Beispielklausur

Theoretische Physik V
- Quantenmechanik-II (WS 2011/2012) Beispiel Klausur (90 + 15 Punkte)
Emission 11.01.2013
– keine Hilfsmittel–
1
Verständnis und Gedächtnisfragen (45 Punkte)
. Aufgabe 1 (Streutheorie)
(15 Punkte)
(a) Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung, Sie erinnern sich, lautet
r→∞
~
ψ(~x) ' eik·~x + f (ϑ, ϕ)
eikr
.
r
(1)
Welche Bedeutung hat die Streuamplitude f für den differentiellen Wirkungsquerschnitt? (Skizze?)
(5 Punkte)
(b) Wie berechnet sich f in erster Bornscher Näherung?
(c) Was versteht man unter der s-Wellen Streulänge?
1
(5 Punkte)
(5 Punkte)
Notenschlüssel beruht auf 90 Punkten; die 15 Extra-Punkte geben Ihnen mehr Luft zum Atmen . . .
c
Martin
Wilkens
1
11. Januar 2013
Beispiel Klausur Quantenmechanik-II WS 2012/2013
. Aufgabe 2 (Klein-Paradoxon)
(15 Punkte)
Beschreiben Sie das Klein-Paradoxon für Dirac-Teilchen mit eigenen Worten. Ist eine
Auflösung des Paradox innerhalb der relativistischen Quantenmechanik möglich? (maximal 10 Sätze)
c
Martin
Wilkens
2
11. Januar 2013
Beispiel Klausur Quantenmechanik-II WS 2012/2013
. Aufgabe 3 (Nichtrelativistische Fermionen)
(15 Punkte)
(a) Welcher Algebra genügen die Erzeuger â†k und Vernichter âk (k ist Modenindex) von
Spin- 21 Teilchen?
(b) Wie lautet der Operator der Teilchenzahl eines nicht-relativistischen Vielteilchensystems identischer Fermionen?
(c) Was versteht man unter der Fermienergie eines Systems identischer Fermionen?
c
Martin
Wilkens
3
11. Januar 2013
Beispiel Klausur Quantenmechanik-II WS 2012/2013
Rechenaufgaben (45 + 15 Punkte)
. Aufgabe 4
(10 Punkte)
Für ein nicht-relativistisches System N nicht-wechselwirkender spin-polarisierter Elektronen in einer Falle mit Fallenpotential V (~x) = k2 ~x2 bestimme man die Teilchendichte n(~x)
in Thomas-Fermi-Näherung.
. Aufgabe 5
(15 Punkte)
Für die Potentialstreuung am Potential der “weichen Kugel”
V0 (1 − r2 /a2 ) ,
0≤r≤a
V (r) =
0,
r>a
(2)
berechne man den differentiellen und totalen Streuquerschnitt in erster Born’scher Näherung.
. Aufgabe 6
(20 Punkte)
Ein Diracteilchen ruht für t < 0 in einem Zustand positiver Energie mit Spin rauf. Zum
~ = (0, 0, A), und zum
Zeitpunkt t = 0 wird ein konstantes Vektorpotential eingeschaltet A
Zeitpunkt t = T wieder ausgeschaltet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Diracteilchen für t > T in einem Zustand negativer Energie angetroffen?
. Aufgabe 7
(15 Punkte)
Beweisen Sie: Genügt Ψ im ungestrichenen Koordinatensystem der Dirac-Gleichung im
~ dann genügt
Potential (Aµ ) = (Φ/c, A),
Ψ0 (~x0 , t0 ) = iγ 1 γ 3 Ψ∗ (~x0 , −t0 )
(3)
der Dirac-Gleichung im gestrichenen Koordinatensystem (ct0 , ~x0 ) = (−ct, ~x) im zeitumge~ 0 (~x0 , t0 ) = −A(~
~ x0 , −t0 ), Φ0 (~x0 , t0 ) = Φ(~x0 , −t0 ).
kehrten Potential A
c
Martin
Wilkens
4
11. Januar 2013
Beispiel Klausur Quantenmechanik-II WS 2012/2013
Formelsammlung
Minkowskimetrik η ≡ (ηµν ) = (η µν ),


+1 0
0
0
 0 −1 0
0 

(ηµν ) = 
 0
0 −1 0 
0
0
0 −1
(4)
Lotra Λ = (Λµ ν ) mit ΛT ηΛ = η.
4er Koordinatenvektor x ≡ (xµ ) = (ct, ~x), (xµ ) = (ηµ~u xν ) = (ct, −~x).
4-er Impuls p ≡ (pµ ) = (E/c, p~)
~
4er-Potential A = (Aµ ) = (Φ/c, A)
~
4-er Gradient ∂ ≡ (∂µ ) = ( 1 ∂ , ∇)
c ∂t
Paulimatrizen (Standarddarstellung)
0 1
0 −i
1
2
σ =
, σ =
,
1 0
i 0
3
σ =
1 0
0 −1
Gamma-Matrizen (Standarddarstellung)
0 σi
1̂2 0
i
i
0
,
,
γ ≡ βα =
γ ≡β=
−σ i 0
0 −1̂2
5
0 1 2 3
γ ≡ iγ γ γ γ =
c
Martin
Wilkens
5
0 1̂2
1̂2 0
.
(5)
i = 1, 2, 3 .
(6)
.
(7)
11. Januar 2013