4. Klasse - Schule Brugg

Mathematik –
Theorie
Bezirksschule
4. Klasse
Mathematik -Theorie
1
4. Klasse Bezirksschule
Inhaltsverzeichnis 4. Klasse
A
Operationen mit Variablen in Q
1
2
3
Bruchterme
Addition und Subtraktion
Multiplikation und Division
B
Gleichungen und Ungleichungen in Q
1
2
3
Grundkenntnisse
Anwendungen
Gleichungen mit verschiedenen Variablen
C
Anwendungen
1
2
3
4
5
6
7
Strukturen der Prozentrechnung
Grundkenntnisse zum Zinsrechnen
Zinsrechnen: Alle Varianten
Verketten von Prozentrechnungen
Aus der Bevölkerungsstatistik
Wachstumsprobleme
Kunterbunt
D
Symmetrien
1
2
3
Symmetrieeigenschaften
Konstruktionsaufgaben
Herausforderungen
E
Winkel am Kreis
1
2
3
Peripherie-, Zentri-, Sehnentangentenwinkel
Anwendungen
Sehnenvierecke und Tangentenvierecke
Mathematik -Theorie
4
8
11
13
17
21
24
28
30
32
34
35
38
39
43
44
2
45
49
51
4. Klasse Bezirksschule
F
Der Satz des Pythagoras
1
2
3
4
5
6
Quadratwurzel
Satz des Pythagoras
Umformen von Wurzeltermen
Weitere Anwendungen
Berechnungen im Koordinatensystem
Berechnungen an geometrischen Körpern
Mathematik -Theorie
3
53
55
60
63
65
66
4. Klasse Bezirksschule
A Operationen mit Variablen in Q
1
Bruchterme: Entstehung und Formänderungen
Bruchterme sind Brüche, welche Zahlen und Buchstaben enthalten.
3x 5 12xy 4x 2
( x + 2)2
,
,
,
,
.
4
a
a
x −1
5
Beispiele:
Der Begriff Formänderung gibt an, dass bei einem Bruchterm die Form
(= Aussehen), aber nicht der Wert verändert wird!
⋅2
Beispiele: 1.
3x
6x
=
4
8
⋅2
(dieser Vorgang heisst Erweitern und stellt
eine Formänderung dar)
:4x
2.
4x 3 x 2
=
8x
2
:4x
-
(dieser Vorgang heisst Kürzen und stellt
eine Formänderung dar)
Erweitern heisst, Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck zu multiplizieren.
Kürzen heisst, Zähler und Nenner durch denselben Ausdruck zu dividieren.
Für die Variable(n) eines Bruchtermes können Zahlen eingesetzt werden, so
dass der Wert des Termes berechnet werden kann.
Beispiel:
Berechne den Wert des Bruchtermes
T=
2x + 7
y−2
für x = 7 und y = -1.
T=
Mathematik -Theorie
2 ⋅ 7 + 7 14 + 7 21
=
=
= −7 .
− 1− 2
−3
−3
4
4. Klasse Bezirksschule
Grundmenge G
Die Zahlen, welche für die Variable(n) eines Bruchtermes eingesetzt werden
dürfen, müssen in der sogenannten Grundmenge G enthalten sein. Die
Grundmenge ist eine Art Vorratskammer aus Zahlen, welche zur Verfügung
stehen.
Die Grundmenge G entspricht meistens einer der folgenden Zahlenmengen:
-
N = {1, 2, 3, 4, ...}
(Menge der natürlichen Zahlen ohne 0)
-
N0 = {0, 1, 2, 3, ...}
(Menge der natürlichen Zahlen mit 0)
-
Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
(Menge der ganzen Zahlen)
-
Q = {x x =
a
und a,b ∈Z }
b
(Menge der rationalen Zahlen)
Definitionsmenge D
Beim Einsetzen von Zahlen aus der Grundmenge G für die Variable(n) eines
Bruchtermes können sich Probleme ergeben. Mit der Definitions-menge D
wird angegeben, welche Zahlen verwendet werden dürfen.
Beispiel:
Grundmenge G = Q.
Setze im Bruchterm
--->
3x − 5
für x die Zahl –1 ein.
x +1
3 ⋅ ( −1) − 5 − 8
=
0
− 1+ 1
--->
Division durch 0 ist nicht definiert!
Der obige Bruchterm ist für x = -1 nicht definiert. Die
Definitionsmenge D ist folglich hier:
D = Q \ {-1}
„ausser“
Mathematik -Theorie
5
4. Klasse Bezirksschule
Kürzungsregeln anhand von Beispielen
1.
6x 3x
=
10
5
2.
10
1
=
20y 2y
3.
24xy 3y
=
= 3y
8x
1
4.
4x 4
=
x2
x
5.
12x2 y 3x
=
20xy2 5y
6.
(2x)3 8x 3 2x
=
=
= 2x
4x 2
4x 2
1
7.
(4x )
64x
8x
=
=
3
3
(6x)
216x
27
8.
−8a2b −2a
2a
=
=−
2
12ab
3b
3b
9.
(−2a)
16a
4a
=
=
= 4a2
2
2
4a
4a
1
10.
3
−8a3
−2a
(−2a)
=
=
= − 2a
4a2
4a2
1
11.
−xa2
− xa2
a
=
=
(−x)3 a −x3 a x 2
12.
2
−(ax2 )2 −a2 x 4 −x 2
x
= 4 2 = 2 =− 2
(−a2 x)2
a x
a
a
13.
7x 2 10
7x 2 ⋅ 10
x⋅2 x
⋅
=
=
= = x
5 14x
5 ⋅ 14x
1⋅ 2
1
2 3
4
Mathematik -Theorie
6
4
3
2
6
4. Klasse Bezirksschule
14.
−5a 12 −5⋅ 4 −20
20
⋅ 2 =
=
=−
3 a
1⋅ a
a
a
15.
3
2
−8x 3 15a2 4x2 ⋅ 3a 4x 2 ⋅ a
(−2x) 15a
⋅
=
⋅
=
=
= 4ax2
−6x
5a
5a −6x
1⋅ 3
1
16.
x+1 1
= = 1
x+1 1
17.
2x + 2 2(x + 1) 2
=
= =2
x+1
x+1
1
18.
x − 1 (−1) ⋅ (−x + 1) −1(1− x) −1
=
=
=
= −1
1− x
1− x
1− x
1
19.
4x 2 − 4 x 3
4x 2 (1 − x ) 4x 2
=
=
= 4x 2
1− x
1− x
1
20.
12x − 20 4(3x − 5) 3x − 5
3x − 5
=
=
=−
2
−8
−8
−2
21.
12x − 20 4(3x − 5) 4
=
= =4
3x − 5
3x − 5
1
22.
12x − 20
4(3x − 5)
4
=
=
=−4
5 − 3x
(−1)(3x − 5) −1
23.
8 − 24a
8(1− 3a)
4
−8(3a − 1) −8
=
=
=
=−
30a − 10 10(3a − 1) 10(3a − 1) 10
5
24.
x2 a − x3
x2 (a − x) x(a − x)
x(a − x)
x
=
=
=
=
=−x
2
x − ax
x(x − a)
1(x − a) −1(a − x) −1
25.
a2 − 1 (a + 1)(a − 1) a + 1
=
=
= a+1
a−1
a −1
1
26.
4
2
2
2
2
2
x −x
x (x − 1)
x (x + 1)(x − 1) x (x − 1)
=
=
=
x2 + 2x + 1 (x + 1)(x + 1)
(x + 1)(x + 1)
x+1
Mathematik -Theorie
7
4. Klasse Bezirksschule
2
Addition und Subtraktion von Bruchtermen
Brüche
Der Nenner „nennt“ die Grösse eines Bruches, der Zähler „zählt“ die Anzahl.
Beispiel:
Zähler
(Anzahl: Drei)
3
4
Nenner
(Grösse: Viertel)
Brüche, die addiert oder subtrahiert werden, müssen gleichnamig sein, d.h.
den gleichen Nenner besitzen.
Dann werden die Zähler addiert bzw. subtrahiert.
Beispiel:
3 5 8
+ = =2
4 4 4
gleichnamig
Sind Brüche ungleichnamig (besitzen sie nicht den gleichen Nenner), müssen
sie durch Erweitern gleichnamig gemacht werden.
Man bestimmt in diesem Falle den sogenannten Hauptnenner.
Der Hauptnenner ist das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) der
einzelnen Nenner.
Dann addiert bzw. subtrahiert man die Zähler der erweiterten Brüche.
Beispiele:
3 3
15 12
27
+ =
+
=
4 5
20 20
20
Hauptnenner (kgV)
ungleichnamig
2 5 7 16 15 14 17
+ −
=
+
−
=
3 8 12 24 24 24 24
Hauptnenner (kgV)
Mathematik -Theorie
8
4. Klasse Bezirksschule
Bruchterme
Das Vorgehen bei der Addition bzw. Subtraktion von Bruchtermen ist
identisch mit dem vorher geschilderten Verfahren bei Brüchen.
Bruchterme, die addiert oder subtrahiert werden, müssen gleichnamig sein,
d.h. den gleichen Nenner besitzen.
Beispiele:
3 x 5x 8x
+
=
= 2x
4
4
4
2
1
3 1
+
=
=
3a 3a 3a a
Sind Bruchterme ungleichnamig (besitzen sie nicht den gleichen Nenner),
müssen sie gleichnamig gemacht werden.
Man bestimmt ebenfalls den Hauptnenner und addiert bzw. subtrahiert die
Zähler der erweiterten Brüche.
Beispiele:
3z 3z
15z 12z
27z
+
=
+
=
4
5
20
20
20
2
5
7
16
15
14
17
+
−
=
+
−
=
3b 8b 12b 24b 24b 24b 24b
2x 7x 3x 16x 35x 12x 39x
+
−
=
+
−
=
5y 8y 10y 40y 40y 40y 40y
2
5
12b
25a 12b + 25a
+
=
+
=
5a 6b 30ab 30ab
30ab
3b
3
6b 2
3a
6b2 + 3a
+
=
+
=
2a 2 4ab 4a 2b 4a 2b
4a 2b
Mathematik -Theorie
9
4. Klasse Bezirksschule
Bestimmung des Hauptnenners bei Summen
Die Bestimmung des Hauptnenners wird anspruchsvoller, sobald im Nenner
Summen vorkommen.
In diesem Falle müssen die Summen – falls möglich – durch Faktorisieren in
Produkte zerlegt werden.
Beispiele:
1
1
1
1
1
x −1
1+ x − 1
x
1
+
=
+
=
+
=
=
=
x −x x
x ( x − 1) x x ( x − 1) x ( x − 1)
x ( x − 1)
x ( x − 1)
x −1
2
„Faktorisieren“
!
„Klammern setzen wegen negativem Vorzeichen!“
1
1
a −b
(a + b)
a − b − (a + b) a − b − a − b
−
=
−
=
=
=
a + b a − b (a + b)(a − b) (a + b)(a − b) (a + b)(a − b) (a + b)(a − b)
2b
− 2b
=−
(a + b)(a − b)
(a + b)(a − b)
4x
4
4
4x
4
4
−
+ 2
=
−
+
=
x + x 2x − 2 x − 1 x( x + 1) 2(x − 1) ( x + 1)( x − 1)
2
4x ⋅ 2 ⋅ ( x − 1)
4 ⋅ x ⋅ ( x + 1)
4 ⋅ 2x
−
+
=
2x( x + 1)( x − 1) 2x(x + 1)( x − 1) 2x( x + 1)( x − 1)
8x( x − 1) − 4x( x + 1) + 8x 8x 2 − 8x − 4x 2 − 4x + 8x
4 x 2 − 4x
=
=
=
2x( x + 1)( x − 1)
2x(x + 1)( x − 1)
2x( x + 1)( x − 1)
4x( x − 1)
2
=
2x( x + 1)( x − 1) x + 1
Mathematik -Theorie
10
4. Klasse Bezirksschule
3
Multiplikation und Division von Bruchtermen
Brüche multiplizieren
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man die beiden Zähler
miteinander multipliziert und die beiden Nenner miteinander multipliziert. Statt
nach dem Multiplizieren kürzt man besser vor dem Multiplizieren!
2 3
6
1
⋅ =
=
3 4
12
2
Beispiel:
1
1
1
2
2 3
1
⋅ =
3 4
2
besser:
Brüche dividieren
Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den ersten Bruch
mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert.
Den Kehrwert eines Bruches erhält man, wenn man Zähler und Nenner miteinander
vertauscht!
Der Kehrwert von
a
b
ist folglich
b
a
.
1
Beispiel:
3
1
3
2
3
:
=
⋅
=
4
2
4
1
2
es gilt:
⋅
1
2
= :
2
1
2
Kehrwert von
1
2
Doppelbrüche
Sind der Zähler und der Nenner eines Bruches selber auch Brüche, so spricht
man von einem Doppelbruch.
Die Berechnung erfolgt, indem man den Hauptbruchstrich durch ein
Divisionszeichen ersetzt.
Beispiel:
Mathematik -Theorie
1
4
3
5 = 4 : 16 = 4 ⋅ 15 = 3
16
5 15
5 16
4
1
4
15
11
4. Klasse Bezirksschule
Bruchterme multiplizieren und dividieren
Das Vorgehen bei der Multiplikation bzw. Division von Bruchtermen ist
identisch mit dem vorher geschilderten Verfahren bei Brüchen.
Beispiele:
Mathematik -Theorie
1
27xy 35uv
5z
⋅
=
28uvw 81xy 12w
2
10c
− 3a 4b 25c
⋅
⋅
=−
2b 5a 9d
3d
3
16x 2 ⋅
4
(v + 1)s (t + 1)t (v + 1)( t + 1)
⋅
=
rs
rt
t2
5
− a2 ⋅
6
5x
5x
(x + y)( x + y) 5x(x + y)
⋅ ( x 2 + 2xy + y 2 ) =
⋅
=
7x + 7y
7(x + y)
1
7
7
3a 9ab 3a 25c 5c
:
=
⋅
=
5b 25c 5b 9ab 3b 2
8
3x + 1 − y
3x + 1 x − 1
3x + 1
:
=
⋅
=−
2x − 2 x − 1 2(x − 1) − y
2y
9
a3 :
10
a 2 (a 2 − 4)
a 2 (a + 2)(a − 2)
1
2
:
(
a
2
a
)
−
=
⋅
=1
2
a(a + 2)
a(a − 2)
a + 2a
11
1
1
1 (a + b)(a − b)
a−b = 1 :
=
⋅
= a+b
2
2
1
a−b a −b
a−b
1
a2 − b2
x + 1 16x 2 x + 1
=
⋅
= 2(x + 1)
1
8x 2
8x 2
a b
a3
− a2 a b
⋅
=
⋅ ⋅
=
b −d
1 b −d d
a 2 a3 b
=
⋅
= ab
b
1 a2
12
4. Klasse Bezirksschule
B GLEICHUNGEN UND
UNGLEICHUNGEN IN Q
1
Grundkenntnisse
Sind zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden, so spricht man
von einer Gleichung.
Beispiele:
1.
12 + 6 = 18
2.
5x − 12 = x + 8
2a − x =
3.
3x
+ 0,5a
2
Eine Gleichung enthält in der Regel eine oder mehrere Variablen. Diese
sogenannten Aussageformen gehen bei Belegung der Variablen durch
Zahlen in wahre oder falsche Aussagen über.
Ergibt sich bei der Belegung der Variablen mit einer bestimmten Zahl eine
wahre Aussage, so heisst diese Zahl Lösung der Gleichung.
Die Menge aller Werte, die eine Gleichung erfüllen, nennt man dann
Lösungsmenge.
Beispiel:
Setzt man in der Gleichung 5x − 12 = x + 8 an die Stelle
der Variablen x die Zahl 5, so entsteht eine wahre Aussage:
5 ⋅ 5 − 12 = 5 + 8
13 = 13
--->
Die Zahl 5 ist also Lösung der Gleichung.
Gleichungen mit 1 Variablen werden gelöst, indem man sie soweit umformt,
bis die Variable isoliert auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht.
Die dabei notwendigen Umformungsschritte dürfen die Lösungsmenge einer
Gleichung nicht verändern. Die umgeformte Gleichung muss äquivalent
(lat. gleichwertig) zur vorhergehenden Gleichung sein. Aus diesem Grunde
nennt man diese Umformungen Äquivalenzumformungen.
Beispiel:
Mathematik -Theorie
5x − 12 = x + 8
−x
4x − 12 = 8
+ 12
4x
= 20
x
= 5
Äquivalenzumformungen
:4
L = {5}
13
4. Klasse Bezirksschule
Gleichungen mit Bruchtermen
Das Lösen von Gleichungen mit Bruchtermen basiert auf der Tatsache, dass
sich die Lösungsmenge einer Gleichung nicht ändert, wenn man beide Seiten
mit dem gleichen Term multipliziert.
Bei der Multiplikation der Bruchterme mit dem einfachsten gemeinsamen
Vielfachen (dem sogenannten Hauptnenner), erhält man eine nennerfreie
Gleichung, welche zum Auflösen bedeutend einfacher ist.
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung
x+3
x−2
=
:
x −5
x−6
Zuerst bestimmt man den Hauptnenner, d.h. den Term, welcher sowohl
x - 5 als auch x - 6 als Teiler enthält.
Dieser Hauptnenner ist das einfachste gemeinsame Vielfache der beiden
Ausdrücke, also: (x - 5)(x - 6).
Anschliessend multipliziert man die Gleichung mit diesem Hauptnenner, so dass
in beiden Brüchen der Nenner wegfällt:
x+3
x −5
=
x−2
x−6
⋅ (x - 5)(x - 6)
(x + 3) (x - 6) = (x - 2) (x - 5)
Nun multipliziert man beide Seiten aus, fasst zusammen und löst nach x auf.
x 2 − 3x − 18 = x 2 − 7x + 10
− x2
− 3 x − 18 =
− 7x + 10
+ 7x
4x − 18 =
10
+ 18
4x
=
28
:4
x
=
7
Bevor die Lösungsmenge notiert wird, ist die Definitionsmenge zu bestimmen.
Die Definitionsmenge gibt alle Zahlen an, welche für die Variable eingesetzt werden
dürfen, ohne dass dabei ein Nenner den Wert 0 annimmt (denn eine Division durch
0 ist nicht definiert!). Die Definitionsmenge in unserem Beispiel lautet:
D = Q \ { 5, 6 }
(sprich: Definitionsmenge gleich Q ohne 5 und 6)
Unsere Lösung darf also verwendet werden, und somit gilt:
L = {7}
Mathematik -Theorie
14
4. Klasse Bezirksschule
Zwei weitere Beispiele
2 + 7x 4 − 9x 12 − 2x 2
=
−
1+ x
1− x
1− x 2
2 + 7x 4 − 9x
12 − 2x 2
=
−
1+ x
1− x
(1 + x )1 − x )
⋅ (1 + x )(1 − x )
(2 + 7x )(1 − x ) = (4 − 9x )(1 + x ) − (12 − 2x 2 )
2 + 5x − 7x 2 = 4 − 5x − 9x 2 − 12 + 2x 2
2 + 5 x − 7 x 2 = −8 − 5 x − 9 x 2
+ 9x 2
2 + 5 x = −8 − 5 x
+ 5x
2 + 10x = −8
−2
10x = −10
: 10
x = −1
Die Definitionsmenge ist:
D = Q \ { -1, +1} .
Da die Lösung aber gerade –1 ist, gilt für die Lösungsmenge:
L = { }
(sprich: Lösungsmenge gleich leere Menge)
1
1
7
+
=
3 − x x + 4 (3 − x )( x + 4)
( x + 4) + (3 − x ) = 7
⋅ (3 − x )(x + 4)
7=7
Die Variable fällt aus der Gleichung heraus und es entsteht eine wahre
Aussage! Das bedeutet, dass grundsätzlich jede Zahl für die Variable
eingesetzt werden kann, ausser: was nicht definiert ist!
Die Definitionsmenge ist:
D = Q \ { 3, -4 } .
Die Lösungsmenge lautet somit:
L = Q \ { 3, -4 }
Q
Mathematik -Theorie
(sprich: Lösungsmenge gleich Grundmenge
ohne 3 und –4).
15
4. Klasse Bezirksschule
Ungleichungen mit Bruchtermen
Schreibt man zwischen zwei Terme eines der Zeichen " ≤ , ≥ , < oder >" , so
entsteht eine Ungleichung. Enthält mindestens einer der Terme eine Variable,
so nennt man die Ungleichung eine Aussageform.
Beispiel:
5x − 18 ≤ 22
Diejenigen Elemente der Grundmenge G, bei deren Einsetzung für die
Variable die Ungleichung zu einer wahren Aussage wird, heissen Lösungen
der Ungleichung. Diese werden in der Lösungsmenge zusammengefasst.
Die Lösungsmenge richtet sich nach der Grundmenge!
Beispiel:
5x − 18 ≤ 22
5x
≤ 40
x
≤ 8
G
G
G
G
=
=
=
=
N
N0
Z
Q
+ 18
:5
--->
--->
--->
--->
L
L
L
L
=
=
=
=
{1, 2, 3, ... , 8}
{0, 1, 2, ... , 8}
{8, 7, 6, ... , 1, 0, -1, -2, ...}
{ x x ≤ 8 }
Ungleichungen mit zwei Zeichen werden aufgesplittet und einzeln gelöst. Die
Lösungsmenge ist die Schnittmenge der beiden Einzel-Lösungsmengen.
Beispiel:
x
x
x
−4 < 5− <
2
4
3
x
x
−4 < 5−
2
4
2x − 16 < 20 − x
+x
3x − 16 < 20
+ 14
3x
< 36
x
< 12
G = Q
Mathematik -Theorie
⋅4
x
x
<
4
3
60 − 3x < 4x
5−
:3
L = {x
--->
16
60
< 7x
60
7
< x
⋅ 12
+ 3x
:7
60
< x < 12 }
7
4. Klasse Bezirksschule
2
Anwendungen
Zahlenrätsel sind in Worten formulierte Aufgaben, in denen eine oder
mehrere Zahlen aufgrund gewisser Angaben zu bestimmen sind.
Beispiel 1:
„Der vierte Teil einer Zahl, vergrössert um 6, ist ebenso
gross wie das Dreifache der Zahl, vermindert um 5.
Bestimme die Zahl.“
Zahlenrätsel sind bei derart einfacher Aufgabenstellung problemlos mit dem
„gesunden Menschenverstand „ oder mit Probieren zu lösen.
Für das Lösen schwierigerer Probleme ist jedoch ein Lösungsverfahren mit
Gleichungen unerlässlich! Um zum grundsätzlichen Verstehen solcher
Lösungsverfahren zu kommen, arbeitet man deshalb bereits von Anfang an
mit Gleichungen.
Die Gleichung des obigen Beispieles sieht wie folgt aus:
x
4
Der vierte Teil
einer Zahl (x)
+
=
6
vergrössert um
6
3x
ist ebenso
gross wie
−
5
das Dreifache
der Zahl (x)
vermindert
um 5
Lösung der Gleichung:
x
+ 6 = 3x − 5
4
x + 24 = 12x − 20
⋅4
−x
24
= 11x − 20
+ 20
44
= 11x
: 11
4
= x
Die Zahl heisst 4.
Mathematik -Theorie
17
4. Klasse Bezirksschule
5
dar. Er geht in seine Kehrzahl
6
über, wenn man den Nenner um 11 vermindert.“
Beispiel 2:
„Ein Bruch stellt die Zahl
5x
6
=
6x − 11
5
5 ⋅ 5x
= (6x − 11) ⋅ 6
25x
=
36x − 66
0
= 11x − 66
+ 66
66
=
11x
: 11
6
=
x
Der Bruch heisst
Beispiel 3:
⋅ 5(6x − 11)
− 25x
30
.
36
„Von einer zweistelligen Zahl lautet die hintere Ziffer 7.
Wenn ich die beiden Ziffern vertausche, wird die Zahl um 45
grösser.“
x ⋅ 10 + 7 ⋅ 1 + 45
Wert der
Zehnerziffer
=
Wert der
Einerziffer
7 ⋅ 10 + x ⋅ 1
Wert der
Zehnerziffer
Wert der
Einerziffer
x ⋅ 10 + 7 ⋅ 1 + 45 = 7 ⋅ 10 + x ⋅ 1
10x + 7 + 45
= 70 + x
10x + 52
= 70 + x
−x
9x + 52
= 70
− 52
9x
= 18
:9
x
=
2
Die zweistellige Zahl heisst 27 .
Mathematik -Theorie
18
4. Klasse Bezirksschule
Verteilprobleme
Bei den Verteilproblemen wird ein Ganzes (z.B. ein Geldbetrag) auf eine
bestimme Anzahl Teilnehmer verteilt. Dies erfolgt gemäss in Sätzen
formulierter Angaben.
Beispiel:
„18‘000 Fr. sollen so an 5 Personen verteilt werden, dass
3
A
von B, C die Hälfte von A und B zusammen, D und
4
E je das Doppelte von A erhalten.“
Lösung
A:
B:
C:
D:
E:
3x
4
x
3x 4x 3x 7x
+
4 = 4
4 = 4 = 7x
2
2
2
8
3x 6x 3x
=
=
2⋅
4
4
2
3x 6x 3x
=
=
2⋅
4
4
2
x+
3x
7 x 3x 3 x
+x+
+
+
= 18000 ⋅ 8
4
8
2
2
6x +8x + 7x +12x +12x = 144000
Mathematik -Theorie
45x
= 144000 : 45
x
= 3200
A:
2'400 Fr.
B:
3'200 Fr.
C:
2'800 Fr.
D:
4'800 Fr.
E:
4'800 Fr.
19
4. Klasse Bezirksschule
Zwei weitere Beispiele
Beispiel 1:
„Wenn man die Seite eines Quadrates um 5 cm verkürzt
und die andere Seite um 2 cm verlängert, ist der
Flächeninhalt des entstandenen Rechteckes um 121 m2
kleiner als der Flächeninhalt des Quadrates.“
Lösung
x-5
x
x+2
x
A1
=
A2
+ 121
2
x = (x + 2)(x − 5) + 121
2
2
x = x − 3x − 10 + 121
x2 = x 2 − 3x + 111
0
− x2
= − 3x + 111
+ 3x
3x = 111
x
:3
= 37
Die Seitenlänge des Quadrates beträgt 37 m.
Beispiel 2:
„Ein Hotel hat 82 Zimmer, teils mit einem und teils mit zwei
Betten. Es werden 132 Gäste platziert. Das Hotel ist nun
ausgebucht.“
Anzahl
Lösung
Einerzimmer:
Zweierzimmer:
Anzahl
Zimmer
x
82 - x
Betten
1⋅ x
2 ⋅(82 − x)
1⋅ x + 2 ⋅ (82 − x) = 132
x + 164 − 2x
= 132
− x + 164
= 132
+x
164
= x + 132
− 132
32
= x
Es hat 32 Einerzimmer und 50 Doppelzimmer.
Mathematik -Theorie
20
4. Klasse Bezirksschule
3
Gleichungen mit verschiedenen Variablen
Gleichungen enthalten oft mehr als eine Variable. Dabei wird unterschieden
zwischen der Lösungsvariable und der sogenannten Formvariable (diese
verändert die Form der Gleichung, je nachdem was für eine Zahl dafür
eingesetzt wird!).
Lösungsvariable
Beispiel:
Formvariable
x
+ a = 1
2
Die Lösungsvariable ist ein Buchstabe am
Ende des Alphabets, die Formvariable ein
Buchstabe am Anfang des Alphabets!
Eine Gleichung mit mehreren Variablen wird immer nach der Lösungsvariablen aufgelöst (ausser es sei etwas anderes vermerkt!).
Es gelten dieselben Regeln wie beim Auflösen einer „normalen“ Gleichung!
Beispiel:
x ausklammern!
1
a
4x
1
1
+
x
4
= 4a + ax
=
⋅ 4ax
− ax
4x − ax = 4a
x ( 4 − a) = 4a
x
=
Multiplikation mit
dem Hauptnenner!
Alle Ausdrücke mit
einem x auf eine
Seite bringen!
: ( 4 − a)
4a
4−a
Für diese Werte von x und a ist die Gleichung
nicht definiert!
L={x x =
Mathematik -Theorie
4a
4−a
21
∧ x ≠ 0 ∧ a ≠ 0; 4 }
4. Klasse Bezirksschule
Quotienten als Leistungsangaben
Die Leistung im physikalischen Sinn ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit.
Wir werden den Begriff „Leistung“ in folgenden zwei Situationen verwenden:
-
Leistung einer Wasserzuleitung: Wassermenge, welche eine Zuleitung eines
Beckens in einer bestimmten Zeit liefern kann.
-
Leistung einer Maschine: Anzahl Einheiten (z.B. Zeitungen), welche eine Maschine
in einer bestimmten Zeit herstellen kann.
Beispiel 1:
„Ein Becken wird durch zwei Zuleitungen gefüllt. Die erste
Zuleitung kann das Becken alleine in 8h füllen, die zweite
benötigt alleine 6h.
In welcher Zeit füllen sie gemeinsam das leere Becken?“
-
Beckeninhalt:
b (Liter)
-
Leistungen der zwei Zuleitungen:
b
b
und
8
6
(
Liter
)
Stunde
1. Zuleitung: b
8
2. Zuleitung:
-
-
b
6
Es gilt:
Leistung
--->
(
b
b
+ )⋅
8
6
b
b
+ ) ⋅ x = b
8
6
(3b + 4b) ⋅ x = 24b
7bx
x
Mathematik -Theorie
x =
(
Liter
⋅ Stunde = Liter )
Stunde
b
Gleichung auflösen nach x:
(
-
⋅ Zeit = Menge
Antwortsatz:
= 24b
=
⋅ 24
: 7b
24
7
Gemeinsam brauchen sie
22
24
h.
7
4. Klasse Bezirksschule
Beispiel 2:
„Für den Druck einer Tageszeitung brauchen zwei Pressen
gemeinsam 3 Stunden. Die erste Presse schafft die
gesamte Auflage alleine in 5 Stunden.
Welche Zeit benötigte die zweite Presse alleine für den
Druck der Zeitung?“
-
Druckauftrag:
a (Anzahl Zeitungen)
-
Leistungen der zwei Pressen:
1. Presse:
-
-
a
5
Es gilt:
Leistung
--->
(
Zeitungen
)
Stunde
(
Zeitungen
⋅ Stunde = Zeitungen )
Stunde
a
x
⋅ Zeit = Menge
3 =
(
a
Gleichung auflösen nach x:
a
a
+ ) ⋅ 3 = a
5
x
(ax + 5a) ⋅ 3 = 5ax
3ax + 15a
Mathematik -Theorie
2. Presse:
a
a
+ )⋅
5
x
(
-
a
a
und
5
x
⋅ 5x
= 5ax
− 3ax
15a
= 2ax
: 2a
7,5
= x
Antwortsatz:
Die zweite Presse braucht alleine 7,5 h.
23
4. Klasse Bezirksschule
C ANWENDUNGEN
1
Die Strukturen der Prozentrechnung
Es gilt:
1
= 0,01 = 1%
100
(lies: 1 Prozent)
(Prozent = pro centum (lat.) , der hundertste Teil)
Eine prozentuale Angabe bezieht sich immer auf einen bestimmten Wert.
Dieser entspricht 100%. Wir nennen diesen Wert Grundwert G.
Beispiel:
„Bestimme 5% von 80Fr.“
---> 80Fr. ist der Grundwert G
100% = 80Fr.
5% = 4Fr.
80Fr.
≈5%
4Fr.
In der Prozentrechnung werden diese Grössen mit den folgenden Begriffen
benannt:
1
Das Ganze, von dem ein Teil betrachtet wird, heisst Grundwert G.
(G = 80Fr.)
2
Der Teil des Ganzen heisst Prozentwert W.
(W = 4Fr.)
3
Das Verhältnis
Pr ozentwert W
Grundwert G
wird prozentual mit dem
Prozentsatz p% angegeben.
4Fr.
5
(p% =
= 0,05 =
= 5%)
80Fr.
100
Mathematik -Theorie
24
4. Klasse Bezirksschule
Zwischen Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p% gilt folgender
Zusammenhang:
G ≈ p% = W
Beispiel:
G = 120kg
p% = 36%
W = G ≈p% = 120kg ≈0,36 = 43,2kg
Aufgelöst nach G und p% gilt:
G =
W
p%
Beispiele:
p% =
W
G
W = 240Fr
p% = 60%
G =
W
240Fr.
=
= 400Fr.
p%
0,6
G = 320m
W = 180m
p% =
Mathematik -Theorie
180m
W
=
= 0,5625 = 56,25%
G
320m
25
4. Klasse Bezirksschule
Anwendungen der Prozentrechnung
1.
Statt 200 Fr. muss für ein Möbelstück nur noch 160 Fr bezahlt werden.
Wie gross ist der Rabatt in Prozenten?
G = 200 Fr.
W = 160 Fr.
p% =
2.
W
160 Fr
=
= 0,8 = 80% ,
G
200 Fr.
Rabatt: 100% - 80% = 20%
Ein Paket wiegt netto 36 kg, die Tara beträgt 8%. Berechne das
Bruttogewicht. Runde auf g.
Netto + Tara = Brutto
Brutto = 100%
---> Nettogewicht = 100% - 8% = 92%
W = 36 kg
p% = 92%
G=
3.
W
36 kg
=
≅ 39,130 kg
p%
0,92
Von 1990 bis 2000 nahm die Einwohnerzahl der Gemeinde A um 6%
hner. Berechne die
zu. Sie beträgt im Jahre 2000 10'840 Einwo
Einwohnerzahl des Jahres 1990.
1990
+ 6%
100%
2000
106%
W = 10‘176 Einwohner
p% = 106%
G=
W
10176 Einwohner
=
= 9 600 Einwohner
p%
1,06
Mathematik -Theorie
26
4. Klasse Bezirksschule
4.
Von 1980 bis 1985 nahm die Zahl der Sugus-Käufer um 30% ab.
1980 waren es noch 6 200 Personen, welche wöchentlich 1 Sack
Sugus kauften. Berechne die Anzahl der Käufer im Jahre 1985.
1980
- 30%
100%
1985
70%
G = 6'200 Personen
p% = 70%
W = G ⋅ p% = 6 200 Personen ⋅ 0,7 = 4 340 Personen
5.
In einer Kiste liegen 64 grosse und kleine Bonbons.Die
Wahrscheinlichkeit, ein grosses Bonbon zu ziehen beträgt 25%.
Wie viele kleine Bonbons sind in der Kiste?
64 Bonbons = 100%
G = 64 Bonbons
p% = 25%
W = G ⋅ p% = 64 Bonbons ⋅ 0,25 = 16 Bonbons
---> 64 Bonbons – 16 Bonbons = 48 Bonbons
Mathematik -Theorie
27
4. Klasse Bezirksschule
2
Grundkenntnisse zum Zinsrechnen
Die Bank ist ein Unternehmen für den Geldverkehr. Geld kann auf der Bank
angelegt werden, oder Geld kann als Kredit von der Bank ausgeliehen
werden.
Der Geldbetrag (das Kapital) wirft sogenannte Zinsen ab, eine prozentual
berechnete Entschädigung für die leihweise Überlassung von Kapital.
→
→
Legt man Geld auf der Bank an, zahlt die Bank Zinsen.
Nimmt man von der Bank Geld auf, verlangt die Bank Zinsen.
Bei Geldgeschäften verwendet man folgende Begriffe:
-
Grundwert G → Kapital K
-
Prozentwert W → Zins Za
-
Prozentsatz p% → Zinssatz p%
(a → Zins für 1 Jahr!)
Zwischen Kapital K, Zins Za und Zinssatz p% gilt folgender Zusammenhang:
K ≈ p% = Za
Beispiel:
K = 500Fr.
p% = 3%
Za = K ≈p% = 500Fr. ≈0,03 = 15Fr.
Mathematik -Theorie
28
4. Klasse Bezirksschule
Der Zins, der nur für eine bestimmte Zeit eines Jahres zu berechnen ist,
heisst Marchzins Zt.
Da ein Bankjahr nur 360 Tage zählt, gilt folgende Formel:
„Anzahl Tage“
Zt = K ⋅ p% ⋅
t
360
„360 Tage = 1 Jahr“
Beispiel:
K = 3’000Fr.
p% =
2%
t
=
45 d
Zt
= K ⋅ p% ⋅
(d → Tag)
t
45
= 3’000Fr. ⋅ 0,02 ⋅
= 7,5Fr.
360
360
Regeln im Bankwesen bezüglich Zeitdauer:
• 1 Jahr
=
• 1 Monat =
360 Tage
30 Tage
(auch der Februar!)
• 1.Tag einer Zeitdauer wird nicht gezählt
• Letzter Tag einer Zeitdauer wird gezählt
• Der Monatsletzte ist der 30. Tag des Monats
(31. Januar = 30. Tag des Monats / 28. Februar = 30. Tag des Monats)
Beispiele:
17. Januar - 30. Januar
17. Januar - 31. Januar
17. Februar - 28. Februar
17. Februar - 27. Februar
17. Februar - 17. März
1. Februar - 17. März
31. Januar - 17. März
1. Januar - 17. März
1. Januar - 31. Dezember
→
→
→
→
→
→
→
→
→
13 Tage
13 Tage
13 Tage
10 Tage
30 Tage
46 Tage
47 Tage
76 Tage
359 Tage
Verrechnungssteuer
Die Bank unterliegt der Vorschrift, von Zinsen eine Verrechnungssteuer
(VST) in Abzug zu bringen. Diese beträgt 35% vom Zinsbetrag und wird am
Ende eines Jahres von diesem abgezogen.
Mathematik -Theorie
29
4. Klasse Bezirksschule
3
Zinsrechnen: Alle Varianten
Durch Äquivalenzumformungen erhält man aus der Zinsformel für Za die
Berechnungsformeln für K und p%.
K =
Za
p%
Beispiele:
p% =
Za
K
Za = 240Fr
p% =
2%
K =
Za
240Fr.
=
= 12’000Fr.
p%
0,02
K = 40’000Fr.
Za = 2’500Fr.
p% =
Mathematik -Theorie
Za
2500Fr.
=
= 0,0625 = 6,25%
K
40000Fr.
30
4. Klasse Bezirksschule
Durch Äquivalenzumformungen erhält man aus der Zinsformel für Zt die
Berechnungsformeln für K, p% und t.
K =
Z t ⋅ 360
p% ⋅ t
Beispiele:
Z t ⋅ 360
K⋅t
p% =
t =
Z t ⋅ 360
K ⋅ p%
Zt = 840Fr
p% = 2%
t
= 300d
K =
Z t ⋅ 360
840Fr. ⋅ 360
=
= 50’400Fr.
p% ⋅ t
0,02 ⋅ 300
K = 10’000Fr.
Zt =
480Fr.
t =
96d
p% =
Z t ⋅ 360
480Fr. ⋅ 360
=
= 0,18 = 18%
K⋅t
10000Fr. ⋅ 96
K = 15’000Fr.
Zt =
520Fr.
p% =
6,5%
t =
Mathematik -Theorie
Z t ⋅ 360
520Fr. ⋅ 360
=
= 192d
K ⋅ p%
15000Fr. ⋅ 0,065
31
4. Klasse Bezirksschule
4
Verketten von Prozentrechnungen
Bei der Berechnung von Prozentanteilen verwenden wir Kurznotationen.
Beispiel:
45% von x
=
0,45
⋅
x
Mit Operatordiagrammen können Berechnungen von Prozentanteilen
übersichtlich dargestellt werden.
Beispiel:
„Berechne 45% von 320Fr.“
⋅ 0,45
320Fr.
144Fr.
Bei verketteten Prozentberechnungen wird das Resultat einer Ausrechnung
als Ausgangswert für die nächste Berechnung verwendet.
So entsteht eine „Kette“ von Prozentrechnungen.
Beispiel:
„Eine Schulklasse zählt 25 SchülerInnen. 60% davon
sind Mädchen. 20% von den Mädchen tragen eine Brille.
Wieviele Mädchen der Klasse tragen eine Brille?“
25
⋅ 0,6
15
⋅ 0,2
3
Bei den verketteten Prozentberechnungen können die einzelnen
Multiplikatoren durch einen Multiplikator ersetzt werden.
Beispiel:
25
⋅ 0,6
15
⋅ 0,2
3
⋅ (0,6 ⋅ 0,2) = ⋅ 0,12
Mathematik -Theorie
32
4. Klasse Bezirksschule
Die Prozentanteile bei verketteten Prozentberechnungen können sowohl
grösser als 100% als auch kleiner als 100% sein.
Beispiel:
„Der Preis eines Fernsehers von 1 420Fr. wird zuerst um
10% gesenkt, dann aber wieder um 10% angehoben.
Berechne den neuen Preis.“
1 420Fr.
⋅ 0,9
1 278Fr.
⋅ 1,1
1 405,8Fr.
Kennt man bei verketteten Prozentrechnungen nur das Schlussresultat,
muss über die Umkehroperation (Division!) der Zwischen- und Anfangswert
bestimmt werden.
Beispiel:
„Der Preis eines Kleides wird zuerst um 40% gesenkt,
dann wieder um 20% angehoben.
Wie teuer war das Kleid anfänglich, wenn am Schluss
540Fr. zu bezahlen ist?“
x
⋅ 0,6
⋅ 1,2
y
540Fr.
: 1,2
: 0,6
y = 540Fr. : 1,2 = 450Fr.
x = 450Fr. : 0,6 = 750Fr.
Mathematik -Theorie
33
4. Klasse Bezirksschule
5
Aus der Bevölkerungsstatistik
Die Einwohnerzahl einer Ortschaft, eines Kantons oder eines Staates
verändert sich laufend. Die Zunahme bzw. Abnahme innerhalb eines
bestimmten Zeitraumes wird meistens prozentual angegeben.
Beispiel:
Eine Ortschaft zählte 1990 4 000 Einwohner und
im Jahre 2000 5 600 Einwohner.
Berechne die prozentuale Zunahme von 1990 bis 2000.
5600
6000
5000
4000
4000
3000
2000
1000
0
1990
2000
Die Einwohnerzahl von 1990 entspricht dem Grundwert und
ist folglich 100%. Es gilt somit:
4 000 E.
⋅ 1,4
( 100% )
5 600 E.
( 140% )
Die Bevölkerungszunahme von 1990 bis 2000 beträgt 40%.
Mathematik -Theorie
34
4. Klasse Bezirksschule
6
Jahr für Jahr immer mehr (Wachstumsprobleme)
Die Einwohnerzahl einer Stadt nehme jährlich um 2% zu, was dem
Veränderungsfaktor 1,02 entspricht.
Falls die Stadt zum jetzigen Zeitpunkt 10 000 Einwohner hat, so besitzt sie
1 Jahr später 1,02 ⋅ 10 000 = 10 200 Einwohner!
Bei der Berechnung der Einwohnerzahl nach 10 Jahren (bei gleichbleibendem Wachstum!) ergibt sich eine Verkettung des
Veränderungsfaktors:
10 000 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 E. ≅
12 190 Einwohner .
Mithilfe der Potenzschreibweise kann diese Verkettung mehrerer gleicher
Faktoren kürzer notiert werden:
10 Jahre !
10 000 ⋅ 1,02 10
Beispiel:
≅ 12 190 Einwohner .
„Bei welcher prozentualen jährlichen Zuwachsrate
verdoppelt sich die Einwohnerzahl eines Staates in
50 Jahren?“
Annahme:
→
Die Einwohnerzahl betrage anfänglich 1E. und nach
50 Jahren 2 E.
1 E. ⋅ (1 + x %)50
x 50
1 E. ⋅ (1 +
)
100
x 50
(1 +
)
= 2
100
x
1+
= 50 2
100
x
= 50 2 − 1
100
=
2 E.
=
2 E.
50
−1
⋅ 100
x = 100 ⋅ (50 2 − 1) ≅ 1,40
Die jährliche Zuwachsrate beträgt gerundet 1,40%.
Mathematik -Theorie
35
4. Klasse Bezirksschule
Verändert man die vorherige Aufgabe so, dass die Zuwachsrate bekannt ist
und die Zeitspanne für die Verdoppelung der Einwohnerzahl gesucht ist,
ergibt sich eine völlig neue Rechnungssituation.
Beispiel:
„In welchem Zeitraum ergibt sich bei einem jährlichen
Bevölkerungswachstum von 2,5% eine Verdoppelung
der Einwohnerzahl?“
Annahme:
Die Einwohnerzahl betrage anfänglich 1E. und nach
x Jahren 2 E.
x
→
1 E. ⋅ 1,025
→
Da die Variable x als Exponent geschrieben steht, ist die
Gleichung mit den bisherigen Methoden für uns unlösbar.
Mithilfe der Logarithmusfunktion ist die Gleichung aber
lösbar!
3
Es gilt:
log 1 000 = 3 , denn 1 000 = 10
log 10 = 1 , denn 10 = 101
log 103 = 3 ⋅ log 10 !
→
=
x
→
→
1 E. ⋅ 1,025
x
1,025x
2
=
log 1,025
x
2 E.
log a = x ⋅ log a
=
2 E.
= log 2
x ⋅ log 1,025 = log 2
x =
log
: log 1,025
log 2
≅ 28,07
log 1,025
Nach ca. 28 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt.
Mathematik -Theorie
36
4. Klasse Bezirksschule
Zinseszins
Am Ende eines Jahres werden die angefallenen Zinsen dem Kapital
zugeschlagen. Im darauffolgenden Jahr werden diese Zinsen mitverzinst.
Man spricht dann von Zinseszinsen.
Beispiel:
„Auf einem Sparheft sind am 1. Januar 2001 5 000Fr.
gutgeschrieben. Der Zinssatz beträgt 2%.
Berechne das Guthaben am 1. Januar 2003.“
Am 1. Januar 2002 :
5 000Fr. ⋅ 1,02 = 5 100Fr.
Am 1. Januar 2003 :
5 100Fr. ⋅ 1,02 = 5 202Fr.
Bei grossen Zeiträumen verwendet man auch hier die Potenzschreibweise!
Beispiel:
„Auf welchen Betrag wächst ein Guthaben von 15 000Fr.
bei einem Zinssatz von 2,5% in 50 Jahren an?“
→
15 000Fr. ⋅ 1,025
50
≅
51 557Fr.
Ebenfalls kann mithilfe der Logarithmusfunktion eine Zeitdauer bestimmt
werden, wenn das Anfangs- und Zielguthaben bekannt ist.
Beispiel:
„In welcher Zeit verdoppelt sich ein Guthaben bei einem
Zinssatz von 1%?“
Annahme:
→
Das Anfangsguthaben betrage 1K. , das
Zielguthaben 2 K.
1 K. ⋅ 1,01
x
1,01x
2
=
=
2 K.
log
log 1,01x = log 2
x ⋅ log 1,01 = log 2
x =
: log 1,01
log 2
≅ 69,66
log 1,01
Nach ca. 70 Jahren hat sich das Guthaben verdoppelt.
Mathematik -Theorie
37
4. Klasse Bezirksschule
7
Kunterbunt
Prozentrechnungen werden in verschiedensten Sachsituationen angewendet.
Beispiel 1:
„Welcher Betrag, der jährlich einen Viertel Gewinn abwirft,
vermehrt sich in vier Jahren auf 10’000Fr.?“
→
4
x ⋅ 1,25 = 10’000
10000
x =
= 4’096
1,25 4
Der Betrag lautet: 4’096Fr.
Beispiel 2:
„Wäre der Zinsfuss eines Kapitals um 0,75% höher, so
könnte man in 320 Tagen gleichviel Zins bekommen wie mit
dem tieferen Zinsfuss im ganzen Jahr. Berechne den
gesuchten tieferen Zinsfuss.“
→
Z2
→
p
100
p + 0,75 320
= K⋅
⋅
100
360
Z1 = K ⋅
Z1 = Z2
p
p + 0,75 320
K⋅
= K⋅
⋅
100
100
360
p
p + 0,75 320
=
⋅
100
100
360
360p = (p + 0,75) ⋅ 320
: 320
1,125p = p + 0,75
−p
0,125p = 0,75
: 0,125
:K
000
⋅ 36'
p = 6
Der tiefere Zinsfuss beträgt 6%.
Mathematik -Theorie
38
4. Klasse Bezirksschule
D Symmetrien
1
Symmetrie-Eigenschaften
Der Begriff Symmetrie stammt aus dem griechischen und bedeutet
sinngemäss Spiegelgleichheit (gr. symmetros = gleichmässig).
Es gibt drei Arten von Symmetrien:
-
Achsensymmetrie
Drehsymmetrie
Punktsymmetrie .
Figuren, welche eine oder mehrere dieser Symmetrien aufweisen, nennt man
entsprechend achsensymmetrisch, drehsymmetrisch oder punktsymmetrisch.
Achsensymmetrische Figuren
Bei achsensymmetrischen Figuren lassen sich eine oder mehrere
Symmetrieachsen so einzeichnen, dass die Figuren bei einer
Achsenspiegelung jeweils auf sich selbst abgebildet werden.
Beispiele:
Quadrat : 4 Symmetrieachsen
Gleichseitiges Dreieck : 3 Symmetrieachsen
Kreis : Unendlich viele Symmetrieachsen
„Figur“ : 1 Symmetrieachse
Mathematik -Theorie
39
4. Klasse Bezirksschule
Drehsymmetrische Figuren
Drehsymmetrische Figuren haben die Eigenschaft, dass sie bei Drehungen
um einen bestimmten Punkt auch bei Drehwinkeln ≠ 360° auf sich selbst
abgebildet werden.
Beispiele:
„Figur 1“ : 4-strahlig drehsymmetrisch (90°, 180°, 270°, 360°)
„Figur 2“ : 3-strahlig drehsymmetrisch (120°, 240°, 360°)
Punktsymmetrische Figuren
Punktsymmetrische Figuren haben die Eigenschaft, dass sie bei Drehungen
um einen bestimmten Punkt nur bei einem Drehwinkel = 180° bzw 360° auf
sich selbst abgebildet werden.
Beispiel:
Parallelogramm : punktsymmetrisch
(180°, 360°)
Oft weisen geometrische Figuren zwei oder sogar drei Symmetrien auf.
Beispiel:
Quadrat :
Mathematik -Theorie
- 4-fach achsensymmetrisch
- 4-strahlig drehsymmetrisch
- punktsymmetrisch
40
4. Klasse Bezirksschule
Regelmässige n-Ecke
Bei regelmässigen n-Ecken sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel
gleich gross.
Beispiele:
Innenwinkel
Regelmässige n-Ecke sind n-fach drehsymmetrisch!
360°
Der Drehwinkel beträgt
und entspricht dem Zentriwinkel des n-Ecks.
n
Beispiel:
Regelmässiges 5-Eck.
72°
Zentriwinkel = Drehwinkel
(
360°
= 72° )
5
Jedes regelmässige n-Eck besitzt einen Umkreis (und einen Inkreis) !
Mathematik -Theorie
41
4. Klasse Bezirksschule
Zur Bestimmung der Grösse des Innenwinkels benötigt man vorerst die
Innenwinkelsumme.
Diese berechnet sich für ein n-Eck gemäss der Formel:
Innenwinkelsumme n-Eck = (n – 2) ⋅ 180°
Ein 3-Eck weist eine Innenwinkelsumme von 1 ⋅ 180° auf, ein 4-Eck eine Innenwinkelsumme von 2 ⋅ 180°,
ein 5-Eck eine Innenwinkelsumme von 3 ⋅ 180° und ein n-Eck eine Innenwinkelsumme von (n-2) ⋅ 180° !
Somit berechnet sich ein Innenwinkel nach der Formel:
Innenwinkel n-Eck =
Beispiel:
( n − 2 ) ⋅ 180°
n
Regelmässiges 5-Eck.
Zentriwinkel =
360°
= 72°
5
72°
108°
Innenwinkel =
( 5 − 2 ) ⋅ 180°
= 108°
5
→ Zwischen Zentriwinkel und Innenwinkel gilt bei jedem
regelmässigen n-Eck folgende Beziehung:
Zentriwinkel + Innenwinkel = 180°
Mathematik -Theorie
42
4. Klasse Bezirksschule
2
Anwendungen in Konstruktionsaufgaben
In Konstruktionsaufgaben ist es wichtig, von der zu konstruierenden Figur
alle wichtigen Eigenschaften präsent zu haben.
Im Falle des Vierecks lassen sich – ausgehend vom sogenannten
allgemeinen Viereck – zehn verschiedene Vierecksarten zeichnen, die alle
ihre speziellen Eigenschaften in Bezug auf Seitenlängen, Winkel, Inkreis,
Umkreis, Diagonalen, Parallelität, Symmetrieachsen oder Symmetriepunkt
aufweisen.
Übersicht über die Vierecke
1
//
2
//
3
4
5
//
6
//
7
9
10
11
Mathematik -Theorie
43
8
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
allgemeines Viereck
Tangentenviereck
Schiefer Drachen
Trapez
Sehnenviereck
Drachenviereck
Parallelogramm
gleichschenkliges
Trapez
9. Rhombus / Raute
10. Rechteck
11. Quadrat
4. Klasse Bezirksschule
3
Herausforderungen
Durch das Erkennen von Symmetrie-Eigenschaften werden anspruchsvolle
Aufgaben zum Teil stark vereinfacht.
Beispiel:
„Zeichne zwei verschieden grosse Kreise k1 und k2, die einander in
den Punkten S1 und S2 schneiden. Lege durch S1 eine Sekante g, aus
welcher die beiden Kreise gleich lange Sehnen ausschneiden.“
→
Idee: S1 ist Symmetriepunkt der Strecke AB !
g
Konstruktionsbericht:
Mathematik -Theorie
1.
k1 / M1 spiegeln an S1 → k’1
2.
k’1 ∩ k2 = { A }
3.
AS1 ∩ k1 = { B }
4.
AB = g
44
4. Klasse Bezirksschule
E Winkel am Kreis
1
Peripheriewinkel, Zentriwinkel, Sehnentangentenwinkel
Ein Winkel, dessen Schenkel durch die Endpunkte einer Sehne gehen und
dessen Scheitel auf der Peripherie des gleichen Kreisbogens liegt, heisst
Peripheriewinkel (auch Umfangswinkel).
Ein Winkel, dessen Schenkel durch die Endpunkte einer Sehne gehen und
dessen Scheitel das Kreiszentrum ist, heisst Zentriwinkel (auch Mittelpunktswinkel).
Peripheriewinkel
C
ε
2
Zentriwinkel
M
ε
A
B
Ein Peripheriewinkel hat die halbe Weite des Zentriwinkels über dem
gleichen Bogen!
Mathematik -Theorie
45
4. Klasse Bezirksschule
Zu der Sehne AB gibt es zwei verschiedene Arten von Peripheriewinkel.
Ihre Scheitel liegen entweder
-
auf der Seite von M (→ „Peripheriewinkel oben“) oder
-
auf der entgegengesetzten Seite von M (→ „Peripheriewinkel unten“) .
Peripheriewinkel oben
ε
2
Zentriwinkel
M
ε
A
180°-
ε
2
C
B
Peripheriewinkel unten
Der Peripheriewinkel, der auf der entgegengesetzten Seite von M liegt,
ε
hat die Weite 180° - .
2
Er ergänzt sich mit dem anderen Peripheriewinkel auf 180° !
Mathematik -Theorie
46
4. Klasse Bezirksschule
Der Sehnentangentenwinkel
Zeichnet man in einem der beiden Endpunkte der Sehne AB die Tangente t
an den Kreis, so entsteht der sogenannte Sehnentangentenwinkel.
Peripheriewinkel
M
A
B
δ
Sehnentangentenwinkel
t
Der Sehnentangentenwinkel hat dieselbe Weite wie der Peripheriewinkel
über demselben Bogen!
Mathematik -Theorie
47
4. Klasse Bezirksschule
Der Ortsbogen
Der Ortsbogen ist ein Kreisbogen, von dessen Punkten aus eine Strecke
unter einem vorgegebenen Winkel gesehen wird.
Beispiel:
„Konstruiere über einer Strecke IABI = 7cm den Ortsbogen
für Umfangswinkel / Peripheriewinkel von 40°.“
→
Gesucht ist ein Kreisbogen. Von dessen Punkten aus wird die
Strecke AB unter einem Winkel von 40° gesehen.
1.
Peripheriewinkel 40° →
2.
Gleichschenkliges Dreieck ABM mit Zentriwinkel 80°
und Basiswinkel 50°
Zentriwinkel 80°
(denn: 50° + 50° + 80° = 180° )
3.
Kreisbogen über AB = Ortsbogen
Ortsbogen
M
80°
50°
50°
B
A
m
Beachten : Der bezüglich AB symmetrische Ortsbogen (unten) wäre auch eine
Lösung !
Mathematik -Theorie
48
4. Klasse Bezirksschule
2
Anwendungen
Beispiel 1:
„Gegeben sind die drei Punkte A (-3,5/-2,5) , B (4/-1)
und C (1,5/4,5) .
Bestimme die Menge aller Punkte P, von denen aus die
Strecke AB unter dem Winkel γ und die Strecke BC unter
dem Winkel α gesehen wird, wobei gilt:
90° ≤ α < 120° und
65° < γ ≤ 85° .“
M90
Lösungshergang :
1.
Ortsbögen 65° und 85° über AB
→ Punkte P liegen zwischen den beiden Ortsbögen („Sichel 1“)
2.
Ortsbögen 90° und 120° über BC
→ Punkte P liegen zwischen den beiden Ortsbögen („Sichel 2“)
3.
Achtung :
Mathematik -Theorie
Lösungsmenge = Schnittmenge der beiden „Sicheln“
Grenzlinien die zur Lösungsmenge gehören werden ausgezogen gezeichnet,
Grenzlinien die nicht zur Lösungsmenge gehören werden gestrichelt gezeichnet,
Schnittpunkte von ausgezogenen und gestrichelten Grenzlinien werden mit einem
Kreislein versehen!
49
4. Klasse Bezirksschule
Beispiel 2:
„Bestimme die Menge aller Punkte Q, für welche gilt:
-
Q ∈ Viereck ABCD ,
der Abstand der Punkte Q sei von a kleiner als von d ,
BQ ≥ b ,
30° ≤ < DQA ≤ 90° . “
w
b
k
Lösungshergang :
1.
Punkte Q liegen im Rechteck (inkl. Begrenzungslinie!)
2.
Winkelhalbierende w
→ Punkte Q liegen unterhalb der Winkelhalbierenden w
3.
Kreis k(B, r=b)
→ Punkte Q liegen ausserhalb des Kreises k
4.
Ortsbögen 30° und 90° über AD
→ Punkte Q liegen zwischen den beiden Ortsbögen („Sichel“)
5.
Mathematik -Theorie
Lösungsmenge = Schnittmenge aller Punktemengen
50
4. Klasse Bezirksschule
3
Sehnenvierecke und Tangentenvierecke
Im Sehnenviereck beträgt die Summe der Gegenwinkel immer 180°.
Es gilt folglich :
α + γ = 180°
→
β + δ = 180°
und
α + γ = β + δ
D
δ
γ
C
α
A
β
B
Beweis:
Die Winkel β und δ sind die Peripheriewinkel über der Sehne AC.
Für dieses Winkelpaar gilt bekanntlich : β + δ = 180° !
Die Beweisführung für
α + γ = 180° erfolgt analog.
δ
C
A
Mathematik -Theorie
51
β
4. Klasse Bezirksschule
Im Tangentenviereck ist die Summe der Gegenseiten immer gleich gross.
Es gilt folglich :
a + c = b + d
D
c
d
C
M
A
b
a
B
Beweis:
Das Tangentenviereck kann in 4 Paare kongruenter Dreiecke
unterteilt werden. Bei jedem Dreiecks-Paar sind die beiden
Aussenseiten gleich lang ( x1, x2, x3, x4 ).
Die Summen der gegenüberliegenden
Seiten ergeben folgende Gleichung:
x3
x3
x4 + x1 + x2 + x3 = x1 + x2 + x3 + x4
x2
x4
Daraus folgt:
x2
a + c = b + d.
x4
x1
x1
Mathematik -Theorie
52
4. Klasse Bezirksschule
F Der Satz des Pythagoras
1
Die Quadratwurzel
Die Quadratwurzel aus der Zahl a (man schreibt: a ) ist diejenige positive
Zahl b, die mit sich selbst multipliziert wieder a ergibt.
Es gilt also:
a = b
→
b ⋅ b = a
Die Zahl unter dem Wurzelzeichnen nennt man Radikand.
Beispiele:
Mathematik -Theorie
4 = 2
→
2 ⋅ 2 = 4
9 = 3
→
3 ⋅ 3 = 9
36 = 6
→
6 ⋅ 6 = 36
x2 = x
→
x ⋅ x = x2
25s 2 = 5s
→
5s ⋅ 5s = 25s 2
z10 = z 5
→
z 5 ⋅ z 5 = z10
49y12 = 7y 6
→
7y 6 ⋅ 7y 6 = 49y12
0,16 = 0,4
→
0,4 ⋅ 0,4 = 0,16
0,01k 6 = 0,1k 3
→
0,1k 3 ⋅ 0,1k 3
1
1
=
9
3
→
1
1
⋅
3
3
4a 2
2a
=
25
5
→
2a
2a
⋅
5
5
m8
m4
=
100
10
→
m4
10
53
⋅
=
m4
10
= 0,01k 6
1
9
4a 2
25
=
=
m8
100
4. Klasse Bezirksschule
Rationale und irrationale Zahlen
Gemeine Brüche lassen sich immer in Dezimalbrüche verwandeln, doch entstehen
verschiedene Formen. Es gibt drei Fälle:
1
Der entstehende Dezimalbruch ist endlich (bricht ab).
1
8
Beispiel:
2
0,125
Der entstehende Dezimalbruch ist unendlich (bricht nicht ab) und periodisch (sich
regelmässig wiederholende Ziffernfolge).
1
3
Beispiele:
3
=
=
0,333...
=
0,3 ,
1
11
=
0,090909...
= 0,09
Der entstehende Dezimalbruch ist unendlich und erst von einer gewissen Stelle an
periodisch.
1
6
Beispiele:
=
0,1666...
=
0,16 ,
1
12
=
0,08333...
=
0,083
Dezimalbrüche die durch Umwandlung eines gemeinen Bruches entstanden sind gehören
zu den rationalen Zahlen (Bruchzahlen).
Es gibt nun aber auch Dezimalbrüche, die nicht abbrechend und nicht
periodisch sind!
Diese Dezimalbrüche entstehen sehr häufig bei der Berechnung von
Quadratwurzeln.
Beispiele:
5
= 2,23606797749978969640917366873128 ...
20
= 4,47213595499957939281834733746255 ...
→ Die entstehenden Dezimalbrüche sind weder abbrechend noch periodisch!
Dezimalbrüche die nicht abbrechend und nicht periodisch sind gehören zu
den sogenannten irrationalen Zahlen!
Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen
bilden zusammen die Menge der reelen Zahlen R .
20
N
Z
Q
R
5
Mathematik -Theorie
54
4. Klasse Bezirksschule
2
Der Satz des Pythagoras
Dieser berühmte Lehrsatz der Mathematik soll der Geschichtsschreibung
nach von Pythagoras von Samos (580 – 500 v.Chr.) entdeckt worden sein.
Der Satz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der
beiden Katheten-Quadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.
a:
b:
c:
2
a
Kathete
Kathete
Hypotenuse
a
b2
b
c
c2
Es gilt also:
Mathematik -Theorie
a2 + b2 = c2
55
4. Klasse Bezirksschule
Beweis:
a
b
a
c
b
c
c
b
c
a
a
b
Die Fläche des grossen Quadrates lässt sich auf zwei Arten
berechnen:
1
2
3
Mathematik -Theorie
A1
A2
A1
=
(a + b)2
=
a2 + 2ab + b2
=
kleines Quadrat + 4 Dreiecke
=
c2 + 4 ⋅
=
A2
=
a⋅b
2
a2 + 2ab + b2
=
c2 + 2ab
a2 + b2
=
c2
56
(a + b) (a + b)
=
c2 + 2ab
4. Klasse Bezirksschule
Beispiel:
„Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Längen
der beiden Katheten a und b. Es sei a=6cm und b=8cm.
Berechne die Länge der Hypotenuse c.“
a2
a = 6cm
b2
b = 8cm
c
c2
Gemäss Satz des Pythagoras gilt:
-
c2
=
a2 + b2
→
c2
=
(6cm)2 + (8cm)2
=
36cm2 + 64cm2
=
100cm2
→
Mathematik -Theorie
c
=
100cm2
57
=
10cm
4. Klasse Bezirksschule
Erste Anwendungen
Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann zum Beispiel in einem Rechteck
aus den Seitenlängen die Diagonale , oder in einem gleichschenkligen
Dreieck aus den Seitenlängen die Höhe berechnet werden.
Beispiel 1:
„Berechne die Diagonale d eines Rechteckes mit
a = 20cm und b = 15cm.“
d
b
a
1
d2
=
2
d
=
a 2 + b2
=
202 + 152
=
400 + 225
=
625
=
25cm
Achtung:
Mathematik -Theorie
a2 + b2
Die Masseinheiten werden unter dem Wurzelzeichen
nicht notiert !
58
4. Klasse Bezirksschule
Beispiel 2:
„Berechne die Höhe h eines gleichschenkligen Dreiecks mit
s = 10cm und b = 12cm.“
s
s
h
b
2
b
1
2
3
Mathematik -Theorie
s
2
2
h
h
=
b
h + ( )2
2
=
b2
s 4
=
b2
s 4
=
122
10 −
4
=
100 −
=
100 − 36
=
64
=
8cm
2
=
b2
h +
4
2
2
2
2
59
144
4
4. Klasse Bezirksschule
3
Umformen von Wurzeltermen
Im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras ist es in vielen Aufgaben
wichtig, dass korrekt mit Wurzeltermen operiert werden kann.
Wurzelterme müssen so umgeformt werden können, dass das Wurzelzeichen
entweder ganz wegfällt , oder der Wurzelausdruck zumindest vereinfacht
wird.
Es gelten folgende Umformungsregeln:
-
a+b ≠
a + b
-
a−b ≠
a − b
-
a ⋅b =
a ⋅ b
-
a :b =
a : b
oder
a
=
b
a
b
Beispiele:
1
9 + 16 ≠
2
100 − 36 ≠
3
25 ⋅ 4 =
4
144 : 4 =
Mathematik -Theorie
9 + 16
,
100 − 36 ,
25 ⋅ 4 ,
144 : 4 ,
denn:
9 + 16 = 25 = 5
9 + 16 = 3 + 4 = 7
denn:
100 − 36 = 64 = 8
100 − 36 = 10 − 6 = 4
denn:
25 ⋅ 4 = 100 = 10
25 ⋅ 4 = 5 ⋅ 2 = 10
denn:
144 : 4 = 36 = 6
144 : 4 = 12 : 2 = 6
60
4. Klasse Bezirksschule
Wurzelterme umformen
1
2
4
10'000 = 10
→
10000 =
3
1'000 = 10
→
1000 =
100 = 102
→
100 =
10 2
10 = 101
→
10 =
101 =
1 = 100
→
1 =
= 10 2
10 4
103
100
1
1
=
= 10 −1
1
10
10
1
1
0,01 =
=
= 10 −2
2
100
10
1
1
0,001 =
=
= 10 −3
1000
103
0,1 =
=
10 ⋅ 10 2
=
10 ⋅ 10
= 10
10
= 1
→
0,1 =
→
0,01 =
→
10 −1
10 −2
0,001 =
10 −3
10 −1 ⋅ 10 −2
=
10 −1 ⋅ 10 −1 =
0,0001 =
3
1
1
=
1000
103
2 ⋅ 18 =
36 = 6
32 ⋅ 8
=
32 ⋅ 8 =
256 = 16
9,8 ⋅ 5 =
9,8 ⋅ 5 =
49 = 7
32 : 8 =
150 : 6 =
0,2 ⋅ 3,2 =
32 : 8 =
150 : 6 =
0,24 : 0,06 =
115,2
=
7,2
Mathematik -Theorie
10 −1 ⋅ 0,1
10−4
=
0,64 = 0,8
4 = 2
25 = 5
0,24 : 0,06 =
115,2
=
7,2
0,0001 =
=
10−2 = 0,01
2 ⋅ 18 =
0,2 ⋅ 3,2 =
4
→
= 10 −3
= 10 −1 = 0,1
4 = 2
16 = 4
61
4. Klasse Bezirksschule
Wurzelreduktion
Häufig können Wurzelterme nicht so umgeformt werden, dass das
Wurzelzeichen wegfällt.
Zerlegt man aber den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen in ein Produkt,
kann von einzelnen Faktoren die Wurzel gezogen werden.
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen wird dadurch reduziert (verkleinert).
Sie sollte letztendlich möglichst klein sein!
Dieses Vorgehen nennt man Wurzelreduktion !
Beispiele:
1
200 =
100 ⋅ 2 =
2
108 =
36 ⋅ 3 =
3
x3
4
108x 3
=
5
4
=
7
4
=
7
6
9
=
32
7
x
=
4
8
2a 3
25
9
18x 5
75y
Mathematik -Theorie
36 ⋅ 3 = 6 ⋅ 3
x2 ⋅ x =
=
x
=
4
=
x2 ⋅ x = x ⋅ x
36x 2 ⋅ 3x =
36x 2 ⋅ 3x = 6x ⋅ 3x
2
7
9
=
32
=
100 ⋅ 2 = 10 ⋅ 2
3
=
16 ⋅ 2
3
3
=
16 ⋅ 2
4⋅ 2
x
2
2a 3
25
18x 5
75y
a 2 ⋅ 2a
=
5
=
=
9x 4 ⋅ 2x
=
25 ⋅ 3y
62
a 2 ⋅ 2a
a ⋅ 2a
=
5
5
9 x 4 ⋅ 2x
3 x 2 ⋅ 2x
=
25 ⋅ 3y
5 ⋅ 3y
4. Klasse Bezirksschule
4
Weitere Anwendungen
Bei der Berechnung fehlender Strecken in Figuren oder Körpern liefern
vielfach rechtwinklige Dreiecke die Lösungsgrundlage, da an diesen
Dreiecken der Satz des Pythagoras angewendet werden kann.
Solche Berechnungen erfordern zwingend ein systematisches Vorgehen:
1
Eine Skizze der gegebenen Figur bzw. des gegebenen Körpers (→ Schrägbild ! )
erstellen.
2
Die Figur bzw. den Körper korrekt beschriften.
3
Die gegebenen und gesuchten Strecken eintragen.
4
Rechtwinklige Dreiecke mit den gesuchten Strecken bestimmen.
5
Gleichung gemäss dem Satz des Pythagoras aufstellen und auflösen.
Beispiel:
„Berechne in einem gleichseitigen Dreieck die Höhe h, wenn
die Seitenlänge s = 3x ist.“
s
s
h
s
2
s
s
2
3s 2
4
h =
Mathematik -Theorie
= h
2
s
+  
2
2
= h
2
s2
+
4
s2
−
4
= h2
3s 2
4
=
3 ⋅s
2
63
=
3 ⋅ 3x
2
=
3 ⋅ 1,5x
4. Klasse Bezirksschule
Bei Berechnungen an Körpern tritt die zusätzliche Schwierigkeit auf, dass die
rechten Winkel aufgrund der Darstellung im Schrägbild verzerrt sein können.
Es ist zwingend erforderlich, die auftretenden rechten Winkel in Körpern zu
erkennen, auch wenn sie im Schrägbild als spitze oder stumpfe Winkel
erscheinen.
Beispiel:
S
„Berechne in der nebenstehenden
Pyramide mit quadratischem
Grundriss die Fläche des
schraffierten Dreiecks, wenn gilt:
a = 5x und k = 8x.“
k
D
C
a
H
a
A
A =
Grundlinie:
AH =
Höhe :
k 2 = AH2 + HS 2
=
AC
=
2
2 ⋅a
=
2
k 2 − AH2 =
2 ⋅ 5x
=
2
2 ⋅ 2,5x
(8x ) 2 − ( 2 ⋅ 2,5x ) 2
64x 2 − 12,5x 2 =
51,5x 2 =
51,5 ⋅ x
AH ⋅ HS
2 ⋅ 2,5x ⋅ 51,5 ⋅ x
=
2
2
2
= 2 ⋅ 1,25 ⋅ 51,5 ⋅ x = 103 ⋅ 1,25x 2
A =
→
Mathematik -Theorie
Grundlinie ⋅ Höhe
AH ⋅ HS
=
2
2
Fläche des Dreiecks :
HS =
B
64
4. Klasse Bezirksschule
5
Berechnungen im Koordinatensystem
Im Koordinatensystem lassen sich Streckenlängen aufgrund der Koordinaten
berechnen.
Dabei bedient man sich eines rechtwinkligen Hilfsdreieckes, an dem der Satz
des Pythagoras angewandt werden kann.
Beispiel:
"Berechne die Länge der Strecke AB mit A(-2/1) und B(4/5)."
y
7
6
B
5
4
3
2
A
-2
P
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
1.
IAPI = I-2eI + I4eI = 6e
IBPI = I4eI = 4e
2.
Mathematik -Theorie
IABI2 = IAPI2 + IBPI2
IABI =
IAPI2 + IBPI2
IABI
=
(6e) 2 + (4e)2
=
52e 2
65
=
=
36e 2 + 16e 2
52 ⋅ e
4. Klasse Bezirksschule
6
Berechnungen an geometrischen Körpern
Wir unterscheiden zwei Gruppen von Körpern:
→
,
Prismen
Zylinder
Ein Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten und parallelen Vielecken begrenzt wird.
Die zwei Vielecksflächen nennt man Grund- und Deckfläche.
Ein Zylinder ist ein Körper, der von zwei kongruenten und parallelen Kreisen begrenzt wird.
→
Pyramiden
,
Kegel
Eine Pyramide ist ein Körper mit einem Vieleck als Grundfläche und dreieckigen Seitenflächen,
welche in einer Spitze zusammenlaufen.
Ein Kegel ist ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche. Die in eine Spitze zulaufende Mantelfläche
wird von einem Kreissektor gebildet.
Prisma
Zylinder
Pyramide
Kegel
Es ist wichtig, von diesen vier Körpern die Formeln für das Volumen V und
die Oberfläche O zu kennen.
Prisma
V = G⋅h
Volumen
Zylinder
V = G⋅h
= r2 ⋅ π ⋅h
Pyramide
G⋅h
V =
3
Kegel
V =
=
G⋅h
3
r 2 ⋅ π ⋅h
3
O = G+D+M
Oberfläche
O = G+D+M
Mathematik -Theorie
= 2 ⋅r2 ⋅ π +
2 ⋅r ⋅ π ⋅h
66
4. Klasse Bezirksschule