Chirale Symmetrie, ihre Brechung und Restauration

Chirale Symmetrie,
ihre Brechung und Restauration
Kathrin Leonhardt
14.06.2006
Gliederung
1. Motivation
2. Grundlagen
1.
2.
3.
4.
3.
4.
5.
6.
7.
Lagrangeformalismus
Transformationen
Symmetriebrechung
Beispiel masseloser Fermionen
Chirale Symmetrie, Transformation von Mesonen
Spontane Symmetriebrechung
Lineares Sigma-Modell
Explizite Brechung im linearen Sigma-Modell
Anwendung
1.
2.
Chirale Störungstheorie
Pion-Nukleon Streuung
8. Restauration
1.
2.
Dichteabhängigkeit
Temperaturabhängigkeit
1. Motivation
Beta-Zerfall
• Schwache Kopplungskonstanten für hadronische Vektor- und
Axialvektorströme unterscheiden sich kaum vom leptonischen
Gegenpart
• keine Strahlungskorrektur der starken WW
W−
e−
υe
W−
g
µ−
e−
υe
GA , GV , g
υµ
n
p
1. Motivation
Beta-Zerfall
• Vektorstrom und Axialvektorstrom müssen daher wegen einer
Symmetrie der starken WW erhalten sein
Vektorstrom
Isospinsymmetrie
Axialstrom
keine triviale Schlussfolgerung mgl., da die
Symmetrie spontan gebrochen ist
2. Grundlagen
2.1. Lagrange-Formalismus
Feldtheorie mithilfe des Lagrange-Formalismus
Variation der Wirkung verschwindet
 ∂L
 ∂L  
  (δΦ )
0 = δ S = ∫ dt ∫ d x 
− ∂µ 
 ∂ (∂µΦ )  
 ∂Φ
t1



L = L(Φ ( x, t ), ∂ µ Φ ( x, t ), t )
t2
3
damit erhält man die Bewegungsgleichung (mit L=Lagrangedichte)
 ∂L 
∂L
=0
− ∂µ 
 ∂ (∂µΦ) 
∂Φ


2. Grundlagen
2.1. Lagrange-Formalismus
Symmetrien der Lagrangedichte führen zu Erhaltungsgrößen
Annahme: L ist symmetrisch unter Transformation des Feldes Φ
 ∂L

= ∂µ 
δΦ  = ∂ µ J µ
 ∂ (∂µΦ )



damit ist der Strom
J µ erhalten
2. Grundlagen
2.2. Transformationen
•
Unitäre Transformation der Felder
mit Rotationswinkel
•
a
Θa und der Matrix T jk (Generatoren)
Der erhaltene Strom
wird als Noether-Strom bezeichnet
2. Grundlagen
2.3. Symmetriebrechung
Addition eines kleinen Terms
L = L0 + L1
→ δ L = δ L1 = ∂ J µ ≠ 0
µ
Symmetriebrechung
der Strom J µ ist nicht erhalten
2. Grundlagen
2.4. Beispiel masseloser Fermionen
Lagrangedichte masseloser Fermionen durch Dirac-Gleichung gegeben
•
Annahme der folgenden Transformation
dabei ist
die Isospinornotation und
Die Lagrangedichte ist unter ΛV invariant
Erhaltener Strom
die Pauli-Spinmatrizen
Vektor-Strom
2. Grundlagen
2.4. Beispiel masseloser Fermionen
•
Annahme einer anderen Transformation
Wieder ist die Lagrangedichte ist unter Λ A invariant
Und der erhaltene Strom ergibt sich zu
Axial-Vektor-Strom
3. Chirale Symmetrie
Die QCD masseloser Fermionen ist also unter beiden Transformationen
ΛV und Λ A invariant
chirale Symmetrie
Wegen ihrer Gruppenstruktur oft auch SU (2)V × SU (2) A Symmetrie
Einführung eines Massenterms δ L = − m(ψψ )
δ L invariant unter Vektortransformation ΛV ,
aber nicht unter Λ A
•
da Gammamatrizen antikommutieren und ψ = ψ +γ 0
Λ A ist daher nur eine genäherte Symmetrie, wenn Fermionen im
Vergleich mit der relevanten Skala kleine Massen haben.
3. Chirale Symmetrie, Transformation von Mesonen
Wie transformieren Mesonen unter ΛV und Λ A ?
Pionischer Zustand:
Rho-ähnl. Zst.:
Sigma-ähnl. Zst.:
a1-ähnl. Zst.:
Vektortransformation ΛV :
Isospin-Rotation
ebenso Rho-Meson
3. Chirale Symmetrie, Transformation von Mesonen
Resultat: Vektor-Transformation ΛV kann mit der Isospin-Rotation
identifiziert werden und damit der erhaltene Vektorstrom mit dem
Isospinstrom, der in der starken WW erhalten ist.
Axial-Transformation Λ A:
Damit ergeben sich für das Pi- und das Sigma-Meson
unter
Λ A rotieren die beiden Mesonen ineinander
Ebenso für Rho und a1
3. Chirale Symmetrie, Transformation von Mesonen
Mögliche Interpretation:
Zustände, die unter der Symmetrieoperation ineinander rotieren, haben
die gleichen Eigenwerte, wie z.B. die Masse.
mρ = 770MeV
ma1 = 1260MeV
Eindeutig nicht der Fall.
Differenz kann nicht aufgrund Symmetriebrechung durch endliche
Fermionenmassen zustande kommen, wäre sonst viel kleiner.
Lösung ist die spontane Brechung der axialen Symmetrie Λ A .
4. Spontane Symmetriebrechung
Def.: Der Grundzustand eines Systems (der Vakuumerwartungswert) ist
im Gegensatz zum zugehörigen Hamiltonoperator und damit den
Bewegungsgleichungen nicht symmetrisch.
Axialvektorstrom rotiert π in σ .
Grundzustand muss Sigmafeld sein, da π negative Parität ≠ Vakuum;
d.h. Vakuumerwartungswert des Quarkkondensats
im
Sigmafeld
4. Spontane Symmetriebrechung
Goldstone-Theorem: Wenn eine Symmetrie spontan gebrochen ist,
tauchen neue masselose Teilchen als mögliche Anregungen auf.
Goldstone Boson, in unserem Fall das Pion
Anregungen entlang des Tals führen zum Pion.
Da sie keine Energie kosten, muss das Pion masselos sein.
5. Lineares Sigma-Modell
(1960 von Levy und Gell-Mann)
Konstruktion eines chiral invarianten Models, das Pionen und
Nukleonen beinhaltet.
Lagrangedichte: Lorentzskalar, invariant unter ΛV und Λ A
ΛV ist Isospinrotation
Λ A transformiert wie
Kombination
ist invariant unter ΛV und Λ A und ist Lorentzskalar
damit die Lagrangedichte bilden
5. Lineares Sigma-Modell
ψ ... Felder von Nukleonen
Lagrangedichte ergibt sich zu:
Kopplung ans σ -Feld entspricht einem Massenterm
σ hat einen endlichen Vakuumerwartungswert, gibt dem Nukleon die
Masse
Weitere GrundzustandsEigenschaften des linearen
Sigmamodells
6. Explizite Brechung im linearen Sigma-Modell
Explizite Brechung des Axialvektorstroms durch Quarkmassen
δ L = − m(ψψ )
Hamiltonoperator ist ebenfalls unsymmetrisch (Vgl. spontane Brechung)
Konzept der spontanen Brechung trotzdem richtig, da Massen der expl.
Brechung auf Energieskala der QCD klein.
Explizite Brechung
Potential nicht mehr
invariant unter Drehung
Axialvektorsymmetrie
ist gute Näherung
6. Explizite Brechung im linearen Sigma-Modell
Potential hat damit die Form:
ε 
→0

→ fπ
wobei υ0 
Wahl: σ 0 = fπ
Konsequenzen:
Masse des Sigma ändert sich leicht
Pion bekommt eine Masse
mit
Masse des Nukleons ändert sich nicht (wegen Wahl von fπ )
7. Anwendung
7.1. Chirale Störungstheorie
Problem der Formulierung der Lagrangedichte
Grundidee: bei niedrigen Energien werden Prozesse durch Pionen und
der Symmetrie der QCD, der chiralen Symm., kontrolliert
Observablen können in Taylorreihe um Pionmasse und –impuls
entwickelt werden (z.B. Entwicklung der s-Matrix)
Es ist möglich die Ordnung zu bestimmen, bis zu der eine TaylorEntwicklung zur Streuamplitude eines gegeben Feynmandiagramms
beiträgt.
Damit können Diagramme berechnet werden (mit Loops).
solange gültig, bis eine Resonanz erreicht wird (z.B. Rho-Meson)
7. Anwendung
7.1. Chirale Störungstheorie
Nukleonen in der Störungstheorie
Naive Schlussfolgerung: aufgrund der großen Masse der Nukleonen
wird Konzept der Störungstheorie zerstört.
Allerdings: kein direkter Beitrag der Nukleonenmasse bei niedrigen
Energien (nichtrelativistisch),
sondern nur durch die kin. Energie
Chirale Störungstheorie auch für Nukleonen anwendbar
7. Anwendung
7.1. Chirale Störungstheorie
Mit der Störungstheorie werden somit Problemen durch Kopplungskonstanten aus dem Weg gegangen, wie
•
•
Unendlichkeiten/ Renormierung
in starker WW wächst α mit sinkender Energie (α ≫ 0)
keine Entwicklung nach α
mehr möglich
7. Anwendung
7.2. Pion-Nukleon Streuung
Prozess:
Berechnung der Streuamplitude
7. Anwendung
7.2. Pion-Nukleon Streuung
beitragende Diagramme:
Diagramm c) ist ein direktes Resultat der chiralen Symmetrie.
Berechnung der Streulänge mit geradem und ungeradem Isospin
a0+ (exp) ≃ −0.010(3)mπ−1
a0+ ((a ) + (b)) ≃ −1.4mπ−1
−
0
−1
a ((a ) + (b)) ≃ 0.078mπ
−
0
−1
a (exp) ≃ 0.091(2)mπ
Experiment
7. Anwendung
7.2. Pion-Nukleon Streuung
•
•
Einbeziehung des dritten Diagramms, Austausch eines Sigma
Pion-Sigma Kopplung aus der Lagrangedichte
für ungeraden Isospin kein Beitrag
für geraden Isospin heben sich Beiträge aus ((a)+(b)) und (c) genau
auf
+
0
−
0
a0+ (exp) ≃ −0.010(3)mπ−1
a ((a ) + (b) + (c)) = 0
−
−1
a ((a ) + (b) + (c)) ≃ 0.078mπ−1 a0 (exp) ≃ 0.091(2) mπ
8. Restauration
Bei hohen Temperaturen und Drücken wird die chirale Symmetrie
wieder hergestellt
Aufhebung der spontanen Symm.brechung
Aufgrund des symmetrischen Potentials
sind das Pion und das Sigma jetzt
entartet und haben die gleiche Masse.
Pion als Goldstone Boson wird Masse
nicht stark ändern.
Masse des Sigma wird mit steigender Temperatur/ Druck deutlich
abnehmen.
8. Restauration
8.1. Dichteabhängigkeit
Reaktionen in schwerer Kernmaterie
0
wegen
Detektion von (2π )
dabei ist
 Cρ 
Φ = σ σ 0 ∼ 1 −

ρ
0 

man erhält
ρC = 1, 24 ρ0
nahe der normalen Kerndichte
Experimente mit schwerer
Kernmaterie möglich
8. Restauration
8.1. Dichteabhängigkeit
Experimentelle Ergebnisse
Messung an Blei und Kohlenstoff ρ ( Pb) > ρ (C )
Massenverteilung über 4-Impuls
(
M σ ∼ Pπ1 + Pπ 2
2
)
2
deutlicher Anstieg bei
zu sehen
m2π
Ausschluss über folgenden Kanal
ρ → π 0π + / −
8. Restauration
8.2. Temperaturabhängigkeit
im chiralen Limit, d.h.
qq
mπ → 0 gegeben durch
T
Änderung des Kondensats bei hohen Temperaturen am größten
Gitterrechungen sagen kritische Temp., bei der Quarkkondensat
verschwindet, bei
voraus
Chirale Störungstheorie erwartet bei TC einen Abfall von nur 50%
8. Restauration
8.2. Temperaturabhängigkeit
Zusammenfassung
•
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•
Aufgrund des Studiums des Beta-Zerfalls Einführung eines Vektor- und
eines Axialvektorstroms über TransformationenΛV undΛ A
QCD masseloser Fermionen ist unter beiden Transformationen
invariant
chirale Symmetrie
Durch Vektortransformation wird Isospinrotation vermittelt.
Spontane Brechung der axialen Symmetrie Λ A
Pion als Goldstone Boson und Sigma als Vakuumserwartungswert
Lineares Sigma-Modell, Berechnung der Nukleonenmasse
Explizite Brechung aufgrund der Quarkmassen, Pion nicht masselos
Axialvektorsymmetrie ist „nur“ gute Näherung
Anwendung: chirale Störungstheorie für Lagrangedichten
Restauration bei hohen Temperaturen und Drücken, Pion und Sigma
sind entartet
Literatur
V. Koch: Aspects of Chiral Symmetry, nucl-th0112027
T. Hatsuda: Precursor of Chiral Symmetry Restoration in the Nuclear
Medium, PRL82, 1999
J. G Messchendorp: In-Medium Modifications of the Interaction in
Photon-Induced Reactions, PRL89, 2002
http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite