03.02.02_Multiplizie..

TG
3
2
2
1
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
Grundlagen der Mathematik
Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben.
Beweisen Sie durch Ausrechnung, dass ( a  b )2  a 2  b 2 ist!
Wichtige mathematische
Regeln:
0  a  0a  0
1  a  1a  a
a  a  2  a  2a
2a  3a  ( 2  3 )  a  5a
a a  0
a  b  ab
a  a  a2
( ab )2  a 2 b 2
( a  b )2  a 2  b 2
Bei den nachfolgenden
Betrachtungen darf a  0
sein!
0:a 0
a : a 1
a2 : a  a
6a : 3a  2
2
Assoziativgesetze
Was bedeutet das Assoziativgesetz in Bezug auf die nachfolgenden zwei
Aufgaben? Schreiben Sie die möglichen umgeformten wahren matematischen
Darstellungen auf!
a (b  c ) 
a (bc ) 
Kommutativgesetze
Was bedeutet das Kommutativgesetz in Bezug auf die nachfolgenden zwei
Aufgaben? Schreiben Sie die möglichen umgeformten wahren matematischen
Darstellungen auf!
ab 
ab 
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
3
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
Distributivgesetze
Was bedeutet das Distributivgesetz in Bezug auf die nachfolgenden vier
Aufgaben? Schreiben Sie die möglichen umgeformten wahren matematischen
Darstellungen auf!
a (b  c ) 
a (b  c ) 
(a  b): c ) 
(a b): c ) 
4
(dabei ist c  0 )
Termumformungen
Formen Sie die nachfolgende Aufgabe in eine möglichst einfachen Term um.
Man sagt auch – fassen Sie die Terme so weit wie möglich zusammen. Jeder
Berechnungsschritt muss ersichtlich sein.
9(u  2v)  6(3u  2v)  16u  2v 
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
5
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
Termumformungen
Formen Sie die nachfolgende Aufgabe in eine möglichst einfachen Term um.
Man sagt auch – fassen Sie die Terme so weit wie möglich zusammen. Jeder
Berechnungsschritt muss ersichtlich sein.
a(3  2b)  b(3a  2) 
6
Richtig oder Falsch
Überprüfen Sie ob die Termumformungen richtig sind. Ist die Umformung
korrekt, so schreiben Sie in das entsaprechende Kästchen ein Kreuz. Ist die
Termumformung falsch, korrigieren Sie sie und versuchen den Fehler zu
erklären.
a)
Richtig
Falsch
3  ( a  b )  3a  b
b)
Richtig
Falsch
6  2a  2a  4  0
c)
Richtig
Falsch
( a  2 )( b  3 )  ab  6
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
7
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
Richtig oder Falsch
Überprüfen Sie ob die Termumformungen richtig sind. Ist die Umformung
korrekt, so schreiben Sie in das entsaprechende Kästchen ein Kreuz. Ist die
Termumformung falsch, korrigieren Sie sie und versuchen den Fehler zu
erklären.
a)
Richtig
Falsch
70a  0  4b  280ab
b)
Richtig
Falsch
8s  s  7s
c)
Richtig
Falsch
( 19c  8c  11c )  25  0
8
Richtig oder Falsch
Überprüfen Sie ob die Termumformungen richtig sind. Ist die Umformung
korrekt, so schreiben Sie in das entsaprechende Kästchen ein Kreuz. Ist die
Termumformung falsch, korrigieren Sie sie und versuchen den Fehler zu
erklären.
a)
Richtig
Falsch
5a  ( a  1 )  5a 2  1
b)
Richtig
Falsch
( 2a  4a ) : 2a  4a  1
c)
Richtig
Falsch
21  3( x  2 y )  2  3 y  6 y
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
9
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich vereinfacht werden.
1
16 ac  0,5bx
3
10
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich vereinfacht werden.
1
8 abcx
6
0,4abcnx
0,8c  0,5ab  nx
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
11
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich vereinfacht werden.
1
1
4 ab  8 x  2 ax  9b
5
2
12
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich vereinfacht werden.
15,3 
www.ibn.ch
d
1
 0,1a  ny
5
2
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
13
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich vereinfacht werden.
9  (5 x)
14
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich vereinfacht werden.
 1   1   3 
 x y z 
 2   3   4 
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
15
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich vereinfacht werden.
1  1 
5 a  3 b
2  3 
16
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich vereinfacht werden.
16a  (7b)  (3c)
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
17
Folgende Aufgabe soll durch ausmultiplizieren so weit wie möglich
vereinfacht werden.
(a  3)  7
18
Folgende Aufgabe soll durch ausmultiplizieren so weit wie möglich
vereinfacht werden.
(8a  8b  c) 12
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
19
Folgende Aufgabe soll durch auflösen des Klammerausdruckes so weit
wie möglich vereinfacht werden.
(4 x  4 y )  (3a)
20
Folgende Aufgabe soll durch auflösen der Klammerausdrücke so weit wie
möglich vereinfacht werden.
( a  b)  6  4  ( a  b)
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
21
Folgende Aufgabe soll durch auflösen des Klammerausdruckes so weit
wie möglich vereinfacht werden.
( y  9)  ( x  4)
22
Folgende Aufgabe soll durch auflösen der Klammerausdrücke so weit wie
möglich vereinfacht werden.
(2 x  y )  (3m  n)  (2 x  y )  (m  3n) 
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
23
Folgende Aufgabe soll so weit wie möglich durch ausklammern vereinfacht
werden.
25 11  15  25  2  25
24
Zerlegen Sie nachfolgende Gleichung in Faktoren!
( a  b)  n  ( a  b)  m
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
24
Zerlegen Sie nachfolgende Gleichung in Faktoren!
5bx  bx 15bx
25
Zerlegen Sie nachfolgende Gleichung in Faktoren!
b
r r
 ( x  y)    ( x  y)  b
2
2 2
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
26
Ein Blechstreifen soll zu Welblech von der Länge a geformt werden.
Berechnen Sie die Blechlänge l :
a) allgemein mit Hilfe von Variablen,
b) für a  4m .
27
Ein Flachstahl soll 49 Löcher erhalten.
Berechnen Sie die Werkstücklänge l :
a) allgemein mit Hilfe von Variablen,
b) für a  25mm und
e  55mm .
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
28
Berechnen Sie für den Profilstahl die Querschnittfläch A (Abrundungen
vernachlässigen):
a) allgemein mit Hilfe von Variablen,
b) für h  140mm ,
b  66mm ,
d  5,7 mm und
t  8,6mm .
29
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
6 x bc

bc 18 x
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
30
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
a  b c  d nx a  b



n a b a b c d
31
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
 15ab   4 x  
3 
 
        7 y 
 76 xy   5b   5 
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
32
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
a b
10
 20 
5
a b
33
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
6ab 25x  y 

5x  y 
3b
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
34
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
m n a b x a


a b a  x mn
35
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
x  5 4x 
1 

 4 b
6b 5  x 
b 
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
36
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
a  b 5x  5 y

4x  4 y a  b
37
Folgende Aufgabe sollen so weit wie möglich vereinfacht werden.
3a  3b 10 x  10 y

5 x  5 y 9a  9b
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
38
Vereinfachen Sie soweit wie möglich. Geben Sie die Lösung als
gekürzten Bruch an.
 1
1  
 a
39
2

a 2 
2a 2  2a  1 
1  2
 2 

a 2  a 
 a  a 
Vereinfachen Sie soweit wie möglich. Geben Sie die Lösung als
gekürzten Bruch an.
a  b  1  1 
a
www.ibn.ch
2a  1
a3
a 2  b2
ab
b
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
40
Vereinfachen Sie soweit wie möglich. Geben Sie die Lösung als
gekürzten Bruch an.
 m n  n m 
    
 n m  m n 
41
Vereinfachen Sie soweit wie möglich. Geben Sie die Lösung als
gekürzten Bruch an.
m4  n4
(mn) 2
1
a (a  1) 2
2
1 
1
 

 a a 1
www.ibn.ch
2
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
42
Vereinfachen Sie soweit als möglich.
x  2x
x y



2
2 
x  y  x y
x 
43
1
x y
Vereinfachen Sie soweit als möglich.
u 1
u 1


 u 
 u
u 1 u
 1 u  u

www.ibn.ch
2u
u 1
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
44
Vereinfachen Sie soweit als möglich.

b  1 1  1
 a


 2  2   2
 a  b a  b  a b  b
45
Vereinfachen Sie soweit als möglich.
1 
a 


(a  1) a 
1  a 
a  1 
 1  a 
2
www.ibn.ch
a
2
1
a2

 a  1 2a  1
a 1
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
46
Vereinfachen Sie soweit als möglich.
 1  x  1  1  x 




2 
 x  1  1  x  1  x 
2
47
2
 x  x  x 1
 2

 x  2x 1 
3
2
Vereinfachen Sie soweit als möglich.
2
 3 2   x  
x1   2  1  
 
 x x    x  2  
2
www.ibn.ch
1  x 
1  x 
1  x 
1  x 
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
48
Multiplikation von Brüchen
Multiplizieren Sie die nachfolgenden Brüche und lesen Sie die nebenstehenden
Regel.
3
7

25
Ein Bruch wird mit einer
natürlichen Zahl
multipliziert, indem man
den Zähler mit der
natürlichen Zahl
multipliziert und den
Nenner beibehält.
3 5
 
4 6
Brüche werden
miteinander multipliziert,
indem man Zähler mit
Zähler und Nenner mit
Nenner multipliziert.
4
3

14
Wenn möglich, kürzen
wir schon vor dem
Multiplizieren.
Gemischte Zahlen
werden zuerst in Brüche
verwandelt und dann
multipliziert.
1
1
9
4 
17 10
Bei der Multiplikation
von Brüchen gilt:
- Das Produkt zweier
Bruchzahlen ist eine
Bruchzahl
- Das Assoziativgesetz
 3 5 1 3 5 1
      
 4 6 3 4  6 3
- Das neutrale Element
ist 1
2
2
1 
7
7
- Das
Kommutativgesetz
2 4 4 2
  
7 9 9 7
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
49
Division von Brüchen und Kehrwert
Dividieren Sie die nachfolgenden Brüche und lesen Sie die nebenstehenden
Regel.
Bestimmen Sie die Kehrwert von:
a)
3
4
Zu jeder Bruckzahl gibt
es auch einen Kehrwert
bzw. Reziproke Zahl.
1
n 
n
b) 5
a
c)
b
Achtung!
1

0
(sprich unendlich)
Das Produkt einer Zahl
mit ihrem Reziprokwert
ist 1.
1
n  1
n
Division:
3 2
: 
4 5
Brüche werden
miteinander dividiert,
indem man den zweiten
Bruch umstürzt
(Kehrwert) und dann mit
diesem Bruch
multipliziert.
Division:
3
:4 
5
Wenn möglich, kürzen
wir schon vor dem
Dividieren.
Division:
1 1
5 :2 
5 6
Gemischte Zahlen
werden zuerst in Brüche
verwandelt und dann
dividiert.
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
50
Multiplikationstafel
Die nachfolgende Multiplikationstafel ist zu vervollständigen!
1
5

5
6
2
3
7
4
1
6
5
4
7
2
2
5
51
Kürzen von Brüchen
Schreiben Sie die Potenzen aus, kürzen Sie die Brüche und schreiben das
Resultat wieder als Potenz. Welche Regel können Sie davon ableiten?
100 5
10 7

Regel:
Exponenden mit der gleichen
Basis werden dividiert,
indem man seine Potenzen
Subtrahiert!
(Basis, Exponent=Potenz)
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
52
Kürzen von Brüchen
Schreiben Sie die Potenzen aus, kürzen Sie die Brüche und schreiben das
Resultat wieder als Potenz. Welche Regeln können Sie davon ableiten?
10 4  10 3
10 5

Regeln für Potenzrechnen:
Exponenten mit der gleichen
Basis werden multipliziert,
indem man seine Potenzen
addiert!
Exponenten mit der gleichen
Basis werden dividiert,
indem man seine Potenzen
Subtrahiert!
(Basis, Exponent=Potenz)
53
Vergleichen von Bruchtahlen
Suchen Sie alle natürlichen Zahlen, die man für x einsetzen kann.
Schreiben Sie die Lösungsmenge in der aufzählenden und in der
beschreibenden Form auf.
Beispiel: x  3;4;5 und L  x  N / 3  x  5

1

x 3

12 4
Wichtige Zeichen von Mengenelementen:
www.ibn.ch
N
N0
natürliche Zahlen
natürliche Zahlen plus Null
R
Q
Z
Q0+
C
reelle Zahlen (alle Q und  , 2 )
rationale Zahlen (Q=Quotient)
ganze Zahlen
positive rationale Zahlen plus Null
komplexe Zahlen (wie i )
L
K
G
D
W
Lösungsmenge
Koeffizientenmatrix
Grundmenge
Definitionsmenge
Wertemenge
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
54
Multiplikation
Ergänzen Sie nachfolgende Tabelle!
9
20
4
27
1. Faktor
2. Faktor
7
3
5
2
54
4
9
1
2
2
15
Produkt
55
2
5
1
4
9
9
4
Bruch, Dezimalbruch und Prozentwert
Vervollständigen Sie die nachfolgende Tabelle:
Bruch
Dezimalbruch
Prozentzahl
[%]
1
6
87 ,5
0, 6
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
56
Divisionstafel
Die nachfolgende Divisionstafel ist zu vervollständigen!
:
2
3
1
5
5
6
7
6
7
10
5
8
3
5
1
57
Doppelbruch
Die nachfolgende Doppelbrüche sind aufzulösen!
a)
3

4
5
3
b) 4 
7
4
www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
58
Doppelbruch
Der nachfolgende Doppelbruche ist aufzulösen!
4 51

5 4 
17 607

2 34
59
Divisionstafel
Dividieren Sie jedes Element der Menge A durch die Menge B . Stellen Sie die
Resultate mit einer Divisionstafel dar!
 5 3 7 
 2 5 11 
A  0, , , ,3 ; B   ,2, , 
6
4
2
3 2 4 


www.ibn.ch
8. Juni 2017
TG
3
2
2
TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN
MATHEMATIK
ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN
MULTIPLIZIEREN
60
Lösungsmenge der Gleichungn
Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung in Q0+! Kontrollieren Sie durch
einsetzen G= Q0+.
a) 5x  3
x
6
b)  3 
7
7
Wichtige Zeichen von Mengenelementen:
61
N
N0
natürliche Zahlen
natürliche Zahlen plus Null
R
Q
Z
Q0+
C
reelle Zahlen (alle Q und  , 2 )
rationale Zahlen (Q=Quotient)
ganze Zahlen
positive rationale Zahlen plus Null
komplexe Zahlen (wie i )
L
K
G
D
W
Lösungsmenge
Koeffizientenmatrix
Grundmenge
Definitionsmenge
Wertemenge
Proportionen
Bestimmen Sie die Zahl, welche für die Variable x steht!
16 176

9
x
45 405
b)

x
22
a)
www.ibn.ch
8. Juni 2017