Korrektur zum Photonpropagator

Korrektur zum Photonpropagator
γ
γ
➥ Kein Massenterm für das Photon
„amputiert′′
Korrektur zum Photonpropagator
γ
γ
➥ Kein Massenterm für das Photon
☞ Grund: Eichinvarianz
„amputiert′′
Korrektur zum Propagator des Elektrons
γ
„amputiert′′
➥ Korrektur zum Massenterm proportional zu me
δme ∼ me
α
Λ
ln
π
me
Korrektur zum Propagator des Elektrons
γ
„amputiert′′
➥ Korrektur zum Massenterm proportional zu me
δme ∼ me
α
Λ
ln
π
me
☞ Grund: Chirale Symmetrie im Limes me → 0
Ψe → ei λ γ5 Ψe
und
Ψe → Ψe ei λ γ5
Korrektur zum Propagator des Higgs–Bosons
☞ Yukawakopplung der Fermionen an das Higgsboson
λf
λf
L = − λf f̄ f φ + h.c. = − √ h f̄ f − √ v f̄ f + h.c.
2
2
| {z }
=mf
Korrektur zum Propagator des Higgs–Bosons
☞ Yukawakopplung der Fermionen an das Higgsboson
λf
λf
L = − λf f̄ f φ + h.c. = − √ h f̄ f − √ v f̄ f + h.c.
2
2
| {z }
=mf
f
☞ Diagramm: h
λf
λf
f
h
„amputiert′′
Korrektur zum Propagator des Higgs–Bosons
☞ Yukawakopplung der Fermionen an das Higgsboson
λf
λf
L = − λf f̄ f φ + h.c. = − √ h f̄ f − √ v f̄ f + h.c.
2
2
| {z }
=mf
f
☞ Diagramm: h
λf
λf
f
☞ Korrektur quadratisch: δm2h ∼
λ2f
h
16π2
„amputiert′′
Λ2 ≫ m2h
Korrektur zum Propagator des Higgs–Bosons
☞ Yukawakopplung der Fermionen an das Higgsboson
λf
λf
L = − λf f̄ f φ + h.c. = − √ h f̄ f − √ v f̄ f + h.c.
2
2
| {z }
=mf
f
☞ Diagramm: h
λf
λf
f
☞ Korrektur quadratisch: δm2h ∼
➥ Hierarchie–Problem
λ2f
h
16π2
„amputiert′′
Λ2 ≫ m2h
Beseitigung der quadratischen Divergenz (I)
fL und e
fR mit Kopplungen
☞ Postulat: Es gibt Skalarfelder e
L
e
f
=
e 2 e 2
e 2 |e
λef |φ| fL + fR + λf Af φ e
fL e
fR + h.c − m
fL |2 + |e
fR |2
2
Beseitigung der quadratischen Divergenz (I)
fL und e
fR mit Kopplungen
☞ Postulat: Es gibt Skalarfelder e
L
e
f
=
e 2 e 2
e 2 |e
λef |φ| fL + fR + λf Af φ e
fL e
fR + h.c − m
fL |2 + |e
fR |2
2
➥ Neue Diagramme
f˜L ,f˜R
e
f
Πh (0)
=
h
=
∼ Λ2
− 2 λef
Z
h
4
„amputiert′′
1
d k
(2π)4 k2 − me2
f
Beseitigung der quadratischen Divergenz (I)
fL und e
fR mit Kopplungen
☞ Postulat: Es gibt Skalarfelder e
L
e
f
=
e 2 e 2
e 2 |e
λef |φ| fL + fR + λf Af φ e
fL e
fR + h.c − m
fL |2 + |e
fR |2
2
➥ Neue Diagramme
f˜L ,f˜R
e
f
Πh (0) =
h
ee
Πhf f (0)

=
=


h


h
vλf˜
feL , feR
„amputiert′′
vλf˜
h
+
λf Af
∼ Λ2
feL , feR
h
λf Af



h


feL , feR
feL , feR
„amputiert′′
h
i Z d4 k
1
2 (λef v)2 + (λf Af )2
∼ ln Λ
4
2
(2π) (k − me2 )2
f
Beseitigung der quadratischen Divergenz (II)
☞ Postulat: λef = − λ2f
Beseitigung der quadratischen Divergenz (II)
☞ Postulat: λef = − λ2f
☞ Quadratisch divergenter Anteil
q.D.
Πh
=
2 λ2f
Z
m2f − me2
d4 k
f
(2π)4 (k2 − m2f ) (k2 − me2 )
f
Beseitigung der quadratischen Divergenz (II)
☞ Postulat: λef = − λ2f
☞ Quadratisch divergenter Anteil
q.D.
Πh
=
2 λ2f
Z
m2f − me2
d4 k
f
(2π)4 (k2 − m2f ) (k2 − me2 )
f
☞ Quadratische Divergenz verschwindet, falls
1
2
eine gleiche Anzahl an bosonischen und fermionischen
Freiheitsgraden existiert
es Beziehungen zwischen den dimensionslosen Kopplungen
in L gibt
Beseitigung der quadratischen Divergenz (II)
☞ Postulat: λef = − λ2f
☞ Quadratisch divergenter Anteil
q.D.
Πh
=
2 λ2f
Z
m2f − me2
d4 k
f
(2π)4 (k2 − m2f ) (k2 − me2 )
f
☞ Quadratische Divergenz verschwindet, falls
1
2
eine gleiche Anzahl an bosonischen und fermionischen
Freiheitsgraden existiert
es Beziehungen zwischen den dimensionslosen Kopplungen
in L gibt
☞ Korrektur verschwindet identisch, falls
3
m2f = me2 = me2
4
Af = 0
fL
fR
Beseitigung der quadratischen Divergenz (II)
☞ Postulat: λef = − λ2f
☞ Quadratisch divergenter Anteil
q.D.
Πh
=
2 λ2f
Z
m2f − me2
d4 k
f
(2π)4 (k2 − m2f ) (k2 − me2 )
f
☞ Quadratische Divergenz verschwindet, falls
1
2
eine gleiche Anzahl an bosonischen und fermionischen
Freiheitsgraden existiert
es Beziehungen zwischen den dimensionslosen Kopplungen
in L gibt
☞ Korrektur verschwindet identisch, falls
3
m2f = me2 = me2
4
Af = 0
fL
fR
➥ Symmetrie/Relation zwischen Bosonen und Fermionen
Beseitigung der quadratischen Divergenz (III)
☞ Mögliche Lösung des Hierarchie–Problems unter folgenden
Voraussetzungen:
1
2
Es gibt die gleiche Anzahl an bosonischen und fermionischen
Freiheitsgraden.
Es existieren Beziehungen zwischen den Kopplungen.
Beseitigung der quadratischen Divergenz (III)
☞ Mögliche Lösung des Hierarchie–Problems unter folgenden
Voraussetzungen:
1
2
Es gibt die gleiche Anzahl an bosonischen und fermionischen
Freiheitsgraden.
Es existieren Beziehungen zwischen den Kopplungen.
➥ Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen
Q |Bosoni = |Fermioni
und
Q |Fermioni = |Bosoni
Wess–Zumino–Modell (I)
on−shell
☞ Lagrangedichte: LWZ
= L Skalar + L Fermion
∗
LSkalar = ∂µ φ ∂µ φ
LFermion = i ψ̄ σ̄µ ∂µ ψ
Wess–Zumino–Modell (I)
on−shell
☞ Lagrangedichte: LWZ
= L Skalar + L Fermion
☞ (Super-)symmetrie–Transformation des Skalarfeldes
δε φ = ε ψ
und
δε φ∗ = ε ψ̄
infinitesimaler a–Zahl–wertiger konstanter Weyl–Spinor
Wess–Zumino–Modell (I)
on−shell
☞ Lagrangedichte: LWZ
= L Skalar + L Fermion
☞ (Super-)symmetrie–Transformation des Skalarfeldes
δε φ = ε ψ
und
δε φ∗ = ε ψ̄
➥ Transformation der skalaren Lagrangedichte
δε LSkalar = ε (∂µ ψ) ∂µ φ∗ + ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
Wess–Zumino–Modell (I)
on−shell
☞ Lagrangedichte: LWZ
= L Skalar + L Fermion
☞ (Super-)symmetrie–Transformation des Skalarfeldes
δε φ = ε ψ
und
δε φ∗ = ε ψ̄
➥ Transformation der skalaren Lagrangedichte
δε LSkalar = ε (∂µ ψ) ∂µ φ∗ + ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
☞ Vorläufige Transformation des Fermions
δε ψα = − i (σµ ε)α ∂µ φ
und
δε ψ̄α̇ = i (ε σµ )α̇ ∂µ φ∗
Wess–Zumino–Modell (I)
on−shell
☞ Lagrangedichte: LWZ
= L Skalar + L Fermion
☞ (Super-)symmetrie–Transformation des Skalarfeldes
und
δε φ = ε ψ
δε φ∗ = ε ψ̄
➥ Transformation der skalaren Lagrangedichte
δε LSkalar = ε (∂µ ψ) ∂µ φ∗ + ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
☞ Vorläufige Transformation des Fermions
δε ψα = − i (σµ ε)α ∂µ φ
und
δε ψ̄α̇ = i (ε σµ )α̇ ∂µ φ∗
➥ Transformation der fermionischen Lagrangedichte
δε LFermion
=
−ε ∂µ ψ ∂µ φ∗ − ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
− ∂µ ε σν σ̄µ ψ ∂ν φ∗ − ε ψ ∂µ φ∗ − ε ψ̄ ∂µ φ
Wess–Zumino–Modell (I)
on−shell
☞ Lagrangedichte: LWZ
= L Skalar + L Fermion
☞ (Super-)symmetrie–Transformation des Skalarfeldes
und
δε φ = ε ψ
δε φ∗ = ε ψ̄
➥ Transformation der skalaren Lagrangedichte
δε LSkalar = ε (∂µ ψ) ∂µ φ∗ + ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
☞ Vorläufige Transformation des Fermions
δε ψα = − i (σµ ε)α ∂µ φ
und
δε ψ̄α̇ = i (ε σµ )α̇ ∂µ φ∗
➥ Transformation der fermionischen Lagrangedichte
δε LFermion
=
−ε ∂µ ψ ∂µ φ∗ − ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
hhhh
((((
(
(
(
ν h
µ hh∗(
µ
∗
h
(
− ∂µ ε σ σ̄(
ψ(
∂ν(
φ −h
ε ψh∂hφh− ε ψ̄ ∂µ φ
(
h
hhh
(((
Wess–Zumino–Modell (I)
on−shell
☞ Lagrangedichte: LWZ
= L Skalar + L Fermion
☞ (Super-)symmetrie–Transformation des Skalarfeldes
δε φ = ε ψ
und
δε φ∗ = ε ψ̄
➥ Transformation der skalaren Lagrangedichte
δε LSkalar = ε (∂µ ψ) ∂µ φ∗ + ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
☞ Vorläufige Transformation des Fermions
δε ψα = − i (σµ ε)α ∂µ φ
und
δε ψ̄α̇ = i (ε σµ )α̇ ∂µ φ∗
➥ Transformation der fermionischen Lagrangedichte
δε LFermion = −ε ∂µ ψ ∂µ φ∗ − ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
Z
➥ δε S =
d4 x (δε LSkalar + δε LFermion ) = 0
Identitäten für Pauli–Matrizen
σµαα̇ σ̄β̇β
µ
σµαα̇ σµββ̇
=
=
2 δβα δβ̇α̇
2 εαβ εα̇β̇
σ̄µα̇α σ̄β̇β
µ
µ ν
ν µ β
σ σ̄ + σ σ̄ α
µ ν
β̇
σ̄ σ + σ̄ν σµ α̇
=
2 εαβ εα̇β̇
=
2 ηµν δβα
=
2 ηµν δβ̇α̇
=
=
ηµν σ̄ρ + ηνρ σ̄µ − ηµρ σ̄ν − i εµνρκ σ̄κ
ηµν σρ + ηνρ σµ − ηµρ σν + i εµνρκ σκ
σ̄µ σν σ̄ρ
σµ σ̄ν σρ
Wess–Zumino–Modell (II)
➥ Transformation der skalaren Lagrangedichte
δε LSkalar = ε (∂µ ψ) ∂µ φ∗ + ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
➥ Transformation der fermionischen Lagrangedichte
δε LFermion
=
−ε ∂µ ψ ∂µ φ∗ − ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
− ∂µ ε σν σ̄µ ψ ∂ν φ∗ − ε ψ ∂µ φ∗ − ε ψ̄ ∂µ φ
Wess–Zumino–Modell (II)
➥ Transformation der skalaren Lagrangedichte
δε LSkalar = ε (∂µ ψ) ∂µ φ∗ + ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
➥ Transformation der fermionischen Lagrangedichte
δε LFermion
=
−ε ∂µ ψ ∂µ φ∗ − ε ∂µ ψ̄ ∂µ φ
− ∂µ ε σν σ̄µ ψ ∂ν φ∗ − ε ψ ∂µ φ∗ − ε ψ̄ ∂µ φ
➥ δε S =
Z
d4 x (δε LSkalar + δε LFermion ) = 0
Wess–Zumino–Modell (III)
☞ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen für
Skalarfeld
δ ε2 δ ε1 − δ ε1 δ ε2 φ
≡
δ ε2 δ ε1 φ − δ ε1 δ ε2 φ
Wess–Zumino–Modell (III)
☞ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen für
Skalarfeld
δ ε2 δ ε1 − δ ε1 δ ε2 φ
≡
=
δ ε2 δ ε1 φ − δ ε1 δ ε2 φ
i (−ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 ) ∂µ φ
Wess–Zumino–Modell (III)
☞ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen für
Skalarfeld
δ ε2 δ ε1 − δ ε1 δ ε2 φ
≡
=
δ ε2 δ ε1 φ − δ ε1 δ ε2 φ
i (−ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 ) ∂µ φ
➥ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen
generiert Translation!
Wess–Zumino–Modell (III)
☞ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen für
Skalarfeld
δ ε2 δ ε1 − δ ε1 δ ε2 φ
≡
=
δ ε2 δ ε1 φ − δ ε1 δ ε2 φ
i (−ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 ) ∂µ φ
➥ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen
generiert Translation!
☞ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen für
Fermion
δε2 δε1 − δε1 δε2 ψα
=
i (−ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 ) ∂µ ψα
+ i ε1α ε2 σ̄µ ∂µ ψ − i ε2α ε1 σ̄µ ∂µ ψ
Wess–Zumino–Modell (III)
☞ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen für
Skalarfeld
δ ε2 δ ε1 − δ ε1 δ ε2 φ
≡
=
δ ε2 δ ε1 φ − δ ε1 δ ε2 φ
i (−ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 ) ∂µ φ
➥ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen
generiert Translation!
☞ Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen für
Fermion
δε2 δε1 − δε1 δε2 ψα
=
i (−ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 ) ∂µ ψα
+ i ε1α ε2 σ̄µ ∂µ ψ − i ε2α ε1 σ̄µ ∂µ ψ
☞ i ε1α ε2 σ̄µ ∂µ ψ − i ε2α ε1 σ̄µ ∂µ ψ verschwindet (nur) on–shell
Wess–Zumino–Modell (IV)
☞ Hilfsfeld F mit Lagrangedichte LHilfsfeld = F ∗ F
Wess–Zumino–Modell (IV)
☞ Hilfsfeld F mit Lagrangedichte LHilfsfeld = F ∗ F
☞ Bewegungsgleichungen
∂LHilfsfeld
∂LHilfsfeld !
− ∂µ
= 0
∂F
∂(∂µF)
Wess–Zumino–Modell (IV)
☞ Hilfsfeld F mit Lagrangedichte LHilfsfeld = F ∗ F
☞ Bewegungsgleichungen
∂LHilfsfeld
∂LHilfsfeld !
− ∂µ
= 0
∂F
∂(∂µF)
y
F = F∗ = 0
Wess–Zumino–Modell (IV)
☞ Hilfsfeld F mit Lagrangedichte LHilfsfeld = F ∗ F
☞ Bewegungsgleichungen
∂LHilfsfeld
∂LHilfsfeld !
− ∂µ
= 0
∂F
∂(∂µF)
y
F = F∗ = 0
☞ Ansatz für Supersymmetrie–Transformation
δε F = − i εσ̄µ ∂µ ψ und
δε F ∗ = i ∂µ ψ̄σ̄µ ε
Wess–Zumino–Modell (IV)
☞ Hilfsfeld F mit Lagrangedichte LHilfsfeld = F ∗ F
☞ Bewegungsgleichungen
∂LHilfsfeld
∂LHilfsfeld !
− ∂µ
= 0
∂F
∂(∂µF)
y
F = F∗ = 0
☞ Ansatz für Supersymmetrie–Transformation
δε F = − i εσ̄µ ∂µ ψ und
δε F ∗ = i ∂µ ψ̄σ̄µ ε
➥ δε LHilfsfeld = − i εσ̄µ ∂µ ψ F ∗ + i ∂µ ψ̄ σ̄µ ε F
Wess–Zumino–Modell (IV)
☞ Hilfsfeld F mit Lagrangedichte LHilfsfeld = F ∗ F
☞ Bewegungsgleichungen
∂LHilfsfeld
∂LHilfsfeld !
− ∂µ
= 0
∂F
∂(∂µF)
y
F = F∗ = 0
☞ Ansatz für Supersymmetrie–Transformation
δε F = − i εσ̄µ ∂µ ψ und
δε F ∗ = i ∂µ ψ̄σ̄µ ε
➥ δε LHilfsfeld = − i εσ̄µ ∂µ ψ F ∗ + i ∂µ ψ̄ σ̄µ ε F
☞ Modifizierte Transformation des Fermions
δε ψα
δε ψα̇
= −i (σµ ε)α ∂µ φ + εα F
= i (εσµ )α̇ ∂µ φ∗ + εα̇ F ∗
Wess–Zumino–Modell (IV)
☞ Hilfsfeld F mit Lagrangedichte LHilfsfeld = F ∗ F
☞ Bewegungsgleichungen
∂LHilfsfeld
∂LHilfsfeld !
− ∂µ
= 0
∂F
∂(∂µF)
y
F = F∗ = 0
☞ Ansatz für Supersymmetrie–Transformation
δε F = − i εσ̄µ ∂µ ψ und
δε F ∗ = i ∂µ ψ̄σ̄µ ε
➥ δε LHilfsfeld = − i εσ̄µ ∂µ ψ F ∗ + i ∂µ ψ̄ σ̄µ ε F
☞ Modifizierte Transformation des Fermions
δε ψα
δε ψα̇
= −i (σµ ε)α ∂µ φ + εα F
= i (εσµ )α̇ ∂µ φ∗ + εα̇ F ∗
➥ δε LFermion + δε LHilfsfeld = 0 (bis auf totale Ableitung)
Wess–Zumino–Modell (V)
☞ Off–shell Lagrangedichte
off−shell
LWZ
= LSkalar + LFermion + LHilfsfeld
Wess–Zumino–Modell (V)
☞ Off–shell Lagrangedichte
off−shell
LWZ
= LSkalar + LFermion + LHilfsfeld
☞ Transformation der Komponenten–Felder
δε2 δε1 − δε1 δε2 X = i (−ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 ) ∂µ X
X ∈ {φ, φ∗ , ψ, ψ̄, F, F ∗ }
Wess–Zumino–Modell (V)
☞ Off–shell Lagrangedichte
off−shell
LWZ
= LSkalar + LFermion + LHilfsfeld
☞ Transformation der Komponenten–Felder
δε2 δε1 − δε1 δε2 X = i (−ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 ) ∂µ X
☞ Freiheitsgrade im Wess–Zumino–Modell
on–shell (nB = nF = 2)
off–shell (nB = nF = 4)
φ
2
2
ψ
2
4
F
0
2
Super–Strom und Super–Ladung
☞ Noether–Strom
εJ µ + εJ
µ
≡
X
X
δε X
δL
− Kµ
δ(∂µ X)
X ∈ {φ, φ∗ , ψ, ψ̄, F, F ∗ }
totale Ableitung
Super–Strom und Super–Ladung
☞ Noether–Strom
εJ µ + εJ
µ
≡
X
δε X
X
δL
− Kµ
δ(∂µ X)
☞ Mögliche Darstellung
Jαµ
=
µ
J α̇
=
(σν σ̄µ ψ)α ∂ν φ∗
ψ̄σ̄µ σν α̇ ∂ν φ
Super–Strom und Super–Ladung
☞ Noether–Strom
εJ µ + εJ
µ
≡
X
δε X
X
δL
− Kµ
δ(∂µ X)
☞ Mögliche Darstellung
Jαµ
=
µ
J α̇
=
(σν σ̄µ ψ)α ∂ν φ∗
ψ̄σ̄µ σν α̇ ∂ν φ
µ
☞ Strom–Erhaltung ∂µ Jαµ = ∂µ J α̇ = 0
Super–Strom und Super–Ladung
☞ Noether–Strom
εJ µ + εJ
µ
≡
X
δε X
X
δL
− Kµ
δ(∂µ X)
☞ Mögliche Darstellung
Jαµ
=
µ
J α̇
=
(σν σ̄µ ψ)α ∂ν φ∗
ψ̄σ̄µ σν α̇ ∂ν φ
µ
☞ Strom–Erhaltung ∂µ Jαµ = ∂µ J α̇ = 0
☞ Erhaltene Ladungen
√ Z 3 0
Qα = 2 d x J α und
Qα̇
√ Z 3 0
= 2 d x J α̇
Supersymmetrie–Algebra (I)
☞ Kommutator–Relation
h
i h
i
ε2 Q + ε2 Q, ε1 Q + ε1 Q, X − ε1 Q + ε1 Q, ε2 Q + ε2 Q, X
=
2 (ε1 σµ ε2 − ε2 σµ ε1 ) i ∂µ X
Supersymmetrie–Algebra (I)
☞ Kommutator–Relation
h
i h
i
ε2 Q + ε2 Q, ε1 Q + ε1 Q, X − ε1 Q + ε1 Q, ε2 Q + ε2 Q, X
2 (ε1 σµ ε2 − ε2 σµ ε1 ) i ∂µ X
=
☞ Energie- und Impuls–Operatoren
H
=
~
P
=
Z
h
i
~ † ) · (∇φ)
~ + i ψ~
~
d3 x π† π + (∇φ
σ · ∇ψ
Z
~ψ
~ φ + π† ∇
~ φ† + i ψ σ̄0 ∇
− d3 x π ∇
Supersymmetrie–Algebra (I)
☞ Kommutator–Relation
h
i h
i
ε2 Q + ε2 Q, ε1 Q + ε1 Q, X − ε1 Q + ε1 Q, ε2 Q + ε2 Q, X
2 (ε1 σµ ε2 − ε2 σµ ε1 ) i ∂µ X
=
☞ Energie- und Impuls–Operatoren
H
=
~
P
=
Z
h
i
~ † ) · (∇φ)
~ + i ψ~
~
d3 x π† π + (∇φ
σ · ∇ψ
Z
~ψ
~ φ + π† ∇
~ φ† + i ψ σ̄0 ∇
− d3 x π ∇
☞ Vierer–Impuls generiert Raum–Zeit–Translation
µ P , X = − i ∂µ X
X ∈ {φ, φ∗ , ψ, ψ̄, F, F ∗ }
Supersymmetrie–Algebra (II)
☞ Kommutator–Relation
ε2 Q + ε2 Q, ε1 Q + ε1 Q
= 2 −ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 Pµ
Supersymmetrie–Algebra (II)
☞ Kommutator–Relation
ε2 Q + ε2 Q, ε1 Q + ε1 Q
= 2 −ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 Pµ
☞ N = 1 Supersymmetrie–Algebra
{Qα , Qα̇ }
{Qα , Qβ }
{Qα̇ , Qβ̇ }
= 2σµαα̇ Pµ
= 0
= 0
Supersymmetrie–Algebra (II)
☞ Kommutator–Relation
ε2 Q + ε2 Q, ε1 Q + ε1 Q
= 2 −ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 Pµ
☞ N = 1 Supersymmetrie–Algebra
{Qα , Qα̇ }
{Qα , Qβ }
{Qα̇ , Qβ̇ }
= 2σµαα̇ Pµ
= 0
= 0
☞ Für globale Supersymmetrie
h
i
Qα , Pµ = 0 und
Qα̇ , Pµ = 0
Supersymmetrie–Algebra (II)
☞ Kommutator–Relation
ε2 Q + ε2 Q, ε1 Q + ε1 Q
= 2 −ε1 σµ ε2 + ε2 σµ ε1 Pµ
☞ N = 1 Supersymmetrie–Algebra
{Qα , Qα̇ }
{Qα , Qβ }
{Qα̇ , Qβ̇ }
= 2σµαα̇ Pµ
= 0
= 0
☞ Für globale Supersymmetrie
h
i
Qα , Pµ = 0 und
Qα̇ , Pµ = 0
☞ Transformation der (un-)gepunkteten Spinoren
h
i
α̇
β̇
M µν , Q
M µν , Qα = − 21 (σµν )α β Qβ und
= − 12 (σµν )α̇ β̇ Q
Das Coleman–Mandula–Theorem
☞ Relativistische Feldtheorie, die den folgenden Annahmen
genügt:
1
2
3
Zu jeder Masse M existiert nur eine endliche Anzahl an
Spezies mit Masse kleiner als M.
Jeder Zwei–Teilchen–Zustand unterzieht sich für fast alle
Energien, d.h. alle bis auf endlich viele, einer Reaktion.
Die Amplituden der elastischen Zwei–Körper–Streuung sind
analytische Funktionen der Streuwinkel für fast alle Energien
und Winkel.
Das Coleman–Mandula–Theorem
☞ Relativistische Feldtheorie, die den folgenden Annahmen
genügt:
1
2
3
Zu jeder Masse M existiert nur eine endliche Anzahl an
Spezies mit Masse kleiner als M.
Jeder Zwei–Teilchen–Zustand unterzieht sich für fast alle
Energien, d.h. alle bis auf endlich viele, einer Reaktion.
Die Amplituden der elastischen Zwei–Körper–Streuung sind
analytische Funktionen der Streuwinkel für fast alle Energien
und Winkel.
Folgerung:
Dann ist jede bosonische Symmetrie der
S–Matrix das direkte Produkt aus
Poincaré–Gruppe und einer internen
Symmetrie.
Das Coleman–Mandula–Theorem
☞ Relativistische Feldtheorie, die den folgenden Annahmen
genügt:
1
2
3
Zu jeder Masse M existiert nur eine endliche Anzahl an
Spezies mit Masse kleiner als M.
Jeder Zwei–Teilchen–Zustand unterzieht sich für fast alle
Energien, d.h. alle bis auf endlich viele, einer Reaktion.
Die Amplituden der elastischen Zwei–Körper–Streuung sind
analytische Funktionen der Streuwinkel für fast alle Energien
und Winkel.
Folgerung:
Dann ist jede bosonische Symmetrie der
S–Matrix das direkte Produkt aus
Poincaré–Gruppe und einer internen
Symmetrie.
☞ Konsequenz: Die Generatoren einer echten Erweiterung
der Poincaré–Gruppe müssen fermionisch sein.
Haag–Sohnius–Łopuszański–Theorem
☞ Voraussetzung 1: Die Zustände sind in einem Hilbert–Raum
mit „positiv definiter Metrik“, d.h.
2
o E
D n
2 . . . G, G† . . . = G |. . .i + G† |. . .i > 0
H
für jeden Generator G , 0.
Haag–Sohnius–Łopuszański–Theorem
☞ Voraussetzung 1: Die Zustände sind in einem Hilbert–Raum
mit „positiv definiter Metrik“, d.h.
2
o E
D n
2 . . . G, G† . . . = G |. . .i + G† |. . .i > 0
H
für jeden Generator G , 0.
☞ Voraussetzung 2: Die Energie ist positiv, d.h.
P0 |E, . . .i = E |E, . . .i
y
E > 0
Haag–Sohnius–Łopuszański–Theorem
☞ Voraussetzung 1: Die Zustände sind in einem Hilbert–Raum
mit „positiv definiter Metrik“, d.h.
2
o E
D n
2 . . . G, G† . . . = G |. . .i + G† |. . .i > 0
H
für jeden Generator G , 0.
☞ Voraussetzung 2: Die Energie ist positiv, d.h.
P0 |E, . . .i = E |E, . . .i
y
E > 0
➥ Maximale Erweiterung der Poincaré–Algebra
Pµ , Pν
M µν , Pρ
M µν , M ρσ
=
0
=
i ηνρ Pµ − ηµρ Pν
=
−i ηµρ M νσ − ηνσ M νρ − ηνρ M µσ + ηνσ M µρ
Maximale Erweiterung der Poincaré–Algebra
[Br , Bs ]
Br , Pµ
i
h
Qiα , Pµ
h
i
M µν , Qiα
i
h
α̇
M µν , Qi
i
h
Qiα , Bj
h i
i
Qα̇ , Bj
o
n
j
Qiα , Qβ̇
Qiα , Qjβ
n i jo
Qα̇ , Qβ̇
Zij , ∗
=
=
=
i ct Bt
rs
Br , M µν = 0
h i
i
Qα̇ , Pµ = 0
=
− 21 (σµν )α β Qiβ
=
− 12 (σµν )α̇ β̇ Qi
=
(bj )ik Qkα
=
−(bj )ik Qα̇
=
2 δij σµαβ̇ Pµ
=
2εαβ Zij
=
−2 εα̇β̇ Zij
=
0
β̇
ℓ
mit Zij = arij Br
mit Zij = Z†ij