Fachhochschule Hannover M 1 a / b

Fachhochschule Hannover
Fachbereich Maschinenbau
Fach: Physik 1
M1a/b
24.06.2002
Zeit: 90 min
Verteiltes Formelblatt
Aufg.1
Auf einer kreisförmigen Pkw-Testbahn mit einem Radius von 30 m soll die Aussage des PKW-Herstellers
"und in Kurven in 4 s von Null auf 72 km/h" überprüft und weitere Eigenschaften festgestellt werden. Die
Bewegung sei gleichmäßig beschleunigt.
a. Welche Bahnbeschleunigung liegt demnach vor?
b. Wie groß sind die Gesamtbeschleunigung und die Radialbeschleunigung 2 s nach dem Start?
c. Welche Winkelbeschleunigung liegt vor und welche Winkelgeschwindigkeit hat das als Massenpunkt
angenommene Fahrzeug 2 s nach dem Start?
d. Wie groß muss der Reibungskoeffizient gegen seitliches Rutschen mindestens sein, damit die vollständige Kreisfahrt möglich wird?
e. Nach welcher Zeit sind zwei Runden gefahren, wenn das Testfahrzeug nach Erreichen der Maximalgeschwindigkeit gleichförmig weiterfährt?
f. Welche Leistung muss der Motor mindestens haben, um diese Testfahrt mit einem Fahrzeug der Masse
1000 kg zu ermöglichen?
Aufg.2
Bei Werkstoffprüfungen wird eine Stahlkugel der Masse 50 g aus der Höhe h0 = 1,25 m auf Materialien mit
unterschiedlichen Rückpralleigenschaften fallen gelassen.
a. Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem zu prüfenden Material auf?
b. Bei einem besonderen Material springt die Kugel auf die Höhe hR = 0,8 m zurück. Wie groß ist bei
diesem Material die in andere Energieformen umgesetzte Energie und welchen Wert hat die
Impulsänderung der Kugel?
c. Das Verhältnis hR/h0 heißt „Rückprallelastizität" und wird in % angegeben. Bei drei untersuchten
Materialien gilt 25%,50%,75%, sie verhalten sich also wie 1 : 2 : 3. Wie verhalten sich in diesem Fall die
umgesetzten Energien zueinander?
Aufg.3
In der unten links dargestellten Situation wird die Masse m1=2 kg durch ein über eine Rolle (Vollzylinder
mit mR=3 kg und dem Radius 0,1 m) geführtes masseloses Seil von der Masse m2=4 kg beschleunigt, die
sich dabei nach unten bewegt. Der Gleitreibungskoeffizient ist überall gleich 0,5.
a. Mit welcher Beschleunigung bewegen sich die Massen und mit welcher Winkelbeschleunigung dreht sich
die Rolle?
b. Wie groß sind die Seilkräfte links und rechts der Rolle?
Aufg.4
Zwei rotationssymmetrische Bauteile aus gleichem Material haben die in der rechten Skizze angegebenen
Größenverhältnisse.
a. Wie lautet das Verhältnis J2/J1 der beiden Massenträgheitsmomente? Von den auf der gleichen Achse
rotierbar gelagerten Bauteilen dreht sich anfangs nur das mittlere Bauteil und zwar mit n2=600/min. Dann
werden die beiden kleinen Bauteile angekuppelt.
b. Unter der Annahme, dass für die Massenträgheitsmomente J2 : J1 = 50: 1 gilt, ermittle man die sich
einstellende gemeinsame Drehzahl sowie den von der Kupplung aufgenommenen prozentualen Anteil der
Anfangsenergie.
c. Wie lange dauert der Ankupplungsvorgang, wenn die Kupplung ein Drehmoment von 121 Nm aufbringt?
(es sei J2 = 50 kg m2 und J1 = 1 kg m2)
Lösungen:
1a.
1b.
1c.
Maximale Tagential(=Bahn-)geschwindigkeit:
vT (t  4 s)  72 km h 1  20 m s 1 .
Tangential(=Bahn-)beschleunigung:
aT 
Normal(=Radial-)beschleunigung:
a N (t  2 s) 
Gesamtbeschleunigung:
a ges  aT2  a N2  6,01 m s 2
Winkelbeschleunigung:

vT2 aT2  t 2

 3,33 m s 2
R
R
aT
5 2

s  0,166 s 2
R 30
 (t  2 s)    t  0,333 s 1
Winkelgeschwindigkeit für t  2 s :
1d.
vT 20  0 m s 1

 5 m s 2
4  0 s
t
 72 km h 1 einen Kreis.
muss größer als die Zentripetalkraft FZ sein:
max
Das Fahrzeug fährt nach Erreichen von vT
Die Haftreibungskraft FH , max
FH ,max   H  FN   H
Es folgt:
1e.
H
v 

max 2
T
gR
v 
m g m
max 2
T
R
 FZ
 1,36
Zeit für zwei Runden: Der Gesamtweg beträgt: s ges  2  U  2    2 R  4  R  377 m
1
 a  t a2  40 m zurückgelegt, und
2
sv  377 m  40 m  337m mit gleichförmiger Geschwindigkeit vTmax  20 m s 1 . Die benötigte Zeit
337 m
dafür ist t v 
 16,9 s . Die Gesamtzeit: t ges  20,85 s
20 m s 1
Während der Beschleunigung wird in t a
 4 s der Weg: s a 
1f.
Benötigte Leistung:
 
P  F  v  m  aT  vTmax  100 kW
2a.
Energieerhaltungssatz:
E 0pot  m  g  h0 
Es folgt:
v max
2b.
1
2
0
 m  v max
 E kin
2
 2  g  h0  4,95 m s 2
Energieerhaltungssatz unter Berücksichtigung einer Verformungs- oder Wärmeenergie Q: Der Index 0
bezeichnet die Größen vor dem Kontakt mit dem zu prüfenden Material, der Index R bezeichnet Größen nach
dem Verlassen der Kontaktfläche.
0
R
R
R
E 0pot  E kin
 E kin
 Q  E pot
 Q , mit Q  E 0pot  E pot
 m  g  h0  hR   0,221 J
Für die Geschwindigkeit der Kugel nach dem Verlassen der Kontaktfläche gilt:
2
R
vR 
 E pot
 2  g  hR  3,96 m s 1
m




Vor dem Kontakt hat die fallende Kugel den Impuls: p 0  m  v 0 , nach dem Kontakt: p R  m  v R .
Die Geschwindigkeitsvektoren haben entgegengesetzte Richtung. Deshalb gilt für den Betrag der Impuls-
p  m  v0  v R   0,446 kg m s 1
änderung:
2c.
Definition: i)"Rückprallelastizität":
 :
hR
Q
und ii) "umgesetzte Energie":  :
h0
E pot
Die in "nicht-mechanische" Energien umgesetzte Energie beträgt:
R
Q  E 0pot  E pot
 m  g  h0  hR   m  g  h0    h0   E 0pot  1   
Es folgt:  :
Wenn:
3a.
Q
E pot
1 .
 1 : 2 : 3  0,75 : 0,50 : 0,25
 1 :  2 :  3  0,25 : 0,50 : 0,75 , dann ist:
Die Beschleunigung erfolgt in Richtung der auf m2 wirkenden "Hangabtriebskraft" (Tangentialkomponente

2
2
wirkt die
FGT
 m2 g  sin  2  33,98 N der Gewichtskraft FG2 ). Dieser "Hangabtriebskraft" FGT
Reibungskraft der Masse m2, FR 
2
der Masse m1,
  m2 g  cos  2  0,5  19,62 N  9,81 N , die "Hangabtriebskraft"
1
FGT
 m1 g  sin 1  9,81 N , die Trägheitskraft der Masse m1, Fa1  m1  a , die
  m1 g  cos 1  0,5  16,99 N  8,5 N und die Kraftkomponente
entgegen, die das Drehmoment M  FM  R an der Rolle erzeugt. Die verbleibende Kraft,
Reibungskraft der Masse m1, FR 
1
FM
Fa2  m2  a beschleunigt die Masse m2:
2
1
FGT
 FR2  FGT
 Fa1  FR1  FM  m2  a  0 .
a
Das an der Rolle wirkende Drehmoment erzeugt eine Winkelbeschleunigung   , wobei gilt:
R
2
M J   mR  R  a mR
FM 



a
R
R
2
2  R2
D'Alembertsches Prinzip:
Durch Einsetzen erhält man:
m2 g  sin  2   G  m2 g  cos  2  m1 g  sin 1  m1a   G  m1 g  cos 1 
a
3b.
4a.
mR
a  m2 a  0
2
m2  sin  2   G  cos  2   m1  sin 1   G  cos 1 
 g  0,07974  g  0,782 m s 2
mR
m2  m1 
2


Seilkraft "rechts" der Rolle:
1
FSrechts  FGT
 Fa1  FR1  FM  21,04 N
Seilkraft "links" der Rolle:
1
FSlinks  FGT
 Fa1  FR1  19,9 N


1
1
1
1
 m1  R 2     V1  R 2     R 2 R  R 2     R 5
2
2
2
2
Bauteil 2: J 2  J 3  2  J 1 , wobei J3 das Massenträgheitsmoment des gesamten Bauteils ist, dass aus
Bauteil 1:
J1 
2*Bauteil 1 und 1*Bauteil 2 besteht.
Bauteil 2:
1
2
2
 m3  2  R   2    V3  R 2  2     2 R  3R   R 2  24    R 5
2
J 2  J 3  2  J1  24  1    R 5  23    R 5
Lösung:
J 2 : J1  23 : 0,5  46 : 1
Bauteil 3:
J3 
4b.
Bauteil 2 drehte sich zunächst mit n2. Nach dem Ankuppeln der beiden Bauteile 1 dreht sich Bauteil 3.
Drehimpulserhaltungssatz: L3  J 3   3  J 2   2  L2 . Mit   2  n folgt:
J2
J2
 n2 
 n2 
J3
2 J1  J 2
1
 n2  0,96154  n2  576,9 min 1
J
2  1 1
J2
1
1
Rot
2
Rot
2
Rotationsenergie vorher: E 2   J 2   2 , Rotationsenergie nachher: E 3   J 3   3 .
2
2
Rot
Rot
Energieerhaltungssatz: E 2  E3  Q , wobei Q die in Form von Wärme aufgenommenen Energie der
n3 
Kupplung.
Relative Energieaufnahme der Kupplung:
E2Rot  E3Rot
E3Rot
J 3  2  n3 2
2J  J 2
Q


1


1

 1 1
Rot
Rot
Rot
2
J2
E2
E2
E2
J 2  2  n2 
2
 J2 
J2
  1 
 
 0,0385
2 J1  J 2
 2 J1  J 2 
also 3,85%.
4c.
Das Drehmoment M der Kupplung erzeugt eine Winkelbeschleunigung, die die Drehzahl der beiden Bauteile
1 von 0 auf n3 beschleunigt.
M  2  J 1  1  2  J 1 
Zeit für Kupplungsvorgang:
t 
4  J 1  n3
1s .
M
2  n3  0
n

 2  J1 
 4  J1  3
t
t
t