Kap_06 (mehrstufige Zufallsexperimente)

Kapitel
Kapitel66
Mehrstufige
Mehrstufige Zufallsexperimente
Zufallsexperimente
Inhalt
Inhalt
6.1
6.1Mehrstufige
MehrstufigeExperimente
Experimente
6.2
6.2Bedingte
BedingteWahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten
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Kapitel 6
Seite 1
1
6.1
6.1Mehrstufige
MehrstufigeExperimente
Experimente
Grundvorstellung:
Grundvorstellung:
Viele
VieleExperimente
Experimentewerden
werdender
derReihe
Reihenach
nach(in
(inStufen)
Stufen)ausgeführt.
ausgeführt.
Dabei
können
die
Experimente
einer
Stufe
von
den
Experimente
Dabei können die Experimente einer Stufe von den Experimenteder
der
vorigen
vorigenStufen
Stufenabhängen
abhängenoder
odernicht.
nicht.
Grundmodellierung:
Grundmodellierung:
ΩΩ ==ΩΩ1 ××ΩΩ2 ××ΩΩ3 ××...
...××ΩΩnn,,
1
2
3
dabei
dabeiist
ist ΩΩi i die
dieErgebnismenge
Ergebnismengeder
deri-ten
i-tenStufe.
Stufe.
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Kapitel 6
Beispiel
Beispiel
In
Ineiner
einerUrne
Urneseien
seieneine
eine rote
rote und
unddrei
dreiblaue
blaue Kugeln
Kugelnenthalten.
enthalten.
Man
Manzieht
ziehtzufällig
zufälligeine
eineder
derKugeln
Kugelnund
undlegt
legtdann
danndiese
diese
und
undeine
eineweitere
weitereKugel
Kugelder
dergezogenen
gezogenenFarbe
Farbeinindie
dieUrne
Urnezurück.
zurück.
Nun
Nunzieht
ziehtman
manein
einzweites
zweitesMal.
Mal.
Wie
Wiegroß
großist
istdie
dieWahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeit,jetzt
jetzteine
eine rote
rote Kugel
Kugelzu
zuziehen?
ziehen?
Modellierung:
Modellierung: ΩΩ ==ΩΩ11××ΩΩ22mit
mit ΩΩ11==ΩΩ22== {r,
{r,b}.
b}.
Das
Ereignis
„beim
zweiten
Mal
eine
rote
Kugel“
Das Ereignis „beim zweiten Mal eine rote Kugel“ist
ist
AA=={(r
{(r,,r),
r),(b
(b,,r)}.
r)}.
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Kapitel 6
Seite 2
2
Bestimmung
Bestimmungder
derWahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten
Frage:
Frage:Was
Wasist
ist p(ω)
p(ω) für
für ωω==(a
(a11,, aa22))∈∈A?
A?
1.
1.Stufe:
Stufe:Die
DieWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitfür
für rr ist
ist ¼,
¼,die
diefür
für bb ist
ist ¾.
¾.
2.
2.Stufe:
Stufe:
Im
ImFall
Fall aa11== rr enthält
enthältdie
dieUrne
Urnevor
vordem
demzweiten
zweitenZiehen
Ziehen
22 rote
und
3
blaue
Kugeln.
rote und 3 blaue Kugeln.
Also
Alsoist
istdie
dieWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitfür
für rot
rot==2/5.
2/5.
Im
ImFall
Fall aa11== bb enthält
enthältdie
dieUrne
Urnevor
vordem
demzweiten
zweitenZiehen
Ziehen
11 rote
und
4
blaue
Kugeln.
rote und 4 blaue Kugeln.
Also
Alsoist
istdie
dieWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitfür
für rot
rot==1/5.
1/5.
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Kapitel 6
Übergangswahrscheinlichkeiten
Übergangswahrscheinlichkeiten
Daraus
Darausergibt
ergibtsich
sich
p(r,
p(r,r)r)==1/4⋅2/5
1/4⋅2/5==2/20,
2/20, p(r,
p(r,b)
b)==1/4
1/4 ⋅3/5
⋅3/5==3/20,
3/20,
p(b,
p(b,r)r)==3/4⋅1/5
3/4⋅1/5==3/20,
3/20, p(b,
p(b,b)
b)==3/4
3/4 ⋅4/5
⋅4/5==12/20.
12/20.
Erster
ErsterFaktor:
Faktor:Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitfür
fürdas
daserste
ersteExperiment
Experiment
Zweiter
Faktor:
Wahrscheinlichkeit
für
den
Ausgang
Zweiter Faktor: Wahrscheinlichkeit für den Ausgangdes
deszweiten
zweiten
Experiments
Experimentsaufgrund
aufgrunddes
desAusgangs
Ausgangsdes
desersten
erstenExperiments
Experiments
Diese
Diese„zweiten
„zweitenFaktoren“
Faktoren“heißen
heißenÜbergangswahrscheinlichkeiten.
Übergangswahrscheinlichkeiten.
Es
Esergibt
ergibtsich:
sich:P(A)
P(A)==p(r,
p(r,r)r)++p(b,
p(b,r)r)==2/20
2/20++3/20
3/20==¼.
¼.
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Kapitel 6
Seite 3
3
Baumdiagramm
Baumdiagramm
Start
1/4
3/4
r
2/5
r
2/20
b
1/5
3/5
4/5
b
r
b
3/20
3/20
12/20
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Kapitel 6
Pfadregeln
Pfadregeln
An
Anjeder
jederVerbindung
Verbindungfindet
findetman
mandie
dieentsprechende
entsprechende
Übergangswahrscheinlichkeit.
Übergangswahrscheinlichkeit.
1.
1.Pfadregel
Pfadregel(Multiplikationsregel):
(Multiplikationsregel):Um
Umdie
dieWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
eines
einesElementarereignisses
Elementarereignisses ωω zu
zuerhalten,
erhalten,multipliziert
multipliziertman
mandie
die
Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitenauf
aufdem
demPfad
Pfadzu
zu ω.
ω.
2.
2.Pfadregel
Pfadregel(Additionsregel):
(Additionsregel):Um
Umdie
dieWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeiteines
eines
Ereignisses
A
zu
erhalten,
addiert
man
die
Wahrscheinlichkeiten
Ereignisses A zu erhalten, addiert man die Wahrscheinlichkeiten
aller
allerEreignisse
Ereignisse ωω∈∈A.
A.
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Kapitel 6
Seite 4
4
Formalisierung
Formalisierung
1.
1.Startverteilung:
Startverteilung:Es
Esgibt
gibtWahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten
pp1(a
), a ∈ Ω mit p1(a
) + p1(a
) + ... = 1.
1(ai i), ai i ∈ Ω11 mit p
1(a11) + p
1(a22) + ... = 1.
2.
2.Für
Füralle
alle aai i∈∈ΩΩ11 gibt
gibtes
esÜbergangswahrscheinlichkeiten
Übergangswahrscheinlichkeiten
pp2(b
 a ), b ∈ Ω mit p2(b
 a ) + p2(b
 a ) + ... = 1.
2(bj j  ai i), bj j ∈ Ω22 mit p
2(b11  ai i) + p
2(b22  ai i) + ... = 1.
3.
3.Für
Füralle
alle aai i∈∈ΩΩ11,,bbj j∈∈ΩΩ22 gibt
gibtes
esÜbergangswahrscheinlichkeiten
Übergangswahrscheinlichkeiten
pp3(c(ck aai,,bbj),),cck ∈∈ΩΩ3 mit
p3(c(c1 aai,,bbj))++pp3(c(c2 aai,,bbj))++...
...==1.
1.
3 k
i
j
k
3 mit p
3 1
i
j
3 2
i
j
Usw.
Usw.
1.
1.Pfadregel:
Pfadregel:Für
Für ωω== (a
(ai,i,bbj,j,cckk,,...)
...)gilt
gilt
p(ω)
p(ω)==pp11(a
(ai)i)⋅ ⋅pp22(b
(bj jaai)i)⋅ ⋅pp33(c(ckkaai,i,bbj)j)⋅ ⋅...
...
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Kapitel 6
Produktexperimente
Produktexperimente
•• Idee:
Idee:Das
Dasj-te
j-teExperiment
Experimentwird
wird„unabhängig“
„unabhängig“von
vonden
denersten
ersten j–1
j–1
Experimenten
Experimentendurchgeführt.
durchgeführt.
•• Vorstellung:
Vorstellung:(a)
(a)Experimente
Experimenteräumlich
räumlichund
undzeitlich
zeitlichgetrennt.
getrennt.
(b)
(b)Experimente
Experimentegleichzeitig.
gleichzeitig.
•• Beispiel:
Beispiel:Mehrfaches
MehrfachesWürfeln
Würfeln
•• Mathematische
MathematischeBeschreibung:
Beschreibung:
Für
Für ωω== (a
(ai,i,bbj,j,cckk,,...)
...)gilt
gilt
p(ω)
p(ω)==pp11(a
(ai)i)⋅ ⋅pp22(b
(bj jaai)i)⋅ ⋅pp33(c(ckkaai,i,bbj)j)⋅ ⋅...
...
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Kapitel 6
Seite 5
5
6.2
6.2Bedingte
BedingteWahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten
•• Idee:
Idee:Verwertung
Verwertungvon
vonTeilinformationen,
Teilinformationen,
„Lernen
aus
Erfahrung“
„Lernen aus Erfahrung“
•• In
Inder
derRegel:
Regel:Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeiteines
einesEreignisses,
Ereignisses,
das
feststeht
–
das
wir
aber
nicht
kennen.
das feststeht – das wir aber nicht kennen.
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Kapitel 6
Beispiele
Beispiele1,
1,22
Beispiel
Beispiel1.
1. In
Ineiner
einerUrne
Urnesind
sindzwei
zweirote,
rote,zwei
zweischwarze
schwarzeund
undzwei
zwei
blaue
blaueKugeln.
Kugeln.Eine
EinePerson
Personzieht
ziehtzufällig
zufälligKugeln
Kugeln(ohne
(ohneZurücklegen).
Zurücklegen).
Sie
Sieteilt
teilteiner
eineranderen
anderenPerson
Person(per
(perTelefon)
Telefon)mit,
mit,wann
wannsie
siezum
zumersten
ersten
Mal
eine
blaue
Kugel
zieht.
Mal eine blaue Kugel zieht.
Angenommen,
Angenommen,das
dasist
istbeim
beimdritten
drittenMal.
Mal.
Wie
Wiegroß
großist
istdie
dieWahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeit,dass
dassdie
dieersten
erstenbeiden
beidenKugeln
Kugeln
rot
rot waren?
waren?
Beispiel
Beispiel2.
2. „Ziegenproblem“:
„Ziegenproblem“:Der
DerKandidat
Kandidatzeigt
zeigtauf
aufTür
Tür1,
1,der
der
Moderator
öffnet
Tür
3
(Ziegentür).
Wie
groß
ist
die
Moderator öffnet Tür 3 (Ziegentür). Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeit,dass
dassTür
Tür22die
dieAutotür
Autotürist?
ist?
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Seite 12
Kapitel 6
Seite 6
6
Beispiel
Beispiel33
Beispiel
Beispiel3.
3. Weit
Weitentfernt
entferntwerden
werdenzwei
zweiWürfel
Würfelgeworfen.
geworfen.Per
PerTelefon
Telefon
erhalten
wir
die
Nachricht
„Augensumme
mindestens
8“.
erhalten wir die Nachricht „Augensumme mindestens 8“.
Wie
Wiegroß
großist
istdie
dieWahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeit,dass
dassmindestens
mindestenseiner
einerder
der
Würfel
eine
Sechs
zeigt?
Würfel eine Sechs zeigt?
Bemerkung:
Bemerkung:Bei
Beiallen
allenExperimenten
Experimentengeht
gehtes
esum
umdie
die
Wahrscheinlichkeit
eines
Ereignisses,
das
feststeht
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das feststeht––aber
aberuns
uns
unbekannt
unbekanntist.
ist.
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Kapitel 6
Erste
Erstemathematische
mathematischeModellierung
Modellierung
Wir
Wirbetrachten
betrachtenein
einZufallsexperiment
Zufallsexperiment ω.
ω.
Wir
Wirwissen
wissennur,
nur,dass
dassein
einEreignis
Ereignis BB⊆⊆ΩΩ eingetreten
eingetretenist,
ist,
dass
also
ω
∈
B
ist.
dass also ω ∈ B ist.
Ziel:
Ziel:Bestimmung
Bestimmungder
derWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitfür
fürdas
dasEintreten
Eintreteneines
eines
Ereignisses
A
⊆
Ω
unter
der
Bedingung
B.
Ereignisses A ⊆ Ω unter der Bedingung B.
Wir
Wirschreiben
schreibendafür
dafür P(AB).
P(AB).
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Kapitel 6
Seite 7
7
Motivation
Motivationdurch
durchrelative
relativeHäufigkeiten
Häufigkeiten
Man
Mankönnte
könntesich
sichvorstellen,
vorstellen,den
denWert
Wert P(AB)
P(AB) dadurch
dadurchanzunähren,
anzunähren,
dass
dassman
manviele
vieleVersuche
Versuchedurchführt:
durchführt:
rnr (AB)
= (Anzahl der Versuche, in denen A und B eintritt) :
n(AB) = (Anzahl der Versuche, in denen A und B eintritt) :
(Anzahl
(Anzahlder
derVersuche,
Versuche,bei
beidenen
denen BB eintritt)
eintritt)
Anders
Andersgeschrieben:
geschrieben:
rnr (AB)
= rr (A
∩ B) / rr (B).
n(AB) = n
n(A ∩ B) / n
n(B).
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Kapitel 6
Definition
Definition
Definition.
Definition.Sei
Sei (Ω,
(Ω,P)
P) ein
einWahrscheinlichkeitsraum,
Wahrscheinlichkeitsraum,
und
undseien
seien A,
A,BB⊆⊆ΩΩ Ereignisse
Ereignissemit
mit P(B)
P(B)>>0.
0.
Dann
Dannheißt
heißt
P(AB)
P(AB)== P(A
P(A ∩∩B)
B)//P(B)
P(B)
die
diebedingte
bedingteWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitvon
von AA
unter
unterder
derBedingung
Bedingung(Hypothese
(Hypothese)) B.
B.
Schreibweise:
Schreibweise:PPBB(A)
(A)== P(AB)
P(AB)
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Kapitel 6
Seite 8
8
Einfache
EinfacheEigenschaften
Eigenschaften
6.2.1
6.2.1Hilfssatz.
Hilfssatz.
(a)
0
≤
(a) 0 ≤PPBB(A)
(A)≤≤ 11 für
füralle
alle AA⊆⊆Ω.
Ω.
(b)
P
(Ω)
=
P
(B)
=
1.
(b) PB (Ω) = PB (B) = 1.
B
B
(c)
(c)PPBB(A
(A11∪∪AA22))==PPBB(A
(A11))++PPBB(A
(A22),),falls
falls AA1,1,AA22 disjunkte
disjunkteEreignisse
Ereignisse
sind.
sind.
Beweis.
Beweis. (a)
(a)Wegen
Wegen AA∩∩BB⊆⊆ BB ist
ist P(A
P(A∩∩B)
B)≤≤P(B),
P(B),also
also P(AB)
P(AB)==
P(A
P(A ∩∩B)
B)//P(B)
P(B) ≤≤1.
1.
(c)
(c)PPBB(A
(A11∪A
∪A22))==P((A
P((A11∪A
∪A22))∩∩B)
B)//P(B)
P(B)==P((A
P((A11∩B)
∩B)∪∪(A
(A22∩B))
∩B))//P(B)
P(B)==
[P(A
[P(A1∩B)
∩B)++P(A
P(A2∩B)]
∩B)]//P(B)
P(B)==P(A
P(A1∩B)
∩B)//P(B)
P(B)++P(A
P(A2∩B)
∩B)//P(B)
P(B)==
1
2
1
2
PPB(A
) + P (A ).
B(A11) + PBB(A22).
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Kapitel 6
Spezialfall
Spezialfall
Für
Für ωω∈∈ΩΩ gilt
gilt
ppB(ω)
= p(ω) ⋅ P(B)–1–1, falls w ∈ B
B(ω) = p(ω) ⋅ P(B) , falls w ∈ B
ppB(ω)
= 0 sonst.
B(ω) = 0 sonst.
D.h.
D.h.man
manstellt
stelltsich
sichvor,
vor,dass
dassfür
füralle
alle ωωΩΩ die
dieWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
–1
p(ω)
um
den
Faktor
P(B)
–1
vergrößert
wird,
und
p(ω) um den Faktor P(B) vergrößert wird, undsonst
sonst==00 gesetzt
gesetzt
wird.
wird.
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Kapitel 6
Seite 9
9
Lösung
Lösung1.
1.Beispiel
Beispiel
Wir
Wirnummerieren
nummerierendie
dieKugeln
Kugelnmit
mit1,
1,2,
2,3,
3,4,
4,5,
5,66 durch,
durch,wobei
wobei
1,
1,2:
2:rot,
rot,3,
3,4:
4:blau,
blau,5,
5,6:
6:schwarz.
schwarz.
Wir
Wirbetrachten
betrachtendie
dieEreignisse
Ereignisse
AA=={(a
{(a11,, aa22,, aa33)){a
{a11,, aa22}}=={1,2}}
{1,2}}(„die
(„diebeiden
beidenersten
erstenKugeln
Kugelnsind
sindrot“)
rot“)
BB=={(a
{(a11,, aa22,, aa33))aa33∈∈{3,4},
{3,4},aa11,, aa22∈∈{1,2,5,6}}
{1,2,5,6}}(„beim
(„beim dritten
drittenWurf
Wurf
zum
ersten
Mal
eine
blaue
Kugel“).
zum ersten Mal eine blaue Kugel“).
Wir
Wirinteressieren
interessierenuns
unsfür
fürP(AB
P(AB).).
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Kapitel 6
Lösung
Lösung1.
1.Beispiel
Beispiel
Es
Esgilt
gilt
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Kapitel 6
Seite 10
10
Das
DasZiegenproblem
Ziegenproblem
Wir
Wirmodellieren
modellierendas
dasZiegenproblem
Ziegenproblemwie
wiefolgt:
folgt:
Sei
Sei ΩΩ=={1,2,3}
{1,2,3} ×× {1,2,3}
{1,2,3}×× {1,2,3}.
{1,2,3}.Ein
EinElement
Element ωω==(a
(a11,, aa22,, aa33))∈∈ΩΩ
interpretieren
interpretierenwir
wirso:
so:aa1 ist
istdie
dieNummer
Nummerder
derAutotüre,
Autotüre, aa2 die
dieNummer
Nummer
1
2
der
dervom
vomKandidaten
Kandidatengewählten
gewählten Tür,
Tür,aa33 die
die vom
vom Moderator
Moderator geöffnete
geöffnete
Tür.
Tür.
Für
Fürdie
dieWahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeitennehmen
nehmenwir
wiran:
an:
pp1(j)
= 1/3, denn das Auto wird zufällig auf eine der Türen verteilt.
1(j) = 1/3, denn das Auto wird zufällig auf eine der Türen verteilt.
pp2(k
 j) = 1/3, denn der Kandidat wählt rein zufällig eine Tür.
2(k  j) = 1/3, denn der Kandidat wählt rein zufällig eine Tür.
Es
Esgilt
gilt p(ω)
p(ω)==p(a
p(a11,, aa22,, aa33))==pp11(a
(a11))⋅ ⋅pp22(a
(a22aa11))⋅ ⋅pp33(a
(a33aa11,, aa22).).
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Kapitel 6
Das
DasZiegenproblem
ZiegenproblemIIII
Wir
Wirnehmen
nehmenan,
an,dass
dassder
derModerator
Moderatorim
imFall,
Fall,dass
dassihm
ihmzwei
zweiTüren
Türen
zur
Auswahl
stehen,
zufällig
eine
der
beiden
wählt.
Das
bedeutet:
zur Auswahl stehen, zufällig eine der beiden wählt. Das bedeutet:
pp3(h
 j, k) = 1, falls j, k, h die drei Zahlen 1, 2, 3 sind.
3(h  j, k) = 1, falls j, k, h die drei Zahlen 1, 2, 3 sind.
pp3(h
 j, k) = 1/2, falls j = k, aber h ≠ j.
3(h  j, k) = 1/2, falls j = k, aber h ≠ j.
pp3(h
 j, k) = 0 in allen anderen Fällen.
3(h  j, k) = 0 in allen anderen Fällen.
Das
Dasbedeutet
bedeutet
p(j,
p(j,k,k,h)
h)==1/9,
1/9,falls
falls j,j,k,k,hh die
diedrei
dreiZahlen
Zahlen 1,
1,2,
2,33 sind.
sind.
p(j,
p(j,k,k,h)
h)==1/18,
1/18,falls
falls j j==k,k,aber
aber hh ≠≠ j.j.
p(j,
p(j,k,k,h)
h)==00 ininallen
allenanderen
anderenFällen.
Fällen.
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Kapitel 6
Seite 11
11
Das
DasZiegenproblem
ZiegenproblemIII:
III:Die
DieGewinnwahrscheinlichkeiten
Gewinnwahrscheinlichkeiten
Schließlich
Schließlichdefinieren
definierenwir:
wir:
AAj == {(a
{(a11,, aa22,, aa33))∈∈ΩΩaa11==j}j}(„das
(„dasAuto
Autoist
isthinter
hinterder
derTüre
Türej“)
j“)
j
W
Wkk== {(a
{(a11,, aa22,, aa33))∈∈ΩΩaa22==k}
k}(„der
(„derKandidat
Kandidatwählt
wähltTüre
Türek“)
k“)
M
Mhh== {(a
{(a11,, aa22,, aa33))∈∈ΩΩaa33==h}
h}(„der
(„derModerator
Moderatoröffnet
öffnetdie
dieTüre
Türe h“)
h“)
Wir
Wirinteressieren
interessierenuns
unszum
zumBeispiel
Beispielfür
fürdie
dieWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
P(A
P(A22W
W11∩∩M
M33),),d.h.
d.h.die
dieWahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeit,das
dasAuto
Autohinter
hinterTür
Tür22
zu
zufinden,
finden,falls
fallsder
derKandidat
KandidatTür
Tür11gewählt
gewähltund
undder
derModerator
ModeratorTür
Tür33
geöffnet
geöffnethat
hat(Erfolg
(Erfolgder
derWechselstrategie).
Wechselstrategie).
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Kapitel 6
Das
DasZiegenproblem
ZiegenproblemIV
IV
P(A
P(A22W
W11∩∩M
M33))==P(A
P(A22∩∩W
W11∩∩M
M33))//P(W
P(W11∩∩M
M33))==
==p(2,
p(2,1,
1,3)
3)//[p(2,
[p(2,1,
1,3)
3)++p(1,
p(1,1,
1,3)]
3)]==1/9
1/9//[1/9
[1/9++1/18]
1/18]==2/3.
2/3.
(Beachte,
(Beachte,dass
dass W
W11∩∩M
M33=={(2,1,3),
{(2,1,3),(1,1,3)},
(1,1,3)},da
dadas
dasEreignis
Ereignis (3,1,3)
(3,1,3)
nicht
möglich
ist.)
nicht möglich ist.)
Andererseits
Andererseitsist
ist
P(A
P(A11W
W11∩∩M
M33))==P(A
P(A11∩∩W
W11∩∩M
M33))//P(W
P(W11∩∩M
M33))==
==p(1,
p(1,1,
1,3)
3)//[p(2,
[p(2,1,
1,3)
3)++p(1,
p(1,1,
1,3)]
3)]==1/18
1/18//[1/9
[1/9++1/18]
1/18]==1/3.
1/3.
Mit
Mitanderen
anderenWorten:
Worten:Die
DieWechselstrategie
Wechselstrategieverdoppelt
verdoppeltdie
die
Gewinnchancen!
Gewinnchancen!
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Seite 24
Kapitel 6
Seite 12
12
Die
DieFormel
Formelvon
vonder
dertotalen
totalenWahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
6.2.2
6.2.2Formel
Formelvon
vonder
dertotalen
totalenWahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeit.Seien
Seien AA11,,AA2,2,
…,
…,AAss Ereignisse,
Ereignisse,die
diepaarweise
paarweisedisjunkt
disjunktsind,
sind,und
undfür
fürdie
die AA11∪∪AA22∪∪
…
…∪∪AAs ==ΩΩ gilt.
gilt.Dann
Danngilt
giltfür
fürjedes
jedesEreignis
Ereignis B:
B:
s
P(B)
P(B)==P(A
P(A11)⋅P(B
)⋅P(BAA11))++P(A
P(A22)⋅P(B
)⋅P(BAA22))++…+
…+ P(A
P(Ass)⋅P(B
)⋅P(B AAss).).
Beweis
Beweisfür
für ss==2.
2.
P(B)
P(B)==P(Ω
P(Ω ∩∩B)
B)==P((A
P((A11∪∪AA22))∩∩B)
B)==P((A
P((A11∩∩B)
B)∪∪(A
(A22∩∩B))
B))
==P(A
P(A11∩∩B)
B)++P(A
P(A22∩∩B)
B)==P(A
P(A11)⋅P(B
)⋅P(BAA11))++P(A
P(A22)⋅P(B
)⋅P(BAA22).).
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Seite 25
Kapitel 6
Die
DieFormel
Formelvon
vonBayes
Bayes
6.2.3
6.2.3Formel
Formelvon
vonBayes
Bayes(Thomas
(ThomasBayes
Bayes 1702-1761).
1702-1761). Seien
Seien P(A)
P(A)>>
0,
P(B)
>
0.
Dann
gilt:
0, P(B) > 0. Dann gilt:
P(A
P(AB)
B)==P(A)
P(A) ⋅ ⋅P(B
P(BA)
A)//P(B).
P(B).
Beweis.
Beweis. Da
Da P(A)
P(A)>>00 und
und P(B)
P(B)>>0,
0,existieren
existierendie
diebedingten
bedingten
Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten P(B
P(BA)
A) und
und P(A
P(AB),
B),und
undnach
nachDefinition
Definition
gelten:
gelten:
P(A
P(A∩∩B)
B)==P(A
P(AB)
B)⋅ ⋅P(B)
P(B) und
und P(A
P(A∩∩B)
B)==P(B
P(BA)
A)⋅ ⋅P(A).
P(A).
Zusammen
Zusammenfolgt
folgt
P(A
P(AB)
B)⋅ ⋅P(B)
P(B)==P(A
P(A∩∩B)
B)==P(B
P(BA)
A)⋅ ⋅P(A).
P(A).
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Seite 26
Kapitel 6
Seite 13
13
Das
DasSimpson-Paradox
Simpson-Paradox
Vor
Voreinigen
einigenJahren
Jahrentrat
tratan
ander
derUniversity
Universityof
ofBerkeley
BerkeleyininKalifornien
Kalifornien
folgendes
Phänomen
auf:
folgendes Phänomen auf:
--Unter
Unterjeje1000
1000Bewerbern
Bewerbernwurde
wurdeweniger
wenigerFrauen
Frauenals
alsMänner
Männer
zugelassen,
zugelassen,
--ininjedem
jedemFach
Fachwurden
wurdenFrauen
Frauengegenüber
gegenüberMännern
Männernprozentual
prozentual
bevorzugt.
bevorzugt.
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Kapitel 6
Simpson-Paradox:
Simpson-Paradox:Beispiel
Beispiel
Wir
Wirmachen
machenuns
unsdas
dasan
aneinem
einemBeispiel
Beispielklar.
klar.Die
DieUniversität
Universitätmöge
möge
nur
zwei
Fächer
haben.
nur zwei Fächer haben.
Männer
Männer
Frauen
Frauen
Bewerber
Bewerber
zugelassen
zugelassen Bewerberinnen
Bewerberinnenzugelassen
zugelassen
Fach
Fach11
900
900
720
720(80%)
(80%)
200
200
180
180(90%)
(90%)
Fach
Fach22
100
100
20
20(20%)
(20%)
800
800
240
240(30%)
(30%)
Summe
Summe
1000
1000
740
740
1000
1000
420
420
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Seite 28
Kapitel 6
Seite 14
14
Stochastische
StochastischeUnabhängigkeit
Unabhängigkeit
Wir
Wirwollen
wollenausdrücken,
ausdrücken,dass
dassdas
dasEintreten
Eintreteneines
einesEreignisses
Ereignisses BB
keinen
keinenEinfluss
Einflussauf
aufdas
dasEintreten
Eintreteneines
einesEreignisses
Ereignisses AA hat.
hat.
Definition.
Definition.Seien
Seien AA und
undBB Ereignisse.
Ereignisse.Wir
Wirnennen
nennendiese
diese
stochastisch
stochastischunabhängig,
unabhängig,wenn
wenn P(A)
P(A)==P(A
P(AB)
B) gilt.
gilt.
Beobachtung:
Beobachtung:P(A)
P(A)==P(A
P(AB)
B)⇔
⇔ P(A
P(A B)
B)== P(A)⋅P(B)
P(A)⋅P(B)
⇔
⇔ P(B)
P(B)==P(B
P(BA).
A).
(Beweis:
(Beweis: P(A)
P(A)==P(A
P(AB)
B)⇔
⇔ P(A)
P(A)==P(A
P(A∩∩B)
B)//P(B)
P(B)
⇔
⇔ P(A)
P(A)⋅ ⋅P(B)
P(B)==P(A
P(A∩∩B)
B)
⇔
⇔ P(B)
P(B)==P(A
P(A∩∩B)
B)//P(A)
P(A)⇔
⇔ P(B)
P(B)==P(B
P(BA).)
A).)
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Seite 29
Kapitel 6
Beispiele
Beispiele
1.
1.Würfeln
Würfelnmit
miteinem
einemWürfel:
Würfel:AA=={2,3},
{2,3},BB=={2,4,6}.
{2,4,6}.
P(A)
P(A)==2/6
2/6==1/3,
1/3,P(B)
P(B)==3/6
3/6==1/2,
1/2,P(A
P(A∩∩B)
B)==1/6.
1/6.
2.
2.Zweimaliges
ZweimaligesWürfeln.
Würfeln.AA==Augensumme
Augensummeist
istgerade,
gerade,BB==der
dererste
erste
Wurf
hat
eine
gerade
Augenzahl
Wurf hat eine gerade Augenzahl
P(A)
P(A)==1/2,
1/2,P(B)
P(B)==1/2,
1/2,P(A
P(A ∩∩B)
B)==¼.
¼.
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Seite 30
Kapitel 6
Seite 15
15
Komplementäre
KomplementäreEreignisse
Ereignisse
6.2.4
6.2.4Hilfssatz.
Hilfssatz.Seien
Seien AA und
und BB unabhängige
unabhängigeEreignisse.
Ereignisse.Dann
Dann
sind
auch
A
und
B
(=
Ω
\
B)
unabhängig.
sind auch A und B (= Ω \ B) unabhängig.
Beweis.
Beweis. Es
Esgilt
gilt
P(A
P(A∩∩B)
B)==P(A
P(A\\(A
(A∩∩B))
B))==P(A)
P(A) ––P(A
P(A∩∩B)
B)
==P(A)
P(A) ––P(A)
P(A)⋅ ⋅P(B)
P(B)
==P(A)
P(A) ⋅ ⋅(1
(1––P(B))
P(B))==P(A)
P(A) ⋅ ⋅P(B).
P(B).
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Seite 31
Kapitel 6
Verallgemeinerung
Verallgemeinerungder
derDefinition
Definition
Definition.
Definition.Drei
DreiEreignisse
Ereignisse A,
A,B,
B,CC werden
werden stochastisch
stochastisch
unabhängig
genannt,
wenn
folgende
Gleichungen
unabhängig genannt, wenn folgende Gleichungengelten:
gelten:
P(A)
P(A)⋅ ⋅P(B)
P(B)==P(A
P(A∩∩B),
B),
P(B)
⋅
P(C)
=
P(B
∩
C),
P(B) ⋅ P(C) = P(B ∩ C),
P(A)
P(A)⋅ ⋅P(C)
P(C)==P(A
P(A∩∩C),
C),
P(A)
⋅
P(B)
⋅
P(C)
=
P(A
P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C) = P(A∩∩BB∩∩C).
C).
Entsprechend:
Entsprechend:Verallgemeinerung
Verallgemeinerungauf
aufvier,
vier,fünf,
fünf,…
…Ereignisse.
Ereignisse.
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Kapitel 6
Seite 16
16
Beispiel
Beispiel
Viermaliger
ViermaligerMünzwurf.
Münzwurf.
AA==Kopf
Kopfim
imersten
erstenWurf
Wurf
BB==Kopf
Kopfim
imzweiten
zweitenWurf
Wurf
CC==Kopf
Kopfim
imdritten
drittenWurf
Wurf
P(A)
P(A)==P(B)
P(B)==P(C)
P(C)==1/2.
1/2.
P(A
P(A∩∩B)
B)==P(B
P(B∩∩C)
C)==P(A
P(A∩∩C)
C)==1/4.
1/4.
P(A
P(A∩∩BB∩∩C)
C)==1/8.
1/8.
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Kapitel 6
Seite 17
17