Klausur Nr.3 Jg. 11/2 1995/96

GK MATHEMATIK Jg. 10/1
Klausur Nr.2
Name : _____________________
14.12.2012
Thema : Einführung D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g u n d P o l y n o m d i v i s i o n
1.
Bestimme mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln die Ableitungen der folgenden Funktionen !
Die Exponenten sind jeweils natürliche Zahlen!
2
1
7
a) f(x) = x³ +
b) f(x) = 35x5
c) f(x) = x6 + 3xn
d) f(x) = x³ 4
3
x
e) Ist die folgende Ableitungsfunktion zu f richtig? f(x) = x³ x² also f ’ (x) = 3x² 2x = 6x³
2.
Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen
a)
d)
3.
4.
5.
f(x) = x³ - 3x² - 6x + 18
f(x) = (x² - 3)  (x² +1)
c) f(x) = x4 – 20x² + 64
b) f(x) = 2x³ - 6x² - 4x
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² - x
a) Zeige mit Hilfe der h-Methode (DQ), dass die Tangente an f für xo = 2 die Steigung m=3 besitzt,
bestimme anschließend die Gleichung dieser Tangenten und zeichne diese in das KS.
b) In der Abb. unten zusätzlich der Graf zu g(x) = x³ abgebildet.
Lies den Schnittpunkt ab und zeige rechnerisch, dass die Gerade insgesamt drei Schnittpunkte
mit g hat. (Hinweis hierzu an der Tafel)
c) Bestimme mit Hilfe der Ableitungsfunktion ebenfalls die Gleichung der Tangente
an f für xo = -3
In welchem Punkt P(xo | f(xo)) ist die Tangente an den Graphen von f parallel zur Geraden
g mit g(x) = x – 2 ?
a) f mit f(x) = 0,5x
b) f mit f(x) = x³
c) f mit f(x) = x² + 4
d) Bilde die Ableitungsfunktion zur Funktion in c) mit Hilfe der h-Methode?
Ein Industrieunternehmen lässt ständig
500.0
beobachten, wie viele Surfer gerade die
Webseiten des Unternehmens besuchen. 400.0
Die nebenstehende Kurve zeigt den
300.0
durchschnittlichen Besuch der Website
von 4.00 Uhr morgens bis 16.00 Uhr
200.0
nachmittags. Der (angenäherte)
100.0
Funktionsterm hierzu lautet:
f(x) = -x³ + 30x² - 225x + 520
0.0
f(7) gibt dann an, wieviel Surfer um 7 Uhr
-100.0
auf den Internetseiten der Firma sind.
5.0
10.0
15.0
- 2 -
a) Von besonderem Interesse ist die Höchstzahl der Surfer, die in der Zeitspanne
von 4.00 Uhr bis 16.00 Uhr h gleichzeitig die Seiten besuchen.
(z.B. ob der Server überlastet ist, mögl. Einnahmen durch Werbeeinblendungen usw.)
Wie hoch ist dieser Spitzenwert ? (Kontrollergebnis: 520 Surfer)
b) Ist die Anzahl der Surfer um 4.00 Uhr bzw. um 16.00 Uhr höher ??
c) Am Sonntag, 09.12.2012, ergab sich ein Spitzenwert von 754 Surfern, die gleichzeitig die
Seiten des Unternehmens besuchten.
Um wieviel Prozent lag dieser Wert über dem berechneten Spitzenwert von Aufgabe a)?
Viel Erfolg
Koordinatensystem zu Aufgabe 3
f(x)
x