3. Schriftliche Wiederholung aus Physik Donnerstag, 27. Februar 1997
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2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 ck – jaksch Mittwoch, 30. April 2014 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) b) c) Bakterien vermehren sich exponentiell mit einer Wachstumsrate von 7 % pro Stunde. Um 10:00 Uhr war die Bakterienzahl 300. Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Bakterien B(t). t soll dabei die Zeit in Stunden nach 10:00 sein. B(t) = 300 · 1,07t = 300 · e0,068 t Die Bakterienzahl in einem Nahrungsmittel sei B(t) = 500 e0,2 t. t ist dabei die Zeit in Stunden nach 10:00 Uhr. Berechnen in welchen Zeitintervallen sich die Anzahl der Bakterien jeweils verdoppelt. Berechnen Sie, wann die Bakterienzahl den Wert 10 000 erreicht. 2 = e0,2 τ τ = 3,47 h nach ca. 3,5 Stunden verdoppelt sich jeweils die Anzahl 10 000 = 500 e0,2t ln 20 = 0,2 t t ≈ 15 nach 15 Stunden (also um 1:00 Uhr) ist die Bakterienzahl 10 000. Einer der Funktionsgraphen A, B, C oder D entspricht der Funktion f(t) = 500 e0,2 t. Geben Sie an welcher und argumentieren Sie Ihre Entscheidung. f(t) ist eine Exponentialfunktion mit positivem λ , also monoton steigend, es kommen nur A und C in Frage. B ist offensichtlich linear, D monoton fallend. f(0) = 500, also kommen nur A und B in Frage. Daher muss A die richtige Funktion sein. 2. a) b) c) 3. a) b) 4. a) b) Eine Smartphone – App verbreitet sich in einem 5 000;1 + 99e–2 begrenzten Markt logistisch mit a(t) = . 3t t ist dabei die Anzahl der seit der Veröffentlichung verstrichenen Zeit in Wochen, a die Anzahl der Downloads. Berechnen Sie die Kapazitätsgrenze. Berechnen Sie die Anzahl der Downloads nach 2 Wochen. Berechnen Sie die Anzahl der Downloads am Beginn (also zum Zeitpunkt 0). Kapazität = 5 000, a(2) = 2 506 a(0) = 50 Eine Werkstück kühlt mit der Formel f(t) = 20 + b e λ t ab. t in Minuten (min), f in Grad Celsius (°C) Zum Zeitpunkt 0 hatte das Werkstück 80 °C. Nach 10 min hat das Werkstück eine Temperatur von 28,12 °C. Berechnen Sie die Parameter b und λ . f(0) = 20 + b = 80 b = 60 28,12 = 20 + 60 e λ · 10 λ = –0,2 Ein Werkstück kühlt mit der Formel f(t) = 20 + 50 e –0,1 t ab. t in Minuten (min), f in Grad Celsius (°C). Berechnen Sie die Temperatur des Werkstücks nach 20 Minuten. f(20) = 26,77 °C Ein Betrag von € 2.000,-- wird 18 Monate lang mit 4 % nom.p.a. verzinst. Die Verzinsung erfolgt halbjährig. Berechnen Sie den Endbetrag. 2.000 · 1,0218/12 · 2 = 2.000 · 1,023 = 2.122,42 Eine Schuld von € 50.000,-- per Ende 2018 wird durch drei gleich große Raten getilgt. Die erste Rate ist per Ende 2022, die zweite per Ende 2023 und die dritte per Ende 2027 fällig. Berechnen Sie die Höhe dieser Raten bei einem Zinssatz von 6 % ganzjährig dek.. BP Ende 27: 50.000 · 1,069 + R(1,065 + 1,064 + 1) R = 23.460,41 Fr. Schodl zahlt für ihren Ansparplan per Ende 2020 € 3.000,-- und per Ende 2030 € 1.000,-- ein. Am Ende des Jahres 2032 soll Fr. Schodl dann € 5. 338,18,-- ausbezahlt bekommen. Berechnen Sie den verrechneten Effektivzinssat auf Zehntelprozent genau. BP Ende 2032: 3.000 r12 + 1.000 r2 – 5.338,18 = 0 r = 1,03 also 3 % Fr. Harbort will per Ende 2030 einen Betrag von € 50.000,-- zur Verfügung haben. Sie will € 40.000,-auf ein mit 3 % dek. gj. verzinstes Konto einzahlen. Berechnen Sie, wann Fr. Harbort die Einzahlung auf dieses Konto vornehmen muss. 40.000 · 1,03n = 50.000 n = 7,55 also 7 Jahre und 6,6 Monate vor Ende 2030, d.h. im Juni 2023 2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 ck – jaksch Mittwoch, 30. April 2014 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) b) c) Bakterien vermehren sich exponentiell mit einer Wachstumsrate von 6 % pro Stunde. Um 10:00 Uhr war die Bakterienzahl 300. Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Bakterien B(t). t soll dabei die Zeit in Stunden nach 10:00 sein. B(t) = 300 · 1,06t = 300 · e0,058 t Die Bakterienzahl in einem Nahrungsmittel sei B(t) = 500 e0,1 t. t ist dabei die Zeit in Stunden nach 10:00 Uhr. Berechnen in welchen Zeitintervallen sich die Anzahl der Bakterien jeweils verdoppelt. Berechnen Sie, wann die Bakterienzahl den Wert 10 000 erreicht. 2 = e0,1 τ τ = 6,94 h nach ca. 7 Stunden verdoppelt sich jeweils die Anzahl 10 000 = 500 e0,1t ln 20 = 0,1 t t ≈ 30 nach 30 Stunden (also um 16:00 Uhr am nächsten Tag) ist die Bakterienzahl 10 000. Einer der Funktionsgraphen A, B, C oder D entspricht der Funktion f(t) = 500 e0,2 t. Geben Sie an welcher und argumentieren Sie Ihre Entscheidung. f(t) ist eine Exponentialfunktion mit positivem λ , also monoton steigend, es kommen nur A und C in Frage. B ist offensichtlich linear, D monoton fallend. f(0) = 500, also kommen nur A und B in Frage. Daher muss A die richtige Funktion sein. 2. a) b) c) 3. a) b) 4. a) b) Eine Smartphone – App verbreitet sich in einem 4 000;1 + 99e–2 begrenzten Markt logistisch mit a(t) = . 3t t ist dabei die Anzahl der seit der Veröffentlichung verstrichenen Zeit in Wochen, a die Anzahl der Downloads. Berechnen Sie die Kapazitätsgrenze. Berechnen Sie die Anzahl der Downloads nach 2 Wochen. Berechnen Sie die Anzahl der Downloads am Beginn (also zum Zeitpunkt 0). Kapazität = 4 000, a(2) = 2 005 a(0) = 40 Eine Werkstück kühlt mit der Formel f(t) = 20 + b e λ t ab. t in Minuten (min), f in Grad Celsius (°C) Zum Zeitpunkt 0 hatte das Werkstück 80 °C. Nach 10 min hat das Werkstück eine Temperatur von 28,12 °C. Berechnen Sie die Parameter b und λ . f(0) = 20 + b = 80 b = 60 28,12 = 20 + 60 e λ · 10 λ = –0,2 Ein Werkstück kühlt mit der Formel f(t) = 20 + 50 e –0,1 t ab. t in Minuten (min), f in Grad Celsius (°C). Berechnen Sie die Temperatur des Werkstücks nach 10 Minuten. f(10) = 38,4 °C Ein Betrag von € 1.000,-- wird 18 Monate lang mit 4 % nom.p.a. verzinst. Die Verzinsung erfolgt halbjährig. Berechnen Sie den Endbetrag. 1.000 · 1,0218/12 · 2 = 2.000 · 1,023 = 1.061,21 Eine Schuld von € 5.000,-- per Ende 2018 wird durch drei gleich große Raten getilgt. Die erste Rate ist per Ende 2022, die zweite per Ende 2023 und die dritte per Ende 2027 fällig. Berechnen Sie die Höhe dieser Raten bei einem Zinssatz von 6 % ganzjährig dek.. BP Ende 27: 5.000 · 1,069 + R(1,065 + 1,064 + 1) R = 2.346,04 Fr. Schodl zahlt für ihren Ansparplan per Ende 2020 € 3.000,-- und per Ende 2030 € 1.000,-- ein. Am Ende des Jahres 2032 soll Fr. Schodl dann € 5. 884,70,-- ausbezahlt bekommen. Berechnen Sie den verrechneten Effektivzinssat auf Zehntelprozent genau. BP Ende 2032: 3.000 r12 + 1.000 r2 – 5.884,7 = 0 r = 1,04 also 4 % Fr. Harbort will per Ende 2030 einen Betrag von € 50.000,-- zur Verfügung haben. Sie will € 40.000,-auf ein mit 4 % dek. gj. verzinstes Konto einzahlen. Berechnen Sie, wann Fr. Harbort die Einzahlung auf dieses Konto vornehmen muss. 40.000 · 1,04n = 50.000 n = 5,689 also 7 Jahre und 8,2 Monate vor Ende 2030, d.h. im April 2025 2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 ck – jaksch Mittwoch, 30. April 2014 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. 2. a) Bakterien vermehren sich exponentiell mit einer Wachstumsrate von 7 % pro Stunde. Um 10:00 Uhr war die Bakterienzahl 300. Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Bakterien B(t). t soll dabei die Zeit in Stunden nach 10:00 sein. b) Die Bakterienzahl in einem Nahrungsmittel sei B(t) = 500 e0,2 t. t ist dabei die Zeit in Stunden nach 10:00 Uhr. Berechnen in welchen Zeitintervallen sich die Anzahl der Bakterien jeweils verdoppelt. Berechnen Sie, wann die Bakterienzahl den Wert 10 000 erreicht. c) Einer der Funktionsgraphen A, B, C oder D entspricht der Funktion f(t) = 500 e0,2 t. Geben Sie an welcher und argumentieren Sie Ihre Entscheidung. a) Eine Smartphone – App verbreitet sich in einem begrenzten Markt logistisch mit a(t) = 5 000;1 + 99e–2 3t t ist dabei die Anzahl der seit der Veröffentlichung verstrichenen Zeit in Wochen, a die Anzahl der Downloads. Berechnen Sie die Kapazitätsgrenze. Berechnen Sie die Anzahl der Downloads nach 2 Wochen. Berechnen Sie die Anzahl der Downloads am Beginn (also zum Zeitpunkt 0). 3. 4. b) Eine Werkstück kühlt mit der Formel f(t) = 20 + b e λ t ab. t in Minuten (min), f in Grad Celsius (°C) Zum Zeitpunkt 0 hatte das Werkstück 80 °C. Nach 10 min hat das Werkstück eine Temperatur von 28,12 °C. Berechnen Sie die Parameter b und λ . c) Ein Werkstück kühlt mit der Formel f(t) = 20 + 50 e –0,1 t ab. t in Minuten (min), f in Grad Celsius (°C). Berechnen Sie die Temperatur des Werkstücks nach 20 Minuten. a) Ein Betrag von € 2.000,-- wird 18 Monate lang mit 4 % nom.p.a. verzinst. Die Verzinsung erfolgt halbjährig. Berechnen Sie den Endbetrag. b) Eine Schuld von € 50.000,-- per Ende 2018 wird durch drei gleich große Raten getilgt. Die erste Rate ist per Ende 2022, die zweite per Ende 2023 und die dritte per Ende 2027 fällig. Berechnen Sie die Höhe dieser Raten bei einem Zinssatz von 6 % ganzjährig dek.. a) Fr. Schodl zahlt für ihren Ansparplan per Ende 2020 € 3.000,-- und per Ende 2030 € 1.000,-- ein. Am Ende des Jahres 2032 soll Fr. Schodl dann € 5. 338,18,-- ausbezahlt bekommen. Berechnen Sie den verrechneten Effektivzinssat auf Zehntelprozent genau. b) Fr. Harbort will per Ende 2030 einen Betrag von € 50.000,-- zur Verfügung haben. Sie will € 40.000,-auf ein mit 3 % dek. gj. verzinstes Konto einzahlen. Berechnen Sie, wann Fr. Harbort die Einzahlung auf dieses Konto vornehmen muss. . 2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik 3 ck – jaksch Mittwoch, 30. April 2014 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. 2. a) Bakterien vermehren sich exponentiell mit einer Wachstumsrate von 6 % pro Stunde. Um 10:00 Uhr war die Bakterienzahl 300. Berechnen Sie eine Gleichung für die Anzahl der Bakterien B(t). t soll dabei die Zeit in Stunden nach 10:00 sein. b) Die Bakterienzahl in einem Nahrungsmittel sei B(t) = 500 e0,1 t. t ist dabei die Zeit in Stunden nach 10:00 Uhr. Berechnen in welchen Zeitintervallen sich die Anzahl der Bakterien jeweils verdoppelt. Berechnen Sie, wann die Bakterienzahl den Wert 10 000 erreicht. c) Einer der Funktionsgraphen A, B, C oder D entspricht der Funktion f(t) = 500 e0,2 t. Geben Sie an welcher und argumentieren Sie Ihre Entscheidung. a) Eine Smartphone – App verbreitet sich in einem begrenzten Markt logistisch mit a(t) = 4 000;1 + 99e–2 3t t ist dabei die Anzahl der seit der Veröffentlichung verstrichenen Zeit in Wochen, a die Anzahl der Downloads. Berechnen Sie die Kapazitätsgrenze. Berechnen Sie die Anzahl der Downloads nach 2 Wochen. Berechnen Sie die Anzahl der Downloads am Beginn (also zum Zeitpunkt 0). 3. 4. b) Eine Werkstück kühlt mit der Formel f(t) = 20 + b e λ t ab. t in Minuten (min), f in Grad Celsius (°C) Zum Zeitpunkt 0 hatte das Werkstück 80 °C. Nach 10 min hat das Werkstück eine Temperatur von 28,12 °C. Berechnen Sie die Parameter b und λ . c) Ein Werkstück kühlt mit der Formel f(t) = 20 + 50 e –0,1 t ab. t in Minuten (min), f in Grad Celsius (°C). Berechnen Sie die Temperatur des Werkstücks nach 10 Minuten. a) Ein Betrag von € 1.000,-- wird 18 Monate lang mit 4 % nom.p.a. verzinst. Die Verzinsung erfolgt halbjährig. Berechnen Sie den Endbetrag. b) Eine Schuld von € 5.000,-- per Ende 2018 wird durch drei gleich große Raten getilgt. Die erste Rate ist per Ende 2022, die zweite per Ende 2023 und die dritte per Ende 2027 fällig. Berechnen Sie die Höhe dieser Raten bei einem Zinssatz von 6 % ganzjährig dek.. a) Fr. Schodl zahlt für ihren Ansparplan per Ende 2020 € 3.000,-- und per Ende 2030 € 1.000,-- ein. Am Ende des Jahres 2032 soll Fr. Schodl dann € 5. 884,70,-- ausbezahlt bekommen. Berechnen Sie den verrechneten Effektivzinssat auf Zehntelprozent genau. b) Fr. Harbort will per Ende 2030 einen Betrag von € 50.000,-- zur Verfügung haben. Sie will € 40.000,-auf ein mit 4 % dek. gj. verzinstes Konto einzahlen. Berechnen Sie, wann Fr. Harbort die Einzahlung auf dieses Konto vornehmen muss. .
