Lösung zur Aufgabe 4

Raketengleichung.nb
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Musterlösung zur Aufg.4 vom Übungsblatt 4
a) Lösung ohne Gravitation
Die 1. Raketengleichung (s.Vorlesung) lautet:
Ma =
dM
w
dt
Hier ist M die Masse der Rakete, dM/dt ist die Massenänderung der Rakete (die sich aus der im Zeitraum dt
ausgestoßene Treibstoffmenge dM ergibt) und w ist die Ausstoßgeschwindigkeit. Die Beschleunigung a der
Rakete kann als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit geschrieben werden:
M
dv
dt
=
dM
w,
dt
dv
w dM
=
dt
M dt
bzw.
Die Massenänderung dM/dt der Rakete beträgt laut Aufgabenstellung -200kg/s und ist also konstant. Wir setzen
sie gleich -A (Abbrand). Die Masse M(t) der Rakete zum Zeitpunkt t ergibt sich dann zu
M HtL = M0 − A t
Setzen wir dies ein, erhalten wir:
dv
wA
=−
dt
M0 − A t
bzw.
dv = −
wA
dt
M0 − A t
Integriert man diese Gleichung von t0 = 0 HZeitpunkt der ZündungL bis t1 (Rakete ausgebrannt) so erhält man:
v = −‡
t1
t0
wA
M0 − A t
t
Dieses Integral löst man, indem man x = M0 − A tsubstituiert. Die Grenzen des Integrals müssen dabei durch
x0 = x Ht0L = M0 − A t0 = M0
und
x1 = x Ht1L = M0 − A t1 = M1
ersetzt werden.
dx
Außerdem gilt dt = - ÅÅÅÅA1Å dx (wegen ÅÅÅÅ
ÅÅ =-A). Das zu lösende Integral lautet also:
dt
v = −‡
M1
wA −1
x A
= w ln J
M0
M1
N
M0
x = +w ‡
M1
M0
1
x
x = w@ln xDMM10 = w H ln M1 − ln M0L
Dies ist die 2. Raketengleichung aus der Vorlesung. Hierbei ist M0 (M1) die Masse der Rakete zum
Zeitpunkt t0 (t1).
Setzt man die gegebenen Werte
M0 = 25000 kg
M1 = 5000 kg
w = 6 km ê s
ein, so erhält man die Endgeschwindigkeit (negativ, da entgegengesetzt zur Richtung von w)
v = −9656 m ê s.
Raketengleichung.nb
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b) Lösung mit Gravitation
Die 1. Raketengleichung lautet dann:
dM
w + Mg
dt
Ma =
Man erhält nun die Differentialgleichung
dv = J−
wA
+ gN dt
M0 − A t
und das Integral
v=‡
t1
t0
1
wA
wA
−
+ g t = −‡
M0 − A t
t0 M0 − A t
t
t+‡
t1
g t
t0
Das erste Integral haben wir in a) gelöst, das zweite ist (da g nicht von t abhängt)
‡
t1
g t = g ∗ Ht1 − t0L
einfach zu lösen:
t0
Die Gleichung für die Endgeschwindigkeit lautet also nun
v = w ln J
M1
N + g ∗ Ht1 − t0L
M0
Ht1 − t0L ist die Brenndauer der Rakete, die wir aus der Treibstoffmenge (20000kg) und der
Verbrennungsgeschwindigkeit (200kg/s) zu 100s bestimmen. Die Endgeschwindigkeit beträgt dann
v = −8676 m ê s
c) Änderung der Gravitation
Zunächst überlegen wir, wie weit die Rakete in den t = 100s Brenndauer kommt. Dazu schätzen wir die
durchschnittliche Geschwindigkeit zu vd = ÅÅÅÅ2v = 4343 m/s ab. (Die tatsächliche Durchschnittsgeschwindigkeit ist
noch geringer, da wir zum Ende der Brenndauer hin aufgrund der abnehmenden Raketenmasse immer stärker
beschleunigen.) Die Rakete legt dann eine Strecke von r = v t = 434 km zurück. Da die Gravitationskraft
proportional zu 1/(Abstand)² ist beträgt die relative Änderung der Erdbeschleunigung
− gRakete
∆g
g
=
= Erde
gErde
g
1
RErde2
−
1
HRErde+rL2
1
H6370 kmL2
= 1−
= 0.12
H6370 km + 434 kmL2
RErde2
RErde2
=1−
HRErde + rL2
Am Ende der Brenndauer beträgt die Erdbeschleunigung also immer noch ca. 90% des Wertes an der
Erdoberfläche. Die Änderung kann also hier vernachlässigt werden.