ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK I

E RGEBNISSE
T ECHNISCHE M ECHANIK I-II
E LEMENTE DER T ECHNISCHEN M ECHANIK I-II
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
WS 12/13, 16.02.2013
(TM I)
x
q0 x x
q(x) =
6−
9
a a
3a
1. Aufgabe:
A
g
F = q0 a
60◦
C
G
a
m
B
a
a
a
a
Gegeben ist das skizzierte
Rahmensystem.
Belastet ist das System durch eine quadratische
q0 x x
Streckenlast q(x) =
6−
, die Kraft F = q0 a und eine homogene Platte der
9
a a
Masse m. Die Balken können als masselos angesehen werden.
a) Ermitteln Sie die Resultierende der quadratischen Streckenlast und berechnen Sie die
x− Koordinate des Angriffspunktes der Resultierenden.
Ermitteln Sie mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verrückungen:
b) das Einspannmoment MA ,
c) die vertikale Lagerkraft AV ,
d) das Biegemoment im horizontalen Balken an der Stelle des Lagers B.
Lösungswege ohne das Prinzip der virtuellen Verrückungen werden nicht berücksichtigt!
Gegeben:
a, q0 , m, g, F = q0 a
a)
R = 2q0 a
15
xS =
a
8
21
b) MA = − q0 a2
√4
3
q0 a + mg
c) AV =
2√
3 2
q0 a − mga
d) MB = −
2
2. Aufgabe:
(TM I, TM I-II, ETM I)
y
F
g
x2
y(x) =
4a
1
1
3
◦
2
x
45
2a
3
2
a
2a
2a
Eine homogene Scheibe (Gewicht G, konstante Dicke) mit den angegebenen Abmessungen
ist wie skizziert durch 3 Stäbe gelagert. Die obere Kante von Teilkörper ➀ wird durch die
x2
Funktion y(x) =
beschrieben. Ein quadratisches Loch ➂ in Teilkörper ➁ ist mittig über
4a
Stab 2 angebracht. Zusätzlich zur Gewichtskraft wird die Scheibe durch eine Kraft F belastet.
Ermitteln Sie:
a) die Koordinate x1s des Schwerpunktes von Teilkörper ➀,
b) die Koordinate xs des Schwerpunktes vom Gesamtsystem,
c) die Stabkräfte S1 , S2 und S3 ,
d) die Kraft F , so dass S2 ein Nullstab wird. Wie groß sind dann die Stabkräfte S1 und S3
in Abhängigkeit von G?
Gegeben:
a, G, g
für c)
F
a)
x1,s = 3 a
b)
xs = 2, 64 a
c)
S2 = −0.68 G + 2 F
S3 =
√
2(−2 F − 0.32 G)
S1 = − (F + 0.32 G)
d)
F = 0.34 G
3. Aufgabe:
(TM I, TM I-II, ETM I, ETMI-II)
πx
q(x) = q0 π sin
2a
A
x
1
F = q0 a
a
2
4F = 4q0 a
a
2
2
B
a
a
Der skizzierte Rahmen besteht aus zwei starr miteinander verbundenen Balken 1 und .
2 Der
Rahmen wird durch eine sinusförmige Streckenlast und zwei Einzelkräfte belastet. Der Angriffspunkt der Kraft F = q0 a im Balken 1 liegt genau in der Balkenmitte bei x = a. Verwenden Sie zur Beantwortung der Fragen das angegebene Koordinatensystem, bzw. die gestrichelte
Faser.
a) Ermitteln Sie die Resultierende der Streckenlast und geben Sie die x-Koordinate des Angriffspunktes an.
b) Ermitteln Sie die Stabkraft in der Pendelstütze im Punkt A und die Lagerreaktionen im
Punkt B.
c) Berechnen Sie die Normalkraft N(x), die Querkraft Q(x) und das Biegemoment M(x)
im Balken .
1
d) Skizzieren Sie im Balken 2 die Verläufe von Normalkraft N, Querkraft Q und Biegemoment M. Geben Sie ausgezeichnete Werte an.
Gegeben:
q0 , a, F = q0 a
a)
R = 4q0 a
xR = a
und
(Symmetrie)
b)
5
S = − q0 a
2
BH = 3q0 a
3
BV = q0 a
2
c)
1
+ q0
2a
2
2
4q0 a
1
πx
M(x) =
+ q0 ax
sin
π
2a
2
0
N(x) = −q0 a hx − ai
Q(x) = 2q0 a cos
πx d) Schnittgrößen in Bereich 2:
Q
N
M
+q0 a2
+q0 a
+
+
−
+
−
− 32 q0 a
−3q0 a
3
q a2
2 0
4. Aufgabe:
(TM II, TM I-II, ETM I, ETM I-II)
a
a
a
5
EA
√
2
EA
√
2
2
a
B
6
4
3
q0
C
1
a
dehnstarr,
biegesteif
a
A
x
Die skizzierte Haltestellenüberdachung besteht aus einem starren Rahmen (EI, EA → ∞), der
am unteren Ende durch ein zweiwertiges gelenkiges Lager und im oberen Bereich durch eine
Fachwerkkonstruktion gehalten ist. Die Stäbe 1, 3 und 5 des Fachwerks haben die DehnsteifigEA
keit EA, die Stäbe 2, 4 und 6 haben die Dehnsteifigkeit √ . Belastet ist der Rahmen durch die
2
skizzierte dreiecksförmige Streckenlast.
a) Berechnen Sie den Betrag der Resultierenden der Streckenlast und geben Sie die xKoordinate des Angriffspunktes an.
b) Ermitteln Sie die vertikale Lagerreaktion BV mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte.
Zerlegen Sie das System dazu in ein geeignetes ”0”- und ”1”-System. Lösungen ohne das
Prinzip der virtuellen Kräfte werden nicht berücksichtigt.
c) Berechnen Sie die Stabkräfte S1 und S2 .
d) Ermitteln Sie die Vertikalverschiebung vC des Punktes C.
Gegeben:
EA
a, EA1 = EA3 = EA5 = EA, EA2 = EA4 = EA6 = √ , q0
2
a)
R = q0 a
xR = a
b)
Bv = −
c)
S1 =
3
q0 a
41
16
q0 a
41
√
3 2
S2 =
q0 a
41
d)
vC = −
16q0 a2
41EA
5. Aufgabe:
(TM II, TM I-II)
Versuch 1
Versuch 2
p0
3p0
y
p0
p0
x
3p0
p0
Um die Materialparameter der homogenen, quadratischen Scheibe (Kantenlänge a) zu ermitteln, wird die Scheibe in zwei Versuchen wie skizziert belastet.
a) Zeichnen Sie für beide Versuche die Mohrschen Kreise in das jeweils dafür vorgesehene Koordinatensystem ein. Zeichnen Sie die Schnittrichtungen, in denen die maximalen
Schubspannungen auftreten, in die Versuchsskizze (oben) ein.
τ
Versuch 1
τ
Versuch 2
p0
p0
σ
σ
p0
p0
b) Berechnen Sie aus den in den beiden Versuchen gemessenen Verformungen ∆b = δ
und ∆s = 4δ (siehe untere Skizze) den Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl ν.
undeformiert
Versuch 1
Versuch 2
y
a
x
a
a − ∆h
a
a + ∆b
a
∆s
c) Wie groß ist die Verformung ∆h in y-Richtung, die sich bei Versuch 1 einstellt?
Gegeben:
a, p0 , δ ≪ a
a)
Versuch 1
Versuch 2
p0
3p0
y
3p0
Versuch 1
p0
p0
x
τ
Versuch 2
p0
τ
p0
p0
σ
p0
b)
E = 35 apδ 0
ν = 0.2
c)
∆h = 5δ
σ
p0
6. Aufgabe:
(TM II)
1
0
0
1
0
1
0
1
01
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
0
1
000
111
1111
0000
q0
A
c=
EI
B
6EI
l3
x
l
z, w
Der dargestellte Balken (Biegesteifigkeit EI) ist am linken Lager durch eine Feder (Steifigkeit c) gestützt und mit der linear veränderlichen Streckenlast q(x) belastet.
a) Berechnen Sie die Biegelinie w(x) des Balkens sowie die Federkraft.
b) An welcher Stelle ist das Biegemoment maximal?
Gegeben:
q0 , l, EI, c =
6EI
l3
a)
1
w(x) =
EI
Fc =
b)
x∗ =
q
3
10
l
3
q0 l
20
1
x5
1
1
1
q0 − q0 lx3 −
q0 l2 x2 + q0 l4
120 l
40
120
40
7. Aufgabe:
(ETM II, ETM I-II)
Der Stab CD wird von zwei Roboterarmen ABC und DEF mit konstanter Geschwindigkeit v0
transportiert und ist dabei so geführt, dass er sich nur in horizontaler Richtung bewegen kann.
Die Roboterarme sind in den Punkten A bzw. F drehbar gelagert und verfügen über je ein
zusätzliches Gelenk im Punkt B bzw. E. Weiterhin sind die Arme gelenkig mit dem Stab CD
verbunden, siehe Skizze.
a) Zeichnen Sie den Momentanpol ΠBC des Roboterarmteilstücks BC in die obige Zeichnung für den momentanen Bewegungszustand ein. Lösungen die nicht auf Kreuzungen
der Gitterlinien liegen können nicht gewertet werden.
b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ωBC des Roboterarmteilstücks BC, den Geschwindigkeitsvektor ~vB im Roboterarmgelenk B und die Winkelgeschwindigkeit ωAB
des Roboterarmteilstücks AB.
c) Zeichnen Sie die Richtungen der Winkelgeschwindigkeiten ωBC und ωAB sowie die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ~vB in die obige Skizze ein.
d) Zeichnen Sie den Momentanpol ΠDE des Roboterarmteilstücks DE in die obige Zeichnung für den momentanen Bewegungszustand ein. Lösungen die nicht auf Kreuzungen
der Gitterlinien liegen können nicht gewertet werden.
e) Berechnen Sie die Zeit t∗ , nach welcher der Roboterarm DEF komplett durchgestreckt
ist.
Gegeben:
a, v0
a)
b)
ωBC =
v0
7a

~vB = 
4
v
7 0
− v70
ωAB = −
0


v0
7a
c+d) siehe Skizze in a)
e)
t∗ =
4a
v0
8. Aufgabe:
(ETM II, ETM I-II)
m
3m
t≪R
x
R
SW
g
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
masselos
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
3m
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
P
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
R
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
SZ
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
α
00000000000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111111111
Das skizzierte System besteht aus einem homogenen Zylinder (Radius R, Masse 3m) und einer
Walze (Radius R, Gesamtmasse 4m), die in ihren Massenmittelpunkten durch eine starre masselose Stange verbunden sind. Die Walze besteht aus einem homogenen Kern (Masse 3m) und
einem dünnen äußeren Ring (Dicke t ≪ R, Masse m). Beide rollen gemeinsam ohne zu gleiten
eine rauhe schiefe Ebene hinunter.
Berechnen Sie
a) die Massenträgheitsmomente ΘZ des Zylinders und ΘW der Walze bezüglich ihrer Massenmittelpunkte,
b) die Beschleunigung des Systems (Koordinate x),
c) den erforderlichen Haftreibungskoeffizienten µmin
H im Berührungspunkt P der Walze mit
der Ebene, so dass die Walze rollt, ohne zu gleiten.
Gegeben:
m, R, t ≪ R, α, g
a)
3
mR2
2
5
ΘW = = mR2
2
ΘZ =
b)
ẍ =
7
g sin(α)
11
c)
µHmin =
35
tan α
88
9. Aufgabe:
(ETM II)
45◦
y
R
m
v0
ϕ
ω0
x
Eine homogene Walze (Masse m, Radius R) stößt gegen eine rauhe Wand (Stoßzahl e). Die
Geschwindigkeit der Walze beträgt unmittelbar vor dem Stoß v0 . Dabei dreht sich die Walze
mit einer Winkelgeschwindigkeit ω0 . Die Walze haftet während des Stoßes an der Wand, d.h.
unmittelbar nach dem Stoß verschwindet die Tangentialgeschwindigkeit. Verwenden Sie zur
Beantwortung der Fragen das angegebene Koordinatensystem.
a) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Walzenschwerpunktes (v̄x , v̄y ) und die Winkelgeschwindigkeit ω̄ der Walze unmittelbar nach dem Stoß.
b) Ermitteln Sie die Stoßkräfte, die während des Stoßes auftreten.
√ v0
Nun gelte für die Winkelgeschwindigkeit ω0 = 2 2 .
R
c) Für welche Stoßzahl e hat die Walze unmittelbar nach dem Stoß eine Geschwindigkeit
waagrecht nach rechts (Richtung entgegen der Aufprallgeschwindigkeit v0 )?
Gegeben:
m, R, v0 , ω0 ,
für a) und b):
e
a)
1
v̄x = e √ v0
2
√
1
2
v̄y = ω0 R −
v0
3
√3
2 v0
1
ω̄ = ω0 −
3
3 R
1
F̂ = m(1 + e) √ v0
2
!
√
2
1
v0 + ω0 R
Ĥ = m
6
3
b)
e=
2
3