Beispiel 4 zur Kurvendiskussion - klaus

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
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08.06.2017
Beispiel 4 zur Kurvendiskussion
Beispiele in Kurzform:
Beispiel 4:
1. Definitionsbereich:
9
81
f  x   x 4  x 2 
D
2
16
2. Symmetrien:
Achsensymmetrie: f  x   f  x  da nur gerade Exponenten
3. Extrema:
Ableitungen:
9
81
f  x   x4  x2 
 f '  x   4x 3  9x  f ''  x   12x 2  9  f '''  x   24x
2
16


f '  x   0  4x 3  9x  0  x 4x 2  9  0  x1  0
3
2
f ''  x1   f ''  0   9  0  rel Min für x1  0
4x 2  9  0  x 2 / 3  
3
3
f ''  x 2   f ''    18  0  rel Max für x 2 
2
2
3
 3
f ''  x 3   f ''     18  0  rel Max für x 3  
2
 2
f  x1   f  0   
81
81 

 5,06  PMin  0 |   bzw. PMin  0 | 5,06 
16
16 

3
3 
f  x 2   f    0  PMax1  | 0  bzw. PMax1 1,5 | 0 
2
2 
 3
 3 
f  x 3   f     0  PMax2   | 0  bzw. PMax2  1,5 | 0 
 2
 2 
4. Wendepunkte:
3
f ''  x   0  12x 2  9  0  x1/ 2  
4
 3
3
f '''  x1   f ''' 
 24 
 0  Wendepunkt bei x W1 
 4 
4


3
 0,87
4
 3
 3
3
f '''  x 2   f '''  
 24   
 0  Wendepunkt bei x W 2  
 0,87


 4
 4
4




 3
 3
9
9
f  x W1   f 
   2,25  PW1 
|   bzw. PW1  0,87 | 2,25 

 4
 4
4
4 



 3
 3
9
9
f  xW2   f  
   2,25  PW 2  
|   bzw. PW1  0,87 | 2,25 

 4
 4
4
4 



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5. Achsenschnittpunkte:
f 0  
81
81 

 5,06  Py  0 |   bzw. Py  0 | 5,06 
16
16 

f  x   0  x4 
9 2 81
x 
0
2
16
3
3
; x 2    siehe Extrempunkte 
2
2
9
81  
3 
3

Polynomdivision:   x 4  x 2   :  x    x  
2
16  
2 
2

Bisher bekannte Nullstellen: x1 
x2 
9
 4 9 2 81   2 9 
2
  x  2 x  16  :  x  4    x  4

 

9 

  x4  x2 
4 

9 2 81
x 
4
16
81 
9
  x2  
16 
4
9
4
9
9
 0  x2 
4
4
3
 x3 / 4  
2
x2 
3 
 3 
Nullstellen: Px1/ 2  | 0  ; Px3 / 4   | 0 
2 
 2 
6. Der Graph:
Wertetabelle :
f  2   3,06  f  2  ; f  1  1,56  f 1
PMax2
PW 2
Px3 / 4
x
2
f  x  3,06
1,5
0
1
0,87
PMin
Py
0
PMax1
PW1
0,87
Px1/ 2
1
1,56 2,25 5,06 2,25 1,56
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1,5
2
0
3,06
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3
2
1
0
1
2
3
1
2
f ( x)
3
4
5
6
6
3
x
3
7. Krümmungsverhalten und Monotonie:
Krümmung:
für x 0  1  links von PW 2  f ''  1  3  0

3 
 Re chtskrümmung konkav     ; 

4 

für x 0  0  zwischen PW1 und PW 2  f ''  0   9  0

3
3
 Linkskrümmung konvex   
;
4
4

für x 0  1  rechts von PW1  f '' 1  3  0



 3

 Re chtskrümmung  konkav  
; 
 4

Monotonie:
streng monoton wachsend für    ;  1,5 
streng monoton fallend für
  1,5 ; 0 
streng monoton wachsend für  0 ; 1,5 
streng monoton fallend für
 1,5 ;  
8. Randpunkte des Definitionsbereiches:
9
81 
9
81  


lim f  x   lim   x 4  x 2    lim x 4  1  2 

x  
x   
2
16  x   
2x
16x 4  

9
81 


4
 lim x 4  lim  1  2 


1

lim
x


  lim f  x   

x  
x   
x  
x  
2x
16x 4 


1

4
lim f  x   1 lim x  

x 
x 
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