Lösung 4 - Verbundstudium

Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 4
Aufgabe 4.1
Es ist die kinetische Energie Ekin des Zuges zu berechnen, die beim Anfahren wieder
aufgebracht werden muss.
Die Masse des gesamten Zuges ist: m = 500000 kg. Seine Geschwindigkeit v beträgt:
v = 144 km/h = 40 m/s.
Für die kinetische Energie erhält man:
E kin =
m 2
v = 4 ⋅ 10 8 J
2
Wegen 1kWh = 1000 W ⋅ 3600s = 3,6MJ folgt:
Ekin = 111,11 kWh
Mit 0,15 €/kWh beträgt der Selbstkostenpreis K = 16,67 €.
Aufgabe 4.2
Lösungshinweis: Die Bewegung erfolgt beschleunigt, da die Hangabtriebskraft FT größer als
die Gleitreibungskraft FGR ist. Das Kind soll dabei vereinfachend als Massenpunkt angesehen
werden. Der Luftwiderstand sei vollständig vernachlässigbar.
m FH
FT
ϕ
ϕF
N
FS
r
r
r
Auf der schiefen Ebene ergibt sich für die wirkenden Kräfte: FS = FN + FT
r
r
FN ist dabei die Normalkraft, sie ist die Komponente der Schwerkraft FS , die senkrecht auf
die jeweilige Unterlage wirkt. FS = mg ist der Betrag der Schwerkraft. Im Folgenden werden
nur die Beträge der Reibungskräfte betrachtet. Für die Festkörperreibung gilt das empirisch
gefundene Coulombsche Reibungsgesetz: Die Reibungskraft ist proportional zur
Normalkraft. Für die Gleitreibungskraft FGR macht man daher in Übereinstimmung mit der
Erfahrung den Ansatz
LOES-PU-I-Ü4-1
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 4
FGR = μ G FN .
Für die Kraftkomponenten FN und FT gilt betragsmäßig:
FN = FS cos ϕ
FT = FS sin ϕ.
FS = mg
a)
FGR = μ G FN =
b)
WR = FGR ⋅ s
sin ϕ =
s=
h
s
6m
h
= 12 m
=
0,5
sin ϕ
WR = FGR ⋅ s
c)
μ G Fs cos ϕ = μ G mg cos ϕ = 0,3 ⋅ 20 kg ⋅ 9,81 m / s 2 ⋅ 0,866 = 50,97 N
= 50,97 N ⋅12 m = 611,64 J
F = m ⋅ a = FT − FG
m ⋅ a = mg sin ϕ − μ G mg cos ϕ
a = g ⋅ sin ϕ − μ G g cos ϕ = (9,81⋅ 0,5 − 0,3 ⋅ 9,81⋅ 0,866)m / s 2 = 2,356 m / s 2
Wegen s = 1 / 2 ⋅ at 2 folgt für die Zeitdauer t der Rutschbewegung:
2s
t=
= 3,19 s
a
Die Endgeschwindigkeit vE ergibt sich zu: v E = at = 2,356 m / s 2 ⋅ 3,19 s = 7,52 m / s
Lösungsalternative zu c)
Energiesatz liefert:
E kin =
m 2
v = E pot − WR
2 E
m 2
v = mgh − WR
2 E
vE =
2
2
(mgh − WR ) =
(1177,2 − 611,6) m / s = 7,52 m / s
m
20
LOES-PU-I-Ü4-2
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 4
Aufgabe 4.3
Lösung:
a)
Frequenz f: Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde
f =
2400U 2400
=
= 40 s −1
min
60 s
Winkelgeschwindigkeit ω : ω = 2πf = 251,33 s −1
Bahngeschwindigkeit der Sägezähne v:
v = ωr = 0,3 m ⋅ 251,33 s −1 = 75,4 m / s .
b)
Masse m des Holzspanes:
m = ρV
m = 500 kg / m 3 ⋅ 0,004m ⋅ 0,004m ⋅ 0,005m = 4 ⋅ 10 −5 kg
Schwerkraft FS = mg = 3,92 10-4 N
Notwendige Zentripetalkraft FZ = FHR :
FZ = FHR = mω 2 r = 0,76 N .
c)
FHR
= 1932
FS
Dies entspricht dem 1939-fachen der Schwerkraft, die auf den Span wirkt.
d)
Lösungsalternative 1:
Wenn sich der Span von der Säge löst, besitzt er eine Anfangsgeschwindigkeit, die der
Bahngeschwindigkeit v 0 (siehe Teil a)) der Sägezähne entspricht. Die maximale Höhe
h ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz
Epot = Ekin:
mgh =
m 2
v0
2
v 02
= 289,8 m .
h=
2g
LOES-PU-I-Ü4-3
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 4
Lösungsalternative 2:
Gleichmäßig abgebremste Bewegung: a = - g
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: v( t ) = −gt + v 0
Steigdauer: t S
Geschwindigkeit am Umkehrpunkt zum Zeitpunkt t S : v( t S ) = 0
tS =
v0
g
1
Weg-Zeit-Gesetz: s( t ) = − gt 2 + v 0 t + s 0 ( s 0 = 0 )
2
Steighöhe h: h = s( t S ) =
2
1 v0
= 289,8 m
2 g
Aufgabe 4.4
Das Hubble-Space-Telescope ist ein Satellit, der antriebslos die Erde mit konstanter
Bahngeschwindigkeit in 600 km Höhe umkreist.
a) Welche Hubarbeit ist erforderlich um die Nutzlast des Satelliten von m = 11 t auf die Höhe
von 600 km zu bringen?
b) Berechnen Sie die kinetische Energie des die Erde umkreisenden Satelliten!
Daten:
G = 6,67 ⋅ 10 −11 Nm 2 / kg 2 (Gravitationskonstante)
R E = 6,37 ⋅10 6 m (Erdradius)
M E = 5,97 ⋅10 24 kg (Erdmasse)
a)
r
r
Für die Hubarbeit W, die eine Gegenkraft F = −FG zur Newtonschen Gravitationskraft
beim Anheben einer Masse m bis zu einer Höhe h = 600 km über der Erdoberfläche
verrichtet, gilt:
R E +h
r r R E + h mM E
W = ∫ F ⋅ d s = ∫ G 2 dr
r
RE
RE
LOES-PU-I-Ü4-4
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W = GmM E
R E +h
∫
RE
1
r
2
dr = −GmM E
mM E h
RE
1 R E +h
|R = G
= mgh ⋅
r E
R E (R E + h )
RE + h
W = 5,935 1010 J
Würde die Hubarbeit unter Annahme einer konstanten Erdbeschleunigung g
berechnet, so ergäbe sich ein zu großer Wert von W = mgh = 6,475 1010 J.
b)
Der Satellit bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius R = RE + h um den
Erdmittelpunkt. Als Zentripetalkraft wirkt die Gravitationskraft, die gemäß actio =
reactio betragsmäßig gleich der Zentrifugalkraft ist:
FG = FF
G
mM E
G
mM E
R2
R
E kin =
mv 2
=
.
R
= mv 2
1
mv 2
2
E kin = G
mM E
2R
= 3,14 ⋅ 1011 J
Ekin = 3,14 1011 J.
Für die Bahngeschwindigkeit v auf der Kreisbahn gilt
v=
2E kin
= 7558,5 m / s ≈ 7,5 km / s ≈ 27000 km / h
m
Für die Umlaufzeit T folgt
v = ωR =
T=
2π
R.
T
2πR
= 5794 s
v
T = 5794 s = 96 min 34 s.
LOES-PU-I-Ü4-5
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 4
Aufgabe 4.5
Die Drehbewegung ausgedehnter Körper wird durch das Massenträgheitsmoment J bestimmt.
Für die Rotationsbewegung eines Massenpunktes der Masse m auf einer Kreisbahn mit dem
Radius r und der Bahngeschwindigkeit v gilt:
v=r
Δϕ
=r ω
Δt
Hierbei stellt ω die Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung dar.
Für die kinetische Energie der Rotationsbewegung gilt:
E=
m 2 1 2 2 1 2
v = mr ω = Jω
2
2
2
Es wird die Abkürzung J = mr2 eingeführt. Die Größe J wird Trägheitsmoment genannt.
Wird jetzt statt der Rotation eines Massenpunktes die Rotation einer massiven Scheibe vom
Radius R, der Dicke s und der Gesamtmasse M betrachtet, so läßt sich deren
Trägheitsmoment bei Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit ω folgendermaßen berechnen:
R
dr
r
s
Die Gesamtmasse M der Scheibe kann in viele Massenelemente in Form von konzentrischen
Kreisringen Δmi zerlegt werden, die jeweils den Abstand ri vom Drehpunkt haben. Die
Bahngeschwindigkeit vi der i-ten Kreisringes mit der Masse Δmi ist dann:
vi = ri ω
Die kinetische Energie des Massenelementes i ergibt sich zu:
Ei = 1/2 Δmi vi2 = 1/2 Δmi ri2 ω2
Die gesamte kinetische Energie der rotierenden Scheibe ist dann:
E = ∑ Ei =
i
1
Δm i ri 2 ω 2
∑
2 i
LOES-PU-I-Ü4-6
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 4
Der Ausdruck
∑ Δm i ri
J = lim
Δmi − >0 i
2
= ∫ r 2 dm
heißt Massenträgheitsmoment oder kurz Trägheitsmoment.
Für das Trägheitsmoment J einer Scheibe der Dicke s erhält man durch Auswertung des
m
der Scheibe
Integrals J = ∫ r2 dm. Zur weiteren Berechnung wird die Dichte ρ =
V
eingeführt. Dabei ist m die Gesamtmasse und V das Volumen der rotierenden Scheibe. Das
Volumen V der Scheibe ergibt sich dabei zu: V = πR 2 s .
Für das Massenelement dm eines Kreisringes mit dem Radius r und der Breite dr gilt:
dm = ρdV = ρ ⋅ 2πrdr ⋅ s
R
∫
R
∫
R
∫
J = r dm = r ρ2πsrdr = 2πsρ r 3 dr = 2πsρ
2
0
J=
0
2
0
R4
R2
R2
= πR 2 sρ
=M
4
2
2
1
MR 2
2
LOES-PU-I-Ü4-7