1.4.5. Binomialverteilung DEF: Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 – p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt BINOMINALVERTEILUNG. SATZ: Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei einem n-stufigen Bernoulliversuch berechnet sich nach der Formel: n P(X k) pk qn-k k Beispiel: Eine Münze wird 5-mal geworfen. Zu bestimmen ist die Verteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Wappen. k P(X=k) 0 1 5 1 1 0 2 2 1 32 0,03125 0 5 5 1 1 1 2 2 5 32 0,15625 1 2 4 5 1 1 2 2 2 10 32 0,3125 2 3 4 5 1 1 3 2 2 10 32 0,3125 3 3 5 5 1 1 4 2 2 5 32 0,15625 2 4 1 5 1 1 5 2 2 1 32 0,03125 5 0 Diese Verteilung lässt sich auch in einem Histogramm darstellen. P(X=k) 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 Aus dieser Verteilung lassen sich bestimmen: - höchstens 3-mal Wappen P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = - weniger als 3-mal Wappen P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = - 1 5 10 10 26 0,8125 32 32 32 32 32 1 5 10 16 0,5 32 32 32 32 mindestens 1-mal Wappen P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 5 10 10 5 1 31 0,96875 32 32 32 32 32 32 - mehr als 1-mal Wappen 10 10 5 1 26 0,8125 32 32 32 32 32 P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = Binomialverteilungen lassen sich auch mit Tabellenkalkulationen berechnen. In Excel dienen dazu folgende Funktionen: Binomialverteilung: =BINOMVERT(k;n;p;FALSCH) kumulierte Binomialverteilung: =BINOMVERT(k;n;p;WAHR) n= p= Anzahl der Erfolge genau 3 Mal Wappen k 0 1 2 3 4 5 Anzahl der Versuche 5 0,5 P(X=k) 0,03125 0,15625 0,31250 0,31250 0,15625 0,03125 P(X<=k) 0,03125 0,18750 0,50000 0,81250 0,96875 1,00000 Wahrscheinlichk eit für „Erfolg“ weniger als 3 Mal Wappen höchstens 3 Mal Wappen „Mindestens 1-mal Wappen“ entspricht „höchstens 4-mal Zahl“. Man erhält aus der Tabelle für k = 4 die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 4) = 0,96875. „Mehr als 1-mal Wappen“ (P(X > 1) ist das Gegenereignis zu „höchstens 1-mal Wappen“ P(X ≤1). Damit ist (P(X > 1) = 1 – 0,1875 = 0,8125.