A3-1 Vektorrechnung / Lineare Algebra / Geometrie

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Doz.Dr. N. Koksch
Dresden, den 16.12.2002
Mathematik-Beleg 2 für Bauingenieure
Der Rechenweg muß erkennbar und begründet sein!
Abgabe des Beleges: Woche vom 03.02.03 bis 07.02.03 in der Übungsgruppe, in der
der Beleg ausgegeben wurde.
A3-1 Vektorrechnung / Lineare Algebra / Geometrie
Gegeben seien die beiden Ebenen
E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x − y + z = 1} ,
E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2y − z = 5} .
1. Welchen Winkel schließen die beiden Ebenen ein?
2. Ermitteln Sie einen Richtungsvektor der Schnittgeraden von E1 und E2 .
3. Lösen Sie das Gleichungssystem
3x − y + z = 1
2y − z = 5
und vergleichen Sie das Ergebnis mit 2.!
4. Welchen Abstand hat die Schnittgerade vom Nullpunkt (0, 0, 0)?
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Mathematik-Beleg 2 für Bauingenieure
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A3-2 Vektorrechnung / Lineare Algebra / Geometrie
Gegeben sei die Ebene
√
E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x + 3y + 2z = 1} .
1. Berechnen Sie den Neigungswinkel von E1 gegen die xy-Ebene.
2. Gesucht ist die Gleichung der Schnittgerade von E1 mit der xz-Ebene.
√
3. Welchen Abstand hat E1 vom Punkt P = (1, 3, −1)?
4. Finden Sie eine Ebene E2 , welche senkrecht zu E1 steht und die z-Achse enthält.
Fachrichtung Mathematik
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A3-3 Vektorrechnung / Lineare Algebra / Geometrie
Welche Kreise sind jeweils durch die folgenden Bedingungen fixiert?
1. Der Kreis habe den Mittelpunkt
√ M = (5, β), gehe durch den Nullpunkt (0, 0) und
besitze den Durchmesser d = 2 41.
2. Der Kreis habe den Mittelpunkt M = (a, b) im ersten Quadranten, berühre sowohl
die x- als auch die y-Achse und werde durch die Gerade y = −x + 7 tangiert.
Hinweis: Eine Gerade hat mit einem Kreis keinen Schnittpunkt, genau einen
Schnittpunkt oder genau zwei Schnittpunkte. Eine Gerade tangiert oder berührt
einen Kreis, wenn es genau einen Schnittpunkt gibt.
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A3-4 Vektorrechnung / Lineare Algebra / Geometrie
Seien a, b und c drei Vektoren in R3 . Dann gibt es Zahlen λ, µ ∈ R mit
a × (b × c) = λb + µc ,
(1)
d.h., a × (b × c), b und c liegen in einer Ebene.
(Sind b und c nicht parallel, so steht b × c senkrecht auf b und c, a × (b × c) ist wiederum
senkrecht zu a und b × c und damit parallel zu b und c.)
1. Zeigen Sie
|a × (b × c)| 6
q
|a|2 |b|2 |c|2 − [a, b, c]2 .
(2)
Hinweis: Verwenden Sie Aussage 3 von Satz 2.2.8 und die dritte Eigenschaft des
Spatproduktes.
Wie müssen a, b und c liegen, damit aus (2) die Gleichung
q
|a × (b × c)| = |a|2 |b|2 |c|2 − [a, b, c]2
wird?
2. Bestimmen Sie Zahlen λ und µ mit (1).
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Koordinatendarstellung von b × c, dann von
a × (b × c). Zerlegen Sie dann a × (b × c) in die Form λb + µc.
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A4-1 Analysis
1. Ein Polynom p n-ten Grades habe an der Stelle x0 eine k-fache Nullstelle, k 6 n.
a) Zeigen Sie, daß dann
p(x0 ) = 0 ,
p0 (x0 ) = 0 ,
... ,
p(k−1) (x0 ) = 0 ,
p(k) (x0 ) 6= 0
gilt.
Hinweis: Verwenden Sie die Faktorisierung von p.
b) Untersuchen Sie
lim
x%x0
1
,
p(x)
lim
x&x0
1
p(x)
in Abhängigkeit von k.
2. Wie muß eine rationale Funktion f = qp mit reellen, teilerfremden Polynomen p
und q vom Grad n bzw. m beschaffen sein, damit der Wertebereich W ( f ) von f
beschränkt ist?
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A4-2 Analysis
Die Sinus-Funktion soll in einer Umgebung des Nullpunktes durch ein Polynom
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
dritten Grades approximiert werden.
1. Bestimmen Sie die Koeffizienten a0 , a1 , a2 , a3 aus folgenden Bedingungen:
sin xx=0 = p(0),
d
sin xx=0 = p0 (0),
dx
d2
sin xx=0 = p00 (0),
2
dx
d3
sin xx=0 = p000 (0).
3
dx
2. Berechnen Sie den Approximationsfehler
δ(x) := | sin x − p(x)|
an der Stelle π2 .
3. Bestimmen Sie das Polynom dritten Grades p̃, welches den ersten drei der in 1. an
p gestellten Bedingungen und der Bedingung p̃( π2 ) = 1 genügt.
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A4-3 Analysis
1. Sei zk = (2 + i) · (1 + i)k . Zeigen Sie, daß die Folge (|zk |)k∈N monoton wachsend ist.
Existiert eine obere Schranke M für die Folgenglieder? (Begründung!) Berechnen
Sie |z10 |.
2. Zeigen Sie, daß die Folge a mit an =
n2 −n+2
3n2 +2n−4
den Grenzwert a∞ =
1
3
besitzt.
3. Gegeben seien m positive Zahlen a1 , a2 , . . . , am mit A = max{a1 , . . . , am }. Zeigen
Sie
p
lim n an1 + · · · + anm = A .
n→∞
Hinweis: Schätzen Sie den Radikanden unter Zuhilfenahme von A nach oben und
unten ab.
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A4-4 Analysis
1. Schätzen Sie die Partialsumme sn = ∑nk=1 k12 nach unten und oben durch Partialsummen sn bzw. sn ab, indem Sie jeweils die Summanden ak = k12 geeignet abschätzen
(z.B. gilt k2 < k(k + 1)). Bestimmen Sie die Grenzwerte der Minorante (sn )n∈N und
1
der Majorante (sn )n∈N . Welche Schranken erhalten Sie für s∞ = ∑∞
k=1 k2 ?
2. Verbessern Sie die in 1. erhaltenen Schranken, indem sie s5 exakt berechnen und
erst ab n = 6 auf obige Abschätzung zurückgreifen. Vergleichen Sie das Ergebnis
mit dem aus der Vorlesung bekannten Wert π6 2 .
3. Mit der aus dem binomischen Satz hervorgehenden Ungleichung
(1 + h)n >
n(n − 1) 2
h
2
(h > 0)
√
ist limn→∞ n n = 1 zu zeigen. Zeigen Sie damit und mit Hilfe eines geeigneten
1
Konvergenzkriteriums, daß die harmonische Reihe ∑∞
n=1 nα für α > 1 konvergiert.
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A4-5 Analysis
1. Zeigen Sie, daß f (x) = ∑ni=1 (x−xi )2 beim arithmetischen Mittel ma = 1n (x1 +· · ·+xn )
der Zahlen x1 , . . . , xn minimiert wird. Bestimmen Sie f (ma ).
√
2. Zeigen Sie, daß das geometrische Mittel mg = x1 x2 der nichtnegativen Zahlen x1 , x2
höchstens gleich dem arithmetischen Mittel ma = 12 (x1 + x2 ) ist, d.h., mg 6 ma .
√
3. Berechnen Sie mit Hilfe von 2. näherungsweise 3 in drei Iterationsschritten:
(0) (0)
(0)
(1)
(0)
(0)
Gehen Sie von x1 x2 = 3 mit x1 = 1 aus. Setzen Sie dann x1 = 21 (x1 + x2 )
(1)
(1) (1)
(2)
und bestimmen Sie x2 aus x1 x2 = 3. Analog bestimmen Sie x1
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Wert aus einem Tafelwerk.
(2)
und x2 .
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A4-6 Analysis
1. Zu welchen Punkten der Parabel y = x2 hat der Punkt P = (x0 , y0 ) = ( 21 , 2) den
kleinsten Abstand, d.h., für welche x wird
q
ρ(x) = (x − x0 )2 + (x2 − y0 )2
minimal? (Nachweis des Minimums!)
Hinweis: Betrachte das Quadrat von ρ.
Wieviel Lösungen hat die Aufgabe (Begründung!) und wie groß ist dieser Abstand?
Für welche Punkte P = (x0 , y0 ) besitzt ρ ein (lokales) Maximum?
2. In Verallgemeinerung obiger Aufgabe betrachten wir nun Graphen einer beliebigen,
zweimal stetig differenzierbaren Funktion f : R → R. Sei P = (x0 , y0 ) 6∈ graph( f ).
Begründen Sie, daß
q
ρ(x) =
(x − x0 )2 + ( f (x) − y0 )2
stets eine Minimal- oder Maximalstelle ξ besitzt.
3. Leiten Sie aus einem Additionstheorem für die Tangens-Funktion her, daß zwei
Geraden y = a1 + m1 x und y = a2 + m2 x genau dann senkrecht aufeinander stehen,
wenn m1 m2 + 1 = 0.
4. Sei ξ eine Minimal- oder Maximalstelle aus der 2. Aufgabe. Zeigen Sie daß die
Gerade durch P = (x0 , y0 )und Q = (ξ, f (ξ)) senkrecht auf der Tangente an den
Graphen von f in ξ steht.