Vorlesung 1-5

Pfadintegrale in der Teilchenphysik
(Blockkurs)
Thorsten Feldmann – Sommersemester 2012
Uni Siegen – Department Physik
30. Juli – 3. August 2012
Th. Feldmann – SoSe 2012
Pfadintegrale
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Inhalt:
Pfadintegrale in der Quantenmechanik
Pfadintegrale für skalare Felder
Erzeugendes Funktional für Korrelationsfunktionen
Erzeugendes Funktional für 1-Teilchen–irreduzible Diagramme
Pfadintegralformulierung der QED
Dirac-Fermionen im Pfadintegral
[Quantisierung von nicht-abelschen Eichtheorien]
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Pfadintegrale
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Vorbemerkungen:
Vergleich: Korrelationsfunktionen im kanonischen Formalismus
"
hΩ0 |T φ̂I (x ) φ̂I (y ) exp
−i
RT
#
dt ĤI (t)
|Ω0 i
−T
hΩ|T φ̂(x )φ̂(y )|Ωi =
lim
"
T →∞(1−i)
hΩ0 |T exp
−i
RT
(1)
#
dt ĤI (t)
|Ω0 i
−T
Wechselwirkungsbild für Feldoperatoren.
Feynman-Regeln aus störungstheoretischer Entwicklung des Exponentials im
Zeitentwicklungsoperator und Anwendung des Wick-Theorems.
Alternative Methode: “Pfadintegrale” (oder auch “Funktionalintegrale”)
Herleitung der Feynman-Regeln für allgemeine Theorien
durch “einfache” Integrations- und Differentiationsregeln.
Pfadintegral kann direkt durch Lagrangedichte ausgedrückt werden,
einfache Implementierung von Symmetrien.
Klassischer Grenzfall ~ → 0 ist evident.
Quantisierung von (insbesondere nicht-abelschen) Eichtheorien eleganter.
Analogien zwischen Quantenfeldtheorie und Statistischer Mechanik.
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Pfadintegrale
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1. Pfadintegrale in der Quantenmechanik
Betrachte nicht-relativistisches Teilchen (1-dim.) mit Hamilton-Operator
Ĥ =
p̂ 2
+ V (x̂ ) .
2m
und Ortsdarstellung des Schrödinger-Zeitentwicklungsoperators
U(xa , xb ; T ) = hxb |e −i Ĥ T /~ |xa i
(2)
Alternativer Blickwinkel: Superpositionsprinzip:
“Wenn Prozess xa → xb auf verschiedene Weisen erreicht werden kann,
bilde kohärente Summe aller individuellen Amplituden.”
Beispiel: Doppelspalt-Experiment
Verschiedene mögliche Pfade zwischen Quelle und Detektor.
Pfade sind unterschiedlich lang → unterschiedliche Phasen.
→ Quantenmechanische Interferenz.
Verallgemeinerung:
U(xa , xb ; T ) =
X
e i·Phase ≡
Z
Dx (t) e i·φ[x (t)] .
(3)
alle Pfade
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Pfadintegrale
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R
Mit Dx (t) meinen wir i.A. die Summation über den (kontinuierlichen) Satz von
Funktionen
x (t)
mit
x (ta = 0) = xa
und
x (tb = T ) = xb
Dx (t) ist ein Integralmaß, welches auf einem kontinuierlichen Raum von
Funktionen definiert ist.
(im Gegensatz zu dx = Integrationsmaß auf dem Raum der reellen Zahlen)
Den Ausdruck
Z
Dx (t) F [x (t)]
bezeichnen wir als Funktionalintegral.
Der Integrand F [x (t)] ist dabei ein Funktional.
In unserem Fall wird z.B. jedem Pfad (d.h. jeder Funktion x (t)) eine Phase φ[x (t)]
zugeordnet.
Entsprechend können wir Funktionalableitungen,
δF
δx (t)
, definieren
(siehe Übung)
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Pfadintegrale
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Wirkungsprinzip
Wodurch wird die Phase φ[x (t)] bestimmt?
Klassisch: Nur ein Pfad ist realisiert, welcher gerade die Bewegungsgleichungen
erfüllt, also insbesondere die Wirkung S[x (t)] minimiert!
Andererseits: Integral über stark oszillierende Funktion mittelt sich zu Null,
d.h. falls
φ[x (t)] ∝ 1/~
ist das Pfadintegral für ~ → 0 von stationärer Phase mit
δφ[x (t)] =0
δx (t) stat.
dominiert.
Die Wirkung hat gerade die physikalische Einheit von ~
⇒ Ansatz:
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S[x (t)]
1
φ[x (t)] :=
=
~
~
Pfadintegrale
Z
dt L[x (t)]
(4)
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Test: Doppelspalt-Experiment (vereinfacht)
D
t,
T
D+d
x2 (t) = x2 + v2 t = x2 +
t.
T
Pfad 1 (Länge D):
x1 (t) = x1 + v1 t = x1 +
Pfad 2 (Länge D + d):
(5)
Wirkung:
Z
Pfad 1:
T
S1 =
dt
Z0 t
Pfad 2:
S2 =
dt
0
m
m 2
(ẋ1 )2 =
D ,
2
2T
m
m
(ẋ2 )2 =
(D + d)2 ,
2
2T
(6)
Phasendifferenz (d D, v1 ' v2 ' D/T ≡ p/m):
S2 − S1
mdD
p·d
'
'
~
~T
~
(7)
Stimmt also mit dem üblichen Ergebnis (Unschärferelation, De Broglie–Wellenlänge,
. . . ) überein.
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Explizite Definition von Dx (t)
Zerteile Zeitintervall [0, T ] in N Abschnitte der Länge δ.
Approximiere Pfad x (t) als Abfolge von (geradlinigen) Teilpfaden mit Endpunkten
xa ≡ x0 , x1 , . . . xN−1 , xN ≡ xb
Damit ergibt sich für die Wirkung eines Teilchens im Potential V (x ),
Z
S=
T
dt
0
m 2
ẋ − V (x )
2
−→
X m (xk+1 − xk )2
2
δ
xk+1 + xk
− δ V(
)
2
.
k
(8)
An jedem Zeitpunkt tk = kδ (mit k = 1..(N − 1))
integrieren wir über alle möglichen Werte des dazugehörigen Werts von xk .
Bis auf eine Normierungskonstante c(δ), die wir später bestimmen, ergibt sich
also
Z
1
Dx (t) ≡
c(δ)
Z
dx1
c(δ)
Z
dxN−1
dx2
1
···
=
c(δ)
c(δ)
c(δ)
YZ
k
∞
−∞
dxk
c(δ)
(9)
wobei am Ende δ = T /N → 0 zu nehmen ist.
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Pfadintegrale
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Nachprüfen der Schrödinger-Gleichung:
Betrachte Beitrag vom letzten Zeitschritt zu U(xa , xb ; T ) (mit x 0 = xN−1 ):
Z∞
U(xa , xb ; T ) =
dx 0
i m (xb − x 0 )2
i
xb + x 0
exp
− δ V(
)
c(δ)
~
2δ
~
2
−∞
|
{z
U(xa , x 0 ; T − δ)
|
{z
}
}
| {z }
alle Pfade x 0 → xb
Beitrag zu U aller
anderen
Zeitschritte
Beitrag zur Wirkung von x 0 → xb
(10)
Im Limes δ → 0 oszilliert der Integrand aufgrund des kinetischen Terms unendlich
schnell, außer für xb ≈ x 0 .
√
→ Entwickle alle anderen Terme um x 0 = xb
(wobei x 0 − xb = O( δ)) :
Z
∞
U(xa , xb ; T ) =
−∞
dx 0
i m (xb − x 0 )2
exp
c(δ)
~
2δ
h
1−
i
δ V (xb ) + O(δ 3/2 )
~
i
∂
(x 0 − xb )2 ∂ 2
× 1 + (x − xb )
+
+ O(δ 3/2 ) U(xa , xb ; T − δ)
∂xb
2
∂xb2
0
(11)
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Pfadintegrale
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Die Beiträge zum x 0 -Integral sind jetzt Gauß-Integrale,
Z
dx e
−ax 2
=
q
Z
π
,
a
dx x e
−ax 2
Z
= 0,
2
dx x e
−ax 2
=
1
2a
q
π
a
usw.
(12)
Allerdings müssen wir dafür kleinen Imaginärteil zu kinetischem Term addieren
m 2
m 2
v →
v (1 + i) ,
2
2
(13)
damit Gauß-Integrale (nach analytischer Fortsetzung) konvergieren.
(das ist analog zur Ersetzung p 2 − m2 → p 2 − m2 + i im Feynman-Propagator)
Damit ergibt sich
1
c(δ)
U(xa , xb ; T ) =
×
r
2π~δ
−im
!
iδ
iδ~ ∂ 2
1−
V (xb ) +
+ O(δ 2 )
~
2m ∂xb2
U(xa , xb ; T − δ) (14)
Koeffizientenvergleich:
O(δ 0 ):
O(δ 1 ):
c(δ) =
h
q
V (xb ) −
2π~δ
−im
~2 ∂ 2
2m ∂x 2
i
U(xa , xb ; T ) = i~
b
∂
∂T
U(xa , xb ; T )
√
d.h. unsere Definition von U(xa , xb ; T ) erfüllt die Schrödinger-Gleichung.
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Pfadintegrale
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Prüfe noch Normierung im Limes T ≡ δ → 0
(d.h. genau ein infinitesimaler
Zeitschritt):
lim hxa |e −iHT |xb i = δ(xa − xb ) ,
(15)
T →0
lim U(xa , xb ; T = δ) =
T →0
1
i m (xb − xa )2
exp
+ O(δ) → δ(xa − xb )
c(δ)
~
2δ
√
(16)
Damit
U(xa , xb ; T ) = hxb |e −i Ĥ T /~ |xa i =
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Z
Pfadintegrale
i
Dx (t) e ~
S[x (t)]
(17)
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Alternative Herleitung und Verallgemeinerung auf beliebig viele (verallgemeinerte)
Koordinaten und Impulse
Betrachte nf verallgemeinerte Koordinaten ~q = {qi } und Impulse ~p = {pi }.
Übergangsamplitude (jetzt wieder ~ = 1):
U(~qa , ~qb ; T ) = h~qb |e −i ĤT |~qa i = h~qb |e −i Ĥδ · · · e −i Ĥδ |~qa i
Z
=
d (nf )~q1 · · ·
Z
d (nf )~qN−1 h~qb |e −i Ĥδ |~qN−1 i · · · h~q1 |e −i Ĥδ |~qa i
(18)
((N − 1) Faktoren 1 =
R
d (nf )~
qk |~
qk ih~
qk | eingesetzt.)
Jeden Faktor in δ entwickeln:
h~qk+1 |e −i Ĥδ |~qk i = h~qk+1 |1 − i Ĥδ + . . . |~qk i
Welche Art von Termen können in Ĥ auftauchen:
•
(n )
ˆ)|~
h~
qk+1 |f (~
q
qk i = f (~
qk ) δ f (~
qk+1 − ~
q)
= f(
Z
•
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ˆ )|~
h~
qk+1 |f (~
p
qk i =
qk+1 + qk
)
2
Z
d (nf )~
p
exp [i~
pk · (~
qk+1 − ~
qk )] ,
(2π)nf
d (nf )~
p
f (~
pk ) exp [i~
pk · (~
qk+1 − ~
qk )] ,
(2π)nf
Pfadintegrale
(19)
(20)
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Was ist mit gemischten Termen f (p̂, q̂) ? – I.A. nicht in gleicher Form zu
schreiben. — Ausnahme: sog. Weyl-geordnete Operatoren, z.B.
•
hqk+1 |
=
q̂ 2 p̂ 2 + 2q̂p̂ 2 q̂ + p̂ 2 q̂ 2
|qk i =
4
qk+1 + qk
2
2 Z
qk+1 + qk
2
2
2
hqk+1 |p̂ |qk i
dp 2
p exp [i pk (qk+1 − qk )] ,
2π k
(21)
d.h. nach Weyl-Ordnung aller Produkte von p̂’s und q̂’s in Ĥ erhalten wir stets
h~qk+1 | e −iδĤ |~qk i =
Z
~qk+1 + ~qk
d (nf )~pk
exp −iδH(
, ~pk ) exp [i~pk · (~qk+1 − ~qk )]
(2π)nf
2
h
| {z }
|
Operator
i
{z
}
Funktion(al)
(22)
(wobei wir für δ → 0 die Entwicklung der Exp.-Fkt. wieder rückgängig gemacht haben.)
Multiplikation aller Faktoren und Integrieren über alle d (nf )~qk :
YZ
U(~
q0 , ~
qN ; T ) =
d (nf )~
qk d (nf )~
pk
(2π)nf
!
k
"
× exp
i
X
~
pk · (~
qk+1
~
qk+1 + ~
qk
−~
qk ) − δH(
,~
pk )
2
#
(23)
k
mit N Impulsintegralen ~
p0 · · · ~
pN−1 und N − 1 Ortsintegralen ~
q1 · · · ~
qN−1 .
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Kontinuumslimes:
Z
U(~qa , ~qb ; T ) =
D
(nf )
~q D
(nf )
Z
~p exp i
T
dt ~p · ~q˙ − H(~q , ~p )
(24)
0
Das ist die allgemeinste Form für die Berechnung von quantenmechanischen
Übergangsamplituden als Funktionalintegrale, wobei
~
q0 = ~
qa und ~
qN = ~
qb fest
~
pk (t) uneingeschränkt.
Das Integralmaß haben wir hier definiert als
Z
D
(nf )
~q D
(nf )
~p = lim
Y Z d (nf )~qk d (nf )~pk
(2π~)nf
δ→0
!
(25)
k
(die im Vergleich zur vorherigen Herleitung auftretenden Normierungsfaktoren c(δ) ergeben
sich gerade durch Ausführung der Impulsintegrale für Hamiltonfunktionen der Form
H = p 2 /2m + V (q) → Übung )
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2. Pfadintegrale für skalare Felder
Übergang von diskreten Freiheitsgraden ({qi (t), pi (t)}) zu Feldern
φ(~x , t), π(~x , t).
Damit ergibt sich für reelles Klein-Gordon–Feld die Übergangsamplitude
hφb (~x )|e
−i ĤT
Z
Z
|φa (~x )i =
Dφ Dπ exp i
T
4
d x
0
1 ~ 2
1
− V (φ)
π φ̇ − π 2 − (∇φ)
2
2
(26)
,
mit der Einschränkung an Feldkonfigurationen zur Zeit t = 0, T :
φ(~x , t = 0) = φa (~x ) ,
φ(~x , t = T ) = φb (~x ) .
(27)
Exponent ist bilinear in den Impulsfeldern → Integration Dπ explizit ausführbar,
wie vorher:
hφb (~x )|e −i ĤT |φa (~x )i = const. ·
Z
Z
Dφ exp i
T
d 4 x L[φ]
.
(28)
0
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Paradigmenwechsel:
Definiere QFT alleine durch Wirkung/Lagrangedichte.
Funktionalintegral–Formalismus ersetzt Operator-Formalismus.
Konstruiere Lagrangedichte, die manifest alle beobachteten
Symmetrien/Erhaltungssätze erfüllt (insbesondere Lorentz-Invarianz).
Beliebige Übergangsamplituden können mittels Pfadintegral berechnet werden.
Feynman-Regeln ergeben sich direkt aus L (s.u.).
Falls gewünscht, kann Schrödingergleichung durch Ableiten nach T hergeleitet
und daraus der Hamiltonoperator Ĥ abgelesen werden. – Ansonsten wird Ĥ nicht
benötigt.
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Korrelationsfunktionen
Suche Darstellung von hΩ|T φ̂(x1 )φ̂(x2 )|Ωi mittels Pfadintegral.
Betrachte dazu Funktionalintegral
Z
Z
T
d 4 x L[φ]
Dφ(x ) φ(x1 ) φ(x2 ) exp i
,
mit:
−T
φ(−T , ~
x ) = φa (~
x)
φ(+T , ~
x ) = φb (~
x)
(29)
Zeichne Pfade aus, die (zusätzlichen) Randbedingungen genügen
φ(x10 , ~x ) = φ1 (~x ) ,
φ(x20 , ~x ) = φ2 (~x ) .
(30)
und integriere dann wieder über alle φ1,2 (~x ), also
Z
Z
Dφ(x ) =
Z
Dφ1 (~x )
Z
Dφ2 (~x )
Dφ(x )
(31)
0 ,~
φ(x1,2
x )≡φ1,2 (~
x)
Können nun im Integranden ersetzen:
φ(x1 ) = φ(x10 , ~x1 ) = φ1 (~x1 ) ,
φ(x2 ) = φ(x20 , ~x2 ) = φ2 (~x2 )
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Pfadintegrale
(32)
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Unterteile Zeitintegral (o.B.d.A. −T < x10 < x20 < T ) ⇒ Pfadintegral zerfällt in 3
Faktoren:
Z
Z
Dφ1 (~x ) φ1 (~x1 )
... =
Dφ2 (~x ) φ2 (~x2 )
" Z
Z
×
#
T
4
Dφ(x ) exp i
d x L[φ]
x20
φ(x 0 ,~
x )≡φ2 (~
x)
2
φ(T ,~
x )=φb (~
x)
" Z
Z
×
#
x20
4
d x L[φ]
Dφ(x ) exp i
x10
φ(x 0 ,~
x )≡φ1 (~
x)
1
φ(x20 ,~
x )≡φ2 (~
x)
" Z
Z
×
#
x10
4
d x L[φ]
Dφ(x ) exp i
(33)
−T
φ(−T ,~
x )=φa (~
x)
φ(x10 ,~
x )≡φ1 (~
x)
Z
=
Z
Dφ1 (~x ) φ1 (~x1 )
Dφ2 (~x ) φ2 (~x2 )
0
0
0
0
× hφb |e −i Ĥ(T −x2 ) |φ2 ihφ2 |e −i Ĥ(x2 −x1 ) |φ1 ihφ1 |e −i Ĥ(x1 +T ) |φa i (34)
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Pfadintegrale
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Ersetze Felder φ1,2 (~x1,2 ) durch Schrödinger-Feldoperatoren, und benutze
Vollständigkeitsrelation (verallgemeinert auf kontinuierliche Freiheitsgrade)
Z
φ̂S (~xi )|φi i = φi (~xi )|φi i ,
Dφi (~x ) |φi ihφi | = 1
ergibt
0
0
0
0
. . . = hφb |e −i Ĥ (T −x2 ) φ̂S (~x2 ) e −i Ĥ(x2 −x1 ) φ̂S (~x1 ) e −i Ĥ(x1 +T ) |φa i
= hφb |e −i Ĥ T T φ̂H (x2 ) φ̂H (x1 ) e −i ĤT |φa i
(35)
(Zeitordnung fasst die beiden Fälle x10 < x20 und x20 < x10 zusammen)
Benutze wieder Trick mit limT →∞(1−i) , um Grundzustand herauszuprojizieren.
Normierung im Nenner wieder durch Vakuum-Beiträge gegeben,
R
hΩ|T φ̂H (x1 )φ̂H (x2 )|Ωi =
h R
T
Dφ φ(x1 ) φ(x2 ) exp i
lim
T →∞(1−i)
R
h R
T
Dφ exp i
↑
Feldoperatoren
−T
−T
d 4x L
d 4x L
i
i
(36)
↑
Feldkonfigurationen
und analog für höhere Korrelationsfunktionen.
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Pfadintegrale
19 / 64
Störungstheorie:
Durch Entwicklung L = L0 + Lint lassen sich Korrelationsfunktionen der
wechselwirkenden Theorie auf freie Theorie zurückführen, z.B. für
2-Punkt–Funktion in φ4 –Theorie,
hΩ|T φ̂H (x1 )φ̂H (x2 )|Ωi
R
=
lim
T →∞(1−i)
λ
Dφ φ(x1 ) φ(x2 ) 1 − i 4!
R
λ
Dφ 1 − i 4!
R
R
R 4
d x L0
R
d 4 z φ4 (z) + . . . exp i
d 4 z φ4 (z) + . . . exp i
d 4 x L0
(37)
Das Analogon zum Wick-Theorem ergibt sich z.B. durch (klassische) Entwicklung
der (freien) Felder in Fourier-Moden.
Elegantere Methode: “Erzeugendes Funktional” (s.u.)
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Pfadintegrale
20 / 64
Wir definieren das Erzeugende Funktional für Korrelationsfunktionen (in skalarer
Theorie)
Z
Z
Z [J] :=
Dφ exp i
d 4 x (L + J(x )φ(x ))
(38)
J(x )φ(x ) heißt Quellterm (zusätzliche rechte Seite bei Ableitung der
Bewegungsgleichung)
Definiere zunächst den Begriff der Funktionalableitung (siehe Übung)
δ
J(y ) := δ (4) (x − y )
δJ(x )
δ
δJ(x )
bzw.
(Verallgemeinerung von ∂xi xj = δij bzw. ∂xi
P
j
Z
d 4 y J(y ) φ(y ) = φ(x )
(39)
xj kj = ki )
Es gelten die Produkt- und Kettenregel. Funktionalableitungen auf Terme, die
Ableitungen der Funktion enthalten, sind durch partielle Integration definiert
δ
δJ(x )
Th. Feldmann – SoSe 2012
Z
d 4 y (∂µ J)(y ) φ(y ) = −
δ
δJ(x )
Z
d 4 y J(y ) ∂µ φ(y ) = −∂µ φ(x )
Pfadintegrale
(40)
21 / 64
Korrelationsfunktionen folgen aus Z [J] durch Funktionalableitung, z.B.
δ
Z [J]
=
δJ(y )
J≡0
Z
Z
Dφ
i
d xδ
Z
× exp i
Z
=i
4
(4)
(x − y ) φ(x )
d x (L(x ) + J(x )φ(x )) J≡0
Z
4
Dφ φ(y ) exp i
d 4 x L(x )
.
(41)
Die 2-Punkt–Funktion ergibt sich somit gerade aus
hΩ|T φ̂H (x1 )φ̂H (x2 )|Ωi =
1
Z [J]
1
δ
i δJ(x1 )
1
δ
i δJ(x2 )
Z [J]
(42)
J≡0
entsprechend mehr Ableitungen für höhere Korrelationsfunktionen.
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Pfadintegrale
22 / 64
Erzeugendes Funktional für freie Theorie:
Speziell für freie Theorie:
Z
d 4 x [L0 (φ) + Jφ] =
Z
d 4x
h
1
φ(x ) −∂ 2 − m2 + i φ(x ) + J(x )φ(x )
2
i
(43)
e iS0
mit i-Vorschrift, so dass
konvergiert (siehe Übung ).
Führe quadratische Ergänzung durch mittels
φ0 (x ) := φ(x ) + (−∂ 2 − m2 + i)−1 J(x ) = φ(x ) − i
Z
d 4 y DF (x − y ) J(y )
(44)
wobei im 2. Schritt der freie Propagator wieder als Greensche Funktion der
Klein-Gordon–Gleichung eingeführt wurde:
(−∂ 2 − m2 + i)(−iDF (x − y )) = δ (4) (x − y )
Ergebnis:
Z
4
Z
d x [L0 (φ) + Jφ] =
1
d 4 x φ0 (x ) −∂ 2 − m2 + i φ0 (x )
2
Z
−
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d 4x d 4y
1
J(x ) [−iDF (x − y )] J(y )
2
Pfadintegrale
(45)
23 / 64
Nach der Variablensubstitution lautet das erzeugende Funktional
Z
Z0 [J] =
0
Z
0
4
Dφ exp i
d x L0 (φ )
Z
= Z0 [J = 0] exp −
Z
exp −
1
d x d y J(x ) [DF (x − y )] J(y )
2
4
4
d 4x d 4y
1
J(x ) DF (x − y ) J(y )
2
(46)
Insbesondere ergibt sich daraus für die 2-Punkt–Funktion der freien Theorie
gerade der Feynman-Propagator durch die Funktionalableitung
1
Z0 [J]
1
δ
i δJ(x1 )
1
δ
i δJ(x2 )
Z0 [J]
= DF (x1 − x2 )
(47)
J(x )≡0
Genauso für die 4-Punkt–Funktion der freien Theorie (→ Übung )
1
Z0 [J]
1
δ
i δJ(x1 )
1
δ
i δJ(x2 )
1
δ
i δJ(x3 )
1
δ
i δJ(x4 )
Z0 [J]
J(x )≡0
= DF (x1 − x2 ) DF (x2 − x4 ) + DF (x1 − x3 ) DF (x2 − x4 ) + DF (x1 − x4 ) DF (x2 − x3 )
(48)
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Pfadintegrale
24 / 64
3. Erzeugendes Funktional für wechselwirkende Theorie
Für L = L0 + Lint erhalten wir
Z
Z
Dφ exp i
Z [J] =
Z
Z
=
Dφ exp i
Z
d 4 z Lint [φ(z)] exp i
d 4 z Lint
h
1 δ
i δJ(z)
i
d 4 x (L0 [φ] + J φ)
Z
exp i
d 4 z (L0 [φ] + J φ) (49)
wobei wir die Funktion φ(z) als Argument von Lint [φ] wieder durch die
δ
Funktionalableitung 1i δJ(z)
ersetzt haben, was im Sinne einer Potenzreihe zu
verstehen ist.
φ4 (z) −→
z.B. zur Ordnung λ:
1 δ
i δJ(z)
4
Damit kann der WW-Term aus dem FI gezogen werden, und mit der gleichen
Variablensubstitution erhalten wir wieder
Z
Z [J] = exp i
Z
∝ exp i
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d 4 z Lint
h
1 δ
i δJ
i
d 4 z Lint
h
1 δ
i δJ
i
Z0 [J]
Z
exp −
d 4x d 4y
Pfadintegrale
1
J(x ) DF (x − y ) J(y ) (50)
2
25 / 64
Beispiel: 2.-Punkt–Funktion zur Ordnung λ. Betrachte zunächst
Z [J] ∝
λ
−iλ
4!
Z
4
d z
1
δ
i δJ(z)
4
exp −
1
2
Z
4
4
d x d y J(x )DF (x − y )J(y )
(51)
Jede Funktionalableitung der Exponentialfunktion ergibt
1
δ
1
exp −
i δJ(z)
2
Z
=i
Z
4
4
d x d y J(x )DF (x − y )J(y )
4
d x J(x ) DF (x − z) exp[. . .] ≡ F [J, z] exp[. . .] ,
F [0, z] = 0 . (52)
Funktionableitung des so definierten Funktionals F [J] ergibt
δ
1
F [J, z] = DF (z − z)
i δJ(z)
(53)
Damit
1 δ
i δJ(z)
=
=
4
=
=
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exp[. . .] =
1 δ
i δJ(z)
2 1 δ
i δJ(z)
1 δ
i δJ(z)
3
F [J, z] exp[. . .]
DF (z − z) + F [J, z]
2
exp[. . .]
DF (z − z) F [J, z] + 2DF (z − z)F [J, z] + F [J, z]
2
2
2
3
exp[. . .]
3(DF (z − z)) + 3DF (z − z)F [J, z] + 3DF (z − z)F [J, z] + F [J, z]
2
2
3 (DF (z − z)) + 6 DF (z − z) F [J, z] + F [J, z]
Pfadintegrale
4
exp[. . .]
4
exp[. . .]
(54)
26 / 64
Diagrammatische Interpretation:
DF (x − y ) wieder durch Propagatoren zwischen Vertizes dargestellt.
Vertexfaktor ergibt sich direkt aus iLint wieder zu
Z
d 4z
= −iλ
(55)
F [J, z] repräsentiert Quelle an (beliebigem) Ort mit Propagator zum Ort z:
Z
F [J, z] = i
d 4 x 0 J(x 0 ) DF (x 0 − z)
:
(56)
Der Wick-Kontraktion im Operatorformalismus entspricht dann gerade
1 δ
F [J, z] = DF (x − z)
i δJ(x )
(57)
Für das erzeugende Funktional erhalten wir somit
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Pfadintegrale
27 / 64
Nenner in Korrelationsfunktion aus Z [J = 0], d.h. alle Diagramme mit Quellen
fallen weg:
√
Vakuumdiagramme bleiben übrig (mit statistischen Faktoren aus Fkt.-Ableitung)
Da Vakuumdiagramme nicht von J abhängen, kürzen sie sich bei der Berechnung von
Korrelationsfunktionen wieder heraus.
n-Punkt–Funktionen aus
1
δ
i δJ(x1 )
···
1
δ
i δJ(xn )
ergibt n externe Vertices:
Falls weniger externe Vertizes als Quellen im Diagramm in {. . .}:
Kein Beitrag nach
J=0
.
Falls gleich viele externe Vertizes wie Quellen:
Alle kombinatorischen Möglichkeiten, Quelle mit externem Vertex zu verbinden.
Falls mehr externe Vertizes als Quellen im Diagramm:
Kein Beitrag, falls nur Ableitungen von {. . .}, weil mehr Ableitungen als Faktoren J;
brauche zusätzliche Ableitungen von exp[. . .] → (topologisch) unverbundene
Diagramme.
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Pfadintegrale
28 / 64
Erzeugendes Funktional für (vollständig) zusammenhängende Diagramme
Kann man Erzeugendes Funktional finden, bei dem sich (außer
Vakuumdiagrammen) auch die nicht vollständig zusammenhängenden Diagramme
herausdividieren?
Behauptung: Ableitungen des Funktionals
W [J] = −i ln Z [J] ,
( d.h. Z [J] = e iW [J] )
(58)
nach den Quellen J erzeugen nur den Beitrag der (topologisch) vollständig
zusammenhängenden Diagramme zu n-Punkt–Funktionen,
Gconn (x1 , . . . , xn ) = (−i)n−1
δ
δ
···
W [J] δJ(x1 )
δJ(xn )
J=0
(59)
Z [J]
(Genauer gesagt definiert man üblicherweise W [J] = −i ln Z [0] = −i (ln Z [J] − ln Z [0]).)
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Pfadintegrale
29 / 64
Beispiel: n = 1
(hier allgemein für Theorie, bei der 1-Punkt-Funktion nicht verschwindet),
δ
1 1
δ
(−i ln Z ) =
Z
J=0
δJ(x1 )
Z i δJ(x1 )
Gconn (x1 ) =
J=0
≡ G(x1 )
(60)
d.h. bei einem externen Punkt hängen trivialerweise alle Punkte zusammen.
Beispiel: n = 2,
Gconn (x1 , x2 ) = (−i)
δ
δ
δ
1
δ
(−i ln Z ) =−
Z
J=0
δJ(x1 ) δJ(x2 )
δJ(x1 ) Z δJ(x2 )
J=0
δ
1 δZ
1
δZ
δZ
1
δ2 Z
=−
= 2
−
δJ(x1 ) Z δJ(x2 )
Z δJ(x1 ) δJ(x2 )
Z δJ(x1 ) δJ(x2 )
J=0
≡ −G(x1 )G(x2 ) + G(x1 , x2 )
(61)
d.h. es wird in der Tat von der allgemeinen 2-Punkt–Funktion G(x1 , x2 ) die unverbundenen
Diagramme – welche gerade gleich dem Produkt der 1-Punkt–Funktionen sind – subtrahiert.
Beispiel: n = 4 → Übung.
Anmerkung: In der freien Theorie ist nur die 2-Punkt–Funktion Gconn (x1 , x2 ) von Null
verschieden.
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Pfadintegrale
30 / 64
Erzeugendes Funktional für “1-Teilchen–irreduzible” Diagramme
Wir hatten gesehen, dass Übergangsamplituden in der Streutheorie auf
Diagramme mit “amputierten” äusseren Linien führen.
Definiere:
“Diagramme, die beim Zerschneiden einer inneren Linie nicht in
zwei einzelne Diagramme zerfallen, heißen 1-Teilchen–irreduzibel (1PI).”
Für solche Diagramme kann man wieder ein erzeugendes Funktional definieren:
Definiere zunächst den Begriff des klassischen Feldes als Funktionalableitung von W [J]:
Klassisches Feld:
i δZ [J]
δW [J]
φc (x ) ≡
=−
=
δJ(x )
Z δJ(x )
R
R
R
Dφ φ(x ) exp i
R
Dφ exp i
d 4 x (L + Jφ)
d 4 x (L + Jφ)
,
(62)
wobei hier J nicht Null gesetzt wird, d.h. φc = φc [J](x ) ist immer noch ein Funktional
von J und kann als Erwartungswert des Feldes φ(x ) in Anwesenheit einer Quelle J(x )
interpretiert werden.
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Pfadintegrale
31 / 64
Effektive Wirkung, Vertexfunktionen und 1PI-Diagramme
Wir führen Legendre-Transformation des Funktionals W [J] durch, so dass J(x )
und φc (x ) die Rollen tauschen. Die sich ergebende Funktion bezeichnet man als
Effektive Wirkung:
Z
Γ[φc ] ≡ W [J] −
Effektive Wirkung:
d 4 x J(x ) φc (x )
(63)
Die Funktionalableitungen nach φc (xi ) ergeben die sog. Vertexfunktionen
Γn (x1 , . . . , xn ) ≡
Vertexfunktionen:
δ n Γ[φc ]
δφc (x1 ) · · · δφc (xn )
(64)
φc =0
d.h.
Γ[φc ] =
X
1
n!
Z
4
4
d x1 · · · d xn Γn (x1 , . . . , xn ) φc (x1 ) · · · φc (xn )
(65)
n
Die Vertexfunktionen werden gerade durch die 1PI-Diagramme repräsentiert
(Beispiel s.u.).
Die effektive Wirkung spielt wichtige Rolle beim Verständnis der Renormierung
und der spontanen Brechung von internen Symmetrien.
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Pfadintegrale
32 / 64
Anmerkungen:
δW [J]
δΓ
= δJ(y ) − φc (y ) = 0.
Die effektive Wirkung hängt nicht explizit von J ab, denn δJ(y
)
Der Begriff “effektive Wirkung” ergibt sich aus der Betrachtung von
δ
δ
Γ[φc ] =
W [J[φ]] −
δφc (x )
δφc (x )
Z
4
d y
δJ(y )
φc (y ) − J(x )
δφc (x )
(66)
Im ersten Term benutzen wir die Kettenregel (siehe Übung) und schreiben
δ
Γ[φc ] =
δφc (x )
Z
δJ(y ) δW [J]
d y
−
δφc (x ) δJ(y )
4
Z
4
d y
δJ(y )
φc (y ) − J(x ) = −J(x )
δφc (x )
(67)
wobei sich die ersten beiden Terme aufgrund der Definition von φc aufheben.
Γ[φc ] definiert somit eine klassische Feldtheorie, welche aber alle Quanteneffekte in den
Entwicklungskoeffizienten Γn beinhaltet. Die Bewegungsgleichungen für die klassische
Wirkung werden dabei durch die Extremalbedingungen
δΓ[φc ]
δφc (x )
=0
(68)
J=0
ersetzt. — Für ~ → 0 gilt Γ[φc ] = S[φc ].
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Pfadintegrale
33 / 64
Vertexfunktionen und 1PI-Diagramme
Aus
δ
Γ[φc ] = −J(x )
δφc (x )
(69)
erhalten wir mit zusätzlicher Funktionalableitung nach J
−
δ
δΓ[φc [J]]
=−
δJ(y ) δφc (x )
Z
=
Z
d 4z
d 4z
δφc [J](z)
δ2 Γ
δJ(y ) δφc (z) δφc (x )
−δ 2 W
δ2 Γ
= δ (4) (x − y ) (70)
δJ(y )δJ(z) δφc (z) δφc (x )
Für J = φc = 0 ergibt das
Z
−i
d 4 z Gconn (y , z) Γ2 (z, x ) = δ (4) (x − y )
⇔
−1
Γ2 (x , y ) = iGconn
(x , y ) (71)
d.h. die 2-Punkt–Vertexfunktion ist gerade das Inverse der (verbundenen)
2-Punkt–Korrelationsfunktion.
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Pfadintegrale
34 / 64
Diagrammatisch:
d.h. durch Aufsummation der reduziblen Diagramme als geometrische Reihe von
1PI-Diagrammen in Gconn ergeben sich die Quantenkorrekturen zur
Vertexfunktion Γ2 gerade durch die Summe aller 1PI-Diagramme.
Impulsraum: Beitrag von 1PI-Diagrammen liefert eine Funktion (−iM 2 (p 2 ))
G̃conn (p) = D̃F (p) + D̃F (p) −iM 2 (p 2 ) D̃F (p) + . . .
= D̃F (p)
1
1 + iM 2 (p 2 ) D̃F (p)
=
1
D̃F−1 (p) + iM 2 (p 2 )
−1
⇒ i G̃conn
(p) = i D̃F−1 (p) − M 2 (p 2 ) = p 2 − m2 − M 2 (p 2 )
(72)
Der Effekt der 1PI-Diagramme auf die 2-Punkt–Funktion der vollen Theorie ist
dabei gerade eine Modifizierung des inversen Propagators
(→ Renormierung)
p 2 − m2 → p 2 − m2 − M 2 (p 2 )
Analog kann man für n > 2 verfahren.
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Pfadintegrale
35 / 64
Analogie zur statistischen Physik
Betrachte (1-dim) magn. System mit externem Magnetfeld H und lokaler Spindichte s(x ).
Die kanonische Zustandssumme lautet
Z (H) = e
−βF (H)
Z
=
Z
Ds exp −β
dx (E(s) − H s(x ))
(73)
wodurch die freie Energie F (H) definiert wurde mit der Energiedichte der Spins E(s).
Die Magnetisierung M ergibt sich durch Ableiten der freien Energie nach H,
−
1 ∂
∂F =
ln Z =
∂H β
β ∂H
Z
dx s(x ) ≡ M
(74)
Die Gibbssche Freie Energie ergibt sich aus der Legendre-Trafo
G = F + MH ,
mit
∂G
=H
∂M
(75)
Der thermodynamische Grundzustand ergibt sich als Extremum von G(M).
D.h. folgende Größen korrespondieren:
magn. System
QFT
x
(t, ~
x)
s(x )
φ(x )
H
J(x )
E(s)
L(φ)
Z (H)
Z [J]
F (H)
−W [J]
M
φc (x )
G(M)
−Γ[φc ]
Insbesondere bestimmen die Extrema von Γ[φc ] den Grundzustand der QFT.
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Pfadintegrale
36 / 64
Zusammenfassung: Pfadintegrale in der QFT
Berechnung von n-Punkt Korrelationsfunktionen:
R
hΩ|T φ̂H (x1 ) · · · φ̂H (xn )|Ωi =
= G(x1 , . . . , xn ) =
hR
T
Dφ φ(x1 ) · · · φ(xn ) exp i
lim
T →∞(1−i)
(−i)n
δ
Z [J = 0] δJ(x1 )
···
R
δ
Z [J]
δJ(xn )
Dφ exp
hR
T
i
−T
−T
d4x L
d4x L
i
i
(76)
J=0
Mit erzeugendem Funktional:
Z
Z
Z [J] =
Dφ exp
i
4
d x (L + J(x )φ(x ))
Z
∝ exp
i
4
d z Lint
h
1 δ
i
i δJ
Z
exp
−
4
4
d xd y
1
2
J(x ) DF (x − y ) J(y )
(77)
Topologisch verbundene Korrelationsfunktionen aus
W [J] = −i ln Z [J] ,
Gconn (x1 , . . . , xn ) = (−i)
n−1
δ
δJ(x1 )
···
δ
δJ(xn )
W [J]
(78)
J=0
1PI-Diagramme / Vertexfunktionen aus Effektiver Wirkung
Z
Γ[φc ] ≡ W [J] −
Γn (x1 , . . . , xn ) ≡
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4
φc (x ) ≡
d x J(x ) φc (x ) ,
δ n Γ[φc ]
δφc (x1 ) · · · δφc (xn ) φc =0
Pfadintegrale
δW [J]
δJ(x )
,
(79)
37 / 64
4. Quantisierung der QED im Pfadintegralformalismus
Aµ (x ) → Aµ (x , α) ≡ Aµ (x ) +
Eichsymmetrie:
1
∂µ α(x ) .
e
(80)
Naiv würden wir erwarten, dass wir Pfadintegrale der Form
Z
DA e iS[A] ,
DA ≡ DA0 DA1 DA2 DA3
(81)
studieren sollen, mit der klassischen Wirkung der Elektrodynamik
Z
S[A] =
d 4x
h
−
1
Fµν F µν
4
i
,
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(82)
Durch partielle Integration können wir das wieder etwas umschreiben
S[A] =
=
1
2
Z
1
2
Z
d 4 x Aµ (x ) ∂ 2 η µν − ∂ µ ∂ ν
Aν (x )
d 4k
eµ (k) −k 2 ηµν + k µ k ν A
eν (−k)
A
(2π)4
(83)
Problem:
Speziell für Funktionen e
Aµ (k) = kµ α(k) (“pure gauge”) mit beliebiger Funktion α(k)
ist S[A] = 0, und das Pfadintegral konvergiert nicht.
Der kinetische Term ist deshalb auch nicht invertierbar, weil der 4 × 4 Lorentz-Tensor
(−k 2 η µν + k µ k ν ) singulär ist (für “pure gauge”–Felder).
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Pfadintegrale
38 / 64
Fadeev-Popov–Trick
Integration über äquivalente Eichkonfigurationen Aµ (x , α) im Pfadintegral ist
redundant.
Betrachte Einschränkung an Eichfelder, die die Eichung (teilweise) fixiert.
!
Allgemein: G[A] = 0. — Beispiel:
!
G[A] = ∂µ Aµ (x ) = 0 .
Lorentz-Eichung:
(84)
Trick: Funktionalintegraldarstellung der Identität
Z
1=
Dα(x ) δ(G[A(x , α)]) det
h
δG[A(x , α)]
δα
i
(85)
Das ist die Verallgemeinerung von
YZ
1=(
dαi ) δ
(n)
(~
g (~
a)) det
h
∂gi
i
∂αj
i
Die Funktionaldeterminante ist über das (kontinuierliche) Produkt der Eigenwerte
definiert. Für die Lorentz-Eichung ergibt sich speziell
det
h
δG[A(x , α)]
δα
i
= det
h
δ
1
(∂µ Aµ + ∂ 2 α) = det[∂µ ∂ µ /e]
δα
e
i
(86)
Im Folgenden reicht es aus, dass die Determinante nicht von A abhängt.
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Pfadintegrale
39 / 64
Damit können wir das ursprüngliche Pfadintegral umschreiben
δG[A(x , α)]
det
δα
h
iZ
Z
Dα
DA(x ) e iS[A] δ(G[A(x , α)])
(87)
Variablensubstitution im FI, A(x ) → A(x , α). Dabei ändern sich weder
DA(x ) = DA(x , α) noch S[A(x )] = S[A(x , α)]
Dann kann man Integrationsvariable wieder umbenennen A(x , α) = A(x ) = A
und erhält
Z
DA e iS[A] = det
h
δG[A(x , α)]
δα
iZ
Z
Dα
DA e iS[A] δ(G[A])
(88)
Die Integration über Dα gibt einen (unendlichen) konstanten Faktor, der keinerlei
physikalische Relevanz hat.
Das verbleibende Pfadintegral geht nun wegen der funktionalen δ-Distribution nur
noch über Eichfeldkonfigurationen, die die Eichbedingung G[A] = 0 erfüllen.
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Pfadintegrale
40 / 64
Allgemeine Lorentz-kovariante Eichungen:
Wähle jetzt speziell die Klasse von Funktionen
G[A] = ∂µ Aµ (x ) − ω(x )
(89)
Die Funktionaldeterminante ist dabei unabhängig von ω(x ).
Das FI lautet dann (für beliebige ω(x ))
Z
DA e iS[A] = det ∂ 2 /e
Z
Z
Dα
DA e iS[A] δ(∂µ Aµ − ω(x ))
(90)
Integriere Gleichung über Dω mit Gaußscher Gewichtsfunktion:
Z
Dω exp −i
2
= det ∂ /e
Th. Feldmann – SoSe 2012
Z
Z
ω2
d x
2ξ
4
Z
DA e
Z
Dα
iS[A]
Z
DA e
iS[A]
exp −i
Pfadintegrale
DA e
= N(ξ)
Z
iS[A]
(∂µ Aµ )2
d x
2ξ
4
(91)
41 / 64
Effektiv haben wir einen zusätzlichen Beitrag zur Lagrangedichte generiert, den
sog. “Eichfixierungsterm”:
L[A] → L[A] −
1
(∂µ Aµ )2
2ξ
(92)
Den (unphysikalischen) Parameter ξ bezeichnet man als Eichparameter.
Physikalische Observable dürfen nicht von ξ abhängen.
Mit neuer effektiver Lagrangedichte ergeben sich Korrelationsfunktionen:
R
b)|Ωi =
hΩ|T O(A
h R
T
DA O(A) exp i
lim
T →∞(1−i)
R
−T
h R
T
DA exp i
−T
d 4 x (L −
d 4 x (L −
1
2ξ
1
2ξ
i
(∂µ Aµ )2 )
(∂µ Aµ )2 )
i
(93)
wobei O(A) eine eichinvariante Kombination von Feldoperatoren ist, z.B.
Fµν (x )F µν (y )
(da wir in obiger Herleitung von der Invarianz des Pfadintegrals bei A(x , α) ↔ A(x ) Gebrauch gemacht
hatten).
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Pfadintegrale
42 / 64
Dirac-Fermionen im Pfadintegral
Dirac-Lagrangedichte im Operatorformalismus:
b ) (i D/ − m) ψ(x
b ),
LDirac = ψ(x
bµ
iDµ = i∂µ − e A
(kovariante Ableitung)
(94)
Den (freien) Dirac-Propagator hatten wir im Operatorformalismus hergeleitet:
b (y )|Ωifrei ,
bβ (x )ψ
SF (x , y )βα = hΩ|T ψ
α
S̃F (p) =
i
p
/ − m + i
(95)
wobei das zeitgeordnete Produkt für Fermionen die Antivertauschungsrelationen
berücksichtigt, d.h.
(
b (y ) =
bβ (x )ψ
Tψ
α
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b (y )
ψβ (x )ψ
α
für
x0 > y0 ,
b (y )ψβ (x )
−ψ
α
für
y0 > x0 .
Pfadintegrale
(96)
43 / 64
Grassmann-Zahlen
Wenn wir Pfadintegral für Fermionen mit “normalen” komplexen
(spinor-wertigen) Funktionen Ψα (x ) und Ψα (x ) definieren, bekommen wir falsche
Statistik (d.h. Vertauschungs- statt Antivertauschungsrelationen, falsches
Vorzeichen im zeitgeordneten Produkt).
Für fermionische Pfadintegrale benötigt man deshalb einen neuen Zahlenbegriff,
die sog. Grassmann-Zahlen, mit folgenden Eigenschaften:
Zwei Grassmann-Zahlen θ und η anti-kommutieren:
θη + ηθ = 0 ,
⇒
2
2
θ =η =0
(97)
Das Produkt zweier Grassmann-Zahlen verhält sich wie eine normale Zahl,
(θ1 η1 )(θ2 η2 ) = −θ1 θ2 η1 η2 = . . . = (θ2 η2 )(θ1 η1 )
(98)
Addition von Grassmann-Zahlen und Multiplikation mit reellen Zahlen wie üblich,
a (θ + b η) = a θ + ab η ,
a, b ∈ <
(99)
Bei komplexer Konjugation ändert sich die Reihenfolge,
∗
∗ ∗
∗ ∗
(θη) ≡ η θ = −θ η
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Pfadintegrale
(100)
44 / 64
Integration mit Grassmann-Zahlen (notwendig für Definition des fermionischen Pfadintegrals)
Funktionen von Grassmann-Zahlen haben stets endliche Taylor-Entwicklung,
f (θ) = f0 + f1 θ ,
f (θ1 , θ2 ) = f00 + f10 θ1 + f01 θ2 + f11 θ1 θ2
etc.
(101)
d.h. wir brauchen nur eine Regel für das elementare (unbestimmte) Integral
Z
dθ (a + b θ)
(102)
Integral soll linear in den reellen Koeffizienten a, b sein
Z
dθ (a + b θ) = a i1 + b i2
Um die Pfadintegralmethode zu verallgemeinern, brauchen wir insbesondere die
Invarianz des Integrals unter linearen Substitutionen, θ → θ 0 = θ + η,
Z
!
dθ (a + b θ) =
Z
Z
dθ (a + b θ + b η) =
dθ ((a + bη) + b θ) = (a + bη) i1 + b i2
D.h. für eine konsistente Definition des Integrals muss i1 ≡ 0 sein.
Für i2 können wir per Konvention 1 wählen, also
Z
Z
dθ 1 = 0 ,
Z
dθ θ ≡ 1 ,
dθ f (θ) = f1
(103)
d.h. Integration wirkt wie Differentiation!
Th. Feldmann – SoSe 2012
Pfadintegrale
45 / 64
Bei Mehrfachintegralen mit Grassmann-Zahlen muß man auf die Reihenfolge achten:
Z
Z
Z
dθ1 dθ2 θ2 θ1 = +1 = −
dθ1 dθ2 θ1 θ2 =
dθ2 dθ1 θ1 θ2 .
(104)
Komplexe Grassmann-Zahlen definieren wir über
θ=
θ1 + iθ2
,
√
2
∗
θ =
Z
θ1 − iθ2
√
2
∗
mit
∗
dθ dθ (θθ ) = 1
(105)
Damit erhalten wir für Gauss-Integrale mit Grassmann-Zahlen
Z
∗
dθ dθ e
−θ ∗ a θ
Z
∗
∗
dθ dθ (1 − θ a θ) = a ,
=
(106)
während man für normale (komplexe) Zahlen (2π)/a erhalten hätte (siehe Übung).
Entsprechend erhält man für mehr-dimensionale Gauss-Integrale (→ Übung),
YZ
!
∗
dθi dθi
e
−θ ∗ Aij θj
i
= det A ,
−θ ∗ Aij θj
i
= det A (A
(107)
i
YZ
!
∗
dθi dθi
∗
(θk θl ) e
−1
)kl
(108)
i
(anstelle von (2π)n / det A im (komplexen) bosonischen Fall).
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Pfadintegrale
46 / 64
Grassmann-Felder für Dirac-Fermionen
Dirac-Fermionen werden im Pfadintegral durch Grassmann-Felder beschrieben.
Def.
ψα (x ) =
X
θi φiα (x )
(109)
i
wobei {φiα (x )} ein vollständiger Satz von (gewöhnlichen) spinorwertigen
Basisfunktionen und die Koeffizienten {θi } Grassmann-Zahlen sind.
∗ (x ) betrachten wir wieder ψ̄ (x ) = (ψ † (x )γ 0 ) als unabhängige
Anstelle von ψα
α
α
Integrationsvariable.
Im Pfadintegralformalismus ändert sich bis auf die Regeln für die Integration
nichts, z.B.
R
b 2 )|Ωi
b 1 )ψ(x
hΩ|T ψ(x
≡
frei
(108)
=
R
Dψ̄ Dψ ψ(x1 )ψ̄(x2 ) exp i
R
R
Dψ̄ exp i
d 4 x ψ̄(i ∂/ − m + i)ψ
−1
1
(i ∂/ − m + i)
i
d 4 x ψ̄(i ∂/ − m + i)ψ
= SF (x1 − x2 )
(110)
d.h. wir können den Propagator wieder direkt aus dem Inversen des quadr. Terms in der
Lagrangedichte ablesen.
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Pfadintegrale
47 / 64
Erzeugendes Funktional für freie Dirac-Felder
Führe Quellen η̄, η für Dirac-Felder ein.
Quellen sind spinor-wertig (Lorentz-Invarianz)
Quellen sind Grassmann-Felder (Statistik)
Z
Z
Z0 [η̄, η] =
Dψ̄Dψ exp i
d 4 x L0 [ψ, ψ̄] + η̄ψ + ψ̄η
(111)
Wie im bosonischen Fall können wir quadratisch ergänzen und erhalten
Z
Z0 [η̄, η] = Z0 [0, 0] exp −
d 4 x d 4 y η̄(x ) SF (x − y ) η(y )
(112)
Bei den Funktionalableitungen ist wieder die Reihenfolge relevant
δ
δ η̄(x1 )
Z
δ
δη(x2 )
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i
Z
i
d 4 x η̄(x ) ψ(x )
= +iψ(x1 )
d 4 x ψ̄(x )η(x )
Pfadintegrale
= −i ψ̄(x2 ) .
(113)
48 / 64
Dementsprechend erhalten wir freie Korrelationsfunktionen gemäß:
b̄ 2 )|Ωifrei
b 1 )ψ(x
SF (x1 − x2 ) = hΩ|T ψ(x
=
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1
Z0 [0, 0]
1
δ
i δ η̄(x1 )
−
1
δ
i δη(x2 )
Pfadintegrale
Z0 [η̄, η]
(114)
η=η̄=0
49 / 64
Erzeugendes Funktional inkl. QED-Wechselwirkung
Starte mit erzeugendem Funktional
Z
Z
Z [η̄, η, J] =
4
Dψ̄DψDA exp i
d x LQED + η̄ψ + ψ̄η + Aµ J
µ
(115)
und Lagrangedichte LQED = L0 + Lint ,
L0 = ψ̄ (i ∂/ − m) ψ −
1
1
Fµν F µν −
(Aµ )2 ,
4
2ξ
/ψ
Lint [ψ, ψ̄, Aµ ] = −e ψ̄ A
(116)
Störungsreihe kann wie vorher konstruiert werden,
Z
Z [η̄, η, J] = exp i
4
d z Lint
h
1 δ 1 δ
1 δ
,−
,
i δ η̄
i δη i δJ µ
i
Z0 [η̄, η, J]
(117)
Der Vertexfaktor ergibt sich dann wieder direkt aus (iLint ) als
µ
− ie (γ )βα
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Pfadintegrale
Z
d 4z
(118)
50 / 64
5. Nicht-abelsche Eichtheorien (QCD) im Pfadintegralformalismus
Fadeev-Popov–Methode für nicht-abelsche Theorien
Startpunkt ist wieder das Pfadintegral für den Eichsektor
Z
DA e
iS[A]
Z
Z
=
DA exp i
4
d x
1 a 2
)
− (Fµν
4
,
(119)
mit dem Ziel, die Integration über äquivalente Eichfeldkonfigurationen, die sich aus
a
Aaµ → Aa,θ
µ ≡ Aµ +
1
∂µ θa + f abc Abµ θc
g
(120)
ergeben, zu faktorisieren. Dazu führen wir die Eichfixierung wieder als
!
Nebenbedingung G[A] = 0 ein, z.B. für kovariante Eichungen mit
G[A] = ∂ µ Aaµ (x ) − ω a (x ) .
(121)
Damit lässt sich die Identität
Z
1=
Dθ δ[G(Aθ )] det
δG(Aθ )
δθ
(122)
ins Pfadintegral einfügen. Wenn G(A) — wie im obigen Beispiel — linear in den
Eichfeldern A ist, dann ist δG(Aθ )/δθ wieder unabhängig von θ.
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Pfadintegrale
51 / 64
Wie im Falle der QED erhalten wir durch eine Variablensubstitution Aθµ → Aµ und
Ausnutzen der Eichinvarianz der Wirkung das ursprüngliche Pfadintegral in der Form
Z
DA e
iS[A]
Z
=
Z
Dθ
DA e
iS[A]
δ[G(A)] det
δG(Aθ )
δθ
.
(123)
| {z }
= const.
Die funktionale Deltafunktion δ[∂ µ Aµ − ω] behandeln wir wie im abelschen Fall durch
Integration über dω mit einem Gauss’schen Gewichtsfaktor, was auf den
Eichfixierungsterm
Lg.f. = −
1
(∂ µ Aaµ )2
2ξ
(124)
führt, wodurch sich der kinetische Term des Eichfelds invertieren lässt.
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Pfadintegrale
52 / 64
Die Funktionalintegraldeterminante ist nun aber abhängig vom Eichfeld,
δG(Aθ )
1
1
= ∂ µ Dµ = ∂ µ (∂µ δ ab + gf abc Acµ ) ,
δθ
g
g
(125)
und kann somit nicht mehr als konstanter Faktor im Pfadintegral vernachlässigt
werden. Die Idee von Fadeev und Popov ist nun, die Funktionaldeterminante als
Funktionalintegral über antikommutierende Grassmann-Felder c a , c̄ a zu schreiben, die
hinsichtlich der adjungierten Darstellung der Eichgruppe transformieren,
det
1 µ
∂ Dµ
g
Z
∝
Z
Dc Dc̄ exp i
4
a
µ
ab
d x c̄ (−∂ Dµ )
c
b
.
(126)
Man beachte, dass c und c̄ Skalare unter Lorentz-Transformationen sind, d.h. das
Spin-Statistik–Theorem verletzen. Allerdings ist das kein Problem, solange den
Feldern keine physikalischen Zustände entsprechen, die von c und c̄ erzeugt/vernichtet
werden. Diese Felder werden deshalb auch “Fadeev-Popov–Geister” genannt, welche
wir als Hilfsfelder bei der störungstheoretischen Berechnung von
Feynman-Diagrammen berücksichtigen müssen. Wir werden sehen, dass die Beiträge
der Geister gerade die dynamischen Effekte von unphysikalischen
Polarisationzuständen der nicht-abelschen Eichfelder kompensieren.
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Pfadintegrale
53 / 64
Zunächst fassen wir nochmal die sich nach der Eichfixierung ergebende effektive
Lagrangedichte mit FP–Geistern zusammen:
Leff = −
2 1 µ a 2
1
a
/ −m ψ
Fµν
−
∂ Aµ + ψ̄ i D
4
2ξ
+ c̄ a −∂ 2 δ ac − g∂ µ f abc Abµ c c .
(127)
Daraus ergeben sich folgende zusätzliche Feynmanregeln:
Geist-Propagator :
Geist-Vertex :
i δ ab
,
+ i
k2
−gf abc p µ
(p µ auslaufend bei a; Eichboson bei (µ, b)) ,
(128)
wobei die Indizes Indizes a, b, c, d für Eichbosonen und Geister in der adjungierten
Darstellung stehen.
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Pfadintegrale
54 / 64
BRST–Invarianz (Becchi, Rouet, Stora, Tyutin)
Die entscheidende Beobachtung für den Beweis der Cancellierung zwischen
unphysikalischen Gluonmoden und Geistmoden beruht auf einer zusätzlichen
Symmetrie der eich-fixierten Lagrangedichte. Um diese zu identifizieren, führen wir
zunächst ein weiteres skalares Hilfsfeld B a in der adjungierten Darstellung ein, und
schreiben die Lagrangedichte (127) als
Leff = −
2
c
1
ξ
a
ac
/ − m ψ + (B a )2 + B a ∂ µ Aaµ + c̄ a −∂ µ Dµ
Fµν
+ ψ̄ i D
c .
4
2
(129)
Dies ist korrekt, denn das Hilfsfeld B a hat keinen kinetischen Term, ist deshalb
undynamisch und kann durch Anwendung der klassischen Bewegungsgleichungen
wieder eliminiert werden,
δLeff
!
= ξB a + ∂ µ Aaµ = 0
δB a
⇒
Ba = −
1 µ a
∂ Aµ ,
ξ
(130)
und Einsetzen in (129) liefert (127).
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Pfadintegrale
55 / 64
Wir identifizieren nun infinitesimale BRST–Transformationen als
ac c
δAaµ = Dµ
c ,
δψ = ig c a t a ψ ,
1
gf abc c b c c ,
2
δc̄ a = B a ,
δc a = −
δB a = 0 ,
(131)
wobei 1 ein kleiner Parameter ist, der durch eine anti-kommutierende
Grassmann-Zahl dargestellt sei (so dass δAaµ wieder ein “normales” kommutierendes
Feld ist, und δψ, δc, δc̄ Grassmann-Felder sind).
Für Aaµ und ψ entspricht die BRST-Transformation den gewöhnlichen
Eichtransformationen, wenn wir den Eichparameter mit
θa (x ) = gc a (x )
identifizieren. Damit sind die ersten beiden Terme in (129) für sich
BRST-invariant.
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Pfadintegrale
56 / 64
Der Term mit (B a )2 ist trivial invariant, wg. δB a = 0.
Für die Kopplung des Hilfsfelds mit dem Eichfeld finden wir
ac c
δ B a ∂ µ Aaµ = B a ∂ µ Dµ
c .
(132)
Es bleibt der Beitrag der Geistfelder, welcher sich unter BRST folgendermaßen
transformiert:
ac
ac
ac
δ c̄ a (−∂ µ Dµ
) c c = B a (−∂ µ Dµ
) c c + c̄ a δ (−∂ µ Dµ
) cc
(133)
Hierbei kompensiert der erste Term gerade den Term in (132). Im zweiten Term,
können wir c̄ a ∂ µ ausklammern (da die BRST-Transformation global, also
x -unabhängig ist). Damit bleibt noch zu zeigen, dass der folgende Term Null
ergibt:
? ac c ac
0 = δ Dµ
c = Dµ
δc c + gf abc δAbµ c c
1
1
g ∂µ f abc c b c c − g 2 f abc f cde Abµ c d c e
2
2
+ g f abc (∂µ c b ) c c + g 2 f abc f bde Adµ c e c c
=−
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Pfadintegrale
(134)
57 / 64
Betrachten wir zunächst die O(g)–Terme. Den ersten Term können wir unter
Ausnutzung der Antisymmetrie von f abc vereinfacht werden zu
−
1
g ∂µ f abc c b c c = −g f abc (∂µ c b ) c c ,
2
(135)
welcher gerade den anderen Term der Ordnung g in (134) kompensiert.
Analog lassen sich die O(g 2 )–Terme zusammenfassen zu
−
1
g 2 f abc f cde Abµ c d c e + Adµ c e c b + Aeµ c b c d .
2
Diese Kombination ergibt Null aufgrund der Jacobi-Identität.
Somit hat die Lagrangedichte (129) tatsächlich eine globale BRST-Symmetrie
(unabhängig vom Eichparameter ξ).
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Pfadintegrale
58 / 64
Wir führen nun einen abstrakten BRST-Generator Q̂ ein, indem wir
Q̂ φ ≡ δφ
für φ = {Aµ , ψ, c, c̄, B}
(136)
definieren. Als Symmetrieoperator vertauscht Q̂ mit dem Hamiltonoperator. Weiterhin
hat Q̂ die Eigenschaft, ein nil-potententer Operator zu sein, Q̂ 2 = 0, d.h. die
Hintereinanderausführung von 2 BRST-Transformationen ergibt stets Null. Dies
prüfen wir explizit nach:
(134)
ac c
ac c
Q̂ 2 Aaµ = Q̂ (Dµ
c ) ∝ δ(Dµ
c ) = 0,
1
g f abc c b c c t a ψ + c a t a (igc b t b ψ)
2
1
1
− g f abc c b c c t a ψ + gf abc c a c b t c ψ = 0 ,
2
2
Q̂ 2 ψ = Q̂ (igc a t a ψ) ∝ −
c a c b = −c b c a
=
Q̂ 2 c a = Q̂ −
1 abc b c
gf
c c
2
∝ f abc f bde c c c d c e
Jacobi
= 0,
Q̂ 2 c̄ a = Q̂ B a = 0 ,
Q̂ 2 B a = 0 .
Th. Feldmann – SoSe 2012
(137)
Pfadintegrale
59 / 64
Mit Q̂ 2 = 0 und Q̂, Ĥ = 0 können wir nun den Hilbertraum H der von den
Feldoperatoren φ erzeugten Zustände klassifizieren. Wir zerlegen dazu den
Hilbertraum in 3 Teile,
H = H0 + H1 + H2 ,
welche durch Zustände mit folgenden Eigenschaften definiert sind:
Zustände |ψ1 i aus H1 werden vom BRST-Operator nicht vernichtet,
Q̂ {|ψ1 i} 6= 0 .
(138)
Zustände |ψ2 i aus H2 lassen sich als Ergebnis der Wirkung von Q̂ aus Zuständen
|ψ1 i darstellen (was noch obiger Voraussetzung nicht Null sein kann),
{|ψ2 i} = Q̂ {|ψ1 i} .
(139)
Die restlichen Zustände |ψ0 i aus H0 erfüllen demnach
Q̂ {|ψ0 i} = 0
und
{|ψ0 i} 6= Q̂ {|ψ1 i} .
(140)
Damit verschwinden insbesondere die folgenden Skalarprodukte,
hψ2a |ψ2b i = hψ1a |Q̂ 2 |ψ1b i = 0 ,
Th. Feldmann – SoSe 2012
hψ2a |ψ0b i = hψ1a |Q̂|ψ0b i = 0 .
Pfadintegrale
(141)
60 / 64
Wir können uns nun fragen, welche asymptotische Zustände zu den jeweiligen
Teilräumen Hi gehören. Dazu definieren wir zunächst die verschiedenen
(physikalischen und unphysikalischen) Polarisationen, die zum Eichfeld Aµ gehören,
1
(k 0 , ~k) ,
2|~k|
1
(−)
(k 0 , −~k) ,
µ (k) = √
2|~k|
(+)
µ (k) = √
⊥
µ (k)
mit
µ∗
⊥
µ (k)± = 0 .
(142)
Die BRST-Transformation im asymptotischen Limes g → 0 liefert für das Eichfeld
g→0
Q̂ Aaµ −→ ∂µ c a
Fourier-Trafo
−→
kµ c a ,
(143)
und damit für die einzelnen Polarisationen
µ
Q̂ Aaµ −→µ
k c a = c a (k) ,
(−)
(−) µ
µ
Q̂ Aaµ −→µ
k ca = 0 ,
(+)
(+) µ
µ
Q̂ Aaµ −→µ
k ca = 0 .
⊥
⊥ µ
(144)
Damit hätten wir schon einmal gezeigt, dass |c(k)i = Q̂ |(+) (k)i, d.h.
|c(k)i ∈ H2
Th. Feldmann – SoSe 2012
und
|(+) (k)i ∈ H1 .
Pfadintegrale
(145)
61 / 64
Wir hatten oben gesehen, dass das Hilfsfeld B a mittels der
Bewegungsgleichungen ausgedrückt werden kann als
ξB a = −∂ µ Aaµ
Fourier-Trafo
−→
(−)a
k µ Aµ
,
(146)
d.h. der zum Hilfsfeld gehörige Zustand entspricht gerade dem unphysikalischen
(−)
Eichfeldzustand |µ (k)i. Da B a von Q̂ vernichtet wird, anderseits aber
a
a
Q̂c̄ ∝ B , ordnen wir also
|c̄(k)i ∈ H1
und
|(−) (k)i ∈ H2
(147)
zu.
Die restlichen Zustände |⊥ (k)i und |ψi gehören dann offensichtlich zu H0 , da
sie im asymptotischen Limes g → 0 von Q̂ vernichtet werden, sich aber nicht aus
der BRST-Trafo eines anderen Zustands ergeben.
Damit entspricht H0 gerade dem Raum der physikalischen Zustände, während H1 die
unphysikalischen Zustände |(+) (k)i und |c(k)i enthält, sowie H2 die unphysikalischen
Zustände |(−) (k)i und |c̄(k)i.
Th. Feldmann – SoSe 2012
Pfadintegrale
62 / 64
Unitarität der S-Matrix
Wir betrachten Übergangsamplituden zwischen Zuständen aus dem physikalischen
Hilbertraum H0 , wobei wir Zwischenzustände aus dem gesamten Hilbertraum
H = H0 + H1 + H2 zulassen. Dazu benutzen wir die Unitarität des Streuoperators Ŝ
und betrachten folgende Matrixelemente
(A)
(B)
δ (AB) = hψ0 |Ŝ † Ŝ|ψ0 i
Vollständigkeit
=
X
(A)
(B)
hψ0 |Ŝ † |ψ (C ) ihψ (C ) |Ŝ|ψ0 i .
(148)
ψ (C )
Da der BRST-Operator Q̂ mit dem Hamiltonoperator vertauscht, vertauscht auch
der Streuoperator (der sich ja aus Ĥ herleitet)
Q̂, Ŝ = 0
⇒
(A)
(A)
Q̂ Ŝ |ψ0 i = Ŝ Q̂ |ψ0 i = 0 .
(149)
Wenn wir jetzt die allgemeinen Zwischenzustände |ψ (C ) i gemäß der
Teil-Hilberträume aufteilen, erhalten wir damit für die obigen Matrixelemente
(C )
(B)
(C )
(B)
hψ2 |Ŝ|ψ0 i = hψ1 |Q̂ Ŝ|ψ0 i = 0 ,
(150)
(C )
d.h. Zustände |ψ2 i aus H2 tragen nicht bei. Weiterhin folgt wegen Q̂|ψ1 i 6= 0,
Th. Feldmann – SoSe 2012
(A)
Ŝ|ψ0 i
∈ H0 ⊕ H2
⇒
(C )
(A)
hψ1 |Ŝ|ψ0 i = 0 .
Pfadintegrale
(151)
63 / 64
Damit erhalten wir das gewünschte Ergebnis
hψ0 |Ŝ † Ŝ|ψ0 i =
X
δ (AB) =
X
(A)
(B)
(A)
(C )
(C )
(B)
hψ0 |Ŝ † |ψ0 ihψ0 |Ŝ|ψ0 i
(C )
ψ0
⇒
(CA) ∗
(S0
(CB)
) (S0
).
(152)
C
D.h. der Streuoperator Ŝ bleibt unitär, wenn wir uns auf den Unterraum der
physikalischen Zustände beschränken,
S0 S0† = 1 .
Th. Feldmann – SoSe 2012
Pfadintegrale
(153)
64 / 64