Lösungen Aufgabenblatt Bedingte Wahrscheinlichkeit AB V

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
07.06.2017
Lösungen Aufgabenblatt Bedingte Wahrscheinlichkeit AB V
E1:
a) Die 4 – Feldtafel:
M : Medikament genommen
G : gesund geworden
G
M : Placebo genommen
G : nicht gesund geworden
G
6312
87
6399
 0,5686
 0,0078
 0,5764
11101
11101
11101
312
4390
4702
M
 0,0281
 0,3955
 0, 4236
11101
11101
11101
6624
4477
11101
 0,5967
 0, 4033
1
11101
11101
11101
Das Baumdiagramm:
M
6399
P  M 
 0,5764
11101
PM  G
G
P M  G  
 
G
P MG 
PM  G
G
P MG 
 
G
P MG 
M
PM G
 
P M 
4702
 0,4236
11101


87
 0,0078
11101


312
 0,0281
11101


4390
 0,3955
11101
M
PM G
b)
6312
 0,5686
11101
6312
6312
PM  G  
 11101 
 0,9864
6399 6399
P  M
11101
Bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Medikament eingenommen hat,
ist die Wahrscheinlichkeit 0,9864, dass sie gesund geworden ist.
c)
4390
P MG
4390
PM G 
 11101 
 0,9336
4702 4702
P M
11101
Bei einer Person, von der man weiß, dass sie ein Placebo eingenommen hat,
ist die Wahrscheinlichkeit 0,9336, dass sie nicht gesund geworden ist.
P M  G 
 

 

Erstellt von R. Brinkmann 841118150
24.10.2006 18:05:00
Seite 1 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 2
E2:
A : Die Person ist geimpft
B : Die Person ist erkrankt
PA 
600
 0,6
900
P B  
180
 0,2
900
P  A  B 
60
 0,06
900
60
P  A  B  900
60
PA B  


 0,1
600 600
PA
900
60
P  A  B  900
60
PB  A  


 0,3
180 180
P B 
900


PA B  

 
P A
  900  120  0,4
120
300
900
Erstellt von R. Brinkmann 841118150
A : Die Person ist nicht geimpft
B : Die Person ist nicht erkrankt
Bei der zufälligen Auswahl einer Person. ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, eine geimpfte
Person zu finden 0,666...
Bei der zufälligen Auswahl einer Person. ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, eine erkrankte
Person zu finden 0,2
Bei der zufälligen Auswahl einer Person. ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, eine trotz
Impfung erkrankte Person zu finden
0,06666...
Eine Person, von der man weiß, dass sie
geimpft wurde ist mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,1 dennoch
erkrankt.
Eine Person, von der man weiß, dass sie
erkrankt ist, wurde ist mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,333... geimpft.
Bei der zufälligen Auswahl einer Person, ist
die Wahrscheinlichkeit eine nicht geimpfte
und auch erkrankte Person zu finden
0,1333...
120
P A B 
 0,13
900
P A B
07.06.2017
300
Eine Person, von der man weiß, dass sie
nicht geimpft wurde ist mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,4 auch erkrankt.
24.10.2006 18:05:00
Seite 2 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 3
07.06.2017
E3:
a) A : Person stammt aus den alten Bundesländern (West)
A : Person stammt aus den neuen Bundesländern (Ost)
B : Person ist weiblich
B : Person ist männlich
Summe weiblich: 0,524  244600  12 8170, 4  128170
Summe männlich: 244600  128170  116430
x:
Gesamtheit aller Absolventen aus West
244600  x : Gesamtheit aller Absolventen aus Ost
Anzahl der Abiturientinnen aus West 50,8% von x.
Anzahl der Abiturientinnen aus Ost 59,1% von  244600  x  .
0,508  x  0,591  244600  x   128170
weiblich West
weiblich Ost
Summe weiblich
0,508x  0,591 244600  0,591x  128170|  0,591  244600
 0,083x  16388,6|:  0,083 
x
16388,6
 197453,012  197453 Gesamtheit aller Absolventen aus West.
0,083
weiblich West:
weiblich Ost:
männlich West:
männlich Ost:
0,508  x  0,508  197453  100306,124  100306
128170  100306  27864
197453  100306  97147
116430  97147  19283
Die 4  Feldtafel :
B (weiblich) B (männlich)
A (West)
100306
97147
197453
A (Ost)
27864
128170
Erstellt von R. Brinkmann 841118150
19283
116430
47147
244600
24.10.2006 18:05:00
Seite 3 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 4
PA B   0,508
b)
P  A   0,807
07.06.2017
B
P  A  B   0,410
PA B  0,492
B
P A  B  0,397
PA B   0,591
B
P A  B  0,114
B
P A  B  0,079
A
 
 
P A  0,193






A
 
PA B  0,409
Berechnung aller für den Baum relevanten Wahrscheinlichkeiten.
 
197453
 0,807
244600
100306
P  A  B 
 0,410
244600
27864
P A B 
 0,114
244600
47147
 0,193
244600
97147
P A B 
 0,397
244600
19283
P A B 
 0,079
244600
PA 

PA B  
PA B  
P A 

P  A  B
PA

P A B
 
P A

100306
 0,508
197453
  27864  0,591
47147
Erstellt von R. Brinkmann 841118150






  19283  0,409
P A B
 
P A B
PA B 
24.10.2006 18:05:00

 
PA B 
P A
 
P A
97147
 0,492
197453
47147
Seite 4 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 5
PB  A   0,783
c)
P B   0,524
07.06.2017
A
P  A  B   0,410
PB A  0,217
A
P A  B  0,114
PB  A   0,834
A
P A  B  0,397
A
P A  B  0,079
B
 
 
P B  0,476






B
 
PB A  0,166
Berechnung aller für den Baum relevanten Wahrscheinlichkeiten.
P B  
 
128170
 0,524
244600
PB  A  
PB  A  
P  A  B
P B 

P A B
 


P B
P B 
116430
 0, 476
244600
PB A 
(2) P B  0,524
 
(3) P B  0,409
A
(4) PB  A   0,783
Erstellt von R. Brinkmann 841118150


 
97147
 0,834
116430
 

P A B
PB A 
d) (1) P A  0,193

 
P A B
100306
 0,783
128170
P B 
 
P B
27864
 0,217
128170
19283
 0,166
116430
Die zufällig ausgewählte Person stammt mit einer
Wahrscheinlichkeit von 19,3% aus den neuen
Bundesländern (Ost).
Die zufällig ausgewählte Person ist mit einer
Wahrscheinlichkeit von 52,4% weiblich.
Wenn man weiß, dass die zufällig ausgewählte
Person aus den neuen Bundesländern stammt,
dann ist diese mit einer Wahrscheinlichkeit von
40,9% männlich.
Wenn man weiß, dass die zufällig ausgewählte
Person weiblich ist, dann stammt sie mit einer
Wahrscheinlichkeit von 78,3% aus den alten
Bundesländern (West).
24.10.2006 18:05:00
Seite 5 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
E4:
a) A :
A:
B:
B:
Seite 6
07.06.2017
Zuschauer ist  25 Jahre alt
Zuschauer ist  25 Jahre alt
Zuschauer hat eine positive Meinung von der Sendung
Zuschauer hat eine negative Meinung von der Sendung
30% der Zuschauer sind  25 Jahre alt  P  A   0,3
 
70% der Zuschauer sind  25 Jahre alt  P A  0,7
Von den Zuschauern  25 hatten 50% eine positive Meinung über die Sendung.
 P  A  B   0,5  0,3  0,15
Von den Zuschauern  25 hat ten 50% eine negative Meinung über die Sendung.
 P A  B  0,5  0,3  0,15




Von den Zuschauern  25 hatten 80% eine positive Meinung über die Sendung.
 P A  B  0,8  0,7  0,56
Die restlichen Werte der 4  Feldtafel lassen sich aus den bisher bekannten
Werten berechnen:
P B   0,15  0,56  0,71
 
P  A  B   0,29  0,15  0,14
P B  1  0,71  0,29
Die 4  Feldtafel :
A   25 
A   25 
B (Meinung positiv) B (Meinung negativ)
0,15
0,15
0,3
0,56
0,14
0,7
0,71
0,29
1
Erstellt von R. Brinkmann 841118150
24.10.2006 18:05:00
Seite 6 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 7
PA B   0,5
b)
P  A   0,3
07.06.2017
B
P  A  B   0,15
PA B  0,5
B
P A  B  0,15
PA B   0,8
B
P A  B  0,56
B
P A  B  0,14
A
 
 
P A  0,7






A
 
PA B  0,2
Berechnung aller für den Baum relevanten Wahrscheinlichkeiten.
PA B  
PA B  
P  A  B
PA

P A B
 

0,15
 0,5
0,3
  0,56  0,8
P A B
 
P A B
PA B 
0,7
P A

 
PA B 
P A

 
  0,15  0,5
0,3
  0,14  0,2
0,7
P A
Der inverse Baum:
PB  A   0,211
P B   0,71
A
P  A  B   0,15
PB A  0,789
A
P A  B  0,56
PB  A   0,517
A
P A  B  0,15
A
P A  B  0,14
B
 
 
P B  0,29






B
 
PB A  0,483
Berechnung aller für den Baum relevanten Wahrscheinlichkeiten.
PB  A  
PB  A  
P  A  B
P B 

P A B
 
P B

0,15
 0,211
0,71
  0,15  0,517
0,29
Erstellt von R. Brinkmann 841118150

 
P A B
 
P A B
PB A 
PB A 
24.10.2006 18:05:00
P B 

 
P B
  0,56  0,789
0,71
  0,14  0, 483
0,29
Seite 7 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
 
c) P A  0,789
B
 
d) P B  0,2
A
Seite 8
07.06.2017
Von allen Zuschauern, von den man weiß, das sie eine
positive Meinung über die Sendung hatten, waren 78,9%
älter als 25 Jahre.
Von allen Zuschauern, von den man weiß, das sie älter als 25
sind, hatten 20% eine negative Meinung über die Sendung
e) B ist unabhängig von A, falls gilt: PB  A   P  A 
PB  A   0,211
 PB  A   P  A   keine Unabhängigkeit
P  A   0,3
Das Ereignis B ist abhängig vom Ereignis A.
Das bedeutet, die positive Meinung über die Fernsehsendung ist vom Alter der
Zuschauer abhängig.
Erstellt von R. Brinkmann 841118150
24.10.2006 18:05:00
Seite 8 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
E5:
a) K :
K:
T:
T:
Seite 9
07.06.2017
Die getestete Person ist krank
Die getestete Person ist gesund
Das Testergebnis ist positiv (Person wurde als krank getestet)
Das Testergebnis ist negativ (Person wurde als gesund getestet)
1% der Menschen sind krank  P K   0,01
 
99% der Menschen sind gesund  P K  0,99
Der Test zeigt die Krankheit bei den tatsächlich erkrankten zu 98% korrekt an
 P K  T   0,98  0,01  0,0098
Der Test zeigt auch 3% der gesunden als krank an
 P K  T  0,03  0,99  0,0297


Die restlichen Werte der 4  Feldtafel lassen sich aus den bisher bekannten
Werten berechnen:
P  T   0,0098  0,0297  0,0395
 
P K  T   0,99  0,0297  0,9603
P  T   1  0,0395  0,9605
P K  T  0,01  0,0098  0,0002
Die 4  Feldtafel :
K (krank)
K (gesund)
T (positiv) T (negativ)
0,0098
0,0002
0,01
0,0297
0,9603
0,99
0,0395
0,9605
1
Erstellt von R. Brinkmann 841118150
24.10.2006 18:05:00
Seite 9 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 10
07.06.2017
b) Baumdiagramm
T P K  T   0,0098
PK  T   0,98
P K   0,01
K
PK T  0,02
T P K  T   0,0002
PK  T   0,03
T P K  T   0,0297
 
 
P K  0,99
K
T P K  T   0,9603
 
PK T  0,97
Berechnung aller für den Baum relevanten Wahrscheinlichkeiten.
PK  T  
PK  T  
P K  T 
P K 

P K T
 

0,0098
 0,98
0,01
  0,0297  0,03
0,99
P K

 
P K T
 
P K T
PK T 
PK T 
P K 

  0,0002  0,02
0,01
 
  0,9603  0,97
0,99
P K
Der inverse Baum:
PT K   0,2481
P  T   0,0395
K P K  T   0,0098
T
PT K  0,7519
K P K  T   0,0297
PT K   0,000208
K P K  T   0,0002
 
 
P T  0,9605
T
 
PT K  0,999792
K P K  T   0,9603
Berechnung aller für den Baum relevanten Wahrscheinlichkeiten.
PT K  
PT K  
P K  T 
P T

P K T
 
P T
c) P  T   0,0395

0,0098
 0,2481
0,0395
  0,0002  0,000208
0,9605

 
P K T
 
P K T
PT K 
PT K 
P T 

 
  0,0297  0,7519
0,0395
  0,9603  0,999792
P T
0,9605
Bei einer zufällig ausgewählten Person zeigt der Test mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,0395 ein positives Ergebnis an.
Erstellt von R. Brinkmann 841118150
24.10.2006 18:05:00
Seite 10 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
d) PT K   0,2481
Seite 11
07.06.2017
Eine Person, von der man weiß, dass sie positiv getestet
wurde, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2481 auch
tatsächlich krank
Kommentar:
Das Ergebnis von ca. 25% ist nicht zufriedenstellend.
Nur 25% aller positiv getesteten sind tatsächlich erkrankt.
Das bedeutet, dass ca. 75% der positiv getesteten gesund
sind. Es wäre wünschenswert, dass der Test verbessert wird.
 
e) P K  0,999792 Eine Person, von der man weiß, dass sie negativ getestet
T
wurde, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,999792
auch tatsächlich gesund.
Kommentar:
In diesem Fall ist das Ergebnis von ca. 99,98% sehr
zufriedenstellend. Nur ca. 0,02% der als negativ getesteten
Personen sind tatsächlich krank.
E6:
a) A :
A:
B:
B:
Die Person ist männlich
Die Person ist weiblich
Die Person ist Raucher
Die Person ist Nichtraucher
Die 4  Feldtafel :
B (Raucher) B (Nichtraucher)
82
211
293
A (männlich)
674
674
674
131
250
381
A (weiblich)
674
674
674
213
461
674
1
674
674
674
b)
Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer
250
P A B 
 0,371
Wahrscheinlichkeit von 0,371 weiblich und raucht
674
nicht.
c)
Eine Person, von der man weiß, das sie
250
P A B
weiblich ist, ist mit einer
250
PA B 
 674 
 0,656 Wahrscheinlichkeit von 0,656
381 381
P A
Nichtraucherin.
674
d) Wenn gilt: PA B   P B   A hängt von B ab.


 
PA B  

 

P  A  B
PA
82
82
 674 
 0,28
293 293
 PA B   P B 
674
213
 0,316
674
Die Ereignisse A: „Mann“ und B: „Raucher“ sind voneinander abhängig.
P B  
Erstellt von R. Brinkmann 841118150
24.10.2006 18:05:00
Seite 11 von 12
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Erstellt von R. Brinkmann 841118150
Seite 12
24.10.2006 18:05:00
07.06.2017
Seite 12 von 12