entsteht auf diese Weise ein Permanentmagnet.
Entmagnetisieren nennt man die Zerstörung
dieser Ordnung. Dies kann durch starke
mechanische Erschütterungen oder durch
Erwärmung erfolgen. Durch Erhitzen auf eine
bestimmte Temperatur (Curie-Temperatur, bei Fe
770°C) wird durch die Wärmebewegung der
Moleküle der Magnetismus wieder zerstört.
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Elektromagnetismus
Magnetisches Feld eines stromdurchflossenen Leiters
1820 entdeckte der dänische Physiker Hans Christian Oersted den Zusammenhang
zwischen Elektrizität und Magnetismus: in der Nähe eines stromdurchflossenen Leiters wird
eine Kompassnadel abgelenkt. Beim Umpolen der Stromrichtung verdreht sich auch die
Kompassnadel um 180°.
Die magnetischen Feldlinien des stromdurchflossenen Leiters sind dabei konzentrische
Kreise um den Leiter. Der Drehsinn ergibt sich aus der "Korkenzieherregel": Schraubt
man einen Korkenzieher in Richtung des fließenden Stroms (technische
Stromrichtung) vorwärts, so gibt sein Drehsinn die Richtung der Feldlinien an.
Abb.: Drehsinn der magnetischen Feldlinien; Anordnung von Eisenfeilspänen um einen stromdurchflossenen
Leiter (Kraker-Paill, Elektrizität)
Ein Maß für die Stärke des magnetischen Feldes ist die magnetische Induktion (auch
magnetische Flussdichte) B (sie entspricht der elektrischen Feldstärke E im elektrischen
Feld). B ist eine vektorielle Größe (und ist jeweils in Richtung der Feldlinien zum
magnetischen Nordpol orientiert). Die Einheit der magnetischen Induktion ist das Tesla. [B] =
1T
Für einen geraden Leiter, der von einem Strom der Stärke I durchflossen wird gilt für die
magnetische Induktion in einem Abstand r vom Leiter:
B=
µ0 .I
2π r
µ0 ... magnetische Feldkonstante (Permeabilität des Vakuums)
µ0 = 1,257.10-6 VsA-1m-1
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Magnetfeld eines Kreisstroms
Das Magnetfeld eines Kreisstroms entspricht dem Feld in der Nähe einer kleinen
Magnetnadel.
Magnetfeld einer Spule
Bei einer Spule überlagern
sich die Felder der
einzelnen Windungen. Das
Feld gleicht dem eines
Stabmagneten. Im Inneren
der Spule herrscht ein
homogenes Feld, im
Äußeren ein inhomogenes
Feld. Umfasst man mit der rechten Hand die Spule so, dass die Finger in Richtung des
Stroms zeigen, dann weist der Daumen zum Nordpol.
Das Magnetfeld der Erde entspricht näherungsweise dem Feld eines Stabmagneten, dessen
Achse um ca. 11° gegen die Rotationsachse der Erde geneigt ist.
Für die magnetische Flussdichte einer Spule der Länge l mit n Windungen gilt:
B=
µ0 .n.I
l
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Spule mit Eisenkern
Bringt man einen Eisenkern in eine Spule, so richten sich die Weiß'schen Bezirke parallel
zum Magnetfeld der Spule aus und verstärken es. Erwärmung des Eisens über den
Curiepunkt zerstört diese Ordnung.
In Stahl lassen sich die Weiß'schen Bezirke besonders schwer ausrichten. Wenn sie einmal
durch ein starkes Magnetfeld parallel gerichtet wurden, behalten sie großteils ihre
Orientierung auch dann , wenn das äußere Magnetfeld abgeschaltet wird, d.h. der Stahl ist
zum Permanentmagneten geworden. Selbst bei Weicheisen bleibt eine gewisse
Restmagnetisierung bestehen (Remanenz). Beim Umpolen eines Magneten muss gegen
diese Remanenz Energie aufgewendet werden. Diese Ummagnetisierungsarbeit führt zu
einer Erwärmung des Materials.
Für die magnetische Flussdichte einer Spule, die mit einem ferromagnetischen Kern
versehen ist, gilt:
B=
µr .µ0 .n.I
l
µr ... Permeabilitätszahl; µr =
BMaterie
BVakuum
Stoff
µr
Gusseisen
500
Eisen (rein)
10 000
Permalloy (Ni/Mo)
70 000
Supermalloy (Ni/Fe/Mo/Mn)
300 000
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Elektrizität 2
Kräfte im Magnetfeld
Kräfte auf bewegte Ladungen
Bewegt man eine Ladung q in einem Magnetfeld B so erhält man folgende experimentellen
Resultate:
ƒ
Die Kraft ist proportional zu q. Sie ist für negative Ladungen -q und positive Ladungen
q entgegengesetzt gerichtet.
ƒ
Die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit v der Ladung. Im Gegensatz zum
elektrischen Feld wirkt im Magnetfeld auf ruhende Ladungen keine Kraft.
ƒ
Die Kraft wirkt senkrecht zum Magnetfeld und zur Geschwindigkeit der Ladung. Sie
ist proportional zu sinϕ, wenn ϕ den Winkel zwischen der Geschwindigkeit v und dem
Magnetfeld B bezeichnet.
F ~ q, F ~ B, F ~ v, F ~ sin ϕ
F = q.v.B.sin ϕ
ur
r ur
F = q.v × B
uv
v uv
Die Kraft F = q.v × B wird als Lorentz-Kraft bezeichnet. Man erhält die Richtung der Kraft
mit der "Rechte-Hand-Regel": zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung von v, der
Zeigefinger in Richtung von B, dann zeigt der gestreckte Mittelfinger in Richtung der LorentzKraft (für negative Ladungen nimmt man die linke Hand).
Abb.: Kraft auf eine bewegte positive Ladung im Magnetfeld (Kraker-Paill, Physik 3)
Ein wichtiges Merkmal der Lorentz-Kraft ist, dass sie nur senkrecht zur Bewegungsrichtung
der Ladung wirkt. Daher wird zwar die Richtung, nicht jedoch der Betrag der Geschwindigkeit
des geladenen Teilchens geändert. Das Magnetfeld leistet somit keine Arbeit an dem
Teilchen und ändert daher auch nicht seine kinetische Energie!
Bewegt sich ein geladenes Teilchen genau senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so
für die Kraftwirkung dazu, dass das Teilchen auf eine Kreisbahn gelenkt wird. Den Radius
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der Kreisbahn erhält man einfach aus dem Gleichsetzen der Zentripetalkraft mit der Kraft des
Magnetfeldes:
mv 2
= q.v.B
r
mv
r=
qB
Hat eine geladenes
Teilchen auch eine Anfangsgeschwindigkeit parallel zu den magnetischen Feldlinien, so
bewegt sich das Teilchen auf einer Schraubenbahn.
Der Massenspektrograph
Da der Bahnradius r geladener Teilchen im Magnetfeld vom Verhältnis m/q abhängt, kann
man die Masse aus dem Bahnradius bestimmen, wenn die Ladung q (stets ein Vielfaches
der Elementarladung) bekannt ist. Dazu lässt man die Teilchen in einem elektrischen Feld
zunächst die Spannung U durchlaufen. Ist die Anfangsgeschwindigkeit der Teilchen vernachlässigbar klein, so erhält man aus dem Energiesatz die
Geschwindigkeit v:
mv 2
2qU
= qU ⇒ v =
2
m
Anschließend durchlaufen die Teilchen in einem homogenen
Magnetfeld Kreisbahnen mit dem Radius r:
r=
mv m 2qU
2mU
=
.
=
qB qB
m
qB 2
Der Bahnradius steigt also mit der Wurzel der Teilchenmasse an. Fängt man die Teilchen
mit einer photographischen Platte auf, so erhält man ein Massenspektrum. Auf diese
Weise bestimmt man beispielsweise die Masse des Elektrons zu me = 9,1 • 10-31 kg. Aber
auch die Massen aller Atome können mit dem hier beschriebenen Massenspektrographen
ermittelt werden. So lässt sich auch die Zusammensetzung eines chemischen Elementes
aus Isotopen verschiedener Masse zeigen. (Quelle: Sexl-Kühnelt-Pflug-Stadler, Physik 3)
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Elektrizität 2
Der Strahlungsgürtel der Erde
Die Sonne emittiert ständig einen Strom geladener Teilchen zur Erde. Dieser
Sonnenwind besteht vor allem aus Protonen und Elektronen. Geraten die Teilchen in den
Bereich des Erdmagnetfeldes, so bewegen sie sich auf Schraubenbahnen um die
Feldlinien. In der Umgebung der Pole, wo die magnetische Feldstärke zunimmt, verringert
sich die Geschwindigkeitskomponente der Teilchen parallel zur Feldrichtung und kehrt sich
schließlich um. Die Teilchen pendeln daher ständig zwischen den Polen hin und her.
Dadurch wird eine beträchtliche Anzahl von Teilchen in einigen Bereichen des
Erdmagnetfeldes gespeichert. Diese Bereiche heißen Strahlungsgürtel oder van Allen
Gürtel. In den Polargegenden stoßen die gespeicherten Teilchen mit Molekülen aus der
Lufthülle der Erde zusammen. Dadurch kommt es zu Leuchterscheinungen, dem Polarlicht.
Abb.: Teilchen im inhomogenen Feld, Strahlungsgürtel der Erde (Tipler, Physik)
Weitere Anwendungen:
Teilchenbeschleuniger (Zyklotron)
Magnetische Speicherringe (z.B. für Elektronen und Positronen)
Kathodenstrahlröhre (Fernseher, Monitor)
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Elektrizität 2
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter
Bringt man eine stromdurchflossene Leiterschaukel in
ein Magnetfeld, so beobachtet man, wie eine Kraft auf
die Leiterschaukel wirkt. Je nach Stromrichtung wird die
Schaukel senkrecht zum Magnetfeld in den Magneten
hinein gezogen oder hinaus gestoßen (Abb. Kraker-Paill,
Physik 3).
Da auf bewegte Ladungen im Magnetfeld die LorentzKraft wirkt, muss diese Kraft auch bei einem
stromdurchflossenen Leiter auftreten. Der quantitative
Zusammenhang ergibt sich aus der Beziehung zwischen
der Ladung q und der Stromstärke:
I=
q
, F = q.v.B = I .t.v.B = I .l .B
t
l ... wirksame Leiterlänge im Magnetfeld
Obige Formel gilt, wenn der Leiter senkrecht zum Magnetfeld verläuft. Allgemein gilt:
F = I .l .B.sin ϕ
ϕ ... Winkel zwischen Leiter und Magnetfeld
bzw. in Vektorschreibweise:
uv
v uv
F = I .l × B
Anwendung: Schwingspule eines (elektrodynamischen) Lautsprechers
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Elektrizität 2
Lautsprecher (vereinfacht)
Ein Blick auf das Innenleben eines Lautsprechers. Der eintreffende tonfrequente
Wechselstrom fließt durch die Schwingspule. Hierbei wird ein magnetisches Feld
induziert, dass dem Feld des Ringmagneten entgegenwirkt. Dadurch beginnt die
Spule im Rhythmus des Wechselstromes zu schwingen. Über eine Mechanik
werden diese Schwingungen auf den Konus übertragen. Der so angeregte Konus
bringt schließlich Luft zum Schwingen. Diese Luftschwingungen kann man als
Töne oder Geräusche hören.
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Ein Lautsprecher in umgekehrter Richtung betrieben ergibt ein (elektrodynamisches)
Mikrofon
Beispiel:
Ein Draht leitet 14 A und verläuft unter einem Winkel von 60° durch ein
12 cm langes homogenes Magnetfeld mit B = 0,8 T. Welche Kraft wirkt auf den
Leiter?
(Lösung: F = 1,16 N)
Kräfte zwischen stromdurchflossenen Leitern
Werden parallel verlaufende Leiter von Strömen durchflossen, so kommt es zu
Wechselwirkungen auf Grund der sich überlagernden Magnetfelder. Zur Erklärung der
auftretenden Kräfte betrachtet man jene Kraft, die auf ein kleines Stück ∆l2 eines
stromdurchflossenen Leiters in einem Magnetfeld wirkt, das von einem Strom I1 in einem
parallel verlaufenden Leiter erzeugt wird:
Abb.: zwei lange gerade Leiter, die von parallelen Strömen durchflossen werden (Tipler)
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Elektrizität 2
Auf ein Stromelement I 2 ∆l2 des zweiten Leiters wirkt eine Kraft F2, die in Richtung des
ersten Leiters zeigt. Umgekehrt erfährt ein Element I1∆l1 eine gleich große Kraft in Richtung
des zweiten Leiters.
Für F2 gilt:
uv
v uv
F 2 = I 2 ∆ l 2 × B1
bzw. (da der Leiter normal zu B steht):
F2 = I 2 ∆l2 B1
Ist R der Abstand zwischen den Drähten (wobei R klein im Verhältnis zur Länge des Drahtes
ist), dann erhält man (Einsetzen der Formel für B bei einem stromdurchflossenen Leiter) für
die Kraft bzw. für die Kraft pro Länge:
µ0 I1
2π R
F2
µ II
= 0 1 2
∆l2 2π R
F2 = I 2 ∆l2
Damit ist es möglich, über die Kraft zwischen zwei parallelen stromdurchflossenen Leitern
die Einheit der Stromstärke, Ampere, zu definieren:
In zwei sehr langen, parallel im Abstand von 1 m verlaufenden Leitern fließt jeweils ein
Strom der Stärke 1 Ampere (1 A), wenn die Kraft pro Einheitslänge (1 m) zwischen den
Leitern 2.10-7 N/m beträgt.
Bei gleicher Stromrichtung ziehen sich die Drähte an, bei entgegengesetzter Stromrichtung
stoßen sie einander ab.
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Magnetische Induktion
Oersted entdeckte um 1820, dass ein stromdurchflossener Leiter von einem Magnetfeld
umgeben ist. Um 1830 fanden Michael Faraday in England und Joseph Henry in Amerika
unabhängig voneinander heraus, dass umgekehrt auch ein Magnetfeld einen Strom
erzeugen kann, wenn es sich zeitlich ändert.
Spannungen und Ströme, die durch Veränderung von Magnetfeldern entstehen, bezeichnet
man als Induktionsspannungen und Induktionsströme, den Vorgang selbst nennt man
magnetische Induktion. Magnetische Induktion bildet die Grundlage zur Gewinnung
elektrischer Energie in Generatoren.
Induktionsgesetz - Bewegung einer Leiterschleife
im Magnetfeld -
Bewegt man den Leiter im Magnetfeld, so
verschieben sich die Elektronen infolge der
Lorentzkraft. Es kommt zu einer Ladungsdifferenz
zwischen den Leiterenden.
uv
Im Draht wird eine elektrische Feldstärke E erzeug.
Die Ladungen werden so lange getrennt, bis die
elektrische Kraft und die Lorentzkraft im Gleichgewicht
stehen.
Abb.: Verschiebung der Elektronen auf Grund der Lorentzkraft (Tipler, Sexl 3)
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Elektrizität 2
Betrachtet man die Kraft auf ein Elektron, so gilt daher:
e.v.B = e.E
E = v.B
Multipliziert man die elektrische Feldstärke E mit der Länge des Drahtes s, so erhält man für
die induzierte Spannung:
U ind = v.B.s
An Stelle des Drahtes wird jetzt eine Leiterschleife im Magnetfeld bewegt:
Abb.: Liegt die Leiterschleife vollständig im homogenen Magnetfeld, so wird bei der Bewegung keine
Spannung induziert (die bei der Verschiebung induzierten Spannungen heben sich auf) (Sexl 3)
Abb.: Liegt die Leiterschleife nur teilweise im homogenen
Magnetfeld, so wird bei der Bewegung Spannung induziert
(Sexl 3)
Zur allgemeinen Formulierung des Induktionsgesetzes
benötigt man als physikalische Größe noch den
magnetischen Fluss Φ.
Man erhält den magnetischen Fluss Φ durch Multiplikation
der magnetischen Flussdichte B mit der Fläche A (Φ ist
ein Maß für die Anzahl der magnetischen Feldlinien, die
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durch eine Fläche hindurchtreten).
Steht B senkrecht auf A, so gilt
Φ = B. A
Für einen beliebigen Winkel zwischen der Richtung von B und der Fläche gilt: Φ = B. A.cos α
Ändert sich die Zahl der Feldlinien, die durch eine Leiterschleife hindurchtreten, so wird eine
Spannung induziert. Oder etwas exakter:
Induktionsgesetz
Ändert sich der eine Leiterschleife (Spule) durchsetzende magnetische Fluss, so wird in ihr eine Spannung induziert. Sie
entspricht der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses. In einem geschlossenen Kreis fließt dann ein Induktionsstrom.
Leiterschleife: U ind = −
dΦ
dt
Spule mit N Windungen: U ind = − N
dΦ
dt
Bei einer Verschiebung der Leiterschleife um dx (obige Abbildung) ändert sich die Fläche
um dA = –s.dx. Da B als konstant angenommen wird gilt
U ind = −
dΦ
d ( B. A)
dA
dx
=−
= − B.
= − B.( − s. ) = B.s.v
dt
dt
dt
dt
Der magnetische Fluss ändert sich auch bei Drehung einer
Leiterschleife im Magnetfeld. Die Induktion einer Spannung in
einer drehenden Leiterschleife bildet das Prinzip des
Generators.
U ind = −
dΦ
d ( B. A.cos α )
d ( B. A.cos ωt )
=−
=−
= B. A.ω.sin ωt
dt
dt
dt
Das Induktionsgesetz gilt sowohl für den Fall, dass der Leiter bewegt wird und der Magnet in
Ruhe bleibt, als auch für den Fall, dass bei ruhendem Leiter der Magnet bewegt wird.
Abb.: Wird ein Magnet in eine Spule getaucht, so bestimmt die zeitliche Änderung des magnetischen
Flusses den dazugehörigen Spannungsstoß (Kraker-Paill, Physik3)
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Elektrizität 2
Die Lenzsche Regel
Die Lenzsche Regel besagt, dass der Induktionsstrom stets so gerichtet ist, dass er seiner
Ursache entgegenwirkt.
Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz berücksichtigt diese Regel.
Wird ein Magnet auf eine (kurzgeschlossene) Spule hinbewegt, so wird die Spule vom
Magneten abgestoßen. Der Induktionsstrom ist so gerichtet, dass er seiner
Entstehungsursache entgegenwirkt. Dies ist eine Folge des Energieerhaltungssatzes. Die
Erzeugung von Strom und des damit verbundenen Magnetfeldes erfordert Energie. Es ist
also Arbeit nötig, um Magnet und Spule relativ zueinander zu bewegen. Beim
Induktionsvorgang wird mechanische Energie in elektrische (und magnetische) Energie
umgewandelt.
Abb.: Der Induktionsstrom ist so gerichtet, dass sein Magnetfeld zur Abstoßung der Spule führt.
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Elektrizität 2
Wirbelströme
Bewegt man einen ausgedehnten Leiter (also keinen Draht, sondern z.B. ein Metallblech)
zwischen den Polschuhen eines (Elektro-)Magneten, so wird der Leiter in seiner Bewegung
behindert.
Abb.: Das Metallpendel wird im Magnetfeld durch Wirbelströme gebremst. (Tipler)
Man kann das Metallstück als eine Vielzahl geschlossener Leiterkreise auffassen, die sich im
Magnetfeld bewegen. In jedem dieser Leiterkreise wird ein Strom induziert, der auf Grund
der Lenz'schen Regel seiner Entstehungsursache, also der Bewegung, entgegenwirkt. Der
Leiter wird im Magnetfeld gebremst. Die geschlossenen Induktionsströme nennt man
Wirbelströme. Durch den geringen ohmschen Widerstand eines Leiters können sie
beträchtliche Stärke erreichen. Sie führen zu einer Erwärmung des Leiters. Verwendet man
ein mehrfach geschlitztes Blech, so wird der Stromfluss behindert und die Wirbelströme stark
reduziert.
Wirbelströme treten auch auf, wenn man den magnetischen Fluss verändert (z.B. in einem
magnetischen Wechselfeld). Um Energieverluste zu vermeiden, werden bei Kernen von
Transformatoren und Maschinen dünne, voneinander isolierte Bleche verwendet.
Anwendung: Wirbelstrombremse in Fahrzeugen und zur Dämpfung der Anzeige bei
Messgeräten.
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Elektrizität 2
Selbstinduktion
Ändert sich der Strom in einer Spule, so führt dies auch zu einer Änderung des
magnetischen Flusses in der Spule. Dies bewirkt, dass in der Spule selbst eine Spannung
induziert wird. Diese bezeichnet man als Selbstinduktionsspannung. Nach der Lenz'schen
Regel ist diese Selbstinduktionsspannung so gerichtet, dass sie ihrer Ursache, der Änderung
des Stroms (und damit der angelegten Spannung) entgegen wirkt.
Quantitative Betrachtung:
Fließt durch eine Spule mit N Wicklungen , der Länge l und dem Spulenquerschnitt A ein
Strom der Stärke I, so gilt für den magnetischen Fluss:
B = µ0
NI
l
Φ = B. A = µ0
NI
.A
l
Nach dem Induktionsgesetz gilt für die induzierte Spannung:
U ind = − N
dΦ
d
NI
N 2 A dI
dI
= − N ( µ0
A) = − µ0
. = −L
dt
dt
l
l dt
dt
Die Konstante L bezeichnet man als Induktivität der Spule. Ihre Einheit ist ein Henry:
[L] = 1 Henry = 1 H
L = µ0
N2A
,
l
bzw. für eine Spule mit Eisenkern: L = µr µ0
N2A
l
Die Selbstinduktion verhindert beim Einschalten des Stroms in einem Stromkreis mit einer
Spule einen plötzlichen Anstieg der Stromstärke. Je höher die Induktivität der Spule ist,
umso flacher ist der Anstieg des Stroms. Durch die Selbstinduktion besitzt der Strom eine
gewisse "Trägheit", ähnlich zur Trägheit der Masse bei einer Beschleunigung oder
Verzögerung.
Erst wenn sich ein stationärer Zustand einstellt und die Stromstärke einen konstanten Wert
annimmt, sinkt die Selbstinduktionsspannung auf Null.
Abb.: verzögerter Anstieg der Stromstärke durch
die Spule. . (Sexl)
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Elektrizität 2
Abb.: Die Lampe L2 leuchtet nach dem Einschalten erst
nach der Lampe L1 auf. (Sexl)
−
t
Beim Einschalten gilt: I = I 0 (1 − e τ ) , beim Ausschalten: I = I 0 e
τ=
−
t
τ
L
... Zeitkonstante des Stromkreises (t = τ Æ 63% von I0 erreicht)
R
Besonders hohe Selbstinduktionsspannungen treten beim Ausschalten des Stroms auf, da
hierbei die Stromänderung große Werte erreicht. Bei der Trennung von Stromkreisen, die
große Induktivitäten enthalten (z.B. bei Elektromagneten und Motoren), kommt es durch die
hohen Spannungen zur Funkenbildung. Durch Parallelschalten von Kondensatoren kann die
Funkenbildung verhindert werden.
Ausgenützt wird der Effekt hingegen bei der
Zündanlage (Zündspule) eines Autos (U ≈ 15 kV).
Das Öffnen erfolgt durch den von der Nockenwelle
gesteuerten Unterbrecher. (Abb. Sexl)
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Elektrizität 2
Energie des magnetischen Feldes
In jedem magnetischen Feld ist Energie gespeichert. Sie entspricht der Arbeit, die zum
Aufbau des Feldes (beim Einschalten) aufzuwenden ist und wird beim Zusammenbrechen
des Feldes wieder frei:
W (t ) = U .I .t
I
0
dI (t )
1 2
W = ∫ dW (t ) = ∫ U (t ).I (t )dt = ∫ L.
.I (t )dt = ∫ L.I (t )dI = LI 0
dt
2
0
Vgl.: elektrische Feldenergie eines Kondensators: W =
1
CU 2
2
Generator und Motor
Generatoren dienen zur Erzeugung elektrischer Spannungen und Ströme. Ihre physikalische
Grundlage ist das Induktionsgesetz. Die Funktion der Elektromotoren beruht auf der
Lorentzkraft.
Bestandteile eines Generators:
ƒ
Rotor (Läufer, Anker): rotierender Teil des Generators
ƒ
Stator: ruhender Teil des Generators
ƒ
Schleifringe zur Abnahme der induzierten Spannung
Als Rotor kann sowohl die Spule als auch der Magnet verwendet werden. Bei Generatoren
mit größerer Leistung bildet der Magnet (Elektromagnet – dynamo-elektrisches Prinzip) den
Rotor und die Spulen den Stator.
Zur Drehung des Rotors muss gegen die Lorentzkraft Arbeit verrichtet werden. Die dazu
benötigte Energie wird bei Kraftwerken von Wasser- oder Dampfturbinen geliefert.
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Seite 21
Elektrizität 2
Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung
Bei der Drehung einer Leiterschleife im Magnetfeld wird im Leiter eine Wechselspannung
induziert:
Abb.: Induktion einer Wechselspannung durch Änderung des magnetischen Flusses (Kraker-Paill)
U ind = − N
dΦ
d ( B. A.cos α )
d ( B. A.cos ωt )
= −N
= −N
= N .B. A.ω.sin ωt
dt
dt
dt
U (t ) = U 0 sin ωt
ω = 2π f ... Kreisfrequenz
U 0 ... Scheitelspannung
U (t ) ... Momentanwert der Spannung
ϕ (t ) = ωt ... Phase(nwinkel), Drehwinkel d. Leiterschleife
Eine andere Möglichkeit der Darstellung erhält man durch ein Zeigerdiagramm. Dabei rotiert
ein Zeiger (Pfeil) der Länge U0 mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die Leiterschleife.
Die Projektion des Zeigers auf die Vertikale entspricht dem Momentanwert der Spannung.
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Elektrizität 2
Verbindet man die Enden der Spule mit einem äußeren Stromkreis, so fließt ein Strom,
dessen Stärke sich ebenfalls sinusförmig mit der Zeit ändert und dessen Richtung
(Vorzeichen) in jeder Periode zweimal wechselt.
I (t ) = I 0 sin ωt
Dynamo-elektrisches Prinzip
Wird das Magnetfeld im Generator oder Motor durch einen Permanentmagneten erzeugt, so
ist dieses zu schwach für hohe Leistungen. Werner von
Siemens erfand um 1867 das dynamo-elektrische Prinzip,
bei dem das Magnetfeld durch einen Elektromagneten
erzeugt wird, für den der Generator selbst den nötigen
Strom liefert.
Der Hauptschlussmotor (Rotor- und Statorwickung in Serie
geschaltet) kann sowohl mit Gleichstrom als auch mit
Wechselstrom betrieben werden, da sich die
Stromrichtung im Rotor und die Richtung des
Magnetfeldes gleichzeitig ändern (zum Ändern der
Drehrichtung muss man die Anschlüsse am Kollektor
vertauschen).
Mag. Peter Schnögl
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Elektrizität 2
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Befindet sich nur ein ohmscher Widerstand im Wechselstomkreis, so haben U und I die
gleiche Phase.
U (t ) = U 0 sin ωt
U (t ) U 0
=
sin ωt = I 0 sin ωt
R
R
2
P(t ) = U (t ). I (t ) = U 0 . I 0 . sin 2 ωt = RI 0 sin 2 ωt
I (t ) =
Die im Widerstand in Ohmsche Wärme umgewandelte Leistung schwankt periodisch, wobei
es bei praktischen Anwendungen nur auf den zeitlichen Mittelwert der Leitung ankommt:
2
RI
U I
U I
1 T
2
2 1 T
2 1 T
P (t ) = ∫ RI 0 sin 2 ωdt = RI 0 ⋅ ∫ sin 2 ωtdt = RI 0 ⋅ ⋅ = 0 = 0 0 = 0 ⋅ 0
0
0
T
T
T 2
2
2
2 2
U eff =
U0
... effektive Spannung
2
I eff =
I0
... effektive Stromstärke
2
Unter der effektiven Stromstärke und der effektiven Spannung eines Wechselstroms
versteht man diejenige Spannung und Stromstärke, die ein Gleichstrom mit derselben
Leistung aufweisen würde.
Die Angaben von Stromstärke und Spannung beim Wechselstrom beziehen sich immer auf
diese Effektivwerte und nicht auf die Spitzenwerte:
Mag. Peter Schnögl
Ueff = 230 V (oder 400 V)
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Elektrizität 2
Spule im Wechselstromkreis
(ideale Spule, ohmscher Widerstand der Spule wird vernachlässigt)
Die Induktivität der Spule wirkt wie ein (zusätzlicher) Widerstand.
es gilt:
U (t ) = U 0 sin ωt
I (t ) = I 0 sin(ωt −
π
2
)=
U0
π
sin(ωt − )
2
ωL
Die Spannung eilt der Stromstärke um
eine Viertelperiode (
π
2
) voraus.
X L = ωL ... induktiver Widerstand der Spule
Kondensator im Wechselstromkreis
U (t ) = U 0 sin ωt
I (t ) = I 0 sin(ωt +
π
2
) = ωC ⋅ I 0 sin(ωt +
XC =
π
2
)
1
... kapazitiver Widerstand des Kondensators
ωC
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Elektrizität 2
Im Gleichstromkreis besitzt der Kondensator einen unendlich hohen Widerstand. Im
Wechselstromkreis sinkt der Widerstand am Kondensator bei zunehmender Frequenz. Der
Strom eilt der Spannung um π/2 voraus.
Experiment:
Stromkreis mit Frequenzgenerator als Wechselspannungsquelle – Messen der
Stromstärke in Abhängigkeit der Frequenz a) mit Spule, b) mit Kondensator im
Wechselstromkreis
Am induktiven Widerstand der Spule und kapazitiven Widerstand des Kondensators wird
keine elektrische Energie verbraucht. Beim Aufbau des magnetischen bzw. elektrischen
Feldes wird Energie gespeichert, die beim Abbau des Magnetfeldes bzw. Entladen des
Kondensators wieder an den Stromkreis abgegeben wird.
XL und XC bezeichnet man daher als Blindwiderstände. Sie verwandeln elektrische Energie
nicht in Wärme (im Gegensatz zu ohmschen Widerständen; R ... Wirkwiderstand).
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Elektrizität 2
Stromkreis mit R, C und L
Legt man eine Wechselspannung an einen Stromkreis mit einem ohmschen Widerstand,
einer Spule und einem Kondensator, so gilt
U (t ) = U 0 sin ωt
I (t ) =
U0
sin(ωt − ϕ )
Z
Z ... Wechselstromwiderstand, Impedanz, Scheinwiderstand
ϕ ... Phasenverschiebung des Stroms gegenüber der angelegten Spannung
Serienschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator
Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung sowie die Impedanz erhält man
aus dem Zeigerdiagramm.
An der Spule und am Kondensator können Spannungen auftreten, die wesentlich höher sind
als die angelegte Spannung (Spannungsresonanz).
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Elektrizität 2
Für die Impedanz gilt:
Z = R 2 + ( X L − X C ) 2 = R 2 + (ωL −
1 2
)
ωC
tan ϕ =
1
ωC
R
ωL −
Bei der Resonanzfrequenz heben sich die Blindwiderstände in ihrer Wirkung auf; die
Schaltung verhält sich dann wie ein Ohmscher Widerstand:
XL = XC ⇔ Z = R
ω0 L =
1
⇔ ω0 =
ω 0C
1
1
⇔ f0 =
LC
2π LC
... Thomson' sche Gleichung
Parallelschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator
An allen Bauelementen liegt die selbe Spannung. Die Impedanz wird aus dem StromZeigerdiagramm abgeleitet.
1
=
Z
1
1
1 2
+(
−
)
2
R
XC XL
tan ϕ = R(ωC −
1
)
ωL
Bei Resonanz (Stromresonanz) können die Stromstärken im Spulen- und Kondensatorzweig
hohe Werte erreichen.
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Elektrizität 2
Leistung des Wechselstroms
Die Leistung des Wechselstroms mit rein Ohmscher Last wurde schon behandelt. Für die
effektive Leistung (Wirkleistung, zeitlicher Mittelwert der Momentanleistung während einer
Periode) erhielten wir:
T
Peff =
1
U .I
P(t )dt = 0 0 = U eff .I eff
∫
T0
2
Befinden sich im Wechselstromkreis Spule und Kondensator, so erzeugen die
Blindwiderstände eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.
Abb. Sexl-Kühnelt u.a. ; Physik 3
Die Komponente von I in Richtung U
bezeichnet man als Wirkstrom (jene normal zu
U als Blindstrom). Nur die Wirkkomponente ist
verantwortlich für die Wirkleistung – jene
Leistung, die im Verbraucher in andere
Energieformen umgesetzt wird. Nur der
Wirkstrom ist nutzbringend. In den Leitungen
zum Verbraucher fließt jedoch der höhere
Strom I. Dadurch entstehen beim
Energietransport höhere Verluste, als es der
Nutzleistung entspricht. In der Praxis ist man
daher bestrebt, die Phasenverschiebung
möglichst klein zu halten (z.B. Kondensator als
"Phasenschieber").
Mag. Peter Schnögl
Seite 29
Elektrizität 2
U (t ) = U 0 sin ωt
I (t ) = I 0 sin(ωt − ϕ )
P(t ) = U 0 I 0 sin ωt.sin(ωt − ϕ )
Peff =
1 T
U I T
U 0 I 0 sin ωt.sin(ωt − ϕ )dt = ... = 0 0 . cosϕ = U eff I eff cosϕ
∫
0
T
T 2
man unterscheidet:
Peff = U eff .I eff .cosϕ
ƒ
Wirkleistung:
ƒ
Scheinleistung: PS = U eff .I eff
cosϕ =
Peff
PS
... Leistungsfaktor
Beispiel:
Ein Motor mit einem Wirkungsgrad von 86% und einem Leistungfaktor cosϕ = 0,76
erbringt bei einer Nennspannung von 220 V eine mechanische Nutzleistung von 16
kW. Welchen Strom nimmt er dabei auf?
(Wirkungsgrad = abgegebene mechan. Energie / aufgenommene elektr. Energie)
Lösung: I = 111,3 A
Beispiel:
Wie groß ist der Leistungsfaktor eines Verbrauchers, der bei 220 V einen Strom von
1,13 A aufnimmt, wenn der Energiezähler in 24 Stunden von 1236,1 kWh auf 1240,8
kWh weiter läuft (Energiezähler von Stromversorgungsunternehmen sind so
konstruiert, dass sie genau die Wirkarbeit registrieren)?
Lösung: cosϕ = 0,788 (ϕ = 38°)
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Elektrizität 2
Transformator
Ein Transformator besteht aus einem geschlossenen Eisenkern mit zwei getrennten
Wicklungen (Spulen), die man Primär- und Sekundärspule nennt.
Der Eisenkern besteht aus miteinander verklebten, isolierten Blechlamellen, um
Energieverluste durch Wirbelströme zu minimieren.
Prinzipielle Wirkungsweise eines Transformators: Fließt ein Wechselstrom durch die
Primärspule, so ruft dieser Strom einen zeitlich variablen magnetischen Fluss hervor, der fast
völlig im Eisenkern verläuft. Dadurch ändert sich auch der magnetische Fluss in der
Sekundärspule, was zur Induktion einer Spannung in der Sekundärspule führt.
Unbelasteter Transformator
Als unbelasteten Transformator bezeichnet man
einen Trafo mit offener Sekundärseite, d.h. ohne
Verbraucher.
Die Sekundärspule beeinflusst die Primärspule
nicht (I2 = 0), in der Primärspule fließt ein
Leerlaufstrom I0 (Magnetisierungsstrom). Dieser ist
fast reiner induktiver Blindstrom, der vom Zähler
nicht erfasst wird. Geringe Energieverluste gibt es
lediglich durch Wirbelstromverluste, durch
Hysterese im Eisenkern und durch den ohmschen
Widerstand (Wärme) der Spulenwicklungen (der
Wirkungsgrad von Transformatoren liegt zwischen
ca. 90% und 99,5%).
Experiment: Stromstärke durch die Primärspule eines unbelasteten Trafos messen.
R mit Ohmmeter messen. Aus Z = U / I erhält man den induktiven Blindwiderstand
XL. Z ≈ XL
I0 erzeugt im Eisenkern einen zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss Φ. Dieser ruft in
der Primärspule eine Selbstinduktionsspannung (Gegenspannung) UL hervor.
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Elektrizität 2
Diese ist betragsgleich zur angelegten Spannung U1 :
U L = −U1 = − N1
dΦ
dt
Der gleiche magnetische Fluss induziert aber auch in der Sekundärspule eine Spannung U2:
U2 = − N2
dΦ
dt
Da die Beträge der Flussänderungen in beiden Spulen gleich sein müssen, ergibt sich:
d Φ U1 U 2
=
=
dt
N1 N 2
bzw.:
U 1 N1
=
=Ü
U2 N2
Ü ... Übersetzungsverhältnis des Transformators
d.h. die Spannungen an den Transformatorspulen verhalten sich wie die Windungszahlen.
Belasteter Transformator
Die vom Verbraucher aufgenommene Leistung
muss vom Strom an der Primärspule
aufgebracht werden. Man kann sich dies so
vorstellen, dass der Strom in der
Sekundärspule einen magnetischen Fluss
erzeugt, der den ursprünglich vorhandenen
Fluss schwächt. Die Primärspule muss zur
Wiederherstellung des ursprünglichen Flusses daher jetzt zusätzlich zum Leerlaufstrom I0
einen Primärstrom I1 aufnehmen.
Nach dem Energieerhaltungssatz muss die primärseitig aufgenommene Leistung gleich der
sekundärseitig abgegebenen Leistung sein:
P1 = P2
U1.I1 = U 2 .I 2
U 1 I 2 N1
= =
U 2 I1 N 2
d.h. die Spannungen an den Transformatorspulen verhalten sich wie die Windungszahlen,
die Stromstärken verhalten sich umgekehrt wie die Windungszahlen (und die Spannungen).
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Elektrizität 2
Anwendungen von Transformatoren
Die Transformierbarkeit des Wechselstroms ist ein Grund, warum das öffentliche Stromnetz
mit Wechselstrom gespeist wird.
Transformatoren werden eingesetzt, um hohe Spannungen zu erzeugen (Energietransport
über Hochspannungsnetz, Beschleunigungsspannung in Kathodenstrahlröhren oder
Röntgengeräten, ...) oder um hohe Stromstärken bei niedrigen Spannungen zu erzeugen
(Schweißtrafo, Schmelzöfen, ...).
"Netzgeräte" für Kleinverbraucher (schwachstromtechnische Geräte; U2 von ca. 3 V bis 24 V)
Experiment:
U1 = 220 V, N1 = 500, N2 = 5 Î U2 = 2,2 V, I2 = 100 I1 (ca. 100 A !)
Überlegung:
Warum nimmt man für eine Transformation von 220 V auf 22 V nicht 10 Wicklungen und 1
Wicklung, sondern z.B. 1000 und 100, obwohl das Verhältnis in beiden Fällen das gleiche
wäre?
a) Der Leerlaufstrom an der Primärspule wird bei zu kleinem L bzw. XL viel zu groß.
z.B. L = 1 H, I 0 =
bei L =
U
≈ 0,7 A
ωL
µN 2 A
bedeutet 1/10 der Wicklungen 1/100 von L und den 100-fachen
l
Leerlaufstrom
b) der magnetische Fluss ist bei zu wenig Wicklungen zu gering! (hängt in der Praxis
von der Güte des Trafoblechs u.a. Faktoren ab)
Näherungsformel: N ≥
Mag. Peter Schnögl
U
(B ca. 1,5 T ist realistischer Wert)
4,44. f .B. AKern
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Elektrizität 2
Unser Stromnetz
Unser Stromnetz, das tagtäglich und selbstverständlich die im Haushalt benötigte Energie
liefert, ist Thema dieses letzten Kapitels. Einerseits wird der Weg der elektrischen Energie
von der Erzeugung bis zum Verbraucher verfolgt, andererseits werden die diversen
Sicherheitsmaßnahmen im Haushalt behandelt. Die Basis dieses Kapitels stellt ein LehrerThemenheft der KELAG dar, in dem dieses Thema sehr ausführlich und umfassend
behandelt wird.
Mag. Peter Schnögl
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Elektrizität 2
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