Begründen Sie Ihre Aussagen kurz aber - Mathe

2. Klausur, 1. HJ
Schuljahr 09/10
Leistungskurs
Mathematik
* * * Begründen Sie Ihre Aussagen kurz aber ausreichend * * *
Der GTR ist jederzeit zu benutzen und dient als selbstverständliches Hilfsmittel
Aufgabe 1
Wellness-Liege
Die Produktion einer modernen
Wellnessliege wird vorbereitet. Zur Zeit
liegt nur eine Skizze von der Seite vor.
Auf einen Metallunterbau wird eine große
Sitzauflage gelegt (gestrichelte Linie mit
schraffiertem Bereich).
In einem ersten Schritt wurde bereits eine
Mathematisierung der Liege mit Hilfe einer
Spline-Funktion (zusammengesetzte Funktion:
Fußteil, Rückenlehne) vorgenommen. Dabei
wurde die Rückenlehne etwas gestreckt.
Der Metallunterbau wird durch zwei
ganzrationale Funktionen 3. Grades realisiert,
die bei R(3|3) knickfrei in einander
übergehen.
Mathematische Informationen
1. Die Sitzauflage wird realisiert durch
h(x) = 0,1x3 – 0,82x2 + 2,06x + 1,85
und verläuft zwischen den Punkten Q und T.
2. Beim Fußteil f(x) zwischen den
Punkten P(0|1) und R(3|3) ist bei
Q(2|f(2)) der höchste Punkt.
3. Bei der Rückenlehne g(x)
zwischen den Punkten R(3|3)
und T(8|g(8)) ist der Punkt
S(5|1) der tiefste Punkt.
4. Am Übergangspunkt R ist die
gemeinsame Steigung -1.
(Vergrößerung eines Teilbereichs)
RUNDEN SIE IM FOLGENDEN AUF 3 STELLEN oder NUTZEN SIE BRÜCHE !
a) Bestimmen Sie die ganzrationalen Funktionen f(x) und g(x) dritten Grades
gemäß obiger Angaben.
b) Welches Volumen weist die Sitzauflage auf, wenn die Liege 5dm breit sein wird ?
Aufgabe 2
Rotationsintegral
Gegeben ist die Funktion f ( x) =
x ⋅ ( x − 1)
Berechnen Sie das durch Rotation um die x-Achse entstehende vollständig
umschlossene Volumen.
Aufgabe 3
Der Fisch
Die Funktionen f(x) = -0,12x2 + 1,2x und g(x) = 4/125 x3 – 6/25 x2 + 3 schließen
miteinander und mit der y-Achse Flächen so ein, dass ein Fisch erkennbar wird.
Welche Fläche hat dieser Fisch ?
Aufgabe 4
Beweise zur Integralfunktion
Im Folgenden sind a, b und c reelle Zahlen mit a<b<c.
Mit ℑ z (x) ist eine Integralfunktion zu einer festgelegten Funktion f(x) bezeichnet.
Beweisen Sie:
a) ℑ a (b) + ℑb (c) = ℑ a (c)
b) ℑ a (x) + ℑb (x) = ℑ a (b) + 2 ⋅ ℑb ( x) für a<b<x
c) ℑ ' a ( x) = ℑ ' b ( x)