Mathematik-Wettbewerb Känguru 2011

Hochschule Bremen
Fachbereich E-Technik & Informatik
Mathematikwettbewerb Känguru e.V.
XIX. Mathematik-Wettstreit 2011
für Schüler und Studenten
Prof. Dr. Th. Risse
Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um
die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende
(nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich
am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere
in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß
machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen.
c 2011
Letzte Änderung: 26. Februar 2012
[email protected]
Version 0.1
2
1. Einführung
Bei Kangourou 2011 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der
11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit
meinen Lösungen (ohne Gewähr ) ist Bestandteil meiner Bemühungen, Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern.
Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch
mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alle
unter
http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
Viel Erfolg!
3
2. Aufgaben mit Lösungen
Der Quiz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren
und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb
Stunden lösen.
Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten.
Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß
beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken!
Aufgabe
1. Mathematik ist
(a) fun
(b) cool
(c) out
(d) in
Auf die Plätze – fertig – los!
(e) voll krass
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
4
Aufgabe
1. An das graue regelmäßige Sechseck mit Seitenlänge 1 werden
nach außen abwechselnd Quadrate und gleichseitige Dreiecke
gesetzt. Welchen Umfang hat die
so entstehende Figur?
(a) 9
(b) 12
(c) 15
(d) 18
(e) 21
2. Effi (E), Johanna (J) und Caro (C) starten zum Seifenkistenkurvenrennen. Zuerst führt Effi, gefolgt von Johanna und danach
Caro. Bei der rasanten Fahrt um die Kurven tauschen Effi und
Johanna insgesamt 5-mal die Reihenfolge. Mit Caro tauscht Effi
die Reihenfolge nur 2-mal. Johanna und Caro tauschen die Reihenfolge 4-mal. Wie ist die Reihenfolge im Ziel?
(a) C vor E (b) J vor C (c) E vor J (d) C vor J (e) J vor E
vor J
vor E
vor C
vor E
vor C
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
3. An alle Ecken der Sechsecke sollen Zahlen geschrieben werden, so dass die Summe der beiden Zahlen an jeder Sechseckseite stets dieselbe ist. Dann ist E =
(a) 1
(b) 3
(c) 4
5
4
1
(d) 5
E
(e) 24
4. Wie viele der ungeraden Zahlen, die größer 0 und kleiner als 54
sind, sind nicht durch 3 teilbar?
(a) 18
(b) 15
(c) 10
(d) 9
(e) 7
5. Ein Zylinder ist durch einen ebenen Schnitt, der durch die beiden
Punkte X und Y auf dem Mantel verläuft, in zwei Teile geteilt.
Wie könnte die abgewickelte Mantelfläche des unteren Zylinderteils
aussehen?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
6
6. Ich stelle mir alle 4-stelligen Zahlen, deren Ziffernsumme 4 ist, der
Größe nach aufgeschrieben vor. Mit der kleinsten wird begonnen.
An welcher Stelle finden wir die 1102?
(a) an der 5.(b) an der 6. (c) an der 7.(d) an der 8. (e) an der 9.
7. Addiere ich die Längen von drei der vier Seiten eines Rechtecks,
so kann ich als Ergebnis 20 oder 22 erhalten. Welchen Umfang
hat das Rechteck?
(a) 24
(b) 25
(c) 26
(d) 28
(e) 32
8. Im Viereck 2(P QRS) ist P S = SR,
∠(P SR) = ∠(RQP ) = 90o und ST = 5.
Die Strecke ST steht senkrecht auf P Q
(Skizze nicht maßstabgerecht). Dann ist
der Flächeninhalt von 2(P QRS) gleich
(a) 20
(b) 22,5
(c) 25
S
R
P
(d) 27,5
9. Wenn 2x = 15 und 15y = 32 ist, dann ist x · y =
√
(a) 5
(b) log2 47 (c) 7
(d) 47
T
Q
(e) 30
(e) log2 15 +
log15 32
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
7
10. In z = ∗ ∗ ∗5
√ ∗ 0 steht jedes Sternchen für eine Ziffer.
√ z ist durch
27 teilbar; z ist eine natürliche Zahl. Dann ist z =
(a) 580
(b) 290
(c) 370
(d) 420
(e) 450
11. Die Ringe auf einer Zielscheibe sind
mit 1, 3 und 7 bewertet (s. Abb.).
Ein Schuss, der danebengeht, ist 0
Punkte wert. Wie viele verschiedene
Gesamtpunktzahlen sind als Ergebnis bei drei Schüssen möglich?
(a) 12
(b) 14
(c) 17
7
(d) 19
3 1
(e) 22
12. Zu zwei Rechtecken mit den Maßen 7 × 11 bzw. 4 × 8 suche ich ein
drittes Rechteck, so dass ich die drei Rechtecke zu einem großen
Rechteck zusammenlegen kann. Welches der folgenden Maße kann
das dritte Rechteck nicht haben?
(a) 1 × 11 (b) 3 × 3
(c) 3 × 8
(d) 7 × 8
(e) 4 × 7
13. Claire, unser Mathe-Genie, hat in diesem Jahr die Schultombola
vorbereitet. Sie hat die Lose mit lauter verschiedenen naturlichen
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
8
Zahlen beschriftet. Als ich sie frage, wie viele Lose es gibt, sagt sie,
dass von den Zahlen, die sie auf die Lose geschrieben hat, genau
30 durch 6 teilbar seien, genau 20 durch 7 und genau 10 durch
42. Wie viele Lose sind demzufolge mindestens in der Tombola?
(a) 30
(b) 40
(c) 53
(d) 54
(e) 60
14. Drei Parallelen werden von drei anderen
S
R
Parallelen so geschnitten, dass, wie im
T
Z
Bild, in zwei der entstehenden Parallelogramme Kreise einbeschrieben werden
können. Die Flächeninhalte der grauen
X
Y
Flächen seien X, Y und Z, der des Parallelogramms P QRS sei W , und der FlächenQ
inhalt des weißen Parallelogramms sei T . P
Wenn ich aus den Werten X, Y , Z, W geeignet wählen kann, wie
viele dieser Werte muss ich mindestens kennen, um T zu bestimmen?
(a) einer
(b) zwei
(c) drei
(d) vier
(e) weitere Angaben nötig
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
9
15. Micha will in die fünf leeren Felder des abgebilde2
ten 3 × 3-Feldes ganze Zahlen derart hineinschrei1
3
ben, dass in jedem 2 × 2-Teilquadrat die Sum4
me der vier Zahlen 10 ist. Welche der folgenden
Zahlen kann die Summe der zu ergänzenden fünf
Zahlen sein?
(a) 9
(b) 10
(c) 12
(d) 13
(e) keine dieser Zahlen
16. Ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat haben denselben Umfang. Dann verhält sich die Dreiecksfläche zur Quadratfläche wie
√
√
√
(a) 3:4
(b) 1:2
(c) 2:2
(d) 2 5:5 (e) 4 3:9
17. Bei einer Umfrage unter den Teilnehmern an der Regionalrunde der Mathematik-Olympiade stellt sich heraus: genau 6 der 48
Teilnehmer haben nur ein Geschwisterkind, das auch bei der Regionalrunde mitmacht, 9 der Teilnehmer sind mit 2 Geschwistern
dabei und 4 mit sogar 3 Geschwistern. Die restlichen Teilnehmer
haben keine Geschwister, die an der Regionalrunde teilnehmen.
Aus wie vielen verschiedenen Familien sind die Teilnehmer bei
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
dieser Regionalrunde?
(a) 19
(b) 25
(c) 31
10
(d) 36
(e) 48
18. Auch bei der Fluggesellschaft X gibt es eine Grenze, bis zu der das
Gepäck ohne Aufpreis mitbefördert wird. Bei Übergepäck ist ein
fester Betrag pro kg zu entrichten. Ein Ehepaar, das zusammen
60 kg Gepäck aufgibt, hat 30e für Übergepäck zu bezahlen. Ein
Einzelreisender würde für 60 kg Gepäck 105e bezahlen. Bis zu
welcher Grenze befördert X Gepäck ohne Aufpreis?
(a) 15 kg
(b) 16 kg
(c) 18 kg
(d) 20 kg
(e) 25 kg
19. Ich betrachte die Menge aller 3-stelligen Zahlen, die als Ziffern
nur 1, 2 oder 3 haben. Dann wähle ich aus dieser Menge eine
Teilmenge so, dass je zwei Zahlen dieser Teilmenge mindestens
eine Ziffer gemeinsam haben. Wie viele Zahlen kann eine solche
Teilmenge höchstens enthalten?
(a) 4
(b) 12
(c) 18
(d) 24
(e) 36
20. Die Seiten AB, BC, CD, DE, EF und F A eines 6-Ecks sind
sämtlich Tangenten desselben Kreises. Wenn AB = 4, BC = 5,
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
11
CD = 6, DE = 7 und EF = 8 ist, wie lang ist dann F A ?
(a) 3
(b) 6
(c) 9
(d) 12
(e) 13
21. Ein Scheibenwischer ist so
konstruiert, dass die Länge
des Wischers P Q und die des
Verbindungstabs zum Motor
P O gleich sind und dass zwischen ihnen der feste Winkel
α ist. Der Wischer führt eine
Drehbewegung um O bis zum
Anschlag aus. Dort entsteht
zwischen der Tangente an die
Kurve, die das Wischerblattende beschreibt, und dem
Wischerblatt der Winkel β.
Es ist β =
(b) 2π−α
(c) 3π−2α
(a) 3π−α
2
2
2
(d)
π+2α
2
(e)
2π+α
2
22. Gibt es eine natürliche Zahl a mit folgenden Eigenschaften: a + 1
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
12
ist durch 2 teilbar, a + 2 ist durch 3 teilbar, a + 3 ist durch 4
teilbar, a + 4 ist durch 5 teilbar, a + 5 ist nicht durch 6 teilbar?
(a) Nein, sie (b) Ja, die
(c) Ja, die
(d) Ja, die
(e) Ja, die
existiert
nicht.
kleinste ist
2-stellig.
kleinste ist
4-stellig.
kleinste ist
5-stellig.
kleinste ist
7-stellig.
23. Unter den positiven ganzen Zahlen x, die kleiner als 100 sind,
suchen wir alle diejenigen, für die x2 − 81 durch 100 teilbar ist
und summieren sie. Diese Summe ist gleich
(a) 100
(b) 91
(c) 200
(d) 181
(e) 81
·M
stehen in den Produkten in Zähler und
24. Im Bruch S·I·L·I·Z·I·U
Z·I·N ·K
Nenner verschiedene Buchstaben für verschiedene und gleiche Buchstaben für gleiche positive einstellige Zahlen. Welchen kleinsten
ganzzahligen Wert kann der Bruch annehmen?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 5
(e) 7
25. Wir betrachten die arithmetischen Folgen (1, 20, 39, 58, . . .) und
(35, 61, 87, 113, . . .). Wie viele verschiedene arithmetische Folgen
von positiven ganzen Zahlen gibt es, die diese beiden Folgen als
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
Teilfolgen enthalten?
(a) keine
(b) eine
(c) zwei
13
(d) vier
(e) ∞ viele
26. Ria und Yves überlegen, ob sie baden gehen sollen. Ein Wurf mit
einer noch zu bestimmenden Anzahl von Würfeln soll die Entscheidung bringen. Wird keine 6 gewürfelt, wird gebadet und Ria
muss als Erste ins Wasser. Ist genau eine 6 dabei, wird ebenfalls gebadet und Yves muss als Erster rein. Wird mehr als eine
6 gewürfelt, wird nicht gebadet. Mit wie vielen Würfeln müssen
Ria und Yves würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit, als Erster
ins Wasser zu müssen, für beide gleich ist? (A)
(a) 3
(b) 5
(c) 8
(d) 9
(e) 17
27. Es sei z die kleinstmögliche Zahl der Form a · b · c, wobei die
Bedingung a2 = 2b3 = 3c5 erfüllt ist. Dabei sind a, b und c
natürliche Zahlen. Wie viele Teiler hat z, wobei 1 und z als Teiler
eingeschlossen sind?
(a) 30
(b) 49
(c) 60
(d) 77
(e) 103
28. Auf dem Wühltisch im Kaufhaus liegen am Abend rote und grüne
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
14
Socken wild durcheinander. Als Spezialist in Sockenmathematik
zähle ich sogleich alle Socken, und nach etwas Überlegen stellt sich
heraus, dass die Wahrscheinlichkeit, beim zufälligen Greifen zweier Socken zwei gleichfarbige zu erwischen, gleich 1/2 ist. Welche
der folgenden Aussagen ist dann mit Sicherheit richtig?
(a) Die Anzahl der Socken ist durch 4 teilbar.
(b) Die Anzahl der Socken ist eine Primzahl.
(c) Es sind genauso viele rote wie grüne Socken.
(d) Die Anzahl der Socken ist mindestens 10.
(e) Die Anzahl der Socken ist eine Quadratzahl.
29. Wir stellen uns vor, dass in ein 3 × 4-Kästchenpapier 12 voneinander verschiedene natürliche Zahlen geschrieben wurden. Dabei haben Zahlen in
benachbarten Zellen, d.h. solchen, die eine
gemeinsame Seite haben, einen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Wir bezeichnen die größte dieser 12 Zahlen mit G. Wie groß muss
G mindestens sein?
(a) 15
(b) 16
(c) 18
(d) 20
(e) 21
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
15
30. Ein 3 × 3 × 3-Würfel besteht aus 27 identischen kleinen Würfeln.
Eine Ebene, die durch den Mittelpunkt des Würfels verläuft,
schneidet den Würfel senkrecht zu einer der Raumdiagonalen des
Würfels. Wie viele kleine Würfel schneidet diese Ebene?
(a) 13
(b) 16
(c) 19
(d) 21
(e) 25
16
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar
Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern auch
leihweise zur Verfügung stellen:
• Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e
und viele weitere Titel
• P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985
ISBN 3-7643-1359-5
• Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list;
www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html
• John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9
• Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archi
Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s.a.
www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
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Lösungen der Aufgaben
17
Lösung zu Aufgabe:
Zu jeder der Seite des grauen Sechseckes gehören ein Quadrat und
ein gleichseitiges Dreieck, also zwei Seiten des entstehenden Zwölfecks
mit Umfang 12, also Antwort (b).
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Lösungen der Aufgaben
18
Lösung zu Aufgabe:
Erstens spielt die (zeitliche) Reihenfolge des Tauschens keine Rolle
und zweitens ändern geradzahlige Tausche nichts an der Reihenfolge.
Somit tauschen im Ergebnis nur Effi und Johanna die Reihenfolge,
also Antwort (e).
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Lösungen der Aufgaben
19
Lösung zu Aufgabe:
Die Ziffern, startend bei 4 am äußeren Rand gegen den Uhrzeiger sind
4, x, 4, x, 4, x, 4, 1. Also ist x = 1. Damit ist E = 4, also Antwort
(c).
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Lösungen der Aufgaben
20
Lösung zu Aufgabe:
Es gibt genau (53 − 1)/2 + 1 = 27 ungerade Zahlen zwischen 0 und
54. Davon sind 18 nicht durch drei teilbar, weil in 1, 3, 5, . . . , 51, 53
auf eine durch drei teilbare Zahl immer zwei nicht durch drei teilbare
Zahlen folgen, nämlich
{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53}
also Antwort (a).
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Lösungen der Aufgaben
21
Lösung zu Aufgabe:
Die Schnittkurve ist differenzierbar, hat also beim Abwickeln keine
Knicke, so daß die Varianten (a) und (e) ausscheiden. Sie ist zudem
symmetrisch, so daß (d) ausscheidet. Da bei (b) beim Zusammenfügen
aufgrund verschiedener Steigungen in X ein Knick entstehen würde,
scheidet auch (b) aus, also Antwort (c).
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Lösungen der Aufgaben
22
Lösung zu Aufgabe:
Die Zahlen-Folge beginnt mit 1003, 1012, 1021, 1030, 1111, 1102, also
Antwort (b).
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Lösungen der Aufgaben
23
Lösung zu Aufgabe:
Seien a und b die beiden Seitenlängen des Rechtecks.
Laut Vorgabe gilt 2a + b = 20 und a + 2b = 22. Addition liefert
3a + 3b = 42 und daher a + b = 14. Somit gilt U = 2(a + b) = 28, also
Antwort (d).
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Lösungen der Aufgaben
24
Lösung zu Aufgabe:
Man rotiere das rechtwinklige Dreieck ∆(P T S) um S, so daß die
gleichlangen Seiten P S und RS zusammenfallen. Der Punkt P geht
dabei in den Punkt P 0 über. So entsteht mit dem Rechteck 2(ST QP 0 )
mit gleichlangen Seiten ST und SP 0 und mit rechtem Winkel ∠(T SP 0 )
ein Quadrat mit Seitenlänge 5, also Antwort (c).
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Lösungen der Aufgaben
25
Lösung zu Aufgabe:
Einsetzen liefert 32 = 15y = (2x )y = 2xy , also Antwort (a).
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Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe:
26
√
Wenn z durch 27 teilbar ist, dann ist z sicher durch 3 teilbar, was a),
b) und c) ausschließt. 4202 mod 1000 = 400, was auch d) ausschließt,
also Antwort (e).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
27
Lösung zu Aufgabe:
drei Schüsse daneben: 0
zwei Schüsse daneben: 1, 3, 7
ein Schuß daneben: 2, 4, 6, 8, 10, 14
kein Schuß daneben: zusätzlich 5, 9, 11, 13, 15, 17, 21
insgesamt also 17 verschiedene Punkte-Summen bei drei Schüssen,
also Antwort (c).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
28
Lösung zu Aufgabe:
1
8
1 × 11
7
4
schließt a) aus.
11
4
3
8
7
3×3
schließt b) aus.
11
3
7
4
3×8
11
schließt c) aus.
8
7
11
7×8
4
7
8
schließt d) aus.
Also bleibt nur Antwort (e).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
29
Lösung zu Aufgabe: Sei X die Menge der Zahlen auf den Losen
und sei Xm = {n ∈ X : m|n}.
Wegen X = X6 ∪ X7 ∪ X42 gilt laut Inklusion/Exklusionsprinzip
|X| = |X6 ∪ X7 ∪ X42 | ≥ |X6 | + |X7 | + |X42 | − |X6 ∩ X7 | − |X6 ∩ X42 | −
|X7 ∩ X42 | = 30 + 20 + 10 − 3 · 10 = 30, also Antwort (a).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
30
Lösung zu Aufgabe:
Alle Flächeninhalte ändern sich nicht, wenn das Parallelogramm P QRS
durch Scherung in ein Rechteck überführt wird. Dann ergibt sich der
Flächeninhalt W aus Breite (= Kreisdurchmesser, der aus X zu bestimmen ist) mal Höhe (= Kreisdurchmesser, der aus Z zu bestimmen
ist), also Antwort (b).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
31
Lösung zu Aufgabe:
Einfügen der Zahl x in der Mitte bestimmt alle anderen offenen Felder:
7-x
2
5-x
1
x
3 . Für die Summe S der eingefügten Zahlen gilt also
5-x
4
3-x
S = 20 − 3x, was 9, 10, 12, 13 ausschließt, also Antwort (e).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
32
Lösung zu Aufgabe:
Sei U der feste Umfang.
√
Die Dreiecksseiten sind also jeweils U/3, die Höhe ist
√
√
|∆| = 12 13 U 63 U = 363 U 2 .
3
6 U
Die Quadratseiten sind jeweils U/4 und daher |2| =
1
2
16 U .
Somit gilt
|∆|
|2|
=
√
16 3
36
=
√
4 3
9 ,
also Antwort (e).
und daher
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
33
Lösung zu Aufgabe:
Die insgesamt 48 Teilnehmer teilen sich wie folgt auf:
6
9
4
29
48
Teilnehmer
Teilnehmer
Teilnehmer
Teilnehmer
Teilnehmer
mit
mit
mit
mit
mit
also Antwort (d).
1
2
3
0
*
Geschwistern
Geschwistern
Geschwistern
Geschwistern
Geschwistern
in
in
in
in
in
insgesamt
insgesamt
insgesamt
insgesamt
insgesamt
3
3
1
29
36
Familien
Familien
Familien
Familien
Familien
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
34
Lösung zu Aufgabe:
Sei K der Preis in Euro pro kg Übergepäck und sei F die Freigepäckgrenze in kg. Dann gilt für das Ehepaar K(60 − 2F ) = 30 und für den
Einzelreisenden K(60 − F ) = 105. Divison liefert
K(60 − 2F )
60 − 2F
30
2
=
=
=
K(60 − F )
60 − F
105
7
und Auflösen F = 25kg, also Antwort (e).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
35
Lösung zu Aufgabe: Sei M ⊂ N die Menge aller 3-stelligen Zahlen,
die als Ziffern nur 1, 2 oder 3 haben.
Sei weiter A0 = {∗ ∗ 1}, A1 = {∗1∗} und A2 = {1 ∗ ∗}, wobei ∗ für
eine beliebige Ziffer 1, 2 oder 3 steht und Ai ⊂ N gilt.
Dann besteht M1 = A0 ∪ A1 ∪ A2 aus den Zahlen, die mindestens
die Ziffer 1 gemeinsam haben. Laut Inklusion/Exklusion gilt |M1 | =
|A0 | + |A1 | + |A2 | − |A0 ∩ A1 | − |A0 ∩ A2 | − |A1 ∩ A2 | + |A0 ∩ A1 ∩ A2 | =
3 · 9 − 3 · 3 + 1 = 19 und daher übrigens ebenso |M2 | = 19 = |M3 |.
Die gesuchte Kardinalität ist also ≥ 19, was a), b) und c) ausschließt.
Wegen |M | = 33 = 27 ist auch e) ausgeschlossen, also Antwort (d).
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Lösungen der Aufgaben
36
Lösung zu Aufgabe:
Die adjazenten Abschnitte, die die Berührpunkte auf adjazenten Tangenten festlegen, sind jeweils gleichlang. Sei also
AB = 4 = a + b, BC = 5 = b + c, CD = 6 = c + d, DE = 7 = d + e,
EF = 8 = e + f
Dann ist F A = a + f . Einsetzen liefert 4 = a + b = a + 5 − c =
a − 1 + d = a + 6 − e = a − 2 + f , was F A = a + f = 6 impliziert, also
Antwort (b).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
37
Lösung zu Aufgabe:
Bei der Rotation um O bleibt das gleichschenklige Dreieck ∆(OP Q)
= ∠(P OQ) und weiter β = π2 +
fest. Daher gilt ∠(OQP ) = π−α
2
π
π−α
2π−α
∠(OQP ) = 2 + 2 = 2 , also Antwort (b).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
38
Lösung zu Aufgabe:
Wenn a + 1 durch 2 teilbar ist, dann ist a = 2k + 1 ungerade.
Wenn a + 2 = 2k + 3 durch 3 teilbar ist, dann ist k durch 3 teilbar,
d.h. a = 6` + 1.
Wenn a + 3 = 6` + 4 durch 4 teilbar ist, dann ist ` durch 2 teilbar,
d.h. a = 12m + 1.
Wenn a + 4 = 12m + 5 durch 5 teilbar ist, dann ist m durch 5 teilbar,
d.h. a = 60n + 1.
Nun ist aber a + 5 = 60n + 6 immer durch 6 teilbar, so daß ein a mit
den geforderten Eigenschaften nicht existiert, also Antwort (a).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
39
Lösung zu Aufgabe: Sei x = 10z1 + zo mit Ziffern zo und z1 .
Damit x2 − 81 = 100z12 + 20z1 zo + zo2 − 81 durch 100 teilbar ist, muß
die Einerstelle zo von x entweder 1 oder 9 sein.
zo = 1 x2 −81 = 100z12 +20z1 −80 ist durch 100 teilbar ⇐⇒ 20z1 −80
oder ebenso 20z1 + 20 = 20(z1 + 1) ist durch 100 teilbar ⇐⇒
z1 = 5n − 1, d.h. z1 ∈ {4, 9}. Also gilt x ∈ {41, 91}.
zo = 9 x2 − 81 = 100z12 + 180z1 ist durch 100 teilbar ⇐⇒ z1 ist
durch 5 teilbar. Also gilt x ∈ {9, 59}.
P
Es gilt also X = {9, 41, 59, 91} mit x∈X x = 200, also Antwort (c).
Test beenden
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe: Kürzen liefert x =
40
S·I·L·I·Z·I·U ·M
Z·I·N ·K
=
2
I ·L·M ·S·U
.
K·N
Offensichtlich ist I = 1, da I in x quadratisch eingeht. Wir dürfen
o.B.d.A. im Zähler L = 2, M = 3, S = 4 und U = 6, also bis auf
U jeweils die kleinst-möglichen Werte, und im Nenner K = 8 und
N = 9, also jeweils die größt-möglichen Werte, setzen, so daß sich
x = 2·3·4·6
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8·9 = 3 ergibt, also Antwort (c).
Lösungen der Aufgaben
41
Lösung zu Aufgabe: f = (19i − 18)i∈N und g = (26j + 9)j∈N sind
die beiden gegebenen Folgen.
Selbstverständlich enthält die (arithmetische) Folge aller natürlichen
Zahlen die beiden Folgen f und g als Teilfolgen. Diese ist die einzige derartige Folge, wie man an den jeweils ersten beiden FolgenElementen sieht:
Sei h = (ak +b)k∈N eine arithmetische Folge, die f und g als Teilfolgen
enthält. Dann gilt insbesondere
ak1 + b = 35
a`1 + b = 1
a(k1 − `1 ) = 34
und
ak2 + b = 61
a`2 + b = 20
a(k2 − `2 ) = 41
Also ist a Teiler von 34 und 41 und damit 1. Aus 1 ∈ {hk : k ∈ N} =
{k + b : k ∈ N} folgt b = 0, also Antwort (b).
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Lösungen der Aufgaben
42
Lösung zu Aufgabe:
Die Anzahl S der Sechsen bei n Würfen ist binomial-verteilt mit
P (S = k) = nk pk q n−k für p = 16 und q = 1 − p = 56 .
Gesucht ist n mit P (S = 0) = q n = npq n−1 = P (S = 1), d.h.
q = 1 − p = np oder eben (n + 1)p = 1, was n = 5 impliziert, also
Antwort (b).
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43
Lösung zu
Q Aufgabe: SeiQP die Menge aller Primzahlen.
Q
Mit a = p∈P pap , b = p∈P pbp und c = p∈P pcp (PrimfaktorQ
Zerlegung) gilt a · b · c = p∈P pap +bp +cp .
Die Eigenschaft a2 = 2b3 = 3c5 liefert a0p = b0p = c0p mit a0p = 2ap ,
mit b0p = 3bp für p 6= 2 und b02 = 3b2 + 1 sowie mit c0p = 5cp für
p 6= 3 und c03 = 5c3 + 1, d.h. 2ap = 3bp = 5cp für 2 6= p 6= 3 und
2a2 = 3b2 + 1 = 5c2 sowie 2a3 = 3b3 = 5c3 + 1.
Da die Anzahl der Teiler des kleinsten derartigen z zu bestimmen
sind, verschwinden alle ap , bp und cp für p > 3. Es gilt also
z = 2a2 +b2 +c2 3a3 +b3 +c3
Die ’kleinste’ Lösung von 2a2 = 3b2 + 1 = 5c2 ist a2 = 5, b2 = 3 und
c2 = 2. Die ’kleinste’ Lösung von 2a3 = 3b3 = 5c3 + 1 ist a3 = 3,
b3 = 2 und c3 = 1. Damit folgt
z = 25+3+2 33+2+1 = 210 36
z hat somit 10 · 6 = 60 Teiler incl. der trivialen Teiler 1 und z, also
Antwort (c).
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Lösungen der Aufgaben
44
Lösung zu Aufgabe: Auf dem Wühltisch liegen r rote und g grüne
und damit n = r + g Socken.
P (zwei gleichfarbige rausgreifen) = P (zwei rote) + P (zwei grüne) =
g
g−1
r−1
1
r
2
r+g r−1+g + r+g r+g−1 = 2 . Umformen liefert (r − g) = r + g = n.
Damit ist n eine Quadrat-Zahl, also Antwort (e).
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Lösungen der Aufgaben
45
Lösung zu Aufgabe: Sei MG = {n ∈ N : gcd(n, G) > 1}.
3
9
18
6
12
15
2
8
10
14
16
4
zeigt, daß für G = 18 ein 3 × 4-Schema der geforderten Art existiert. Das Schema zeigt auch, daß die ggT zwischen zwei benachbarten Einträgen notwendigerweise auch Teiler von G sind und daß
alle Einträge Elemente von M18 = {n ∈ N : gcd(n, 18) > 1} =
{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18} sind.
M15 = {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15} und M16 = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} haben zuwenig Elemente, also Antwort (c).
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46
Lösung zu Aufgabe: Die kleinen Würfel seien Einheitswürfel. Sei
U = {−1, 0, 1}. Die Ebene heiße E.
Angenommen, die Mittelpunkte der kleinen Würfel liegen in M =
{(x, y, z) : x, y, z ∈ U } ⊂ Z3 ⊂ R3 . Die betreffende Ebene E ist eine
Ursprungsebene mit einer Normalen ~n = (1, 1, 1). Daher lautet ihre
Ebenengleichung (x, y, z)~n> = 0 oder eben x + y + z = 0.
Schnitte der unteren, mittleren und oberen Schicht von jeweils neun
Würfeln durch deren Mittelpunkte sind Schnitte mit z = −1, z = 0
und z = 1. Die Schnittgerade von E mit z = −1, 0, 1 ist jeweils rot
eingezeichnet.
z = −1:
z = 0:
z = 1:
Weil E um die Gerade x + y = 0 in der x-y-Ebene gedreht ist, schneidet E die sieben der neun Einheitswürfel in der mittlere Schicht, deren Mittelpunkte markiert sind. Analog kommen jeweils sechs durchschnittene Einheitswürfel für z = ±1 hinzu, also Antwort (c).
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