Wann ist X x X à X eine Metrik - Informatik

Äquivalenzrelation / Halbordnung ?
Eine Relation R auf der Menge A heisst Äquivalenzrelation, wenn sie folgende Eigenschaften
hat:
- Reflexivität: aRa für alle a € A.
- Symmetrie: aRb  bRa, für alle a,b € A
- Transitivität: (aRb /\ bRc)  aRc, für alle a,b,c € A
Von einer Halbordnung spricht man wenn eine Relation folgende Eigenschaften hat:
- Reflexivität und Transitivität (siehe oben)
- Identität: (aRb /\ bRa)  a = b, für alle a,b,c € A
Wann ist eine Funktion surjektiv ?
Surjektiv heisst eine Funktion f: A  B, die jedes Element der Menge B trifft, d.h. deren
Wertebereich gleich der gesamten Menge B ist.
Was versteht man unter dem Multiplikationssatz für Determinanten ?
|A*B| = |A| * |B|
Man errechnet aus der Matrix A mit Hilfe des Verfahrens von Sarrus die Determinanten und
multipliziert diese miteinander.
Was versteht man unter dem Rang einer Matrix ?
Unter dem Rang einer (m,n) - Matrix A versteht man die maximale Anzahl von linear
unabhängigen Spalten- bzw. Zeilenvektoren von A.
Bsp:
|1 2 3|
|4 5 6|
Maximaler Rang = 2
Eigenschaften des Ranges rgA ?
- Maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren = Maximale Anzahl linear
unabhängiger Zeilenvektoren
- Zeilenvertauschen und Spaltenvertauschen verändert den Rang nicht
- Addition des Vielfachen einer Spalte / Zeile zu einer anderen Spalte / Zeile ändert den
Rang nicht.
- Hat die Matrix A einen Trapezgestalt so ist rgA = r
Wie ist eine Gruppe definiert ?
Eine algebraische Struktur mit einer zweistelligen Operation heisst GRUPPE, wenn sie vier
Eigenschaften erfüllt:
- Abgeschlossenheit
- Assoziativgesetz
- Existenz eines „Einheitselements“
- Existent von „inversen Elementen“
Wie ist ein Ring definiert ?
Eine algebraische Struktur heisst RING, wenn sie 1.) eine abelsche Gruppe ist, 2.) Halbgruppe
ist und 3.) die Distributivgesetze gelten: a*(b+c) = a*b+a*c und (a+b)*c = a*c+b*c für alle
a,b,c € H
Wie ist ein Integritätsbereich definiert ?
Ein kommutativer Ring mit Einselement, in dem es keine Nullteiler gibt, heisst
Integritätsbereich.
Sei also m >= 1, so gilt: Der Ring ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn m eine Primzahl
ist.
Jeder Körper ist auch ein Integritätsbereich.
Wann heissen die Vektoren x1, x2.....xn des Vektorraums [V,+,K] linear abhängig, wann
linear unabhängig ?
Die Vektoren x1.........xn aus V heissen linear abhängig, wenn es Elemente @1,@2.......@n €
K (@=alpha) gibt, die nicht alle gleich dem Nullelement 0 € K sind, so dass gilt:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0 € V
Sind die Vektoren x1……..xn nicht linear abhängig, so heissen sie linear unabhängig.
Wann heisst eine Teilmenge B von V Basis von V ?
Wenn B linear unabhängig ist und wenn die lineare Hülle von V gleich B ist.
Wie ist die Dimension eines Vektorraums definiert ?
Die maximale Kardinalzahl einer linear unabhängigen Teilmenge des Vektorraums V heisst
die Dimension von V (DimV bzw. dimV)
Wann heisst eine reelle Folge [an]n€N konvergent ?
Eine Folge (an) heisst konvergent mit dem Grenzwert (oder Limes) a, wenn es zu jedem E > 0
(eine beliebig große Zahl) ein nE €N (eine von E unabhängige natürliche Zahl) gibt gibt, so
dass für alle Indizes n >= nE gilt |a – an| < E
Nichtkonvergente Folgen nennt man divergente Folgen.
Wie lautet das Konvergenzkriterium von Cauchy ?
Eine Folge (an) ist genau dann konvergent wenn es zu jedem E > 0 ein nE gibt, so dass für alle
p,q >= nE gilt: |ap – aq| < E
Definition einer charakteristischen Funktion ?
Charakteristische Funktionen fA von A gestatten die Darstellung von Mengen im Computer
durch Folgen aus 0 und 1.
Was ist eine Basis ?
Sind x1, x2,...... xn eine Basis des n-dimensionalen Vektorraums V, so lässt sich jeder Vektor
x € V als Linearkombination der Vektoren x1, x2,.........xn darstellen.
Matrizenmultiplikation: Wie erhält man das Element „cij“ ?
Die Voraussetzung der Produktbildung bei Matrizen ist, dass die Anzahl der Spalten des
ersten Faktors gleich ist der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors. Die Berechnung von cij
lässt sich schlagwortartig so fassen: i-te Zeile von A „mal“ j-ter Spalte von B.
Wann ist eine Abbildung injektiv ?
Injektiv heisst eine Funktion f: A  B, die jedes Element der Menge B höchstens einmal
trifft. Eine solche Funktion heisst auch Injektion.
Wann ist eine Funktion bijektiv ?
Bijektiv oder eineindeutig heisst eine Funktion f: A  B, die jedes Element der Menge B
GENAU einmal trifft. Eine solche Funktion heisst auch Bijektion.
Was ist ein Vektorraum ?
Ein Vektorraum V über dem Körper K ist eine Menge, deren Elemente man addieren und mit
den Elementen von K multiplizieren kann.
Voraussetzungen:
(V, +, 0) ist eine abelsche Gruppe
1*A=A
x * (A+B) = x*A + x*B
(Alpha + Beta) * A = Alpha * A + Beta * A
(Alpha * Beta) * A = Alpha * (Beta * A)
Was versteht man unter einer linearen Abbildung ?
Eine Abbildung f: V  W heisst linear, wenn gilt:
f(x+y) = f(x) + f(y)
f(cx) = c*f(x)
Für alle x,y € V und für alle c € K.
Wann ist eine Folge konvergent ?
Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat. Andernfalls ist sie divergent.
Was ist der Häufungspunkt ?
Eine Folge (an) hat einen Häufungspunkt a, wenn jedes Intervall (a – E ,a + E), E > 0 unendlich
viele Folgeelemente enthält.
Wann ist eine Reihe konvergent ?
Eine Reihe heisst konvergent, wenn die zugehörige Folge eine Nullfolge ist.
Eine Reihe konvergiert genau dann gegen ihren Grenzwert s, wenn die Folge ihrer
Partialsummen den Grenzwert s besitzt.
Andernfalls heisst die Reihe divergent.