Vorlesung10 9 1 2017

Statistik I für Betriebswirte
Privat-Doz. Dr. H. Haase
Inst. f. Math. u. Inf.
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
9.01.2017
Vorlesung 10
9.01.2017
1 / 60
Übersicht
1
Rechnen mit Matrizen
2
Grundbegrie und ökonomische Beispiele
Homogene endliche Markow-Ketten
Stationäres Verhalten
Der Hauptsatz für absorbierende Markow-Ketten
3
Einfache Warteschlangen
4
Simulation mit R
5
Wiederholung
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
2 / 60
Eine einfache Gleichung
Aufgabe:
Löse
ax = b, wobei a, b reelle Zahlen und x
eine
unbekannte Zahl!
Übertragung auf höhere Dimensionen?
a wird durch eine Matrix ersetzt:

a11
A=

m Zeilen und n Spalten
x und b durch

x=

Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
x1
.
.
.
x
a
···
.
.
.
m
..
1
···



.
a1
a
n
.
.
.
n
Vorlesung 10


mn

und

b=

b1
.
.
.
b



n
9.01.2017
3 / 60
Matrizenmultiplikation
Berechnung von
ax
?
A und B vom Typ m × n und n × k
AB eine Matrix vom Typ m × k
Elemente c durch
c = ∑ a ·b
zwei Matrizen
Produkt
ij
n
ij
l
Anschaulich:
1
Zeilen von
=1
A mit den Spalten von B
il
lj
in allen möglichen Paarungen
koordinatenweise multiplizieren
2
diese Produkte aufaddieren
3
Resultate: Elemente von
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
AB
Vorlesung 10
9.01.2017
4 / 60
Beispiel für eine Matrizenmultiplikation
A=

B =
AB
1
−1
2
2
3
−1
1
3

0
2

2
1
vom Typ 2 × 3
vom Typ 3 × 2
wäre dann vom Typ 2 × 2 und somit im Ansatz
AB =
c
c
11
21
c
c
12
22
Folglich:
c11 = 1 + 0 + 4 = 5 und c12 = 3 − 2 + 2 = 3
c21 = 2 + 0 − 2 = 0 und c22 = 6 + 6 − 1 = 11
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
5 / 60
Lineare GLS mit R I
a <- matrix(c(2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2), nrow = 3, byrow = T)
a
##
[,1] [,2] [,3]
## [1,]
2
1
1
## [2,]
1
2
1
## [3,]
1
1
2
b <- c(1, 3, 2)
b
## [1] 1 3 2
solve(a, b)
## [1] -0.5
1.5
0.5
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
6 / 60
Der Begri der Markow-Kette
Folge
(Xm )m≥0
von Zufallsgröÿen
Werte in einer endlichen Zustandsmenge
S = {1, . . . , n} von n
Elementen
auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, Σ, P )
homogene endliche Markow-Kette mit diskretem Zeitparameter
1
2
Anfangsverteilung P (X0 = k ) = p für k = 1, 2, . . . , n
stochastische Übergangsmatrix U vom Typ n × n mit den Elementen
k
p
ij
m≥0
existiert, so daÿ für alle
P (X
m
+1
= j |Xm = i ) = pij
n
∑p
j
und für alle
=1
ij
=1
i = 1, 2, . . . , n.
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
7 / 60
Die Markow-Eigenschaft
Veranschaulichung durch stochastische Graphen (Zustände,
Übergangswahrscheinlichkeiten)
Mittelwertsregeln als Regeln für bestimmte (sogenannte
absorbierende) Markow-Ketten
Anschaulich: Bewegung einer Ameise zwischen den Zuständen"
i: p < 1
i: p = 1
innere Zustände
Randzustände
ii
ii
p( ) = P (X = j |X = i ) die m-fache Übergangswahrscheinlichkeit
Markow-Eigenschaft:
m
ij
m
Zeitpunkt
0
k
des Startes spielt keine Rolle:
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
p(
m
ij
)
= P (Xm+k = j |Xk = i )
9.01.2017
8 / 60
Die Kolmogoro-Chapman- Gleichungen
U
m
die Matrix aus den
m-fachen Übergangswahrscheinlichkeiten:
U
m
= U·...·U
m-mal U)
(
Nachweis mit Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit und
m
Kolmogoro-Chapman-Gleichungen
vollständige Induktion nach
U
m
U U
+k =
m
k
Verallgemeinerung der 1. Mittelwertsregel
p(
i
m
)
= P (Xm = i )
die
m-te absolute Verteilung
p(
i
m
)
n
=
(
∑ p ·p
k
wobei
p
k
=1
k
m
ki
)
,
die Werte der Anfangsverteilung
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
9 / 60
Ein einführendes Beispiel I
Modellierung der Kundenwanderung zwischen REAL und Marktkauf
Interpretation:
a bleibt bei Marktkauf
a wechselt zu REAL
Anteil 1 −
Anteil
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
10 / 60
Ein einführendes Beispiel II
langfristige Marktanteile?
Beschreibung durch einen Wahrscheinlichkeitsvektor
(pM , pR )
(stationäre Verteilung)
p
p
M
R
Aus
p
M
= (1 − a) · pM + b · pR
= a · pM + (1 − b) · pR
= (1 − a) · pM + b · pR
folgt
ap
M
= bpR
Interpretation:
ap
bp
M
- abieÿende Anteil von Marktkauf (Verlustanteil)
Q
der zuieÿende Anteil für Marktkauf (Zugewinnanteil)
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
11 / 60
Die n-te absolute Verteilung
Es gilt:
p
(k +1)
M
, pR
(k +1)
für eine natürliche Zahl
=
p
(k )
M
, pR
(k )
1−
b
a a
1−
b
k.
Explizite Formel per vollständige Induktion
p(
p(
n
)
M
n
R
mit
p( ), p( )
0
M
0
R
)
=
=
+ (1 − a − b)n
a +b
b
a
a
+b
p( ) −
h
( )
+ (1 − a − b) p −
n
h
0
M
b
a
+b i
a
+b
0
R
i
a
als Anfangsverteilung
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
12 / 60
Grenzwertverhalten der absoluten Verteilung
1
0
< a + b < 2.
1
2
2
b
a
p(
n
)
=
b
+b und limn→∞
n
wegen limn→∞ (1 − − ) = 0
limn→∞
a
+b , a+b
O
a
a b
p(
n
)
Q
=
a
a
+b
einzige Lösung der Denitionsgleichungen für die
stationäre Verteilung
3
4
a + b = 0 bzw. a = b = 0:
a + b = 2 bzw. a = b = 1
jede Ausgangsverteilung stationär
1
vollständiger Wechsel zur Konkurrenz
2
periodische Markow-Kette der Periode 2
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
13 / 60
Die stationäre Verteilung
Verteilungsvektor
p - stationäre Verteilung für die endliche
Markow-Kette, wenn
1
2
∑nk =1 pk = 1
pU = p (Multiplikation
Markow-Kette als
von links!!!)
regulär:
m
m-fache Übergangsmatrix U
Existenz eines
m
nur positive Elemente
Eine reguläre Markow-Kette besitzt genau eine stationäre
Verteilung. Darüberhinaus konvergieren die Elemente der U in jeder
m
Zeile gegen diese eindeutig bestimmte stationäre Verteilung
Prüfung der Regularität mittels stochastischen Graphen:
jeder Zustand von jedem anderen aus erreichbar
mindestens eine Schleife
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
14 / 60
Modellierung der Lagerhaltung als reguläre Markow-Kette I
tägliche Bedarf
Z
i
Z
i
eines Wirtschaftsgutes am Tag
i
in Lagerhaltung:
unabhängige identisch verteilte Zufallsgröÿen
Werte von
Z
i
: 0, 1, . . .
Bewirtschaftungsregel für das Lager:
1
Sinkt der Bestand unter
s , so wird auf den Maximalbestand S
aufgefüllt.
2
Dabei werden gleichzeitig Nachfragen, die nicht aus dem Lager geliefert
werden konnten, nachgeliefert.
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
15 / 60
Modellierung der Lagerhaltung als reguläre Markow-Kette II
X
n
Lagerbestand zu Beginn des
X
(Xn )n≥0 ist
(
n
=
X
n
− Zn für
S
für
X
X
eine Markow-Kette, wobei für
p
ij
für
+1
n-ten Tages, Folgetag:
s <j ≤i <S
− Zn > s
n − Zn 5 s
n
i = s + 1, . . . , S
= P (Xn+1 = j |Xn = i ) = P (Zn = i − j )
oder
s < j < i = S.
Übergangswahrscheinlichkeiten für das Auüllen des Lagers:
p
p
iS
SS
= P (Zn ≥ i − s ) ,
s < i < S,
= P (Z = 0) + P (Z ≥ S − s ) .
n
n
andere Übergangswahrscheinlichkeiten sind Null !
p
SS
>0
(Schleife), Erreichbarkeit
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
⇒
Vorlesung 10
stationäre Verteilung
9.01.2017
16 / 60
Der Hauptsatz für absorbierende Markow-Ketten I
Denition und Bezeichnungen
Eine Markow-Kette heiÿt
absorbierend, wenn es mindestens einen
Randzustand gibt und der Rand von jedem inneren Zustand aus
erreicht werden kann.
Bezeichnungen:
I = {1, 2, . . . , r } für die Menge der inneren Zustände
R = {r + 1, r + 2, . . . , N } für die Menge der Randzustände
S = (p , + ) als Matrix vom Typ r × (N − r ) für die Übergangsmatrix
von den inneren zu den Randzuständen (N − r Randzustände!!!)
Q = ((p , )) - als Matrix vom Typ r × r der
i r
j
i j
Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den inneren Zuständen
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
17 / 60
Der Hauptsatz für absorbierende Markow-Ketten II
Fragestellungen
Fragen:
1
Wie groÿ ist die mittlere Anzahl der Besuche
wobei
T
ij
t
ij
die zufällige Anzahl dieser Besuche sei?
m
in
j
i
?
beim Start in
2
Wie groÿ ist die mittlere Wartezeit
3
Wie kann man die Wahrscheinlichkeit
a
in
ist Randzustand.)
i
bestimmen ? (
i
ist innerer und
i
j
bei Start in
ij
einer Absorption in
j
i
,
bei Start
Antworten:
Frage 2 und 3 durch die beiden Mittelwertsregeln
alle drei Fragen hängen zusammen!!!
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
18 / 60
Der Hauptsatz für absorbierende Markow-Ketten III
Untersuchung von Frage 1 (Teil I)
Wir unterscheiden 2 Fälle in Abhängigkeit davon, ob
i 6= j
oder
i =j
ist:
1.Fall:
t
ij
i 6= j
= ∑k ∈I pik tkj
Begründung:
T
ij
die zufällige Anzahl der Besuche in
j
bei Start in
i
also
E (T
ij
) = tij =
N
∑ p E (T |A
k
=1
ik
ij
ik
),
unter Verwendung des bedingten Erwartungswertes
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
19 / 60
Der Hauptsatz für absorbierende Markow-Ketten IV
Untersuchung von Frage 1 (Teil II)
Fortsetzung 1. Fall:
E (T
ij
) = ∑N
pik E (Tij |Aik )
k =1
A - Ereignis: Übergang von i nach k in einem Zeitschritt erfolgt
E (T |A ) - die erwartete Anzahl von Besuchen, die beim Eintreten
von A
zustandekommt
E (T |A ) = t , speziell t = 0 für k ∈/ I .
ik
ij
ik
ik
ij
ik
2.Fall:
E (T |A
ij
ik
kj
kj
i =j
) = 1 + tkj
(sind bereits in
j
!!!!)
Zum ersten Besuch (die 1) kommen im Mittel
Ausgangspunkt
k
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
t
kj
weitere Besuche mit
9.01.2017
20 / 60
Der Hauptsatz für absorbierende Markow-Ketten V
Untersuchung von Frage 1 (Teil III)
Fortsetzung 2. Fall:
t
ij
N
∑ p E (T |A
=
ij
ik
k
N
∑p
=
1+
ik
k
ik
)
=1
t
kj
=1
N
= 1+
∑p t
ik
k
t
ij
= 1 + ∑k ∈I pik tkj
(wegen
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
t
kj
=0
kj
=1
für
Vorlesung 10
k ∈/ I )
9.01.2017
21 / 60
Der Hauptsatz für absorbierende Markow-Ketten VI
Darstellung in Matrizenschreibweise und Zusammenhänge
Schluÿendlich: T = E + QT
T = (t )
mit
E
als (passende) Einheitsmatrix und
ij
Auösung nach der Matrix
T
T : T = (E − Q )−1 .
heiÿt Fundamentalmatrix der absorbierenden Markow-Kette oder
Matrix der mittleren Anzahl der Besuche
Nach 2. Mittelwertsregel:
Zusammenhang für die a
a
ij
= pij + ∑
k
∈I
p ·a
ik
kj
ij
m
i
r
= ∑
j
=1
t
ij
(Absorptionswahrscheinlichkeiten)?
(1. Mittelwertsregel, beachte, daÿ
a
jj
= 1,
j
Zielzustand)
in
Matrizenschreibweise: A = S + QA
(E − Q) A = S oder A = (E − Q)−1 S
oder
A = TS
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
22 / 60
Der Hauptsatz für absorbierende Markow-Ketten VII
Der Hauptsatz
Der Hauptsatz für endliche absorbierende Markow-Ketten lautet nun:
Ist eine endliche absorbierende Markow-Kette gegeben
Dann gilt:
1
T = (E − Q )−1
m = ∑t
=1
A = TS
r
2
i
ij
j
3
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
23 / 60
Das Input-Output-Modell von Leontief
System von
r
Betrieben, pro Betrieb nur eine Warensorte
Zusammenhang zwischen den Betrieben: Erwerb von Produkten
notwendig
q
Erfassung durch den technologischen Koezienten
Betrieb
i
r
ist gewinnbringend, wenn
∑
j
=1
q
ij
<1
ij
(nicht nur
Produktionsverbrauch)
Fragestellung:
c = (c1 , . . . , c )
Q = (q )
gesucht Produktionsvektor x = (x1 , . . . , x ) mit x = xQ + c
Produktionsverbrauch x − c gleich Zulieferungen xQ !!!!
Gegeben ein Konsumvektor
eine technologische Matrix
r
ij
r
Lösung:
Deutung als Markov-Kette
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
x = c (E − Q )−
1
= cT
9.01.2017
24 / 60
Beispiel Produktentwicklung
drei Phasen: Forschung, Musterphase, Produktionsreife
I = {1, 2} und R = {3}
Fragen:
Wie sehen die Matrizen
Was ergibt sich für
T
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Q
und
und
A?
S
dazu aus?
Vorlesung 10
9.01.2017
25 / 60
Einfache Warteschlangen I
Der Ansatz
Modellierung eines Dienstleistungssystems
(Xt )t ≥0
X
t
stochastischer Prozeÿ
alle nichtnegativen ganzen Zahlen als Werte
Interpretation des Ereignisses
X
t
=n
:
n Kunden zum Zeitpunkt t ,
gewisse Anzahl wird an bestimmten Schaltern bedient
Rest in der Warteschlange
zusätzlich gegeben:
λn > 0 für n = 0, 1, 2, . . .
µn > 0 für n = 1, 2, . . .
Ankunftsraten
Bedienraten
Beschreibung wie sich
X
t
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
in der Zeit
Vorlesung 10
t
ändert
9.01.2017
26 / 60
Einfache Warteschlangen II
Annahmen zur Modellierung
1
t n Kunden im System sind, so ändert sich diese Zahl
n + 1 mit der Wahrscheinlichkeit λ · h + o (h) während eines kleinen
Zeitintervalls [t , t + h [.
Wenn zur Zeit t n Kunden im System sind, so ändert sich diese Zahl
in n − 1 mit der Wahrscheinlichkeit µ · h + o (h ) während eines kleinen
Zeitintervalls [t , t + h [.
Wenn zur Zeit
in
2
n
n
3
Die Wahrscheinlichkeit für andere Änderungen der Anzahl der Kunden
ist von der Ordnung
(Xt )t ≥0
o (h).
Markow-Eigenschaft: Zustandsänderungen hängen nur von
der Gegenwart ab
Methode: Pfadanalyse für das Eintreten von X +
P (X + = n ) = p (t + h )
t
t
h
h
= n:
n
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
27 / 60
Einfache Warteschlangen III
Grasche Darstellung der Pfadzerlegung
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
28 / 60
Einfache Warteschlangen IV
Die Gleichung I
Die Wahrscheinlichkeiten für die 4 Pfade sind:
1
2
3
4
p −1 (t ) (λ −1 h + o (h))
p (t ) (1 − λ h − µ h + o (h))
p +1 (t ) (µ +1 h + o (h))
o (h) · ∑| − |≥2 p (t )
n
n
n
n
n
n
n
n
i
i
Addition ergibt
p (t + h) (zur Zeit t + h sind n Kunden da!!!):
n
p (t + h) = p − (t ) (λ − h + o (h))
+ p (t ) (1 − λ h − µ h + o (h))
+ p + (t ) (µ + h + o (h)) + o (h) · ∑ p (t )
n
n
1
n
n
n
1
n
1
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
n
n
1
i
|n−i |≥2
Vorlesung 10
9.01.2017
29 / 60
Einfache Warteschlangen V
Die Gleichung II
Betrachtung des Dierenzenquotienten
p (t + h) − p (t )
h
n
p (t + h)
p eine in t dierenzierbare Funktion
Einsetzen von
Annahme:
n
n
n
h → 0, geht der Dierenzenquotient in die erste Ableitung über
Dierentialgleichung für p
Wenn
n
p (t ) = λ
0
n
für
n
−1
p
n
t) + µ
−1 (
n
+1
p
n
t ) − (λ
+1 (
n
+ µn ) pn (t )
n ≥ 1.
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
30 / 60
Einfache Warteschlangen VI
Die Gleichung III
Speziell für
n = 0 (kein Vorgängerzustand)
p (t ) = −λ p (t ) + µ p (t )
0
0
0
0
1
1
Existenz des Grenzwertes (ohne Beweis)
lim
t
→∞
p (t ) = p
n
n
Interpretation:
langfristig ein stabiles Verhalten
stationäre Verteilung der zufälligen Anzahl der Kunden im System
n Kunden im System mit der Wahrscheinlichkeit p
∑∞=0 p = 1
n
n
n
weitere Gleichungen zur Bestimmung der
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
p
n
erforderlich!!!!
9.01.2017
31 / 60
Einfache Warteschlangen VII
Die Gleichung IV
Idee: lim →∞ p (t ) = p
t fast konstant!)
t
n
n
folgt limt →∞
p0 (t ) = 0 (Funktion p
n
n
für groÿe
Damit kommt folgendes Gleichungssystem zustande:
−λ0 p0 + µ1 p1 = 0
λ0 p0 − (λ1 + µ1 ) p1 + µ2 p2 = 0
λ1 p1 − (λ2 + µ2 ) p2 + µ3 p3 = 0
···
Lösungsalgorithmus:
aus der ersten, der Summe der beiden ersten,
der Summe der drei ersten Gleichungen u.s.w. folgen:
λn pn = µn+1 pn+1
für
n = 0, 1, 2, . . ..
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
32 / 60
Einfache Warteschlangen VIII
Die Gleichung V
Auösung nach
p
n
+1 :
p
n
+1
=
λn
pn
µn+1
sukzessives Einsetzen:
p
n
=
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
λ0 λ1
λn−1
·
·...·
· p0
µ1 µ2
µn
Vorlesung 10
9.01.2017
33 / 60
Einfache Warteschlangen IX
Die Gleichung VI
weitere Vereinfachungen:
1
die zufällige Anzahl ankommender Kunden sei mit dem Parameter
Poisson-verteilt. Im Durchschnitt kommen dann
Zeiteinheit an und
2
λ
Kunden pro
1
λ ist die mittlere Zeit zwischen zwei Ankünften. Die
Ankunftszeit selbst ist mit
wir setzen stets
λ
λn = λ
λ
exponentiell verteilt. Mit anderen Worten
für alle
n an.
die zufällige Bedienungsdauer eines Kunden sei exponentiell mit dem
Parameter
µ
verteilt. Im Durchschnitt werden dann
µ
Kunden pro
1
µ
Zeiteinheit und pro Schalter bei einer mittleren Bedienungsdauer
durch das System abgefertigt, denn die zufällige Anzahl bedienter
Kunden ist wieder Poisson-verteilt. Bei mehreren Schaltern ist
Grundbedienrate. Die
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
µn
sind bestimmte Vielfache von
Vorlesung 10
µ
die
µ.
9.01.2017
34 / 60
Einfache Warteschlangen X
Warteschlangen mit einem Schalter I
Verkehrsrate:
ρ=
λ
µ
Warteschlangen mit genau einem Schalter:
λn = λ und µn = µ
pn = ρ n · p0
Dann gilt:
∞
∑p
n
=0
∞
n
=
∑ ρ · p0
n
n
=0
= p0
p0 = 1 − ρ
für
und
p
n
1
1−ρ
=1
= (1 − ρ) ρ n
n = 0, 1, 2, . . ..
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
35 / 60
Einfache Warteschlangen XI
Warteschlangen mit einem Schalter II, Diskussion der Verkehrrate
für die Verkehrsrate gilt:
1
2
3
ρ < 1 hinreichend für stationäres Verhalten
Für ρ > 1 kommt es zu einem Überlaufen des Systems
Fall ρ = 1 wird im Anschluÿ an die Erörterung der folgenden
Fragen
diskutiert
Fragestellungen:
1
Wie groÿ ist die mittlere Anzahl von Kunden
2
Wie groÿ ist die mittlere Anzahl von Kunden
Warteschlange ?
3
Wie groÿ ist die mittlere Wartezeit
verbringt ?
4
Wie groÿ ist die mittlere Wartezeit
L im System ?
L in der eigentlichen
S
W , die ein Kunde im System
W
S,
die ein Kunde in der Schlange
verbringt ?
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
36 / 60
Einfache Warteschlangen XII
Warteschlangen mit einem Schalter III, mittlere Anzahl von Kunden im System
Frage: Wie groÿ ist die mittlere Anzahl von Kunden L im System ?
Antwort:
∞
L = ∑ np
∞
n
n
=0
∑ nρ
n
n
=0
λ
µ
=
ρ
=
λ
1−ρ
1−
µ
=
λ
µ −λ
Formel:
∞
∑ nρ
n
für
= (1 − ρ)
=0
n
=
ρ
(1 − ρ)2
|ρ| < 1
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
37 / 60
Einfache Warteschlangen XIII
Warteschlangen mit einem Schalter III, mittlere Anzahl von Kunden in der Schlange
Frage:
Wie groÿ ist die mittlere Anzahl von Kunden
L
S
in der
eigentlichen Warteschlange ?
Antwort:
L
S
= 0 · p0 +
∞
∑ (n − 1) p
n
n
=1
∞
∞
=
∑ np
n
n
=1
−
∑p
n
n
= L − (1 − p0 )
=1
ρ
ρ2
− (1 − (1 − ρ)) =
1−ρ
1−ρ
2
λ
µ
λ2
=
=
λ
µ (µ − λ )
1−
µ
=
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
38 / 60
Einfache Warteschlangen XIV
Warteschlangen mit beliebig vielen Schaltern
λn = λ
und
Folglich (da
µn = n µ
p
n
=
λ0
µ1
für alle
·
n
· . . . · λµn−n 1 · p0 )
λ1
µ2
p
n = p0
Was ergibt sich für
ρn
n!
p
0?
Antwort:
∞
∑p
n
n
=0
Warteschlangenverteilung -
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
ρn
∞
= p0
∑ n!
=
n
= p0 · e ρ = 1.
0
Poisson-Verteilung
p
n
= e −ρ
Vorlesung 10
ρn
.
n!
9.01.2017
39 / 60
Einfache Warteschlange XV
Warteschlangen mit einem Schalter und Warteraum fester Gröÿe
Warteraum der Gröÿe
M
Ist der voll, so bleibt der Kunde nicht
Folgerung:
p
n
= ρ n p0
Was ergibt sich für
für
p
n = 0, 1, . . . , M
0?
p
0
1
=
M
n 0
∑
=
ρ
n
=
1−ρ
1 − ρ M +1
.
Verteilung?
Für die
p
n
p
n
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
(
=
(1−ρ)ρ n
1−ρ M +1
1
M
+1
Vorlesung 10
ρ 6= 1
ρ = 1.
9.01.2017
40 / 60
Einfache Warteschlangen XVI
Warteschlangen mit M Schaltern, Kunde wartet nicht
M
Schalter, ndet ein Kunde keinen freien Schalter vor, so geht er zur
Konkurrenz
p
n?
(allgemein:
Antwort:
p
p
n
p
n
=
n
= p0 ρn!
λ0
µ1
für
· µλ12 · . . . · λµn−n 1 · p0 )
n = 0, 1, . . . , M
0
p
0
=
1
∑
=
Erlangsche Formel
p
n
n=M
=
ρn .
!
M
n 0 n
ρn
n!
∑M
k =0
ρk
k!
- Erlangsche Verlustformel (Warum?)
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
41 / 60
Einfache Warteschlangen XVII
Warteschlangen mit M Schaltern und Kunden warten I
M
Schalter, alle Schalter besetzt, so wartet der Kunde
λn = λ
und für die Bedienrate
nµ
Mµ
µn =
0
≤n≤M
n ≥ M.
p
n?
Antwort:
p
n
=



Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
p
n
0
p
0
· ρn!
0
n
≤n≤M
ρ
· M !M
n−M
Vorlesung 10
n ≥ M.
9.01.2017
42 / 60
Einfache Warteschlangen XVIII
Warteschlangen mit M Schaltern und Kunden warten II
Aufaddieren
Auösen nach
"
#
ρ k ρ M ∞ ρ k
p0 · ∑ + · ∑
=1
k ! M ! k =1 M
k =0
M
p
0
"
M
ρ k ρ M ∞ ρ k
p0 = ∑ + · ∑
k ! M ! k =1 M
k =0
für
ρ ≥M
ist
p
0
=0
(Divergenz der Reihe), also
#−1
.
p
n
=0
Warteschlange von unendlicher Länge
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
43 / 60
Einfache Warteschlangen IXX
Warteschlangen mit M Schaltern und Kunden warten III
mittlere Schlangenlänge für
S
ρ < M?
zufällige Länge dieser Schlange
S=
(
0
n−M
Berechnung von
falls höchstens M Kunden im System sind
falls nKunden im System sind, wobei n > M ist.
E (S ):
p
M
+n
= p0 ·
ρ n
ρ n+M
=
p
M ·
M !M n
M
∞
E (S ) = ∑ n · p
n
+n
= pM
=1
= pM ·
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
M
∞
ρ n
∑n M
=
n
1
ρ
M
1−
ρ
2 .
M
Vorlesung 10
9.01.2017
44 / 60
Simulation mit R I
Simulation
Aufgabe: Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ bei 6 aus 49 Ausreiÿer
gezogen werden?
Problem: exakt schwierig zu bestimmen
Lösung: Anwendung des Gesetzes der groÿen Zahlen
relative Häugkeit konvergiert gegen die Wahrscheinlichkeit
Was wird gebraucht?
sample Funktion von R
z.B. sample(1:49,6)
jeder Durchlauf von
sample erzeugt eine andere Ziehung
ein Funktion, die die Ausreiÿer liefert
Trick?
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
45 / 60
Simulation mit R II
gz <- sample(1:49, 6)
bp <- boxplot(gz, plot = F)
names(bp)
## [1] "stats" "n"
"conf"
"out"
"group" "names"
Prüfen, ob length(bp$out) > 0
also folgende Simulation:
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
46 / 60
Simulation mit R III
c = 0
for (i
gz
bp
if
}
c/1000
in 1:1000) {
<- sample(1:49, 6)
<- boxplot(gz, plot = F)
(length(bp$out) > 0)
c = c + 1
## [1] 0.067
eine Erweiterung des Ganzen zur Veranschaulichung des Gesetzes der
groÿen Zahlen
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
47 / 60
Simulation mit R IV
cc <- c()
steps <- seq(100, 1000, by = 20)
for (s in steps) {
k = 0
for (i in 1:s) {
gz <- sample(1:49, 6)
bp <- boxplot(gz, plot = F)
if (length(bp$out) > 0)
k = k + 1
}
k = k/s
cc <- c(cc, k)
}
und als Grak dazu
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
48 / 60
Simulation mit R V
plot(steps, cc, type = "l", ylim = c(0, 0.2))
title(main = "Gesetz der groÿen Zahlen")
title(xlab = "Versuche", ylab = "rel. Häuigkeit")
M = mean(cc)
abline(h = M, col = "red")
text(600, 0.05, sprintf("m=%.3f", M))
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
49 / 60
Simulation mit R VI
0.10
0.05
m=0.087
0.00
rel. Häuigkeit
cc
0.15
0.20
Gesetz der großen Zahlen
200
400
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
600
800
1000
Versuche
steps
Vorlesung 10
9.01.2017
50 / 60
Aufgaben I
Aufgabe:
Lösen Sie das Gutscheinproblem mittels erzeugender Funktion!
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
51 / 60
Aufgaben II
Umwandlung in einen äquivalenten Graphen aus 2 Knoten mit folgenden
Regeln:
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
52 / 60
Aufgaben III
weitere Regel:
W Wartezeit bis zum Erreichen von Zustand 2
P (X = k ) = b − a
∑∞= b − a = − für |b| < 1
k
k
k
1
1
a
1
1
b
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
53 / 60
Aufgaben IV
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
54 / 60
Aufgaben V
/3
s /3
ϕ(s ) = s · 12s
−s /3 · 1−2s /3 =
2s
3
(2s −3)(s −3)
Berechnung der ersten Ableitung für
dϕ
|
ds s =
1
=
2
s
2
2
s
2
s =1
− 18s + 27
(2s − 9s + 9)
2
Kontrolle mittels ursprünglicher Formel:
2
|s =1 =
n · (1 +
1
2
11
2
+ . . . + n1 )
auf
n=3
anwenden!
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
55 / 60
Aufgaben VI
Aufgabe:
Auf einer isolierten Insel haben 100 verschiedene Ehepaare 0,1
oder 2 Söhne mit den Wahrscheinlichkeiten 1/5, 1/2 und 3/10. Um wieviel
Prozent wächst die Bevölkerung in jeder Generation und wieviel
Familiennamen bleiben erhalten?
Lösung:
Die erzeugende Funktion ist
Die Ableitung bei 1 ist
( )
dg s
ds
g (s ) =
|s =1 =
1
5
3
5
3
+ 12 s + 10
s2
s+
1
2
=
11
10
, also Zuwachs von
10%.
g (s ) = s
folgt
1
5
3
+ 12 s + 10
s2 = s
mit
s = 2/3 als Lösung für die
Aussterbewahrscheinlichkeit,
d.h. 1/3 der Familiennamen bleiben erhalten.
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
56 / 60
Aufgaben VII
Aufgabe:
Tuberkulose ist mit 0,02% in der Bevölkerung verbreitet. Da
Röntgenreihenuntersuchungen wegen dieser Rate zu aufwendig sind, wendet
man einen Hauttests an. Wir nehmen an, daÿ nur 0,005% aller gesunden
Personen positiv getestet werden. Dagegen sei die Wahrscheinlichkeit
positiv zu testen bei Personen mit TB 95%. Eine Person wird positiv
getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Person tatsächlich TB?
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
57 / 60
Aufgaben VIII
Lösung:
Wir erhalten
P (TB |positiv ) =
0.0002 · 0.95
0.0002 · 0.95 + 0.9998 · 0.00005
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
= 0.791 70.
9.01.2017
58 / 60
Aufgaben IX
n ≥ 2 Kindern sei die Wahrscheinlichkeit für
A - Kinder
beiderlei Geschlechts sind in der Familie vertreten und B - Es gibt
Aufgabe:
In einer Familie mit
das Geschlecht eines Kindes gleichverteilt. Sind die Ereignisse
höchstens ein Mädchen unabhängig?
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
59 / 60
Aufgaben X
Lösung:
Es gilt
p(A) =
2
n
−2
2
n
,
p (B ) =
1+
n
n
2
und
p (A ∩ B ) =
n
2n
.
Bei Unabhängigkeit
2
n
−2
n
2
·
1+
2
n
2
n + 1 muÿ gerade sein.
− > n + 1.
immer 2
also
n
Für
n
n
−1
=
n
2n
= n + 1,
n = 3 gilt die Gleichheit.
Für
n > 3 ist
1
Privat-Doz. Dr. H. Haase (Inst. f. Math. u. Inf.)
Vorlesung 10
9.01.2017
60 / 60