Mathematische Strukturen - Theoretische Informatik
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Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Das heutige Programm Organisatorisches Vorlesung “Mathematische Strukturen” Vorstellung Ablauf der Vorlesung und der Übungen Prüfung Literatur & Folien Sommersemester 2013 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan Einführung und Motivation Inhalt der weiteren Vorlesung Grundlagen: Mengen, Funktionen, Relationen, . . . Barbara König Mathematische Strukturen 1 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 2 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Wer sind wir? Erreichbarkeit E-Mail: barbara [email protected] Bitte verwenden Sie ab sofort nur noch Ihre offizielle Mail-Adresse der Universität Duisburg-Essen ([email protected]), wenn Sie mit uns kommunizieren. Andere Mails werden in Zukunft nicht mehr beantwortet (Beschluss der Abteilungskonferenz). Sprechstunde: nach Vereinbarung Gründe: Dozentin: Prof. Barbara König Raum LF 264 Keine Probleme mit Spam-Filtern. Übungsleitung: Vertrauliche Auskünfte erreichen den richtigen Adressaten. Dipl.-Math. Henning Kerstan Ziel: alle Studierenden sollten Ihre Universitäts-Adresse aktivieren und damit zuverlässig erreichbar sein. Raum LF 261 E-Mail: [email protected] Weitere Informationen unter: http://www.uni-due.de/zim/services/e-mail/ Web-Seite: www.ti.inf.uni-due.de/teaching/ss2013/mast/ Barbara König Mathematische Strukturen 3 Barbara König Mathematische Strukturen 4 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Einordnung Vorlesungstermine Diese Vorlesung ist für Vorlesungs-Termin: KOMEDIA-Studierende im 2. Semester Dienstag, 8:30–10:00 Uhr, im LB 107 gedacht. Barbara König Mathematische Strukturen 5 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Termine der Übungsgruppen/Tutorien Di, 12-14 Uhr, LE 104 2 Di, 16-18 Uhr, LF 125 3 Mi, 12-14 Uhr, LC 137 4 Mi, 16-18 Uhr, LE 120 5 Do, 8-10 Uhr, LE 120 6 Do, 8-10 Uhr, LC 137 Barbara König Mathematische Strukturen 6 Hinweise zu den Übungen Übungsgruppen: 1 Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Bitte versuchen Sie, sich möglichst gleichmäßig auf die Übungen zu verteilen. Dazu werden wir nach der ersten Woche die Teilnehmerzahlen der einzelnen Übungen bekanntgeben. Besuchen Sie die Übungen und machen Sie die Hausaufgaben! Diesen Stoff kann man nur durch regelmäßiges Üben erlernen. Auswendiglernen hilft nicht besonders viel. Die Übungen beginnen in der vierten Semesterwoche am Dienstag, den 30. April. Mathematische Strukturen 7 Barbara König Mathematische Strukturen 8 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Hinweise zu den Übungen Hinweise zu den Übungen Wir verwenden Moodle, um: Das Übungsblatt wird jeweils am Montag ins Netz gestellt. Das erste Übungsblatt wird am 15.4. bereitgestellt, das zweite am 22.4. die Aufgabenblätter zur Verfügung zu stellen und um Diskussionsforen bereitzustellen. Die schriftlichen Aufgaben müssen bis spätestens Montag, 14:00 Uhr, der darauffolgenden Woche abgegeben werden. D.h., das erste Blatt muss am 22.4. abgegeben werden. Die Übungsblätter werden dann korrigiert und eine Woche später besprochen, das erste Blatt ab 30.4. Eine elektronische Abgabe der Hausaufgaben über Moodle ist nicht vorgesehen. Moodle2-Plattform an der Universität Duisburg-Essen: http://moodle2.uni-due.de/ (siehe auch Link auf der Webseite) Einwurf in den Briefkasten neben dem Raum LF259. Bitte legen Sie dort einen Zugang an (falls noch nicht vorhanden) und tragen Sie sich in den Kurs “Mathematische Strukturen 2013” (Abteilung Informatik und Angewandte Kognitionswissenschaft → Theoretische Informatik) ein. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung deutlich die Vorlesung, Ihren Namen, Ihre Matrikelnumer und Ihre Gruppennnumer an. Sie dürfen in Zweier-Gruppen abgeben. Zugangsschlüssel: . . . Barbara König Mathematische Strukturen 9 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 10 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Klausur Klausur Es gibt folgende Bonusregelung: Die Vorlesung wird durch eine Klausur am Ende des Semesters geprüft. Der derzeitige Planungsstand für den Klausurtermin ist der 19. August (mit Vorbehalt!). Wenn Sie 50% der Punkte erzielt haben, so erhalten Sie einen Bonus für die Klausur. Auswirkung: Verbesserung um eine Notenstufe; z.B. von 2,3 auf 2,0 Die Anmeldung erfolgt über das Prüfungsamt. Barbara König Mathematische Strukturen 11 Barbara König Mathematische Strukturen 12 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Literatur Literatur Lutz Warlich: Grundlagen der Mathematik für Studium und Lehramt: Mengen, Funktionen, Teilbarkeit, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit. Books on Demand, 1. Auflage (Juli 2006) Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Arithmetik und Algebra. Spektrum 2008 Barbara König Mathematische Strukturen 13 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 14 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Literatur Literatur Angelika Steger: Diskrete Strukturen 1. Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra. Springer 2007 Gerald Teschl, Susanne Teschl: Mathematik für Informatiker, Diskrete Mathematik und Lineare Algebra, Bd.1, Springer, 2008 http://www.springerlink.com/content/p18557/ (zugreifbar über den Uni-Account) Barbara König Mathematische Strukturen 15 Barbara König Mathematische Strukturen 16 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Literatur Literatur Martin Aigner: Diskrete Mathematik. Vieweg+Teubner, 2006. Barbara König Dirk Hachenberger: Mathematik für Informatiker. Pearson, 2008. Mathematische Strukturen 17 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 18 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Literatur Folien Hinweise: Folien werden Die Bücher sind als Ergänzung gedacht, sie präsentieren den Stoff oft aus einem anderen Blickwinkel. im Anschluss an die Vorlesung im Web als PDF bereitgestellt und Sehen Sie sich die Bücher erst an, bevor Sie sie kaufen. Nicht jede/r kommt mit jedem Buch zurecht. regelmäßig aktualisiert. Große Teile der Folien werden im Wesentlichen gleich zu den Folien aus dem Sommersemester 2012 sein (erhältlich über die Webseite der letztjährigen Vorlesung). Die Bibliothek (LK) ist ein guter Platz um nach Büchern zu stöbern (Mathematik-Abteilung im 1. Stock, Lehrbuchsammlung im Keller) Barbara König Mathematische Strukturen 19 Barbara König Mathematische Strukturen 20 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Inhalt Inhalt Diskrete Mathematik vs. Kontinuierliche Mathematik In dieser Vorlesung geht es schwerpunktmäßig um diskrete Mathematik, d.h., um das Arbeiten mit endlichen oder abzählbaren Mengen von Elementen. Grundlagen (Mengen, Relationen, Funktionen) Algebraische Strukturen (Gruppen, Körper, Vektorräume, Matrizen) Daneben gibt es noch die kontinuierliche Mathematik (Analysis, etc.), in der man mit reellen oder komplexen Zahlen arbeitet. (Ableitung, Integration von Funktionen, etc.) Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Analysis, Kurvendiskussion, Ableitung Barbara König Mathematische Strukturen 21 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König 22 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Inhalt Inhalt Grundlagen (Mengen, Relationen, Funktionen) Algebraische Strukturen (Gruppen, Körper, Vektorräume, Matrizen) Wir besprechen/wiederholen grundlegende Konzepte der Mathematik. Wie beschreibt man Ansammlungen von Elementen? Mengen Wie beschreibt man Zusammenhänge zwischen Mengen? Relationen, Funktionen Außerdem besprechen wir grundlegende Zahlentheorie (Primzahlen, etc.). Wir behandeln grundlegende Rechenstrukturen (Gruppen, Körper) und Anwendungen in der Kryptographie. Anschließend: Vektorräume und Matrizen mit Anwendungen in der Darstellung von mehrdimensionalen Räumen. Lösen von Gleichungssystemen. y 1 b 2 c 3 d Barbara König 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 a Mathematische Strukturen (4,5) x 23 Barbara König Mathematische Strukturen 24 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Inhalt Inhalt Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Abzählen von Mengen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten. “Ziehen aus Urnen” und andere Modelle mit praktischen Beispielen. Analysis, Kurvendiskussion, Ableitbarkeit Wir betrachten Funktionen auf reellen Zahlen und wiederholen Grundlagen der Kurvendiskussion. Dabei gehen wir vor allem auf das Ableiten (= Differenzieren) von Funktionen ein. f (x) 1 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 Barbara König Mathematische Strukturen 25 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 26 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Inhalt Mathematik im KOMEDIA-Studium Statistik (Inferenz-Statistik, Deskriptive Statistik) ( Kombinatorik) Informatik ( Bemerkung: u.a. Funktionen, Relationen, Graphen) Multimedia Engineering/Multimediasysteme ( Vektorrechnung, z.B. für Grafiken) Der Inhalt ändert sich gegenüber dem Sommersemester 2012 aufgrund von Wünschen und Vorschlägen aus der Studierendenschaft. Modellierung ( Grundlagen: Mengen, Relationen, Funktionen, Matrizenrechnung, Graphen) Insbesondere wird das bisherige letzte Kapitel (“Graphen”) durch ein Analysis-Kapitel ersetzt. Mensch-Computer-Interaktion ( Navigation mit Graphen) Datenbanken ( Visualisierung und Relationen) Volkswirtschaftslehre ( Kurvendiskussion, Ableitung) Kryptographische Verfahren (z.B. Gruppen, Körper) In Praxisprojekten, im Master-Studium Barbara König Mathematische Strukturen 27 Barbara König Mathematische Strukturen 28 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mengen Mengen Menge Menge M von Elementen, wird beschrieben als Aufzählung Bemerkungen: M = {0, 2, 4, 6, 8, . . . } Die Elemente einer Menge sind ungeordnet, d.h., ihre Ordnung spielt keine Rolle. Beispielsweise gilt: oder als Menge von Elementen mit einer bestimmten Eigenschaft {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3} = {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1} M = {n | n ∈ N0 und n gerade}. Ein Element kann nicht “mehrfach” in einer Menge auftreten. Es ist entweder in der Menge, oder es ist nicht in der Menge. Beispielsweise gilt: Allgemeines Format: M = {x | P(x)} M ist Menge aller Elemente, die die Eigenschaft P erfüllen. {1, 2, 3} = 6 {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 4} M = {x ∈ X | P(x)} M ist Menge aller Elemente aus der Grundmenge X , die P erfüllen. Barbara König Mathematische Strukturen 29 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 30 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mengen Mengen Element einer Menge Wir schreiben a ∈ M, falls ein Element a in der Menge M enthalten ist. Vereinigung Die Vereinigung zweier Mengen A, A ist die Menge M, die die Elemente enthält, die in A oder B vorkommen. Man schreibt dafür A ∪ B. A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B} Anzahl der Elemente einer Menge Für eine Menge M gibt |M| die Anzahl ihrer Elemente an. Teilmengenbeziehung Wir schreiben A ⊆ B, falls jedes Element von A auch in B enthalten ist. Die Beziehung ⊆ heißt auch Inklusion. Schnitt Der Schnitt zweier Mengen A, B ist die Menge M, die die Element enthält, die sowohl in A als auch in B vorkommen. Man schreibt dafür A ∩ B. A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B} Leere Menge Mit ∅ oder {} bezeichnet man die leere Menge. Sie enthält keine Elemente und ist Teilmenge jeder anderen Menge. Barbara König Mathematische Strukturen 31 Barbara König Mathematische Strukturen 32 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mengen Mengen Veranschaulichung von Vereinigung und Schnitt durch Venn-Diagramme: Mengendifferenz Seien A, B zwei Mengen. Dann bezeichnet A\B die Menge aller Elemente, die in A vorkommen und in B nicht vorkommen. A\B = {x | x ∈ A und x 6∈ B} Beispiele: Blau eingefärbte Fläche entspricht der Vereinigung A ∪ B Barbara König {0, 1, 2, 3, 4, 5}\{0} = {1, 2, 3, 4, 5} Blau eingefärbte Fläche entspricht dem Schnitt A ∩ B Mathematische Strukturen {a, b, c}\{c, d} = {a, b} 33 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 34 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mengen Mengen Veranschaulichung der Mengendifferenz durch ein Venn-Diagramm: Potenzmenge Sei M eine Menge. Die Menge P(M) ist die Menge aller Teilmengen von M. P(M) = {A | A ⊆ M} Beispiel: P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Es gilt: |P(M)| = 2|M| (für eine endliche Menge M). Blau eingefärbte Fläche entspricht der Mengendifferenz A\B Barbara König Mathematische Strukturen 35 Barbara König Mathematische Strukturen 36 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mengen Mengen Bemerkungen: Wir betrachten nicht nur Paare, sondern auch sogenannte Tupel, bestehend aus mehreren Komponenten. Ein Tupel (a1 , . . . , an ) bestehend aus n Komponenten heißt auch n-Tupel. In einem Tupel sind die Komponenten geordnet! Es gilt z.B.: Kreuzprodukt (kartesisches Produkt) Seien A, B zwei Mengen. Die Menge A × B ist die Menge aller Paare (a, b), wobei die erste Komponente des Paars aus A, die zweite aus B kommt. (1, 2, 3) 6= (1, 3, 2) ∈ N0 × N0 × N0 A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} Eine Komponente kann “mehrfach” in einem Tupel auftreten. Tupel unterschiedlicher Länge sind immer verschieden. Beispielsweise: Beispiel: {1, 2} × {3, 4, 5} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} Es gilt: |A × B| = |A| · |B| (für endliche Menge A, B). (1, 2, 3, 4) 6= (1, 2, 3, 4, 4) Runde Klammern (, ) und geschweifte Klammern {, } stehen für ganz verschiedene mathematische Objekte! Barbara König Mathematische Strukturen 37 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Relationen Mathematische Strukturen 38 Relationen Relation zwischen der Menge A und der Menge B Eine Teilmenge R ⊆ A × B des Kreuzprodukts von A und B heißt Relation zwischen A und B. Beispiel: A = {1, 2, 3} Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung B = {a, b, c, d} Schreibweise: wir notieren folgendermaßen, dass ein Paar in einer Relation liegt R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, d)} Standard-Schreibweise: (2, b) ∈ R Infix-Schreibweise: 2 R b Relationen können auf folgende Weise graphisch dargestellt werden: 1 a b 2 c 3 d Barbara König Für Relationen wie =, <, ≤, >, ≥ wird fast immer die Infix-Schreibweise verwendet (Beispielsweise 2 < 5, 7 ≥ 3) Mathematische Strukturen 39 Barbara König Mathematische Strukturen 40 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Relationen Relationen Weiteres Beispiel: Zuordnung von Studierenden zu Veranstaltungen Ingo Math. Strukturen Wir sehen uns nun einige besondere Arten von Relationen an: Selim Petra Modellierung Funktionen Äquivalenzrelationen Ordnungen A = {Ingo, Selim, Petra} B = {Math.Strukturen, Modellierung} R = {(Ingo, Math.Strukturen), (Ingo, Modellierung), (Selim, Math.Strukturen)} Barbara König Mathematische Strukturen 41 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 42 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Funktionen Funktionen Notation von Funktionen f:A → B a 7→ f (a) Funktion von der Menge A in die Menge B Eine Relation f ⊆ A × B heißt Funktion, wenn folgendes gilt: Die Funktion f bildet jedes Element a ∈ A auf genau ein Element f (a) ∈ B ab. Dabei ist A der Definitionsbereich und B der Wertebereich. für jedes Element a ∈ A gibt es genau ein Element b ∈ B mit (a, b) ∈ f . Anschaulich: jedes Element in der Menge A hat genau einen ausgehenden Pfeil. (Die vorherigen Beispiels-Relationen waren also keine Funktionen.) Beispiel (Quadratfunktion): f : Z → N0 , f (n) = n2 . . . , −3 7→ 9, −2 7→ 4, −1 7→ 1, 0 7→ 0, 1 7→ 1, 2 7→ 4, 3 7→ 9, . . . Dabei ist N0 die Menge der natürlichen Zahlen (mit der Null) und Z die Menge der ganzen Zahlen. Barbara König Mathematische Strukturen 43 Barbara König Mathematische Strukturen 44 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Funktionen Funktionen Injektive Funktion Eine Funktion f : A → B heißt injektiv, falls es keine Elemente a1 , a2 ∈ A gibt mit a1 6= a2 und f (a1 ) = f (a2 ). Alternativ: Eine Funktion f ist injektiv, falls für alle Elemente a1 , a2 ∈ A aus f (a1 ) = f (a2 ) immer a1 = a2 folgt. Bild und Urbild einer Menge Sei f : A → B eine Funktion und A0 ⊆ A. Dann nennt man die Menge f (A0 ) = {f (a) | a ∈ A0 } Anschaulich: auf kein Element im Wertebereich zeigt mehr als ein Pfeil. das Bild von A0 unter der Funktion f . Sei nun B 0 ⊆ B. Die Menge Surjektive Funktion Eine Funktion f : A → B heißt surjektiv, falls es für jedes b ∈ B (mindestens) ein a ∈ A gibt mit f (a) = b. f −1 (B 0 ) = {a ∈ A | f (a) ∈ B 0 } heißt das Urbild von B 0 unter der Funktion f . Anschaulich: auf jedes Element im Wertebereich zeigt (mindestens) ein Pfeil. Barbara König Mathematische Strukturen 45 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 46 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Funktionen Funktionen Bemerkung: Die bijektiven Funktionen sind genau die invertierbaren Funktionen. Zu einer bijektiven Funktion f : A → B gibt es eine Umkehrfunktion f −1 : B → A mit folgenden Eigenschaften: Bijektive Funktion Eine Funktion f : A → B heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. f −1 (f (a)) = a für alle a ∈ A f (f −1 (b)) = b für alle b ∈ B Beispiel: Die Funktion Anschaulich: auf jedes Element im Wertebereich zeigt genau ein Pfeil. D.h., es gibt eine eins-zu-eins-Zuordnung zwischen den Elementen des Definitionsbereichs und des Wertebereichs f:Z→Z z 7→ z − 1 hat als Umkehrfunktion f −1 : Z → Z Barbara König Mathematische Strukturen 47 Barbara König z 7→ z + 1 Mathematische Strukturen 48 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Funktionen Funktionen Verknüpfung von Funktionen Gegeben seien zwei Funktionen f : A → B und g : B → C . Mit g ◦ f bezeichnen wir die Verknüpfung oder Hintereinanderausführung von f und g . Diese Funktion ist wie folgt definiert: Beispiel: Funktionsverknüpfung f 1 g ◦f : A → C a 7→ g (f (a)) A f /B g a g X b 2 c Y 3 d Z /C A g ◦f Barbara König Mathematische Strukturen 49 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 50 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Funktionen Relationen Wir betrachten nun spezielle Relationen, die nur auf einer Menge A definiert sind. Beispiel: Funktionsverknüpfung Äquivalenzrelation g ◦f 1 X 2 Y 3 Z Eine Relation R ⊆ A × A heißt Äquivalenzrelation, falls folgendes gilt: Reflexivität: für alle a ∈ A gilt (a, a) ∈ R. Transitivität: falls für beliebige a, b, c ∈ A, (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R gilt, so muss auch (a, c) ∈ R gelten. Symmetrie: falls für beliebige a, b ∈ A, (a, b) ∈ R gilt, so muss auch (b, a) ∈ R gelten. Barbara König Mathematische Strukturen 50 Barbara König Mathematische Strukturen 51 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Relationen Relationen Bemerkung: Durch eine Äquivalenzrelation R ⊆ A × A zerfällt die Menge A in sogenannte Äquivalenzklassen. Beispiel für eine Äquivalenzrelation: Graphische Darstellung von Äquivalenzklassen für das vorherige Beispiel: R = {(x, y ) ∈ N0 × N0 | x, y haben denselben Divisionsrest bei ganzzahliger Division durch 3} Barbara König Mathematische Strukturen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... ... ... 52 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 53 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Relationen Relationen (Partielle) Ordnung Äquivalenzklassen Eine Relation R ⊆ A × A heißt (partielle) Ordnung, falls folgendes gilt: Sei R ⊆ A × A eine Äquivalenzrelation und a ∈ A. Die Äquivalenzklasse von a ist Reflexivität: für alle a ∈ A gilt (a, a) ∈ R. Transitivität: falls für beliebige a, b, c ∈ A, (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R gilt, so muss auch (a, c) ∈ R gelten. [a]R = {a0 ∈ A | a R a0 } Antisymmetrie: falls für beliebige a, b ∈ A, (a, b) ∈ R und (b, a) ∈ R gilt, so muss a = b gelten, d.h., a und b müssen dann gleich sein. Für zwei Element a, b ∈ A gilt entweder [a]R = [b]R oder [a]R ∩ [b]R = ∅. Barbara König Mathematische Strukturen 54 Barbara König Mathematische Strukturen 55 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Relationen Relationen Bei der Definition einer Ordnung hat sich gegenüber der Definition einer Äquivalenzrelation nur die letzte Eigenschaft geändert (Antisymmetrie versus Symmetrie). Beispiel für eine Ordnung: Wir betrachten die Potenzmenge P(M) einer festen Menge M und die Mengeninklusion ⊆. Achtung: Antisymmetrie ist nicht das Gegenteil von Symmetrie! Jede Gleichheitsrelation erfüllt beide Eigenschaften. Barbara König 56 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 57 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Relationen Zahlen Ordnungen werden graphisch als sogenannte Hasse-Diagramme dargestellt: Beispiel: P({x, y , z}) und Inklusion ⊆ Falls a R b (und a 6= b) gilt, dann: Wir betrachten folgende spezielle Mengen von Zahlen: Natürliche Zahlen mit 0 N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } {x, y , z} liegt a unterhalb von b und wenn keine Elemente “zwischen” a und b liegen (bezüglich R), dann werden beide mit einer Linie verbunden. {x, y } {x, z} {y , z} {x} {y } {z} Ganze Zahlen Z = {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } ∅ Barbara König Mathematische Strukturen 58 Barbara König Mathematische Strukturen 59 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Zahlen Division mit Rest Seien a, b ∈ Z zwei ganze Zahlen mit a 6= 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen z, r ∈ Z mit 0 ≤ r < |a| und Rationale Zahlen Q: die Menge aller Brüche (= Menge aller Kommazahlen mit endlicher oder periodischer Dezimaldarstellung) 2 −4 1 2 27 7 0, 75 32, 333417 1 3 = 0, 3333 . . . = 0, 3 z ·a+r =b Reelle Zahlen R: die Menge aller reellen Zahlen (= Menge aller Kommazahlen mit beliebiger – auch unendlicher, nicht-periodischer – Dezimaldarstellung) √ 2 −4 12 2 = 1.41421 . . . π = 3, 14159 . . . e = 2, 718281 . . . Barbara König Mathematische Strukturen z heißt Ergebnis der ganzzahligen Division von b durch a und man schreibt z = b div a. r heißt Rest der ganzzahligen Division von b durch a und man schreibt r = b mod a. Dabei ist |a| der Absolutwert von a, beispielsweise ist | − 7| = 7. Im folgenden wird a aber immer eine positive ganze Zahl sein. 60 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 61 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Zahlen Konkret (z.B. bei Verwendung eines Taschenrechners) lassen sich (b div a) und (b mod a) folgendermaßen berechnen (für den Fall, dass a > 0): b b b mod a = b − a · b div a = a a Ein Spezialfall der Division mit Rest ist die Teilbarkeit: Teilbarkeit Seien a, b ∈ Z zwei ganze Zahlen. Man sagt, a teilt b, wenn es ein z ∈ Z gibt mit a · z = b. Wir schreiben auch a | b und nennen a Teiler von b. Dabei steht bqc mit q ∈ R für die Abrundung von q nach unten. D.h., bqc ist die größte ganze Zahl, die kleiner gleich q ist. Bemerkung: Hier wird auch a = 0 erlaubt. Die Relation | (Teilbarkeit) ist eine partielle Ordnung, wenn man sie auf die natürlichen Zahlen einschränkt. Beispiele: b3c = 3, b5, 17c = 5, bπc = 3, b−1c = −1, b−0, 7c = −1 Barbara König Mathematische Strukturen 62 Barbara König Mathematische Strukturen 63 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Zahlen Primzahl Eine Zahl p ∈ N0 heißt Primzahl, wenn folgendes gilt: Gelten folgende Beziehungen? 2 | 18 −7 | 14 3 | 10 0|0 0|7 7|0 (Ja, z = 9) (Ja, z = −2) (Nein) (Ja, z beliebig) (Nein) (Ja, z = 0) p 6= 0 und p 6= 1 die einzigen Teiler von p in den natürlichen Zahlen sind 1 und p selbst. Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, . . . Es gibt unendlich viele Primzahlen. Barbara König Mathematische Strukturen 64 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 65 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Zahlen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung Sei n ∈ N0 mit n 6= 0 eine natürliche Zahl. Ein Produkt p1 · · · · · pm = n von Primzahlen heißt Primfaktorzerlegung von n. Größter gemeinsamer Teiler Seien a, b ∈ N0 . Eine Zahl d ∈ N0 heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b (d = ggT (a, b)), falls folgendes gilt: Jede Zahl n 6= 0 besitzt eine solche Primfaktorzerlegung. Wenn man zudem verlangt, dass die Primfaktoren in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind (pi ≤ pj für i < j), so ist die Primfaktorzerlegung einer Zahl eindeutig. d | a und d | b, d.h., d teilt sowohl a als auch b. für jede andere natürliche Zahl d 0 , die a und b teilt, gilt: d 0 ≤ d. Bemerkungen: Die Primfaktorzerlegung von 1 ist das leere Produkt. Wenn wir auch die 1 als Primzahl einführen würden, so würden wir die die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung verlieren. (7 = 1 · 7 = 1 · 1 · 7 = . . . ). Barbara König Mathematische Strukturen 66 Barbara König Mathematische Strukturen 67 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Zahlen Wie bestimmt man den größten gemeinsamen Teiler? Bestimmung von d = ggT (a, b) – Methode 1 Kleinstes gemeinsames Vielfaches Seien a, b ∈ N0 . Eine Zahl m ∈ N0 mit m 6= 0 heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b (m = kgV (a, b)), falls folgendes gilt: Bestimme die Primfaktorzerlegungen von a und b Betrachte alle Primfaktoren p, die in beiden Zerlegungen vorkommen: angenommen p kommt in a k-mal und in b `-mal vor. Dann kommt p in d genau min(k, `)-mal vor. a | m und b | m, d.h., sowohl a als auch b teilen m. für jede andere natürliche Zahl m0 , die von a und b geteilt wird, gilt: m ≤ m0 . Beispiel: ggT (12, 30) 12 = 2 · 2 · 3, 30 = 2 · 3 · 5 ggT (12, 30) = 2 · 3 = 6. Barbara König Mathematische Strukturen 68 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 69 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Zahlen Bestimmung von d = ggT (a, b) – Methode 2 (Euklidischer Algorithmus) ggT (0, a) = a Bemerkung: ggT (a, b) = ggT (b, a) Die Methode 2 ist bei weitem effizienter, insbesondere, wenn man die dritte Regel durch ggT (a, b) = ggT (a − b, b), falls b ≤ a Wende diese Regeln zur ggT -Berechnung so lange an, bis ein Ausdruck der Form ggT (0, a) erreicht wird. ggT (a, b) = ggT (a mod b, b) falls b ≤ a ersetzt. ggT (12, 30) = ggT (30, 12) = ggT (18, 12) = ggT (6, 12) = ggT (12, 6) = ggT (6, 6) = ggT (0, 6) = 6 Barbara König Mathematische Strukturen 70 Barbara König Mathematische Strukturen 71 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Zahlen Für Gleichungen der Form a · x + b · y = ggT (a, b) kann man x, y dadurch bestimmen, dass man die ggT -Berechnung “rückwärts” nachvollzieht. Der ggT und die ggT -Berechnung sind ein wichtiges Werkzeug für das Lösen bestimmter Gleichungen. Beispiel: Lösen von 30 · x + 12 · y = 6. Lösen diophantischer Gleichungen Gegeben seien a, b, c ∈ N0 . Wir suchen Lösungen x, y ∈ Z der Gleichung a·x +b·y =c ggT (12, 30) = ggT (12, 18) = ggT (6, 12) = ggT (6, 6) = ggT (6, 0) = ggT (0, 6) = 6 Dabei wurden die Zahlen folgendermaßen ermittelt: 18 = 30 − 12, 6 = 18 − 12. Es gilt: Diese Gleichung hat genau dann eine Lösung, wenn ggT (a, b) | c. Damit kann man einsetzen: 6 = 18 − 12 = (30 − 12) − 12 = 30 · 1 + 12 · (−2) Und damit hat man eine Lösung x = 1, y = −2. Barbara König Mathematische Strukturen 72 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 73 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Zahlen Teilerfremdheit Zwei Zahlen a, b ∈ N0 heißen teilerfremd, falls ggT (a, b) = 1. Gleichungen der Form a · x + b · y = c mit c 6= ggT (a, b) (aber ggT (a, b) | c) kann man folgendermaßen lösen: Zunächst die Gleichung a · x 0 + b · y 0 = ggT (a, b) lösen. Eulersche ϕ-Funktion Die Eulersche ϕ-Funktion ϕ : N0 → N0 ist folgendermaßen definiert: Dann die Lösungen x 0 , y 0 mit c/ggT (a, b) multiplizieren, das ergibt die Lösungen x, y . Beispiel: Lösen von 30 · x + 12 · y = 24 Lösen von 30 · x 0 + 12 · y 0 = 6 ergibt x 0 = 1, y 0 = −2. mit 24/6 = 4 multiplizieren ergibt x = 4, y = −8. Barbara König Mathematische Strukturen ϕ(n) mit n ∈ N0 ist die Anzahl der Zahlen zwischen 1 und n, die zu n teilerfremd sind. ϕ(n) = |{m ∈ N0 | 1 ≤ m ≤ n und ggT (m, n) = 1}| 74 Barbara König Mathematische Strukturen 75 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zahlen Monoide, Gruppen, Körper Beispiele (Eulersche ϕ-Funktion): n 0 1 2 3 4 5 6 ϕ(n) 0 1 1 2 2 4 2 n 7 8 9 10 11 12 13 Wir betrachten nun grundlegende “Rechenstrukturen”. Das sind Strukturen, mit denen man rechnen kann wie mit (natürlichen/rationalen/reellen) Zahlen, die aber möglicherweise andere Elemente enthalten. ϕ(n) 6 4 6 4 10 4 12 Dabei beantworten u.a. wir folgende Fragen: Welche (gemeinsamen) Eigenschaften haben Addition und Multiplikation? Wie unterscheiden sich N0 und Z? Für eine Primzahl p gilt ϕ(p) = p − 1. Kann man auch mit endlichen Mengen von Objekten rechnen? Außerdem gilt: Was sind mögliche Anwendungen in der Kryptographie? ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n), falls m, n teilerfremd sind. ϕ(p k ) = p k − p k−1 , falls p eine Primzahl ist. Barbara König Mathematische Strukturen 76 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 77 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper Monoid Gegen sei eine Menge M und eine zweistellige Abbildung ◦ : M × M → M. Wir benutzen meist die Infix-Schreibweise: ◦((m1 , m2 )) = m1 ◦ m2 und bezeichnen ◦ als zweistelligen Operator. (Gegen-)Beispiele für Monoide (N0 , +), (Z, +), (Q, +), (R, +) sind Monoide (neutrales Element: 0) (N0 , ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) sind Monoide (neutrales Element: 1) (M, ◦) heißt Monoid, falls folgendes gilt: ◦ ist assoziativ, d.h., es gilt m1 ◦ (m2 ◦ m3 ) = (m1 ◦ m2 ) ◦ m3 für alle m1 , m2 , m3 ∈ M. (Z, −) ist kein Monoid (fehlende Assoziativität) Es gibt ein neutrales Element e ∈ M, für das gilt: e ◦ m = m ◦ e = m für alle m ∈ M. Barbara König Mathematische Strukturen 78 Barbara König Mathematische Strukturen 79 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper Bemerkungen: Modulo-Rechnen Wir definieren Zn = {0, 1, . . . , n − 1} mit folgender Addition +n und Multiplikation ·n . Seien k, ` ∈ Zn , dann gilt: Bei Modulo-Rechnungen kann man Addition/Multiplikation und Modulo-Rechnung beliebig tauschen. Es gilt nämlich: Modulo-Gesetze (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n k ·n ` = (k · `) mod n k +n ` = (k + `) mod n (a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n ak mod n = (a mod n)k mod n (Zn , +n ) und (Zn , ·n ) sind Monoide (mit neutralen Elementen 0 bzw. 1) Statt (x mod n) = (a mod n) schreibt man oft auch: Sie spielen eine große Rolle u.a. in der Kryptographie und Kodierungstheorie. Barbara König x ≡a 80 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung (mod n). Barbara König Mathematische Strukturen 81 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper In vielen Fällen (z.B. zum Lösen von Gleichungssystemen) benötigt man beim Rechnen etwas mehr Struktur: man braucht sogenannte Inverse. Additions-/Multiplikationstabellen für Z5 : Gruppe +n 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 ·n 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 Ein Monoid (G , ◦) mit neutralem Element e heißt Gruppe, wenn zusätzlich zu den Monoid-Eigenschaften noch folgendes gilt: 4 0 4 3 2 1 für jedes g ∈ G gibt es ein g −1 ∈ G mit g ◦ g −1 = e. Dabei heißt g −1 das Inverse von g . (G , ◦) heißt kommutative Gruppe (oder abelsche Gruppe), falls außerdem g1 ◦ g2 = g2 ◦ g1 für alle g1 , g2 ∈ G gilt. Bemerkung: In jeder Gruppe gilt nicht nur g ◦ g −1 = e, sondern auch g −1 ◦ g = e für alle g ∈ G . Barbara König Mathematische Strukturen 82 Barbara König Mathematische Strukturen 83 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper (Gegen-)Beispiele für Gruppen (Z, +), (Q, +), (R, +) sind Gruppen (Inverses zu x ist −x) (Gegen-)Beispiele für Gruppen (Fortsetzung) (Zn , +n ) ist eine Gruppe (N0 , +) ist keine Gruppe (fehlende Inverse) (Zn , ·n ) ist keine Gruppe (0 hat kein Inverses) (Q\{0}, ·), (R\{0}, ·) sind Gruppen (Inverses zu x ist x1 ) (Zn \{0}, ·n ) ist nur dann eine Gruppe, wenn n eine Primzahl ist. (Ein Element m ∈ Zn hat nur dann ein Inverses, wenn m, n teilerfremd.) (Q, ·), (R, ·) sind keine Gruppen (0 hat kein Inverses) (Z, ·), (Z\{0}, ·) sind keine Gruppen (fehlende Inverse) Barbara König Mathematische Strukturen 84 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 85 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper Am Beispiel n = 4: Es gilt n = 4 = 2 · 2, d.h., 4 ist keine Primzahl. Inversenbildung in (Zn , +n ) m = 2 hat kein Inverses in Z4 , denn ggT (2, 4) = 2 6= 1. Das Inverse zu m ∈ Zn bezüglich der Addition +n ist −n m = (−m) mod n = (n − m) mod n. Es gilt: Insbesondere hat die Gleichung 2 ·4 x = (2 · x) mod 4 = 1 keine Lösung: 2 · x ist eine gerade Zahl und (2 · x) mod 4 ist ebenfalls eine gerade Zahl. D.h., man kann niemals das Ergebnis 1 erhalten. m +n (−n m) = (m + (−m)) mod n = 0 mod n = 0 Die Zahlen 1 und 3 sind allerdings teilerfremd zu n und besitzen Inverse in Z4 . Barbara König Mathematische Strukturen 86 Barbara König Mathematische Strukturen 87 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper Inversenbildung in (Zn , ·n ) (Methode 1) Für die Bildung von multiplikativen Inversen in Zn benötigen wir folgenden Satz: Mit dem Satz von Euler-Fermat: m−1 = mϕ(n)−1 mod n Satz von Euler-Fermat Für teilerfremde Zahlen m, n ∈ N0 mit n > 1 gilt: Denn es gilt m ·n m−1 = (m · mϕ(n)−1 ) mod n = mϕ(n) mod n = 1 mϕ(n) mod n = 1 Bemerkung: Inversenbildung funktioniert nur dann, wenn m, n teilerfremd sind. (Ansonsten hat m auch kein Inverses.) Das gilt auf jeden Fall, falls m 6= 0 und n eine Primzahl ist. Eulersche ϕ-Funktion Barbara König Mathematische Strukturen 88 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 89 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper Inversenbildung in (Zn , ·n ) (Methode 2) Das Inverse zu m ∈ Zn bezüglich der Multiplikation ·n kann auch folgendermaßen bestimmt werden: Beispiel: Wir berechnen das multiplikative Inverses von 3 in Z5 . 3−1 = 3ϕ(5)−1 mod 5 = 33 Diophantische Gleichung m · x + n · y = 1 lösen. mod 5 = 27 mod 5 = 2 Bestimme Inverses m−1 = x mod n. Test: 3 ·5 2 = (3 · 2) mod 5 = 6 mod 5 = 1. Denn es gilt: m ·n m−1 = m ·n (x mod n) = (m · x) mod n = (1 − n · y ) mod n = 1 Diese Methode funktioniert auch dann, wenn der Wert ϕ(n) nicht einfach berechnet werden kann (z.B. wenn n sehr groß ist). Barbara König Mathematische Strukturen 90 Barbara König Mathematische Strukturen 91 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper Beispiel: Wir berechnen wieder das multiplikative Inverses von 3 in Z5 . Tabelle der Inversen in (Z5 \{0}, ·5 ): Löse 3 · x + 5 · y = 1: ggT (3, 5) = ggT (5, 3) = ggT (2, 3) = ggT (3, 2) = ggT (1, 2) m m−1 = ggT (2, 1) = ggT (1, 1) = ggT (0, 1) = 1 1 1 2 3 3 2 4 4 Rückwärts einsetzen: 1 = 3 − 2 = 3 − (5 − 3) = 3 · 2 + 5 · (−1) Wir erhalten die Lösungen x = 2, y = −1 Bestimme m−1 = x mod n = 2 mod 5 = 2. Barbara König Mathematische Strukturen 92 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Mathematische Strukturen 93 Monoide, Gruppen, Körper Nun betrachten wir noch eine Rechenstruktur, die zwei (miteinander kompatible) Operationen (normalerweise + und ·) vereint. Körperaxiome (Zusammenfassung, Teil 1) Für einen Körper (K , +, ·) muss gelten: Körper + : K × K → K und · : K × K → K sind zweistellige Operationen auf K . Sei (K , +, ·) ein Tupel, das aus einer Menge K und zwei zweistelligen Operationen + und · auf K besteht. + und · sind assoziativ, d.h., es gilt für alle x, y , z ∈ K : (K , +, ·) heißt Körper, falls folgendes gilt: (x + y ) + z = x + (y + z) (K , +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. (K \{0}, ·) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 1. Mathematische Strukturen und (x · y ) · z = x · (y · z) + hat ein neutrales Element, welches mit 0 bezeichnet wird und · hat ein neutrales Element, welches mit 1 bezeichnet wird. Das Distributivgesetz gilt: das heißt, für alle a, b, c ∈ K gilt: a · (b + c) = a · b + a · c. Barbara König Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung 94 Barbara König Mathematische Strukturen 95 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Monoide, Gruppen, Körper Monoide, Gruppen, Körper Körperaxiome (Zusammenfassung, Teil 2) Jedes Element hat ein additives Inverses und jedes Element, außer 0, hat ein multiplikatives Inverses. (Gegen-)Beispiele für Körper (Q, +, ·), (R, +, ·) sind Körper + und · sind kommutativ, d.h., es gilt für alle x, y ∈ K : x +y =y +x und (Zn , +n , ·n ) ist ein Körper, falls n eine Primzahl ist x ·y =y ·x Es gilt das Distributivgesetz, d.h., für alle x, y , z ∈ K gilt x · (y + z) = x · y + x · z und Weitere Beispiele für Körper (auf die wir nicht mehr weiter eingehen): komplexe Zahlen, endliche Körper (mit 4, 8, 9, . . . Elementen), . . . (x + y ) · z = x · z + y · z (Das zweite Distributivgesetz folgt aus dem ersten aufgrund der Kommutativität von ·.) Barbara König Mathematische Strukturen 96 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Anwendungsbeispiel: RSA Versenden einer verschlüsselten Nachricht M 97 1. Schritt: Schlüsselerzeugung Bob generiert zwei große Primzahlen p, q mit p 6= q und setzt n = p · q. Bob bestimmt ϕ(n) (in diesem Fall gilt ϕ(n) = (p − 1) · (q − 1)). Empfänger Bob Bob bestimmt d, e mit (d · e) mod ϕ(n) = 1 (d.h., d, e sind in Zϕ(n) zueinander multiplikativ invers) (e, n) ist der öffentliche Schlüssel, den Bob bekanntgibt. (d, n) ist der private Schlüssel, den Bob geheimhält. Alice will eine Nachricht M an Bob verschicken. Alice verwendet den öffentlichen Schlüssel von Bob zum Verschlüsseln. Bob verwendet seinen privaten Schlüssel zum Entschlüsseln. Barbara König Mathematische Strukturen Anwendungsbeispiel: RSA Wir betrachten eine Anwendung im Bereich der asymmetrischen Verschlüsselung (public-key cryptography). Das sogenannte RSA-Verfahren (benannt nach Rivest, Shamir, Adleman) ist die Grundlage von wichtigen Kommunikationsprotokollen im Internet. Außerdem bildet es die Basis von elektronischen Signaturen. Sender Alice Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mathematische Strukturen 98 Barbara König Mathematische Strukturen 99 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Anwendungsbeispiel: RSA Anwendungsbeispiel: RSA Rechenbeispiel RSA p = 5, q = 11, n = 5 · 11 = 55 2. Schritt: Verschlüsselung Alice will eine Nachricht M an Bob verschlüsseln. Sie kodiert diese Nachricht als eine Zahl m ∈ Zn (z.B. durch Binärkodierung). ϕ(n) = (p − 1) · (q − 1) = 4 · 10 = 40 Wähle e = 3 und berechne das Inverse (Methode 2): Alice rechnet c = me mod n und schickt c an Bob. Löse 3 · x + 40 · y = 1, ergibt Lösungen x = −13, y = 1 Setze d = x mod 40 = (−13) mod 40 = 27 Hier wird also in Zn gerechnet. Nachricht m = 9 soll übertragen werden. Alice berechnet die Kodierung c = 93 mod 55 = 729 mod 55 = 14. Code c = 14 kommt an. Bob rechnet 3. Schritt: Entschlüsselung Bob empfängt c. 1427 mod 55 = (143 mod 55)9 mod 55 Er rechnet m = c d mod n und erhält damit wieder die ursprüngliche Nachricht. = (2744 mod 55)9 mod 55 = 499 mod 55 = (493 mod 55)3 mod 55 = (117649 mod 55)3 mod 55 Wie bei der Verschlüsselung wird hier wieder in Zn gerechnet. Barbara König Mathematische Strukturen = 43 mod 55 = 64 mod 55 = 9 = m 100 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 101 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Anwendungsbeispiel: RSA Anwendungsbeispiel: RSA Warum funktioniert RSA? Korrektheit: Warum erhält Bob wieder die ursprüngliche Nachricht? Das kann mit dem Satz von Euler-Fermat nachgewiesen werden. Warum funktioniert RSA? (Fortsetzung) Es gilt (e · d mod ϕ(n)) = 1 und damit gibt es eine Zahl z mit e · d = z · ϕ(n) + 1. Also entsteht beim Verschlüsseln und anschließenden Entschlüsseln: Sicherheit: Warum ist es für andere Teilnehmer (außer Bob) schwierig, die Nachricht zu entschlüsseln? Das liegt daran, dass man d nur dann leicht aus e berechnen kann, wenn man ϕ(n) kennt. Um ϕ(n) zu berechnen, müsste man die Primfaktorzerlegung von großen Zahlen n (ca. 1024–2048 Bits) bestimmen, was sehr schwer ist. (me mod n)d mod n = me·d mod n = mz·ϕ(n)+1 mod n = (m · (mϕ(n) )z ) mod n = m · 1z mod n = m mod n = m Diese Argumentation funktioniert nicht, falls m, n nicht teilerfremd sind. In diesem Fall kann man aber anders nachweisen, dass man trotzdem das richtige Ergebnis erhält. Barbara König Mathematische Strukturen 102 Barbara König Mathematische Strukturen 103 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Vektor Sei n ∈ N0 eine natürliche Zahl und (K , +, ·) ein Körper. Ein Vektor ~u der Dimension n über K besteht aus n Elementen u1 , . . . , un ∈ K des Körpers. Wir betrachten nun Vektoren, die Tupel von Elementen eines Körpers sind. Mengen von Vektoren bilden einen sogenannten Vektorraum. Ein Vektor wird im allgemeinen folgendermaßen dargestellt und heißt daher auch Spaltenvektor. u1 .. ~u = . Vektoren sind wichtig für die Darstellung geometrischer Objekte. Matrizen werden dazu verwendet, um (lineare) Funktionen in Vektorräumen zu beschreiben. Sie spielen auch eine wichtige Rolle beim Lösen von Gleichungssystemen. un Barbara König Mathematische Strukturen 104 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 105 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Klassisches Beispiel: Sei n = 2 und K = R, d.h., wir betrachten den Vektorraum R2 . Dann handelt es sich bei den Vektoren um Punkte im zweidimensionalen Raum. Diese werden auch durch Pfeile – ausgehend vom Ursprung des Koordinatensystems – dargestellt. Vektorraum Die Menge aller Vektoren der Dimension n über K heißt n-dimensionaler Vektorraum über K und wird mit K n bezeichnet. y Hinweis: es gibt noch allgemeinere Definitionen eines Vektorraums (ähnlich zu den Definitionen von Monoid, Gruppe, Körper), die wir hier aber nicht betrachten. −2 2 3 1, 5 2, 5 2 1 Die Operationen auf einem Vektorraum sind Addition von Vektoren und Skalarmultiplikation, die im folgenden betrachtet werden. x −2 −1 0 1 2 Die erste Koordinate bezeichnet man dabei – wie üblich – als x-Koordinate, die zweite als y -Koordinate. Barbara König Mathematische Strukturen 106 Barbara König Mathematische Strukturen 107 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen In Vektorräumen sind verschiedene Operationen definiert: Vektorraum als Gruppe Ein Vektorraum mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. Das neutrale Element ist der Nullvektor ~0 und das additive Inverse zu ~u wird mit −~u bezeichnet: 0 u1 −u1 . ~0 = Falls ~u = ... , dann ist − ~u = ... . .. Addition von Vektoren Die Addition auf Vektoren ist eine zweistelligen Operation + : K n × K n → K n , die folgendermaßen definiert ist: u1 v1 u1 + v1 .. .. .. . + . = . un vn un + vn 0 Dabei werden die einzelnen Körperelemente mit Hilfe der +-Operation des Körpers verknüpft. Barbara König Mathematische Strukturen Dabei sind −u1 , . . . , −un die additiven Inversen im Körper. 108 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mathematische Strukturen 109 Vektorräume und Matrizen Multiplikation mit einem Skalar Eigenschaften der Multiplikation mit einem Skalar Kn Ein Vektor ~u ∈ kann mit einem einzelnen Körperelement k ∈ K multipliziert werden. Das Element k nennt man dann auch Skalar. u1 k · u1 k · ... = ... Seien ~u , ~v ∈ K n Vektoren und k, ` ∈ K Skalare. Dann gilt: k · (` · ~u ) = (k · `) · ~u k · (~u + ~v ) = k · ~u + k · ~v (k + `) · ~u = k · ~u + ` · ~u k · un 1 · ~u = ~u Dabei entstehen k · u1 , . . . , k · un durch die Multiplikationsoperation im Körper. Barbara König Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen un −un un Mathematische Strukturen Dabei ist 1 das neutrale Element der Multiplikation im Körper. 110 Barbara König Mathematische Strukturen 111 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Wir betrachten nun bestimmte Abbildungen auf Vektorräumen: sogenannte lineare Abbildungen. Wir betrachten nun Matrizen, mit denen solche linearen Abbildungen beschrieben werden können: Lineare Abbildung Seien K n , K m zwei Vektorräume. Eine Funktion ψ : K n → K m heißt lineare Abbildung, falls folgendes gilt: Matrix Seien m, n ∈ N0 und K ein Körper. Eine m×n-Matrix A über K besteht aus m · n Einträgen ψ(~u + ~v ) = ψ(~u ) + ψ(~v ) ψ(k · ~u ) = k · ψ(~u ) für alle ~u , ~v ∈ K n Ai,j ∈ K für alle ~u ∈ K n , k ∈ K Sie wird folgendermaßen dargestellt: A1,1 . . . .. .. A= . . Die Multiplikation mit einem Skalar ist eine lineare Abbildung. Auch viele der interessanten Abbildungen in der Geometrie sind linear (z.B. Drehungen, Spiegelungen). Barbara König Mathematische Strukturen für i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n} A1,n .. . Am,1 . . . Am,n 112 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 113 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Matrizen können mit Vektoren mulipliziert werden. Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Bei einem Eintrag Ai,j bezeichnet der erste Index i die Zeile, der zweite Index j die Spalte. Sei A eine m×n-Matrix und ~u ∈ K n ein Vektor der Dimension n. Dann ist A · ~u folgender Vektor aus K m : A1,1 . . . A1,n u1 A1,1 · u1 + · · · + A1,n · un .. · .. = .. ... A·~u = ... . . . Am,1 · u1 + · · · + Am,n · un Am,1 . . . Am,n un Eine Matrix, für die m = n gilt, heißt quadratisch. Das heißt, in der i-ten Zeile des Spaltenvektors steht der Eintrag Bemerkungen: Eine m×n-Matrix besteht also aus m Zeilen der Länge n, oder – anders ausgedrückt – aus n Spalten der Länge m. Dabei heißt m Zeilendimension und n Spaltendimension der Matrix. n X j=1 Barbara König Mathematische Strukturen 114 Barbara König Ai,j · uj Mathematische Strukturen 115 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Bemerkung: Wir verwenden das Summenzeichen Σ als abkürzende Schreibweise: n X j=1 Beispiel: Multiplikation von Matrix und Vektor in R aj = a1 + a2 + · · · + an Multiplikation einer 2 × 3-Matrix mit einem Vektor der Dimension 3: Rechenregeln für Summen n X (aj + bj ) = j=1 n X aj + j=1 n X j=1 (k · aj ) = k · Barbara König n X bj j=1 n X 1 3 4 −1 3+2+2 7 · 0, 5 = = −2 2 −3 −2 + 1 + 6 5 −2 aj j=1 Mathematische Strukturen 116 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Vektorräume und Matrizen 117 Vektorräume und Matrizen Matrix als lineare Abbildung Eine m × n-Matrix A über K beschreibt eine lineare Abbildung ψA : K n → K m wie folgt: Merkregel: Die Multiplikation einer m×n-Matrix mit einem Vektor der Dimension n ergibt einen Vektor der Dimension m. ψA (~u ) = A · ~u Multipliziere die Zeilen der Matrix nacheinander mit der Spalte des Vektors (und addiere jeweils die Multiplikationsergebnisse auf). Durch Nachrechnen stellt man fest, dass tatsächlich die Eigenschaften einer linearen Abbildung erfüllt sind. Insbesondere gilt für eine Matrix A, Vektoren ~u , ~v und einen Skalar k: A · (~u + ~v ) = A · ~u + A · ~v Barbara König Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mathematische Strukturen 118 Barbara König A · (k · ~u ) = k · (A · ~u ) Mathematische Strukturen 119 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Graphische Darstellung: Beispiel: wir betrachten folgende 2 × 2-Matrix als lineare Abbildung: −1 2 A= 2 1 y 5 4 Es gilt: 0 −1 2 0 −2 0 −2 A· = · = , d.h. ψA ( )= −1 2 1 −1 −1 −1 −1 −1 2 1 −1 1 −1 1 A· = · = , d.h. ψA ( )= 0 2 1 0 2 0 2 2 −1 2 2 0 2 0 A· = · = , d.h. ψA ( )= 1 2 1 1 5 1 5 Barbara König 3 2 1 −3 −2 −1 −1 2 3 4 5 6 x −2 Rote Punkte/Vektoren werden auf grüne Punkte/Vektoren abgebildet. Darstellung der Abbildungsvorschrift durch gestrichelte Pfeile. 120 Mathematische Strukturen 1 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 121 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Graphische Darstellung: Zwei Matrizen gleicher Zeilen- und Spaltendimension können addiert werden: y Addition von Matrizen Seien A, B m × n-Matrizen. Dann hat C = A + B folgendes Aussehen: A1,1 . . . A1,n B1,1 . . . B1,n C1,1 . . . C1,n .. .. + .. .. = .. .. .. .. .. . . . . . . . . . 5 4 3 2 1 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 6 x Am,1 . . . Am,n Lineare Abbildungen bilden Geraden auf Geraden ab. Linien werden also erhalten. Daher stammt der Name! Mathematische Strukturen Cm,1 . . . Cm,n mit Ci,j = Ai,j + Bi,j . Die Addition erfolgt komponentenweise. −2 Barbara König Bm,1 . . . Bm,n 121 Barbara König Mathematische Strukturen 122 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Matrizen können auch miteinander multipliziert werden. Multiplikation von Matrizen Sei A eine m × n-Matrix und B eine n × r -Matrix. Dann ist C = A · B eine m × r -Matrix und hat folgendes Aussehen: A1,1 . . . A1,n B1,1 . . . B1,r C1,1 . . . C1,r .. .. · .. .. = .. .. .. .. .. . . . . . . . . . Matrizen als additive Gruppe Die Menge aller m × n-Matrizen über einem Körper K bildet eine kommutative Gruppe bezüglich der Addition. Dabei ist die Nullmatrix N das neutrale Element und das additive Inverse zu A ist −A: 0 ... 0 −A1,1 . . . −A1,n .. .. N = ... . . . ... − A = ... . . Am,1 . . . Am,n mit −Am,1 . . . −Am,n 0 ... 0 Bn,1 . . . Bn,r Ci,j = n X `=1 Barbara König Mathematische Strukturen 123 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Cm,1 . . . Cm,r Ai,` · B`,j Mathematische Strukturen 124 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Alternative Beschreibung: teile B in r (Spalten-)Vektoren auf ~ ~ B = b1 . . . br Merkregel: Multipliziere die Zeilen der ersten Matrix (A) mit den Spalten der zweiten Matrix (B). Multipliziere diese Spaltenvektoren dann einzeln. Die entstehenden Spaltenvektoren werden dabei von links nach rechts nebeneinandergeschrieben. ~ ~ ~ ~ A · B = A · b1 . . . br = A · b1 . . . A · br Um in der Ergebnismatrix C den Eintrag Ci,j zu erhalten, multipliziere die i-te Zeile der ersten Matrix (A) mit der j-ten Spalte der zweiten Matrix (B) und addiere jeweils die Multiplikationsergebnisse auf. Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist daher ein Spezialfall der Matrizenmultiplikation. Barbara König Mathematische Strukturen 125 Barbara König Mathematische Strukturen 126 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Merkregel Falk-Schema: Folgende “Eselsbrücke” hilft bei der Matrizenmultiplikation A · B = C Beispiel: Matrixmultiplikation in R Die zweite Matrix B wird nach oben verschoben. Multiplikation einer 2 × 3-Matrix mit einer 3 × 2-Matrix: In dem Feld rechts von der ersten Matrix A und unterhalb der zweiten Matrix B entsteht dann die neue Matrix C . 1 0 3 4 −1 · 0, 5 −3 −2 2 −3 −2 −1 3 + 2 + 2 0 − 12 + 1 7 −11 = = −2 + 1 + 6 0 − 6 + 3 5 −3 Barbara König Mathematische Strukturen Ein Eintrag von C entsteht dadurch, dass die entsprechende Zeile von A und Spalte von B miteinander multipliziert werden. 127 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung 4 2 0 7 −3 = 5 −1 −11 −3 Barbara König 3 -2 4 2 -1 -3 0 -3 -1 -11 -3 Mathematische Strukturen 128 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Eigenschaften quadratischer Matrizen (I) Assoziativität der Matrizenmultiplikation Matrixmultiplikation ist assoziativ. D.h., falls A eine m × n-Matrix, B eine n × r -Matrix und C eine r × s-Matrix ist, dann gilt: Die Menge aller quadratischen n × n-Matrizen bildet ein Monoid mit der Multiplikationsoperation. Insbesondere gibt es ein neutrales Element der Multiplikation, die sogenannte Einheitsmatrix En : 1 ... 0 En = ... . . . ... A · (B · C ) = (A · B) · C Es macht keinen Sinn zu fragen, ob die Menge aller Matrizen beliebiger Dimension ein Monoid oder eine Gruppe bezüglich der Multiplikation ist. Es läßt sich nicht jede Matrix mit jeder Matrix verknüpfen, da die Dimensionen übereinstimmen müssen. 0 ... 1 Diese Matrix hat Einsen in der Diagonale von links oben nach rechts unten und besteht ansonsten nur aus Nullen. Diese Frage macht nur Sinn für quadratische Matrizen fester Dimension. Barbara König 3 −2 1 −1 · 0, 5 −3 −2 1 0,5 -2 7 5 Mathematische Strukturen 129 Barbara König Mathematische Strukturen 130 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Beispiel 1: Multiplikation mit der Einheitsmatrix Eigenschaften quadratischer Matrizen (II) −2 3 E3 · 0, 5 7 1 1 −2 + 0 + 0 = 0 + 0, 5 + 0 0+0+1 Nicht jede quadratische Matrix A hat ein multiplikatives Inverses A−1 . Matrizen, die kein multiplikatives Inverses haben, heißen singulär. Matrizenmultiplikation ist außerdem nicht kommutativ. 1 1 0 0 −2 3 1 −3 = 0 1 0 · 0, 5 7 −3 0 0 0 1 1 1 0 3+0+0 1+0+0 −2 3 1 0 + 7 + 0 0 + (−3) + 0 = 0, 5 7 −3 0+0+1 0+0+0 1 1 0 Für jede n × n-Matrix A gilt sowohl En · A = A, als auch A · En = A. Barbara König Mathematische Strukturen 131 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 132 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Vektorräume und Matrizen Beispiel 2: Nicht-Existenz von Inversen Die Nullmatrix, aber auch viele andere Matrizen haben kein Inverses. Wir betrachten folgende Matrix A: 1 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 Beispiel 3: Nicht-Kommutativität der Matrizenmultiplikation 1 2 0 1 −1 3 1 2 · 0 0 0 3 1 0 2 −2 1 −2 1 6= 0 0 0 = 0 6 2 4 0 Es gibt keine 3 × 3-Matrix B, so dass A · B die Einheitsmatrix ist: 1 0 0 B1,1 B1,2 B1,3 A · B = 0 0 0 · B2,1 B2,3 B2,3 B3,1 B3,2 B3,3 0 0 0 B1,1 B1,2 B1,3 1 0 0 0 0 6= 0 1 0 = E3 = 0 0 0 0 0 0 1 Barbara König Mathematische Strukturen 133 Barbara König 0 1 −1 0 0 = 3 1 0 0 0 2 0 −1 0 1 2 0 0 0 · 3 1 2 2 0 0 3 1 Mathematische Strukturen 134 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Vektorräume und Matrizen Geometrische Abbildungen Die Multiplikation von zwei Matrizen entspricht der Verknüpfung der dazugehörigen linearen Abbildungen. Matrixmultiplikation und Verknüpfung linearer Abbildungen Sei A eine m × n-Matrix über und ψA : K n → K m die dazugehörige lineare Abbildung mit ψA (~u ) = A · ~u . Analog sei B eine n × r -Matrix und ψB : K r → K n die dazugehörige lineare Abbildung. Wir betrachten nun zwei wichtige geometrische Abbildungen: Drehung und Spiegelung und ihre Darstellung durch Matrizen. Dann beschreibt die Matrix C = A · B folgende lineare Abbildung ψC : K r → K m mit Im folgenden rechnen wir immer in den reellen Zahlen (im Körper R). Dazu müssen wir jedoch zunächst ein wenig Trigonometrie wiederholen. ψC (~u ) = (A · B) · ~u = A · (B · ~u ) = A · ψB (~u ) = ψA (ψB (~u )) und damit gilt ψC = ψA·B = ψA ◦ ψB . Das beruht im wesentlichen auf der Assoziativität der Matrixmultiplikation. Barbara König Mathematische Strukturen 135 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König 136 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Geometrische Abbildungen Geometrische Abbildungen Wiederholung Trigonometrie: Sinus und Cosinus sind zwei Funktionen, die Winkel auf Werte zwischen −1 und 1 abbilden. Für rechtwinklige Dreiecke gilt: In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die längste Seite Hypotenuse. Ihre Länge ist c. Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten. Ihre Längen sind a und b. Die beiden spitzen Winkel werden mit α bzw. β bezeichnet. Der Winkel α liegt gegenüber der Kathete mit Länge a, der Winkel β liegt gegenüber der Kathete mit Länge b. Cosinus und rechtwinkliges Dreieck (Merkregel: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse) (Merkregel: Cosinus ist Ankathete durch Hypotenuse) sin β = β c a Sinus und rechtwinkliges Dreieck sin α = ca bzw. c · sin α = a b c bzw. c · sin β = b cos α = cos β = b c a c bzw. bzw. c · cos α = b c · cos β = a Die Funktionen sin und cos werden traditionellerweise ohne Klammern geschrieben. α b Barbara König Mathematische Strukturen 137 Barbara König Mathematische Strukturen 138 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Geometrische Abbildungen Geometrische Abbildungen Einige Werte von Sinus und Cosinus: α sin α 0◦ 0 30◦ 1 2 60◦ √ 1 2 2 √ 1 2 3 90◦ 1 45◦ Barbara König Graphische Darstellung der Sinuskurve und Cosinuskurve: cos α 1 √ 1 2 3 √ 1 2 2 cos α α -90 1 2 0 90 180 270 360 450 540 -1 0 Mathematische Strukturen sin α 1 139 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 140 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Geometrische Abbildungen Geometrische Abbildungen Wir betrachten nun eine Drehung um den Winkel α im R2 . Für die Sinus- und Cosinus-Funktion gibt es zahlreiche Gesetze. Wir benötigen hier nur die folgenden: Ein Punkt, dargestellt durch den Vektor ~u1 , soll um den Winkel α gedreht werden und damit zum Vektor ~u2 werden. Der Abstand beider Punkte zum Ursprung ist gleich und wird mit r bezeichnet. x1 x ~u2 = 2 Für die Vektoren ~u1 , ~u2 gelte: ~u1 = y1 y2 Sinus-/Cosinus-Gesetze sin(−α) = − sin α cos(−α) = cos α y Additionstheoreme: ~u2 y2 sin(α + β) = (sin α) · (cos β) + (cos α) · (sin β) r cos(α + β) = (cos α) · (cos β) − (sin α) · (sin β) ~u1 y1 r α Pythagoras: β (sin α)2 + (cos α)2 = 1 Barbara König Mathematische Strukturen x2 141 Barbara König x1 x Mathematische Strukturen 142 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Geometrische Abbildungen Geometrische Abbildungen Ähnlich kann die Spiegelung beschrieben werden. Es gilt: x1 = r · cos β y1 = r · sin β Angenommen, ~u2 entsteht aus ~u1 durch Spiegelung an einer Gerade, die durch den Ursprung verläuft und mit der x-Achse den Winkel α bildet. und damit x2 = r · cos(α + β) = r · (cos α) · (cos β) − r · (sin α) · (sin β) y = (cos α) · x1 − (sin α) · y1 y2 = r · sin(α + β) = r · (sin α) · (cos β) + r · (cos α) · (sin β) = (sin α) · x1 + (cos α) · y1 r y1 Diese Abbildung kann als Drehmatrix Rα folgendermaßen dargestellt werden: cos α − sin α Rα = sin α cos α Barbara König Mathematische Strukturen ~u2 y2 ~u1 α r β x2 x1 x Damit hat der Vector ~u2 den Winkel α + (α − β) = 2α − β gegenüber der x-Achse. 143 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 144 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Geometrische Abbildungen Geometrische Abbildungen Es gilt wie zuvor: und damit x1 = r · cos β y1 = r · sin β Beispiel 1: geometrische Abbildungen können durch Matrixmultiplikation miteinander verknüpft werden. Wir betrachten eine Spiegelung an einer Geraden mit dem Winkel 30◦ zur x-Achse, gefolgt von einer Drehung um 60◦ . Das ergibt folgende Matrix: x2 = r · cos(2α − β) = r · (cos 2α) · (cos −β) − r · (sin 2α) · (sin −β) = r · (cos 2α) · (cos β) + r · (sin 2α) · (sin β) = (cos 2α) · x1 + (sin 2α) · y1 y2 = r · sin(2α − β) = r · (sin 2α) · (cos −β) + r · (cos 2α) · (sin −β) = r · (sin 2α) · (cos β) − r · (cos 2α) · (sin β) R60◦ · S30◦ = (sin 2α) · x1 − (cos 2α) · y1 Diese Abbildung kann als Spiegelungsmatrix Sα folgendermaßen dargestellt werden: cos 2α sin 2α Sα = sin 2α − cos 2α Barbara König Mathematische Strukturen 145 cos 60◦ − sin 60◦ cos(2 · 30◦ ) sin(2 · 30◦ ) = · sin 60◦ cos 60◦ sin(2 · 30◦ ) − cos(2 · 30◦ ) √ 1 √ 1 1√ 1 1 1 − 3 3 3 − 2 2 2 2 = 1√ · 1√ = 1 √2 2 1 1 1 −2 2 3 2 2 3 2 3 2 Barbara König Mathematische Strukturen 146 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Geometrische Abbildungen Geometrische Abbildungen Beispiel 2: das Prinzip der Inversenbildung bezüglich der Multiplikation kann auch hier beobachtet werden. Wir betrachten eine Drehung um −30◦ , d.h., um 330◦ , gefolgt von einer Drehung um 30◦ . R30◦ · R330◦ Durch Hinzufügen weiterer Zeilen/Spalten zu einer Matrix kann man auch Drehungen und Spiegelungen im dreidimensionalen Raum bzw. in höherdimensionalen Räumen beschreiben. Beispiel 1: Drehung um den Winkel α in der xy -Ebene, d.h., um die z-Achse. cos α − sin α 0 Drehmatrix R = sin α cos α 0 0 0 1 cos 30◦ − sin 30◦ cos 330◦ − sin 330◦ = · sin 30◦ cos 30◦ sin 330◦ cos 330◦ √ √ 1 1 1 3 −√12 3 1 0 2 2 2 √ = · = 1 1 0 1 − 21 12 3 2 2 3 Beispiel 2: Spiegelung am Winkel α in der xy -Ebene, z-Koordinaten bleiben unverändert. cos 2α sin 2α 0 Spiegelungsmatrix S = sin 2α − cos 2α 0 0 0 1 Dabei ergibt sich die Einheitsmatrix. Insbesondere gilt Rα · R−α = E2 und Sα · Sα = E2 für jeden Winkel α. Barbara König Mathematische Strukturen 147 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen 148 Erzeugendensystem Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K . Eine Menge S = {~v1 , . . . , ~vm } von Vektoren heißt Erzeugendensystem des Vektorraums, falls sich jeder Vektor ~u ∈ K n als Linearkombination von Vektoren aus S darstellen läßt. D.h., für jeden Vektor ~u gibt es Skalare k1 , . . . , km ∈ K , so dass gilt: ~u = k1 · ~v1 + · · · + km · ~vm Das hat auch Beziehungen zur Berechnung von multiplikativen Inversen einer Matrix und zum Lösen von Gleichungssystemen. Ab jetzt betrachten wir wieder n-dimensionale Vektorräume über einem beliebigen Körper K . Mathematische Strukturen Mathematische Strukturen Erzeugendensysteme und Basen Wir betrachten nun Konzepte, mit denen man einen Vektorraum aus einigen wenigen Vektoren, sogenannten Basisvektoren erzeugen kann. Barbara König Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung 149 Barbara König Mathematische Strukturen 150 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen Erzeugendensysteme und Basen Bemerkung: Die Beziehung Beispiel 1: die Menge ~u = k1 · ~v1 + · · · + km · ~vm 2 0 1 S ={ , , } 0 1 1 kann auch dargestellt werden als ist ein Erzeugendensystem für den Vektorraum R2 . Ein Vektor ~u läßt sich immer folgendermaßen darstellen: u1 0 1 u1 2 ~u = = · + u2 · +0· u2 0 1 1 2 ~u = ~v1 | k1 . . . ~vm · ... {z } km V wobei V = ~v1 . . . ~vm eine Matrix ist, die aus den Spaltenvektoren ~v1 , . . . , ~vm zusammengesetzt ist. D.h., eine Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ergibt eine Linearkombination der Spalten der Matrix. Barbara König Mathematische Strukturen 151 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen 152 Beispiel 2: die Menge 1 0 S = { 0 , 1} 0 0 Linear unabhängige Menge Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K . Eine Menge S = {~v1 , . . . , ~vm } von Vektoren heißt linear unabhängig, falls sich kein Vektor ~v aus S als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen läßt. Mathematische Strukturen Mathematische Strukturen Erzeugendensysteme und Basen Die Menge S im vorherigen Beispiel enthält überflüssige Elemente, mindestens ein Vektor ist redundant. Beispielsweise kann der dritte Vektor durch die beiden ersten dargestellt werden. Barbara König Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung ist linear unabhängig im R3 , sie ist jedoch kein Erzeugendensystem. 153 Barbara König Mathematische Strukturen 154 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen Erzeugendensysteme und Basen Alternative Definition für linear unabhängig: Eine Menge S = {~v1 , . . . , ~vm } von Vektoren ist linear unabhängig, wenn für beliebige Skalare k1 , . . . , km ∈ K aus Basis Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K . Eine Menge B = {~b1 , . . . , ~bm } von Vektoren heißt Basis, falls sie gleichzeitig ein Erzeugendensystem und linear unabhängig ist. k1 · ~v1 + · · · + km · ~vm = ~0 immer k1 = · · · = km = 0 folgt. Das heißt, man kann den Nullvektor nur auf eine Weise als Linearkombination von linear unabhängigen Vektoren darstellen: indem man alle Skalare mit 0 belegt. In Kombination mit Lösungsverfahren für Gleichungssysteme ( Gaußsches Eliminationsverfahren, wird im Anschluss behandelt), erhält man dadurch eine Methode, um zu überprüfen, ob eine Menge von Vektoren linear unabhängig ist. Barbara König Mathematische Strukturen 155 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen 1 0 −2 B3 = { 0 , 2 , 2 } 0 1 1 2 0 −2 B2 = {0 , 3 , 0 } 0 0 1 ist keine Basis des R3 , denn ihre Vektoren sind nicht linear unabhängig. Insbesondere kann man den dritten Vektor durch Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen: −2 1 0 2 = (−2) · 0 + 1 · 2 1 0 1 sind beides Basen des R3 . Für B1 ist dies relativ offensichtlich. Aus B2 kann man einfach die Elemente von B1 (die sogenannten Einheitsvektoren) bestimmen und außerdem sind die drei Vektoren linear unabhängig. Mathematische Strukturen 156 Beispiel 3: die Menge 1 0 0 B1 = {0 , 1 , 0} 0 0 1 Barbara König Mathematische Strukturen Erzeugendensysteme und Basen Beispiel 3: die Mengen und Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung 157 Barbara König Mathematische Strukturen 158 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen Erzeugendensysteme und Basen Bemerkungen: Wenn B eine Basis des K n ist, dann gibt es für jeden Vektor des K n genau eine Möglichkeit, diesen als Linearkombination von Vektoren aus B darzustellen. Einheitsvektoren Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei i ∈ {1, . . . , n}. Der i-te Einheitsvektor ~ei ist der Vektor, der an der i-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur aus Nullen besteht. 1 0 0 .. ~e1 = . ~en = . ... .. 0 0 1 Die Einheitsvektoren bilden immer eine Basis des K n . Für jeden Vektor ~u gilt: u1 .. ~u = . = u1 · ~e1 + · · · + un · ~en un Die Einheitsvektoren sind jedoch nicht die einzige Basis. Barbara König Mathematische Strukturen 159 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 160 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen Erzeugendensysteme und Basen Aus den letzten beiden Bemerkungen ergeben sich zwei einfache Verfahren, um festzustellen, ob eine Menge B ⊆ K n von Vektoren eine Basis des K n ist oder nicht: Weitere Bemerkungen: Eine Basis des K n besteht immer aus genau n Vektoren. Man überprüft, ob B genau n Vektoren enthält und ob diese Vektoren ein Erzeugendensystem sind. Eine linear unabhängige Menge mit n Vektoren ist immer eine Basis des K n . Oder: Man überprüft, ob B genau n Vektoren enthält und ob diese Vektoren linear unabhängig sind. Ein Erzeugendensystem mit n Vektoren ist auch immer eine Basis des K n . Das erste Verfahren ist besser dazu geeignet, um zu zeigen, dass B eine Basis ist; das zweite eher, um zu zeigen, dass B keine Basis ist. Insbesondere kann eine Menge von Vektoren, die mehr oder weniger als n Vektoren enthält, niemals eine Basis sein. Barbara König Mathematische Strukturen 161 Barbara König Mathematische Strukturen 162 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen Erzeugendensysteme und Basen Wir können nun die Frage beantworten, wann eine quadratische Matrix A invertierbar ist. Die Menge der Spaltenvektoren von A ist damit ein Erzeugendensystem und – da sie aus genau n Vektoren besteht – eine Basis. Angenommen die Matrix A ist invertierbar, d.h., es gibt ein multiplikatives Inverses A−1 mit A · A−1 = En . Wir betrachten A−1 als aufgebaut aus einzelnen Spaltenvektoren ~a1 , . . . ,~an , d.h. −1 A = ~a1 . . . ~an . Dann gilt: Umgekehrt gilt auch, dass es zu einer Matrix, deren Spaltenvektoren eine Basis bilden, Vektoren ~a1 , . . . ,~an gibt, die die obigen Eigenschaften haben und aus denen man eine inverse Matrix konstruieren kann. (Wie man diese Vektoren berechnen kann, besprechen wir später.) A · A−1 = A · ~a1 . . . ~an = A · ~a1 . . . A · ~an = ~e1 . . . ~en Es gilt also A · ~ai = ~ei für i ∈ {1, . . . , n}. Das bedeutet, dass man aus den Spalten von A durch Linearkombination jeden Einheitsvektor (und damit auch jeden anderen Vektor) erhalten kann. Barbara König Mathematische Strukturen 163 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 164 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Erzeugendensysteme und Basen Gaußsches Eliminationsverfahren Wir betrachten nun ein Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen. Zusammenfassend gilt also: Gegeben sei eine m × n-Matrix A und ein m-dimensionaler Vektor ~b. Gesucht ist ein n-dimensionaler Vektor ~x , der folgende Gleichung erfüllt: A · ~x = ~b Invertierbare Matrizen und Basen Eine n × n-Matrix A über einem Körper K ist invertierbar, genau dann, wenn die Spalten von A eine Basis des K n bilden. Wenn A quadratisch (m = n) und zudem noch invertierbar ist, dann kann man zeigen, dass es genau eine Lösung ~x gibt: man multipliziert die obige Gleichung auf beiden Seiten mit A−1 : Man sagt dann auch, die Matrix hat den vollen Rang. A−1 · A · ~x = A−1 · ~b und daraus folgt wegen A−1 · A = En , dass ~x = A−1 · ~b. Barbara König Mathematische Strukturen 165 Barbara König Mathematische Strukturen 166 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Wir betrachten eine Gleichung in “ausgeschriebener” Form: A · ~x = ~b Trotzdem bleiben noch viele offene Fragen: wird geschrieben als A1,1 .. . Wie berechnet man ~x ? (Wir haben ja noch kein Verfahren, um das multiplikative Inverse einer Matrix zu bestimmen.) Was passiert, wenn A nicht quadratisch oder nicht invertierbar ist? Am,1 . . . A1,n x1 b1 .. · .. = .. .. . . . . . . . Am,n xn bm und das ist gleichbedeutend damit, dass das folgende Gleichungssystem eine Lösung hat: Kann eine Gleichung evtl. mehrere Lösungen haben? Kann eine Gleichung evtl. keine Lösung haben? A1,1 · x1 + · · · + A1,n · xn = b1 .. . Am,1 · x1 + · · · + Am,n · xn = bm Barbara König Mathematische Strukturen 167 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Für dieses Beispiel gilt: In den folgenden Beispielen arbeiten wir im Körper R. A= Beispiel 1: Gleichungssystem mit einer Lösung 3 · x1 + 4 · x2 = 2 3 4 1 −3 3 13 1 13 A−1 = Man kann dieses Gleichungssystem durch “geschicktes” Einsetzen lösen: zweite Gleichung wird umgeformt in x1 = 5 + 3 · x2 , eingesetzt in die erste Gleichung ergibt ~b = 2 5 4 13 3 − 13 ! (Wir werden noch sehen, wie man solche Inverse tatsächlich berechnen kann.) 3 · (5 + 3 · x2 ) + 4 · x2 = 15 + 13 · x2 = 2 Test: und daraus folgt x2 = −1. Daher: x1 = 5 + 3 · x2 = 5 + 3 · (−1) = 2. −1 ~x = A Die (einzige) Lösung ist damit x1 = 2, x2 = −1. Mathematische Strukturen und A hat das multiplikative Inverse x1 − 3 · x2 = 5 Barbara König 168 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung 169 · ~b = 3 13 1 13 4 13 3 − 13 ! 2 · = 5 Barbara König 26 13 13 − 13 ! Mathematische Strukturen = 2 −1 170 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel 2: Gleichungssystem ohne Lösung Beispiel 3: Gleichungssystem mit mehreren Lösungen x1 + 2 · x2 = 3 x1 + 2 · x2 = 3 −2 · x1 − 4 · x2 = 1 −2 · x1 − 4 · x2 = −6 Man sieht, dass man −2 · x1 − 4 · x2 erhält, indem man x1 + 2 · x2 mit −2 multipliziert. Also müsste auch das Ergebnis rechts unten (= 1) ein entsprechendes Vielfaches des Ergebnisses rechts oben (= 3) sein. Das ist aber nicht der Fall. Daher hat das Gleichungssystem keine Lösung. Die untere Gleichung ist ein Vielfaches der oberen Gleichung (Faktor −2). Also ist die untere Gleichung redundant und wir müssen alle Lösungen der oberen Gleichung bestimmen. Es gilt x1 = 3 − 2 · x2 , also hat die Lösung ~x die Form: x1 3 − 2 · x2 3 −2 ~x = = = + x2 · x2 x2 0 1 Hier sieht man, dass die Matrix 1 2 A= −2 −4 Dabei kann x2 ∈ R beliebig gewählt werden und wir haben unendlich viele Lösungen. aus linear abhängigen Spaltenvektoren besteht und nicht den vollen Rang hat. Sie ist also nicht invertierbar. Barbara König Mathematische Strukturen Wie in Beispiel 2 ist die Matrix nicht invertierbar. 171 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Wenn man zwei Zeilen vertauscht, so ändern sich dadurch die Lösungen nicht. Wenn man eine Zeile mit einem Wert ungleich 0 multipliziert, so ändern sich dadurch die Lösungen nicht. Wenn man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert (von einer anderen Zeile subtrahiert), so ändern sich dadurch die Lösungen nicht. Am,1 · x1 + · · · + Am,n · xn = bm entspricht Am,1 Barbara König 172 Das Gaußsche Eliminationsverfahren basiert auf folgenden Beobachtungen: A1,1 · x1 + · · · + A1,n · xn = b1 .. . . . . A1,n .. .. . . . . . Am,n Mathematische Strukturen Gaußsches Eliminationsverfahren Wir betrachten nun ein allgemeines Verfahren, um solche Gleichungssystem zu lösen: das Gaußsche Eliminationsverfahren. Der Einfachheit halber stellen wir ein Gleichungssystem folgendermaßen dar: A1,1 .. . Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Wenn man zwei Spalten i, j vertauscht, so ändert sich dadurch die Reihenfolge der Variablen (Wert von xi wird mit Wert von xj vertauscht). Das kann man sich merken und am Ende wieder in Ordnung bringen. b1 .. . bm Mathematische Strukturen 173 Barbara König Mathematische Strukturen 174 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Ziel: wir bringen das Gleichungssystem durch die oben beschriebenen Umformungen auf folgende Form A1,1 A1,2 . . . A1,k 0 A2,2 . . . A2,k .. .. .. .. . . . . 0 ... 0 Ak,k 0 ... .. .. . . 0 . . . A1,n . . . A2,n .. .. . . . . . Ak,n 0 .. . 0 ... Bemerkung: b1 b2 .. . Es handelt sich dabei um eine Matrix mit Einsen auf der (nicht notwendigerweise durchgehenden) Diagonale, bei der unterhalb der Diagonale nur Nullen stehen. Außerdem kommen ab der k + 1-sten Zeile nur noch Nullen vor. Dieser Block von Nullen kann auch vollkommen fehlen. bk bk+1 .. . Aus obiger Form kann man dann relativ einfach alle Lösungen ablesen. bm wobei A1,1 = 1, A2,2 = 1, . . . , Ak,k = 1 Barbara König Mathematische Strukturen 175 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Wir betrachten nun Ai,i , das sogenannte Pivotelement. Bei einer m × n-Matrix A läuft das Gaußsche Eliminationsverfahren in n Schritten ab. In jedem Schritt wird eine weitere Spalte in die gewünschte Form gebracht. Pivotelement Ai,i 6= 0 Gaußsches Eliminationsverfahren (i-ter Schritt) In diesem Fall hat Ai,i ein multiplikatives Inverses A−1 i,i (wir arbeiten in einem Körper!). Angenommen die Spalten 1, . . . , i − 1 sind schon in der gewünschten Form. Dann sieht die Matrix folgendermaßen aus: Wir multiplizieren die i-te Zeile mit A−1 i,i , wodurch das Pivotelement nun den Wert 1 hat. Wir haben folgende Situation: 1 A1,2 . . . A1,i 0 1 . . . A2,i .. .. . . .. . . . . 0 ... 0 Ai,i 0 ... 0 Ai+1,i .. . . .. .. . . . . 0 ... 0 Am,i Barbara König ... ... .. . 176 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung A1,n A2,n .. . . . . Ai,n . . . Ai+1,n .. .. . . . . . Am,n b1 b2 .. . 1 A1,2 . . . A1,i 0 1 . . . A2,i .. . . .. .. . . . . 0 ... 0 1 0 ... 0 Ai+1,i .. . . .. .. . . . . 0 ... 0 Am,i bi bi+1 .. . bm Mathematische Strukturen 177 Barbara König ... ... .. . A1,n A2,n .. . . . . Ai,n . . . Ai+1,n .. .. . . . . . Am,n b1 b2 .. . bi bi+1 .. . bm Mathematische Strukturen 178 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Falls das Pivotelement Ai,i den Wert 0 hat, so hat es kein multiplikatives Inverses und wir können das vorherige Verfahren nicht anwenden. Wir unterscheiden zwei Fälle: Pivotelement Ai,i 6= 0 (Fortsetzung) Wir behandeln nun jede Zeile j (mit j > i): wir multiplizieren die i-te Zeile mit Aj,i und ziehen sie von der j-ten Zeile ab. Pivotelement Ai,i = 0 (Fall 1) Dadurch ergibt sich folgende Zeile: 0 ... 0 (Aj,i −Aj,i ·1) ... Angenommen es gibt ein Element Aj,i (mit j > i) unterhalb von Ai,i mit Aj,i 6= 0. (Aj,n −Aj,i ·Ai,n ) | (bj −Aj,i ·bi ) Dann vertausche die i-te und die j-te Zeile und fange mit dem i-ten Schritt wieder von vorne an. (Achtung: die Elemente bi , bj in der rechten Spalte müssen auch getauscht werden.) und es gilt Aj,i − Aj,i · 1 = 0. Damit ist die i-te Spalte jetzt in der richtigen Form. Barbara König Mathematische Strukturen 179 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 180 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Pivotelement Ai,i = 0 (Fall 2) Angenommen es gibt kein Element Aj,i (mit j > i) unterhalb von Ai,i mit Aj,i 6= 0. D.h., alle Elemente in dieser Spalte, angefangen mit Ai,i , sind gleich Null. Pivotelement Ai,i = 0 (Fall 2) (Fortsetzung) Ansonsten finde eine Spalte `, in der es einen Wert Aj,` 6= 0 gibt (mit j ≥ i, ` ≥ 1) und vertausche die Spalte i und die Spalte `. Dann betrachten wir das Rechteck rechts unten in der Matrix: Ai,i Ai+1,i .. . Am,i . . . Ai,n . . . Ai+1,n .. .. . . . . . Am,n bi bi+1 .. . Diese Vertauschung muss gemerkt und später wieder rückgängig gemacht werden! Beginne mit dem i-ten Schritt wieder von vorne. bm Falls alle Elemente Aj,` (mit j ≥ i und ` ≥ i) gleich Null sind, dann hält das Verfahren an. Barbara König Mathematische Strukturen 181 Barbara König Mathematische Strukturen 182 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Umgeformtes Gleichungssystem Ablesen der Lösung: Lösung bestimmen Ansonsten betrachte den oberen Block mit A1,1 = 1, A2,2 = 1, . . . , Ak,k = 1 Umgeformtes Gleichungssystem Keine Lösung Wir betrachten zunächst den unteren Block, in dem nur Nullen stehen. Falls eines der Elemente bk+1 , . . . , bm ungleich Null ist, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. A1,1 A1,2 . . . A1,k 0 A2,2 . . . A2,k .. .. .. .. . . . . 0 ... 0 Ak,k . . . A1,n . . . A2,n .. .. . . . . . Ak,n b1 b2 .. . bk und behandle die Zeilen von unten nach oben wie im folgenden beschrieben. Barbara König Mathematische Strukturen 183 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 184 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Nachbehandlung Zuletzt mache noch die gemerkten Vertauschungen rückgängig. Umgeformtes Gleichungssystem xj + Aj,j+1 · xj+1 + · · · + Aj,n · xn = bj Dadurch erhält man die Werte von x1 , . . . , xn , wobei gegebenenfalls Variablen xj in der Darstellung übrigbleiben. Diese bleiben stehen und repräsentieren beliebige Körperelemente. Dies passiert immer dann, wenn der obere Block nicht quadratisch ist und die Diagonale daher nicht ganz durchgeht. xj = bj − Aj,j+1 · xj+1 − · · · − Aj,n · xn Insgesamt erhält man eine Menge von Lösungsvektoren ~x , die wie folgt dargestellt werden können: Lösung bestimmen (Fortsetzung) Die j-te Zeile entspricht folgender Gleichung: Es gilt Setze dabei für xj+1 , . . . , xn möglicherweise bereits berechneten Werte ein. ~x ∈ {~u + xj1 · ~v1 + · · · + xjr · ~vr | xjk ∈ R} Falls ~u = ~0 (das passiert, falls ~b = ~0), dann ist die Lösungsmenge ein Vektorraum und ~v1 , . . . , ~vr eine Basis dieses Vektorraums. Barbara König Mathematische Strukturen 185 Barbara König Mathematische Strukturen 186 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel 4: Wir lösen folgendes Gleichungssystem in R: Bemerkungen: Beim Zeilen- bzw. Spaltentausch hat man meist mehrere Möglichkeiten. In diesem Fall tauscht man mit der Zeile, die das günstigste Pivotelement liefert. 3 · x1 +4 · x2 6 · x1 +8 · x2 In Matrixschreibweise: Ein Pivotelement ist günstig, wenn es ein einfach zu handhabendes multiplikatives Inverses hat. Am besten ist natürlich die Eins als Pivotelement. Barbara König Mathematische Strukturen x1 0 0 3 1 3 x2 3 4 −2 3 · = 4 x3 6 8 1 −1 −13 x4 187 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mathematische Strukturen 188 Gaußsches Eliminationsverfahren Schritt 1(b): Zeile 1 mit zu machen 1 Anfangssituation: 0 0 3 1 3 3 4 −2 3 4 6 8 1 −1 −13 0 6 1 3 multiplizieren, um Pivotelement zu eins 4 3 0 8 − 23 1 4 3 3 1 3 1 −1 −13 Schritt 1(c): Rechne “(Zeile 2) − 0· (Zeile 1)” und “(Zeile 3) − 6· (Zeile 1)” Schritt 1(a): Zeile 1 und Zeile 2 vertauschen, um Pivotelement ungleich 0 zu erhalten 3 4 −2 3 4 0 0 3 1 3 6 8 1 −1 −13 Mathematische Strukturen Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Barbara König +3 · x3 +x4 =3 −2 · x3 +3 · x4 = 4 +x3 −x4 = −13 189 1 4 3 0 0 0 0 − 23 1 4 3 3 1 3 5 −7 −21 Barbara König Mathematische Strukturen 190 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Schritt 2(a): Spalte 2 und Spalte 4 vertauschen, um Pivotelement ungleich 0 zu erhalten. (Spaltenvertauschung merken!) 1 1 0 1 0 −7 4 3 − 23 3 5 Schritt 2(c): Zeile 3 mit zu machen 4 3 0 3 0 −21 1 26 multiplizieren, um Pivotelement zu eins 1 1 − 23 0 1 0 0 Das Pivotelement ist bereits 1. 3 1 4 3 4 3 0 0 3 0 Damit ist das Gleichungssystem in der gewünschten Form. Schritt 2(b): Rechne “(Zeile 3) − (−7)· (Zeile 2)” 1 1 0 1 0 0 − 32 3 26 Barbara König 4 3 4 3 0 0 3 0 Existenz der Lösung: es gibt keinen Block von Nullen, daher existiert eine Lösung. 191 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 192 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Bestimmung der Lösung: Zeile 3: x3 = 0 Zeile 2: x2 + 3 · x3 = 3, also x2 = 3 − 3 · x3 = 3 − 0 = 3 Zeile 1: x1 + x2 − 32 · x3 + 43 · x4 = 34 , also x1 = 4 3 − x2 + 32 · x3 − 34 · x4 = 4 3 Vektorschreibweise: 5 x1 −3 x2 ~x = x3 = x4 − 3 + 0 − 43 · x4 = − 53 − 43 · x4 . Vertauschungen rückgängig machen: wir müssen noch x2 und x4 zurücktauschen, es ergibt sich damit 5 4 x1 = − − · x2 3 3 x2 beliebig Barbara König x3 = 0 Mathematische Strukturen 5 4 − 43 · x2 −3 −3 x2 = 0 + x2 · 1 0 0 0 3 3 0 Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, eine für jede Belegung von x2 mit einer reellen Zahl. x4 = 3 193 Barbara König Mathematische Strukturen 194 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel 2 (noch einmal): Schritt 1: Rechne “(Zeile 2) − (−2)·(Zeile 1)” x1 + 2 · x2 = 3 1 2 3 0 0 7 −2 · x1 − 4 · x2 = 1 Existenz der Lösung: Im unteren Block der Nullen ist das Element in der rechten Spalte ungleich Null (7). Daher existiert keine Lösung. Anfangssituation: 1 2 3 −2 −4 1 Barbara König Mathematische Strukturen 195 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 196 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Gaußsches Eliminationsverfahren Multiplikatives Inverses einer Matrix Mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens kann man nun das multiplikative Inverse einer Matrix bestimmen. Bemerkung: Gegeben sei eine quadratische Matrix A1,1 . . . A1,n .. .. A = ... . . An,1 . . . An,n Das Gaußsche Eliminationsverfahren kann nicht dazu benutzt werden, um diophantische Gleichungen zu lösen. Dort sucht man nach Lösungen in den ganzen Zahlen Z. Die ganzen Zahlen mit der Addition und Multiplikation bilden jedoch keinen Körper (fehlende multiplikative Inverse!). Man stellt sich vor, dass das multiplikative Inverse A−1 aus Spaltenvektoren ~a1 , .. . ,~an zusammengesetzt ist und schreibt A−1 = ~a1 . . . ~an . Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist jedoch für jeden beliebigen Körper (z.B. (Zp , +p , ·p ), p Primzahl) anwendbar. (Siehe auch den Abschnitt über Erzeugendensysteme und Basen Invertierbare Matrizen und Basen .) Barbara König Mathematische Strukturen 197 Barbara König Mathematische Strukturen 198 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Multiplikatives Inverses einer Matrix Multiplikatives Inverses einer Matrix Damit A−1 das Inverse von A ist, muss gelten: Beispiel: wir bestimmen das multiplikative Inverse folgender Matrix 3 4 A= 1 −3 A · A−1 = A · ~a1 . . . ~an = A · ~a1 . . . A · ~an 1 ... 0 = En = ... . . . ... = ~e1 . . . ~en x Wir setzen zunächst ~a1 = 1 und lösen das Gleichungssystem x2 A · ~a1 = ~e1 : 0 ... 1 Also gilt für jedes i ∈ {1, . . . , n}: A · ~ai = ~ei 3 · x1 + 4 · x2 = 1 Dabei ist ~ei der i-te Einheitsvektor. x1 − 3 · x2 = 0 Man muss also n Gleichungssysteme mit jeweils n Gleichungen lösen. Existieren für alle Gleichungssysteme Lösungen, so erhält man die Inverse A−1 . Anderenfalls gibt es keine Inverse. Barbara König Das ergibt die Lösungen x1 = 199 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Dabei schreibt man die zu invertierende Matrix und die Einheitsmatrix wie folgt nebeneinander: 3 und y2 = − 13 . 3 4 1 0 1 −3 0 1 Insgesamt erhält man folgende Matrix A−1 : Barbara König 200 Es gibt eine effizientere Methode um das Inverse einer Matrix zu bestimmen. Man kann insbesondere alle n Gleichungssysteme “gleichzeitig” lösen. y1 − 3 · y2 = 1 A−1 = ~a1 Mathematische Strukturen Bemerkung (Gauß-Jordan-Verfahren): 3 · y1 + 4 · y2 = 0 x1 y1 ~a2 = = x2 y2 1 13 . Multiplikatives Inverses einer Matrix y Wir setzen nun ~a2 = 1 und lösen das Gleichungssystem y2 A · ~a2 = ~e2 : 4 13 Barbara König und x2 = Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Multiplikatives Inverses einer Matrix Das ergibt die Lösungen y1 = 3 13 3 13 1 13 4 13 3 − 13 Mathematische Strukturen Dann formt man die linke Matrix durch Zeilentausch (nicht Spaltentausch!), indem man Zeilen mit einem Wert (ungleich 0) multipliziert und indem man Vielfache von Zeilen zu anderen Zeilen addiert, zur Einheitsmatrix um. Die Matrix, die dabei rechts entsteht, ist dann die Inverse. ! 201 Barbara König Mathematische Strukturen 202 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Schlussbemerkungen Kombinatorik: Einführung Es folgt eine Einführung in die Kombinatorik. Dabei geht es darum, die Elemente einer Menge zu zählen. Dabei ist die Größe der Menge nicht fest (sonst wäre das ja einfach!), sondern abhängig von bestimmten Parametern. Es gibt noch viele andere wichtige Gebiete im Zusammenhang mit algebraischen Strukturen, Vektorräumen und Matrizen: Ringe (Strukturen, die ähnlich zu Körpern sind, in denen aber weniger Gesetze gelten) Anwendungsbeispiele: Eigenvektoren und Eigenwerte Anzahl der Zustände bzw. Anzahl der Abläufe in einem System zählen. (Wichtig für informatische Systeme, in denen die Anzahl der Systemzustände sehr groß werden kann.) Determinanten ... Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines Ereignisses berechnen. (Wichtig für Statistik.) Barbara König Mathematische Strukturen 203 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 204 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen Ziehen aus Urnen Angenommen, wir haben eine Urne (einen großen Behälter), in der n durchnumerierte (und daher unterscheidbare) Kugeln liegen. Aus dieser Urne werden k Kugeln gezogen. Die Antwort: das hängt davon ab . . . Es hängt insbesondere davon ab, wie die Regeln festgelegt werden: Die Frage ist: wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Kugeln zu ziehen? 1 2 ... Werden die Kugeln nach dem Ziehen wieder in die Urne gelegt? (Ziehen mit/ohne Zurücklegen) Wird die Reihenfolge des Ziehens gewertet? (mit/ohne Beachtung der Reihenfolge) ... n Beispiel: Ist die Sequenz 1, 5, 7 gleichbedeutend mit 7, 1, 5? Mit Hilfe dieser Metapher lassen sich viele Zählprobleme erfassen. Barbara König Mathematische Strukturen 205 Barbara König Mathematische Strukturen 206 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge) Beispiel 1: Lottozahlen Wir beginnen mit folgendem Fall: Bei der Ziehung der Lottozahlen werden die Kugeln nicht zurückgelegt und die Reihenfolge nicht beachtet. Es ist egal, ob eine Zahl vor oder nach einer anderen Zahl gezogen wird. Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, mit Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge. Die Parameter sind n = 49 und k = 6 (6 aus 49). Angenommen, die Urne enthält n = 3 drei Kugeln: Beispiel 2: Würfeln mit drei (identischen) Würfeln Beim Ziehen mit Zurücklegen kann eine Zahl durchaus auch mehrfach auftreten. Dieses mehrfache Auftreten spielt (im Unterschied zu Mengen) eine Rolle. Das Würfelergebnis 3, 3, 6 ist verschieden von 3, 6, 6. 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 3 2 1 3 2 3 3 3 207 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Im allgemeinen Fall: 1 n 2 3 1 2 2 2 Damit hat man insgesamt 3 · 3 = 32 = 9 Fälle. Mathematische Strukturen ... 1 n 2 ... ... 1 n 2 ... 3 ... 3 Entscheidungsmöglichkeiten auf der ersten Ebene, ergibt dreimal 3 Entscheidungsmöglichkeiten auf der zweiten Ebene. Barbara König n 3 2 1 ... 2 1 3 208 Mathematische Strukturen Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge) Diese neun Möglichkeiten kann man auch als Entscheidungsbaum darstellen: 1 3 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge) 1 2 Dann gibt es folgende neun Möglichkeiten, k = 2 Kugeln aus der Urne zu ziehen: Das kann man als das Ziehen von k = 3 Kugeln aus einer Urne mit n = 6 Kugeln interpretieren. Hierbei werden die Kugeln zurückgelegt und die Reihenfolge ebenfalls nicht betrachtet. Barbara König 1 ... ... Auf der ersten Ebene: n Entscheidungsmöglichkeiten Auf der zweiten Ebene: n · n Entscheidungsmöglichkeiten ... k Auf der k-ten Ebene: n | · n ·{z. . . · n} = n Möglichkeiten k-mal 209 Barbara König Mathematische Strukturen 210 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge) Anwendungen: Ziehen mit Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge Für das Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge ergeben sich Gegeben seien zwei endliche Mengen A, B. Wieviele Funktionen zwischen A und B gibt es? nk Möglichkeiten, Beispiel: sei A eine Menge von Personen und B eine Menge von Räumen. Wieviele Möglichkeiten gibt, jeder Person einen Raum zuzuordnen? (Dabei müssen nicht notwendigerweise alle Räume verwendet werden und mehreren Personen kann der gleiche Raum zugeteilt werden.) falls sich n (verschiedene) Kugeln in der Urne befinden und k Kugeln gezogen werden. Barbara König Mathematische Strukturen 211 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge) 212 Bemerkung: Beim Zählen von Möglichkeiten erhält man leicht sehr große Zahlen (sogenannte Zustandsexplosion). Beispiel: eine Bedienoberfläche enthält 10 Elemente (Widgets, wie beispielsweise Radio Buttons, Drop-down-lists, . . . ), von denen sich jedes in 5 verschiedenen Zuständen befinden kann, die unabhängig voneinander einstellbar sind. Wir nehmen an, dass A = {a1 , . . . , ak } mit k = |A| und n = |B|. Wir können B als Urne betrachten, aus der nacheinander k Elemente gezogen werden (mit Zurücklegen, unter Beachtung der Reihenfolge). In wievielen Zuständen kann sich die Oberfläche insgesamt befinden? D.h., zunächst wird ein Element aus B gezogen, das a1 zugeordnet wird, dann wird ein weiteres Element gezogen, das a2 zugeordnet wird, etc. Antwort: Ziehen von 10 Kugeln aus einer Urne mit 5 Kugeln (mit Zurücklegen, unter Beachtung der Reihenfolge). Insgesamt erhält man 510 = 9.765.625 Möglichkeiten. Insgesamt erhält man nk Funktionen zwischen den Mengen A und B. Mathematische Strukturen Mathematische Strukturen Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge) Wieviele Funktionen zwischen A und B gibt es? (Fortsetzung) Barbara König Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Es ist sehr schwierig, diese fast 10 Millionen Zustände alle durchzuprobieren, um festzustellen, dass sich die unter der Benutzeroberfläche liegende Software immer korrekt verhält. 213 Barbara König Mathematische Strukturen 214 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Diese sechs Möglichkeiten kann man auch als Entscheidungsbaum darstellen: Wir betrachten nun folgenden Fall: Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, ohne Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge. 1 2 3 Dieser Fall macht nur Sinn, falls k ≤ n. 1 Angenommen, die Urne enthält n = 3 drei Kugeln: 2 2 3 Dann gibt es folgende sechs Möglichkeiten, k = 3 Kugeln aus der Urne zu ziehen: 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2 2 3 1 3 2 1 Barbara König 3 215 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung 1 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3 Entscheidungsmöglichkeiten auf der ersten Ebene, ergibt: 3 · 2 Entscheidungsmöglichkeiten auf der zweiten Ebene und 3 · 2 · 1 Entscheidungsmöglichkeiten auf der dritten Ebene. Damit hat man insgesamt 3 · 2 · 1 = 6 Fälle. Barbara König Mathematische Strukturen 216 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Wir betrachten den allgemeinen Fall, zunächst für n = k: 2 1 2 n 3 ... ... 3 1 n 2 ... ... ... Fakultätsfunktion Die Funktion, die n ∈ N0 auf n 1 n 2 ... ... ... 1 n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 3 abbildet, wird als Fakultätsfunktion bezeichnet. Man schreibt: ... 2 n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n! ... Für n = 0 wird 0! = 1 festgelegt. Auf der ersten Ebene: n Entscheidungsmöglichkeiten Auf der zweiten Ebene: n · (n − 1) Entscheidungsmöglichkeiten ... Auf der k-ten Ebene: n · (n − 1) · . . . · 1 = n! Möglichkeiten Barbara König Mathematische Strukturen 217 Barbara König Mathematische Strukturen 218 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Im allgemeinen Fall hat man beim letzten Ziehen noch n − k + 1 Kugeln übrig: Wertetabelle: n 0 1 2 3 4 n! 1 1 2 6 24 n 5 6 7 8 9 n! 120 720 5040 40320 362880 2 1 2 n 3 ... 1 n 2 ... ... ... Man sieht, dass die Fakultätsfunktion ungeheuer schnell wächst. 3 ... n 1 n 2 ... 1 ... ... 3 ... 2 ... Auf der ersten Ebene: n Entscheidungsmöglichkeiten ... Auf der k-ten Ebene: n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) Möglichkeiten Barbara König 219 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 220 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) n hoch k fallend Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Ausdruck Beispiel: es sind n = 3 Kugeln in der Urne, von denen k = 2 gezogen werden: nk = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) 1 2 3 wird n hoch k fallend gelesen. Für den Fall k = 0 setzt man n0 = 1. (Das gilt auch, falls n = 0.) 2 3 1 3 1 2 Es gilt: n! (n − k)! Im letzten Schritt sind noch 2 = n − k + 1 Kugeln übrig. Warum? Zum Schluss sind n − k Kugeln übrig, wir befinden uns einen Schritt vorher. Barbara König Mathematische Strukturen n · . . . · (n − k + 1) · (n − k) · . . . · 1 (n − k) · . . . · 1 = n · . . . · (n − k + 1) = = nk 221 Barbara König Mathematische Strukturen 222 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Anwendungen: Ziehen ohne Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge Für das Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge ergeben sich nk = Gegeben seien zwei endliche Mengen A, B. Wieviele injektive Funktionen zwischen A und B gibt es? n! Möglichkeiten, (n − k)! Beispiel: sei A eine Menge von Personen und B eine Menge von Räumen. Wieviele Möglichkeiten gibt, jeder Person einen Raum zuzuordnen, so dass sich in einem Raum höchstens eine Person befindet? falls sich n (verschiedene) Kugeln in der Urne befinden und k ≤ n Kugeln gezogen werden. Barbara König Mathematische Strukturen 223 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 224 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Wieviele injektive Funktionen zwischen A und B gibt es? (Fortsetzung) Beispiel: gegebenen seien n Städte, die alle der Reihe nach besucht werden sollen (Problem des Handlungsreisenden). Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Städte zu besuchen? Wir nehmen an, dass k = |A| mit A = {a1 , . . . , ak } und n = |B|. Wir können B als Urne betrachten, aus der nacheinander k Elemente gezogen werden, ohne dass Elemente zurückgelegt werden (jedoch mit Beachtung der Reihenfolge). (Kein Element im Wertebereich darf mehr als einem Element im Definitionsbereich zugeordnet werden!) Wir legen n mit den Namen Städte beschriftete Kugeln in eine Urne und ziehen nacheinander n Kugeln. Insgesamt hat man nn = n! Möglichkeiten. Insgesamt erhält man nk injektive Funktionen zwischen den Mengen A und B. Barbara König Mathematische Strukturen 225 Barbara König Mathematische Strukturen 226 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Wir betrachten nun folgenden Fall: Beispiel (Fortsetzung): Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Nehmen wir an, die Städte wären Duisburg (DU), Essen (E), Bochum (BO), Dortmund (DO). Dann gibt es 4! = 24 Möglichkeiten: DU DU DU DU DU DU E BO DO E DO BO BO E DO BO DO E DO E BO DO BO E E E E E E E DU BO DO DU DO BO BO DU DO BO DO DU DO DU BO DO BO DU BO BO BO BO BO BO DU E DO DU DO E E DU DO E DO DU DO DU E DO E DU Barbara König DO DO DO DO DO DO Dieser Fall macht wiederum nur Sinn, falls k ≤ n. DU E BO DU BO E E DU BO E BO DU BO DU E BO E DU Mathematische Strukturen 1 Angenommen, die Urne enthält n = 3 Kugeln: 2 3 Dann gibt es folgende drei Möglichkeiten, k = 2 Kugeln aus der Urne zu ziehen: 1 227 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung , 2 1 Barbara König , 3 2 , 3 Mathematische Strukturen 228 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Diese drei Möglichkeiten entstehen dadurch, dass von den sechs Möglichkeiten beim Ziehen mit Reihenfolge (ohne Zurücklegen) jeweils immer zwei zusammenfallen. Wenn man mit Beachtung der Reihenfolge zieht, so erhält man nk Möglichkeiten. 1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2 Damit hat man jedoch die Möglichkeiten ohne Beachtung der Reihenfolge um den Faktor k! überschätzt. Durch diesen Faktor muss noch geteilt werden. Im Fall, dass k Kugeln gezogen werden, fallen jeweils k! Kombinationen zusammen. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten, k verschiedene Kugeln beliebig anzuordnen. Fall k = 3: Es gibt 3! = 6 verschiedene Anordnungen. 1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2 2 3 1 3 2 1 Barbara König Mathematische Strukturen Insgesamt ergeben sich damit n! nk = k! (n − k)! · k! Möglichkeiten. 229 Barbara König Mathematische Strukturen 230 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) n = k Binomialkoeffizient Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Ausdruck n n! = k (n − k)! · k! = wird Binomialkoeffizient genannt. Er ist immer eine natürliche Zahl. Es gilt also für alle n, k ∈ N0 , k ≤ n: n n = k n−k Sprechweise: “n über k”, “k aus n” Barbara König 231 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Binomialkoeffizienten als Pascalsches Dreieck: 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 0 1 2 4 4 4 4 0 1 2 3 5 5 5 5 1 2 3 3 3 5 4 1 1 1 1 3 4 4 Beispiele: 5! 120 5 5! = = = = 10 (5 − 3)! · 3! 2! · 3! 2·6 3 5 5! 5! 120 = = = =1 0 (5 − 0)! · 0! 5! · 0! 120 · 1 5 5 4 5 1 3 6 10 Barbara König Im letzten Fall zieht man 0 Kugeln (aus einer Urne mit 5 Kugeln). Dabei kann es nur eine mögliche enstehende Sequenz von Kugeln geben: die leere Sequenz. 1 4 10 1 5 Mathematische Strukturen 232 Bemerkung: die Werte im unteren und oberen Dreieck entsprechen einander, es sind nur verschiedene Darstellungen angegeben. Einmal der Binomialkoeffizient, einmal der berechnete Wert des Binomialkoeffizienten. 1 2 Mathematische Strukturen Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) 1 1 Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) 0 n! n! = (n − k)! · k! k! · (n − k)! n n! = (n − (n − k))! · (n − k)! n−k 1 233 Barbara König Mathematische Strukturen 234 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Beispiel: Lottozahlen Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge Für das Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ergeben sich n n! Möglichkeiten, = k! · (n − k)! k Beim Lottospielen werden k = 6 Kugeln aus n = 49 gezogen, die Kugeln werden nicht zurückgelegt, die Reihenfolge wird nicht beachtet. Daher gibt es insgesamt falls sich n (verschiedene) Kugeln in der Urne befinden und k ≤ n Kugeln gezogen werden. 49 = 13.983.816 6 mögliche Ziehungsergebnisse. Barbara König Mathematische Strukturen 235 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 236 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Anwendungen: allgemeine binomische Formel. Der Ausdruck (x + y )n soll (in einem Körper) mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert werden. Was erhält man? Beispiel: Fussballpaarung Aus einem Topf mit Kugeln, die mit n = 18 Fussball-Mannschaften beschriftet sind, werden zwei Kugeln gezogen, um eine Paarung zu ermitteln. Es gibt dabei (x + y )n = (x + y ) · (x + y ) · . . . · (x + y ) Wenn man diesen Ausdruck ausmultipliziert, wählt man aus jedem der Faktoren entweder ein x oder ein y . 18 = 153 2 Wenn man k-mal ein y wählt, dann wählt man (n−k)-mal ein x. Man erhält den Summanden x n−k · y k . mögliche Ziehungsergebnisse. (Das ist genau die Anzahl der Spiele in einer Bundesliga-Hinrunde.) Wieviele Möglichkeiten gibt es, k-mal ein y zu wählen? n k Zusammenfassung: Der Summand x n−k · y k kommt kn -mal vor. Der Index k kann einen der Werte von 0 bis n einnehmen. Barbara König Mathematische Strukturen 237 Barbara König Mathematische Strukturen 238 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Formel: (x + y )n = Spezialfall n = 3: n X n n−k k x y k k=0 (x + y )3 = (x + y ) · (x + y ) · (x + y ) = x ·x ·x +x ·x ·y +x ·y ·x +x ·y ·y Spezialfall n = 2: +y ·x ·x +y ·x ·y +y ·y ·x +y ·y ·y = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 3 3 3 3 0 3 3 0 2 2 = ·x y + ·x y + xy + x y 0 1 2 3 (x + y )2 = (x + y ) · (x + y ) = x · x + x · y + y · x + y · y 2 2 2 0 2 2 2 2 0 = x + 2xy + y = ·x y + · xy + x y 0 1 2 Barbara König 239 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) 2 3 Dann gibt es folgende sechs Möglichkeiten, k = 2 Kugeln aus der Urne zu ziehen: 1 , 2 1 , 3 2 , 3 1 , 1 2 , 2 3 , 3 Barbara König Mathematische Strukturen 240 Hier braucht man eine gute Idee, um die Anzahl der Möglichkeiten zu zählen. Sie entstehen anscheinend nicht dadurch, dass die neun Möglichkeiten des Ziehens mit Reihenfolge (mit Zurücklegen) in gleich große Blöcke zusammengefasst werden. Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. 1 Mathematische Strukturen Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Wir betrachten nun noch den letzten Fall: Angenommen, die Urne enthält n = 3 Kugeln: Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung 241 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 3 2 1 1 2 2 3 3 Barbara König ? Mathematische Strukturen 242 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Die sechs Möglichkeiten kann man dadurch darstellen, dass man drei Fächer (eines für jede Farbe) einrichtet. Die Anzahl der Möglichkeiten ist die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Kugeln auf diese drei Fächer zu verteilen. 1 2 1 2 1 Die Farben kann man weglassen und nur noch zwischen erstem, zweitem und dritten Fach unterscheiden. Wir benutzen eine Notation, in der die Kugeln durch kleine Kreise und die Trennwände zwischen den Fächern als Striche dargestellt werden (siehe rechte Spalte). 3 1 3 1 ◦| ◦ | 2 2 1 2 1 2 3 ◦◦ | | 2 Mathematische Strukturen | ◦ ◦| 2 3 Dabei bestimmt die Farbe des Fachs die Farbe der Kugeln. Barbara König | ◦ |◦ 3 1 3 243 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung ◦| |◦ 3 Barbara König 3 | | ◦◦ Mathematische Strukturen 244 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Allgemeiner Fall: Wir müssen also in einer vierelementigen Zeichenfolge darüber entscheiden, wo die beiden Striche und wo die beiden Kreise platziert werden. Wir ziehen k Kugeln Wir haben n Kugeln in der Urne die Anzahl der Farben bzw. Fächer ist n. Damit ist die Anzahl der Trennstriche n − 1. Man kann entweder die zwei Striche wählen: 42 = 6 Möglichkeiten oder die zwei Kreise wählen: ebenfalls 42 = 6 Möglichkeiten n k n n−k die Anzahl der Kreise ist k Die Länge der Zeichenfolge ist die Summe beider Zahlen: n + k − 1 Insgesamt ergeben sich damit n+k −1 n+k −1 = k n−1 = kommt auch Bemerkung: aufgrund der Beziehung dann in beiden Fällen das gleiche Ergebnis heraus, wenn die Anzahl der Striche und der Kreise unterschiedlich ist. Möglichkeiten. Barbara König Mathematische Strukturen 245 Barbara König Mathematische Strukturen 246 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) Beispiel: Würfeln Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge Für das Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ergeben sich n+k −1 n+k −1 = Möglichkeiten, k n−1 Falls mit drei identischen Würfeln gewürfelt wird, so entspricht das dem Ziehen von k = 3 Kugeln aus einer Urne mit n = 6 Kugeln, mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reichenfolge. Insgesamt haben wir n+k −1 8 8! = = = 56 k 3 5! · 3! falls sich n (verschiedene) Kugeln in der Urne befinden und k Kugeln gezogen werden. verschiedene Würfelergebnisse. Es folgt die Aufzählung aller 56 Möglichkeiten . . . Barbara König Mathematische Strukturen 247 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) 1,1,1 1,2,2 1,3,3 1,4,4 1,5,5 1,6,6 2,2,2 2,3,3 2,4,4 2,5,5 2,6,6 3,3,3 3,4,4 3,5,5 3,6,6 4,4,4 4,5,5 4,6,6 5,5,5 5,6,6 6,6,6 1,1,2 1,2,3 1,3,4 1,4,5 1,5,6 1,1,3 1,2,4 1,3,5 1,4,6 1,1,4 1,2,5 1,3,6 1,1,5 1,2,6 2,2,3 2,3,4 2,4,5 2,5,6 2,2,4 2,3,5 2,4,6 2,2,5 2,3,6 2,2,6 3,3,4 3,4,5 3,5,6 3,3,5 3,4,6 3,3,6 4,4,5 4,5,6 4,4,6 Barbara König Mathematische Strukturen 248 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ziehen aus Urnen 1,1,6 Zusammenfassung der vier Fälle: Ziehen mit Zurücklegen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge nk n! nk = (n−k)! n n! k = (n−k)!·k! ohne Reihenfolge n+k−1 k = n+k−1 n−1 Dabei werden k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln gezogen. 5,5,6 Barbara König Mathematische Strukturen 249 Barbara König Mathematische Strukturen 250 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Analysis Motivation Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist anschaulich ein Maß für die Steilheit bzw. den Grad des Wachstums. Analysis, Kurvendiskussion, Ableitbarkeit Wir betrachten Funktionen auf reellen Zahlen und wiederholen Grundlagen der Kurvendiskussion. Dabei gehen wir vor allem auf das Ableiten (= Differenzieren) von Funktionen ein. Steigung einer Geraden y y 2 a 1 -3 -2 -1 b 0 Barbara König Für ein rechtwinkliges Dreieck (mit Katheten parallel zur x- und y -Achse) unterhalb der Geraden bestimmt man die Länge der Katheten: a, b 1 2 x 3 x Steigung der Geraden: a b Dabei ist es unerheblich, wo das Dreieck liegt und wie groß es ist. Man erhält immer denselben Wert. 251 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 252 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Motivation Motivation Um die Steigung einer Kurve in einem Punkt zu bestimmen, bestimmen wir die Tangente an diesem Punkt, d.h. eine Gerade, die die Kurve in diesem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist dann die Steigung der Kurve. Es ist jedoch nicht offensichtlich, wie die Steigung der Tangente bestimmt werden soll. Wir nehmen an, dass die Kurve der Graph einer reellwertigen Funktion f : R → R ist. Wir wollen die Steigung in x bestimmen, d.h. eine Tangente durch den Punkt (x, f (x)) legen. y 3 Vorgehen: Bestimme (für beliebiges h ∈ R) einen weiteren Punkt (x + h, f (x + h)) und lege eine Gerade durch diese beiden Punkte. (x) (x) Die Steigung der Gerade ist: f (x+h)−f = f (x+h)−f h (x+h)−x 2 1 0 1 2 Barbara König 3 4 5 Mathematische Strukturen Lasse h gegen 0 gehen (d.h. h wird immer kleiner). Dann nähert sich die Steigung der Geraden immer mehr der Steigung der Tangenten an. x 253 Barbara König Mathematische Strukturen 254 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Motivation Grenzwerte y Um dies genauer beschreiben zu können und um konkrete Steigungen berechnen zu können, benötigen wir den Begriff des Grenzwerts oder Limes. f (x + h) Beispiel: f (x + h) − f (x) f (x) Die Funktion sin x x ist nicht für Null definiert. (Es ist auch nicht möglich, den Definitionsbereich zu erweitern, da durch 0 dividiert wird.) f : R\{0} → R, h Bei Betrachtung des Funktionsgraphen scheint sich jedoch der Funktionswert von f für x gegen 0 beliebig der 1 zu nähern. x x x +h Barbara König 255 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung -3 Mathematische Strukturen 256 Grenzwerte Grenzwert einer Funktion Sei f : X → R mit X ⊆ R eine Funktion und seien x0 , a ∈ R. Angenommen, es gibt für jedes ε > 0 ein δ > 0, so dass für jedes x ∈ X mit |x0 − x| < δ folgt, dass |a − f (x)| < ε. y -4 Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Grenzwerte f (x) = f (x) = sin x x -2 1 -1 0 1 2 3 4 Dann ist a der Grenzwert (oder Limes) von f für x gegen x0 und man schreibt: lim f (x) = a. x x→x0 Wir wollen daher ausdrücken können, dass der Grenzwert von f für x gegen 0 gleich 1 ist. Barbara König Mathematische Strukturen Bemerkung: Die Werte ε, δ sind reelle Zahlen. 257 Barbara König Mathematische Strukturen 258 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Grenzwerte Grenzwerte Um zu zeigen, dass limx→0 sinx x = 1 gilt, benötigen wir noch folgende Abschätzung (ohne Beweis): für alle x ∈ R gilt |x − sin x| ≤ Bemerkungen: Anschaulich sagt die Grenzwert-Definition: der Abstand zwischen f (x) und a wird beliebig klein (beschrieben durch ε), wenn x nur nahe genug bei x0 liegt (beschrieben durch δ). |x|3 . 6 Daraus folgt für x 6= 0: 2 1 − sin x = |x − sin x| ≤ |x| . x |x| 6 Für eine Funktion f und ein gegebenes x0 muss nicht notwendigerweise ein Grenzwert existieren. (Gegenbeispiel später.) Das heißt, wenn wir für ein ε ≤ 6 erreichen wollen, dass |1 − sinx x | < ε gilt, dann reicht es, δ = ε zu setzen. Denn für ein x mit |0 − x| = |x| < δ gilt: |x|2 sin x δ2 1 − ≤ < ≤ δ = ε. x 6 6 (Für ε > 6 kann man δ = 6 setzen.) Barbara König Mathematische Strukturen 259 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 260 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Grenzwerte Grenzwerte Der Begriff des Grenzwerts macht nur Sinn für sogenannte Häufungspunkte von X . Rechnen mit Grenzwerten Gegeben seien zwei Funktionen f , g : X → R, wobei X ⊆ R. Wir nehmen an, dass beide Funktionen einen Grenzwert in x0 ∈ R haben: lim f (x) = a lim g (x) = b Häufungspunkt Sei X ⊆ R. Eine reelle Zahl x0 ∈ R ist ein Häufungspunkt von X , wenn es für jedes ε > 0 ein x ∈ X gibt mit |x0 − x| < ε. x→x0 Außerdem sei c ∈ R. Dann gilt: D.h. ein Häufungspunkt von X ist eine Zahl, die entweder selbst in X liegt oder in deren Umgebung unendlich viele Elemente von X sind, die beliebig nahe an x0 liegen. lim (c · f (x)) = c · lim f (x) = c · a x→x0 lim (f (x) + g (x)) = x→x0 lim (f (x) · g (x)) = x→x0 x→x0 261 lim f (x) + lim g (x) = a + b x→x0 lim (f (x) − g (x)) = x→x0 Beispiel: Die Zahl x0 = 0 ist ein Häufungspunkt von X = R\{0}. Mathematische Strukturen x→x0 x→x0 Ist x0 kein Häufungspunkt von x, dann gibt es keine Möglichkeit, x0 beliebig nahe zu kommen und die Grenzwert-Definition macht keinen Sinn. Barbara König x→x0 x→x0 lim f (x) − lim g (x) = a − b x→x0 lim f (x) · lim g (x) = a · b Barbara König x→x0 Mathematische Strukturen 262 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Stetigkeit Stetigkeit Manche Funktionen machen “Sprünge”, beispielsweise folgende Funktion g : 1 falls x ≤ 3 g : R → R, g (x) = 2 falls x > 3 Stetigkeit Eine Funktion f : X → R heißt stetig an der Stelle x0 ∈ X , wenn der Grenzwert limx→x0 f (x) definiert ist und außerdem gleich f (x0 ) ist. Die Funktion f heißt stetig, wenn sie für jedes x0 ∈ X stetig ist. y 2 Anschaulich: wenn man sich dem Wert x0 (von links oder rechts nähert) und Funktionswerte bildet, so erhält man im Grenzwert genau den Wert f (x0 ). 1 0 1 2 3 4 5 x Anschaulich bezeichnen wir eine Funktion als stetig, wenn sie keine solchen Sprungstellen besitzen. Barbara König 263 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 264 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Stetigkeit Stetigkeit Weiteres Beispiel: Beispiel: sei x0 = 3. Wenn man sich von rechts x0 nähert, dann nähert man sich nicht dem Funktionswert g (x0 ) = 1. Man kann die Funktion y f : R\{0} → R, 2 sin x x stetig fortsetzen, d.h., eine Funktion f : R → R konstruieren, die 1 0 f (x) = auf allen reellen Zahlen definiert ist, 1 2 3 4 5 auf R\{0} mit f übereinstimmt und x stetig ist. Dabei ist f wie folgt definiert: sin x x f (x) = 1 Genauer: für ε < 1 gibt es kein δ, so dass aus |x0 − x| = |3 − x| < δ auch |g (x0 ) − g (x)| = |1 − g (x)| < ε folgt. Beispielsweise gilt für x = 3 + 2δ immer g (x) = 2 und damit |1 − g (x)| = 1 > ε. Damit existiert kein Grenzwert limx→3 g (x). Barbara König Mathematische Strukturen falls x 6= 0 falls x = 0 Diese Funktion ist stetig, denn limx→0 265 Barbara König sin x x = 1. Mathematische Strukturen 266 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Bestimmung der Ableitung Bestimmung der Ableitung Mit Hilfe des Grenzwert-Begriffs kann man nun die Steigung einer Funktion f definieren. Die entstehende Funktion f 0 , die zu jedem x-Wert die Steigung an der jeweiligen Stelle angibt, heißt Ableitung. Die Bestimmung von f 0 bezeichnet man auch als Ableiten bzw. Differenzieren. Bemerkungen: Statt f 0 (x) schreibt man manchmal auch df dx (x). Ableitung Eine Funktion f : X → R mit X ⊆ X heißt differenzierbar (oder ableitbar) an der Stelle x ∈ X , wenn der Grenzwert df (x) d dx f (x), dx oder Dabei steht dx für die Distanz zwischen Werten auf der x-Achse und df (x) für die Distanz zwischen Funktionswerten. f (x + h) − f (x) h→0 h lim Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig. existiert. Dieser wird mit f 0 (x) bezeichnet. Eine Funktion heißt differenzierbar, wenn sie für alle x ∈ X differenzierbar ist. Die dabei entstehende Funktion f 0 : X → R wird als Ableitung bezeichnet. Barbara König 267 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 268 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Bestimmung der Ableitung Bestimmung der Ableitung Beispiel: Wir bestimmen die Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle x = 0. sin(0 + h) − sin 0 sin h − sin 0 sin h sin0 0 = lim = lim = lim =1 h→0 h→0 h→0 h h h Ableitung einer konstanten Funktion Sei f : R → R mit f (x) = c, wobei c ∈ R eine Konstante ist. f (x + h) − f (x) c −c = lim = lim 0 = 0 h→0 h→0 h→0 h h f 0 (x) = lim Folgende Abbildung stellt die Tangente an der Sinuskurve an der Stelle 0 dar. Diese Tangente hat Steigung 1. Ableitung der Identitätsfunkion y Sei f : R → R mit f (x) = x. 1 -3 -2 -1 1 2 3 f (x + h) − f (x) (x + h) − x = lim = lim 1 = 1 h→0 h→0 h→0 h h x f 0 (x) = lim -1 Barbara König Mathematische Strukturen 269 Barbara König Mathematische Strukturen 270 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Bestimmung der Ableitung Bestimmung der Ableitung Ableitung von f (x) = x n Sei f : R → R mit f (x) = x n für ein festes n ∈ N0 . Ableitung einer (Normal-)Parabel Sei f : R → R mit f (x) = Pn n n−k k h − xn f (x + h) − f (x) k=0 k x f (x) = lim = lim h→0 h→0 h h n X n n n−1 = lim x n−k hk−1 = x = n · x n−1 h→0 k 1 0 x 2. f (x + h) − f (x) (x + h)2 − x 2 = lim h→0 h→0 h h 2 2xh + h = lim = lim (2x + h) = 2x h→0 h→0 h f 0 (x) = lim k=1 Die Berechnung basiert auf folgenden zwei Beobachtungen: der binomischen Formel für (x + h)n (siehe Kombinatorik Binomische Formel ); das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, da nur der Summand für k = 1 keinen Faktor h enthält. Alle anderen Summanden enthalten ein h und werden zu 0, wenn h gegen 0 geht. Barbara König Mathematische Strukturen 271 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 272 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Bestimmung der Ableitung Ableitungen bekannter Funktionen Folgende Tabelle enthält die Ableitungen weiterer bekannter Funktionen. Dabei ist a ∈ R. Bemerkung: Auch für f (x) = f 0 (x) = c · x c−1 . xc, wobei c ∈ R eine beliebige reelle Zahl ist, gilt D.h. für f : R+ 0 → R, f (x) = √ f (x) f 0 (x) ex ex ax ln(a) · ax ln x 1 2 x = x gilt: loga (x) 1 1 1 f 0 (x) = x − 2 = √ 2 2 x sin x cos x 1 x 1 ln(a)·x cos x − sin x e: Eulersche Zahl (≈ 2, 718281 . . . ) ln x: Logarithmus naturalis (Logarithmus zur Basis e) loga x: Logarithmus zu Basis a (bezeichnet die eindeutig bestimmte Zahl y ∈ R für die gilt ay = x) Barbara König Mathematische Strukturen 273 Barbara König Mathematische Strukturen 274 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ableitungen bekannter Funktionen Ableitungen bekannter Funktionen Beispiel 1: Graph der Parabel (f (x) = x 2 ) und ihre Ableitung (f 0 (x) = 2x). Beispiel 2: Graph des Logarithmus naturalis (f (x) = ln x) und seiner Ableitung (f 0 (x) = x1 ) (auf den positiven reellen Zahlen). y y 4 3 3 2 2 1 1 -3 -2 -1 1 2 3 x 1 2 3 4 5 6 7 x 8 -1 Barbara König Mathematische Strukturen 275 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König 276 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ableitungsregeln Ableitungsregeln Wenn man die Ableitungen bestimmter Funktionen kennt, kann man daraus – nach einer Art Baukastenprinzip – weitere Ableitungen konstruieren. Dafür gelten die unten aufgeführten Regeln. Beweis der Faktorregel: g (x + h) − g (x) h→0 h lim Faktorregel Sei f : X → R eine differenzierbare Funktion mit Ableitung f 0 und sei g : X → R definiert als g (x) = c · f (x) für c ∈ R. Dann gilt: Mathematische Strukturen lim Für das vorletzte Gleichheitszeichen siehe g 0 (x) = (c · f )0 (x) = c · f 0 (x) Barbara König c · f (x + h) − c · f (x) h→0 h f (x + h) − f (x) = c · lim = c · f 0 (x) h→0 h = 277 Barbara König Rechnen mit Grenzwerten Mathematische Strukturen . 278 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ableitungsregeln Ableitungsregeln Summenregel Seien f , g : X → R differenzierbare Funktionen mit Ableitungen f 0 , g 0 und sei k : X → R definiert als k(x) = f (x) + g (x). Dann gilt: k 0 (x) = (f + g )0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) Bemerkung: Wir verwenden im Weiteren häufiger Abkürzungen wie c · f (Produkt einer Funktion mit einer Konstante c). Ebenso schreiben wir f + g und f · g für die punktweise Addition und Multiplikation von zwei Funktionen. Dabei gilt (f + g )(x) = f (x) + g (x) und (f · g )(x) = f (x) · g (x). Bereits eingeführt wurde die Notation f ◦ g (Verknüpfung von Funktionen Verknüpfung ). Beweis: k(x + h) − k(x) f (x + h) + g (x + h) − f (x) − g (x) = lim h→0 h→0 h h f (x + h) − f (x) g (x + h) − g (x) = lim + lim = f 0 (x) + g 0 (x) h→0 h→0 h h lim Für das vorletzte Gleichheitszeichen siehe wieder Rechnen mit Grenzwerten . Barbara König Mathematische Strukturen 279 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 280 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ableitungsregeln Ableitungsregeln Beweis der Produktregel: k(x + h) − k(x) f (x + h) · g (x + h) − f (x) · g (x) = lim h→0 h→0 h h f (x + h) · g (x) − f (x) · g (x) lim h→0 h f (x + h) · g (x + h) − f (x + h) · g (x) + h f (x + h) − f (x) g (x + h) − g (x) · g (x) + f (x + h) · lim h→0 h h f (x + h) − f (x) lim · g (x) h→0 h g (x + h) − g (x) + lim f (x + h) · lim h→0 h→0 h 0 0 f (x) · g (x) + f (x) · g (x) lim Produktregel Seien f , g : X → R differenzierbare Funktionen mit Ableitungen f 0 , g 0 und sei k : X → R definiert als k(x) = f (x) · g (x). Dann gilt: = k 0 (x) = (f · g )0 (x) = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g 0 (x) = Auch zum Beweis der Produktregel benötigt man die Rechenregeln für Grenzwerte Rechnen mit Grenzwerten : = = Barbara König Mathematische Strukturen 281 Barbara König Mathematische Strukturen 282 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ableitungsregeln Ableitungsregeln Wir betrachten nun Anwendungen der bisher eingeführten Ableitungsregeln für Funktionen f : R → R. Für die Ableitung eines Polynoms verwendet man die Faktor- und die Summenregel. Beispiel für die Anwendung der Produktregel: Ableiten eines Polynoms Die Ableitung von f (x) = x 2 · 2x ist Sei f (x) = an · x n + an−1 · x n−1 + · · · + a1 · x + a0 mit ai ∈ R, n ∈ N0 . f 0 (x) = 2x · 2x + x 2 · ln(2) · 2x = (2x + ln(2) · x 2 ) · 2x . Dann gilt: f 0 (x) = n · an · x n−1 + (n − 1) · an−1 · x n−2 + · · · + a1 Beispiel: Die Ableitung von f (x) = x 5 − 2x 3 ist f 0 (x) = 5x 4 − 6x 2 . Barbara König Mathematische Strukturen 283 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König 284 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ableitungsregeln Ableitungsregeln Beispiel für die Anwendung der Kettenregel: Kettenregel Seien f : R → R, g : X → R differenzierbare Funktionen mit Ableitungen f 0 , g 0 und sei k : X → R definiert als k(x) = f (g (x)) = (f ◦ g )(x). Dann gilt: 2 Die Ableitung von f (x) = 2x ist 2 f 0 (x) = ln(2) · 2x · 2x = 2 · ln(2) · x · 2x k 0 (x) = (f ◦ g )0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x) Bemerkung: Die Multiplikation mit dem Faktor g 0 (x) bei der Kettenregel bezeichnet man manchmal auch als “Nachdifferenzieren”. (Ohne Beweis) Barbara König Mathematische Strukturen 2 285 Barbara König Mathematische Strukturen 286 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ableitungsregeln Ableitungsregeln Durch die Kombination der Kettenregel und der Beziehung d c c−1 ergibt sich die Kehrwertregel. dx x = c · x Wenn man nun die Kehrwertregel mit der Produktregel kombiniert, erhält man die Quotientenregel. Kehrwertregel Sei g : X → R eine differenzierbare Funktionen mit Ableitung g 0 1 und sei k : X → R definiert als k(x) = g (x) . Dann gilt: k 0 (x) = − Quotientenregel Seien f : X → R, g : X → R differenzierbare Funktionen mit Ableitungen f 0 , g 0 und sei k : X → R definiert als k(x) = gf (x) (x) . Dann gilt: f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x) 0 k (x) = , g (x)2 g 0 (x) , g (x)2 falls g (x) 6= 0. falls g (x) 6= 0. Beweis: k 0 (x) = d g 0 (x) g (x)−1 = (−1) · g (x)−2 · g 0 (x) = − dx g (x)2 Barbara König Mathematische Strukturen 287 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 288 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Ableitungsregeln Ableitungsregeln Beweis der Quotientenregel: Beispiel: d 1 f (x) · dx g (x) 1 g 0 (x) 0 = f (x) · + f (x) · − g (x) g (x)2 f 0 (x) · g (x) − f (x) · g 0 (x) = g (x)2 k 0 (x) = Barbara König Mathematische Strukturen Die Ableitung von f (x) = f 0 (x) = sin x x ist (cos x) · x − (sin x) · 1 (cos x) · x − (sin x) = x2 x2 für x 6= 0. 289 Barbara König Mathematische Strukturen 290 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Mehrfache Ableitungen Kurvendiskussion Man kann Ableitungen nochmal differenzieren und erhält dann die zweite Ableitung, dritte Ableitung, . . . Da die Ableitung einer Funktion f deren Steigung beschreibt, kann man aus ihr Schlüsse über die Funktion ziehen: n-te Ableitungen Für eine differenzierbare Funktion f : X → R mit X ⊆ R definieren wir Funktionen f (n) : X → R mit: f (0) (x) = f (x) Schlüsse aus der ersten Ableitung f 0 (x) > 0: Funktion f steigt an der Stelle x f 0 (x) < 0: Funktion f fällt an der Stelle x f (n+1) (x) = (f (n) )0 (x) Dabei wird gefordert, dass jede Funktion f (n) wiederum differenzierbar ist. Für das Polynom p : R → R mit p(x) = x 2 + 3x − 2 gilt: 0-te Ableitung: die Funktion p selbst, d.h. p (0) = p 1-te Ableitung: p (1) (x) = p 0 (x) = 2x + 3 2-te Ableitung: p (2) (x) = p 00 (x) = 2 3-te und weitere Ableitungen: p (3) (x) = p (4) (x) = · · · = 0 Barbara König Mathematische Strukturen Schlüsse aus der zweiten Ableitung f 00 (x) > 0: Ableitung f 0 steigt an der Stelle x, d.h., f ist an der Stelle x linksgekrümmt f 00 (x) < 0: Ableitung f 0 fällt an der Stelle x, d.h., f ist an der Stelle x rechtsgekrümmt 291 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 292 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Kurvendiskussion Kurvendiskussion Mit Hilfe der Ableitungen kann man auch Aussagen über die Extrema, d.h. Minima und Maxima, einer Funktion machen. Lokale Extrema und erste Ableitungen Hat eine differenzierbare Funktion f : X → R mit X ⊆ R an der Stelle x0 ein lokales Extremum, so muss an dieser Stelle f 0 (x0 ) = 0 gelten. Lokale Extrema Eine Funktion f : X → R mit X ⊆ R hat an der Stelle x0 ein lokales Minimum, wenn es ein ε > 0 gibt mit f (x0 ) ≤ f (x) für alle x mit |x0 − x| < ε. Eine Funktion f : X → R mit X ⊆ R hat an der Stelle x0 ein lokales Maximum, wenn es ein ε > 0 gibt mit f (x0 ) ≥ f (x) für alle y mit |x0 − x| < ε. Anschauliche Begründung: bei einem Extremum wechselt die Steigung einer Funktion von negativ nach positiv (oder umgekehrt) und muss daher an dieser Stelle den Wert 0 einnehmen. Lokale Minima und Maxima heißen auch lokale Extrema. Ein lokales Minimum (Maximum) ist nicht notwendigerweise auch ein globales Minimum (Maximum) der Funktion. Barbara König Mathematische Strukturen 293 Barbara König Mathematische Strukturen 294 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Kurvendiskussion Kurvendiskussion y 3 Bemerkung: Allerdings gibt es Nullstellen der ersten Ableitung, an denen die Funktion kein Extremum einnimmt, sondern einen sogenannten Sattelpunkt (eine Stelle mit Steigung 0, an der aber kein Extremum vorliegt). f 0 (x) 1 -3 Für f : R → R mit f (x) = gilt = und es gilt f 0 (0) = 0. Jedoch gibt es an der Stelle x0 = 0 weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum (siehe Abbildung). x3 f (x) = x 3 2 3x 2 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 -3 Barbara König Mathematische Strukturen 295 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 296 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Kurvendiskussion Kurvendiskussion Die allgemeine Regel für die Bestimmung von lokalen Minima und Maxima lautet wie folgt: Lokale Extrema und n-te Ableitungen Beispiel 1: f : R → R mit f (x) = (x − 2)2 − 3 Sei f : X → R eine Funktion und f (n) : X → R, n ∈ N0 ihre n-ten Ableitungen. Für x0 ∈ X gilt f 0 (x0 ) = 0 und n ∈ N0 ist die kleinste Zahl, für die f (n) (x0 ) 6= 0 gilt. Wir unterscheiden nun folgende Fälle: n ist gerade: f (n) (x0 ) < 0 f (n) (x0 ) > 0 n ist ungerade 1-te Ableitung: f 0 (x) = 2 · (x − 2) = 2x − 4, Nullstelle bei x = 2 2-te Ableitung: f 00 (x) = 2, f 00 (2) = 2 > 0 D.h., es gibt ein (lokales) Minimum an der Stelle x = 2 mit Funktionswert f (2) = −3. lokales Maximum an der Stelle x0 lokales Minimum an der Stelle x0 Sattelpunkt an der Stelle x0 Barbara König Mathematische Strukturen 297 Barbara König Mathematische Strukturen 298 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Kurvendiskussion Kurvendiskussion y 3 2 f (x) = (x − 2)2 − 3 Beispiel 2: f : R → R mit f (x) = x − e x 1-te Ableitung: f 0 (x) = 1 − e x , Nullstelle bei x = 0 1 -1 1 3 2-te Ableitung: f 00 (x) = −e x , f 00 (0) = −1 < 0 x 5 D.h., es gibt ein (lokales) Maximum an der Stelle x = 0 mit Funktionswert f (0) = −1. -1 -2 -3 Barbara König 299 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Kurvendiskussion -2 Mathematische Strukturen 300 Kurvendiskussion Beispiel 3: f : R → R mit f (x) = x 5 − 2x 3 y -3 Barbara König Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung -1 1 2 3 1-te Ableitung: f 0 (x) = 5x 4 − 6x 2 = 5x 2 (x 2 − 65 ), Nullstellen bei q q q 6 6 6 x = 0, x = − 5 und x = 5 ≈ 1, 095 . . . 5 x 3 2-te Ableitung: f 00 (x) q=20x − 12x, es gilt f 00 − 65 ≈ −13, 145 · · · < 0, q 6 00 00 f 5 ≈ 13, 145 · · · > 0, f (0) = 0 -1 -2 3-te Ableitung: f 000 (x) = 60x 2 − 12, f 000 (0) = −12 -3 -4 Barbara König q D.h., es gibt ein lokales Maximum an der Stelle x = − 65 , ein q lokales Minimum an der Stelle x = 65 und einen Sattelpunkt an der Stelle x = 0. Die lokalen Extrema sind hier keine globalen Extrema. f (x) = x − e x Mathematische Strukturen 301 Barbara König Mathematische Strukturen 302 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Kurvendiskussion Kurvendiskussion y 2 Wendepunkte Sei f : X → R eine differenzierbare Funktion mit f 00 (x0 ) = 0 und f 000 (x0 ) 6= 0 für ein x0 ∈ X , d.h., die zweite Ableitung ist gleich null und die dritte Ableitung ungleich Null. 1 -2 -1 1 -1 2 Dann gibt es an dieser Stelle einen Wendepunkt, bei dem die Kurve ihre Krümmung ändert (von links- auf rechtsgekrümmt oder umgekehrt). x f (x) = x 5 − 2x 3 -2 Barbara König 303 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König 304 Mathematische Strukturen Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Kurvendiskussion Kurvendiskussion Beispiel 2: Beispiel 1: Die Funktion f : R → R mit f (x) = (x − 1) · x · (x + 1) = x 3 − x hat (genau) einen Wendepunkt, und zwar an der Stelle x0 = 0. Die Sinuskurve hat (unter anderem) einen Wendepunkt an der Stelle x0 = 0. y y 1 1 -4 -3 -2 -1 1 -1 2 3 4 x -2 -1 1 x f (x) = sin(x) -1 Barbara König 2 Mathematische Strukturen 305 Barbara König f (x) = x 3 − x Mathematische Strukturen 306 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Zusammenfassung Stichwortsammlung: Grundlagen Mengenlehre: Menge M Element einer Menge a ∈ M Themen der Vorlesung Grundlagen: Mengenlehre und Zahlentheorie Teilmenge M 0 ⊆ M Schnitt/Vereinigung ∪, ∩ Algebraische Strukturen: Monoide/Gruppen/Körper, Vektorräume und Matrizen, Gaußsches Eliminationsverfahren Potenzmenge P(M) Kreuzprodukt M1 × M2 Kombinatorik: Ziehen aus Urnen Relationen: Partielle Ordnung, Äquivalenzrelation (Symmetrie, Antisymmetrie, Reflexivität, Transitivität) Analysis, Ableitung, Kurvendiskussion Funktionen: Surjektivität, Injektivität, Bijektivität, Funktionsverkettung, Bild/Urbild einer Menge, Definitionsund Wertebereich Mengen von Zahlen: N0 , Z, Q, R, . . . Barbara König Mathematische Strukturen 307 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 308 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Stichwortsammlung: Grundlagen Stichwortsammlung: Algebraische Strukturen Zahlentheorie: Division mit Rest Monoide/Gruppen/Körper: Modulo-Rechnung Teilbarkeit Zweistellige Operatoren Primzahlen Neutrale Elemente 0, 1 Primfaktorzerlegung Inverse −a, a−1 Teilerfremdheit Assoziativität Größter gemeinsamer Teiler ggT & kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV Kommutativität Euklidischer Algorithmus Der Körper (Zn , +n , ·n ), falls n eine Primzahl ist Distributivität Diophantische Gleichungen Die Eulersche ϕ-Funktion Satz von Euler-Fermat Barbara König Mathematische Strukturen 309 Barbara König Mathematische Strukturen 310 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Stichwortsammlung: Algebraische Strukturen Stichwortsammlung: Algebraische Strukturen Vektorräume und Matrizen (Lineare Algebra): Vektor ~v RSA-Algorithmus: Vektorraum Schlüsselerzeugung Skalar Privater Schlüssel Öffentlicher Schlüssel Anwendungsgebiet “Geometrie” (Punkte auf der Ebene und im Raum) Verschlüsselung einer Nachricht Vektor-Addition ~v + ~u Entschlüsselung einer Nachricht Vektorraum als Gruppe Multiplikation mit einem Skalar k · ~v Matrizen/Lineare Abbildungen A, ψA Barbara König Mathematische Strukturen 311 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 312 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Stichwortsammlung: Algebraische Strukturen Stichwortsammlung: Algebraische Strukturen Matrizen: Matrizen Basen, Gaußsches Eliminationsverfahren und inverse Matrizen: Zeilendimension/Spaltendimension Erzeugendensystem Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor A · ~v Lineare Unabhängigkeit Addition von zwei Matrizen A + B Basis Die additive Gruppe der Matrizen Lineare Gleichungssysteme Matrixmultiplikation A · B Gaußsches Eliminationsverfahren Einheitsmatrix En Anzahl der möglichen Lösungen Inverse Matrix A−1 Inverse Matrix bestimmen Einschub: Trigonometrie Die Gruppe der Drehmatrizen Spiegelungsmatrizen Barbara König Mathematische Strukturen 313 Barbara König Mathematische Strukturen 314 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Stichwortsammlung: Kombinatorik Stichwortsammlung: Kombinatorik Ziehen aus Urnen mit Anwendungen: Ziehen aus Urnen (k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln): Anzahl der Funktionen zwischen zwei Mengen Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen (nk Möglichkeiten) Anzahl der injektiven Funktionen zwischen zwei Mengen Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen (nk Möglichkeiten) Ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen ( n+k−1 Möglichkeiten) k Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen ( kn Möglichkeiten) Barbara König Mathematische Strukturen Fakultätsfunktion Binomialkoeffizienten Allgemeine binomische Formel 315 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Barbara König Mathematische Strukturen 316 Organisatorisches Einführung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Analysis Zusammenfassung Stichwortsammlung: Analysis Stichwortsammlung: Analysis Ableitung, Kurvendiskussion: Grenzwert, Stetigkeit: Definition der Ableitung (basierend auf Grenzwerten) Steigung von Geraden und Tangenten Bestimmung der Ableitung bei konkreten Funktionen Berechnung der Steigung mit Hilfe eines Grenzwertes Ableitungen bekannter Funktionen Grenzwert Häufungspunkt Ableitungsregeln (Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Kettenregel, Quotientenregel) Stetigkeit von Funktionen n-te Ableitungen Kurvendiskussion (Minima, Maxima, Sattelpunkte, Wendepunkte) Barbara König Mathematische Strukturen 317 Barbara König Mathematische Strukturen 318