Lineare Interpolation

Lineare Interpolation
Häufig kommt es in der Mathematik vor, daß man von einer Funktion nur an ganz bestimmten
Stellen den Funktionswert kennt, jedoch gerne auch über die Funktionswerte einiger
Zwischenstellen verfügen möchte. Dies kann beispielsweise der Fall sein, wenn von einer
Funktion keine umfangreiche Wertetabelle vorliegt – aus welchen Gründen auch immer.
Die lineare Interpolation soll nun an dem einfachen Beispiel der Normalparabel erklärt
werden, die ja jeder Zahl ihr Quadrat zuordnet.
Nehmen wir nun an, daß wir lediglich über eine Wertetabelle verfügen, die den ersten zehn
natürlichen Zahlen ihr Quadrat zuordnet.
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
10
100
Wir möchten aber gerne wissen, wie groß das Quadrat der Zahl 4,5 ist, die in der Tabelle
nicht aufgeführt ist. Dazu zeichnen wir die Normalparabel in ein Koordinatensystem und
legen eine Gerade g durch die Punkte (4/16) und (5/25).
Normalparabel
Gerade g
52
= 25
Näherungswert
4,52 = ?
durch Interpolation verursachter Fehler
42 = 16
4
4,5
5
Wir erkennen an dem Schaubild, daß der Fehler zwischen 4,52 und dem Näherungswert g(4,5)
nicht „allzu groß“ ist.
Mittels der Punkt-Steigungsform errechnen wir nun die Funktionsvorschrift der Geraden g,
die durch die Punkte (4/16) und (5/25) geht.
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Die Steigung von g erhalten wir durch die Koordinaten der beiden Punkte mit der bekannten
Steigungsformel
y  y1 25  16
m 2

 9.
x 2  x1
54
Mit der Steigung m = 9 und dem Punkt (4/16) – wir hätten auch (5/25) nehmen können
(Warum wohl ??) – erhalten wir
g ( x )  16
9

x4
9  x  4   g ( x )  16 
9 x  36  g ( x )  16 
9 x  20  g ( x )
Für den gesuchten Näherungswert von 4,52 ergibt sich dann
g(4,5) = 9 4,5 – 20 = 20,5
Somit stellt 20,5 mittels linearer Interpolation eine Näherung dar für das Quadrat 4,52. Auf
dem Taschenrechner etwa erhalten wir für 4,52 den Wert 20,25. Der durch Interpolation
verursachte Fehler beträgt also 0,25.
Nun kann man darüber streiten, ob man diesen Fehler tolerieren mag oder nicht. Wenn nicht,
so muß man sich eben um eine höhere Genauigkeit bemühen. Und dies ist eine der Aufgabe
der angewandten Mathematik.
Dort nennt man übrigens die Stellen x1 und x2 Stützstellen und deren Funktionswerte
Stützwerte.
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