Elektromagnetische Feldtheorie Vorlesungsskript

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Elektromagnetische Feldtheorie
Vorlesungsskript
Prof. Dr. G. Wachutka
3. November 2010
Inhaltsverzeichnis
2
Inhaltsverzeichnis
1 Klassische Kontinuumstheorie des Elektromagnetismus
1.1 Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Energie von elektromagnetischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Elektrische Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Magnetische Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . .
1.3 Potentialdarstellung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential . . . . . . . . .
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung . . . . . . . . .
1.4 Feldverhalten an Materialgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Grenzflächenbedingung für die normalen Feldkomponenten . . . .
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten .
1.5 Das Randwertproblem der Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Das RWP der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme . . . . . . . . . . .
1.5.2.1 Dirichletsche Randwertbedingung . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.2 Neumannsche Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.3 Gemischtes Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung . . . . . .
1.5.3.1 Orthogonalentwicklung nach Eigenfunktionen von ∆ . .
1.5.3.2 Lösung mittels Greenfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.3 Spiegelladungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen . . . . . . . . . . . .
1.5.4.1 Grundgleichungen, Rand- und Grenzflächenbedingungen
1.5.5 Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4
8
12
14
16
16
19
22
22
25
29
29
33
33
34
36
40
40
43
46
50
50
55
3
1 Klassische Kontinuumstheorie des
Elektromagnetismus in materiellen
Medien
1.1 Maxwellsche Gleichungen
Die Grundgleichungen des Elektromagnetismus lassen sich wie folgt zusammenfassen
(vgl. § 4.4 der Vorlesung Elektrizität und Magnetismus ):
#»
div D = ρ
(1.1)
#»
∂B
#»
rot E = −
∂t
(1.2)
#»
div B = 0
(1.3)
#»
#» #» ∂ D
rot H = j +
∂t
(1.4)
Die Maxwellschen Gleichungen sind Naturgesetze.
4
Hinzu kommen die drei phänomenologischen Materialgleichungen (Modellgleichungen):
#»
#»
D = E
(1.5)
#»
#»
B = µH
(1.6)
#»
#»
j = σE
(1.7)
Das System (1.1) - (1.7) ist auf einem Gebiet Ω ⊂ E3 zu lösen (nach entsprechender
#» #»
Substitution und Elimination ergibt sich ein geschlossenes System für E, H ).
Nach Vorgabe von passend gewählten Randwerten auf ∂Ω und Anfangsbedingungen für
t = t0 sind hierdurch alle elektromagnetischen Vorgänge vollständig bestimmt.
1.2 Energie von elektromagnetischen Feldern
1.2.1 Elektrische Energiedichte
(i) Energie zum Aufbau einer diskreten Ladungsanordnung (qi , #»
r i )|i=1, ..., N :
1
Wel =
4π
=
N
X
k=2
=
q3 q1
q3 q2
q2 q 1
+ #»
+ #»
+ ...
#»
#»
#»
| r 2 − r 1 | | r 3 − r 1 | | r 3 − #»
r 2|
N
X
X
qk k−1
qi
1
qk qi
=
#»
#»
#»
4π i=1 | r k − r i | i<k 4π | r k − #»
r i|
i,k=1
N
1 1 X
qk qi
#»
2 4π i6=k | r k − #»
r i|
i,k=1
!
1.2.1 Elektrische Energiedichte
5
(ii) Übergang zu einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ( #»
r ):
(qi , #»
r i )|i=1, ..., N
N
X
{. . . , #»
r i , . . .} qi
i=1
→
→
ρ( #»
r)
{. . . , #»
r , . . .} ρ( #»
r ) d3 r
Z
V
Also:
1 Z Z ρ( #»
r )ρ( #»
r 0) 3 3 0
Wel =
d rd r
8π
| #»
r − #»
r 0|
(1.8)
V V
(iii) Differentielle Änderung der elektrischen Energie:
ρ( #»
r ) → ρ( #»
r ) + δρ( #»
r)
Folgende Definitionen sollen gelten:
F (α) := Wel [ρ + αδρ] ; α ∈ R
d
δWel [ρ, δρ] :=
Wel [ρ + αδρ]
dα
α=0
Damit gilt:
dF · 1 + O δρ2
Wel [ρ + δρ] = F (1) = F (0) +
dα α=0
d
= Wel [ρ] +
Wel [ρ + αδρ]
+ O δρ2
dα
α=0
= Wel [ρ] + δWel [ρ; δρ] + O δρ2
1.2.1 Elektrische Energiedichte
6
Dadurch folgt für die differentielle Änderung der elektrischen Energie:
d  1 1 Z Z (ρ( #»
r ) + αδρ( #»
r ))(ρ( #»
r 0 ) + αδρ( #»
r 0 )) 3 3 0 
δWel =
d
r
d
r
dα 2 4π
| #»
r − #»
r 0|


V V
1 1 Z Z d
=
2 4π
dα
V V
V V
=
Z
V
!
(ρ( #»
r ) + αδρ( #»
r ))(ρ( #»
r 0 ) + αδρ( #»
r 0 )) d3 r d3 r0
#»
#»
0
|r − r |
α=0
!
ρ( #»
r ) δρ( #»
r 0 ) δρ( #»
r ) ρ( #»
r 0)
+ #» #»0
d3 r d3 r 0
| #»
r − #»
r 0|
|r − r |
1 1 Z Z
=
2 4π
Z
1 Z ρ( #»
r 0)
3 0
3
#»
d r δρ( r ) d r = Φ( #»
r ) δρ( #»
r ) d3 r
4π | #»
r 0 − #»
r|
V
V
Φ( #»
r ): Elektrostatisches Potential
{z
|
}
Fazit:
δWel =
Z
Φ( #»
r ) δρ( #»
r ) d3 r
(1.9)
V
#»
#»
(iv) Darstellung durch Feldgrößen E bzw. D:
#»
• δρ verursacht δD gemäß div δ D = δρ .
#»
#»
• E genügt E = −∇Φ.
#»
• δρ sei eingeschlossen in der Kugel K( 0 , R).
Damit folgt:
#»
Φ( #»
r ) div δ D( #»
r ) d3 r
Z
δWel =
#»
K( 0 ,R)
=−
Z
#»
K( 0 ,R)
α=0
#»
#»
grad Φ( #»
r ) δ D( #»
r ) d3 r +
Φ( #»
r ) δ D( #»
r ) |{z}
d #»
a
|
{z
}
| {z } | {z }
#»
δK( 0 ,R)
1
1 ∼ R2
−E( #»
r)
∼
∼ 2
R
R
Z
1.2.1 Elektrische Energiedichte
7
Für R → ∞ folgt damit:
Z
δWel =
#»
#»
E · δ D d3 r
(1.10)
R3
Zudem gilt:
Z
Wel =
wel ( #»
r ) d3 r
R3
Z
δWel =
δwel ( #»
r ) d3 r
R3
(v) Interpretation:
#»
#» #»
Es gebe ein Materialgesetz D →
7 E(D). Dann ist
#»
#»
δwel = E · δ D
(1.11)
die lokale differentielle Änderung der Energiedichte des elektrischen Feldes und
#»
wel =
ZD
#» #»
#»
E(D0 ) · dD0
#»
0
#» #»
Wegintegral im E-D-Raum
|
{z
}
ist die (lokale) Energiedichte des elektrischen Feldes.
(1.12)
1.2.2 Magnetische Energiedichte
8
#»
#»
(vi) Beispiel: D = E, = const.
#»
wel =
ZD
#»
0

Dx
Dy
Dz
0
0
0

Z
Z
1 #» #» 1  Z 0
D dD =  Dx dDx0 + Dy0 dDy0 + Dz0 dDz0 

=
1
(Dx2 + Dy2 + Dz2 )
2
Also:
wel =
#»2 1 #» #»
1 #»2
D = E = E ·D
2
2
2
(1.13)
1.2.2 Magnetische Energiedichte
(i) Elektromagnetische Leistung zur Aufrechterhaltung einer Stromverteilung:
• Diskrete Ladungen qk haben am Ort #»
r k (t) die Geschwindigkeit #»
v k (t). Damit
folgt für die elektromagnetische Leistung:
Pelmag = −
N
X
#»
F k ( #»
r k ) · #»
vk
k=1
=−
N
X
k=1
=−
N
X
k=1
qk
#»
#»
E( #»
r k )+ #»
v k × B( #»
r k ) · #»
vk
|
{z
0
}
#»
qk #»
v · E( #»
r k ) (= − mechanische Leistung)
1.2.2 Magnetische Energiedichte
9
#»
• Kontinuierliche Stromverteilung j ( #»
r ) = ρ( #»
r ) #»
v ( #»
r ):
N
X
{. . . , #»
r k , . . .} qk
→
k=1
{. . . , #»
r , . . .} ρ( #»
r ) d3 r
Z
V
⇒ Pelmag = −
Z
#»
ρ( #»
r ) #»
v ( #»
r ) · E( #»
r ) d3 r
V
Also:
Pelmag = −
Z
#»
#» #»
j ( r ) · E( #»
r ) d3 r
(1.14)
V
#»
#»
(ii) Darstellung durch Feldgrößen H bzw. B:
#»
#» #» ∂ D
Durch Einsetzen von rot H = j +
in (1.14) folgt:
∂t
Pelmag = −
Z
#» #»
rot H · E d3 r +
Z
V
V
|
Z
V
#»
#» ∂ D 3
E·
dr
∂t
{z
}
∂wel 3
dWel
dr=
∂t
dt
dWel
ist die Änderung des rein elektrischen Energieinhalts. Demnach ist die
dt
dWmag
Änderung des magnetischen Energieinhalts
enthalten im Term:
dt
−
Z
V
#» #»
!
rot H · E d3 r =
Z
V
|
∂wmag 3
d r + Energiefluss aus System durch Berandung ∂V
∂t
{z
dWmag
dt
}
1.2.2 Magnetische Energiedichte
10
Nebenrechnung
#» #»
#» #»
div(E × H) = ∇ · (E × H)
#»
#»
#»
#»
= (∇ × E) · H − (∇ × H) · E
#»
∂ B #»
#» #»
=−
· H − rot H · E
∂t
Damit gilt:
−
Z
#» #»
rot H · E d3 r =
V
Z
V
=
Z
V
#»
Z
∂ B #» 3
#» #»
· H d r + div(E × H) d3 r
∂t
V
#»
Z
∂ B #» 3
#» #»
· H d r + E × H d #»
a
∂t
∂V
#»
Mit V = K( 0 , R) folgt für R → ∞:
Pelmag
#»
Z
#» ∂ D 3
= E·
d r+
{z ∂t}
R3
R3 |
δwel
δt{z
} |
|
dWel
dt
Z
#»
Z
#» ∂ B 3
#» #»
H·
(E × H) · d #»
a
d r + lim
R→∞
#»
| {z ∂t}
| r |=R
δwmag
δt{z
}
dWmag
dt
Für den letzten Term gilt dabei:
1
#»
E∼ n
R
1
#»
H∼ m
R














für n = 2, mZ = 3: quasistatischer Fall
#» #»
⇒ lim
(E × H) d #»
a →0













für n =Z 1, m = 1: dynamischer Fall
#» #»
(E × H) d #»
a ist die totale abgestrahlte Leistung
⇒
R→∞
| #»
r |=R
| #»
r |=R
1.2.2 Magnetische Energiedichte
11
(iii) Fazit:
Differentielle Änderung der gesamten magnetischen Energie:
δWmag =
Z
#»
#»
H( #»
r ) · δ B( #»
r ) d3 r
(1.15)
R3
Differentielle Änderung der Energiedichte des magnetischen Feldes:
#»
#»
δwmag = H · δ B
(1.16)
Energiedichte des magnetischen Feldes:
#»
wmag =
ZB
#» #»0
#»0
H(B ) · dB
(1.17)
#»
0
#»
#»
(iv) Beispiel: B = µH, µ = const.
#»
wmag = µ
ZH
#»
0
#»0
#»0 µ #»2 1 #» #»
H · dH = H = H · B (1.18)
2
2
1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung
12
1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung
(i) Sei X eine physikalische Größe, die eine Dichte x( #»
r , t) besitzt (extensive Größe),
das heißt:
X(V ) =
Z
x( #»
r , t) d3 r,
∀ Kontrollvolumina V
V
Beispiele:
Ladung
Masse
Teilchen
Energie
X=
Q
M
N
W(el,mag)
Ladungsdichte
Massendichte
Konzentration
Energiedichte
x=
ρel
ρM
n
w(el,mag)
(ii) Bilanzgleichung in integraler Form (vgl. Abb. 1.1):
#»
#»
J x heißt Stromdichte zu X: J x = x( #»
r , t) #»
v x ( #»
r , t).
#»
#»
J x · d a ist die Menge der Größe X, die pro Zeiteinheit die Kontrollfläche d #»
a in
Normalrichtung passiert.
Abbildung 1.1: Stromdichte in einem Kontrollvolumen
Es gilt:
Z
Z
dX(V )
#»
= − J x d #»
a + Πx d3 r
dt
∂V
V
(1.19)
1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung
13
Wobei Πx die Produktionsrate der Größe X pro Volumen- und Zeiteinheit bezeichnet.
(iii) Bilanzgleichung in differentieller Form:
Z
Z
d Z
#»
x( #»
r , t) d3 r = − div J x ( #»
r , t) d3 r + Πx ( #»
r , t) d3 r
dt
V
V
V
∀ Kontrollvolumina V
Damit folgt:
∂x
#»
= − div J x + Πx
∂t
(1.20)
(iv) Beispiele:
• Ladungerhaltung:
Mit (1.1) und (1.4) gilt:
#»
∂D
#»
#» ∂ρ
#»
= div j +
0 ≡ div(rot H) = div j + div
∂t
| {z∂t}
∂
#» ∂ρ
div D =
∂t
∂t
Daraus folgt:
#» ∂ρ
0 = div j +
∂t
• Teilchenbilanz im Halbleiter:
Elektronen:
∂n
#»
= − div J n + Gn
∂t
Löcher:
∂p
#»
= − div J p + Gp
∂t
Gn und Gp sind die jeweiligen Teilchengenerationsraten.
1.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes
14
• Energiebilanz für das elektromagnetische Feld:
∂welmag
#»
+ div J elmag = Πelmag
∂t
#»
#»
#» ∂ D #» ∂ B
#»
#» #»
E·
+H ·
+ div J elmag = − j · E
| {z ∂t} | {z ∂t}
∂wel
∂wmag
∂t
∂t
1.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes,
Poynting-Vektor
(i) Wir wissen aus (1.11) und (1.16):
#»
#»
∂wel
#» ∂ D ∂wmag
#» ∂ B
=E·
,
=H·
∂t
∂t
δt
∂t
Sowie (1.14):
Πelmag
#» #»
= − j · E, wegen Pelmag = −
Z
#» #» 3
j ·E d r
V
Andererseits gilt:
#»
#»
∂ D #»
#»
#» #» #»
#»
#» ∂ B
#»
div E × H = rot E · H − E · rot H = −H ·
− E ·(
+ j)
∂t
∂t
#»
Also:
#»
#»
#»
#» ∂ D #» ∂ B
#»
#» #»
E·
+H·
+ div E × H = − j · E
|
{z }
∂t {z
∂t}
|
Πelmag
∂welmag
∂t
(1.21)
1.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes
15
(ii) (1.21) legt nahe:
#»
#» #»
S := E × H
(1.22)
Poynting-Vektor
ist mit der elektromagnetischen Energiestromdichte zu identifizieren.
#»
#»
#»
#»
NB: Durch (1.21) ist J elmag nur bis auf ein additives Vektorfeld S 0 mit div S 0 = 0
eindeutig bestimmt, das heißt
#»
#» #» #»
J elmag = E × H + S 0
(1.23)
#»
mit div S 0 = 0
ist die elektromagnetische Energiestromdichte.
(iii) Beispiele:
#»
Elektrostatisches Feld (z.B. E = const.)
#»
Magnetostatisches Feld (z.B. H = const.)
#» #» #»
⇒ S = E × H = const. 6= 0, aber Energiefluss = 0!
In der Tat:
Z
∂V
#»
S d #»
a =
Z
V
#»
div S d3 r =
Z
#»
#»
div E × H d3 r = 0,
V
∀ Hüllflächen V
#»
D. h. für die integrale Bestimmung des Leistungsflusses kann S verwendet werden.
16
1.3 Potentialdarstellung des elektromagnetischen
Feldes
1.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential
(i) Vektorpotential (allgemein):
#»
#»
#»
• Sei U ( #»
r ) ein Vektorfeld mit U ( #»
r ) = rot V ( #»
r ).
Dann gilt:
#»
#»
div U = div(rot V ) = 0
• In „sternförmigen“ Gebieten Ω ⊂ R3 gilt auch die Umkehrung:
#»
div U = 0 in Ω
#»
#»
#»
⇒ es existiert V ( #»
r ) auf Ω mit U = rot V in Ω
Satz von Poincaré
(Bourne/Kendall: § 7.3, Großmann: § 5.2.9)
• Das Vektorpotential ist nur bis auf ein additives Gradientenfeld bestimmt,
denn:
#»
#»
#»
#» #»
U = rot V = rot V 0 ⇒ rot(V − V 0 ) = 0
Mit § A.5 (iii) der Vorlesung Elektrizität und Magnetismus folgt:
#» #»
es existiert χ( #»
r ) mit V − V 0 = grad χ( #»
r)
1.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential
17
Das heißt:
#»
#»
V 0 = V − grad χ( #»
r)
(ii) Elektromagnetisches Vektorpotential:
Nach § 1.1 gilt stets:
#»
div B( #»
r , t) = 0 in R3 × (−∞, ∞)
#»
Damit existiert ein A( #»
r , t) mit:
#»
#»
B( #»
r , t) = rot A( #»
r , t)
(1.24)
#»
A heißt elektromagnetisches Vektorpotential.
#»
NB: A ist durch (1.24) nur bis auf ein additives Gradientenfeld eindeutig bestimmt:
#»
#»
#» #»
#»
A und A 0 := A − ∇χ liefern dasselbe B-Feld (Eichfreiheit).
(iii) Skalares elektromagnetisches Potential:
Nach (1.2) gilt:
#»
∂ B (1.24) ∂
#»
#»
#»
˙
rot E = −
= − rot A = − rot A
∂t
∂t
#» #»
˙
⇒ rot(E + A) = 0
Damit folgt mit § A.5 (iii) aus der Vorlesung Elektrizität und Magnetismus :
#» #»
˙
∃ Φ( #»
r , t) mit E + A = − grad Φ
1.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential
18
Also:
#»
∂ A #»
#»
#»
E = − grad Φ( r , t) −
( r , t)
∂t
(1.25)
Φ heißt elektromagnetisches skalares Potential.
#»
NB: (1.25) verallgemeinert E = − grad Φ aus der Elektrostatik auf den zeitabhängigen Fall. Daher wird Φ oft auch (schlampigerweise) elektrisches Potential
genannt.
(iv) Eichtransformation:
#»
#» #»
Wird das Vektorpotential gemäß A 0 := A − ∇χ „umgeeicht“, so muss auch das
skalare Potential transformiert werden, damit (1.25) gültig bleibt.
!
#»
#»
#»0
∂
A
∂
∂χ
∂A
∂
A
0
0
0
= ∇Φ +
− ∇χ = ∇ Φ −
+
∇Φ +
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
#»
∂A
= ∇Φ +
∂t
!
Damit muss für Φ0 gelten:
Φ0 −
∂χ !
= Φ + (const.)
∂t
Insgesamt folgt also:
#»
#»
A 0 ( #»
r , t) = A( #»
r , t) − ∇χ( #»
r , t)
(1.26a)
∂χ #»
Φ0 ( #»
r , t) = Φ( #»
r , t) +
( r , t)
∂t
(1.26b)
#»
#»
#»
liefern für beliebige Eichfunktionen χ( #»
r , t) dasselbe E- und B-Feld wie A und Φ.
Beweis: In (1.24) und (1.25) einsetzen.
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung
19
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung
#» (i) Durch Einführen der elektromagnetischen Potentiale A, Φ sind die homogenen
Maxwellgleichungen
#»
div B = 0 und
#»
#» ∂ B
rot E +
=0
∂t
identisch erfüllt.
Einsetzen von (1.24) und (1.25) in die inhomogenen Maxwellgleichungen (1.1) und
(1.4) liefert (bei linearen Materialgleichungen):
#»
#»
∂
#»
ρ = div D = div E = − div (∇Φ) −
div A
∂t

!
#»
#» 
1
∂  ∂A 
∂
#» ∂ D
#»
#»
(∇Φ) +
j = rot H −
= rot
rot A +
∂t
µ
∂t
∂t
∂t
div(∇Φ) +
∂
#»
div( A) = −ρ
∂t
!
!
#»
∂2 A
∂Φ
1
#»
#»
rot A + +∇
= j
rot
2
µ
∂t
∂t
(1.27)
(1.28)
#»
Ziel ist nun die Entkopplung dieser Gleichungen bezüglich A und Φ.
(ii) Lorentzeichung:
• Seien und µ räumlich konstant. Mit einer geeigneten Eichfunktion χ lässt
sich die Lorentzeichung
∂Φ
#»
div A + µ
=0
∂t
(1.29)
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung
20
erfüllen.
#»
• Damit lässt sich A aus (1.27) eliminieren:
∆Φ − µ
∂ 2Φ
ρ
=−
2
∂t
(1.30)
Wellengleichung
• Weiter ist:
#»
#»
#»
#»
rot rot A = ∇ × ∇ × A = ∇(div A) − ∆ A
∂Φ
aus (1.28), so erhält man:
∂t
!
#»
∂2 A
∂Φ
#»
#»
#»
∇(div A) − ∆ A + µ
+ ∇ µ
= jµ
2
∂t
∂t
|
{z
}
#»
−∇(div A)
Eliminiert man zudem mit (1.29)
Daraus folgt:
#»
∂2 A
#»
#»
∆ A − µ 2 = −µ j
∂t
(1.31)
Wellengleichung
Kompaktschreibweise:
ρ/
∂2
Φ
(∆ − µ 2 ) #» = −
#»
µ
j
A
∂t
|
{z
}
Wellenoperator
!
!
(1.32)
1.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung
21
#» Alle vier Komponenten von A, Φ werden formal gleich behandelt (vierdi
#»
mensionale Raum-Zeit, Viererpotential, Viererstromdichte ρc, j ).
(iii) Coulombeichung:
• Seien , µ (stückweise) räumlich konstant: Mit einer passend gewählten Eichfunktion χ ergibt sich die Coulombeichung (oder optische Eichung):
#»
div A = 0
(1.33)
div(∇Φ) = −ρ( #»
r , t)
(1.34)
• (1.27) lautet dann:
Poissongleichung
Sie ist instantan bezüglich der Zeit t und sieht formal aus wie im elektrostatischen Fall, obwohl Φ( #»
r , t) das elektromagnetische Skalarpotential ist.
• (1.28) vereinfacht sich zu:
!
#»
∂2 A
∂
#»
#»
(∇Φ)
∆ A − µ
= −µ j − ∂t2
∂t
|
{z
}
#»
jt
(1.35)
Dies ist die Wellengleichung mit der divergenzfreien, transversalen Stromdichte
∂
#»
#»
(grad Φ) (Beweis: Bilde Divergenz von (1.28)).
j t := j − ∂t
22
1.4 Feldverhalten an Materialgrenzen
1.4.1 Grenzflächenbedingung für die normalen Feldkomponenten
#»
(i) Das Vektorfeld U ( #»
r ) erfülle die Beziehung
#»
div U = γ
(1.36)
mit Volumendichte γ
#»
#»
Beispiele hierfür sind div D = ρ oder div B = 0.
1 und 2 in
An einer Grenzfläche Σ zwischen zwei verschiedenen Materialien #»
den Gebieten Ω1 und Ω2 existiere eine Grenzflächendichte ν( r ) der durch γ( #»
r)
beschrieben extensiven Größe (z.B. γ = ρ damit ν = σ Oberflächenladungsdichte).
Abbildung 1.2: Oberflächenladungsdichte an Grenzfläche
Für ein Kontrollvolumen V , welches die Grenzfläche Σ schneidet, V ∩ Σ 6= ∅, gilt
dann (vgl. Abb. 1.2):
Z
∂V
#»
U · d #»
a =
Z
V
γ d3 r +
Z
V ∩Σ
ν da
(1.37)
1.4.1 Grenzflächenbedingung für die normalen Feldkomponenten
23
#»
1 →
2 ), Z das zylin(ii) Seien N ( #»
r 0 ) mit #»
r 0 ∈ Σ die Oberflächennormale auf Σ (
drische Kontrollvolumen, A = Σ ∩ Z der Querschnitt sowie M der Zylindermantel.
Abbildung 1.3: Zylindrisches Kontrollvolumen
Z
#»
U · d #»
a+
A1
Z
A2
#»
U · d #»
a+
Z
#»
U · d #»
a =
M
Z
γd r+
3
Z
Z
ν da
Σ∩Z=A
Für ∆h → 0 folgt mit dem Mittelwertsatz:
#»
#»
#»
#» #» #»
U ( #»
r ) · N ( #»
r 0 )∆A = ν( #»
r 0 )∆A
lim
−
U
(
r
)
·
N
( r 0 ) ∆A +#r»lim
#r»→ #r»
→ #r»
0
#r»∈Ω
1
0
#r»∈Ω
2
Also:
#»
#» #»
#»
U2 ·N − U1 ·N = ν
#»
1 nach 2
N zeigt von #»
#»
#» #»
#» #»
mit U j · N ( #»
r 0 ) :=#r»lim
U
(
r
)
·
N
( r 0)
#
»
→r ,
0
#r»∈Ω
j
(1.38)
1.4.1 Grenzflächenbedingung für die normalen Feldkomponenten
24
#»
(iii) Anwendung auf D:
#»
div D = ρ, Grenzflächenladungsdichte σint .
#»
#» #»
#»
D2 · N − D1 · N = σint auf Σ
(1.39)
#»
Der Sprung in der Normalkomponente von D längs Σ ist gleich der Grenzflächenladungsdichte σint auf Σ.
Speziell:
σint = 0
#»
⇒ Normalkomponente von D ist stetig
#»
(iv) Anwendung auf B:
#»
div B = 0, keine Grenzflächenladungsdichte.
#»
#» #»
#»
B 1 · N = B 2 · N auf Σ
#»
⇒ Normalkomponente von B ist stetig
(1.40)
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
25
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen
Feldkomponenten
#»
(i) Das Vektorfeld U ( #»
r ) erfülle die Beziehung:
#» #» #»
rot U = J + V + #»
ν δΣ
(1.41)
#»
#»
mit Flussdichte J und beschränktem Vektorfeld V ( #»
r)
#»
#»
#» #» ∂ D
#» #» ∂ B
Beispiele sind rot H = j −
oder rot E = 0 −
.
∂t
∂t
1 und 2 in
Auf der Grenzfläche Σ zwischen zwei verschiedenen Materialien #»
#»
#»
den Gebieten Ω1 und Ω2 existiere eine Grenzflächenflussdichte ν ( r ) der durch J
#» #»
beschriebenen extensiven Größe (z.B. J = j el ⇒ #»
ν elektrische Oberflächenstromdichte).
Abbildung 1.4: Grenzflächenflussdichte an einer Grenzfläche
Für eine Kontrollfläche A mit positiv orientierter Randkurve C = ∂A, welche die
Grenzfläche Σ schneidet (vgl. Abb. 1.4), gilt dann:
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
Z
#»
U d #»
r =
#»
J d #»
a+
Z
A
∂A
Z
A
#»
V d #»
a+
26
#»
ν · #»
n ds
Z
A∩Σ
(1.42)
mit #»
n Oberflächennormale von A ( d #»
a = #»
n da)
#»
#»
#»
#»
1 nach 2
r 0 ) = t ein Tangentialvektor auf Σ, N ( #»
r 0 ) = N die (von (ii) Seien t ( #»
#»
weisende) Oberflächennormale, r 0 ∈ Σ, A eine rechteckige Kontrollfläche sowie
#» #»
#»
n = N × t die orientierte Oberflächennormale zu A (vgl. Abb. 1.5).
Abbildung 1.5: Rechteckige Kontrollfläche an der Grenzfläche
Dann schreibt sich (1.42):
4 Z
X
#»
U d3 r =
i=1 γi
Z #»
#»
J + V · #»
n da +
A
Z
#»
ν · #»
n ds
Σ∩A
Es folgt mit dem Mittelwertsatz:
#»
#» #»
#» #»
#»
#» #»
#»
#»
#»
lim U ( #»
r ) · t ∆l −#r»lim
U
(
r
)
·
t
∆l
+
U
(
r
)
·
N
∆b
−
U
(
r
)
·
N
∆b
4
2
#
»
→r ,
#r»→ #r» ,
0
#r»∈Ω
2
0
#r»∈Ω
1
= ∆l∆b
#»
#»
J ( #»
r 0 ) + V ( #»
r 0 ) · #»
n + ∆l #»
ν ( #»
r 0 ) · #»
n
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
27
Erst ∆b → 0, dann Division durch ∆l und ∆l → 0 liefert:
#»
#» #»
#»
U 2 · t − U 1 · t = #»
ν · #»
n auf Σ
(1.43)
#»
#» #»
#»
#» #»
mit U j · t :=#r»lim
U
(
r
)
·
t ( r 0)
#
»
→r
0
#r»∈Ω
j
#» #»
(iii) Wegen #»
n = N × t gilt weiter:
#»
#» #»
#» #»
ν · #»
n = #»
ν · N × t = #»
ν ×N · t
Also:
#»
#» #»
#» #»
#» U 2 · t − U 1 · t = #»
ν ×N · t
(∗)
#»
für jeden Tangentialvektor t
Abbildung 1.6: Projektor auf die Grenzflächennormalebene
Nebenrechnung Der Projektor auf die Grenzflächentangentialebene lautet:
#» #»
#» #»
#»
#»
#» #»
ΠX = X − (N · X) · N = −N × (N × X)
1.4.2 Grenzflächenbedingungen für die tangentialen Feldkomponenten
Damit gilt:
#» #»
#» #»
X · t = 0 für alle t ⊥N
#»
⇔ ΠX = 0
#» #» #»
⇔ N × N ×X =0
#» #»
⇔ N ×X =0
#» #» #» #» #» #»
wegen − N × X = N × N N × X
Damit lässt sich (∗) umschreiben zu:
#» #» #» #»
#»
#» N.R.
U 2 t − U 1 t = ( #»
ν × N ) · t ⇐=⇒
#» #»
#» #»
#»
#»
#» #»
#» #» #»
N × U 2 − N × U 1 = N × ( #»
ν × N ) = #»
ν (N
· ν}) = #»
ν
| ·
{z N}) − N (N
| {z
1
0
Fazit:
#» #»
#» #»
N × U 2 − N × U 1 = #»
ν
(1.44)
#»
1 nach 2
N zeigt von #»
(iv) Anwendung auf E:
#»
∂B
#»
#»
rot E = −
, keine Grenzflächenflussdichte: J = #»
ν = 0.
∂t
#»
#» #»
#»
E 1 × N = E 2 × N auf Σ
(1.45a)
#» #» #» #»
E 1 t = E 2 t auf Σ
(1.45b)
#»
Tangentialkomponente von E stetig
28
29
#»
#»
#» #» ∂ D
#»
(v) Anwendung auf H: rot H = j +
, Grenzflächenstromdichte i .
∂t
#» #»
#» #»
#»
N × H2 − N × H1 = i
(1.46)
#»
1 nach 2
N zeigt von #»
Speziell: i = 0:
#»
#» #»
#»
H 1 × N = H 2 × N auf Σ
(1.47a)
#» #» #» #»
H 1 t = H 2 t auf Σ
(1.47b)
#»
Tangentialkomponenten von H stetig
1.5 Das Randwertproblem der Potentialtheorie
1.5.1 Das Randwertproblem der Elektrostatik: Rand- und
Grenzflächenbedingungen
#» (1.5) #» #» (1.25)
#» (1.1)
(i) In elektrischen Medien gilt D = E, E = −∇Φ, div D = ρ, also:
div(( #»
r )∇Φ) = −ρ
(1.48)
Poissongleichung, vgl (1.34)
#»
#»
(ii) In elektrisch leitenden Medien gilt (Statik) j = 0, und da j = −σ∇Φ
⇒
∇Φ = 0
1.5.1 Das RWP der Elektrostatik
30
Φ( #»
r ) = const. auf Leitern
(1.49)
(iii) Grenzflächenbedingungen für das elektrische Potential Φ am Materialgrenzen Σ
zwischen Ω1 und Ω2 :
Abbildung 1.7: Tangenten- und Normalenvektor an einer Grenzfläche
#»
#»
#»
#»
Wegen E 1 · t = E 2 · t ist die Tangentialkomponente von ∇Φ stetig. Durch
#»
Integration von t · ∇Φ „links“ und „rechts“ von Σ folgt:
Φ ist längs Materialgrenzen stetig
(iv) Grenzflächenbedingungen für die Normalenableitung des Potentials:
#»
#»
1 nach 2 , vgl. (1.39)) folgt:
Wegen D2 · #»
n zeigt von n − D1 · #»
n = σint auf Σ ( #»
∂Φ ∂Φ 1
− 2
= σint
∂n 1
∂n 2
auf Σ
(1.50)
∂Φ wobei
:= lim #»
n ( #»
r 0 ) · ∇Φ( #»
r ), j = 1, 2
∂n j #r»#r»→∈Ω#r»0
j
1.5.1 Das RWP der Elektrostatik
31
(v) Sonderfall A:
Abbildung 1.8: Leiter und Isolator
1 ist idealer Leiter
2 ist (dielektrischer) Isolator
#»
#»
⇒
⇒
#»
#»
E 1 = 0 , also E 1 · t = 0
#»
#»
E2 · t = 0
#»
−∇Φ|2 = E 2 ⊥ Leiteroberfläche
#»
Außerdem gilt D2 · #»
n = σint , also:
∂Φ 2
= −σint auf Σ
∂n 2
(1.51)
1.5.1 Das RWP der Elektrostatik
32
(vi) Sonderfall B:
Abbildung 1.9: Grenzfläche zwischen zwei Isolatoren
1 und 2 sind Isolatoren, keine Grenzflächenladungen (σint = 0) (vgl. 1.9).
#»
#»
#»
#» #»
#»
E 1 · t = E 2 · t und D1 · #»
n = D2 · #»
n
⇒
⇒
#»
#»
1 E 1 · #»
n = 2 E 2 · #»
n
#»
#»
#»
1 E1 · t
E2 · t
1
· #»
= · #»
1 E 1 · #»
2 E 2 · #»
n
n
Abbildung 1.10: Einfallwinkel
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
33
#» #»
D· t
Mit tan α = #» #» (vgl. Abb. 1.10) folgt:
D· n
#»
#»
1 sin α1 · |E 1 |
1 sin α2 · |E 2 |
⇒
·
#» = ·
#»
1 cos α1 · |E 1 |
2 cos α2 · |E 2 |
tan α1
1
=
tan α2
2
(1.52)
Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
1.5.2.1 Dirichletsche Randwertbedingung
(i) Sei Ω ⊂ E3 ein zusammenhängendes, beschränktes Gebiet mit lipschitz-stetigem
Rand ∂Ω, auf dem div(∇Φ) = −ρ gelöst werden soll, sodass auf dessen Rand ∂Ω
die Lösung Φ( #»
r )|∂Ω einem vorgegebenen Randwert ΦD ( #»
r ) annimmt.
div(∇Φ) = −ρ auf Ω̊ und Φ|∂Ω = ΦD
(1.53)
Dirichletsches Randwertproblem, [Dir-RWP]
(ii) Satz. Für 0 < c0 ≤ ( #»
r ), ∈ C 1 (Ω), ρ ∈ C(Ω) und ΦD ∈ C(∂Ω)
hat [Dir-RWP] eine eindeutig bestimmte, klassische Lösung Φ ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω).
(iii) Beispiel Kondensatoranordnung:
Leitende Gebiete Ω0 , Ω1 , . . . , ΩN schließen ein dielektrisches Gebiet Ω ein. #»
n ist
dabei die innere Normale auf ∂Ω =
N
]
∂Ωj (äußere Normale bzgl. Ωj ) (vgl. Abb.
j=0
1.11). Damit sind alle ∂Ωj Äquipotentialflächen mit konstantem Potential Vj .
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
34
Abbildung 1.11: Kondensatoranordnung
Annahme: keine Raumladung, ρ ≡ 0
gegeben:
(V0 , V1 , . . . , VN ) ∈ RN +1
gesucht:
Potential Φ( #»
r ) in Ω mit
div(∇Φ) = 0 und Φ|∂Ωl = Vl (l = 0, 1, . . . , N )
(1.54)
[V-RWP]
Satz. [V-RWP] hat eine durch V = (V0 , V1 , . . . , VN ) eindeutig bestimmte,
klassische Lösung Φ( #»
r ).
1.5.2.2 Neumannsche Randbedingung
(i) Sei Ω ⊂ E3 ein zusammenhängendes, beschränktes Gebiet mit lipschitz-stetigem
Rand ∂Ω, auf dem div(∇Φ) = −ρ gelöst werden soll, sodass auf dessen Rand
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
35
∂Φ #» #» #» #» n = äußere Normale auf ∂Ω einen vorge= n · ∇Φ( r ) mit #»
∂Ω
( r )
∂Ω
∂n
∂Ω
#»
gebenen Wert FN ( r ) annimmt.
∂Φ = FN
div(∇Φ) = −ρ auf Ω und
∂n ∂Ω
(1.55)
Neumannsches Randwertproblem, [Neu-RWP]
NB: De facto ist die Neumann-Randbedingung
die Vorgabe einer Oberflächenla
∂Φ
#»
. Diese muss jedoch eine notwendige
dungsdichte σ( #»
r ) = −D( #»
r ) · #»
n ( #»
r) = ∂n ∂Ω
Voraussetzung erfüllen:
−
Z
Z
ρd r =
3
Ω
div(∇Φ) d r =
3
Ω
Z
=
∂Ω
Insbesondere: Falls ρ ≡ 0
⇒
Z
∂Ω
∇Φ · |{z}
d #»
a
#»
n da
Z
∂Φ
da = FN da
∂n
∂Ω
Z
!
FN da = 0 notwendig für Lösbarkeit!
∂Ω
r ), ∈ C 1 (Ω), ρ ∈ C(Ω), FN ∈ C(∂Ω) mit
(ii) Satz. Für
0 < c0 ≤Z ( #»
Z
FN da = − ρ d3 r (∗) hat [Neu-RWP] bis auf eine additive,
Ω
∂Ω
reelle Konstante eine eindeutig bestimmte, klassische Lösung Φ ∈
C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω).
(*) bedeutet anschaulich:
Z
Ω
ρ d3 r = −
Z
∂Ω
∂Φ
da =
∂n
Z
∂Ω






#»
D · d #»
a =




Q(Ω)
−
Z
∂Ω
= eingeschlossene Ladung
σ da = gesamte OF-Ladung auf δΩ
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
36
Elektrische Neutralität ⇔ elektrische Energie in Ω (Innenraum).
(iii) Beispiel: Kondensatoranordnung wie in § 1.5.2.1 (iii), aber mit Vorgabe der Gesamtladung Ql (l = 1, ..., N ) auf den Kondensatorplatten ∂Ωl
gegeben: (Q0 , Q1 , Q2 , ..., QN ) ∈ RN +1 mit
N
X
Ql = 0
l=0
gesucht: Potential Φ( #»
r ) in Ω mit
div(∇Φ) = 0 in Ω und
Z
∂Ωl
∂Φ
da = Ql
∂n
(1.56)
[Q-RWP]
#»
n = äußere Normale von ∂Ωl
Satz. [Q-RWP] hat durch die Vorgabe von (Q0 , Q1 , ..., QN ) ∈ RN +1
mit
N
X
Ql = 0 eine bis auf eine additive Konstante eindeutig
l=0
bestimmte Lösung Φ( #»
r ).
Beweisidee: Aus Qk =
N
X
Ckl (Vl − V0 ) lassen sich für l = 1, . . . , N Potentialvorga-
l=1
ben V0 − Vl bestimmen, V0 ist beliebig wählbar. Dann [V-RWP] lösen.
1.5.2.3 Gemischtes Randwertproblem, Randbedingung dritter Art
#»
(i) Sei Ω ⊂ E3 ein Gebiet, auf dem div D = − div(∇Φ) = ρ gelöst werden soll, so
∂Φ #»
dass auf dessen Rand ∂Ω die Linearkombination α( #»
r )Φ( #»
r ) + β( #»
r)
( r ) einen
∂n
gegebenen Wert annimmt.
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
37
(ii) Beispiel 1: Elektrischer Kontakt mit ohmschem Kontaktwiderstand (vgl. Abb. 1.12):
#»
#»
j = σ E = −σ∇Φ
∂Φ
Φin − ΦKlemme
#»
= σ∂Ω
= γel (Φin − ΦKlemme )
IKlemme = j · #»
n = −σΩ
|{z}
∂n
d
Übergangsleitwert ≥ 0
Abbildung 1.12: Elektrischer Kontakt
Also:
!
∂Φ γel
γel
Φ+
=
ΦKlemme
σΩ
∂n ∂Ω
σΩ
|{z}
h≥0
bzw.
∂Φ
= h(ΦKlemme − Φ)
∂n
(1.57)
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
Grenzfälle:
∂Φ
= 0: homogene Neumann-RB, isolierender Rand
h = 0 ⇒ γel = 0 ⇒
∂n
h → ∞ ⇒ γel → ∞ ⇒ Φ = ΦKlemme : Dirichlet-RB, idealer Ohmscher Kontakt
(iii) Beispiel 2: Wärmetransport, thermischer Übergang (vgl. Abb. 1.13):
#»
J Q = −κ∇T ;
#»
div J Q = ΠQ
κ = thermische Leitfähigkeit
T = Temperatur
ΠQ = Heizleistungsdichte
⇒ div(κ∇T ) = −ΠQ
Thermischer Kontakt von Ω durch eine Schicht zur Außenwelt:
∂T Tin − Text
#»
= κ∂Ω
:= K (Tin − Text )
IQ = J Q · #»
n = −κΩ ·
∂n ∂Ω
d
Dabei ist K =
κ∂Ω
der Wärmedurchgangskoeffizient (K-Wert).
d
Abbildung 1.13: Thermischer Übergang
38
1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme
K
∂T
T+
κ∂Ω
∂n
!
=
∂Ω
K
Text
κ∂Ω
39
(1.58)
|{z}
h
bzw.
∂T
= h(Text − T )
∂n
Grenzfälle:
∂T
K=0⇒
= 0: homogene Neumann-RB, thermisch völlig isolierend.
∂n
K → ∞ ⇒ T = Text : Dirichlet-RB, Anschluss an Wärmereservoir (heat-sink) mit
fester Temperatur Text .
(iv) Definition: Gemischtes Randwertproblem (Randwertproblem dritter Art)
Suche Φ( #»
r ) auf Ω ⊂ E3 (zusammenhängend, beschränkt, mit lipschitz-stetigem
Rand ∂Ω), sodass gilt:
div(σ∇Φ) = −Π auf Ω
und
∂Φ
+ hΦ
∂n
!
(1.59)
= F auf ∂Ω
∂Ω
[Gem. RWP]
Damit „die Physik stimmt“, müssen wir fordern:
σ > 0, h ≥ 0
#»
#»
#»
(d.h j el k E = −∇Φ; J Q k −∇T )
(v) Satz. Für 0 < c0 ≤ σ( #»
r ), σ ∈ C 1 (Ω), Π ∈ C(Ω), h ∈ C(∂Ω), h ≥ 0,
h 6= 0, F ∈ C(∂Ω) hat [Gem. RWP] eine eindeutig bestimmte,
klassische Lösung: Φ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω).
NB: Ist h ≡ 0 ⇒ [Neu-RWP]-Lösungstheorie. Mit 0 ≤ h ≤ ∞ interpoliert
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
40
man zwischen [Neu-RWP] und [Dir-RWP]. Der Grenzwert h → ∞ ist singulär
(Dirichlet-RB ist wesentliche, Neumann-RB ist natürliche RB).
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
1.5.3.1 Orthogonalentwicklung nach Eigenfunktionen von ∆
(Spektraldarstellung)
(i) Problemstellung: Löse gemischtes Randwertproblem
div(∇Φ) = −ρ auf Gebiet Ω, 0 < c0 ≤ ( #»
r)
(1.60)
mit Φ|∂Ω(D)
∂Φ = σN
= ΦD und ∂n ∂Ω(N )
wobei ∂Ω = ∂Ω(D) ∪ ∂Ω(N)
∅ = ∂Ω(D) ∩ ∂Ω(N) , ∂Ω(D) 6= ∅
(ii) Lösungsschritt 1:
∂Φ(0) Finde Φ(0) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) mit
=
Φ
und
= σN als
D
∂Ω(D)
∂n ∂Ω(N )
Lösung der homogenen DGL div ∇Φ(0) = 0.
Ansatz für Φ: Φ = Φ(0) + ϕ. ϕ erfüllt dann das homogene Randwertproblem:
Φ(0) div (∇ϕ) = −ρ − div ∇Φ(0) =: −f
ϕ|∂Ω(D) = 0,
∂ϕ =0
∂n ∂Ω(N )
(1.61)
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
41
(iii) Lösungsschritt 2:
Finde Eigenfunktion zu − div(∇ .), d.h finde bν ( #»
r ) und λν ∈ C mit:
− div(∇bν ) = λν bν
(1.62)
und homogene Randwertbedingungen für bν
Für beschränkte („endliche“) Gebiete Ω lässt sich zeigen:
a) {λν |ν = 1, ...∞} ist diskret, λν ∈ R+ , 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ . . .
b) {bν } können orthonormal gewählt werden:
< bµ |bν >:=
Z
b∗µ ( #»
r )bν ( #»
r ) d3 r = δµν
(1.63)
Ω
c) {bν |ν ∈ N} sind vollständig, d.h. jede Funktion ϕ ∈ L2 (Ω) lässt sich nach
b1 , b2 , b3 , . . . entwickeln.
ϕ=
∞
X
αν bν mit αν =< bν |ϕ >
(1.64)
ν=1
Kurzschreibweise als Vollständigkeitsrelation:
∀
ϕ∈L2 (Ω)
Z
∞
X
#»
#»
r 0 )ϕ( #»
r 0 ) d3 r0
ϕ( r ) =
bν ( r ) b∗ν ( #»
ν=1
=
Z X
∞
Ω ν=1
|
Ω
bν ( #»
r )b∗ν ( #»
r 0 ) ϕ( #»
r 0 ) d3 r 0
Deltafunktion δ( #»
r − #»
r 0)
{z
}
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
∞
X
42
bν ( #»
r )b∗ν ( #»
r 0 ) = δ( #»
r − #»
r 0)
(1.65)
ν=1
(iv) Lösungsschritt 3:
r) =
Für ein gegebenes f suchen wir eine Lösung zu (1.61) mit dem Ansatz ϕ( #»
∞
X
r ). Die homogenen Randbedingungen sind identisch erfüllt, es bleibt zu
αν bν ( #»
ν=1
lösen:
∞
X
!
f = − div(∇ϕ) =
αν [− div(∇bν )] =
ν=1
αµ λµ =
∞
X
|
αν λν < bµ |bν > =
ν=1
|
{z
}
δµν
⇒ αµ =
Z
{z
λ ν bν
}
∞
X
αν λν bν
ν=1
bµ (r)∗ f ( #»
r ) d3 r =< bµ |f >
Ω
< bµ |f >
λµ
Damit folgt abschließend die Lösung:
ϕ( #»
r) =
ϕ( #»
r) =
∞
X
< bν |f > #»
bν ( r )
λν
ν=1
1
r 0 ) f ( #»
bν ( #»
r ) b∗ν ( #»
r 0 ) d3 r0
λ
ν
ν=1
Z X
∞
Ω
Greenfunktion G( #»
r , #»
r 0)
|
{z
}
(1.66a)
(1.66b)
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
43
1.5.3.2 Lösung mittels Greenfunktion
(i) Greenfunktion: Definiert als die Lösung des homogenen Randwertproblems mit
f ( #»
r ) = δ( #»
r − #»
r 0 ) („Punktladung“) als rechte Seite, also:
div #»r (( #»
r )∇ #»r G( #»
r , #»
r 0 )) = −δ( #»
r − #»
r 0)
(1.67)
und homogene Randbedingungen
(ii) Ist ϕ Lösung von (1.61), so gilt:
ϕ( #»
r) =
δ( #»
r − #»
r 0 )ϕ( #»
r 0 ) d3 r0
Z
Ω
=−
div #»r 0 ( ∇ #»r 0 G( #»
r , #»
r 0 )) ϕ( #»
r 0 ) d3 r 0
Z
Ω
=
Z
∇ #»r 0 G( #»
r,
#»
r 0 ) · ∇ #»r 0 ϕ( #»
r 0 ) d3 r 0 −
Ω
=−
|
{z
}
0
Z
Z
G( #»
r , #»
r 0 ) ( #»
r 0 ) #»
n · ∇ #»r 0 ϕ( #»
r 0 ) da0
∂Ω(N )
Ω
0
G( #»
r , #»
r 0 ) div #»r 0 ( ∇ #»r 0 ϕ( #»
r 0 )) d3 r0 +
G( #»
r , #»
r 0 ) ( #»
r 0 ) #»
n · ∇ #»r 0 ϕ( #»
r 0 ) da0
|
{z
}
| {z }
∂Ω(D)
0
−f ( #»
r 0)
Z
Ω
Z
| {z }
#»
n · ∇ #»r 0 G( #»
r , #»
r 0 ) ϕ( #»
r 0 ) da0
Z
∂Ω(N )
=
a0
∇ #»r 0 G( #»
r , #»
r 0 ) ϕ( #»
r 0 ) d #»
∂Ω(D)
−
+
Z
G( #»
r , #»
r 0 )f ( #»
r 0 ) d3 r0
|
{z
0
}
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
44
(iii) Fazit:
ϕ( #»
r) =
Z
G( #»
r , #»
r 0 )f ( #»
r 0 ) d3 r0
(1.68)
Ω
löst homogenes Randwertproblem (1.61)
NB: G ist Kern eines symmetrischen Integraloperators: G( #»
r , #»
r 0 ) = G( #»
r 0 , #»
r ).
(iv) Kennt man die Eigenfunktionen und -werte von div(∇◦), so gilt nach (1.66b) die
Spektraldarstellung:
G( #»
r , #»
r 0) =
1 ∗ #»0
bν ( #»
r)
b (r )
λν ν
ν=1
∞
X
(1.69)
Für unbeschränkte Gebiete Ω gilt eine analoge Darstellung, aber:
∞
X
(. . . , bν , λν , . . .)
ν=1
→
Z
(. . . , bk , λk , . . .) dµ(k)
k∈Σ
(v) Beispiel:
Ω = (0, L1 ) × (0, L2 ) × (0, L3 ) mit homogenen Dirichletbedingungen und = const.,
das Randwertproblem lautet dann:
1
f =: fe; ϕ|δΩ = 0
Finde Eigenfunktionen in kartesischen Koordinaten #»
r = (x1 , x2 , x3 ).
#»
Separationsansatz: b( r ) = b1 (x1 ) · b2 (x2 ) · b3 (x3 ).
−∆ϕ =
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
Wegen ∆ =
45
∂2
∂2
∂2
+
+
gilt:
∂x21 ∂x22 ∂x23
!
−∆b = −b001 b2 b3 − b1 b002 b3 − b1 b2 b003 = λb1 b2 b3
⇒−
⇒−
b001 b002 b003
− −
=λ∈R
b1 b2 b3
b001
b00
b00
= λ1 ; − 2 = λ2 ; − 3 = λ3
b1
b2
b3
b00j + λj bj = 0, (j = 1, 2, 3)
Allgemeine Lösung:
bj (xj ) = Aj sin(kj xj ) + Bj cos(kj xj ); kj =
q
λj
Randbedingungen:
bj (0)
| {z }
⇒ Bj = 0
=
bj (Lj ) = 0
| {z }
kj Lj = nj π
wobei nj ∈ N
π
xj
bj (xj ) = Aj sin nj
Lj
!
Normierung:
!
1=
ZLj
bj (xj ) dxj =
0
= A2j
A2j
ZLj
0
Lj 1
π 2
sin
2
π
nj
xj
Lj
!
dxj
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
s
Aj =
46
2π
Lj
Fazit:
3
3
Y
(2π) 2
π
#»
√
bn1 n2 n3 ( r ) =
xj ; nj ∈ N
sin nj
Lj
L1 L2 L3 j=1
!
n1 π
=
L1
λn1 n2 n3
2
n2 π
+
L2
2
n3 π
+
L3
2
Die Greenfunktion
G( #»
r , #»
r 0) =
X
= bn1 n2 n3 ( #»
r)
n1 n2 n3 ∈N
1
λn1 n2 n3
bn1 n2 n3 ( #»
r 0)
führt auf die diskrete Fourierdarstellung der Lösung des Randwertproblems.
1.5.3.3 Spiegelladungsmethode
(i) Punktladung im R3 : Ladung Q bei #»
r 0 erzeugt ein Potential
ϕ( #»
r) =
Q
1
1
·
· #» #»
0 4π | r − r 0 |
mit einer homogenen Dirichlet-Randbedingung im Unendlichen, das heißt
∧
r | → ∞, ϕ(| #»
r | → ∞) = 0
Ω = R3 , ∂Ω = | #»
Das heißt, es gilt:
− div(0 ∇ϕ) = −Q ∆ #»r
1
1
#»
4π | r − #»
r 0|
!
= Q δ( #»
r − #»
r 0)
|
{z
}
Punktladungsdichte
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
47
Ein Vergleich mit (1.67) liefert:
GVac ( #»
r , #»
r 0) =
1
1
#»
4π0 | r − #»
r 0|
(1.70)
ist die Vakuum-Greenfunktion zur Poissongleichung im R3 , das heißt
∆ #»r
In der Tat wird ∆ϕ = −
ϕ( #»
r) =
Z
1
1
#»
4π | r − #»
r 0|
!
= −δ( #»
r − #»
r 0 ).
ρ
im gesamten R3 gelöst durch:
0
GVac ( #»
r , #»
r 0 )ρ( #»
r 0 ) d3 r0 =
R3
1 Z ρ( #»
r 0)
d3 r 0
4π0 3 | #»
r − #»
r 0|
R
(ii) Greenfunktion für Halbraum mit ideal leitendem Rand: Enspricht einer Punktladung
vor metallischem Halbraum (vgl. Abb. 1.14):
Abbildung 1.14: Punktladung vor metallischem Halbraum
Ω = { #»
r = #»
r || + z #»
n ; #»
r || · #»
n = 0; z > 0} =: H
#»
#»
∂H = { r = r || ; z = 0}
= const.
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
48
Im oberen Halbraum H besitzen beide Anordnungen dasselbe Potential, d.h Φ
erfüllt auf H das homogene Randwertproblem.
Q
1
1
Φ( #»
r) =
− #» #»∗
#»
#»
4π | r − r Q | | r − r Q |
"
#
(1.71)
für #»
r ∈ H und Φ|∂H = 0
Damit ist
1
1
1
GH ( #»
r , #»
r 0) =
− #» #»0 ∗
#»
#»
0
4π | r − r | | r − r |
"
#
(1.72)
die Greenfunktion für den Halbraum.
Probe:
div #»r ( ∇ #»r GH ( #»
r , #»
r 0 )) = ∆ #»r
1
1
1
1
− ∆ #»r
#»
#»
#»
0
4π | r − r |
4π | r − #»
r 0∗|
!
0
= δ( #»
r − #»
r 0 ) − δ( #»
r − #»
r ∗)
|
{z
}
0 für #»
r , #»
r0 ∈ H
0
0
und GH ( #»
r , #»
r 0 ) ≡ 0 für #»
r ∈ ∂H da | #»
r − #»
r | = | #»
r − #»
r ∗ | für #»
r ∈ ∂H.
Für beliebige Ladungsverteilungen ρ( #»
r ), #»
r ∈ H ist
Φ( #»
r) =
Z
GH ( #»
r , #»
r 0 )ρ( #»
r 0 ) d3 r 0
H
die Lösung des Potentialproblems in H.
(1.73)
!
1.5.3 Analytisches Lösungsverfahren für die Poissongleichung
49
Abbildung 1.15:
(iii) Greenfunktion für Viertelraum ( = const.) mit ideal leitendem Rand: Entspricht
Punktladung vor metallischem 90°- Winkelraum (vgl. Abb. 1.16):
Abbildung 1.16: Punktladung vor metallischem 90°- Winkelraum
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
50
Im Winkelraum W besitzen beide Anwendungen dasselbe Potential Φ( #»
r ), insbesondere erfüllt Φ das homogene Randwertproblem auf W :
Q
Φ( #»
r) =
4π
"
1
1
− #»
#»
#»
| r − r Q | | r − s1 #»
r Q|
1
1
+ #»
− #»
#»
| r − s2 r Q | | r − s3 #»
r Q|
#
(1.74)
und Φ|∂W = 0
Somit ist:
3
1 X
1
GW ( #»
r , #»
r 0) =
#»
4π n=0 | r − sn #»
r 0|
(1.75)
Greenfunktion für Viertelraum
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
1.5.4.1 Grundgleichungen, Rand- und Grenzflächenbedingungen
(i) Ladungsbilanz: Aus (1.1) und (1.4) folgt (vgl. § 1.2.3):
#»
#»
0 = div(rot H) = div j +
#»
∂ div D
∂t
#» ∂ρ
= div j + .
∂t
Also:
#» ∂ρ
div j +
=0
∂t
(1.76)
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
51
Das heißt ΠQ = 0 im Sinne von § 1.2.3, es werden keine Ladungen erzeugt oder
vernichtet.
#»
(ii) Modell für j (vgl. Elektrizität und Magnetismus § 2.2.2):
N #»
#» X
j =
(|qα |nα µα )E − qα Dα ∇nα
α=1
+
(α) #»
σα RH j α
#»
× B − σα Pα ∇T
(1.77)
Dabei gilt für die einzelnen Terme in der Klammer:
• 1. Term: Driftstrom (Ohmsches Gesetz, Metall)
• 2. Term: Diffusionsstrom (Ficksches Gesetz, Bipolartransistor)
• 3. Term: Lorentzkraft (Hall-Effekt, Hall-Sensor)
• 4. Term: Thermische Diffusion (Seebeck-Effekt, Thermoelement)
Allgemein:
#»
∂A
#»
E = −∇Φ −
∂t
|{z}
0 für quasistationäre Ströme
#»
Ohne B und ∇T :
N
X
#»
(σα ∇Φ
j =−
|{z} +qα Dα ∇nα )
α=1
#»
−E
=−
N
X
|qα | µα nα ∇Φ + qα Dα nα ∇ ln
α=1
=−
N
X
α=1
σα ∇Φα
nα
n0
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
52
Dabei heißt Φα elektrochemisches Potential.
N
X
#»
j =−
σα (∇Φα + Pα ∇T )
(1.78)
α=1
elektrochemisches Transportmodell
(iii) Quasistationäre Näherung (quasi-stationary approximation, QSA), dielektrische
Relaxionszeit:
#» σ #»
#»
#»
Setze j = σ E = D in (1.76) ein; wegen div(D) = ρ gilt:
∂ρ
σ
σ
= − ρ, falls = const.
∂t
Das heißt, die Störung ∆ρ einer stationären Raumladung (
t − t0
∆ρ(t, #»
r ) = ∆ρ(t = t0 , #»
r ) exp −
τR
mit τR =
Relaxationszeit
σ
Typische Werte für τR sind:
• Metall: τR ≈ 10−15 s = 1 fs
• Halbleiter: τR ≈ 10−12 . . . 10−4 s
• Isolator: τR = 104 . . . 106 s ≈ 10 Tage
∂ρ0
= 0) gehorcht
∂t
(1.79)
(1.80)
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
53
QSA: Alle zeitlichen Vorgänge von Interesse (Schalten, Ladungsverschiebung, etc.)
seien langsam im Vergleich zu τR , das heißt:
∂ρ
≈0
∂t
Damit stationäres Strömungsproblem:
#»
div j = 0
(1.81)
#»
∂B
#»
(iv) Weitere Annahme:
= 0 ⇒ rot E = 0
∂t
#»
⇒ E = −∇Φ
#»
j = −σ∇Φ
(1.82)
Potentialströmung
Das heißt: Keine Wirbelströme durch Induktion zugelassen.
div(σ( #»
r )∇Φ) = 0
(1.83)
1.5.4 Randwertproblem für stationäre Strömungen
54
Man erhält also ein gemischtes Randwertproblem für stationäre Strömungen (vgl. Elektrostatik § 1.5.2.3 (1.59)).
Abbildung 1.17: Gebiet begrenzt von Klemmen und isolierendem Rand
Löse (1.83) im Gebiet Ω mit den Randbedingungen:
Φ|∂Ωj = Vj (potentialgesteuerte Klemmen)

n
[

∂Φ
= 0 auf ∂Ω\  ∂Ωj  (elektrisch isolierender Rand)
∂n
j=1
U = RD ΦD
dielektrisches
Netzwerk
lineares
Materialgesetz
Kirchhoffsches
Netzwerk
elektrisches
Netzwerk
A
U = Rel I
elektrische
Strömung
Z
#»
I = j d #»
a
dielektrischer
fluss
Z
#»
ΦD = D d #»
a
„Through“-Größe
A
−
U = Φ+
el − Φel
−
U = Φ+
el − Φel
„Across“-Größe
elektrische
Spannung U
div(σ∇Φelchem ) = 0
elektrische
Spannung U
div(∇Φel ) = −ρ
#»
E = −∇Φelchem
#»
j = −σ∇Φelchem
(Ohm,Fick)
#»
#»
( j , σ, E)
#»
div j = 0
#»
rot E = 0
#» #»
(D, , E)
#»
div D = ρ
#»
rot E = 0
#»
E = −∇Φ
#»
D = −∇Φel
Netzwerkdarstellung
(Pot) in (Cont)
Flussgröße
treibende Kraft
(Pot)
(Cont)
Kontinuitätsth.
stationäre Strömungen
Elektrostatik
magnetische
Kreise
A
Vm = Rm ΦB
magnetischer
fluss
Z
#»
a
ΦB = B d #»
−
Vm = Φ+
mag − Φmag
magnetische
Spannung Vm
div(µ∇Φmag ) = 0
#»
#»
(B, µ, H)
#»
div B = 0
#» #»
rot H = j
#»
H = −∇Φmag
#»
#»
B = −µ∇Φmag
Magnetostatik
#»
J Q d #»
a
thermisches
Netzwerk
A
Z
∆T = Rth Q̇
Q̇ =
Wärmestrom
∆T = Thot − Tcold
Temperaturgefälle ∆T
div(κ∇T ) = −ΠQ
−∇T
#»
J Q = −κ∇T
(Fourier)
rot ∇T = 0
#»
( J Q , κ, −∇T )
#»
div J Q = ΠQ
stationärer Wärmefluss
1.5.5 Korrespondenz
55
1.5.5 Korrespondenz zwischen Elektrostatik, stationären
Strömungen, Magnetostatik und Wärmefluss
(Thermodynamik)