A bitur 2012

Abitur 2012
Florian Sure
Physik Zusammenfassung
Auch für eine Naturwissenschaft gibt es noch eine Zusammenfassung
für das Abitur – für die Physik. Inhalt der Zusammenfassung sind
natürlich die 6 Lehrplaneinheiten die wir in den letzten beiden Jahren
Oberstufenphysik behandelt haben: Elektrodynamik, Magnetostatik,
Induktion, Mechanische Schwingungen, Optik und Quantenphysik.
Euch allen viel Erfolg beim Lernen und ein möglichst gutes Abitur!
FAG – ABI – 2012 - Schulhomepage
fsure.bplaced.net/fagabi12
[email protected]
Inhaltsverzeichnis
Einige Punkte passen nicht ganz zu ihrem Überthema ich hab sie trotzdem dort
stehen, da ich die Reihenfolge der Wiederholungsblätter nicht durcheinander
werfen wollte.
I. Elektrodynamik
1.
Wiederholung der Grundlagen........................................................................................................ 5
1.1.
Ladung, Stromstärke, Spannung ............................................................................................. 5
1.2.
2.
Ohmsches Gesetz und Widerstand ..................................................................................... 6
Das elektrische Feld ......................................................................................................................... 6
2.1.
Elektrische Feldstärke.............................................................................................................. 6
2.2.
Geschwindigkeit von Elektronen ............................................................................................. 7
2.3.
Der Kondensator ..................................................................................................................... 7
2.4.
Energie des elektrischen Feldes .............................................................................................. 9
2.4.1.
Energiedichte................................................................................................................... 9
II. Magnetostatik
1.
Wiederholung der Grundlagen...................................................................................................... 10
2.
Das Magnetische Feld.................................................................................................................... 10
2.1.
Magnetfelder in einer stromdurchflossenen Spule .............................................................. 10
2.2.
Die Lorenzkraft ...................................................................................................................... 11
2.3.
Magnetische Flussdichte ....................................................................................................... 11
2.3.1.
Auf einen Leiter ............................................................................................................. 11
2.3.2.
In einer Spule ................................................................................................................. 12
2.4.
Lorenzkraft auf bewegte Ladung ........................................................................................... 13
2.5.
Millikanversuch und Hall-Effekt ............................................................................................ 14
2.5.1.
Der Millikanversuch ....................................................................................................... 14
2.5.2.
Der Hall-Effekt ............................................................................................................... 14
2.6.
Energie an Glühkathode oder Braunscher Röhre.................................................................. 15
2.7.
Bewegungen im elektrischen Feld......................................................................................... 15
2.8.
Wiensches Filter .................................................................................................................... 16
Seite 2
III. Induktion
1.
Induktion auf einen Leiter ............................................................................................................. 17
2.
In einer Spule ................................................................................................................................. 17
2.1.
Lenzsche Regel ...................................................................................................................... 18
2.2.
Selbstinduktion in einer Spule ............................................................................................... 18
2.2.1.
Beim Einschalten ........................................................................................................... 19
2.2.2.
Beim Ausschalten .......................................................................................................... 19
2.2.3.
Berechnung ................................................................................................................... 19
2.3.
Differenzialgleichung der Spule............................................................................................. 20
3.
Energie des magnetischen Feldes ................................................................................................. 21
4.
Sinusförmige Wechselspannungen ............................................................................................... 21
4.1.
Sinusförmige Wechselspannungen im ohmschen Widerstand ............................................. 21
4.2.
Effektivwerte eines Wechselstroms ...................................................................................... 21
4.3.
Sinusförmige Wechselspannung in einer Spule .................................................................... 22
4.4.
Sinusförmige Wechselspannung an einem Kondensator ...................................................... 22
4.5.
Reihenschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator – Siebkette ............................... 23
4.5.1.
Resonanzfall der Siebkette ............................................................................................ 24
4.6.
Parallelschaltung von Kondensator und Spule ...................................................................... 24
4.7.
Der Schwingkreis ................................................................................................................... 25
4.8.
Transformator ....................................................................................................................... 26
IV. Mechanische Schwingungen
1.
Federpendel .................................................................................................................................. 27
1.1.
Differentialgleichung ............................................................................................................. 27
2.
Fadenpendel .................................................................................................................................. 28
3.
Längs- vs. Querwellen.................................................................................................................... 29
3.1.
Lose und feste Enden ............................................................................................................ 29
3.2.
Sinusförmige Störung ............................................................................................................ 29
3.3.
Stehende Wellen ................................................................................................................... 30
3.4.
Dauerhaft stehende Wellen .................................................................................................. 31
V. Optik
1.
Zweidimensionale Wellenfelder.................................................................................................... 32
1.1.
Reflexion ................................................................................................................................ 32
1.2.
Brechung................................................................................................................................ 33
Seite 3
2.
Messung der Lichtgeschwindigkeit ............................................................................................... 33
3.
Beugung ......................................................................................................................................... 34
3.1.
Beugung am Einzelspalt......................................................................................................... 34
3.2.
Beugung am Doppelspalt ...................................................................................................... 35
3.3.
Gitter ..................................................................................................................................... 36
3.3.1.
Gedrehte Gitter ............................................................................................................. 36
3.3.2.
Überlagerung von Gitter- und Spaltinterferenz ............................................................ 37
VI. Quantenphysik
1.
Hertzscher Dipol ............................................................................................................................ 38
2.
Maxwell ......................................................................................................................................... 38
3.
Licht als elektromagnetische Welle............................................................................................... 39
4.
Doppler-Effekt ............................................................................................................................... 39
5.
Braggsche Reflexion ...................................................................................................................... 40
5.1.
Debye-Scherrer-Methode ..................................................................................................... 41
6.
Photoeffekt .................................................................................................................................... 41
7.
Materiewellen ............................................................................................................................... 42
7.1.
Quantenradierer.................................................................................................................... 42
8.
Weiteres zu Wahrscheinlichkeitswellen........................................................................................ 43
9.
Unschärferelation .......................................................................................................................... 43
VII. Schlusswort des Autors
Seite 4
I. Elektrodynamik
1. Wiederholung der Grundlagen
Strom wird generell von Metallen geleitet. Dies
geschieht, weil sich in den Metallen freie
Elektronen, sogenannte Leitungselektronen
befinden. Diese Elektronen können sich frei und
unabhängig von den positiven Rümpfen bewegen.
Darüber hinaus können auch Ionen den Strom
leiten die sich beispielsweise in wässriger Lösung
befinden.
Ist an ein solches Metall keine Stromquelle angeschlossen bewegen sich die Elektronen frei und
unkoordiniert durch den Leiter, nichts besonderes also.
Schließen wir aber nun eine Stromquelle an, so bewegen sich die Elektronen alle zum Plus-Pol des
Leiters während vom Minus-Pol immer wieder Elektronen nachgeliefert werden. So entsteht ein
Stromfluss, der halbwegs einheitlich in eine Richtung geht.
1.1.Ladung, Stromstärke, Spannung
Wenn man Strom durch ein Wasserbad leitet kann das Wasser zu Knallgas reagieren und dabei fällt
auf, dass desto mehr Elektronen durch das Wasser fließen wir umso mehr Knallgas erhalten. Diese
Menge an Elektronen wird als Ladung bezeichnet und mit bezeichnet. Die Ladung hat die Einheit
Coulomb, wobei ein Coulomb die Ladungsmenge ist, die 0,19 Knallgas produziert ist.
1 0,19
Die Stromstärke ist nun die Menge an Ladung, die in einer bestimmten Zeit durch einen
Leiterquerschnitt fließt. Die Stromstärke hat die Einheit Ampere.
1
1
1
An Batterien oder anderen Spannungsquellen wird Ladung vom Plus- zum Minuspol gebracht und
dabei wird die Arbeit verrichtet. Desto mehr Arbeit verrichtet wird und desto weniger Ladung
transportiert wird, desto größer ist die „Kraft“ der Batterie und die heißt Spannung und wird in
Volt gemessen.
1
1
1
Des Weiteren lässt sich auch die Leistung ! und Arbeit über verschiedene Formeln berechnen:
" " #! " #$ä& " !
" #! " #$ä&
Seite 5
1
! "1"1 1
1
1
1
"1 1
1.2. Ohmsches Gesetz und Widerstand
Neben den guten Leitern gibt es auch Stoffe, die den Stoff weniger gut leiten können aber dennoch
ein wenig Strom durchlassen. Solche Stoffe funktionieren als Widerstände, da sie es dem Strom
schwerer machen zu fließen.
An einem solchen Widerstand ist die Stromstärke proportional zur Spannung und der Quotient aus
beiden heißt elektrischer Widerstand ' und wird in Ohm gemessen:
'
#!
#$ä&
' 1
1(
1
2. Das elektrische Feld
Zwischen verschiedenen elektrischen Ladungen wirkt ein
elektrisches Feld. Dieses Feld zieht positive Teilchen zum
Minuspol und umgekehrt. Das elektrische Feld wird für
gewöhnlich durch Feldlinien dargestellt. Diese Linien in Form
von Pfeilen geben den Weg einer positiven Probeladung an
und sie enden immer senkrecht auf den Ladungsträgern.
Die Kraft die auf die Probeladungen wirkt ist immer
Tangential zur Feldlinie und auf der Grafik hier rot
eingezeichnet.
2.1. Elektrische Feldstärke
Gibt man eine geladene Kugel (hier positiv geladen)
die an einem Faden befestigt ist in ein elektrisches
Feld so wird die Kugel ausgelenkt. Desto stärker das
elektrische Feld ist, desto mehr wird die Kugel
ausgelenkt, also lässt sich darüber die Stärke des
Feldes berechnen.
Beim Auslenken entstehen zwei Dreiecke. Eins mit
den Seiten ), * und und dem Winkel + zwischen h
und l und ein Dreieck mit ---.
, , -----.
/ und -------.
/ .
* und lassen sich berechnen, ebenso wie der Winkel
und damit gilt tan3+4 . Wenn wir dies nun für sehr kleine Winkel betrachten (die hier auftreten)
können wir eine Näherung annehmen nämlich dass ) 5 * ist. Damit ergibt sich tan3+4 5 .
Dieser Winkel kommt nun auch im Kräfteparallelogramm vor, sodass weiterhin gilt: tan3+4 damit können wir die beiden Formeln nun auch Gleichsetzen:
/
5
*
,
/ 5 " ,
*
Das wäre die elektrische Feldkraft gewesen. Diese Feldkraft ist proportional zur Ladung des
Kügelchens und damit erhalten wir über den Quotienten eine neue Variable, die elektrische
Feldstärke 6. Diese ist konstant für ein bestimmtes Feld:
Seite 6
೐೗
und
6
/ *&) /*&8
7
9$*
: 1;
;
;
;
=
1
1
1
<
1
;
>
Betrachten wir einen elektrischen Kondensator, so ist an ihn eine
elektrische Spannung angeschlossen und darüber hinaus haben
die beiden Platten des Kondensators einen Abstand , zwischen
dem das elektrische Feld ---.
6 entsteht.
Desto stärker die Spannung wird, desto größer wird auch die
Feldstärke und wenn man die beiden Platten näher aneinander
bringt steigt die Feldstärke ebenso. Es gilt also:
6
#!
9*
6 1
2.2.Geschwindigkeit von Elektronen
Generell gilt für kinetische Energie aus der Mittelstufe folgende Formel: " " ? und oben
haben wir gelernt, dass elektrische Arbeit sich wie folgt ergibt: " 7. Wir müssen nun also
beide Formeln kombinieren um auf die Geschwindigkeit ? zu schließen:
1
" " ? " 7
2
?
A
2""7
2 " #! " 9$*
A
B
2.3.Der Kondensator
Kondensatoren sind Apparate die (meist) aus zwei (gleich großen) Platten bestehen, zwischen denen
sich ein elektrisches Feld aufbauen kann. Dabei werden über eine Stromquelle die beiden Platten
unterschiedlich jeweils mit der Ladung aufgeladen.
Hier wird zunächst eine neue Variable definiert. Die Flächenladungsdichte C zeigt wie viel Ladung
sich auf einem Quadratmeter befindet. Sie ergibt sich aus der Gesamtladung und der Fläche einer
Platte:
C
/*ä) 9*
C 1
1 1
Ändert man die Spannung die das Feld erzeugt oder den Plattenabstand so ändert sich über 6 die elektrische Feldstärke, allerdings ändert sich die Flächenladungsdichte auch proportional zum EFeld. Auch hier ist der Quotient aus beiden konstant und stellt in diesem Fall eine Standardgröße dar,
die Elektrische Feldkonstanz D :
D C /*ä)*)
8,85 " 10
38ü 84
6 *&) /*ä&
Setzt man in die gerade erhaltene Formel nun die beiden Formeln für das elektrische Feld und die
Flächenladungsdichte ein, so erhalten wir folgende Formel die wir zunächst einmal nach der Ladung
auflösen:
C D " 6
D "
Seite 7
D "
"
Betrachtet man den Teil der Formel mit D " so erkennt man, dass hier keine Variable dabei ist die
sich so einfach an einem Kondensator ändern lässt, von daher ist dieser Teil charakteristisch für einen
Kondensator und wird als Kapazität des Kondensators bezeichnet. Sie wird in der Einheit Farad
gemessen. Für die Kapazität gilt:
D "
/*ä) 9*
*&. /*&$I "
9*
1
1/
#!
An den Werten des Kondensators ändert sich
zunächst einmal nichts, es sei denn man schiebt ein
sogenanntes Dielektrikum zwischen die
Kondensatorplatten.
In einem Dielektrikum sind positive und negative
Teilchen normalerweise unabhängig voneinander
wirr im Stoff angeordnet, wirkt aber auf sie ein
elektrisches Feld, so ordnen sich die Teilchen so an,
dass sie das Feld weiterleiten können. Des
Weiteren baut sich dann auch im inneren des
Dielektrikums ein Gegenfeld auf, dass das
„Originalfeld“ abschwächt.
Haben wir beispielsweise die Spannungsquelle noch angeschlossen, so bleibt konstant und deshalb
muss die Ladung auf den Platten wachsen um dies auszugleichen. Haben wir die Spannungsquelle
abgetrennt, so bleibt die Ladung konstant und daraufhin muss zum Ausgleich die Spannung sinken.
Die Zahl die die Stärke eines Dielektrikums angibt ist D und ist für ein bestimmtes Dielektrikum
charakteristisch und ist ohne Einheit. Sie beträgt bei Luft und im Vakuum näherungsweise D 1.
Berechnet wird sie durch den Quotienten aus Außenfeld (Feld an Luft) und Innenfeld (Feld im
Dielektrikum):
D 6
6
D 1 /
1
1 /
Diese Dielektrikumszahl wird nun in die Formeln eingebaut, die wir erhalten haben (diese Formeln
gelten jetzt nur, wenn kein Luftschlitz mehr zwischen Kondensatorplatten und Dielektrikum
befindet!):
C D " D " 6
D " D "
Haben wir dagegen Luftschlitze (wie in der Skizze oben) so gilt für die Spannungen folgende Formel
und das lässt sich mit der Formel 6 dann weiter umformen:
K K K L 6 " K 6 " K 6 " K L
Hat man hier nun den einen oder anderen Messwert, so lässt sich der Rest jeweils berechnen.
Seite 8
2.4.Energie des elektrischen Feldes
Bringt man zwei Platten so nah aneinander dass sie einen Abstand von nahezu 0 haben. Zieht man
jetzt eine der beiden Platten langsam von der anderen weg, so wird sie (als wäre sie eine
Probeladung) wieder zur anderen Platte mit der Anziehungskraft / " 6 " der anderen Platte.
Um diese Kraft zu überwinden muss eben die Arbeit des Feldes erbracht werden um die
Anziehungskraft zu überwinden und zwar entlang des Weges , da " /. Die Strecke ist hierbei
der Abstand zwischen der Ausgangsposition und der zweiten Position. Damit gilt:
3 M 4 " /
Wenn man nun bedenkt, dass die Platten zu Beginn eigentlich keinen Abstand haben, also 0 ist
gilt weiter durch einsetzen verschiedenster Formeln:
1
1 1
1
" / " " 6 " " " " " " " " N!Iä " #!
2
2 2
2
2.4.1. Energiedichte
Die Energiedichte wird eher selten benötigt und gibt die Energie des Feldes bezogen auf einen
Kubikmeter an. Für sie gilt:
O 6 1
1
" D " D " 6 " *&. /*&$." P*&&I." /*ä& $* 2
2
Seite 9
II. Magnetostatik
1. Wiederholung der Grundlagen
Magnetismus basiert generell (welch Überraschung)
auf Magneten. Diese Magnete bestehen immer aus
einem Nord- und einem Südpol, wobei sich gleiche
Pole abstoßen und verschiedene anziehen.
Zusätzlich zu den Magneten gibt es noch Stoffe wie
Eisen, die (an sich) nicht magnetisch sind aber
magnetisch werden, wenn man mehrmals mit einem
der beiden Pole in die gleiche Richtung über einen
Nagel streicht. Dies funktioniert weil sich im Eisen
Elementarmagnete befinden die (wenn kein Magnet
in der Nähe ist) komplett ungeordnet in verschiedene
Richtungen zeigen (obere Abbildung). Streicht man
mit einem Nordpol beispielsweise von links nach
rechts werden alle diese Elementarmagnete in eine
Richtung ausgerichtet und so ist das Eisen jetzt auch magnetisch. Das Eisen verliert allerdings seine
magnetische Wirkung wieder, wenn man das Eisenstück beispielsweise gegen eine Wand wirft, da
dabei die Magnete wieder durcheinander gebracht werden.
2. Das Magnetische Feld
Um Magnete entstehen Magnetische Felder die durch
magnetische Feldlinien dargestellt werden. Diese
Feldlinien geben den Weg eines einzelnen Nordpols dar
(gibt es in der Realität nicht). Die Kraft die hier wirkt ist,
genau wie beim elektrischen Feld, immer tangential zur
Feldlinie und ist umso größer, je enger die Feldlinien
aneinander liegen.
Auf der Grafik sind die Feldlinien die schwarzen Pfeile
und die roten Pfeile entsprechen den wirkenden
Kräften (hier ist die Stärke nicht berücksichtigt!)
2.1.Magnetfelder in einer stromdurchflossenen Spule
Betrachtet man einen Draht durch den Strom fließt, so
entsteht um ihn ein kreisförmiges Magnetfeld. In welche
Richtung die Magnetfeldlinien wirken hängt davon ab in
welche Richtung die Elektronen fließen. Als Hilfestellung gilt
die „Linke-Faust-Regel“ nach der man den Daumen in
Elektronenflussrichtung, so zeigen die restlichen Finger die
Richtung der Kreisbahnen an.
Seite 10
An einer Spule passiert genau das Gleiche nur in etlicher
Ausführung. Jede Windung stellt einen einzelnen Draht da und
damit wirkt die Spule von außen betrachtet wie ein Stabmagnet
mit Nord und Südpol und im inneren (was wesentlich
interessanter ist) bildet sich ein Feld mit nahezu parallelen
Feldlinien. Ein solches Feld wird als homogen bezeichnet und
hat nahezu überall die gleiche Stärke (Feldlinien haben den
gleichen Abstand)
2.2.Die Lorenzkraft
Bis jetzt haben wir nur Elektronen in einem Leiter betrachtet und
das Magnetfeld das dabei entsteht. Nun schauen wir umgekehrt
was passiert, wenn wir Elektronen sich durch ein Magnetfeld
bewegen lassen. Dazu hängt man einen Draht an einem Pendel in
einen Hufeisenmagnet und lässt Strom durch den Draht fließen.
Nun beobachtet man, dass der Draht ausgelenkt wird (in der Skizze
nach rechts). Von daher scheint eine Kraft auf die Elektronen zu
wirken, die Lorenzkraft. Sie wirkt immer senkrecht zu Magnetfeld
und Bewegungsrichtung und kann mit der Dreifingerregel der
linken Hand bestimmt werden (sollte bekannt sein).
Zur Info: Die Lorenzkraft wirkt auch auf positive Teilchen nur dann in die Gegenrichtung wie bei
negativen Teilchen!
2.3.Magnetische Flussdichte
2.3.1. Auf einen Leiter
Nun geht es wieder zurück zu den Formeln. Betrachten wir noch
einmal den pendelnden Draht von gerade eben im Hufeisenmagnet,
dann können wir wie vorher schon zwei Dreiecke betrachten. Einmal
haben wir das Dreieck mit den Seiten s, l und h und dem Winkel + für
den gilt: tan3+4 . Zum zweiten haben wir das Dreieck mit der
Lorenzkraft (gelb) der resultierenden Kraft (grün) und der
Gewichtskraft des Stabes sowie dem Winkel + für den hier gilt:
tan3+4 ಽ
.
Wenn wir nun (wie oben schon) kleine Winkel betrachten, dann
erkennen wir, dass das rot markierte Stück immer kleiner wird und
nahezu vernachlässigt kann, sodass gilt: ) 5 * und damit: tan3+4 .
Nun können wir beide Formeln gleichsetzen und nach der Lorenzkraft
auflösen. Dann erhalten wir:
/ ,
*
/ ,
"
*
Seite 11
Hier erkennt man, dass die Lorenzkraft proportional zur Auslenkung ist, also von ihr abhängt. Nun
kann man noch weitere Sachen beobachten. Lasse ich beispielswiese Strom der doppelten
Stromstärke durch den Leiter fließen, so erhalte ich eine doppelte Auslenkung und damit eine
doppelte Kraft. Die Stromstärke ist also auch proportional zur Lorenzkraft: / ~.
Das gleiche erkennt man, wenn man den Leiter doppelt so lang macht wie vorher. Denn dann kann
auch auf doppelt so viele Elektronen die Lorenzkraft wirken und wir bekommen die doppelte
Auslenkung (obwohl wir die Stromstärke konstant gelassen haben). Die Leiterlänge ist damit
scheinbar auch proportional zur Lorenzkraft: / ~
Aus den beiden Bedingungen ergibt sich dann: / ~ " und damit muss der Quotient aus den
beiden eine Konstante sein. Diese konstante heißt magnetische Flussdichte R und wird in Tesla
gemessen. Sie gibt die Stärke des Magnetfeldes an. Für sie gilt:
R
/
"
R 1;
;
1
1S
1"1
Wichtig bei dieser Formel ist, dass nur das Magnetfeld senkrecht zur Kraft und senkrecht zur
Elektronenflussrichtung berechnet wird (wie bei der Lorenzkraft). Um das vollständige Magnetfeld zu
berechnen muss vorher oder nachher noch Kräftezerlegung vorgenommen werden.
2.3.2. In einer Spule
In einer Spule gilt eine andere Formel für das Magnetfeld. Bei Versuchen mit Spulen erkennt man,
wovon das Magnetfeld hier wohl abhängt. Verdoppelt man beispielsweise nur die Stromstärke durch
die Spule, so verdoppelt sich auch die Stärke des Magnetfeldes. Das gleiche passiert mit der
Windungszahl. Zieht man allerdings eine Spule in die Länge, so sinkt die Stärke des Magnetfeldes.
Zusammen gilt: R~ "
Und wenn wir wissen das zwei Faktoren proportional sind, dann muss (wie immer) deren Quotient
konstant sein. In diesem Fall erhalten wir mal wieder eine Naturkonstante. Die magnetische
Feldkonstante T :
T R
B. /*)
Y>
<, UVW " <X
I)*
Z
"
* 6$ " ä #!*
Durch Umformungen erhalten wir dann natürlich auch eine weitere Formel für die magnetische
Flussdichte:
R T " "
*
Und auch diese Formel wird noch komplizierter. Man kann in das Innere der Spule noch einen
Eisenkern einfügen der das Magnetfeld auch verstärken oder abschwächen kann. Dabei verändern
bestimmte Stoffe ein Magnetfeld immer einen bestimmten Faktor. Dieser Faktor ist
materialabhängig und wird als T bezeichnet und ist ohne Einheit. Er wird einfach in die Formel mit
eingebaut (bei Luft und Vakuum beträgt er übrigens wieder T 1):
R T " T " "
I)*
B. /*&$." B&I)* " 6."
*
ä #!*
Seite 12
2.4.Lorenzkraft auf bewegte Ladung
Über eine lange Herleitung (die wir einmal als Blatt ausgeteilt bekommen haben und die so
kompliziert ist, dass sie wohl nicht im Abitur dran kommt) erhält man eine Formel mit der sich
berechnen lässt, wie stark die Lorenzkraft auf ein Teilchen der Ladungsmenge 7, welches sich im
Magnetfeld der Stärke R mit der dazu senkrechten Geschwindigkeit ? bewegt (Achtung: evtl.
Vektorzerlegung nötig!):
/ 7 " R " ? 9$* " B. /*) " ,)[&
In dieser Skizze wurden nun Elektronen senkrecht in ein
Feld eingeschossen. Sie haben eine Geschwindigkeit in
Richtung der blauen Pfeile, laufen durch ein Magnetfeld
welches in das Blatt hinein geht (schwarz) und werden
durch die Lorenzkraft (orange) abgelenkt, sodass sie eine
(hier: grüne) Kreisbahn fliegen.
In Kreisbewegungen wirkt generell eine Kraft zum
Kreismittelpunkt und diese Zentripetalkraft ist hier die
Lorenzraft. Es gilt also:
!*&8 $I8
" ?
7"R"?
7
?
"R
Der Quotient nach dem gerade aufgelöst wurde heißt spezifische Ladung und ist für jedes Teilchen
anders. Haben wir also beispielsweise Ladung oder Masse des Teilchens so könnten wir das jeweils
fehlende berechnen!
Interessiert uns eher Umlaufzeit oder Radius der Kreisbahn können wir das ganze natürlich auch
anders auflösen, wie hier:
"?
7"R
?
7""R
S
#&
2\
2\
2\
7""R 7"R
,)[&
?
Natürlich werden Elektronen nicht immer nur senkrecht zum Feld
eingeschossen. Werden sie schräg eingeschossen muss die
Geschwindigkeit in zwei Vektoren zerlegt werden. Einen senkrecht zum
Feld, der die oben beschriebene Kreisbewegung auslöst und einen
zweiten, der das Elektron gleichförmig in eine Richtung bewegt.
Kombinieren wir beide Bewegungen, so erhalten wir eine
Spiralbewegung im Magnetfeld.
Vektoriell zerlegen könnte man dies beispielsweise über den türkis
eingezeichneten Winkel + unter dem die Geschwindigkeit gesehen
wird. Dann könnte man über sin3+4 ೔೙
und cos3+4 beiden einzelnen Geschwindigkeiten erhalten.
Seite 13
ೞ೐೙ೖೝ
die
2.5.Millikanversuch und Hall-Effekt
2.5.1. Der Millikanversuch
Beim Millikanversuch werden möglichst kleine Öltröpfchen in ein
Kondensatorfeld geschickt an dem man eine bestimmte Spannung
einstellt. Die Tröpfchen im Kondensatorfeld werden nun von ihrer
Gewichtskraft nach unten und von der elektrischen Kraft nach
oben gezogen. Nun variiert man die Spannung so, dass die
Teilchen genau in der Schwebe stehen. Jetzt muss gelten:
/ ,
7 " 6 ,
7 , , ,"
6 Damit wäre uns allerdings noch nicht viel geholfen. Denn um , " zu bestimmen bräuchten wir
die Masse der Teilchen und die haben wir nicht. Von daher half sich Millikan mit einem Trick. Er
stellte das Feld ab und beobachtete, wie schnell die Tropfen fallen und aus der Sinkgeschwindigkeit
konnte er , bestimmen (Vorgang auf S. 28 im Buch beschrieben).
Durch einsetzen der Werte konnte er schlussendlich die Ladungen der Tropfen messen und er stellte
fest, dass alle Tropfen ein vielfaches der Ladung 1,6 " 10 besitzen. Also muss als Konsequenz die
Ladung von Elektronen (auch Elementarladung genannt) eben diese Zahl sein.
Über
7 1,6 " 10 1
welches wir oben bestimmt haben könnte man nun auch die Masse eines Elektrons
bestimmen!
2.5.2. Der Hall-Effekt
Der Halleffekt bietet eine Möglichkeit die Stärke eines
Magnetfeldes zu berechnen. Dazu werden zunächst freie
Elektronen in ein Magnetfeld geschossen und von der
Lorenzkraft (orange) zum unteren Ende gebracht. Wir
erhalten dort Elektronenüberschuss und am
gegenüberliegenden Ende dazu im Vergleich
Elektronenmangel. Es baut sich also eine Spannung zwischen
den beiden Enden auf – die Hallspannung. Natürlich baut sich
auch ein E-Feld auf in dem wie immer gilt:
6"
b
6")
Mit dem E-Feld baut sich natürlich auch die elektrische
Feldkraft (türkis) auf, die Elektronen nach oben zieht und
dies solange, bis die Elektronen sich gerade durch den
Halbleiter bewegen können. Dann gilt:
Seite 14
/ /
6 " 7 7 " R " ?
Und mit der oberen Formel zusammen ergibt sich dann:
R"? b
)
R"?")
Zum weiteren Vereinfachen braucht man noch eine Formel aus der Elektrotechnik die wir im
Unterricht nie besprochen haben und die ich daher jetzt auch nicht herleiten werde. Sie lautet:
3#$ä&4 36*&$)4 " 7 " ? " 3/*ä) N$$4
" 7 " ? " ) " 3ä N$$ R* )4
?
7 " " ) " Aus dieser Formel und der oberen für die Hallspannung ergibt sich schlussendlich:
R")"
R"
7 " " ) " " 7 " In der Formel erkennt man, dass das Magnetfeld proportional zur Hallspannung ist! Wenn wir nun
, , 7 , kennen (was durchaus machbar ist) können wir die Hallspannung über einen
Spannungsmesser berechnen und schlussendlich die Magnetische Feldstärke. So funktioniert eine
Hallsonde!
2.6.Energie an Glühkathode oder Braunscher Röhre
Wenn eine Ladung 7 aus einer Glühkathode heraus geglüht und von einer Anode angezogen wird, so
wird Arbeit an ihnen verrichtet. Die Arbeit hängt dabei von der Anodenspannung und der
Ladungsmenge ab. Es gilt:
7 " 9$* " $!
1
Die Arbeit die an einem Elektron (Ladung 7 ) mit genau 1 Anodenspannung verrichtet wird
heißt „Elektronenvolt“ und stellt eine andere Einheit für die Energie dar.
1 " 1 1,602 " 10 2.7.Bewegungen im elektrischen Feld
Werden Elektronen senkrecht in ein elektrisches Feld
eingeschossen bewegen sie sich im elektrischen Feld auf
Parabelbahnen. Es muss bei ihrer Bewegung unterschieden
werden.
Zum einen haben wir eine gleichförmige Bewegung nach rechts
in der Skizze (d.h. wir haben keine Beschleunigung und die
konstante Anfangsgeschwindigkeit). Für sie gilt:
34 ? " ?34 ?
34 0
Seite 15
Zum anderen haben wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten ausgelöst durch die
elektrische Feldkraft. Für die Beschleunigung gilt nach Newton / " b ೐೗
und
೅೐೔೗೎೓೐೙
für die Bewegungen gelten die Gesetze des Freien Falls, also:
34 1
" " 2
?34 " 34 /
!
Schießen wir sie parallel zu den Feldlinien in ein Feld erhalten wir eine Brems- oder beschleunigte
Bewegung. Ist dies der Fall müssen wir die obenstehenden Gleichungen einfach bei einer
Beschleunigung addieren, bei einer Abbremsung subtrahieren:
1
34 ? " c " " 2
?34 ? c " 34 0 c
/
!
2.8.Wiensches Filter
Der Wiensche Filter ist ein Aufbau der
Elektronen nach ihrer Geschwindigkeit
sortiert und nur Elektronen einer
bestimmten Geschwindigkeit durchlässt.
Ein Wiensches Filter besteht aus einem EFeld (pink) gekreuzt mit einem B-Feld
(schwarz). Die Elektronen fliegen wiederum
senkrecht zu beiden Felder in den Filter.
Dabei wirkt auf sie zum einen die
elektrische Feldkraft, die sie nach oben
zieht und zum anderen die Lorenzkraft die
sie nach unten bringt.
Je schneller die Teilchen sind, desto größer wird die Lorenzkraft da für sie gilt: / " R " ?. Die
elektrische Feldkraft ist unabhängig von der Geschwindigkeit und wirkt immer gleich stark. Deshalb
werden Teilchen mit einer hohen Geschwindigkeit eher nach unten gezogen als solche mit einer
geringen. Konsequenz: nur Teilchen bei denen Lorenzkraft und elektrische Feldkraft genau gleich
groß sind fliegen gerade durch den Filter und werden als einzige nicht aussortiert. Es gilt also:
/ /
7"6 7"R"?
6 R"?
?
6
R
Die Stärke des elektrischen Feldes und des Magnetfeldes lässt sich über die angelegten Spannungen
regulieren und dadurch kann man bestimmen Elektronen welcher Geschwindigkeit den Filter
durchlaufen.
Seite 16
III. Induktion
1. Induktion auf einen Leiter
Wenn man einen Leiter der Länge * in ein zu ihm
quer wirkendes Magnetfeld bewegt, so werden
auch seine Elektronen mit der gleichen
Geschwindigkeit in das Magnetfeld „getragen“. Aus
Geschwindigkeit und Magnetfeld ergibt sich eine
Lorenzkraft, die die Elektronen zu einem Strom
zwingt der beginnt zu laufen – ein sogenannter
Induktionsstrom.
Durch die Elektronenverschiebung ergibt sich
zwischen Plus- und Minuspol im Leiter eine
elektrische Feldkraft, die solange steigen kann, bis
Lorenzkraft und elektrische Feldkraft gleich hoch
sind. Dann gilt:
/ /
" R " ? 6 " R " ? 6 *
R " ?" " * B. /*) " ,)[& " *ä
2. In einer Spule
Betrachten wir eine Spule (braun) die wir
in ein Magnetfeld (grau) hinein und
wieder hinaus ziehen beobachten wir
etwas anderes: Einen Induktionsstrom
messen wir nur beim Ein- und
Herausziehen aus dem Magnetfeld, also
wenn sich die grün markierte Fläche
(genannt felddurchsetzte Fläche )
ändert. Ändert sie sich nicht heben sich
die Lorenzkräfte (orange) der
gegenüberliegenden Seiten sich auf
(Mittlere Spule). Dies erkennt man auch
an der Induktionsformel von gerade
eben:
R " ? " * R "
∆
∆
"* R"
R " e
∆
∆
Seite 17
Durch Versuche bei denen man die Magnetische Flussdichte ändert und die Spule nicht bewegt
erkennt man, dass bei der Veränderung der Stärke des Magnetfeldes sich ebenso die gemessene
e gilt)! Zentral ist also scheinbar das Produkt aus
Spannung verändert (also " R34
Magnetischer Flussdichte und felddurchsetzter Fläche, sie wird als magnetischer Fluss f bezeichnet:
f R " f 1 S " 1 1 S 1 Und die Spannung entsteht nur, wenn sich der Fluss endet – die Induktionsspannung ist also die
Ableitung des Flusses. Es gilt:
e
f34
Allerdings gehen wir bis dato nur von einer Spule mit einer Windung aus! Haben wir die Doppelte
Zahl an Windungen verdoppelt sich die Induktionsspannung natürlich, da wir doppelt so viele
Elektronen bewegen. Es muss also gelten:
e
" f34
2.1.Lenzsche Regel
Die Regel lässt sich relativ kurz zusammenfassen: Wenn
bei der Induktion eine Spannung der Strom genutzt wird
baut sich eine neue Induktionsspannung auf, die den
bestehenden Strom abbaut. Der Wortlaut wäre: „Die
Induktionsspannung ist stets so gepolt, dass sie durch
ihren Strom ihrer entgegenwirkt oder entgegenwirken
kann“
Betrachten wir die Leiterschaukel als Beispiel, an diese
könnten wir ja beispielsweise eine Lampe als
Verbraucher anschließen, nun würde unendlich Strom
geliefert werden – ein Perpetuum Mobile. Nun läuft
allerdings ein Strom durch den Leiter und dieser steht
quer zum Magnetfeld, wir erhalten also durch Elektronenbewegung und Magnetfeld eine lenzsche
Lorenzkraft (türkis) nach links entgegen der ursprünglichen. Nichts wird’s also mit dem Perpetuum
Mobile.
Man schreibt daher statt " f das Ganze mit Vorzeichen um die entstehende Gegenkraft
nach Lenz nicht zu vernachlässigen:
M " f
2.2.Selbstinduktion in einer Spule
Wenn die Spannung geändert wird, kommt sie
bei einem normalen Ohmschen Widerstand
sofort der Änderung nach (erstes Diagramm). Bei
der Spule braucht die Spannung länger, denn sie
wird durch die Lenzsche Regel zwischendurch
daran gehindert sich aufzubauen (drittes
Seite 18
Diagramm: Einschaltvorgang bis Hochpunkt, dann der Ausschaltvorgang). Was genau passiert ist hier
unten nochmal zusammengefasst:
2.2.1. Beim Einschalten
Eine Spannung
wird angelegt
Strom baut
sich auf
Magnetfeld
baut sich auf
Spannung wird
so induziert,
dass sie der
Ursache
entgegenwirkt
(Lenz)
Spannung wird
verkleinert
Strom baut
sich nur
allmählich auf
Magnetfeld
baut sich ab
Spannung wird
so induziert,
dass sie der
Ursache
entgegenwirkt
(Lenz)
Spannung wird
vergrößert
Strom baut
sich nur
allmählich ab
2.2.2. Beim Ausschalten
Eine Spannung
wird
abgenommen
Strom baut
sich ab
2.2.3. Berechnung
Die Formel für die Induktionsspannung kennen wir ja schon – vom magnetischen Fluss ändert sich in
diesem Fall allerdings nur das Magnetfeld, die Felddurchsetzte Fläche eigentlich nicht, von daher gilt:
e " " R34
e
" f34
Darüber hinaus gilt ja generell in einer langgestreckten Spule diese Formel die wir nun ableiten
müssen und dann in die obige Formel einsetzen können:
R34 T " T "
" 34
*
e T " T " " 34
e
R34
*
Seite 19
Die ganzen Konstanten stören und machen die Formel unübersichtlich, da sie für jede Spule
normalerweise nicht geändert werden sie zusammengefasst und bekommen eine neue Variable, die
Induktivität L die in Henry gemessen wird.
wird Also gilt für L:
2.3.Differenzialgleichung der Spule
Bei einer Spule legen wir von außen eine Spannung
an.. Dagegen wirkt eine Induktionsspannung
mit
. Für die Gesamtspannung gilt also:
Wenn man nun noch weiß dass
gilt bekommen wir die schlussendliche
Differentialgleichung mit der Stromstärke und ihrer Ableitung in Abhängigkeit von der Zeit:
Falls wir statt des Einschaltvorgangs den Ausschaltvorgang betrachten müssen wir einfach
setzen und schon stimmt die Formel für den Ausschaltvorgang:
Interessant zur Berechnung der Werte R und I sind die Extremfälle.
Einmal wenn
geht und einmal für
.
Für
lässt sich nach dem Diagramm I(0)=0 setzen und über die
Tangentensteigung die sich aus dem Diagramm ablesen ließe (bei einem
konkreten Beispiel könnte man die Steigung bestimmen, sodass gilt:
Nun lässt sich bei Kenntnis von U0 oder das jeweils andere berechnen!
Für
erkennt man, dass die Ableitung also
und damit gilt für die DGL:
etwa gleich 0 ist
Nun kann man wieder I(t) ablesen und könnte bei Kenntnis von U0 oder R das jeweils andere
berechnen!
Seite 20
3. Energie des magnetischen Feldes
Im Magnetischen Feld einer stromdurchflossenen Spule kann man ebenso wie im elektrischen
Kondensatorfeld die Energie bestimmen die in einem solchen Feld liegt. Die Formel ähnelt
glücklicherweise der schon bekannten im elektrischen Feld sehr: " " . Im Magnetfeld
dagegen gilt:
# 1
1
" " " &?ä " #$ä& 2
2
Über die Formel zur Magnetischen Flussdichte und zur Induktivität kann man noch weiter umformen:
R T " T "
"
*
#
# R"*
T " T " T " T "
"
*
3$*4 " *
1
R " * 1
R
" T " T " " " """
*
T " T
2
T " T " 2
1
R
"
"
2 T " T
1
B. /*) "
" $*
2 B. /*&$I " #$888&$
Genauso gilt wieder für die Energiedichte folgendes:
O# #
1
R
"
2 T " T
gO# h 1
4. Sinusförmige Wechselspannungen
4.1.Sinusförmige Wechselspannungen im ohmschen Widerstand
Wird an einer einfachen Haushaltssteckdose ein Oszilloskop angeschlossen, so erkennt man eine
sinusförmige Schwingung für den Strom und auch für die gemessene Spannung. Diese Spannung und
dieser Strom sind sinusförmig aufgebaut und lassen sich mit folgenden Gleichungen beschreiben:
34 Û " sin3j " 4 Bk*! " sin 3&*)[& " 4
34 Î " sin3j " 4 Bk*$ä& " sin 3&*)[& " 4
Die Winkelgeschwindigkeit j bestimmt dabei die Schwingungsdauer und die Frequenz der
Schwingung, sie wird in Herz gemessen. Es gilt folgende Beziehung zwischen den dreien:
j 2\8 2\
S
8
1
S
j 1
1 mI
8 1
1 mI
S 1 4.2.Effektivwerte eines Wechselstroms
Stromquellen, Netzteile, etc. sind immer mit einer Spannung beschriftet – schließt man an die
Stromquelle jedoch an ein Oszilloskop an fällt auf, dass der tatsächliche Spannungswert eigentlich
zwischen anderen Werten schwankt – doch wie berechnet man die richtige Spannung aus dem
angegebenen Wert (genannt: Effektivwert). Die Definition lautet: „Der Effektivwert eines
Wechselstroms (einer Wechselspannung) ist diejenige Gleichstromstärke (Gleichspannung), die im
Seite 21
gleichen ohmschen Widerstand die gleiche mittlere Wärmeleistung erbringt. Am Ohmschen
Widerstand ist die gemessene Stromstärke gleich dem Effektivwert – an anderen Bauteilen wie einer
Spule gilt eine andere Beziehung. Die Herleitung ist länger und braucht verschiedene
trigonometrische Vereinfachungen die nicht mehr abirelevant sind. Das Ergebnis ist:
Î
√2
Û
√2
4.3.Sinusförmige Wechselspannung in einer Spule
In einer Spule sind Strom und Spannung nicht in Phase, denn wie wir oben schon gelernt haben,
braucht der Strom nach dem Einschalten der Spannung länger bis er den Maximalwert erreicht – man
sagt er „hinkt der Spannung in der Phase hinterher“. Wenn man genauer beobachtet und die
$
Differentialgleichung auflöst erkennt man, dass der Phasenunterschied exakt beträgt. Wenn wir
eine sinusförmige Spannung der Form 34 Û " sin 3j " 4 anlegen, dann muss für die Spannung
folgendes gelten:
\
34 Î " sin oj " M p MÎ " cos3j " 4
2
Î Û
"j
Da wir nun nicht mehr an einem ohmschen Widerstand sind, dürfen wir auch nicht mehr mit dem bis
jetzt benutzten Widerstand ' rechnen, bei der Spule rechnet man mit dem induktiven Widerstand
q für den auch die Beziehung #! #$ä& " gilt:
q Û
Î
Û
"j
Û
"j
q 1
1(
1
4.4.Sinusförmige Wechselspannung an einem Kondensator
Auch an einem Kondensator sind Strom und Spannung nicht in Phase, allerdings ist in diesem Fall der
$
Strom der Spannung um voraus, dies erkennt man, wenn wir mal von einer sinusförmigen
Spannung der Form 34 Û " sin 3j " 4 aus und formen die einmal zur Stromstärke um:
34 " 34 " Û " sin3j " 4
e " Û " j " cos3j " 4 Î " cos3j " 4
34 34
Î
"Û"j
Auch hier entsteht wieder ein Widerstand für den Kondensator – der kapazitative Widerstand q! für
den dieselbe Herleitung zutrifft:
q! Û
Û
"j
Î Û""j
Seite 22
q! 1
1(
1
4.5.Reihenschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator – Siebkette
Nun schalten wir also in einem Stromkreis einen
Kondensator, einen ohmschen Widerstand und eine Spule in
Reihe und legen Wechselspannung an. An allen drei
Bauteilen haben wir nun also einen Strom in der normalen
Sinusform 34 Î " sin 3j " 4, allerdings ist die Spannung
$
an jedem Bauteil anders. Einmal ist er in Phase, einmal um $
voraus und einmal um hinterher – aber was genau ist jetzt
die Gesamtspannung und ihre Phasenverschiebung?
Um dies herauszufinden zeichnet man die Spannungen in ein
Zeigerdiagramm wie es hier rechts steht in dem die Winkel
zwischen zwei Pfeilen deren Phasenverschiebung entsprechen.
Im Diagramm erkennt man, dass die Spannung durch den
Kondensator und der durch die Spule entgegengesetzt wirken,
man also durch die Summe aus beiden die violetten Spannung
Û% berechnen kann. Für ihn gilt Û% Û M Û! .
Nun entsteht ein Dreieck aus dem Strom durch den ohmschen
Widerstand und dem gerade berechneten Strom, in welchem
für den Winkel der Phasenverschiebung gilt r Ûೣ und damit weiterhin:
Û
r
Û%
Û
Û M Û !
Û
ೝ
" q M " q! q M q! q
"'
'
'
r 1(
1
1(
q q M q!
q 1(
Der eben eingeführte Widerstand q wird übrigens als Blindwiderstand bezeichnet.
In dem Dreieck gilt über den Pythagoras noch folgende Beziehung:
Û#
Û' K Û(
Û# s' K (
" '#
" ' K " q gÛ# h 1
'#
I ' K q Der Widerstand I ist der Gesamtwiderstand der Schaltung und wird als Scheinwiderstand bezeichnet
und er wird auch in Ohm gemessen. Für ihn gilt weiterhin:
I t' K q I
Û
Î
I 1
1(
1
Falls man in dieser sogenannten Siebkette ein Bauteil entfernt muss man selbstverständlich auch die
entsprechenden Werte 0 setzen. Entfernen wir also beispielsweise die Spule ist q Û 0 und
wir können die Formeln weiter benutzen.
Seite 23
4.5.1. Resonanzfall der Siebkette
Trägt man die Stromstärke einer Siebkette über der Frequenz auf
erhält man eine Kurve mit einer hohen Spitze an einer gewissen Stelle.
Dort steigt also die Stromstärke extrem an und erreicht ihren
Maximalwert – dieser ist für weitere Rechnungen interessant. Möchte
man die zugehörige Frequenz berechnen muss man so vorgehen:
In ೐೑೑
)
können wir an den Effektivwerten nichts ändern,
allerdings ist der Scheinwiderstand von der Frequenz abhängig und
dieser muss in der Formel minimal werden um den Effektivstrom
maximal zu erhalten. In der Formel I √' K q ist der Widerstand des ohmschen Stroms fest und
kann nicht verändert werden. Der Scheinwiderstand wird minimal, wenn q minimal ist und
q q M q! wird minimal, wenn q q! , denn dann ist q 0. Und jetzt gilt:
q q!
j "j
1
"
1
j"
u* j 2\ " 8 b
<
√v " w
8 j
2\
Und so erhalten wir die sogenannte Resonanzfrequenz. Die entsprechende Stromstärke erhält man
dann natürlich, wenn man 8 in die Funktion 384 einsetzt. Im Resonanzfall beträgt (da q q!
gilt) die Phasenverschiebung übrigens tan3r4 ' b r 0!
(
4.6.Parallelschaltung von Kondensator und Spule
Bei der Parallelschaltung müssen wir zunächst Strom und Spannung vertauschen, denn in der
Parallelschaltung ist die Spannung überall gleich nämlich allgemein 34 Û " sin 3j " 4, die
Stromstärke setzt sich aus den Einzelstromstärken zusammen:
34 K ! Û " x
1
1
M y " cos3j " 4
q! q
Auch hier erhalten wir wieder bei q q! und für j √,!
einen Resonanzfall, allerdings sperrt in
diesem Fall die Schaltung und lässt überhaupt keine Stromstärke mehr zu:
34 Û " x
1
1
M y " cos3j " 4 Û " 0 " cos3j " 4 0
q! q
Da die Stromstärke nicht einfach verloren gehen kann muss sie irgendwo weiter fließen, in diesem
Fall befindet sie sich in einem Schwingkreis zwischen Kondensator und Spule (s. Schwingkreis)!
Seite 24
4.7.Der Schwingkreis
In einem Schwingkreis befinden sich Kondensator und Spule beidseitig miteinander verbunden und
diese Schaltung wird dann mit einer Spannung aufgeladen. Nun passiert folgendes:
Kondensator
entlädt sich
Strom fließt
durch die Spule
Magnetfeld
entsteht
Induktionsstrom
entsteht in der
Spule
Kondensator wird
entgegengesetzt
geladen
Kondensator
entlädt sich
wieder
Strom fließt
umgekehrt durch
die Spule
Magnetfeld
entsteht in
Gegenrichtung
Induktionsstrom
entsteht in der
Spule
Kondensator wird
geladen wie
vorher
Kondensator
entlädt sich
...
Im Schwingkreis sind (nach Zeigerdiagramm) die Spannungen von Spule und Kondensator
entgegengesetzt, von daher gilt folgendes:
- M
Weiterhin gilt natürlich noch das Ohmsche Gesetz für die Spule und die Spannung setzt sich hier aus
angelegter Spannung zusätzlich zur Induktionsspannung zusammen:
K ' " Gehen wir von einer perfekten Spule aus, können wir einen Widerstand ' 0 setzen, sodass gilt:
K 0 b
e
M
" 34
Diese Formel setzten wir nun in die erste Formel ein. Zusätzlich ist noch bekannt, dass e 34
z ist, sowie das am Kondensator ! damit 34
./0
!
gilt:
e
- " 34
34
z
" 34
34
z 0
M 34
"
Diese Differentialgleichung hat als Lösung eine Sinusfunktion der folgenden Form:
34 { " cos3j " 4
Seite 25
j
1
√ " .
und
Und über 34 erhält man auch 34 und ! 34:
e M{ " j " sin3j " 4 MÎ " sin3j " 4
34 34
! 34 34 {
|! " cos3j " 4
" cos3j " 4 Formt man die Winkelgeschwindigkeit noch weiter um, so erhält man auch noch Formeln für die
Frequenz und die Periodendauer der Schwingungen.
j 2\8 b
S
8
j
1
2\ 2\ " √ " 1
2\ " √ " 8
Die Formel für die Umlaufzeit S 2\ " √ " bezeichnet man auch als Thomson-Gleichung!
Im perfekten Schwingkreis bleibt die Gesamtenergie konstant und pendelt die ganze Zeit zwischen
magnetischer Energie im B-Feld und elektrischer Energie im E-Feld, sodass gilt:
6# 6# K 6 1
1
" " 34 K " " 34 $.
2
2
Allerdings haben alle Schwingkreise irgendwo Reibungsverluste, sodass Energie „verloren geht“ und
die Intensität an Spannung und Stromstärke abnimmt. Diesem kann man entgegenwirken mit einer
Meißnischen Rückkopplungsschaltung die immer im „richtigen Moment“ verlorengegangene
Intensität nachliefert.
Versucht man dem Schwingkreis eine Zwangsfrequenz (über eine Siebkette bspw.) aufzuzwingen so
schwingt der Schwingkreis mit der aufgezwungenen Frequenz und nicht mit der Ausgangsfrequenz –
er schwingt aber umso besser, je näher man an der Zwangsfrequenz ist.
4.8.Transformator
Ein Transformator besteht aus zwei Spulen, die durch einen
Eisenjocht verbunden sind. Legen wir nun an der ersten Spule eine
Spannung an, so entsteht ein Magnetfeld, welches über den
Eisenjocht an die sogenannte Sekundärspule weitergeleitet wird.
Hier ist jetzt in diesem Fall eine Spule mit weniger Windungen.
Haben wir beispielsweise die halbe Anzahl an Windungen,
e selbstverständlich auch die
erhalten wir über " f34
halbe Spannung. An einem Transformator kann man also die
Spannung verändern. Schalten wir an der Sekundärspule noch
einen Verbraucher an, so entstehen weiterhin Zusatzströme. Es
gilt:
Seite 26
IV. Mechanische Schwingungen
1. Federpendel
Spannt man ein Gewicht zwischen zwei Federn
ein und lenkt es in eine Richtung aus, so
schwingt es regelmäßig und sinusartig hin und
her. Und hierbei gelten wieder bestimmte physikalische Gesetze.
Interessant ist vor allem welche Kräfte wirken. Betrachten wir das hier abgebildete Beispiel so wirkt
immer die sogenannte rücktreibende Kraft, die durch eine lang gezogene Feder zustande kommt, die
wieder in den Ausgangszustand zurück möchte. Die rücktreibende Kraft ist also eine Federkraft für
die gilt /ü! M/ und Feder- oder Spannkräfte sind / P " /&$ "
*&&. Es gilt in diesem Fall also für die rücktreibende Kraft:
/ü! MP " M,8&$ " *&[
Wichtig hierbei: Bei der Gesamtfederkonstante P müssen die Einzelfederkonstanten der
verschiedenen Federn addiert werden. Weiterhin wird diese Schwingung als „harmonische
Schwingung“ bezeichnet, da (wie man in obiger Formel erkennen kann) die rücktreibende Kraft
proportional zur Auslenkungsstrecke ist /ü! ~.
1.1.Differentialgleichung
Nach Newton ist eine Kraft die Beschleunigung an einer Masse, also / " , darüber hinaus ist
z . Aus beiden Formeln und der
die zweite Ableitung des Weges die Beschleunigung, also 34 34
gerade erhaltenen für die rücktreibende Kraft ergibt sich:
/ü! " b
z K
34
z
MP " 34 " 34
P
" 34 0
Die Lösung der Differentialgleichung ist wieder eine sinusförmige Funktion, also allgemein eine der
Form 34 " sin3j " M } 4, wobei die Maximale Auslenkung ist und } eine
Phasenverschiebung, die vom Anfangswert der Schwingung abhängt (haben wir bei 0
beispielsweise die maximale Auslenkung, so muss } sein, damit man einen Kosinus erhält, der
$
direkt am Anfang die maximale Auslenkung hat. Für j gilt noch folgendes:
P
j A 2\ " 8
sP
8
2\
S
1
2\s
8
P
Auch bei dieser Schwingung pendelt die Gesamtenergie. Dieses Mal zwischen der Bewegungsenergie
des Massestücks und der Spannungsenergie der Feder – im Gesamten bleibt sie konstant. Die in der
Formeln noch auftauchende Ruheenergie 6 ist die Ausgangsenergie die das System haben kann.
6# 6 K 6
K 6 1
1
" " ?34 K " P " 34 K 6 $.
2
2
Seite 27
2. Fadenpendel
Beim Fadenpendel hängt man ein Massestück an einem Faden auf und
lenkt es in eine Richtung um die orangene Strecke aus, und sobald man
es loslässt beobachtet man eine Schwingung.
Bei dieser Schwingung verhält sich der Winkel + zum Vollwinkel von
360° wie die Strecke zum gesamten Kreisumfang 2\*. Zusätzlich ist
der Winkel von 360° im Bogenmaß die Zahl 2\, also gilt:
+
+
360° 2\ 2\*
+
*
Nun schauen wir uns noch das Kräfteparallelogramm aus rücktreibender
Kraft, Kraft in Seilrichtung und Gewichtskraft an – dort gilt:
/ü! M, " sin3+4
Und aus beiden Formeln zusammen erhalten wir:
/ü! M, " sin o p
*
Die rücktreibende Kraft ist hier also nicht proportional zur Auslenkungsstrecke, sonder da ist der
Sinus dazwischen: /ü! € , wir haben hier also keine harmonische Schwingung. Betrachten wir
allerdings kleine Winkel, dann können wir folgende Näherung machen und weiter vereinfachen:
/ü! M, " sin o p 5 M, "
*
*
" /ü! M " "
34 M "
0
34
*
*
z
" 34 K 34
*
Wieder erhalten wir eine Differentialgleichung und wir haben auch hier wieder eine harmonische
Schwingung bei kleinen Auslenkwinkeln, sodass auch die Lösung dieser Differentialgleichung der der
anderen mechanischen Schwingung ähnelt. Wir erhalten:
34 " sin3j M } 4
j
s
*
Auch solchen mechanischen Schwingungen kann man eine andere Frequenz aufzwängen und die
Schwingung schwingt dann mit der aufgezwungenen Frequenz, aber je besser, je näher die Frequenz
an der Eigenfrequenz des Systems ist!
Seite 28
3. Längs- vs. Querwellen
Will man sich Wellen genauer anschauen, so muss
immer irgendwo eine Störung vorhanden sein –
weil der Wellenträger (bspw. Feder) ansonsten
komplett ruhig bleibt. Nun gibt es zwei
Möglichkeiten. Entweder man stört den Träger in
seiner Wellenverlaufsrichtung (grüner Pfeil) so
entstehen Wellen aus nur Verdickungen (Stellen mit Überdruck) und Verdünnungen (Stellen mit
Unterdruck) – solche Wellen heißen Längswellen oder Longitudinalwellen.
Die Alternative hierzu ist, dass man die Welle dem roten Pfeil nach auslenkt, also orthogonal oder
quer zur Trägerrichtung. Danach wird (je nach Auslenkungsrichtung) ein Wellenberg oder ein
Wellental durch den Träger laufen. Solche Wellen heißen Querwellen oder Transversalwellen.
Weiterhin wird bei beiden Wellenarten unterschieden zwischen:
• Einfachstörung: Nur eine Bewegung des Erregers
• Doppelstörung: Eine hin- und zurück Bewegung des Erregers
• fortgesetzte Störung: Störungen ohne anzuhalten (bspw. Sinus-Welle)
Wichtige Größen hierbei sind bei beiden Wellen:
• )[& . Die Geschwindigkeit der Störung in Trägerrichtung
(also wie lange braucht der Wellenberg bis er den Träger durchlaufen hat)
• #)** ?. Die Geschwindigkeit die ein bestimmtes Teilchen auf dem Träger hat, bei
Längswellen in Trägerrichtung, bei Querwellen orthogonal dazu. (Ableitung der Auslenkung)
3.1.Lose und feste Enden
Generell wird unterschieden zwischen einem losen und einem festen Ende. An einem solchen Ende
werden aber in jedem Fall die Störungen reflektiert (es wird also c umgekehrt) und die Störung läuft
auf dem Wellenträger wieder zurück zum Erreger.
Der Unterschied zwischen losem und festem Ende liegt darin, dass sich ein festes Ende im Gegensatz
zu einem losen einfach nicht bewegen kann. Das lose Ende dagegen ist (theoretisch) komplett frei
beweglich). Wie Störungen reflektiert werden kann man der Tabelle entnehmen:
Loses Ende
Festes Ende
Querwelle
Wellenberg bleibt Wellenberg
Wellenberg wird Wellental
Längswelle
Überdruck als Unterdruck, Schnellerichtung bleibt
Überdruck als Überdruck, Schnelle kehrt sich um
3.2.Sinusförmige Störung
Vollführt der Erreger eine sinusförmige Schwingung, so
ergibt sich auf dem Erreger eine umgekehrte sinusförmige
Schwingung. Beginnt der Erreger also mit einer
Schwingung nach oben, so muss auch die Sinusschwingung
mit einem Berg anfangen, allerdings logischerweise von
rechts aus gesehen – da die Welle sich ja in die Richtung
fortbewegt. So sieht eine Welle, die eine komplette
Schwingung vollendet hat so aus, wie auf der Abbildung.
Seite 29
c
λ
Überlegt man sich nun, dass gilt, dass Geschwindigkeit = Weg / Zeit ist, kann man dies auf die Welle
übertragen. Die Geschwindigkeit der Welle ist logischerweise die Ausbreitungsgeschwindigkeit .
Wenn der Erreger nun eine komplette Sinusschwingung vollendet hat, muss die Zeit dann die
Umlaufzeit S sein. Schaut man auf der Abbildung so ist der Weg dann wohl die rot markierte
Strecke. Sie heißt Wellenlänge und wird nun mit λ (Lambda) bezeichnet. Als Formel gilt also:

S
"8
Will man nun einzelne Teilchen auf dem Träger betrachten, so erkennt man, dass ein Teilchen, dass
λ/2 vom Erreger entfernt ist, eine verschobene Sinusschwingung vollführt, und zwar verschoben um
eine halbe Periode. Daraus ergibt sich für den Phasenunterschied zum Erreger:
}
k
" 2\

Will man nun die Auslenkung eines Teilchens an einer Stelle x zu einer Zeit t. So nimmt man einfach
die Sinusschwingung des Erregers und subtrahiert den Phasenunterschied:
3k, 4 ̂ " sin3j M }4
k
3k, 4 ̂ " sin oj M " 2\p

Zu dieser Formel bleibt noch zu sagen, dass sie nur unter der Bedingung gilt, dass j M 2 " 2\ größer
%
als 0 ist! Denn ansonsten ist die Welle einfach noch nicht an dem Teilchen an der Stelle x
angekommen und die Auslenkung ist zwangsläufig 0.Nicht irritieren lassen. Auch wenn alles
innerhalb des Sinus positiv ist, kann am Ende doch ein negatives Ergebnis rauskommen! Es sind nicht
negative Ergebnisse generell verboten, sondern alles innerhalb des Sinus darf nicht kleiner als 0 sein!
3.3.Stehende Wellen
Wenn eine Sinusschwingung an einem festen oder losen Ende reflektiert wird, so bilden sich
stehende Wellen aus. Charakteristisch für die stehenden Wellen sind Knoten (Stellen, die sich nicht
bewegen) und Bäuche (Stellen, die sich am meisten bewegen, die die höchste Auslenkung haben).
Wie eine stehende Welle entsteht, lässt sich
einfach zeichnerisch herleiten. Man zeichnet
zunächst einfach den Wellenträger zum Zustand
der Zeit die man eben haben will (auf der
Abbildung die blaue Kurve). Anschließend setzt
man die Welle über das Ende hinaus fort (blau
gestrichelte Kurve). Nun muss man das ganze
reflektieren, dies nach den Regeln zur Reflexion
an festen und losen Ende. In der Abbildung wird
Wellenberg als Wellental reflektiert, daher ist es
ein festes Ende. Die Kurve die sich aus der
Reflexion ergibt ist hier in grün eingezeichnet. Um
nun den vollständigen Zustand des Trägers zu
haben. Addiert man die Ordinaten (Auslenkungen) der blauen und der grünen Kurve und man erhält
die rote Kurve, die dann (bei dem was wir meist zeichnen) entweder eine Verdopplung oder eine
Auslöschung der Ausgangskurve zeigt.
Seite 30
Man kann stehende Wellen auch bei Längswellen beobachten, allerdings muss man hierbei Druck
und Schnelle getrennt betrachten. Und man trägt sie auch auf der y-Achse auf, weil das einfacher ist.
Wichtig hierbei ist, dass Schnelle und Druck in Phase einlaufen (also wenn der Druck einen Berg hat,
hat auch die Schnelle einen) allerdings werden sie eben anders reflektiert.
Als Hilfestellung und zur Kontrolle gilt:
Querwelle
Loses Ende
Auslenkungsbauch
Festes Ende
Auslenkungsknoten
Längswelle
Schnellebauch, Druckknoten
Schnelleknoten, Druckbauch
3.4.Dauerhaft stehende Wellen
Durch vielfache Reflexion können sich sog. dauerhaft stehende Wellen ausbilden. Soll heißen, eine
Welle wird an einem Ende reflektiert, geht anschließend zum ersten Ende zurück (es entsteht eine
stehende Welle) und nun wird es entscheidend. Entweder die Welle wird so reflektiert, dass die
stehende Welle bestehen bleibt, oder es entsteht irgendetwas anderes, merkwürdiges.
Wichtig hierbei ist wieder, dass an festen Enden Auslenkungsknoten sind und an losen Enden
Auslenkungsbäuche. Dadurch bilden sich in den Wellenträgern bestimmte Schwingungen aus, je nach
den Enden. Die jeweils einfachste Schwingung die möglich ist heißt Grundschwingung. Die nächst
kompliziertere Schwingung hat immer einen Bauch und einen Knoten mehr als die vorhergegangene
und heißt 1. Oberschwingung, die nächste ist dann die 2. Oberschwingung,… Andere Begriffe sind für
die Grundschwingung 1. Harmonische Schwingung und für die 1. OS dann 2. Harmonische
Schwingung,…
Auch hier hängen Frequenz, Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge wieder zusammen. Für k
ist die Zahl der Oberschwingung einzusetzen (GS: 0 – 1. OS: 1 – 2. OS: 2 – …)
I[ *) 6: 8 3& K 14
2*
I[ ?) 6: 8 Seite 31
32& K 14
4*
V. Optik
1. Zweidimensionale Wellenfelder
Bei zweidimensionalen Wellenfeldern geht man von (mindestens) zwei Punktförmigen Erregern aus,
die kreisförmige Wellen in alle Richtungen aussenden – das bekannteste Beispiel sind wohl
Wasserwellen.
In der Abbildung haben wir zwei punktförmige
Wellenerreger, die kreisförmige Wellen
aussenden. Diese Wellen breiten sich als
Wellenfronten aus, wobei die roten Kreise die
Wellenmaxima und die grünen Kreise die
Wellenminima darstellen sollen. Wenn sich
nun beispielsweise zwei rote oder zwei grüne
Kreise treffen, so treffen sich zwei Maxima
oder zwei Minima, die Wellen verdoppeln sich
also an dieser Stelle. Dies geschieht immer auf
den orange eingezeichneten Linien. Treffen
sich dagegen Maxima und Minima so erhalten
wir Auslöschung (blaue Linien).
Weiterhin nimmt man bei zweidimensionalen Feldern
noch die Näherung an, dass wenn man viele
Punktförmige Erreger in einer Reihe hat, dass sich die
parallelen Wellenfronten in einem Punkt treffen.
Betrachtet man die Abbildung, erkennt man, dass die
Geraden die sich in einem Punkt treffen nicht exakt
parallel sind, aber je Größer der Abstand zwischen
Erreger und Schirm, desto paralleler werden sie – von
daher ist die Näherung durchaus zulässig!
1.1.Reflexion
Lässt man einen Lichtstrahl oder eine andere Welle gegen ein
festes Ende oder eine Grenzfläche laufen, so wird der Strahl
(zumindest teilweise) reflektiert. Um herauszufinden wie der
Strahl reflektiert wird zeichnet man das Lot senkrecht zur
Grenzfläche am Auftreffpunkt an und misst den Winkel +
zwischen Lot und einfallendem Strahl. Der Ausfallswinkel
zwischen Lot und reflektiertem Strahl ist nun genauso groß:
+
+
Seite 32
1.2.Brechung
Wird der Strahl nicht reflektiert gelangt er in das andere Medium (bspw. Wasser) hinein. Dabei wird
der Strahl zum Lot hin gebrochen, wenn er vom dünneren in das dichtere gelangt (wie in der
Abbildung) ansonsten vom Lot weg. Wie stark der Strahl gebrochen wird hängt vom Material ab und
daher gibt es für jeden Übergang zwischen zwei Materialien die sogenannte Brechzahl , die Einfallsund Brechungswinkel in folgendes Verhältnis setzt:
sin3+4
sin3…4
Weiterhin bleibt die Frequenz beim Übergang konstant, allerdings ändern sich die
Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Wellenlänge nach folgender Beziehung:
8ü 8
!
ü !
b
ü 
!
ü ü
! 
!
Gelangt ein Licht vom dichteren in das dünnere Medium, so erkennt man, dass ab einem bestimmten
Einfallswinkel auch der gebrochene Strahl einen Winkel von † 90° hat, also ebenso reflektiert wird.
Diesen Fall bezeichnet man als Totalreflexion. Hier gilt für den Grenzwinkel:
sin‡+#) ˆ sin‡+
ˆ
sin‡+#) ˆ
1
sin‡+#) ˆ
sin390°4
sin‡…#3! ˆ
Zur Brechung gehört auch der Effekt der Dispersion. Streng genommen
haben nicht alle Wellenlängen die Gleiche Brechzahl, sie unterscheidet
sich minimal. Diesen Effekt nutzt man im Prisma aus, in dem weißes
Glühlicht in ein Spektrum zerlegt wird.
2. Messung der Lichtgeschwindigkeit
Bei den Methoden zur Messung der
Lichtgeschwindigkeit möchte ich mich auf die
Zahnradmethode nach Fizeau beschränken. Er hat
Licht einer Lichtquelle über einen Spiegel durch die
Zähne eines sich drehendendes Zahnrads geschickt
und dann nach einer langen Strecke an einem Spiegel
reflektieren lassen, um sie wieder durch die Zähne des
Zahnrades gehen zu lassen.
Dreht man nun das Zahnrad immer schneller erkennt man, dass weniger Licht zurück in das Auge
fällt, da das zum Spiegel geschickte Licht schon wieder vom nächsten Zahn verdeckt wird, der sich in
der Zeit in den Weg geschoben hat. Irgendwann kommt nun der Moment, in dem überhaupt kein
Licht mehr zum Auge gelangt, da alles was zum einen durch die Zahnlücke kam, nachdem es die
Strecke zurückgelegt hat auf einen Zahn trifft. Nun haben wir in diesem Moment eine Strecke die das
Licht zurückgelegt hat (hier 20km) und die Zeit die wir über die Geschwindigkeit des Zahnrades
Seite 33
erhalten können – und über ? konnte man nun die Lichtgeschwindigkeit annähernd genau
bestimmen.
Heute gibt es wesentlich kompaktere Möglichkeiten die auch genauer arbeiten. Es wär beispielsweise
sehr schwierig einen 10km langes Wassergefäß zu besorgen um die Geschwindigkeit dort zu messen!
Weiterhin konnte man bei Messungen mit bekannter
Frequenz die Wellenlängen erhalten. Hier hat violett eine
Wellenlänge von etwa 400nm (als untere Grenze), rot hat
eine von ca. 800nm. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt in
Luft und Vakuum übrigens ca. ! 300.000
.
3. Beugung
Lässt man Laserlicht beispielsweise nach einer Blende vorbei an einer Stecknadel auf einen Schirm
fallen, so würde man scharfe Schatten erwarten – allerdings ist das nicht der Fall! Dort wo der
Schatten der Nadel sein sollte befindet sich ein heller Fleck (der sogenannte Poison-Fleck) und im
hellen Raum befinden sich noch weitere „Schatten“ der Nadel, sogenannte Dunkelstreifen. Das Licht
wird also scheinbar um kleine Hindernisse gebeugt und breitet sich nicht immer geradlinig aus. Bei
größeren Hindernissen tritt dieser Effekt nur im so kleinen Maßstab auf, dass er nicht weiter auffällt
und nahezu scharfe Schatten entstehen!
3.1.Beugung am Einzelspalt
In einem Einzelspalt der Spaltbreite * befinden sich viele aktive Zentren
(orangene Punkte), wobei jedes aktive Zentrum eine Elementarwelle (gelbe
Pfeile). Diese Wellen werden immer gleichzeitig ausgesendet und parallele
Wellen treffen sich an einem Schirm in einem Punkt und interferieren dort.
Interessant für die Überlagerung ist nun der Gangunterschied welcher in
der Abbildung die grüne Strecke ist. Der Gangunterschied liegt in einem
Dreieck mit der Spaltbreite * und dem Ablenkungswinkel + für den gilt:
sin3+4 *
Nun überlegt man sich was für Muster entstehen für bestimmte
Gangunterschiede:
Gangunterschied Was passiert?
Alle parallelen Strahlen überlagern sich gleichphasig
‰
X
‰
Š
‰ UŠ
Der 1. und der 31., sowie der 2. und der 32. Strahl,…
Man beobachtet
Helligkeitsmaximum
in der Mitte
1. Dunkelstreifen
2
haben einen Gangunterschied von und löschen sich aus
1. und 16. Strahl, sowie 2. und 17.,… sowie 15. und 31.
2. Dunkelstreifen
Strahl und 45. und 60. Strahl – nur der 61. Strahl bleibt
übrig
Allgemein Scheinbar erhält man für einen Gangunterschied von & "  & 1,2,3, …
einen Dunkelstreifen – ansonsten beobachtet man mehr oder weniger Helligkeit
Seite 34
Gangunterschied Was passiert?
Nur der 1. und der 61. Strahl können sich auslöschen
Man beobachtet
Randhelligkeit
Der erste und der 21. Strahl haben einen
1. Nebenmaxima
Gangunterschied von λ/2 und löschen sich aus, genau wie
der 2. und der 22. bis zum 20. Und 40. – die Strahlen 4260 bleiben übrig
Allgemein Scheinbar erhält man für einen Gangunterschied von
ein Nebenmaxima.
Es gilt also für Hell- und Dunkelstreifen mit der Beziehung des Sinus von oben:
Dunkelheit für die linke und Helligkeit für die rechte
Formel:
Man erhält also in der Überlagerung das hier rechts
stehende Bild. In dem Diagramm darüber zeigt sich die Intensität
nsität der verschiedenen Maxima
3.2.Beugung am Doppelspalt
Schauen wir zunächst die Abbildung an. Wir erkennen,
dass
gilt. Wobei g der Abstand der Spalte ist
und d der Gangunterschied
unterschied der beiden Wellen
Auslöschung besteht logischerweise bei einem
Gangunterschied von , bzw.
Durch Kombination der beiden Formeln erhalten wir:
Verdopplung besteht bei einem Gangunterschied von λ oder von einem Vielfachen:
Kombinieren wir nun wieder diesen Ausdruck mit der ersten Formel gilt:
Beim Doppelspalt zeigt sich dieses
Interferenzmuster – die Intensitätsmaxima sind
alle gleich hoch - also gleich intensiv, allerdings
sind sie relativ unscharf!
Seite 35
3.3.Gitter
Betrachten wir nur ein Gitter, also eins mit etlichen Spalten. Ein Gitter
besteht vom Aufbau aus etlichen Einzelspalten die alle ihre
Elementarwellen aussenden die sich wiederum alle in einem Punkt
treffen. Hier gilt ähnlich dem Doppelspalt wieder die Beziehung
zwischen dem Winkel +, der Gitterkonstante und dem
Gangunterschied :
sin3+4 Wie wir schon festgestellt haben erhalten wir Verdopplung für einen
Gangunterschied von & "  und damit einem Winkel von:
sin3+4 &"
& 0,1,2, …
Minima brauchen wir hier nicht zu
berechnen, da beim Gitter die Maxima sehr
scharf sind und es nahezu überall neben dem
Gitter keine Intensität mehr gibt. Das
Intensitätsbild zeigt sich hier rechts noch
einmal!
3.3.1. Gedrehte Gitter
In der Abbildung haben wir ein Gitter mit dem Spaltabstand , welches um den Winkel … gedreht ist.
Hier entstehen jetzt zwei Gangunterschiede! Einmal der Gangunterschied r vor dem Gitter und
einmal der Gangunterschied r nach dem Gitter.
… K+
K+
+
r
…
r
… M+
M+
+
r
…
+
r
+
Betrachten wir zunächst einmal das obere Maximum (linke Abbildung).
Für den Gangunterschied vor dem Gitter kann man nun generell diese Formel aufstellen
r " sin3…4
Nach dem Gitter nehmen wir den Winkel … K + um den Gangunterschied hinter dem Gitter zu
bestimmen – für ihn gilt:
r " sin3… K +4
Seite 36
Der Gesamtgangunterschied ist jetzt:
" sin3… K +4 M " sin3…4 " 3sin3… K +4 M sin3…44
Jetzt wissen wir noch, dass wir für & "  ein Maximum erhalten – es gibt also eins für:
sin3… K +4 M sin3…4 &"
Für das untere Maximum gilt nahezu die selbe Herleitung. Der Gangunterschied vorher ist wieder
r " sin3…4, der danach ist in diesem Fall r " sin3… M +4. Der Rest der Herleitung ist
wieder komplett gleich, sodass man am Ende als Formel erhält:
sin3… M +4 M sin3…4 &"
3.3.2. Überlagerung von Gitter- und Spaltinterferenz
Nehmen wir nun ein Gitter mit so großen Spalten, dass sich in jedem Spalt nicht nur ein aktives
Zentrum befindet, sondern gleich mehrere. Wir haben also ein Gitter aus lauter Einzelspalten was ein
neues Interferenzbild zur Konsequenz hat, welches in etwa so aussieht:
Im Interferenzbild löschen sich die Minima der verschiedenen Bauteile aus! Dort wo die
Einzelspaltminima befinden ist keine Intensität, ebenso wenig dort wo die Gitterminima sind. Die
Gittermaxima werden immer nur so hoch, wie die Einzelspaltinterferenz es zulässt.
Seite 37
VI. Quantenphysik
1. Hertzscher Dipol
Einen Hertzschen Dipol entsteht aus einem Schwingkreis, den man am Kondensator „aufklappt“ und
in eine Gerade umbiegt – gleichzeitig macht man die Spule möglichst klein!
Nun erhält man, wenn man den Dipol mit
mi einer Spannung
auflädt immer abwechselnd ein elektrisches Feld und ein
magnetisches Feld – das magnetische Feld, da ein elektrisches
Feld Elektronen im Leiter bewegt und der fließende Strom
wiederum ein Magnetfeld auslöst – dies pendelt hin und her.
Der Dipol sendet also elektromagnetische Wellen aus!
2. Maxwell
Maxwell hat theoretisch überlegt, was in einem Leiterring passiert der ein
sich änderndes Magnetfeld umgibt. In diesem Leiterring müsste Spannung
induziert werden, sodass ein Kreisstrom entsteht dessen
des
Magnetfeld dem
Ausgangsfeld entgegenwirkt. Maxwell sagt nun weiter, dass die Elektronen
auch ohne Leiter das Magnetfeld umrunden würden, da es auch dann ein
elektrisches Feld geben würde. Dies hat zur Konsequenz, dass ein sich
änderndes Magnetfeld immerr von einem ringförmig geschlossenen
elektrischen Feld umgeben ist.
Dies ganze überlegt Maxwell nun
un auch noch einmal andersherum, also ob ein sich änderndes E-Feld
E
auch von einem B-Feld
Feld umgeben ist. Maxwell meint ja, da wenn sich das E-Feld
E Feld in einem
Kondensator
sator ändert, ändert sich auch die Zahl der polarisierten Teilchen und dabei muss ein Strom
fließen – der Polarisationsstrom und ein Strom hat ein kreisförmiges B-Feld
B Feld um sich.
Dies hat folgendes zur Konsequenz: Wenn wir beispielsweise ein E-Feld
E
erstellen,, so baut sich um
dieses Feld wie eine Schale ein B-Feld
B
auf – und um ein sich änderndes B-Feld
Feld baut sich wiederum ein
E-Feld
Feld auf und so weiter. Man erhält also um ein einfaches Feld unendlich viele BB und E-Felder,
Schale für Schale wie bei einer Zwiebel (Stichwort: Zwiebelschalenmodell).
Für die Ausbreitung von elektromagnetischen
Wellen meint Maxwell, dass das elektrische
und das magnetische Feld in Phase sind und
senkrecht zueinander, sowie senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung sich fortbewegen.
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit
usbreitungsgeschwindigkeit findet Maxwell weiterhin noch folgende Formel in der sich der
Zusammenhang mit E- und B-Feld
Feld erneut zeigt:
Seite 38
3. Licht als elektromagnetische Welle
Das Verhalten von elektromagnetischen Wellen bezüglich Reflexion, Brechung, stehenden Wellen,
Interferenz und ähnlichem legt nahe, dass auch die Lichtwellen elektromagnetische Wellen sind. Dies
beweist der Physiker Faraday mit dem Faraday-Effekt.
Bei diesem Experiment wird Licht durch einen Polarisator geschickt, sodass das komplette Licht nur
noch in eine Richtung polarisiert ist. Das Licht wird dann weiter durch einen Glaszylinder geschickt, in
dem ein magnetisches Feld wirkt. Nach dem Glaszylinder wird ein Analysator angebracht, mit dem
man die neue Polarisation messen kann.
Faraday erkannte, dass das Licht seine Polarisierung änderte, also vom Magnetfeld beeinflussbar ist.
Der Physiker Kerr probierte auch die Polarisierung einer Lichtwelle über ein elektrisches Feld zu
ändern, auch das funktionierte – Licht ist also eine elektromagnetische Welle!
4. Doppler-Effekt
Den Doppler-Effekt kennt man im Alltag
vermutlich am ehesten von dem
Sirenengeräusch von vorbeifahrenden
Rettungswägen welches zunächst
immer höher und dann, sobald das
Auto vorbei fährt wieder leiser wird.
Erklären lässt sich dies mit Hilfe der hier
abgebildeten Skizzen in denen die
grünen Punkte die Positionen eines
Wellenerregers zu vier Zeitpunkten
darstellen und die schwarzen Ringe die
jeweiligen Wellenmaxima zeigen.
Beim ruhenden Erreger sind die
Abstände zwischen zwei Maxima immer
gleich groß, ein Beobachter hört immer
diese Frequenz. Beginnen wir den
Erreger zu bewegen gelangen die Wellenmaxima rechts näher aneinander (ein dort stehender
Beobachter hört eine höhere Frequenz) links gehen sie weiter auseinander (der dort stehende
Beobachter hört eine geringere Frequenz). Mit Hilfe dieser Skizzen lässt sich auch der Überschallknall
erklären. Sobald der Erreger mit Schallgeschwindigkeit fliegt sind nahe dem Erreger alle
Wellenmaxima nahezu aufeinander, sie interferieren zu Wellen mit riesiger Amplitude es knallt!
Seite 39
Einen ähnlichen Effekt beobachtet man, wenn man als Beobachter sich auf einen ruhenden Erreger
zubewegt. Fährt man auf ihn zu, so nimmt man eine höhere Frequenz war, fährt man von ihm weg
nimmt man eine niedrigere war.
Für das Abitur reicht voraussichtlich diese Näherung für den Dopplereffekt um die Frequenz die der
Beobachter registriert zu berechnen:
∆8 8 "
?
,)[&
87I "
#)**)[&
833 8 c ∆8
Ob addiert oder subtrahiert werden muss um die beobachtete Frequenz zur erhalten kommt darauf
an, wer sich bewegt:
Erreger auf ruhenden
Beobachter zu
Œ4564 Œ5** K ∆Œ
Erreger von ruhendem
Beobachter weg
833 8 M ∆8
Beobachter auf
ruhenden Erreger zu
833 8 K ∆8
Beobachter von
ruhendem Erreger weg
833 8 M ∆8
Der Doppler-Effekt tritt auch bei anderen elektromagnetischen Wellen wie Licht auf! Dann muss
selbstverständlich die Schallgeschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit ersetzt werden!
5. Braggsche Reflexion
Bei der Braggschen Reflexion werden
meist Röntgenstrahlen an Kristallen
reflektiert, dabei haben die Kristalle
immer eine bestimmte
Gitterkonstante, die den Abstand
zweier Netzebenen anzeigt.
Die nun ankommenden parallelen
Lichtstrahlen werden an den
verschiedenen Netzebenen reflektiert und überlagern sich schlussendlich in einem Punkt. Von daher
wird nun wieder der Gangunterschied interessant. Dieser besteht aus den beiden grünen Strecken, er
ist also 2. Wir können den Gangunterschied auch in Abhängigkeit von dem Einfallswinkel (ACHTUNG
wird hier nicht zum Lot hin gemessen!) und von dem Netzebenenabstand angeben, sodass gilt:
sin3}4 b
sin3}4 " Nun wissen wir noch von vorhin, dass wir für einen Gangunterschied von "  immer Verdopplung
erhalten werden. Wenn wir nun 2 "  in die obere Formel einsetzen, so gilt:
"
sin3}4 " b
2
2 " sin3}4 " "  0,1,2, …
Die letzte erhaltene Formel heißt Braggsche Reflexionsbedingung und mit ihr lassen sich die
sogenannten Glanzwinkel n.ter Ordnung zu einer bestimmten Wellenlänge und einem bestimmten
Netzebenenabstand bestimmen.
Seite 40
5.1.Debye-Scherrer-Methode
Bei der Debye-Scherrer-Methode verwendet man keinen
großen Einkristall sondern ein Kristallpulver mit vielen
mikroskopisch kleinen Kristallen und bestrahlt diese mit
Röntgenlicht. Da nun jedes Kristallteil unter einem anderen
Winkel zu den einfallenden Strahlen liegt wird nur verdoppelt
interferiert wenn die Kristalle in einem Glanzwinkel zu den
einfallenden Strahlen liegen. Dann erhält man auf der
nachgeschalteten Fotoplatte ein Muster aus konzentrischen
Kreisen, wobei der innerste Kreis für den Glanzwinkel 1.
Ordnung steht,…
Auf der Fotoplatte kann man nun den Radius einen solchen Kreises bestimmen, man muss allerdings
dabei beachten, dass dieser einem Winkel von 2} entspricht!
6. Photoeffekt
Bestrahlt man eine Metallkathode mit Licht, so können aus dieser Photoelektronen
herausgeschlagen werden. Die entstandene Strahlung enthält Lichtquanten, sogenannte
Energieportionen. Den Teilchen wird innerhalb des Metalls eine bestimmte Energie übergeben.
Zunächst braucht es einen Teil der Energie um aus dem Metall heraus zu gelangen, den Rest könnte
es theoretisch als Bewegungsenergie behalten.
Mit dieser Bewegungsenergie gelangen die Elektronen zur Anode
und zwischen Anode und Kathode kann nun die erhaltene
Spannung gemessen werden und über der Frequenz der
Strahlung die benutzt wurde aufgetragen werden. Dabei erhält
man das hier rechts stehende Diagramm. Man erkennt, dass
unabhängig vom Kathodenmaterial die Steigung aller Geraden
konstant ist! Man bezeichnet diese Steigung als Plancksches
Wirkungsquantum ) und dieses ist eine Naturkonstante:
) 4,126 " 107 6,63 " 108 Weiterhin hat man herausgefunden, dass alle Quanten eine feste Energieportion erhalten. Diese
Energieportion hat die Größe ) " 8. Das ergibt dann mit den Überlegungen von vorher, dass diese
Energieportion der Ablösearbeit plus der maximal denkbaren kinetischen Energie entspricht. Damit
erhalten wir:
%
) " 8 6 K 6
*ö K k. &) 6
Was wir auch in den Diagrammen erkennen ist, dass wir erst eine Spannung erhalten, wenn die
Frequenz die Nullstelle überschritten hat. Die Frequenz an der Nullstelle heißt Grenzfrequenz. Bei ihr
ist die maximale kinetische Energie 0 und es kommen gerade noch keine Teilchen aus der Kathode.
Berechnen können wir sie so:
) " 8#) 6 K 0 b
Seite 41
8#) 6
)
7. Materiewellen
Schießt man Elektronen durch einen Doppelspalt oder andere Beugungsobjekte erkennt man, dass
sie scheinbar auch nach den Beugungsgesetzen funktionieren, was insofern merkwürdig ist das
normalerweise nur Wellen gebeugt werden und Teilchen nicht.
In diesem Fall haben wir allerdings Teilchen, also müssen Elektronen logischerweise auch einen
Wellencharakter haben. Diese Wellen sind Wahrscheinlichkeitswellen und diese
Wahrscheinlichkeitswellen für den Weg durch Spalt 1 oder 2 muss man überlagern. Die Überlagerung
von zwei Wahrscheinlichkeitswellen bezeichnet man als Superposition.
Die Wellenlänge von diesen Wahrscheinlichkeitswellen lässt sich mit dieser Formel berechnen

) 9*&) &7
!
!*
Diese Wellenlänge wird als De-Brogli Wellenlänge bezeichnet!
7.1.Quantenradierer
Macht man den Doppelspaltversuch wie gerade eben, so erkennt
man, dass es unmöglich ist herauszufinden welchen Weg die
Teilchen genommen haben. Dies möchte man nun herausfinden.
Dazu stellt man hinter die Spalte jeweils einen Polarisator, wobei
die beiden Polarisatoren orthogonal zueinander gestellt werden.
Die Wege wären nun unterscheidbar! Der Weg 1 wäre vertikal
Polarisiert, Weg 2 horizontal!
Nun bringt man noch einen dritten drehbaren Polarisator an und
stellt ihn zunächst auch in vertikale Stellung. Nun kommen nur alle
Teilchen aus Weg 1 durch, wir erhalten allerdings auch kein
Interferenzbild mehr. Bringen wir den dritten Polarisator in
horizontale Stellung kommen nur die Teilchen aus Weg 2 durch und wir erhalten auch kein
Interferenzmuster mehr auf dem Schirm.
Als nächsten Versuch drehen wir den dritten Polarisator in 45°-Stellung. Nun haben die Wege 1 und 2
beide jeweils 50% Wahrscheinlichkeit durch den Polarisator zu gelangen – die Wege sind wieder
gleichberechtigt und wir erhalten wieder ein Interferenzbild.
Man erkennt, dass man keine Weginformation herausfinden kann, denn es gilt das
Komplementaritätsprinzip. Teilchencharakter und Wellencharakter sind zueinander komplementär,
das heißt desto mehr Informationen wir von den Teilchen erhalten (bspw. Weg) desto weniger
Informationen erhalten wir von den Wellen (Interferenzbild) und umgekehrt!
Diesen Aufbau bezeichnet man übrigens als Quantenradierer, da hier der Teilchencharakter
ausradiert werden kann, sodass wir nur den Wellenaspekt haben!
Machen wir diesen Versuch mit Elektronen erhalten wir auch nur ein Interferenzmuster wenn beide
Wege exakt gleichberechtigt sind, wir also keine Weginformation haben können. Wenn wir an einem
Spalt einen Detektor einzusetzen bricht die Interferenzfigur zusammen. Dies beinhaltet zwei
grundsätzliche Probleme der Quantenphysik. Einmal das der Nichtlokalität was bedeutet, dass wenn
Seite 42
wir an einer Stelle etwas messen wir an einer anderen Stelle das Ergebnis komplett verändern und
dann das Problem der Nichtobjektivierbarkeit was so viel meint wie dass eine Messung an einer
Stelle das gesamte Experiment beeinflusst.
8. Weiteres zu Wahrscheinlichkeitswellen
Wahrscheinlichkeitswellen sind Wellen in denen die Wahrscheinlichkeit steckt ein Teilchen zum
Zeitpunkt am Ort k zu finden. Da es keine negative Wahrscheinlichkeit gibt müssen wir den Betrag
nehmen und das wiederum quadrieren um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Des Weiteren muss
man noch ein bestimmtes Intervall um den Ort k festlegen, in dem das Teilchen sein soll.
Der Ort an dem sich ein bestimmtes Teilchen befindet ist also nicht determiniert (festgelegt/
vorausbestimmt) wie in der klassischen Physik (wenn ich eine Kugel mit einer Geschwindigkeit rollen
lasse kann sie zu einer bestimmten Zeit nur an einem bestimmten Ort sein (Kausalitätsprinzip)– für
Teilchen gilt das nicht). Determiniert ist die Wellenfunktion für die Wahrscheinlichkeit Ž3k, 4!
9. Unschärferelation
Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit betrachtet man immer ein bestimmtes Intervall ∆k der
Wahrscheinlichkeitswelle. Wählt man dieses Intervall sehr scharf ist der Wert für ∆k ziemlich klein,
wählt man für ∆k einen eher großen Wert, so ist das Intervall eher unscharf – man spricht von einer
Ortsunschärfe.
Nun wollen wir für diese Ortsunschärfe den Impuls berechnen. Wie man bei  schon erkennen
kann, hängen Strecke (Wellenlänge) und der Impuls zusammen über den Faktor )  " !, sie sind
komplementäre Größen.
Ersetzen wir in dieser Formel nun die Wellenlänge durch die Ortsunschärfe ∆k, dann müssen wir
auch den Impuls durch die Impulsunschärfe ersetzen. Damit erhalten wir:
 " 
) 5 ∆k
∆!%
Wir erkennen in der Formel, dass desto genauer wir beispielsweise den Ort bestimmen, desto
ungenauer erhalten wir den Impuls und umgekehrt! Diese Formel gilt natürlich nicht nur für die xRichtung im dreidimensionalen Raum, sondern auch für y und z:
 " 
) 5 ∆k
∆!%
) 5 
∆ " 
∆!9
) 5 
∆I " 
∆!)
Zwei weitere komplementäre Größen sind Energie und Beobachtungszeit, hier gilt:
) 5 
∆ " 
∆
Diese vier Beziehungen werden als Heisenbergsche Unschärferelation bezeichnet.
Seite 43
VII. Schlusswort des Autors
Au
Auch für Physik gibt es denk ich einiges an Stoff, auch wenn in der Zusammenfassung
an einigen Stellen vermutlich etwas zu ausführlich erklärt als es für das Abi nötig
gewesen wäre – ich hoffe es hilft dafür die ein oder andere Formel besser zu verstehen.
Ich hab im Gegensatz zu Herr Junkers Formelblätter noch meistens die Experimente
dazugeschrieben, mit denen man die Formel erhalten hat (klassische Aufgabe:
Berechnen sie … und geben sie ein Experiment an, mit dem sich … auch bestimmen
lässt).
Wie schon oben erwähnt sind die Überpunkte manchmal nicht so ganz sauber
angeordnet – sie sind wie gesagt so, dass ich Herr Junkers die Reihenfolge von Herr
Junkers Zusammenfassungsblätter nicht durcheinander bringe.
Wie immer könnt ihr mir bei Fragen/Fehlern/eigenen
Fragen/Fehlern/eigenen Zusammenfassungen/gelösten
Abiaufgaben oder was auch sonst eine Mail schreiben ([email protected]).
Ich versuche noch bis Mittwoch ein bisschen was zur Landeskunde in Englisch und zu
Deutsch zusammen zu schreiben. Mal schauen wie viel Zeit ich finde.
find
In dem Sinne wünsche ich allen, die ich nicht mehr vor dem Abitur sehe viel Erfolg
beim Abitur und viel Erfolg in eurem weiteren (Berufs-)Leben.
(Berufs
Mit freundlichem Gruß,
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