Einführung Physik

Vorlesungsskript „Physik“ (Physics)
für ET/IT & TI
HS Pforzheim, Fakultät für Technik
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Inhalt & Aufbau
Kapitel
Unterteilung
Physikalische
Einführung
Herangehensweise,
Einheiten
Mechanik
Schwingungen
Wärmelehre
„Experiment“
Balkenwaage
Kinematik
Autofahrt
Dynamik
Freier Fall
Harmonische und
Pendel
erzwungene Schwingungen
Resonanz
Temperatur
Wärmemenge
Wärmetransport
Kühlkörper
Hookesches Gesetz
Medien
Strömungslehre
Anhang
Freier Fall als
Statik
Deformierbare
Wellen / Optik
Beispiele
Feder
Wellenausbreitung
Reflexion
Brechung, Beugung
Linsen
Basics, weitere Infos, … ,
Übungsaufgaben
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11
Vektoren
1

Dieses Skript kann im Internet (www.hs-pforzheim.de, Homepage Blankenbach)
heruntergeladen werden, dort sind auch Beispiel-Aufgaben aus Klausuren (Achtung:
es waren verschiedene Hilfsmittel erlaubt, insofern haben die Aufgaben
unterschiedliche Schwierigkeitsgrade) zu finden.

Der Inhalt wurde komplett überarbeitet, ist aber im Wesentlichen kompatibel zu den
‚Vorgänger’-Vorlesungen.

Um jedem etwas bieten zu können findet man bestimmt einige Druckfehler.
Ferner ist's wie im richtigen Leben - ohne Gewähr.

Relevante Begriffe werden auch Englisch angegeben „zum leichteren Lernen“
Physikbücher etc. zum Selbststudium und Verständnis &
Übungsaufgaben
Douglas C. Giancoli: Physik (deutsch), PEARSON Studium
(DAS Buch fürs Leben! Das beste Phyikbuch für Nicht-Physik-Studenten,
welches ich bisher gesehen habe. Viele Praxisbeispiele und Übungsaufgaben
etc. sowie weiterführende Internetlinks.)
Bohrmann et al.: Physik für Ingenieure, Verlag Harri Deutsch
Haliday. Resnick, Walker: Haliday Physik, Wiley (übersichtlich mit Beispielen)
Hering et al: Physik für Ingenieure, VDI Verlag
Kuypers: Physik für Ingenieure, VCH
Lindner: Physik für Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig-Köln
Stroppe: Physik für Studenten der Naturwissenschaften, Hanser Verlag
Schulz et al.: Experimentalphysik für Ingenieure, Vieweg
Thuselt: Physik, Vogel (HS Pforzheim)
Formel- und Tabellensammlung
Kuchling: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch
Stöcker: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch
Java Applets: z.B. www.walter-fendt.de/ph14d (Stand Aug. 2011)
ergänzend: Vogel: Vorkurs Physik, Springer (leider keine Neuauflage - Bibliothek)
www.brueckenkurs-physik.de
(Dies stellt nur eine Auswahl dar)
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1. Einführung (Introduction)
Traditionelle Physik
Moderne Physik
‘unbelebte Natur’
Biophysik, Physiologie
Mechanik
Akustik
Wärme
Zusammenführung, sowie
Elektrizität
neue Effekte (z.B. Quanten-Hall-Effekt)
Magnetismus
Optik
- Aufbau der Materie
(Festkörperphysik, Atomphysik, Kernphysik,
Teilchenphysik, Astrophysik)
- Theoretische Physik
(Quantenmechanik, Relativitätstheorie)
Die traditionellen Abgrenzungen verschwimmen in der modernen Physik:
Die Effekte in der Akustik und Wärmelehre werden auf die mechanische Deutung ‘Bewegung
und Stöße von ungeladenen Teilchen’ zurückgeführt.
Bsp: Schallwellenausbreitung durch fortschreitende Druckänderungen,
welche aber wiederum Temperaturänderungen erzeugen (pV  T)
Licht wird als elektromagnetische Welle beschrieben; Optik und Elektromagnetismus
(Funkwellen) beschreiben dieselben Phänomene.
Ebenso sind Licht und Wärmestrahlung wesensgleich.
Erhaltungssätze, wie der Energiesatz in der Mechanik oder die Ladungserhaltung in der
Elektrotechnik, beruhen auf demselben Prinzip.
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Neue Gebiete der Physik (ab ca. 1900):
 Aufbau der Materie (siehe unten)
Festkörper-, Molekül-, Atom-, Kern- und Teilchenphysik
Bsp: Festkörperphysik ist die Basis der Halbleitertechnik
 Theoretische Physik
Mathematische (Weiter-)Entwicklung einer physikalischen Theorie
Verifikation durch die Experimentelle Physik
Bsp: ohne Einsteins Relativitätstheorie kein GPS-System,
Empfängerpreis ab 100 € !
Aufgabe und Technische Anwendung der Physik / Ingenieurphysik :
- systematische Untersuchung
- Auffinden von Zusammenhängen
- Rückführung komplizierter Vorgänge auf einfache Gesetzmäßigkeiten
Bsp: - Materialeigenschaften (Dichte, spezifischer Widerstand, ...)
folgen aus dem komplexen Aufbau der Materie
- Gasdruck: Stöße von Molekülen an die Begrenzungswand
- Formeln : z.B. Auto s = v t
wichtig: Unterschied zwischen ‘mathematischen’ Formeln und experimentell ermittelten
Formeln:
mathematisch: Bewegung mit a = const.  v = a t  s = ½ a t2
Fit
: Hookesches Gesetz F  x ist empirisch, gilt nur für kleine x
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1.1 Physikalische Größen (Units)
Wert der physikalischen Größe = Zahlenwert * Einheit
Bsp:
t=5s
Einheiten gemäß SI-System
1.1.1 Basisgrößen (SI-System)
Basisgröße
Größenzeichen
Länge
[l]
Masse
Basiseinheit
Einheitszeichen
Meter
m
[m]
Kilogramm
kg
Zeit
[t]
Sekunde
s
El. Stromstärke
[I]
Ampere
A
Temperatur
[T]
Kelvin
K
Lichtstärke
[I]
Candela
cd
Stoffmenge
[y]
Mol
mol
englisch: l = length / m = mass / t = time, ...
Umstellung physikalischer Einheit in der Praxis teilweise schwierig:
Bsp: Automotor - Leistung PS  kW
Einheit in der Informationstechnik : 1 Bit
Aus den 7 Basisgrößen werden alle anderen physikalischen Größen mit Formeln abgeleitet.
Vergleich s.u.
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1.1.2 Abgeleitete Größen (SI-System)
Beispiel
Geschwindigkeit
Formel
v
Einheit
s
t
m
s
Q=It
Ladung
As=C
Weitere Bsp: N, J
1.1.3 Vorsätze für Maßeinheiten
Vereinfachung physikalische Maßeinheiten mit Vorsilben :
einfachere Schreibweisen bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlenwerten:
Zehnerpotenz
Vorsilbe
Kennbuchstabe
10-12
Piko
p
10-9
Nano
n
10-6
Mikro
µ
10-3
Milli
m
103
Kilo
k
106
Mega
M
109
Giga
G
Bsp: 0,001 m = 1 * 10-3 m = 1 mm
Standardisierung der Einheiten ist wichtig !
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1.2 Messungen (Measurements)
Physikalischen Formel müssen durch Experimente verifiziert werden!
Voraussetzung: geeignete Meßgeräte
Bsp: Längenmessung
Meterstab
: geringe Genauigkeit (auch Zollstock, Einheit !)
Meßschieber: hohe Genauigkeit ca. 1/10 mm
Meßaufgabe\-mittel
Meterstab
+
Tafelbreite
Durchmesser Stab
(grobe Skalierung und Paralaxe)
Meßschieber
(Aneinanderreihen der
Meßschiebermessungen)
+
Faustregel:
- Maximalwert der Meßgröße kleiner als der Skalenendwert
- Minimalwert etwa 10% des Skalenendwertes.
Meßfehler
statistische Fehler
Systematische Fehler
Beispiel
Ablesen Messschieber
"billiger" Meßschieber
Fehlerreduzierung
Wiederholtes Messen und Ablesen
"teurer" Meßschieber
Verfahren
Statistik (Mittelwert,
Beschreibung des
Standardabweichung, ...)
Meßverfahrens
Gesamtfehler = statistische + systematische Fehler
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1.3 Physikalische Methodik
Experimentelle Physik (Ingenieurwissenschaften):
1. Beobachtung reproduzierbarer Vorgänge (Experimente)
2. Messung der relevanten Parameter
3. Aufstellen einer Formel
4. Verifikation der Formel mit Randbedingungen und Fehlern
Beispiel: Freier Fall einer Stahlkugel
1.
Beobachtung Kugel fällt immer Richtung Erde
2.
Messung
Falldauer t /s
2,0
Fehlerbalken übertrieben
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
0
2
4
6
8
10
12
Fallhöhe h /m
3.
Formel durch Probieren und Fitten findet man: t  const h mit const = 0,452 s m-0,5
4.
Verifikation
Der gefundene Zusammenhang gilt nur für eine Stahlkugel und ca. 500m über
Meeresniveau. Deutliche Abweichungen bei einem Tischtennisball (Luftwiderstand)
oder in sehr großen Höhen.
Aber:
Kann die Konstante besser beschrieben werden ?
Sie hängt offensichtlich von der Erdanziehungskraft ab.
Die exakte (ideale) Formel erhält man leichter aus der
Theoretischen Physik, ausgehend von der Beschleunigung;
siehe Kinematik: t 
2h
g
bzw. h 
1
g t2
2
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2. Mechanik (Mechanics)
Mechanik ist ältester Teil der Physik
Sachverhalte leicht sichtbar und greifbar, tägliche Erfahrung
 leichtes Erlernen der physikalischen Methodik und Denkweise
Erste Erfahrungen: Pfeil + Bogen, Wurfmaschinen der alten Griechen und Römer
Erste Beschreibung durch Newton ca. 1700
2.1 Einführung
Mechanik:
Gleichgewicht und Bewegung von Körpern im Raum unter dem
Einfluß von Kräften
2.1.1 Einteilung
Abgrenzung
Beispiel
Klassische Mechanik
"Technik"
Auto
Relativitätstheorie
hohe Geschwindigkeiten
Elektron in Braunscher
(Lichtgeschwindigkeit)
Röhre,
Astronomie
Quantenmechanik
"kleinste Körper"
Atome, Moleküle, Kristalle
Wellenmechanik
Wechselwirkung von
"rote Sonne" beim Auf- und
elektromagnetischen Wellen mit
Untergang
Atomen, Molekülen, Kristallen
Klassische Mechanik:
- Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten
- Grenzfall der Quanten- und Wellenmechanik für große Körper
Diese Vorlesung: Klassische Mechanik für Ingenieure
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2.1.2 Klassische Mechanik (Classical Mechanics)
Gebiete
Inhalt
Beispiel
Statik
Kräfte
Balkenwaage
Kinematik
Bewegungsformen
Autofahrt, Wurf
Dynamik
Kräfte als Ursache der Bewegung
Freier Fall, Rakete,
Arbeit, Energie, Leistung, Impuls
Schwingungen
Reale Beschreibung meist schwierig, deshalb vereinfachte Beschreibung durch Modellkörper
2.1.3 Modellkörper
Definition
Beispiel
Massepunkt
keine Ausdehnung,nur Masse
Autofahrt (Kinematik)
Starrer Körper
Ausgedehnt, keine Verformung
Balkenwaage (Statik, Dynamik)
Elastischer Körper *
Verformung
Feder
Ideale Flüssigkeit *
keine Reibung
Wasserströmung im Rohr
Ideales Gas *
kein Eigenvolumen
Luftkompression
(*): Mechanik Deformierbarer Medien
Bedeutung der Mechanik: Vorhersage von (Bewegungs-) Zuständen, wenn der
gegenwärtige Zustand (Anfangsbedingungen) bekannt ist.
Beispiele:
- Vorhersage der Ankunftszeit eines Autos aus Restentfernung und Geschwindigkeit
- Kfz-Assistenzsysteme z.B. „Automatisches Gaswegnehmen“ bei Geschwindigkeitslimit auf
Basis von Navigationskarten – hier: Berechnung wieviele Meter vor Schild ?
Problem:
Messung aller Anfangsbedingungen und externer Einflüsse, z.B. Flug eines Luftballons
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Vorgehensweise zur erfolgreichen Lösung von
Mechanik - Aufgaben
- Skizze
- Reibung ?
- Modellkörper ?
- Aufstellen der Bewegungsgleichung
Fall:
- Statik (a = v = 0)
- Kinematik, Dynamik, Schwingungen
Art: Translation , Rotation , Translation  Rotation
Falls nicht Statik, Bewegungstyp ?
Kinematik
Dynamik
Betrachte nur a:
- Kraftansatz F = 0 , M = 0
(typisch a gesucht)
- Energieansatz Eges = const.
(meist h oder v gegeben)
- Impulsansatz p = const.
(2 Körper stoßen aufeinander)
-a=0
- a = const.
- a  const.
typisch: v, a, t gegeben
bzw. gesucht
(Schwingungen immer mit Kraftansatz)
- Koordinatensystem festlegen und in Skizze einzeichnen und Variablen anpassen
- Lösung dann mit Differential s  v ; s  v  a bzw. Integral v   a dt ; s   v dt 
 a dt²
- Anfangs- (t=0) bzw. Endbedingungen einsetzen
PS.: Dies stellt lediglich eine allgemeine Übersicht dar.
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2.2 Statik des Starren Körpers (Statics of Rigid Body)
Definition: Körper mit genau definierter Form, welche sich nicht (nie) ändert
Bsp:
Stange, Quader
Grenzfall:
z. B. Lineal verbiegen
Anwendung des Modellkörpers „Starrer Körper“ bei technischen Bau- und Maschinenteilen
(Stein, Stange, ...) unter Vernachlässigung von Formänderungen (z.B. Biegung)
Statik umfaßt Systeme, welche sich nicht (mehr) bewegen
Bsp: Balkenwaage vor Auflegen Gewicht und wieder im eingeschwungenen (statischen)
Zustand
weiteres Bsp: Hausbau: Berechnung der Statik aber Dynamik Erdbeben  Einsturz
Definition Statik
Ein Starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Wirkung aller auf ihn
angreifenden Kräfte Null ist.
Kraft kann z.B. durch Drücken (Gewicht, Lineal), Ziehen (Schnur) und Gewicht auflegen
(Balkenwaage) erzeugt werden. Ein Starrer Körper deformiert sich dabei nicht.
Versuche:
- 2 Seile an Körper: Kraft offensichtlich vektoriell
- Balkenwaage
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2.2.1 Kraft (Force) als Vektorielle Größe
Die Kraftwirkung am Starren Körper hängt vom
- Angriffspunkt (A, A')
- Betrag (Größe)
A'
- Richtung
F
A
1N
y

des Kraftvektors F ab.
F'
Einheit der Kraft: [F] = N =
kg m
s²
x
JAVA Applett: Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten
Kräfte – Angriffspunkt€ an Starrem Körper:
- gemeinsamer Angriffspunkt : Schachtel mit 2 Schnüren in 1 Öse
- unterschiedl.
"
:
"
"
2 Ösen
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2.2.2 Kräfteaddition
2.2.2.1 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt
Mehrere Kräfte
z.B. 3 Seile an einer Befestigung
F1
A
Fr
F2 Krafteck:
Kraftvektoren parallel
verschieben
F3
zeichnerisch : Konstruktion mit "Krafteck"




rechnerisch : Fr  F1  F2  F3  ...
Kräfteaddition

Fr 
n

i 1

Fi
(MS - 1)
JAVA Applett: Gesamtkraft mehrerer Kräfte (Vektoraddition)
n
Summationszeichen:
S   ai  a1  a2  ...  an
i1
3
Bsp:
S   i  1 2  3  6
i1
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
Fr  0
Gleichgewicht zweier Kräfte
Versuch:
- Tauziehen
- Feder mit Gewicht  Federkraft = Gewichtskraft
F2
F1
FP la tte



Fr  F1  F2  0 (da Statik !)




 F1   F2  F1  F2
F G e w ich t
Versuch: Gewicht auf Tisch / Lineal durchbiegen
Im Gleichgewicht ist Kraft gleich Gegenkraft: FP = - FG  FP + FG = 0 = Fr
Konsequenz: Wenn ein Körper in Ruhe ist, können trotzdem Kräfte auf ihn wirken
Newtonsches Grundgesetz der Statik
Ein Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft : actio = reactio
besser: actio + reactio = 0
andere Formulierung:
Ohne äußere Kraftwirkung verharrt ein Körper in Ruhe (oder er bewegt sich
gleichförmig
( Kinematik)
Grundgesetz der Statik
FR = 0
bzw.
 Fi = 0
(MS - 2)
Bsp: Ball auf einem Tisch rollen lassen (ist das noch Statik ?)
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2.2.2.2 Hebelgesetz (Arm, Lever)
Hebelgesetz
l1
Die Abstände der Kräfte von der Resultierenden
verhalten sich umgekehrt wie die Kräfte
l2
G
leichgew.
Unterstützung
F
1
F
2
JAVA Applett: Hebelgesetz
F1 l 2

F2
l1
(MS - 3)
Bsp: l1  l2 : Balkenwaage, Kinderwippe
l1 >> l2 : Hebel zum Möbelanheben, Brechstange
2.2.2.3 Kraft auf Unterlage bei Schiefer Ebene
FH


FN
h
FG
s
Neigungswinkel
tan  = h / s
Hangabtriebskraft
FH = FG sin 
(MS - 4)
Normalkraft
FN = FG cos
(Kraft auf Unterlage,
relevant für Gleitreibung)
JAVA Applett: Schiefe Ebene
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2.2.3 Drehmoment (Torque)
Was bewirkt Kraft auf drehbaren Körper ? Drehung
Bsp: - Schraube anziehen mit Gabelschlüssel
- Autoreifen: Drehmomentschlüssel
- Automotor : Drehmoment
M /Nm
U / 1/min
Wirkt auf einen drehbaren Starren Körper eine Kraft, so erzeugt sie ein Drehmoment.
Drehmoment

 
M  r F
[M] = Nm
Das Drehmoment steht senkrecht auf r und F,
(MS - 5)
Anschaulich:
da Vektorprodukt.
Drehmoment

 
 
Betrag: M  r F sin  l F
- in Drehachsenrichtung
- erzeugt Drehbewegung
 Kinematik der Rotation
M
D

F
A

D
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r
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Beispiel zum Drehmoment (Übung)
z
1m 
  
r  0 
 0 
 
y
M
F
r
x
0
  
F  1N 
0
 
1m   0   0 
       

M  r  F   0   1N    0 
 0   0  1Nm 
    

Gleichgewichtsbedingung Rotation
Ein drehbarer Starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der angreifenden
Drehmomente Null ergibt, d.h. er dreht sich nicht um seinen Drehpunkt.
Bsp: Balkenwaage
Grundgesetz der Statik für Rotation

M
 i 0
n
(MS - 6)
i 1
das ist Schwerpunktsbedingung; vgl.  F = 0
Hieraus folgt die Bedingung für den Schwerpunkt eines Starren Körpers. Der Schwerpunkt ist
derjenige Aufhängepunkt, bei dem sich der Starre Körper unter dem Einfluß der Schwerkraft
(Erdanziehungskraft) nicht dreht.
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Schwerpunkt (Centre of Gravity)
a
Bsp: Hantel mit masseloser Stange
m1 = m2
l1
l2
m1
m1
S
Aus Gleichgewichtsbedingung und
Hebelgesetz folgt:
F1
0
F1
a 2

1
F2
2 a
F2
Xs
a
x
Herleitung des Schwerpunktes mit Drehmoment und Schwergewichtsbedingung:
Gesamtdrehmoment = Summe der Einzeldrehmomente:  M = 0
 
da r  F genügen
Beträge
Nebenbed.: l1 + l2 = a
 M1 + M2 - Mswp = 0
 m1 g x1 + m2 g x2 - (m1 + m2) g xs = 0
 xs 
(x  r)
m1  x1  m2  x 2
m1  m2
Schwerpunkt
xs 
m1  0  m2  a
= a/2
m1  m2
Schwerpunkt (allgemein)
xs 
y und z analog
 m x
m
i
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i
(MS - 7)
i
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Experimentelle Schwerpunktsbestimmung
durch Ausbalancieren
- Aufhängen
- Unterlegen einer Stange / Walze
Schwerpunkt:
- Auto: Lastverteilung Vorderachse zu Hinterachse; z.B. Anfahrverhalten bei Schnee
- wichtig bei Flugzeugen, Schiffen, Raketen , ... : "Lastverteilung"
Antriebsloser Flug
Auftriebskraft
Hebelwirkung
Gewichtskraft in Abh. von Schwerpunktlage
ideal
schwanzlastig
kopflastig
Einzelgeräte-Schwerpunkte während Konstruktionsphase über Drehmoment verkoppelt
ergibt den Gesamtschwerpunkt.
Anmerkung:
Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Starren Körpers liegen. Bsp. Ring (Torus)
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Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren
 2
 1
1. Geben Sie Betrag und Richtung der Vektoren an: v 1   2  ; v 2   0  ; v 3   2 
0
 
 1
3
 
 
2. Addieren Sie die Kräfte bzw. Vektoren und geben Sie Betrag und Richtung an. a) und b)
auch graphisch.
 1 
a) a    ; b 
1
3
 1 

  2     1   3 
    
 1
  b) a    ; b    ; c    c) a   4  ; b    2 
  1
 1
  2
 4
5
 3 
 


  4
3. Zerlegen Sie die Kraft in 2 orthogonale Kraftvektoren (Rechnung und Zeichnung) F   
2


4. Auf einen Starren Körper, welcher den Weg s zurücklegt wirkt die Kraft F . Wie groß ist
die Arbeit? ([s] = m ; [F] = N)
  2 
a) s    ; F 
 1
 0 
3
  b) s    ; F 
 2
 1
1000


 0 
  1   5 
5. Berechnen Sie das Drehmoment und vergleichen Sie 4) und 5) . r    ; F   
 2
6
6. Berechnen Sie die Hangabtriebskraft für einen Winkel von 30° und einen runden Körper
der Masse 1 kg .
7. Berechnen Sie den Schwerpunkt: 3 gleiche Massen im gleichseitigen Dreieck und
masselose Stangen
8. Bei welchem Flüssigkeitsstand ist die Standfestigkeit einer Getränkedose am größten, d.h.
der Schwerpunkt am tiefsten? Idealisierung: Dünnwandige Zylinderdose, welche am
Anfang ganz voll ist. Masse Dose < Masse Getränk (voll).
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Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren - Lösungen
1.
Betrag
v1
2
Richtung
0° (xy)
v2
5
xy : 0°
xz : 26,6°
2.
 4
  2
  4
  
a) c    ; b) c    ; c) c   2 
0
3
8
 
3.
  4  0
Fx    ; Fy   
0
 2
4.
a)
W = 8 Nm
b)
W = 0 Nm
5.
6.
v3
14
xy (Azimut): 63,4°
xy auf z (Elevation) 53,3°
(Elevation : Vektor ( 5 /3) )
 0 
 

 
 
M   0  M  r F sin  5 61 sin13,5  4  M
  4


M und W haben dieselbe Einheit aber Vektor und Skalar!
FH = 5 N
7. für normale Gewichtsverhältnisse : xs = L/2 ; ys  0,3 L
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2.3 Kinematik (Kinematics)
Beobachtung: Körper bewegen sich: Ball, Auto, Karusell, ...
Beschreibung dieser Bewegung durch die Kinematik = Bewegungslehre
Definition:
Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache für die Bewegung zu
betrachten.
Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, die geradlinige Bewegung d.h. die Translation
ist der einfachster Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch
Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden.
Beispiel:
- Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf.
- Geradeausfahrt auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt
Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation
s(t)
D
Translation
R
Rotation
Massepunkt
Solche Daten bilden die Grundlage in Navigationsdaten
Modellkörper
- Translation : Massepunkt
- Rotation
: Massepunkt an steifer, gewichtsloser Stange
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Versuch drehende Balkenwaage
Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung
aus.
Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden
Gegenstände wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder, ... Kreisbewegungen durchführen.
Arten
Bewegung
Koordinatensystem
Beschreibung
Translation
Rotation
(Translation)
(Rotation)
Geradlinig
Drehung
Rechtwinklig
Polarkoordinaten
Vektoren
Skalare

s

Weg
Drehwinkel (Def. über Bogenmaß)
Modellkörper
Massepunkt
Massepunkt an gewichtloser,
drehbarer Stange
Bsp:
Aufzug
Karusell
Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem
Weg-Zeit-Diagramm
Orts-Diagramm
z
s
t = T0
t = T1
s
r0
y
r1
x
T0
T1
t
wichtig: geeignetes Bezugssystem: kartesische- - Polarkoordinaten !
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24
Relative Bewegungen
Windstille !
Wie ist dieses Photo „entstanden“ ?
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25
2.3.1 Geschwindigkeit (Velocity)
Maß für Wegänderung pro Zeiteinheit : Geschwindigkeit
Def.:
Ortsänderung pro Zeiteinheit
 Geschwindigkeit
v
s


t

Differenz
ds
dt

 s
(MK - 1)
Differential
v  m
s
 
bzw. vektoriell v  s
Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges (path)
Beispiele zur Ableitung (und Integration): (eindimensional) (Übung)
geg. s(t)
v
ds
 s
dt
a
dv
 v  s
dt
Beschleunigungstyp
1
0
0
t
1
0
0
t²
2t
2
const
t³ *
3t²
6t
 const
sint
 cost
-²sint = -² s
Schwingung
*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren
Das Vorgehen von „links“ nach „rechts“ beschreibt die Ableitung.
Das umgekehrte Vorgehen (Integration) ist auch möglich und wichtig (s.u.)
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26
Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet
werden:
Aus (MK 1) : ds = v dt
integrieren = umgekehrte Differentiation, daraus erhält man den Weg
Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben
v = ds / dt | dt
v dt = ds
|


s(t ) 
T1


 v(t) dt  s
0
T0
(MK - 2)
Anwendung Flugzeug:
Staudruck-Messgerät mißt nur die Geschwindigkeit  Integration ergibt s !
Problem Integration und Variable t
T1
 s  v t
Herleitung für v = const. : s  v  dt  v T1  T0   v T 
üblich
T0
Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Meßbeginn !!



 
Spezialfall: v  v (t) , d.h. v = const: s (t)  v  t  so
s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0
Beispiel: Auto mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m
T
100 s
100 s
1



m
m
s (t )   v (t ) dt  s 0   10 s dt  10 s  dt  10 ms 100 s  1000m
T0
0
0


s
vm 
t
(MK - 3)


d s 
va 
s
dt
(MK - 4)
Def.: Mittlere Geschwindigkeit
z.B. Berechnung durch Tripcomputer
für t  0 :
Def.:aktuelle Momentangeschwindigkeit
z.B. Wert auf Tachometer
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27
2.3.2 Beschleunigung (Acceleration)
Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. Auto anfährt ?
Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. ist zeitabhängig.
Def.: Beschleunigung
= Geschwindigkeitsänderung
pro Zeiteinheit
[a] = m/s
Technik:
a > 0 : Beschleunigung ;

a

v
t


Durchschnittswert

dv
dt

 
 v  s
(MK - 5)
akt .Momen tan wert
a < 0 : Verzögerung
Zahlenbeispiele siehe obenstehende Tabelle zur Ableitung und Integration
Elektrotechnik: Beschleunigung von geladenen Teilchen :
Strahlung nach Maxwell - Gleichungen : Synchrotonstrahlung
Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration
berechnet werden:
Geschwindigkeit



v (t )   a (t ) dt  v0
(MK - 6)
Weg



s (t )   v (t ) dt  s0
(MK - 7)
Analog für Rotation, statt Weg s den Winkel  verwenden (s.u.) !
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28
2.3.3 Translation (Translation {Motion})

Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): s  s (o.B.d.A.)
Def.: Bewegungstyp / -form
Art
Gleichförmig
gleichmäßig
ungleichmäßig
beschleunigt
beschleunigt
a
0
const.
 const.
v
const.
Lineare Änderung, v  t
 const.
Bsp.
Auto 100 km/h
Freier Fall
Pendel
 es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation):
2.3.3.1 Gleichförmige Translation
s
Typ: a = 0
aus (MK - 6): v = vo
va
vo
aus (MK - 7): s = vdt = vo t + C
so
t

s = vo t + so
(MK – 8)
JAVA Applett: Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Beispiel:
Bei einer Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht die Momentangeschwindigkeit
der mittleren Geschwindigkeit, Formel s / t
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29
2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation
Versuch:
- Ball fallen lassen
- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle
d.i. Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung
s
Typ: a(t) = const
va
Bsp.: Freier Fall
t
aus (MK – 6): v  const.  dt  a t
aus (MK - 7): s = vdt = atdt = ½ a t2
Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7), so = 0
Geg.
vo = 0
vo  0
a, t
v = at
v = at + vo
s = 1/2 at²
s = 1/2 at² + vo t
v  2as
v  2 a s  vo2
a, s
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(MK - 9)
30
2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Versuch Pendelschwingungen :
Umkehrpunkt:
Richtungsumkehr von Geschwindigkeit und Beschleunigung
 ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Typ: a(t)  const. ; a = a(t)
Beispiel:
Mechanische Schwingungen
s
v
t
a
Anfangsbed. für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0
geg:
a  cost
v   a dt  sint
s   a dt 2
  v dt  cost
 s   a , s   s typ. für Schwingungen
Beispiel (Übung)
a  kt
Bem: [k] = m/s²
1
v   a dt  k  t dt  kt 2
2
1
1
s   v dt  k  t 2 dt  kt 3
2
6
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31
Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf
2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld
a = g = 9,81 m/s²  10 m/s² = const.  gleichförmig beschleunigte Bewegung,
Modellkörper : Massepunkt
NB:
- Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation
- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe)
- g sehr exakt mit Pendeln meßbar, so daß Höhe über Meeresspiegel bestimmbar
Dim
Bez.
Anfangsgeschwindigkeit *
1
Freier Fall
voz = 0
Senkrechter Wurf
voz > 0 nach oben
z
Voy = 0
y
voz < 0 nach unten
2/3
Waagrechter Wurf
vox  0 voz = 0
Schiefer Wurf
vox und voz  0
x
 v 0x 



(*) : v 0   v 0 y 
v 
 0z 
y hier als konstant gewählt, ebenso liegt der Abwurfort im Ursprung !
Beides kann durch lineare Koordinatentransformation (und ggf. Drehung) immer erreicht
werden.
Bei Wurf mit Seitenwind ist y nicht konstant, also zu berücksichtigen !
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32
für die beiden Beispiele gilt :
- a = g aus (MK - 9): v  g t  v0


- AB: v (t  0)  0 , s (t  0)  0
a) Freier Fall (Übung)
Kinematik
Energiesatz (Vorgriff)
1
s  gt2  v 0 t  s0
2
siehe Ekin = Epot
s  a  g
1D
mv2
 mgh
2
für s0  0 und v 0  0
1
s  gt 2
2
 t
 v  2gs  2gh  s 
v  gt
v2
2g
v
1 v2 v2
 s g 2 
g
2 g 2g
1
v2
s  gt 2 ; v  gt ; s 
2
2g
(MK – 10)
d.h. beide Wege führen zum selben Ziel !
Wenn aber Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden
zum Ziel!
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33
b) Wurf (Übung)
vektorielle Betrachtung
Zusammensetzung von
- gleichförmiger Translation und
- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall)
z
Anfangsbedingungen (t = 0) :
0
 v ox 
 0 
  

 



s0   0  ; v 0   0  ; a 0   0 
0 
v 
  g
 
 oz 


unbeschl. Bew.

gleichm. beschl.Bew.
y
g
V0x
x
Achtung: rechtshändiges
Koordinatensystem !
Rechengang: v = adt ; s = vdt

 v ox 
 0 



 
v  0    0 
v 
  gt
 oz 


gleichförmig

 vox t  
 
 
s 0  

v t   
 oz 

gleichm.beschl.



0 
vox t





0

0

1 2
1 2
 voz t  g t 
gt 
2


2

(MK - 11)
 !
Probe: sz   g 
Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten.
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34
Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0 (Übung)
 v0 X 

 
v  0 
 gt



 v0 X t
 
s
0
 1
  g t2
 2







Absolutgeschwindigkeit: v  v 
v2x  v2y  v2z 
 v(t) 
hier
v02x  g² t ²
- t klein : v  vx
- t groß : v  gt
Fälle:
bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welche Bahn fliegt der Massepunkt ?
Bahnkurve
sx = vox t  U
(i)
sz = - 1/2 gt²  V
(ii)
aus (i) t = U / vox
(i’)
z
(i’) in (ii)
V
g
g
U2 bzw. z  
x²
2
2
2 v ox
2 v ox
t=0
v0x
x
das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x²
vx
Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve
2
v  v( x, z)  v ox

g²
x²
2
v ox
(1') in v eingesetzt
|v|
vy
v
~x
v0x
x
JAVA Applett: Schiefer Wurf
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35
Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ?
Olympia-Schanzen Calgary
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36
Übungsblatt Kinematik 1
1. 2 Autos fahren mit konstanter Geschwindigkeit von v1 = 80km/h und v2 = 100km/h auf der
rechten bzw. linken Spur einer freien Autobahn. Zum Zeitpunkt t=0 ist das 1. Auto 250m
vor dem 2. Auto. Nach welcher Zeit und Strecke hat das 2. Auto das 1. um 50m überholt?
Lsg.: t=54s, s = 1500m
2. Der ICE erreicht eine Geschwindigkeit von 250 km/h innerhalb 600s. Zum Abbremsen
benötigt er 140s, bei einer Notbremsung nur 60s. Wie groß sind die durchschnittlichen
Beschleunigungen?
Lsg.: a /m/s² : 0,116 / -0,5 / -1,16
3. Sie lassen einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen fallen. Nach t Sekunden hören Sie den
Aufschlag. Wie tief ist der Brunnen? Bis zu welcher Tiefe können Sie die Tiefe vereinfacht
berechnen?
Lsg.: Annahme t = 3,14s ==> h = 45m ; für 55m Fehler ohne Schallgeschwindigkeit 5%
4. Sie schießen eine Billardkugel über einen Tisch der Höhe 1m. Der Auftreffpunkt auf dem
Boden ist horizontal 1m von der Kante entfernt. Wie groß war die Geschwindigkeit der
Kugel an der Tischkante?
Lsg.: v = 2,24m/s
5. Skispringen Obersdorf: Die (waagrechte) Absprunggeschwindigkeit beträgt 72km/h, die
Landepiste hat ein Gefälle von 45°. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes ist die
Flugzeit und die Sprungweite (ohne Schanzentisch) gesucht.
Lsg.: a = 113m ; t = 4s
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37
2.3.4 Rotation
Bsp: Pendel, drehbare Balkenwaage
Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange
wichtigste Größe (analog zum Weg s):
Drehwinkel
(MK 12)
 = s /r  s = r 
(angle of rotation)
r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [] = rad 180° = 
karthesische
Koordinaten
Polarkoordinaten
y
s
D
x
2 Variable: x , y

r
1 Variable , da r = const.
Winkelgeschwindigkeit
[] = rad/s
Winkelbeschleunigung
[] = rad/s²
 d

 
t dt
(MK - 13)
 d
 



t dt
(MK - 14)


Alle Definitionen wie Translation
 ,  ,  sind Skalare, keine Vektoren !!
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38
Zusammenführung Translation - Rotation
(hier nur Skalare bzw. Beträge)
Translation
Rotation
TR
Weg
s

s=r
Geschwindigkeit
v

v=r
Beschleunigung
a

a=r
(MK - 15)
Bewegungsformen wie Translation :
- gleichförmig
=0
- gleichmäßig beschleunigt
 = const
- ungleichmäßig beschleunigt
  const.
Vektorielle Betrachtung
v
a für dt
T2
Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz

 zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn
‚ins Blatt’ hinein
Geschwindigkeit
  
vr
Tangential zur Bahn
(MK - 16)
Zentripetalbeschleunigung
- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt)
- meist nur Betrag: a = ² r interessant

 v2

a     2 r
r
(MK 17)
Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer
Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit.
Bedingung für Schwerelosigkeit : v²/r = g
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39
Zentripetalkraft
Ursache der Zentralbewegung (Beschleunigung in Richtung
Zentrifugalkraft
Mittelpunkt)
JAVA Applett: Karussell (Zentripetalkraft)
Zentripetalkraft
D
Zentrifugalkraft
ist Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von außen),
welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also vom
Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft

m v2
Fzp 
 m 2 r ( m a)
r


Fzf   Fzp
(MK - 18)
Zum Weiterlesen: Coriolis-Kraft
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40
Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung  = const. ;  = 0
z.B. gleichmäßig drehender Motor
Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit
1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2 entspricht 1 Periode
Drehwinkel (entspr. s = v t )
  t
Periodendauer
T
f
Frequenz
1 

T 2
N =  / 2
Anzahl der Umdrehungen
Drehzahl
2

n
N dN 
d


N

f
t
dt
2 dt 2
(MK - 19)
Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet,
dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz
JAVA Applett: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
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41
Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung  = const.
z.B. anlaufender Motor
=t
Winkelgeschwindigkeit
(MK - 20)
Drehwinkel
 =  t = 1/2  t²
Analog gleichmäßig beschleunigte Translation
Rotation in karthesischen Koordinaten
IM y

 co s  

Reell:   (t ) ; r ()  R 
 sin 
v
r
a

D cos

  sin 
 v tangential zu r
v  R 
 cos  
  
a  v  s



  cos  
 cos  
   R 
   v   r
a  R 
  sin 
 sin 

a zeigt zur Drehachse
(MK - 21)
 
v  r
sin
R
RE x
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42
Zusammenfassung Kinematik
Art
gleichförmig
Gleichförmig
Ungleichförmig
beschleunigt
beschleunigt
Beschleunigung
0
konstant
nicht konstant
a = a(t) ,  =  (t)
nein
nein
ja
v,
const
const * t
v =  a dt ,  =   dt
s,
const * t
1/2 const * t²
s =  v dt ,  =   dt
alle Anfangswerte hier Null : vo = o = so = o = 0
s=r ;v=r ;a=r
1D - ggf. Vektoren verwenden
  
 

Ableitungen, wenn s bzw.  zeitabhängig gegeben: a  v  s ;   
Def. - aktueller Momentanwert aus Differenz
- Mittel- bzw.Durchschnittswert aus Differential (t  0)
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z.B.
z.B.
ds
dt

m 
t
va 
43
Übungsblatt Kinematik 2
1. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufdauer eines erdnahen Satelliten
(g=const.). Erklären Sie die Schwerelosigkeit.
Lsg.: T = 84min ; v = 8km/s
2. Sie sind im Projektteam für einen neuen Weltraumfilm. Um realistische Aufnahmen zeigen
zu können, benötigen Sie natürlich Szenen in Schwerelosigkeit. Aus Budgetgründen
können Sie natürlich keinen Raumflug (auch nicht mit einem Space Shuttle) chartern.
Welche Möglichkeit bleibt Ihnen? Versuchen Sie dies ausgehend von Ihrer Erfahrung als
Autofahrer bei Fahrten über eine Kuppe und dem schiefen Wurf (Fitten Parabel - Kreis)
anzudenken.
Lsg.: Kreisbahn ar = g mit v = 300m/s ; Viertelkreis 47s Filmzeit
3. Sie lassen eine Kugel (ohne Luftwiderstand) aus einem Ballon fallen, der sich in 30km
Höhe befindet. Die Erdbeschleunigung ist höhenabhängig nach der Formel b = g(R/r)² mit
g = 10m/s², Erdradius R = 6387km und r der Entfernung von Erdmittelpunkt. Wann und mit
welcher Geschwindigkeit kommt die Kugel auf der Erdoberfläche auf. Vergleichen Sie dies
mit der Rechnung mit konstanter Erdbeschleunigung 10m/s². Ansatz: g(R/r)² + a = 0.
mit g=const: g = 10 m/s: t = 77,46s ; v = 774,6m/s, Zerlegen Sie die Fallhöhe in Intervall
mit adaptierter Fallbeschleunigung.
4. Ein Motor erreicht nach 60s eine Drehzahl von 7200/min bei gleichmäßiger
Beschleunigung. Ein an ihm befestigte Scheibe hat den Durchmesser 1,2m. Berechnen
Sie die Winkelbeschleunigung, die Umfangsgeschwindigkeit nach 30s und die Anzahl der
Umdrehungen nach 10s.
Lsg.:  = 12,6 1/s² ; v = 226m/s ; N = 100
5. Ein Motor hat 15s nach dem Anlaufen 500 Umdrehungen durchgeführt. Das Anlaufen ist
während der ersten 5 Sekunden gleichmäßig beschleunigt und danach gleichförmig. Wie
ist hoch ist die Drehzahl des Motors?
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11
Lsg.: N = 40 1/s
44
2.4 Dynamik (Dynamics)
Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet,
hier wird die Statik mit der Kinematik zusammengeführt.
Inhalt: Bewegungsgleichungen - Energie - Impuls, ....
Translation
Rotation
Modellkörper
Massepunkt
Starrer Körper
Grundgesetz
F=ma
M=J
Wagen mit Gewicht
Motor
Bsp
Ziel: Bewegungsgleichung aufstellen !
2.4.1 Translation
2.4.1.1 Newtonsche Gesetze
(Newton's Three Laws of Motion)
1. Trägheitsgesetz
Ein Körper bleibt in Ruhe oder er bewegt sich
gleichförmig, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn
einwirken oder diese in Summe Null sind
Beispiele:
- Gegenstand hinlegen - aber : Erde dreht sich um sich selbst und um Sonne
- Auto prallt auf Baum: Nicht angeschnallte Insassen „fliegen“ unbeschleunigt
weiter; d.h. Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte
Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:
Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik:
zusammengeführt im
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11
45
2. Grundgesetz der Mechanik
Speziell


F  ma
m = const. (Newton)
(MD - 1)
allgemein
 d mv  
F
 p
dt
m  const., p: Impuls




d m v   
 v  ma
Allgemeine Formulierung
 m v  m v  m
dt
 = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)
mit m
Vgl: Strom in der ET: Ladung pro Zeiteinheit
I = Q / t
Fälle: - m = m(t) : Rakete
- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)
vereinfachte Formulierung:
Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die
gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist
Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen
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46
3. Kraft erzeugt Gegenkraft
aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null  Fi = 0 ; Bsp. Gewicht auf Unterlage
Erweiterung auf Dynamik:
Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit
bei Fahrt in Kurve merkt man Kräfte bzw. beim Anfahren.
= Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen : sogenannte Trägheitskräfte
- Anfahrt Zug: Flasche fällt vom Tisch
- Gasballon in Auto, bremsen - wohin bewegt sich Ballon ?
nach hinten, da Luft sich nach vorne bewegt (vorne größerer Luftdruck)
Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null
Dynamisches Gleichgewicht
auch d’Alembertsches Prinzip
(MD - 2)
 Fi = 0
(D'Alembert's Principle)
Versuche:
- Ball auf Wagen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit
- Ball mit Hand unterstützen : Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.
Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?
- Gewicht an Federwage
* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,
nimmt das angezeigte Gewicht zu
* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,
nimmt das angezeigte Gewicht ab
Bsp. Aufzug: aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter, aber Person fühlt sich
unbewegt !
Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !
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47
Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertsches Prinzipes


Fb  Ft  0

aus  Fi  0 (d´Alembert)
(MD - 3)
Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B.Gewichtskraft
Ft = m a
Ft : Trägheitskraft
mit : m : Gesamtmasse des Systemes
a : Beschleunigung des Systemes, für Statik a = 0, siehe NB
Trägkeitskraft
- Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)
- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen
NB:


es kann auch mit Ft  m a  Fb
gerechnet werden. Dann ist die Dynamik auf der
linken
Seite der Gleichung und die Statik auf der rechten Seite.
Äquivalenzprinzip: Ist die träge Masse gleich der schweren Masse ?
- träge Masse
: Dynamik - Trägheitskraft
- schwere Masse
: Statik - Gewicht in Ruhe
Die Äquivalenz ist im Rahmen höchster Meßgenauigkeiten als erfüllt nachgewiesen.
Aufgabe der Dynamik:
Bewegungsgleichung aus Kraftansatz / Energiesatz erstellen und lösen
Mit Dynamik kann Beschleunigung berechnet werden, was mit der Kinematik nicht möglich
ist.
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48
Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip (Übung)
Freier Fall
Kraftansatz
Energieansatz (Vorgriff)
1) d’Alembert: F = 0
Eges = const
Fb - Ft = 0
Ft = m a
Epot = Ekin
m (Massepunkt)
0
Start
2) Kräfte bestimmen
Fb = m g = Fg
m g x = ½ m v²
Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)
 x  v  2 g x
x
FG
3) einsetzen
mg-ma=0
 a = g = x
x(t);v(t)  schwierig
gleichmäßig beschl. Bewegung
 x = v = g t, x = ½ g t²
 x  v  2 g x
Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des Systems
!
Energieansatz erscheint 'leichter', ist aber deutlich aufwendiger aufwendiger,
wenn s(t) und v(t) gesucht ! Das geht am besten mit dem Kraftansatz und Kinematik
Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-GeschwindigkeitsZusammenhang.
Wenn ein Ansatz nicht 'funktioniert', den anderen Ansatz verwenden !
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49
Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle (Übung)
„Kochrezepet“ für Kraftansatz nach
d’Alembert: F = 0
t=0
0
Ft
1) Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
x
F
b
mW
Fb = mG g
mG
Ft = (mw + mG) a
F
mw + mG = Gesamtmasse des Systems
G
3) einsetzen
mG g - (mw + mG)a = 0
JAVA Applett: 2. Gesetz von Newton
(Fahrbahnversuch)
 a
mG
g
mW  mG
Rest: Kinematik
Weitere Berechnungen dann wie Kinematik gleichmäßig beschleunigte Translation
Stimmt das Ergebnis ?
Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:
a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses ?
b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?
angewandt auf obiges Beispiel:
a) Einheit : [a]= m/s² 
b) Extremfälle
- mw  0
:ag

- mw >> mG : a  0 
- mG = 0
:a=0

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50
2.4.1.2 Arbeit (Work)
Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar, die Wirkung wird mit dem
Begriff Arbeit erfaßt:
'umgangssprachlich':
Arbeit = Kraft * Weg
Bsp: Gewicht in Hand und laufen - keine Arbeit wird verrichtet, da Gewicht nur gehalten
wird
(Kraft  Weg), Maßkrug-Haltewettbewerb Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.
Kraft F
Arbeit
-
konstant
-
wegabhängig
[W] = Nm = J
 
W  F s

s1
 
W   F(s)  ds
(MD - 4)

so
Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden
Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies, Sand
Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt
Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:

 s1 
 
F = const. : F  ds  F  s

so
SI-fremd :
- kWh = 3,6 MJ
- eV = 1,6 10
-19
(Energiewirtschaft)
J
(Atomphysik)
Arten
Beispiele (Vereinfachung: 1D)
Hubarbeit
Gewichtheben,
Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.
Beschleunigungsarbeit
Anfahren Auto
Reibungsarbeit
Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene
Verformungsarbeit
Feder spannen
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51
Hubarbeit im Schwerefeld der Erde
Annahme: g = const
W hub
 F = const, Weg klein
W hub ~ h
Whub = F ds
mit F = m g und s = h erhält man
h

Hubarbeit
Whub = m g h
(MD - 5)
Versuche:
- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle
- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft * Weg = Arbeit
- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger  Arbeit = konst.
- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-) Weg
dafür entsprechend länger  Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.
Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodaß auch schwere Gegenstände
hochgehoben werden können
JAVA Applett: Flaschenzug
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52
Beschleunigungsarbeit
Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und v = 0
Fall: a = const
Fall: a  const
Fbeschl = m a = const
W beschl = F ds = m ads
 W beschl = m a s
m 
gleichmäßig beschleunigte Translation:
v  2as
dv
ds
dt
V
2
ds
m dv
 m  v dv
dt
V1
nach a auflösen und einsetzen
W beschl = m s v²/2s
Wbeschl = ½ m v²

Wbeschl =

1
m v 22  v12
2

Achtung: gilt nur, wenn
Immer verwenden, wenn
Anfangsgeschwindigkeit = 0
Anfangsgeschwindigkeit  0
Bsp:
Wbeschl
m = 2 kg
v1  5 m s
v2  6 m s

(MD - 6)
   v 1 m s
Wbeschl ~ v 2
1
Wbeschl  m 36  25  11 J
2
nicht

1
m 12  1 J !
2
v
Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden,
nicht die beiden Zahlen subtrahieren und dann potenzieren !
Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die Differenz gebildet werden.
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53
Spannarbeit (Verformungsarbeit)
z.B. bei Feder

s1
Ws
 
Aus W   F(s)  ds

so
Ws ~ x
2
mit s = x
F = F(x) = FF = - D x (Hooke)
x
D : Federkonstante, [D] = N/m
x2

1
D x ²  xx12 x 22  x 12
2
→ Ws   D  x dx  
x1
Spannarbeit

x2
Ws   FF dx  
x1

1
D x22  x12
2

(MD - 7)
wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflußter Länge
x = x2 - x1: aktuell gedehneter Weg
+ aus Sicht von außen
- aus Sicht der Feder
- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit
Beispiel : Kraft ist wegabhängig  x; Spannarbeit
1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen Ws = ½ D x² = ½ D
2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen
2
Ws = D x dx 
1
2
1
1
3
D x ² 1  D (4  1)  D
2
2
2
nicht additiv wie bei Hubarbeit !!
Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen
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54
Reibungsarbeit
Versuch : Würfel fallen lassen - dasselbe Schiefe Ebene: v geringer, da Reibung
Reibung
Fr
Beispiel
Festkörper
µ FN
Flüssigkeit
v
Strömungswiderstand (laminar)
Gas
 v²
Luftwiderstand (turbulent)
Verformung
Gleitreibung, FN : Auflagekraft, schiefe Ebene
deform. Medien
Feder spannen
(MD - 8)
Reibungsarbeit
W r = Fr s
(MD - 9)
bei wegunabhängiger Reibungskraft
Reibungsarbeit wird praktisch immer in Wärme umgewandelt.
Bsp.: - 'glühende' Bremsscheiben Formel 1
- Schutzschild Raumfähren
- Mikrowellenherd
d’Alembertsches Prinzip mit Reibungskraft
Fb - Fr - Ft = 0
(MD - 10)
Reibung wirkt der beschleunigenden Kraft entgegen ; siehe Bsp. Freier Fall mit Reibung
Reibungsphänomene komplex: - Luftwiderstand Auto im Windkanal optimieren
- Luftwiderstand Golfball
Beispiele sihe Differentialgleichungen (Mathe 2).
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55
Beispiel Auto:
- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h : Motor- , Getriebereibung, Luftwiderstand, ...
- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h - 7 l bei konstant 120 km/h :
Differenz höhere Luftreibung
 Höchstgeschwindigkeit hängt vom Luftwiderstand ab
- Luftwiderstand
(Richtwerte)
Geschwindigskeitsbereich
Reibung
< 50 km/h
vernachlässigbar
50 - 100 km/h
'naja', typ. ~ v
> 100 km/h
typ. ~ v²
2.4.1.3 Energie (Energy)
Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit
umgewandelt werden kann.
Energiesatz
Eges = const.
(MD - 11)
[E] = J
Eges (To) = Eges (T1)
Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt
sich von alleine ab und springt hoch !
Einheit wie Arbeit
Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt
werden!  kein Perpetuum mobile
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56
Zusammenfassung und Übersicht zur Energie
Energie -
Formel
Beispiel
Arten
Kinetisch
Ekin = ½ m v²
Ekin bei Autounfall
Erot = ½ J ²
Motor beim
Energie-
Energie-
Speicher
Transport
(Translation)
Rotation
(2.4.2)
Potentiell
Schwungrad
Auslaufen
Epot = m g h
Freier Fall
(Erde)
Speicher-
Pumpstation
kraftwerk
Reibung
Siehe Arbeit
Luftwiderstand
Wärme
Ew = c m T
Kochen
Wasser-
Fernwärme
speicher
Elektrisch
Eel = U I t
Leiter = Transport Akku
von Energie !!
Chemisch
Strahlung
E
Hochspannungsleitung
Reaktionswärme
Benzin
Tank
Photosynthese,
‘Sonne’
em. Wellen
Solarenergie,
?!?
IR-Thermometer
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57
Beispiel Kinetische Energie
Setzt man die Kinetische Energie eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt sich
diese bei 140 km/h !!
Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert
ebenfalls quadratisch verlaufen könnte.
Daraus folgt dann ein doppelt so hohes Risiko, wenn die Geschwindigkeit von
100 auf 120 km/h gesteigert wird.
Kinetische Energie bei Autofahrt / -unfall
Ekin /%
400
(100%= 100 km/h)
350
300
250
200
150
~ v²
100
~v
50
physiologische Belastung ~v²*v²
0
100
120
140
160
180
200
220
v / km/h
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58
Translativer Energiesatz
ohne Reibung
Ekin(T0) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1)
mit Reibung
(MD - 12)
Ekin(T0) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1)
Bemerkungen
- Ereib ~ W reib
- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen
- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer Abhängigkeit !
- gilt z. B. nicht in Wasserströmung! Ernergie von A nach B kann dort wegabhängig sein.
Bsp.: Energieumwandlung Epot1  Ekin  Epot2
a) Würfel im Freien Fall
a)
b)
Versuch :
E
pot1
W
E
h
b) Würfel über schiefe Ebene
E
pot2
kin
G
Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des
Gegenstandes G geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird.
Weitere Verlust durch Aufprall.
Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !
Versuch: Ball / Blatt Papier fallen lassen Ball schneller obwohl E pot gleich
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59
Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand (Übung)
a) Energieansatz: Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1)
mit Er = F s
m g h = ½ m v² + k v² h
k : Reibungskoeffizient
 v² (½ m + k h) = m g h
mg h
m
 kh
2
 v
Extremfälle:
- keine Reibung (k = 0) :
v
- große Reibung ( k   ) :
2 gh 
v0 
aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ???
Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier
als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige
Beschleunigung.
b) Kraftansatz
F = 0

Fb - Fr - Ft = 0

mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt
‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber
Endgeschwindigkeit : a = v = 0
mg - k v² = 0

Extremwerte:
v end 
mg
k
k  0 : vend  

k   : vend  0

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60
Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien
Fall
50
v / m/s
40
30
20
10
mit Luftwiderstand
0
0
50
100
150
Fallweg / m
v durch Luftwiderstand konstant : Beschleunigung a  0
weiteres Beispiel Energieansatz (Übung):
Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)
Epot = Ekin
mG g h = ½ * (mw + mG) v²
 v
2 mG g h
mw  mG
v = v(h) !
Grenzfälle analog Kraftansatz
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61
2.4.1.4 Leistung (Power)
Leistung ist ein weiterer Begriff aus demtäglichem Leben.
„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. :
aus
P
P
W
 Fv
t
W
Fs
ds

 F
 Fv
t
t
dt
[P] = W = J/s
(Normierung auf Zeit)
„früher“: Auto : PS ;
1 PS = 0,73 kW
Leistung („Arbeit pro Zeit“)
W
t

P
'genaue' Formulierung
Durchschnitt

t  0
dW
dt

(MD - 13)
Momen tan
Durchschnittsleistung
Pm 
W
t
aktuelle Momentanleistung
Pa 
dW

 W
dt
(Definitionen analog Kinematik Geschwindigkeit)
erweiterte Betrachtung
 
d W d( F  s )
P


dt
dt
 
F
s

 
 F v
0 für F  const
kinetische und potentielle Leistung
Pkin 
Ppot 
d Wkin d  21 m v(t )² 

dt
dt
d Wpot
dt

d m g x(t )
dt

m  const

m  const
1 dv²
m
 m v v  m a v  F v
2
dt
mg
dx
 F x  F v
dt
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62
Wirkungsgrad

(Efficiency)
Pnutz
1
Pgesamt
(MD - 14)
Pnutz = Pgesamt - Pverlust
Pnutz :
nutzbare, benutzte Leistung
z.B: Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit
Pgesamt :
Summe aller Einzelleistungen
z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ...
d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert  !
Beispiel (Übung):
Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,3 t) von 0 auf 100 in 9.2 s zu beschleunigen ?
Pm = Wkin /t = ½ mv²/ 9,2 s = 55 kW  75 PS
Prospekt VW GOLF FSI 150 PS : t = 9,2s    0.5
Wirkungsgradverminderung durch :
- Reibung
- Schaltzeiten
- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 150 PS ab
- ...
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63
„Leistung“ in der BWL
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64
2.4.1.5 Impuls (Momentum)
Beispiele:
- Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung
- Zusammenstoß Autos: 2x Auto, Auto gegen Mauer, Baum,…
Fälle: „weich“, „hart“, „bewegt auf ruhend“, …
Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel
Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander
Modellkörper : 2 Massepunkte
Impuls
[p] = kg m/s = Ns


p mv



Näherung m  const.
 
p  F


,
(MD - 15)
al lgemeiner Fall

allgemein: Vektor p
JAVA Applett:
- Elastischer und unelastischer Stoß
- Newtons Wiege (Energie- und Impulserhaltung)
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65
Einfachster Fall :
2 harte Kugeln prallen aufeinander
eine ist vor dem Stoß in Ruhe
Herleitung Impulserhaltung (auch zur Übung)
a) Kraftansatz F = 0
b) Energieansatz Eges = const
v = const. außer bei Zusammenprall
Ekin vor = Ekin nach + Edeformation
d.h. keine Beschleunigung Ft = 0
 F1 + F2 = 0
d p1
d p2

0
dt
dt
d p1  p 2 
 0
dt
1
½ m1v1² + ½ m2v2² = ½ m1v’1² + ½ m2v’2²
( 1: vor, 2 nach Stoß)
 p 1  p 2 
 d p
(Edeformation hier Null)
' : nach dem Stoß
dt
mit
 p2    0
(Conservation of momentum)
0
(für m = const)
 p1  p2  p'1  p'2  c
p1  p2  c
Impulserhaltung
dt
 m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2
 p1  p 2  const.

dEges

 p  const.
(MD - 16)
i
i
Bsp.:
Stein vom Surfbrett nach hinten ins Wasser werfen 
Surfbrett bewegt sich vorwärts !
pStein = pSurfbrett Wasserreibung gering, vernachlässigt
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p
S
te
in
p
S
u
rfb
re
tt
66
allgemeine Impulsdefinition
F
aus (MD - 15)
1D, Vektoren ggf. ergänzen
d p d (m v)
 v  mv  m


 m
a
v  m

dt
dt
Rakete
Newton
zeitlich veränderliche Masse: Massenstrom
m
t


Durchschnitt
dm
dt

(MD - 15')

 m
akt .Momen tan wert
Anwendungen z. B.
- Verfahrenstechnik: 'konstante Zugabemenge pro Zeiteinheit'
z.B. Schüttgüter, Flüssigkeiten
- Auto: Kraftstoffeinspritzung
m
m
t
t
- Rakete : Masse verändert sich durch rasches Verbrennen des Treibstoffes
Massenstrom vergleichbar mit elektrischem Strom : I 
 Q dQ


 Q
t
dt
rein physikalisch gesehen gelten bei Transportvorgängen dieselben Gleichungen (s.o.), d.h.
es ist 'egal', ob
- Masse (Mechanik)
- Ladung (ET)
- Wärme (Kap. 3)
- Wellen (Energie) (Kap. 5)
transportiert wird. Man spricht in allen Fällen von einem Strom.
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67
Sonderfälle (einfachste Modellvorstellungen):
Masse
Relevante
Stoß
Merkmal
Größe
Fall für
Beispiele
m1 = m 2
v2 = 0
Elastisch*
‘v’ wird
v1’ = 0
Stahlkugeln, Billard,
weitergegeben
v2’ = v1
Reflexion an Wand
Materialeigenschaften
kleben aneinander, Bsp.
Unelastisch*
Gemeinsames v
v1’ = v2’
= v1/2
bleibt
Kugel in Schwamm.
Ekin wird in Verformung
umgewandelt  Wärme
Massenpunkte auf
konstant
Zentral
p
p ist hier ein Skalar
Vektoreigenschaften
Gerade,
Modellkörper: Starre bzw.
Nicht zentral

p
deformierbar Körper
Billard, seitlicher Stoß,
p ist hier ein Vektor
p = dF/dt
ändert
m = m(t)
Rakete
sich
m ändert sich
 Rakete gibt Treibstoff
ab, v nimmt zu
* : ideale Grenzfälle
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68
Raketen zum Weiterlesen für Interessierte
2.4.1.6 ‘Raketenphysik’ einer Modellrakete
Kinematik / Kraft- / Energieansatz
Näherung : - m = const., da wenig Treibstoff im Vergleich zur Gesamtmasse
- g = const., da niedrige Flughöhe
- keine Reibung
2 Antriebsphasen:
- mit Gasausstoß
- ohne ‘’
h
Antrieb
-slos
, nach Brennschluß
3 Flugphasen
a) beschleunigte Bewegung
b) Senkrechter Wurf nach oben
c) Freier Fall nach unten
b) und c) können zusammengefaßt werden, wenn
Senkrechter Wurf mit Abwurfhöhe und geschwindigkeit verwendet wird.
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beschl.
senkr.
Bewegung Wurf
a
b
freier Fall
t
c
69
a) Start :
beschleunigt (Brenndauer 5s), a = const.; senkrechter, beschleunigter Wurf :
FAn - FG - Ft = 0
mit FAn : Startschub
FAn – mg – ma = 0
Startbeschleunigung : a S 
FAn
g
m
bei Brennschluß (t = 5 s)
Geschwindigkeit : vBs = ast
Höhe
: hBs = 1/2 ast²
hier Fan = 2N , m = 0,1kg  as = 10 m/s²
vBs = 50 m/s, hBs = 125m
nach Brennschluß
b) Senkrechter Wurf
Max. Steighöhe: hmax = hbs + hsw
hsw 
2
vbs
(z.B. aus Energiesatz v  2 g h )
2g
= 125m
hmax = 250m
nach Gipfelpunkt
c) Freier Fall
aus Energiesatz bzw. Kinematik : vauftreff  2 g hmax  70
m
s
tatsächlich geringer, da Reibung
aber : Masse nicht konstant, also Impulsansatz
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70
Impulsansatz
Grundlage aus (MD - 15’):  F 
d p d ( m v)
 v  m v  m
 v  m a  (*)

 m
dt
dt
aus (*), falls keine äußere Kräfte F = 0 :
 v  ma
0 m
m(t)
 w
 m(t) v   m
m
dv
dm

w | dt
dt
dt
vRakete
vGas = w
x
(DGL 2. Sem.)
1
1
dv  
dm |  
w
m
1
1
dv   
dm

w
m
v
  ln(m)  C
w
Aus Anfangsbedingungen : t = 0 : v = 0 , m = mo (Startmasse)
 C = ln(mo)

m 
v  w ln  o 
 m 
mit m = m(t) z.B. m(t) = mo - kt > mBS
bis hierher: parallel zur Erdoberfläche
m 
bei Start nach oben : v  w ln  o   g (h) t
m
Achtung g = g(h) !
max. Höhe: v integrieren, schwierig
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71
Modellrakete:
w = 1000 m/s, mo = 0,1 kg, mBS = 0,08 kg, t = 5 s
 vBS = 173 m/s
aus Formelsammlung : hBS = 550 m
(50 m/s Kinematik)
(125 m Kinematik)
d. h. Faktor 2 - 3 ‚mehr’ bei lediglich 20% Differenz der Masse (100 g → 80 g)
zwischen (falschem) Kinematikansatz im Vergleich zu Impulsansatz !
m 
Reale Raketen v  w ln  o 
m
w  3 km/s
1-stufig :
typisch:
mo
6
mBS
 vend  2w
 vBS  6 km/s
also schneller als Treibstoffausstoß !!
aber:
Erreichen einer Erdumlaufbahn erfordert vmin = 8 km/s . Dies ist mit 1-stufiger Rakete nicht
möglich, da das Massenverhältnis aus konstruktiven Gründen und der Treibstoff nicht
beliebig optimiert werden können. Dies erreicht man aber bei gleichen Parametern
(Startmasse, Nutzlast, Treibstoff) mit einer dreistufigen Rakete:
Geschwindigkeit nach Brennschluß der i–ten Stufe:
M M
M
vB  w e ln 01 02 ... 0 Z
 MB1 MB2 MBZ

 .

Das Argument des Logarithmus heißt „totales Massenverhältnis“ :
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M0
MB
72
Im folgenden Rechenbeispiel werde dieselbe Nutzlast bei denselben
Massen von Rakete und Treibstoff beschleunigt; w = 2,7 km/s.
Einstufenrakete
Dreistufenrakete
Nutzlast
Nutzlast MN = 0,04 t
MH = 0,04 t
3. Stufe MR3 = 0,04 t ; MT3 = 0,20 t
Rakete
MR = 8,44 t
Treibstoff Mt = 42,20 t
2. Stufe MR2 = 0,40 t ; MT2 = 2,00 t
1. Stufe MR1 = 8,00 t ; MT1 = 40,00 t
MR = 8,44 t ; MT = 42,20 t
Startmasse M0 = 50,68 t
→ Startmasse M0 = 50,68 t
1. Stufe
Masse bei Zündung M01 = 50,68 t
Brennschlußmasse MB1 = 10,68 t
v1 = 4,21 km/s
2. Stufe
Masse bei Zündung M02 = 2,68 t
Brennschlußmasse MB2 = 0,68 t
v2 = 3,71 km/s
3. Stufe
Brennschlußmasse MB = 8,48 t
Masse bei Zündung M03 = 0,28 t
Brennschlußmasse MB3 = 0,08 t
Brennschlußgeschwindigkeit
vBS  2,7
km  50,68 
ln

s
 8,48 
v3 = 3,39 km/s
Brennschlußgeschwindigkeit der 3. Stufe
vBS = v1 + v2 + v3
vBS = 4,8 km/s
vBS= 11,31 km/s
Dies bedeutet: Mit einer einstufigen Rakete kann man keine Kreisbahn um die Erde
erreichen, da die erste kosmische Geschwindigkeit (für eine Kreisbahn an der luftleer
gedachten Erdoberfläche) bereits 7,9 km/s beträgt. Für das Verlassen des Erdschwerefeldes
sind bereits 11,8 km/s nötig, die kosmische Geshwindigkeit der Erde
(„Fluchtgeschwindigkeit“).
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73
Raketenstart und Flugstabilisierung
Schwierigkeit beim Start : vo = 0 : instabil, da keine Ruderwirkung, Triebwerke schwenken !
besser bei Sylvesterraketen, da SWP unter Antriebsangriffspunkt
SWP oberhalb Unterstützung : labil
SWP
Stabil, da SWP unterhalb Kraftangriff
Seilrolle
Kraft
SWP
SWP
Kraft
Kraft
SWP
Kraft
analog Seiltänzer mit Stange bzw. Motorradartist
Seil :
'Auflagekraft'
SWP
Weltraumraketen: komplexe Schubvektorsteuerung ( Triebwerk dreht sich – Vektorcharakter
des Impulses ) erfordert schnelle Winkelmeß und Regelstrecken.
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74
2.4.2 Rotation (Rotation)
Anwendungen: Motor, Fahrdynamik, Fliehkraftregler,
Modellkörper: Starrer Körper
Versuch zur Fliehkraft
Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich schwere Kugeln
bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit dieselbe Höhe ?
2.4.2.1. Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
Bsp:
Anpressdruck Karusell merkt Ausenstehender nicht ,
daher Typ 'Trägheitskraft, Scheinkraft'
Zentripetalkraft
Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp
D
r
Praxis: meist nur Betrag interessant
Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender
Beobachter spürt (Fliehkraft)
Zentripetalkraft Fzp
Zentrifugalkraft Fzf




m v2
Fr  Fzp  m a  
r

v r 


m ² r   FZf
(MD - 17)
Bem.: Fzp ~ ²
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75
2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz
Modellkörper: starrer Körper
Translation Kraft F  M Drehmoment Rotation :
Drehmoment
m1


Mg   M i 



r i  Fi
r1
D
m2
r2
Herleitung eindimensional
1D : F = m a
rF=rma
|r
Dr
| a = r (Winkelbeschleunigung)
m
 M = (mr²)  = J 
J : Massenträgheitsmoment (mass moment of inertia)
aus Tabellen, Mehrfach-Integralen, bzw. experimentelle Bestimmung

bei zusammengesetzten Körpern : Mges 


M
 i   Ji 
Dynamisches Grundgesetz
[J] = kgm²


M  J 
(MD - 18)
M=0
(MD - 19)


Vergleich Translation : F  m a
d’Alembertes Prinzip der Rotation
Vergleich Translation :  F = 0
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76
Tabelle Massenträgheitsmoment
hier: Schwerpunkt auf Drehachse, sonst Unwucht, z.B. Autoreifen
Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen  Kapitel Schwingungen
Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen

J   mi ri 2 
2

r
 dV
i
z
Vol
Kugel
r
massiv Jx  Jy  Jz  2 m r 2
5
dünne Schale Jx  Jy  Jz  2 m r 2
y
3
x
Vollzylinder
1
1
1
m r 2 Jy  Jz  m r 2 
m l2
2
4
12
Jx 
z
dünner Stab (l >> r)
Jx 
1
1
m r 2 Jy  Jz 
m l2
2
12
dünner Scheibe (l << r)
1
1
m r 2 Jy  Jz  m r 2
2
4
Jx 
ra
y
Jx 
l
r
i
x
Hohlzylinder


1
1
1
m ra2  ri2 Jy  Jz  m  ra2  ri2  l2 
2
4
3 

dünnwandiger Hohlzylinder mit ra  ri
dünner Ring(ra  ri, l << r)
Jx 
1
1
m r 2 Jy  Jz  m r 2
2
2
z
Quader
l
b

1
m l2  h2
12




1
m b2  h2
12
Jy 
Jz 
1
m b2  l2
12
h
y
x

Jx 
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77
Drehpunkt außerhalb Schwerpunkt
Bsp:
Kugel an Seil – Pendel
Starrer Körper
m
m
d
D
d
D
SW
P
Satz von Steiner
Ja = JSWP + m d²
d : Abstand A - SWP
(MD - 20)
Bsp.: MP an gewichtsloser Stange Ja = m d² da JSWP = 0 (s.o.)
2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation
Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad
- fallen lassen mit abgewickelter Schnur : Fall schnell, bleibt unten
- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur : Fall langsamer, kommt wieder hoch
Untersuchung :
Ekin JoJo < Ekin Kugel
(da v geringer)
Wo steckt Energiedifferenz ?
Offenbar in der Rotation !
Epot  Ekin + Erot  Energiespeicher Rotation
Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen
Frage zur Systemauslegung (warum gibt’s das nicht mehr?)
Arbeit
Energieerhaltung
Wrot = Md
Ekin + Epot + Erot = const.
(MD - 21)
Rotationsenergie
Leistung
(vgl. Translation)
Erot = 1/2 J ²
 
P  M 
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78
2.4.2.4 Impuls bei Rotation : Drehimpuls (Angular Momentum)
Drehimpuls [L] = kg m² /s

  
L  J   r p
Drehmoment - Drehimpuls
 
M L 


J

 J
(MD - 23)
0 , falls J  const.
Drehimpulserhaltung

 L  const.
Bsp. Drehimpulserhaltung :
- Einfangen eines rotierenden Satelliten ‚schwierig’, da Impulsübertrag auf Raumschiff
- Kreiselstabilisierung, Richtung von L ist raumfest, Anwendung: Kreiselkompass
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79
2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung
Mit der Tabelle erhält man aus der Translation die Formeln der Rotation durch
„Buchstabentauschen“: Dies kann immer angewandt werden.
s
v
a
mJ
FM
pL
(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)
Translation
Variable/Formel
Rotation
Variable/Formel
=s/r
Weg
s
Winkel
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit

Beschleunigung
a
Winkelbeschleunigung

Masse
m
Massenträgheitsmoment
J =  mr²
Kraft
F = ma
Drehmoment
M = J
Kraftansatz
F = 0
Drehmomentansatz
M = 0
Impuls
Impulserhaltung
Arbeit
p = mv ; p  F
p = const.
W =  Fds
Drehimpuls
L = J ; L  M
Drehimpulserhaltung
L = const.
Arbeit
W =  Md
Energie
Ekin = 1/2 mv²
Energie
Ekin rot = 1/2 J²
Leistung
P=Fv
Leistung
P=M
entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.
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80
Übungsblatt Dynamik
1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im
Elektrischen und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder
Energieansatz.





Formeln: Fel   e E ; Epot   e U ; Fmag   e v  B
a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV (Elektron ruht zu
v = 105 km/s
Beginn).
b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld
der Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform.
Parabel
c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es
mit einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus?
Kreis, Arbeit = 0
2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m 1 und m2
befestigt. Berechnen Sie die Beschleunigung
a) bei masseloser Rolle
a 
b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r
a 
m1  m2
g
m1  m2
m1  m2
m1  m2 
J
r2
g
3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei
innerhalb von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit
(ideal)
216 kJ
4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber
wegen des Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den
Reibungskoeffizienten µ mit 0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen?
61,2 m
5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und
fahren 1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N.
Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder?
8s
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81
3. Schwingungen (Oscillation, vibration)
Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)
mechanische Schwingungen: periodische Bewegung
A
periodisch = sich wiederholend
t
Bsp: Pendel, Feder
Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.
Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik, auf:
- Autofederung
- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht
- EM - Schwingungen  Funkwellen
- Schwingungen bei Regelvorgängen
- Gezeiten
- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...
-...
- Wirtschaft (Zinsen, Aktien,so genannter „Schweinezyklus“, ... s.u.)
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82
Dax 1960 – 2011
In den „Boomjahren“(60-ziger und 70-ziger) praktisch konstant, danach steigende Kurse mit
„Schwankungen“
Fragen:
- Warum haben die (Zinssatz-) ‚Schwingungen’ ca. 2000 aufgehört ?
- Warum ist der Zinssatz 2005 auf historischem Tiefstand ?
Auffallend: Keine Schw(ank / ing)ungen beim DAX  Schw(ank / ing)ungen beim Zinssatz
und umgekehrt
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83
3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel
Vorkenntnisse :
- Kräftezerlegung
- Bewegung von Massepunkten
- Newtonsche Gesetz
- trigonometrische Funktionen
Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen
Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:
Mathematisches Pendel
Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld
Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :
Beobachtung:
- periodische Bewegung um Ruhelage
- Auslenkwinkel ändert sich
- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da
keine anderen Kräfte von außen wirken
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84
Mathematisches Pendel
mit relevanten Kräften und Definitionen

l
JAVA Applett: Fadenpendel
m
s
FRK
Ft


FG = m g
Eigenschaften des Pendels
- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage
- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l
- punktförmige Masse m
- Winkel  aus Ruhelage
- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l
- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge
- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g
Vorgehen zur Bewegungsgleichung
- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile
- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen
- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende Kraft F RK
in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich
- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel 
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85
Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip :  F = 0
1) Fb - Ft = 0
2) beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel
Rückstellende Kraft
Fb = FRK = m g sin 
(SW - 1)
Ft  m s
Trägheitskraft
(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)
Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel
s=-l 
s   l 
Minuszeichen : entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel
l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel
Trägheitskraft
in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel
Ft   m l 
(SW - 2)
3) einsetzen (m fällt heraus)
Bewegungsgleichung
l   g sin  0
(SW - 3)
gesucht : (t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel
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86
Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von  und sin kompliziert
für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus  ungefähr  (im Bogenmaß)
y
Vergleich: y = sin(x) zu y = x
0,6
y=x
0,5
0,4
y = sin(x)
10°
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
x /rad
0,6
bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich
kleine Auslenkung
sin   
[] = rad
 rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel
FRK  
Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sin durch  , ergibt
Harmonische Schwingungsgleichung
 
g
 0
l
(SW - 4)
Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen
Auslenkungen
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87
Als Lösung gesucht :
periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f ~ f
Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion
Experimente

Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der
zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel 
Sinusfunktion

Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleinigungsmesser) zeigt ebenfalls
einen sinusförmigen Verlauf
Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel)
kann die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !
also Cosinus, da cos(0) = 1
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88
Lösungsansatz
(t) = o cos(ot)
für zeitabhängige Winkeländerung  (t)
mit
(SW - 5)
- o : Anfangsauslenkung
- o : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)
Schwingungsdauer T 
1 2


;f  0
f
0
2
Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:
zuerst ableiten
Geschwindigkeit
ändert periodisch
   o  o sin(o t)
(SW - 6)
Beschleunigung
a     o2  o cos(o t )   o2 

(SW - 6')

Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen !
Einsetzen in (SW - 4)  o2  
g
g
  0  02 
l
l
Eigenfrequenz o
o 
der Mathematischen Pendels
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g
l
(SW - 7)
89
Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da
meßbar


T
t
T = 2
Schwingungen artverwandt mit Rotation :
- Eine Periode entspricht 2 , hier  * T Periodendauer  Schwingungsdauer T
- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied
aus SW - 7 folgt damit
Schwingungsdauer
des Mathematischen Pendels bei
TMP  2 
kleinen Auslenkungen
l
g
(SW - 8)
Schwingungsdauer
- proportional zur Wurzel aus Pendellänge
- unabhängig von Masse und Amplitude
Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!
Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s
Folgerung:
Harmonische Schwingungen können durch eine Cosinusfunktion mit einer
bestimmten Frequenz beschrieben werden.
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90
Zusammenfassung (Klausur-relevant)
Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):
 
g
0
l
02 
g
2
; T
l
0
Lösung:    0 cos o t 
Merkmale idealer harmonischer Schwingungen
- Gleichung x  o2 x  0
- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude
- Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) FRk ~ x
- o beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systemes
- o ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems
Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden
ebenfalls mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels
Koeffizientenvergleich erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer
reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)
Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.
Hinweis:
Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;
mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.
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91
3.2 Übersicht
allgemein: periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)
Bsp. Pendel: Epot  Ekin  Epot
(trotzdem Kraftansatz verwenden !)
Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente
Anzahl der Komponenten
Form
Ausbreitung
Bsp
wenige
Schwingung
ortsfest
Pendel
1 Körper
Eigenschwingung o
im Körper
Stimmgabel
viele
Wellen
Fortpflanzung
Schallwelle
Schwingungsart
Harmonisch
Anharmonisch
Mathematische Beschreibung
1 Sinus bzw. Cosinus
beliebig
Bsp:
Pendel,
Rechteck, Ebbe, Flut
LC - Schwingkreis
Pulsschlag, EKG
Schwingungsart
ungedämpft
gedämpft
Annahmen
ideal
mit Verlusten, z.B. Reibung
Bsp
Math. Pendel
Luftwiderstand, Federpendel
Schwingungsart
frei
erzwungen
Merkmal
- System bleibt sich selbst überlassen
- äußere Energiezufuhr
- abklingende Amplitude
- Resonanz
Oszillator
Resonator
Bez.:
Schwingungsüberlagerung
Addition von Schwingungen 1D oder vektoriell
Frequenz
Richtung
parallel
senkrecht
Gleich
Verstärkung / Auslöschung
Lissajous
Verschieden
Schwebung
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92
3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen
3.3.1 Physikalisches Pendel
wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz  M = 0  MRK - MT = 0
Mathematisches Pendel
Physikalisches Pendel
Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt
D

D
r

r
SWP
SWP
FRK

FG
Mathematisches Pendel (mit Drehmomentansatz M = 0, da quasi Rotation, s. o. ):
- Drehmoment MT  J 
- MRK  r F   r m g sin
- Satz von Steiner: JA = Js + mr²
(MD - 16)
- Aufhängepunkt – Schwerpunkt = r
Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’
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93
dann analog zu (SW 1-4) :
JA   r m g   0
  
rmg
0
Ja

vgl.   o2   0
 o2
Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels
o2 
bei kleinen Auslenkungen
r mg
r mg

JA
Js  m r ²
(SW - 9)
Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):
Massepunkt: Js = 0  o 
g

r
Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten
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94
Zum Weiterlesen und als Beispiel (mechanische) Schwingungen
mit dem Kraftansatz zu rechnen
3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit
Energieansatz
Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbed. v oder h
 1/2 mv² + mgh = const.
mit - h  l 1 cos  

l
-  klein: cos  1 – 1/2 ²  h  l ² / 2
- s = l  und v = l 
v=0
nur E pot
h
Vorteile:
v = v max
- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v2
nur E kin
E kin + E pot
- Ansatz einfacher

Schwingungsgleichung
des Mathematischen Pendels bei kleinen
s ² 
Auslenkungen aus Energiesatz
g
s²  const
l
(SW - 10)
Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot)
o² so² sin²(ot) + g/l so² cos²(ot) = const
mit o² = g/l
g/l so²[sin²(ot) + cos²(ot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1 
g
Vgl. Kraftansatz: x  x  0 mit (SW-10)
l
aus (SW – 10) 
Energieansatz
g
d
s ²  s²  const
l
dt
g
 2 s s  2 s s  0
l
g
 s  s  0
l
- auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.
- nicht üblich
- inkompatibel mit LC-Schwingkreis
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95
3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung (zur Übersicht, Details Mathe 2)
Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)
- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kin. Energie)
- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kin. Energie)
Allgemeine Harmonische
x  o2 x  0
Schwingungsgleichung
Lösungsansatz :
(SW - 11)
x(t) = c1 cos(ot+) + c2 sin(ot+)
c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen
„Allgemeine“ Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung
Pendel
x(t )  xo coso t   
Mit
vo
sino t  
o
(SW - 12)
- xo : Anfangsamplitude
- vo : Anfangsgeschwindigkeit
- o : Eigenfrequenz
-  : Phase
- Geschwindigkeit v ~ x
- Beschleunigung a ~ v ~ x   o2 x (ungleichm. beschleunigte Bew.)
In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :
- nur Anfangsauslenkung : vo = 0 (sin0 = 0)
- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0 (cos0 = 1)
- gemischt : vo und xo  0
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96
Allgemeine Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung (wichtig)
-
Gilt „immer“ für ungedämpfte harmonisch schwingende Systeme !
-
Ist allgemeiner Fall der „mechanischen“ Lösung SW-12
x(t )  A coso t     B sino t   
Mit
(SW – 12‘)
- A, B : Anfangsamplituden
- o : Eigenfrequenz
-  : Phase
Weiterlesen : Komplexe Lösung der Schwingungsgleichung.
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97
3.3.4 Beispiele Harmonischer Schwingungen (Übung + Klausur)
- Federpendel
Feder anfänglich gedehnt
Kraftansatz:  F = 0
1) Fb - Ft = 0  FRK - Ft = 0
FFF = FRK
Ft
2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung
Ft  m x
3) x 
D
x0
m

x
Ruhelage 0
 o2
Feder anfänglich gestaucht
2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x
Ft   m x , da in -x - Richtung
Ft
FFF = FRK
Rest identisch
Probe: - m   : a  0 
Ruhelage 0
x
-D0:a0
JAVA Applett: Federpendel
gilt auch für senkrechte Pendel
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98
- Torsionspendel
hier gilt nicht v =  r ,da  nicht konstant
Hier: o = 
D
Herleitung siehe Übungsaufgabe
mit : MRK = - D  und MT = J  folgt :
 
J

D
0
J

Ruhelage
 02
- LC – Schwingkreis
siehe E- Technik
UC
I  1 I  0
LC

C
 02
L
I
UC ebenfalls periodisch !
JAVA Applett: Elektromagnetischer Schwingkreis
- Flüssigkeit in U-Rohr
siehe Übungsaufgabe
d' Alembert:
FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)
FT =
0
mges z
Flüssigkeit: mFL =  A h
FRK
mges =  A l , l : Gesamtlänge
m ges
mbesch = 2  A z (2, da über- & unterhalb z = 0)
g
 z  2 z  0
l
m beschl
z
Ft
Vgl. Mathematisches Pendel o2 
g
l
 o2
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99
3.3.5 Zusammenfassung Mechanik harmonische Schwingungen
(nur Beträge)
Translation
Rotation
Ansatz
F=0
M=0
Variable
Weg x
Winkel 
Rücktreibende Komponente
FRK = cT x
MRK = cR 
Trägheitskomponente
FT = m x
MT = J 
Eigenfrequenz
Bem.:
o2 
cT
m
o2 
cR
J
- Rücktreibende Komponente  Auslenkung
- Frequenz unabhängig von Amplitude
3.4 Gedämpfte Harmonische Schwingungen
Einfluß von Reibung oder anderen Verlusten: Verringerung der Amplitude mit der Zeit
Reibungsphänomene siehe Dynamik
Als Einführung, relevant für Klausur sind die drei Fälle (Skizze, s.u.)
Reibungsarten FR
Gleitreibung
viskos
Newton
FR proportional
Normalkraft
Amplitude
lineare Abnahme, nicht geschlossen lösbar
v  x  
typ. exponentielle Abnahme (*)
v2
Abnahme, DGL schwer lösbar
(*): viskose Reibung entspricht einem Ohmschen Widerstand in ET !
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100
Bsp: Viskose Reibung
z.B. Luftdämpfung eines Pendels bzw. R in LC-Schwingkreis, d.h. FR ~ x ˆ v
d'Alembertscher Ansatz
F = 0
Ft + FR + FRK = 0
Reibungskraft, siehe Tabelle
Mechanisches System :
x 
(SW - 13)
b
x  02 x  0
m

2
mit
- b : Reibungskonstante
- m : Masse
Vereinfachung der Lösung mit Abklingkoeffizient :


b
2m
x  2  x  02 x  0
Lösung der DGL (Mathe II, hier nur zur Info)
Ansatz:
einsetzen:
x(t) = xo et
² + 2   + o² = 0
"charakteristisches Polynom"
Lösung der Quadratischen Gleichung: ² + 2   + o² = 0
1/ 2    j o2  ²

(*)
D   o
Folge: Frequenz einer gedämpften Schwingung ist kleiner als die der Ungedämpften !
Kontrolle: keine Dämpfung b = 0 ;  = j o  (siehe Ansatz)
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101
3 Fälle aus (*)
Bed:
Schwingung
Bem.
Schwingfall
o > 
ja
Kriechfall
o < 
nein
Wurzel komplex
Aperiodischer Grenzfall
o = 
nein
Wurzel Null
Wurzel positiv
(nur Dämpfungsanteil)
Diese Skizze ist relevant:
Schwingfall - gedämpfte Schwingfrequenz kleiner als Eigenfrequenz D  02   2
- exp. Abnahme (Einhüllende) der Amplitude : x ( t )  x o
t
e

jD t
 e

exp . Abnahme Schwingung
- Wann ist Schwingung (Amplitudenverlauf ~ e  t ) abgeklungen ?
zur Vereinfachung : t = 0 : e0 = 1
für t > 0 : e-5  0,007 d.h.  t  5 ist Restamplitude kleiner 1%

Abklingdauer
Tabkling 
Versuche :
5

(SW - 14)
- LC-Schwingkreis
- Pohlsches Drehpendel
Zum Weiterlesen: anharmonische Schwingungen, Frequenzverdopplung
z.B. Klirrfaktor im Audiobereich
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102
3.5 Erzwungene Schwingungen
Prinzip: Äußere Kraft bzw. Energie wirkt auf schwingungsfähiges System
Relevant: „Physikalische Effekte“ wie z.B. Skizzen, nicht Formeln.
Versuch: Drehpendel
aus Kraftansatz
Schwingungsgleichung
für erzwungene Schwingungen
x + 2  x + o2 x = Fext
(SW - 17)
Fext : - Äußere Kraft , Fälle siehe s.u.
- Fext = 0 : Freie, gedämpfte Schwingung (s.o.)
- Fext = 2  x : Kompensation der Reibung durch Äußere Kraftzufuhr
z.B. schaukelndes Kind bei konstanter Amplitude
anwachsende Amplitude : Resonanz s.u.
Fext
Kurzzeitig, einmalig
Zeitverhalten
Bsp. Pendel
F
ext
„Anschub“- Anfangsbed.
Danach gedämpfte
(‚Schlag’)
Schwingungen
t
Permanent
F
ext
z.B. Stimmgabel, Börsencrash
Dauernde Auslenkung
Schwingungsdauer T = 
z.B. Festklemmen
t
Periodisch
Wichtigster Fall
F
ext
Anregung mit Eigenfrequenz
bzw. „beliebig“
das ist Resonanz
t
Praxis: Mit einem ‚Schlag’ und Messung von Schwingfrequenz und Amplitude erhält man
alles Systeminformationen wie o und 
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103
3.5.1 Viskos gedämpfte Schwingungen mit Sinusanregung
Versuch : Drehpendel, LC-Schwingkreis
JAVA Applett: Erzwungene Schwingungen (Resonanz)
Schingungsgleichung mit
Dämpfung und Äußerer Anregung
Komplexer Lösungsansatz :
x  2  x  02 x 
Fext j ext t
e
m
(SW - 18)
x  x 0 e j ext t
(Rechnung hier rein 'informativ , siehe Mathe II)


einsetzen:
x0  2ext  j 2  ext  02 
 Maximalamplitude :
x0 
Resonanz 0  ext
Re(x0):
Fext
m   2ext  j 2  ext

2
0
x0 
Fext
m

Fext
2  m  ext
Dämfung  0 bedeutet Amplitude   , dies nennt man 'Resonanzkatastrophe'
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104
Resonanzen
- vermeiden, da Materialzerstörung (s.u.)
- erwünscht z.B. Funkempfänger (LC-Schwingkreis)
Meßtechnik : Bestimmung der Resonanzfrequenz
Beispiel Schiffsantrieb:
Video Tacoma - Bridge
… praktische Anwendung : LC – Schwingkreis“
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105
Übungsblatt Schwingungen
1. Simulieren Sie Schwingungsphänomene mit dem Computer (z.B. EXCEL):
Dämpfung - Erzwungene und anharmonische Schwingungen - Überlagerung
2. Weisen Sie nach, dass beim Mathematischen Pendel die Lösung des Kraftansatzes
(vereinfacht s = so sin(wot) ) auch die Lösung des Energieansatzes (s'² + o² s² = const)
ist.
3. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für ein Torsionspendel (siehe
Vorlesung) auf und geben Sie die Eigenfrequenz an. Welche meßtechnische Bedeutung
hat ein Torsionspendel?
4. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für eine Flüssigkeit in einem U-Rohr
(siehe Vorlesung) auf, Eigenfrequenz ?
5. Sie bohren ein Loch durch die Erde (senkrecht, durch den Erdmittelpunkt). Wenn Sie
einen Gegenstand hineinbringen und loslassen, wird er durch die Erdanziehungskraft
hineingezogen
(
a
r
g
R
mit R = 6400km, g = 10m/s², Abstand r vom Erdmittelpunkt, ohne Reibung etc.).
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie sie
(Bewegungsform, relevante Parameter)
b) Vergleichen Sie die Zeit, die der Gegenstand zu Durchqueren der Erde und zurück
braucht mit der Umlaufzeit eines niedrigfliegenden Erdsatelliten
(Übungsblatt Kinematik)
"etwa gleich groß"
6. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer langen Stange (Dicke vernachlässigen), die an
einem Ende aufgehängt ist (harmonisch, ohne Reibung)? Vergleichen Sie dies mit einem
Mathematischen Pendel.
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Lsg: 2/3 eines gleichlangen M. P.
106
7. Ein Seil der Länge l und der Masse m liegt so auf einem Tisch, daß der längere Teil
hinunterhängt. Nach dem Loslassen soll das Seil reibungsfrei über die Tischkante gleiten.
Stellen Sie die Bewegungsgleichung und und vergleichen Sie diese "einmalige"
Bewegung mit einer Harmonischen Schwingung.
8. Ein Teilchen der Ladung q und der Masse m befindet sich im homogenen Feld eines
senkrecht zur Erde stehenden genügend großen Plattenkondensators (Abstand d). An
diesem liegt eine Wechselspannung an, so daß eine Kraft F = qUmax/d cost horizontal
und die Erdanziehungskraft vertikal wirkt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und
integrieren diese.
9. Ein waagrecht liegender Harmonischer Federoszillator der Masse 1kg (Masse incl. Feder,
Ansatz: waagrechtes Federpendel) und D = 100N/m befindet sich in seiner Ruhelage. Er
wird von einer Kugel (10g) durchschlagen, die mit 500m/s auftrifft und mit 250m/s austritt.
Berechnen Sie die Schwingungsamplitude nach dem Durchschlag des Geschosses
(reibungsfrei).
25 cm
10. Ein unten mit Blei gefülltes Reagenzglas (Gesamtgewicht m) schwimmt senkrecht im
Wasser. Zeigen Sie, daß das Reagenzglas harmonische Schwingungen (ohne Reibung)
durchführt, wenn es etwas ins Wasser gedrückt und dann losgelassen wird.
11. Ein Federpendel besitzt zur Zeit t=0 eine Auslenkung von 5cm, die Geschwindigkeit
10cm/s und die Beschleunigung -20cm/s². Wie groß ist die Amplitude und die
Kreisfrequenz der Schwingung?
7,07 cm
2 1/s
12. Ein 2-atomiges Molekül kann durch ein Feder-Masse-Modell beschrieben werden. 2 harte
Kugeln der Einzelmassen 1,67 10-27 kg sind mit einer Feder (D = 510 N/m) verbunden.
Achten Sie auf die Bewegung des Schwerpunktes, hier tritt sonst ein Faktor 2 auf !
a) Eigenfrequenz des Moleküls
1,24 1014 Hz
b) In welchem Wellenlängenbereich liegt diese?
c) Welche meßtechnische Bedeutung hat dies?
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107
4. Wärmelehre (Thermodynamics)
Das menschliches Temperaturempfinden ‚warm – kalt‘
ist im Vergleich zum Sehen nur ungenau
 physikalische Beschreibung der Temperatur notwendig
4.1 Temperatur (Temperature)
Temperatur ist eine der 7 Basisgrößen
[T] = K
Vergleich Kelvin - °C
K
absoluter Nullpunkt
°C
0
-273
77
-196
Schmelzpunkt H2O
273
0
Siedepunkt H2O
373
100
Siedepunkt N2
Schmelzpunkt Eisen
Sonne innen
Sonne außen
1.800 K
107 K
6 * 103 K (siehe Kap. Wärmestrahlung)
Der „Erfinder“ & „Konkurrenten“ Celsius und Fahrenheit
^
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108
Temperaturangaben in technischen Spezifikationen (Specification)

Betriebstemperatur (Operating Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen betrieben werden kann

Lagertemperatur (Storage Temperature)
Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen gelagert werden kann,
es ist hierbei nicht eingeschaltet und muss vor dem Einschalten in den
Betriebstemperaturbereich gebracht werden.
Unter Temperatur versteht man hier typischerweise die Temperatur der Umgebungsluft,
die Temperatur im Inneren liegt höher.
Beispiel aus der PC-Welt : Betrieb +10°C ... +35°C , Lagerung -40°C ... +65°C
Typische Betriebstemperaturen :
Bezeichnung
Commercial
Industrial (indoor)
Industrial (outdoor)
Bereich /°C
+5 ... + 50
0 ... +70
25 ... +75
Automotive
-35 ... +85
Military
-55 ... + 125
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109
Messung durch temperaturabhängige Zustandsgrößen:
Zustandsgröße
Anwendung (Beispiel)
Volumen
Flüssigkeits-, Gasthermometer
Längenaus-
Bimetall-Thermostat
dehnung
(Kaffeemaschine)
ungleiche
Thermoelement
Metalle
(Verfahrenstechnik)
Widerstand
Pt100 – Messtechnik (Industrie)
'Farbe' des
Pyrometer (rotglühender Stahl),
emittierten
siehe Diagramm
Ausführung (Beispiel)
Lichtes
physikalisch –
Temperaturstreifen
chemisch
- Flüssigkristalle reversibel
- chemisch irreversibel
(max. Temperatur)
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110
4.2 Kalorimetrie (Calorimetry)
Wärmemenge (Heat Quantity)
Q  c
m T
[Q] = J ('Energie')
mit
(WL - 1)
C
m : Masse, [m] = kg
c : spezifische Wärmekapazität [c] = J / kg K , Werte s.u.
C : Wärmekapazität eines bestimmten Körpers (= c m)
T : Temperaturdifferenz, [T] = K
Anmerkungen
- eigentlich müßte die Formel Q lauten
- Q nicht proportional T falls Phasenübergänge !
Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
Ausnahme: selbstständiges Abkühlen unter die Umgebungstemperatur
Bsp: Stein kühlt sich ab und hüpft mit der gewonnenen Energie hoch
(2. Hauptsatz Thermodynamik)
Mischungstemperatur
Bringt man verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur, spez. Wärmemenge etc.
miteinander in Kontakt, so stellt sich die sogenannte Mischungstemperatur aufgrund der
Energieerhaltung ein:
mit m : Masse
c : spez.Wärmekapazität
T : Temperatur vor Mischen
Beispiel
TMisch 
c1 m1 T1  c 2 m2 T2  ...
c1 m1  c 2 m2  ...
(WL - 1')
heißes (80°C) und kaltes (20°C) Wasser (je 1 kg) zusammengießen:
4,2
TMisch 
kJ
kJ
 1 kg  353K  4,2
 1 kg  293K
646K
kgK
kgK

 323K  50 C
kJ
kJ
2
4,2
 1 kg  4,2
 1 kg
kgK
kgK
Übungsaufgabe: Welche Temperatur messen Sie, wenn Sie in 1l 80°C warme Luft einem
10g schweren Eisen-Temperaturfühler mit der Temperatur von 20°C bringen?
‚Unberechenbar’ : Ort und Temperatur der einzelnen Wassermoleküle zu jedem Zeitpunkt
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111
Bsp.: Elektrische Energie (Arbeit, Work)  Wärme (Heat)
z.B. Herd oder elektrische Geräte mit der Leistung Pel = U I : W el = U I t = Q
zu erwarten ist eine lineare Zunahme der Temperatur mit der Zeit:
U I t = c m T  T ~ t
Dies wird experimentell nicht beobachtet (s.u.) !
Gründe:
- Wärmeabgabe durch Wärmedurchgang durch Gehäusewand, Lüfter, Abstrahlung, ...
- mögliche Phasenübergänge
Die Meßkurve läßt sich sehr gut mit einer e-Funktion anfitten, d.h. vgl. Ladekurve RC-Glied
Aufheizen einer LCD-Anzeigetafel
T /°C
lineare Zunahme
Gleichgewichtstemperatur
50
45
Messung
40
35
exp - Fit
30
25
0
10
20
30
40
50
60
T nach Einschalten /min
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112
Bsp.: Kinetische Energie in Wärme (Übung)
Auto bremst von 108 km/h auf 0 km/h mit ABS (nicht blockierend)
Ekin  Q

1
m v2  Q
2
Folge: Bremsscheibe wird heiß, aber wie ändert sich hier T ?
aus (WL - 1)
Q  c m T  T 
Werte:
Q
cm
mauto = 1000 kg
mBremsscheibe = 2 kg
v = 30 m/s  0 m/s (Achtung, siehe W kin)
ceisen = 500 J/kgK

T 
mAuto v2
2 c mBremsscheibe
Einheiten:

Achtung:
kg2 m2 K
K
s 2 J kg

kg m2 
 J 

s 2 

T  450 K
Dieser Effekt tritt auch bei langen Passabfahrten ohne Motorbremse auf, bzw.
bei Autorennen mit vielen Kurven !
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113
4.2.1 Spezifische Wärmekapazität (Specific Heat Capacity)
es gilt:
- cp (p = const)
- cV (V = const)
- c = c(T)
- c(0K) = 0
für Festkörper und Flüssigkeiten cp  cV  c
für Gase
cp > cV
Material
c/
Eisen
J
@ T  300 K
kg K
500
Holz
2.000
Wasser
4.200
Luft
cp
1.000
cV
720
Bestimmung (Messung) der spezifischen Wärmekapazität z.B. durch Mischungsexperimente
(siehe Formel WL-1’ mit Dewar-Gefäß)
Wärmekapazität eines Systemes, z.B. Gehäuse, Dewargefäß
C=cm
mit C = C1 + C2 + ...
=
Q
T
Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell
bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet
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114
Materialien besitzen spezifische Eigenschaften, die bei Temperaturänderungen oder anderen
Wärmeeffekten zum Tragen kommen, siehe nachfolgende Tabelle.
Wärmeeigenschaften ausgewählter Materialien
Hier nur ungefähre Werte aufgeführt !
Spez. Wärmekapazität (300K) /
Luft : 1
kJ
kg K
Aluminium
Eisen
Gold
H20
0,90
0,45
0,13
4,2
650
1.500
1.060
0
400
280
70
967
946
205
2.500
2.700
2.700
100
11.000
6.300
1.700
2.250
23
12
14
kJ
kg K
Schmelztemperatur /°C
spez. Schmelzwärme q
/
kJ
kg
Wärmemenge, um 1 kg von
Zimmertemperatur zu schmelzen /kJ
Siedetemperatur /°C
spez. Verdampfungswärme r /
kJ
kg
linearer Ausdehnungskoeffizient
106
/
K
Volumenausdehnungskoeffizient
 /
1
K
Festkörper
10-5
Flüssigkeiten
10-4
Gase
10-3
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330
115
Bsp.: Geräteerwärmung (Übung)
Wie lange braucht ein elektrisches Gerät zum Aufheizen auf eine maximal erlaubte
Temperatur ?
Leistung am Transistor (TO-3, Metall): U = 3V , I = 1A
Kunststoffgehäuse 1l Luft ,  = 1,2 g/l
To = 25°C, Tmax = 75°C -> T = 50K
Welektrisch
=
QWärme
UIt
=
c m T
→
T 
Q
cm

t
t
c Luft mLuft T
UI
1000 0,0012  50
s = 20 s
31

stimmt das ???
- Einheit: [ t ] 
Bem: -
J kg K 1
Ws

s
kg K 1 1 VA
W

t gemäß Erfahrung größer: Aufheizen von Transistor (Metall) und Gehäuse
(Kunststoff) sowie Wärmeabstrahlung und Wärmeleitung des Gehäuses
vernachlässigt, es wurde nur Erwärmung der Luft im Gehäuse berechnet !
(siehe oben, Aufheizen LCD-Tafel)
-
Rechnung mit Metall (10 g) und Kunststoff (100 g):
t
c M mM  c K mK
 c L mL  T
U I
 1800s  30 min.

450 0,01  1000 0,1  1000 0,0012 50 s
3
(Ausklammern von T erlaubt, da ‚Alles’ dieselbe Temperatur hat)
- Wärmeleitungsverluste (Thermisches Gleichgewicht) berücksichtigen
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116
4.3.1 Phasen
fest
flüssig
gasförmig
Form
definiert
Beliebig
bel.
Volumen
def
def.
bel.
Bsp
Metall
Wasser
Luft
Weitere Phasen : flüssigkristalline - und Plasma - Phase
Ohne diese beiden gäbe es wohl keine flachen Displays!)  Weiterlesen
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117
4.3.2 Phasenübergänge (Phase Change, ~ Transition)
Phasenübergang
T steigend
T fallend
Fest (solid)- flüssig
Schmelzen (melting)
Erstarren (solodify)
Sieden (boil)
Kondensieren (condense)
Sublimation (z.B. Schwefel)
Desublimation
Flüssig (fluid) - gasförmig
fest – gasförmig (gaseous)
Sublimationswärme = Schmelz- + Verdampfungswärme
Energetische Betrachtung der Phasenübergänge
T
konstante Wärmemenge pro
Zeiteinheit wird ständig
zugeführt
Verdampfungs T
Versuche: Eiswasser, Wasser
Schmelz T
kochen, T bleibt eine zeitlang
konstant !
Schmelzwärme
Phasenübergang
T steigend
Wärmemenge aufwenden
T fallend
Wärmemenge wird frei
Schmelz-, Erstarrungswärme
Siede-, Kondensationswärme
Qsm = q m
Verdampfungswärme
Q bzw. t
(WL - 3)
Qsd = r m
q : spez. Schmelzwärme [q] = J/kg Werte siehe Tabelle Wärmeeigenschaften (s.o.)
r:
"
Verdampfungswärme
m : Masse
Anwendung : Wärmepumpe
- ext. Wärmeaufnahme: niedrigverdampfende Flüssigkeit
- int. Wärmeabgabe : Kondensation an Heizflüssigkeit Kondensationswärme wird frei !
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118
Zur Info: Druck - Temperatur - Abhängigkeit
Bsp: H2O
p /Pa
Schmelzdruckkurve
10
Wasser
6
Dampfdruckkurve
" 1 at "
Wasserdampf
Eis
10
kritischer
Punkt
2
Tripelpunkt
Sublimationsdruckkurve
1
-100
0
100
300
T /°C
Anmerkungen:
Sublimationsdruckkurve
Eis  Wasserdampf; Beispiel Trockeneis
Schmelzdruckkurve
nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen
Dampfdruckkurve
T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T
als am Meer, Kavitation bei Schiffsschraube
Tripelpunkt
alle 3 Phasen existieren
H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa
kritischer Punkt
nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich Gase
durch
Druck verflüssigen
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119
Schmelzen kann lange dauern bei guter Wärmeisolation:
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120
4.4 Zustandsgleichungen (Constitutive Equitation)
4.4.1 Ideales Gas
Gilt nur für hohe Temperaturen,
pV=nRT
da T  0 V = 0 bedingt
(WL - 4)
Mit - R = 8,3 J/Kmol Allgemeine Gaskonstante
- n : Stoffmenge, [n] = mol
- T : Temperatur in K
Messverfahren siehe rechts, im Schlauch
befindet sich eine Flüssigkeit
JAVA Applett: Zustandsänderungen eines idealen Gases
4.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper
allgemein : V = V(T,p)
d.h. Fkt mehrerer Veränderlicher: Linearisierung als Näherung
Volumenveränderung
V(T,p) = Vo ( 1 +  T -  p)
(WL - 5)
mit :
Vo, To, po : Ausgangszustand laut DIN bei 20°C (293 K)
V, T, p : aktueller Zustand
T = T - To
p = p - po
Achtung:  = Aktueller Wert - Ausgangswert
 : Volumenausdehnungskoeffizient [] = 1/K, hier isotrop d.h.   (x) angenommen !
 : Kompressibilität [] = 1/Pa
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121
- Prinzipiell können diese Parameter richtungsabhängig sein, wie z.B. bei Verbundstoffen !
-  und  sind Temperatur-abhängig !

Typische Werte

/1/K
/1/MPa
Festkörper
10-5
1
Flüssigkeiten
10-4
100
Gase
10-3
10.000
T und p verursachen V
Maschinenbau: Gehäuse: V = const: T  p  Kraft F : Spannungen
E-Technik: T-abhängige Parameter z.B. Widerstand
 in 'einem Gerät / Schaltung' nur Materialien mit gleicher T-Abhängigkeit verwenden!
Näherungen:
Volumenveränderung
V(T) = Vo ( 1 +  T)  Vo ( 1 + 3 T)
(WL – 5’)
bei konstantem Druck,  : Längenausdehnungskoeffizient
Geometrie
Bei langgestreckten Gegenständen,
z.B. Stäben kann man vereinfachend
nur mit der Längenausdehung
rechnen oder falls nur eine Richtung
für die Aufgabenstellung relevant ist.
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122
L(T) = Lo (1 +  T)
Längenausdehnungskoeffizient
(WL - 6)
(Thermal Coefficient of Expansion, TCE)
[] : / 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C
-  ist temperaturabhängig, z.B. Platin (siehe unten)   = (T)
Tabellen meist für 20°C, da WL - 6 lineare Näherung !
- Materialwerte siehe Tabelle
Bem.:
- Concorde bei Mach 2,2:
L  30 cm
bei ca. 50m Länge
- Blackbird-Triebwerk (re.)
- (WL - 6) ist eine lineare Näherung (Polynomentwicklung) !
- Längenausdehnung
L(T) = Lo (1 +  T)
- Hookesches Gesetz
F(x) = (0 + Dx)
- E-Technik
R(T) = R25 (1 +  T)
Polynome werden zum Anfitten an experimentelle Werte verwendet. Diese linearen
Gleichungen gelten nur für einen bestimmten und engen Bereich.
Will mans genauer wissen: höheres Polynom, z.B. Platin : 6. Grad !
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123
Unterschiedliche Ausdehunungskoeffizienten führen zum Bruch bzw. Materialermüdung:
Thermische Ausdehnung bei IC
(-65°C ... +150°C)

/ 10
-6
K
l
/ µm
Vergußmasse
20
43
Polyimid
Silizium
Kleber
Träger
40
3,5
40
86
7,5
86
17
37
10mm
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124
4.5 Wärmetransport (Heat Transport)
Art
Charaktristik
Wärmestrahlung
(thermal radiation)
Bsp
em-Strahlung (meist IR)
Wärmeströmung
(thermal flow)
Sonne, Mikrowelle, Lagerfeuer
Konvektionsheizung (z.B. Luft), PC-
Materialtransport
Lüfter, Meer: kaltes Wasser unten,
(Konvektion)
oben warm
Wärmeleitung
(thermal conduction)
erwünscht
Energieübertragung
: Kühlkörper
unerwünscht : Thermoskanne
Statt ‚thermal ...‘ wird im Englischen auch oft ‚heat ...‘ benutzt.
4.5.1 Wärmestrom (Thermal Flow)
Wärmestrom
auch Wärmeabgabe

mit Q = c m T
vgl. mit Strom und Ladung
 J  W
s
 Leistung
Q dQ 

Q
t
dt
(WL - 8)
 T  c m T  c m T
  cm
Bsp.
|
Lüfter
|
Statisches
Abkühlen
|
z.B. Gase, c(T)
oder Phasenübergang
zeitliche Abhängigkeit analog Kinematik !
  0, c  0 ) : Q = 90 J in t = 15 s   = 6 W
Bsp: - abkühlender Körper ( m
- Gehäuselüfter mit permanentem Massenstrom 5 l/min, T = 20 K ( T  0 )
  dm  m  5 l , Wärmekapazität konstant : c  0
m
dt
t
min
 T  1000
  cm
J
kg
 0,0012 5
 20K  2 W
kgK
60 s
Solarkonstante (Äquator, senkrechter Einfall): qsolar =

= 1,35 kW/m²
A
(Deutschland 0,7 kW/m²)
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125
Analogie Wärmelehre - E-Technik
Transport von 'Wärmeteilchen' im Vergleich zu geladenen Teilchen
Die treibende Kraft für den Transport ist eine Potential- bzw. Temperaturdifferenz !
Wärmelehre
E-Technik
(Gleichstrom)
T
U
Potentialdifferenz

I
Strom
Rth
R
Widerstand
R th 
T

R

1
R th
G
T-Differenz
Wärmestrom
Wärmewiderstand
Wärmeleitwert
1
eines Kühlkörpers'
R thges

Leitwert
1
R
Rth ges = Rth
Rges = R
Serienschaltung
1
1

 ...
R th1 R th2
1
1
1


 ...
Rges R1 R2
Parallelschaltung
C
Kondensatorkapazität
Mehrere Schichten
'Vergrößerung
Ohmsches Gesetz
U
I
Wärmekapazität
C
(Serien- und
Parallelschaltung
entsprechend)
Gehäuse
Isolierscheibe
Kühlkörper
Luft
Betrachtung nur in diese Richtung
THL
TGeh.
TIso
TKk.
TLuft
Pel
RLast
= Abgabe an
Umgebungsluft
C : Wärmekapazität, R : Wärmewiderstand
Vergleiche mit Aufheizkurve (S. 104) mit der Ladekurve U(t) der
Kondensatorspannung eines RC-Schaltkreises.
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126
2 Fälle des Wärmestroms :

permanente Wärmeentwicklung
‚leicht‘ zu berechnen, d.h. (Wärme-) Kapazitäten werden vernachlässigt, nur Widerstände
berücksichtigen.
Annahme, dass der Aufwärmvorgang abgeschlossen ist.
Typische Aufgabe: - Berechnung der Gleichgewichts-Temperatur
- Berechnung eines Kühlkörpers

Einschalt- und Abschaltvorgänge
‚komplexer‘, meist nur interessant bei kurzen Betriebsdauern (‚Ladezeit‘, danach Fall
‚permanent‘), z.B. HF-Teil Handy, da typischerweise 5 min. in Betrieb. Vgl. RC-Verhalten
bzw. Einschalten LCD-Tafel
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127
4.5.2 Wärmestrahlung (Thermal Radiation)
auf der Erde in Luft und Wasser für kleinere Körper (z. B. ICs) meist vernachlässigbar
im All: Wärmeabgabe nur über Strahlung möglich
Bsp: Astronauten müssen mit Flüssigkeit gekühlt werden, da der Körper mehr Wärme
erzeugt als durch Strahlung abgeführt werden kann, also ‘Wärmetod’ nicht ‘Kältetod’ !
Plancksches Strahlungsgesetz
gilt genau genommen nur im All
    A T4
(WL - 9)
mit
 = 5,7 10-8
W
m2 K 4
(Stefan-Boltzmann - Konstante)
 = Emissionsvermögen : schwarzer Kühlkörper   0,9 ... 0,95 , weiße Fläche   0,5
A : Fläche des Schwarzen Körpers /m²
[T] = K
Achtung: Näherung, gilt nicht, wenn Wände etc. in der Nähe sind!
Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die
Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender
Temperatur (Strahlung) zu erkennen: Rot
(600°C) - Gelb (1100°C) - Weißglut (1300°C)
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128
5.3 Wärmeströmung (Thermal Flow)
- Transport von Materie, d.h. Wärmetransport durch Teilchentransport !
- meist aktiv, z.B. mit Lüfter oder Pumpe betrieben.
- Konvektion: Strömung durch Dichteunterschiede, z.B. warme Luft steigt auf
Wärmeströmung
 : Massenstrom (vgl. Impuls)
m

T : T-Differenz ausströmende - angesaugt Luft
 Q dQ
 cm
 T

Q
t
dt
(WL - 10)
bzw. Flüssigkeit oder Gas
Man kann mittels der transportierten Stoffmenge (z.B. Luft bei Lüfter, Angabe in m³/min) den
Wärmestrom berechenen:
Bsp: Wieviel Verlustleistung kann ein Lüfter aus einem elektrischen Gerät transportieren ?
Lüfter mit 0,1
m3
min
Beispiel Lüfter-Spec
Luft : T = 30 K
(ausgeblasene eingesaugte
Temperatur)
Dichte : 1,2 kg/m³
 T
=c m
J 0,12 kg
= 1000
30 K
K kg 60 s
= 60 W
Bestellbezeichnung:
Abmessungen:
a x b (mm)
40 x 40
Bautiefe:c(mm)
25
d (mm)
32
e (mm)
4,5
Nennspannung
VDC
24
Volumenstrom m ³/h
165
Luftdruck mm H2O
7,2
Stromaufnahme mA
340
Geräuschpegel dBA
44
Lagerungsart
Kugellager
Temperaturbereich
-10 ... + 70
°C
Lebensdauer
in h bei 25°C
51.000
Lebensdauer in h
bei 70°C
40.000
Zulassung
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0410N-12
UL/CSA/TÜV
129
Anwendungen:
In Schaltschränken ist die Temperatur ‚oben‘ am höchsten (Bauteile-Belastung !). Deshalb
sollten oben (Abluft) und unten (Zuluft) Lüftungsschlitze angebracht sein. Zu beachten ist
aber eine ‚Verschmutzung (Staub) des Gerätes und eine erhöhte Wasserempfindlichkeit.
Achtung : Bei erhöhten Umweltanforderungen (z.B. wasserdicht) kommt eine Wärmeabfuhr
durch Lüftung (Massestrom) nicht in Betracht. Die Wärmeleitung und die maximal erlaubte
Bauteiltemperatur bestimmt dann maßgeblich die maximal erlaubte elektrische
Verbrauchsleistung !
4.5.4 Wärmeleitung (Thermal Conduction)
Metall fühlt sich ‚kälter‘ als Holz in einem 20°C warmen Raum an obwohl beide Gegenstände
gleich warm sind. Grund: Metalle haben eine höhere Wärmeleitfähigkeit und transportieren
so die ‚Wärme‘ der Finger schneller ab, die (wärmeren) Finger kühlen sich also ab.
Hauptfälle :
- Wärmeleitung durch eine Wand sowie von Festkörper auf Fluid
- Wärmedurchgang durch eine Wand
- Wärmeabgabe eines Körpers durch Abkühlen bzw. bei 'ständiger' Heizung
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130
4.5.4.1 „Reine“ Wärmeleitung durch Wand
Welcher Wärmestrom fließt durch eine Wand bzw.
TA
welche Leistung wird durch eine Wand in
Abhängigkeit vom Temperaturgefälle transportiert ?
s
A TB
T U
Achtung : Das folgende beschreibt nur einen
T
A
Teilaspekt der Wärmeübertragung durch eine Wand,
T
B
R
Analogie
s
vollständig s.u. !
Wärmestrom analog Ohmschen Gesetz :
x
U
T
I  
R
R th
Hieraus folgt
Wärmewiderstand
[Rth] =
K
W
Rth 
s : Wanddicke, A : Fläche
 : Wärmeleitzahl, [] =
W
Km
s
1

A kA
(WL - 11)
(Materialeigenschaft)
k : Wärmedurchgangszahl, k   ; Anwendung z.B: Baubranche
s
Wärmeleitung
Erhöhte Wärmeabgabe durch Vergrößerung der Oberfläche (Kühl-

T

 k A (TA  TB )  k A T  A T
R th
s
(WL - 12)
körper, Rippen bei Elektromotoren)
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131
Wärmedurchgangszahl „Normierung“ auf Dicke
W
[k] =
K m2
k
Wärmeleitzahl 
Material
Werte für 300 K !
Eis
2,33
Wasser
0,6
Luft
W
Km
Wärmedurchgangszahl k
(WL - 13)
/
W
K m2
0,025
Stahl
14
PVC
0,16
Kork
0,05
Ziegel
Glas
Beispiel:
/

s
1
1,5 (30 cm Hohlziegel)
0,8
5,6 (1 cm) (Doppelglas)
Wie stark muß die Heizung einer Studentenbude sein ?
Werte : Länge Außenwand 10 m (Ecke), 2,5 m hoch, 2 Außenwände, k = 1
W/Km²
Innenwände, Boden, Decke vernachlässigt, da Hochhaus
Temperatur 0°C außen, 20°C innen gewünscht
 = k A T = 1 W/Km² 25 m² 20 K = 500 W
Bei einer Wand aus mehreren Schichten wird einfach die
'Serienschaltung' (vgl. ET) angewendet:

Rthges = Rth1 + Rth2 + ...
'Parallelschaltung' :
1
R th ges

1
1

 ... (Vergrößerung der ‚Durchgangsfläche’)
R th 1 R th 2
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132
4.5.4.2 Wärmeleitung von Festkörper auf Fluid (Flüssigkeit, Gas)
Welche Wärmeleistung wird von einem
Festkörper auf ein Fluid abgegeben ?
A
FK
hier geht nur der Wärmeübergangskoeffizient
Fluid
T
TFK
des Fluids ein !
T
TFluid
T = TFK - Tfluid
x
Wärmestrom durch Übergang FK - Fluid
: Wärmeübergangskoeffizient, [] = W / m² K
   A T
(WL - 14)
 = (vfließ, Medium)
Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid
Rth 
s
1
vgl. Wärmedurchgangswiderstand Rth 

A kA
Metall - Medium
(WL - 15)
 / W/m²K
Luft : ruhend
3 - 30
langsam
30 - 60
schnell
60 - 300
Wasser
1
A
500 - 5000
Wärmeübergangskoeffizient
für strömende Luft längs einer ebener Wand
 6  4 v
 
0,78
 7  v 
für v  5 m s
für v  5 m s
multiplizieren mit Einheiten
Bsp: - Motor: Wodurch unterscheiden sich Luft – Wasserkühlung ? Vorteile - Nachteile, ...
- PC mit Wasserkühlung
Hier vernachlässigt: Wärmeübergang FK auf FK
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133
4.5.4.3 „Vollständiger“ Wärmedurchgang durch Wand
Wärmeübertragung von Fluid durch Wand (hier Verbundwand) an Fluid
Wärmeübergangskoeffizient von Wand 1 auf Wand 2 wird vernachlässigt.
Innenwand 1 : Wärmeübergangskoeff. 1
T
A
A
1

s1
s2
2
T
Wärmeleitung durch Wand 1 : Wärmeleitzahl 1
B
Wärmeübergang Wand1 - Wand 2 vernachlässigt
Wärmeleitung durch Wand 2 : Wärmeleitzahl 2
T

Außenwand 2 : Wärmeübergangskoeff. 2
innen
außen
x
I
Elektrisches Ersatzschaltbild mit Strom I  
- Wärmewiderstand als Serienschaltung : Rth ges = Rth überA + Rth durch1 + Rth durch2 + Rth überB
- Einzelwiderstände aus (WL - 15).
- Funktioniert ebenso mit 1 oder mehreren Wandkomponenten.
Wärmestrom innen  außen :  
T
T
A T


1
s
s
1
Rthges
 1 1 1 1
 1  2 
    
1 A 1 A  2 A 2 A
 1 k1 k 2 2 
Näherung : T des Gesamtsystems (ist aber üblich)
Beispiel (Übung): Zimmerwand (1 m² mit  = 6 W/m²K ) mit 30 cm dicken Ziegeln, (k = /s =
1 W/m²K) und 1 cm Gips (k = /s = 2 W/m²K) innen. Temperaturdifferenz von außen nach
innen 20 °C (20K).
Gesucht : Wärmestrom und Verlustwärme pro m² bzw. s ?
Wärmedurchgangswiderstand :
 1
1
1
1  1  1 1 1 1  m² K
K
         1
R thges  



 1,83
W
  1 k 1 k 2  2  A  6 1 2 6  W m²
 Wärmestrom pro m²
:  = T / Rth = 20 W / 1,83 = 11 W
 Verlustwärme pro m² und sec : Q =  t = 11 J
Bei 45 m² anrechenbarer Fläche und 2000 h p.a. Heizung einer Wohnung ergibt sich :
 = 500 W, Q = 1000 kWh, Heizkosten bei 0,4 €/kW : 400 € pro Jahr
Beispiel Studibude (S. 123): 25 m² bei  = 11 W entspricht ca. 275 W, nur ‚Wand’ ergibt 500 W
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134
4.5.4.4 Wärmeabgabe
Statisches Abkühlen
- es wird keine Wärme nachgeliefert
- T  const, gesucht: T = T(t) ?
Bsp: Eisenwürfel (Fe)
- Anfangsbedingung : T(t = 0) = 70°C = 343 K
Fläche des Würfels zur Luft hin:
Fe
30 cm
Luft ruhend
20°C
70°C
A = 5 * (0,3 m)² = 0,45 m²
Näherung:
isoliert aufgeklebt
- TEisen im Würfel räumlich konstant
- Umgebungsluft erwärmt sich nicht
- keine Volumenschrumpfung
- keine Wärmestrahlung
- Materialparameter seien T-unabhängig
- cFK >> cFluid
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135
Def.: Temperaturdifferenz : Tdiff = TEisen - TLuft
 = dQ / dt
einerseits:
 

T
R th
differentielle Schreibweise
(Rth ist hier der Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid)
dQ =  A Tdiff dt
(Wärmeleitung)
(i)
dQ : differentielle Änderung der Wärmemenge
Wärmeverlust in der 1. Minute für TKörper = const.
Q5
W
 0,45m²  50K  60 s  7 kJ
m² K
(vgl. mit Wärmestrahlung ! )
andererseits:
dQ = c m dTdiff
mit
(im Eisenwürfel gespeicherte Wärmemenge)
(ii)
c = 0,55 J/gK
m = V
Energieerhaltung : - Wärme kann nicht verschwinden
- Wärmeaufnahme der Luft = Wärmeverlust (-abgabe) des Eisenwürfels
 Summe aller Änderungen der Wärmemenge muß Null sein
dQ = 0 
mit (i) und (ii) folgt :
dQauf + dQab = 0
- dQEisen = dQLuft
Relevant (für „Wissen“ und Klausur): Ansatz & Ergebnis
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136
Berechnung der Differenztemperatur:
 c m dTdiff   A Tdiff dt


dTdiff
A

Tdiff
dt
cm
dTdiff
A

Tdiff
cm
 ln Tdiff  
 Tdiff  k e

vernachlässigt : - TLuft = TLuft (t)
DGL 1. Ordnung (Mathe 2)
 dt
A
t  C
cm
|e
A
t
cm
k aus Anfangsbedingung : Tdiff (t = 0) = TEisen(0) - TLuft (hier 50 K bzw. 50°C)

k = TEisen(0) - TLuft

Tdiff  (TEisen( 0) TLuft ) e
Tdiff
A

t
cm
t   : Tdiff  0  TEisen  TLuft
dann herrscht thermisches Gleichgewicht
TEisen(0)
TLuft
t
- Bestimmung von  (ggf. ln - Darstellung)
Anwendung :
- Hitzdrahtinstrument z B. als Luftmassenmesser in Vergasern
Strom um T zu halten ~ zur Geschwindigkeit (Eichung notwendig)
Vergleich mit Entladekurve RC-Glied
R : Abflußwiderstand (Rth) ≡ 1/A
C : Speicherelement (CEisen) ≡ c m
UC  Tdiff
UC  U0  e
T
E
is
e
n
C
E
is
e
n

1
t
RC
R
th
T
L
u
ft
R
L
u
ft
(k
le
in
,
K
u
rz
s
c
h
lu
ß
)
Benefit:
Aufgaben aus der Wärmelehre können mit Schaltungssimulations-Software gelöst werden !
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137
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11
138
Praktisches Beispiel (Übung):
In welchem Fall ist heißer Kaffee, welcher frisch in einen Styroporbecher gegossen wird nach
10 min. kälter ? Wenn die Milch sofort oder erst nach 10 min dazugegeben wird ?
Werte für t = 0:
Kaffee :
TK = 70°C , mK = 100 g
Milch :
TM = 10°C , mM = 10 g
TLuft = 20°C , cKaffee = cMilch = c
Wärmekapazität und -leitung der Styroportasse vernachlässigt
bzw. in TK enthalten (beim Eingießen war der Kaffee heißer)
a) Milch sofort hinein
Berechne TMisch
c mK T = c mM T , dann Abkühlen
cK mK (TK - TMisch) = cM mM (TMisch - TM) Kaffee wird kälter, Milch wärmer,
cK mK TK + cM mM TM = (cM mM + cK mK)TMisch
Mischtemperatur zweier Stoffe : TMisch 

TMisch 
W
; A  0,003m² ( Wasseroberfläche, da Kaffeetasse Styroporbecher demzufolg e vernachlässigt)
m² K
c  4200
J
; m  0,11 kg
kg K
const 
A
1
 6  10 5
cm
s

Tdiff  45,5 K  e  const.  t

Tdiff  45,5 K  e  0,04  44 K

TKaffee nach 10 min  64°C
b) Milch erst nach 10 min hinein

(WL - 1')
0,1 kg  343K  0,01 kg  283K
 337,5 K  65,5 C
0,11 kg
  10
mit
cK mK TK  cM mM TM
cK mK  cM mM
Tdiff  50K  e  0,04  48K
Erst Abkühlen, dann Mischen berechnen
 TK nach 10 min = 341 K = 68° C
Hier ist das Abkühlen während 10 min. schneller, da die Temperaturdifferenz größer ist !
TMisch nach10min 
0,1 kg  341K  0,01 kg  283K
 336 K  63 C
0,11 kg
Kaffee ist kälter, wenn man die Milch erst 'zum Schluß' dazugibt !
Weitere Überlegung: „Pusten“ erhöht Wärmeübergangskoeffizienten !
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139
Dynamische Wärmeabgabe = permanente Wärmeentwicklung und –abgabe (Bsp. Kochen)
Beispiel: Kühlkörper mit Transistor und ständiger Verlustleistung
Gleichgewicht : TKühlkörper = const.
(erreicht bei Abschluß des Aufheizprozesses, vgl. LCD-Tafel, s.o.)
Nebenbedingung : - großes Reservoir der umgebenden Luft, d.h. TLuft = const.
- kein Lüfter
Ziel:
Berechnung des thermischen Widerstandes Rth des Kühlkörpers
in Abhängigkeit von der (erlaubten) Bauteile- und der Umgebungstemperatur
(andere Aufgabenstellung : Berechnung der Gleichgewichtstemperatur eines elektrischen
Gerätes bei gegebenem thermischen Widerstand und elektrischer Verlustleistung)
Einerseits:
 
Q = U I t  dQ = U I dt    Q

U I

(*)
Verlustleistung P
mit U : Spannungsabfall am Bauteil
andererseits:

dQ 
T
Q
dt
R th
(**)
mit T = (erlaubte maximale bzw. gewünschte) Bauteiletemperatur - Lufttemperatur
 (*)  =  (**) :
UI 
T
R th
; R th 
T
PZufuhr
 Thermischer Widerstand des Kühlkörpers in Abhängigkeit von Leistung und Temperatur
R th 
TBauelement  TLuft
T
 TLuft
 Bauelement
; R th  R th Bauteil  R th Isolierung, Wärmeleitpaste  R th Kühlkörper
UI
Pelektrische Verlustleistung
Bemerkung:
- der Übergangswiderstand Kühlkörper - Luft 'steckt' in Rth
- Rth wird üblicherweise im Datenblatt angegeben (s.u.)
- Übergang Bauteil – Kühlkörper kann vernachlässigt werden, falls
(die dringend empfohlene) Wärmeleitpaste eingesetzt wird.
- TLuft stellt die maximal erlaubte Umgebungslufttemperatur dar,
danach ist der Kühlkörper auszulegen !
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140
Bsp: TBE = 60°C (commercial 0 ... 70°C), TLuft = 40°C , U = 1V , I = 1 A

R th 
TBauelement  TLuft
UI

20K
K
 20
1W
W
Praxis:
Rth
Rth (Kühlkörper) muß kleiner sein als Rth
(berechnet) wegen Kontaktwiderstand
(Rthcontact Reduktion durch Wärmeleitpaste)
etc.
/ K/W
30
1 mm Alu
10
5
2 mm Alu
1
hier: minimal 30 cm² Alu 2 mm dick
10
30
thermische Widerstand bei gleicher Fläche
A /cm²
Kühlkörperfläche
Rthcontact und PVerlust minimieren
Warum ist für 1 mm dickes Alu der
100
punktförmige
Wärmequelle
größer ?
Temperaturgefälle
Wegen der dünneren Materialstärke kann
die Wärme von einer punktförmigen Quelle
(z.b. Transistor) in der Mitte nicht 'so gut' in
Die Temperaturverteilung der Fläche ist
Richtung Rand abgeleitet werden.
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inhomogen
141
Einfaches Kühlkörperdatenblatt
nichtlinearer Zusammenhang :
- doppelte Kühlkörpergröße  halber thermischer Widerstand
Rth (50 mm) = 2,8 K/W aber Rth (100 mm) nicht Rth (50 mm)/2
- 'gilt auch für Preis'
Grund:
- Wärmeausbreitung von Punktquelle aus
- Luftströmungsverhalten des Kühlkörpers
(Einbauort und -lage beachten !)
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142
Maximal erlaubte Verlustleistung eines kleinen IC-SMD-Gehäuses in Abhängigkeit von der
- a) Umgebungstemperatur
- b) Luftgeschwindigkeit und Platinenkühlfläche
a) linearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und
Umgebungslufttemperatur mit Gehäusetyp als Parameter
b) nichtlinearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und Kühlfläche
mit Parameter Strömungsgeschwindigkeit für 25 °C (wenig praxisrelevant, da T meist
höher)
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143
Berechnungen und Simulationen zur Temperaturverteilung sind wegen der Vielzahl von
Parametern (Bauteile, Platine, Kühlkörper, Einbaulage, ...) und der dreidimensionalen
Verteilung (mechanischer Aufbau, ...) sehr aufwändig. Die Ergebnisse sind mit Vorsicht zu
genießen und sollten mit Messungen (z.B. IR bzw. Temperaturfühler oder –streifen)
untermauert werden.
Beispiel : Simulation einer DC/DC-Wandlerschaltung (http://power.national.com)
Die Schaltung ‚reduziert‘
eine Eingangsspannung
von 12 V auf 3,3 V und
liefert ca. 2,5 A
Ohne Kühlkörper
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144
Mit Kühlköper
Die heißesten Teile sind die Diode und der IC. Durch den Kühlkörper sinkt die Temperatur
‚nur‘ um 3 – 6 °C. Die lateralen Abmessungen der Platine erhöhen sich um jeweils ca. 12 mm
! Der Aufwand scheint hoch, es gilt aber zu beachten, daß bei einer Umgebungstemperatur
von ‚nur‘ 30°C bereits Bauteile-Temperaturen von 60°C erreicht werden.
Temperaturen /°C
Diode
Kühlkörper
IC
Ohne
Mit
Ohne
Mit
Umgebungs-
30
62
56
61
57
Temperatur
50
82
78
78
73
Zu beachten ist, daß die Simulation mit der Stromversogrung als einziges Bauteil
durchgeführt wurde – in einem abgeschlossenen Gehäuse mit Verbrauchern erhöht sich die
Temperatur, so daß hier mit einer ‚inneren‘ Umgebungstemperatur im Bereich 50°C zu
rechnen ist. Kommerzielle Bauteile (0 ... +70°C) kommen dann bereits nicht mehr in Frage !
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145
Zur Info: Kleine Formelsammlung zur Elektronikkühlung (www.flomerics.de)
Luftaustrittstemperatur aus einem zwangsbelüfteten Gehäuse
P
TAustritt  TE intritt  3,1 
V
T : Lufttemperatur /°C
TAustritt
P : Elektrische Verlustleistung /W
V : Volumenstrom des Lüfters /m³/h
TEintritt
Mittlere Lufttemperatur in einem geschlossenen Gehäuse
TInnen  TAußen 
P
k Ak
T : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
k : Wärmedurchgangszahl, typisch k = 5,5 W/m²K
Taußen
Tinnen
Ak : Wärmeübertragende Gehäusefläche (DIN 57660)
Homogen bestückte Leiterplatte in freier Konvektion
Mit Strahlung :
P
TPlatte  TUmgebung  0,1  
 A
0,86
P
Ohne Strahlung : TPlatte  TUmgebung  0,3  
 A
TPlatte
0,80
TPlatte : Durchschnittstemperatur der Platine /°C
TUmgebung : Lufttemperatur /°C
P : Elektrische Verlustleistung /W
A : Fläche der Platine /m²
TUmgebung
Temperaturänderung bei Wärmedurchgang
TWarm  TKalt 
d
P
A
T.. : Temperatur /°C
P
Twarm
d : Schichtdicke /m
 : Wärmeleitfähigkeit des Schichtmaterials /W/mK
P : Wärmestrom durch Fläche A /W
d
Tkalt
A : Fläche des Wärmedurchganges /m²
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146
4.6 Thermodynamik (Einführung) (Thermodynamics)
Im Wesentlichen zum Weiterlesen, Relevantes ist mit Rahmen „markiert“
Aufgabe :
Beschreibung makroskopischer (c, , , k, ...) Materieeigenschaften durch
physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.
Beispiele : spezifische Wäremleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …
Grundlage
Statistik, da sonst pro Mol ca. 1025 Gleichungen zu lösen wären !
Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad
1
2
k B T  c = c(T)
c1atomig = 32 k B T
:
3 x Translation, z.B. He
c2atomig = 52 k B T
:
3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2
4.6.1 System-Definitionen
Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch
Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden
können.
System
Definition
Formel
keine Wechselwirkung (Ww)
Ab-
oder Materieaustausch
geschlossenes (Teilchenzahl konstant) mit
System
Technisch angenähert
- Eges = W = const
- n = const.
durch Dewar-Gefäß
(Thermoskanne)
der Umgebung;
kein Wärmetransport
Gesamtenergie (mechanisch,
durch Strahlung oder
elektrisch, ...) konstant
Wärmeleitung
Geschlossenes Energieaustausch mit der
System
Beispiel
Umgebung zugelassen,
jedoch kein Materieaustausch
Offenes
Energieaustausch und
System
Materieaustausch mit der
Umgebung zugelassen
- Eges = W  const.
- n = const
- Eges = W  const
- n  const
Wärmebad,
Kühlkörper
Gehäuse mit Lüfter
wie geschlossenes
System mit
Materialtransport
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147
4.6.2 Zustands-Definitionen

Gleichgewichtszustand
- Zustand, welcher sich von selbst einstellt
- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)
Bsp: Thermisches Gleichgewicht:
Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt
(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt
(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),
z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)

Stationärer Zustand
wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß
Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr
- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)
Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)
In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es
werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badwanne
befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.
Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.
Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die
zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können beispielsweise
mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in Kaffee gießen
ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor Gleichgewichtsverteilung).
Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw. 40
°C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen irreversiblen
Prozeß (s.u.) dar.
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148
Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)
Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende
Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen
Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.
Dieser Prozeß, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Meßergebnis :
Konkretes Beispiel : Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung
bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K
aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:
c L mL TL  c F mF TF
c L mL  c F mF
aus (WL - 1')
TMisch 
hier : - Luft
mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK
- Fühler

mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK
TMisch 
1,2  330  5  300
K = 306 K
1,2  5
Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !
Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach T L
auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,
Messgenaiugkeit relativ gering.
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149
4.6.3 Hauptsätze der Thermodynamik

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch
untereinander im thermischen Gleichgewicht.
Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch
(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.
Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen !
Thermisches
Gleichgewicht
Dies gilt auch für
mehrere Körper
(Systeme).
Achtung : Die
Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht
‚Umwelt’ ist hier
nicht betrachtet !

Zur Verdeutlichung als Ring →
Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik
Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen
Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und
der Wärme Q :
U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :
Innere Energie
= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'
dU = dW + dQ
(WL - 16)
dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird
dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm
Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!
(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)
Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik : Entladen Akku (reversibel), Batterie
(irreversibel)
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150

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von
einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).
Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer
Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).
Folgerung:
Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art
Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden
('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')
physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)
Entropie (Entropy)
dS 
S  J
K
dQ
T
(WL - 17)
Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'
Fälle: dS = 0 reversibler Prozess, kann in beide Richtungen ablaufen
dS > 0 irreversibel, Prozess läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu
dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur
durch Energieaufwand erzeugt werden !
Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum
der Entropie gekennzeichnet ist.
Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein
fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)
Alle Naturvorgänge verlaufen so, dass die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme
zunimmt.
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151
Beispiele :
- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu
- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest
der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr
'gesagt' werden (s.o.)
Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes
dS  0

(WL - 18)
Dritter Hauptsatz der Thermodynamik
Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null:
S(0K) = 0 J/K
Folgerungen:
- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null
c (T=0) = 0
- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord'  10-6 K
4.6.4 Zustandsänderungen

reversibel
Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß
Energiezufuhr notwendig ist.
Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku

irreversibel
Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom
Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.
Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme
2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand
ist nicht mehr möglich (s.o.) !
- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr
kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden
- Entladen Batterie
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11
152
4.6.5 Thermodynamik Idealer Gase
reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz
V2
Wrev   p dV
für p V = n R T
Zustandsänderung
(WL - 19)
V1
Gleichung
p - V - Diagramm
p
Isochor
p
 const.
T
V
p
Isobar
V
 const.
T
V
p
Isotherm
Hyperbel p~1/V
p V = const.
Boyle Mariotte
V
p
Adiabatisch

hier  
cp
p V = const
cv
5
einatomiges Gas:  
3
Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11
adiabatisch
isotherm
V
153
Zustandsänderung
Isochor
isobar
isotherm
adiabatisch
polytrop
Bedingung
V = const
p = const
T = const
S = const
pV = const
dQ = 0
Beispiel für Ideales Gas:
Temperaturänderung in
'Luftpumpe'
einem Behälter
(frei) bei äußerer
schnelle Prozesse
Wärmebad
Dewar-Gefäß
T-Erhöhung
Wärmeenergie
Q = cv m T
in nichtisolierten
Systemen
Q = cp m T
Q=W
Q=0
W = p V
W = p V
W = - cv m T
dU = dW + dQ
dQ = dW
dU = - dW
W=0
V2
Arbeit Wrev   p dV
V1
1. Hauptsatz
(keine mechanische
Arbeit, da V = const))
dU = dQ
: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient
dU = dW + dQ
 = 0 isobare Prozesse
 = 1 isotherme "
   isochore
"
sonst adiabatisch
Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 12.12.2011 21:22:00
154 / 247
4.6.6 Carnotscher Kreisprozeß (Carnot Cycle)
periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozeß als
Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor
Isotherm: T = const,
p
isotherme Expansion
d
p
a
adiabatische
Kompression
1
(Hyperbel)
V
T hoch
b adiabatische
Expansion
adiabatisch: pV = const,
T  const
c
isotherme Kompression
T niedrig
V
Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !
Lernziel: „Wissen, dass es Carnot gibt + Grundprinzip“
Teilzyklen:
Beschreibung
a
U = 0
Innere Energie konstant
Wärme wird zugeführt
(Isothermal heat supply)
b
Formel
V 
  Q  N kB T ln  2 
 V1 
durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U
entnommen, T sinkt
W = U = cv m T
(isentropic expansion)
c
wie a, nur Wärme wird abgegeben
(Isothermal heat rejection)
d
wie b, nur T steigt (isentropic compression)
nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein   S 
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010

dQ
0
T
155
dQ
; S 
Definition : Entropie d S 
T
b
dQ
T
a

Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge
Energiebilanz
W = - Q
im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge
Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt
Wirkungsgrad
 1 
[T] = K
Tniedrig
Thoch
1
(WL - 20)
Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen
reale Maschinen : real < carnot
Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen
kalten und heißen Medien.
Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor
Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :
Tniedrig
 1
300 K
 95 %
6.000 K
- Durch Sonnenstrahlung erwärmte Solarzelle :   1 
400 K
 93 %
6.000 K
- Solarzelle bei Raumtemperatur :   1 
Thoch
Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren
Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr
versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
156
Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor (nur zur Info)
Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge
Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen
in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit
Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel
eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die
Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
157
Der Kreisprozeß im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozeß angenähert
werden:
I
Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der
Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2
II
isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten
Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird
III
adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1
IV
isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem
zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und
Temperaturausgleich abgewartet wird
p - V – Diagramm des Kreisprozesses
p
3
II
Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die
Anfangszustände der vier Teilprozesse
2
W
III
4
I
V2
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
1
IV
V1
V
158
Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse
'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder
V1 = 1,5 dm³
V1
8
V2
- Kompressionsverhältnis

- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft
T1 = 303 K
- Umgebungsdruck der angesaugten Luft
p1 = 1 bar
- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches
T3 = 1973 K ,  = 1,4
- cV konstant angenommen
Anfangszustand
1
2
3
4
V /dm³
1,5
0,1875
0,1875
1,5
p /bar
1,0
18,38
52,10
2,84
T /K
303
696,1
1973
858,9
Prozeß
I
Berechnung obiger Tabellendaten
p1 V1  p2 V2 ; p2  p1    1 bar  81,4  18,38 bar
V 
T2  T1  1 
 V2 
II
III
IV
p3  p2
 1
 T1    1  303 K  80,4  696,1 K
T3
1973,0 K
 18,38 bar 
 52,1 bar
T2
696,1 K

V 
p
52,10 bar
p4  p3  3   3 
 2,84 bar

81,4
 V4 
T4  T1
p4
2,84 bar
 303K 
 858,9 K
p1
1 bar
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
159
Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm
Arbeit
W  Q23  Q41
Aufgenommene Wärmemenge
Q23  m c v T3  T2   0
Abgegebene Wärmemenge
Q41  m c v T1  T4  0
Wärmekapazität des Arbeitsgases
Cv  m c v
Mit : m 
Cv 
p V c
p V
cv
p V 1
p1 V1
 1 1
; Cv  1 1  v  1 1 
T1 Rs
T1 cp  c v
T1   1
Rs T1
105 1,5 103 Nm3
J
 1,238
2
303 1,4  1 K m
K
Wärmemengen :

Q23  1,238
Nm
 1973 696,1 K  1580,3 J
K
Q23  1,238
Nm
 303  858,9 K  688 J
K
W  1580,3 J  688 J  892,3 J
Leistung des Viertakt – Motores bei einer Drehfrequenz f  4500 min1
P  W 
f
4500
 892,3 J
 33,5 kW
2
60  2 s
denn W wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
160
Wirkungsgrad rev einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :
Thermodynamischer Wirkungsgrad
rev 
T3  T1 1973  303K

 84,6 %
T3
1973K
Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors :
Effektiver Wirkungsgrad   W
Q23
 1
Q41
T T
892,3 J
 1 1 4 
 56,5 %
Q23
T3  T2
1580,3 J
aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:
folgt
 1
I
V 
T1  T2  2 
 V1 
III
V 
T4  T3  2 
 V1 
I – III
T1  T4  V2 
 
T2  T3  V1 
 1
 1
 1
1

 1
 1
1
 56,5 %
80,4
Der Wirkungsgrad  hängt nur vom Kompressionsverhältnis  ab !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
161
Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm
geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern
Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,
weil S eine Zustandsgröße ist.
Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :
Abgabe bei T3 = konst.:
S3  
Q23
1580,3 J
J

  0,801
T3
1973 K
K
Aufnahme bei T1 = konst.:
S1  
Q41 688 J
J

 2,271
T1
303 K
K
Resultierende Entropie – Erzeugung:
S  S1  S3  2,27  0,80

J
J
 1,47
K
K
S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
162
Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV
Adiabatische Prozesse I und III
S = 0
Isochore Prozesse
T 
SII  Cv ln  3 
 T2 
T 
SIV  Cv ln  1    SII
 T4 
mit Division von
V 
T1  T2  2 
 V1 
 1
durch
V 
T4  T3  2 
 V1 
 1
siehe Wirkungsgrad
T1 T2

T4
T3
erhält man

SII  1,238
J  1973K 
J
  1,29
 ln
K  696,1K 
K
Entropie S(T) – Temperatur -
S
III
Diagramm
IV
II
Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt
zu sein. Die Kurven II und IV laufen
I
proportional zu ln(T)
T1
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
T2
T4
T
T3
163
Übungsblatt Wärmelehre
1. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 +  T)³  Vo ( 1 + 3 T)
2. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen
‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C
( = 10 10-6 1/K) ?
28 mm
3. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m . Es
wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wie viel höher steht das Wasser
nach dem Aufwärmen auf 30°C ( = 0,18 10-3 1/K) ?
36 mm
4. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem
Tauchsieder erwärmt.
a) Welche Energie muss dem Wasser zugeführt werden ?
75 MJ
b) Wie viel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das ?
21 kWh
5. Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:
a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?
b) Wie viel Liter Luft muss mindestens vorhanden sein, damit der Messfehler bei
Bedingungen wie im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
164
5. Mechanik Deformierbarer Medien
Deformierbare Medien: Körper, welche sich unter dem Einfluß äußerer Kräfte verformen (können).
5.1 Einteilung
Phase
Statik
Dynamik
Modellkörper
Deformation
Schwingungen
deformierbarer Festkörper
(Lineal)
(Lineal an Tischkante)
Hydro-
Hydro-
(Auftrieb Ball in Wasser)
(Wasser in Rohr)
Aero-
Aero-
(Heißluftballon)
(Flugzeug)
fest
flüssig
gas
Ideale Flüssigkeit (*)
Ideales Gas
(*)
(*) reibungsfrei
Zusammenhang zwischen Modellkörper - Form und Volumen
Bsp: Stab, Wasser in Glas, Ballon drücken
Modellkörper
Verschiebbarkeit der Teilchen (Moleküle, Atome)
Festkörper
keine
Deformierbarer FK
‘schwer’
Ideale Fl. + Gas
Modellkörper
reibungsfrei
Form
Volumen
Beispiel
Def. Festkörper
definiert
def.
Lineal
Ideale Flüssigkeit
beliebig
def.
Wasser in Glas
bel.
bel.
Luftballon
Ideales Gas
Festkörper : Moleküle haben "feste" Positionen zueinander
Fl. + Gase : Moleküle beliebig verschiebbar
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
165
5.2 Druck
Ein Gewicht der Masse m und der
m
Auflagefläche F übt über die Gewichtskraft F
'Druck' auf die Unterlage aus
A
F
G
Druck
p
[p] = N/m² = Pa (Pascal)
Bsp: Wer übt größeren Druck aus ?
F
A
(DM - 1)
Elefant
Nadel
Masse m
5 to
1g
Auflagefläche A
1 m²
0,1 mm²
50 kPa
100 kPa
Druck p
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
166
5.3 Feder
als wichtigstes Beispiel für Deformierbare Medien und zur Erläuterung nichtlinearer Effekte
F
hier nur linearer Bereich, Weg x klein:
Beispiel: Feder
F ~ x
x
Hookesches Gesetz
FF = - D x
(DM - 2)
D : Federkonstante ; [D] = N / m = kg / s²
Aus F = 0:
F =0
F
Fa : äußere Kraft, entgegengesetzt FF
Fa = 0
Fa + F F = 0
Fa > 0
F
F
0
FF = - D x
X
Spannung – Dehnung
 Fa = D x
p
l : Anfangslänge, l : Längenänderung
l
: relativeLängenänderung
l
F
l
 E
A
l
 =E
(DM - 3)
p : Druck [p] = N/m² = Pa
E : Elastizitätsmodul (Youngscher Modul); [E] = Pa ; E-Modul Metalle: ca. 200 GPa
 : Spannung (Druck)
 : Dehnung
A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung)
Hookesches Gesetz gilt nur für kleine Dehnungen
Beispiel mit Metallen:  = 200 GPa 0,1 m/ 100 m → p =  = 0,2 GPa = 200 MPa
Vergleich: normaler Luftdruck : 100 kPa = 1.000 hPa
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
167
Spannungs - Dehnungs - Diagramm / Messmaschine
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
168
5.4 Grenzflächeneffekte
Kraftwirkung
Kohäsion
in Flüssigkeit
Adhäsion
Flüssigkeit - Festkörper
Kräfte
Benetzung
keine Benetzung
Adhäsion >> Kohäsion
Adhäsion << Kohäsion
Wasser
Quecksilber
Tropfen auf Oberfläche
'Wasser auf Autolack'
Kapillarwirkung
Beispiel
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
169
5.5 Beispiele Deformierbarer Festkörper
Deformationsart
Formänderung
Volumenänderung
Bsp.
Dehnung, Biegung
ja
ja
Feder (+), Stütze (-),Balken
nein
ja
allseitig, unter Wasser
ja
nein
Nieten, Achsen,
Kompression
Scherung, Torsion
(Drillung)
Torsionsfederung
5.5.1 Dehnung
F
e l a s ti s c h
A
p l a s ti s c h
F
A
B ru ch
l
l
l i n e a r (H o o k )n i c h tl i n e a r
l
l
Bereich
Deformation
Bsp : Kugelschreiberfeder
elasitsch
reversibel
leicht dehnen
plastisch
bleibend
stark dehnen
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
170
Linearer Bereich: Hookesches Gesetz
F
l
 E
A
l
(DM 2’)
 =E
E : Elastizitätsmodul / Youngscher Modul
[E] = Pa
 : Spannung / Druck
 : Dehnung
A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung)
l : Länge, l : Längenänderung
E-Modul Metalle: 200 GPa
Biegung
einseitige Einspannung,
Last am Ende des Balkens :
0
'ideal' : s  FG
klein
s
G
Zug
D ru ck
n e u tr a l e
Fa s e r
F = FG + F e ig e n
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
171
Zur Info und zum Weiterlesen
Querdehnung
F
d /2
bei Längs- und Querdehnung kann sich das Volumen ändern.
Kompression
V
p
 
V
K
(DM - 4)
Kompressionsmodul [K] = Pa
p
Scherung
F
A
z
statt Strecke Winkel
F
   G
A
(DM - 5)
G : Schubmodul [G] = Pa
y
 : Winkel (klein : tan = )
x
Isotrop: Gx = Gy = Gz
Anisotrop: Gx  Gy  Gz
Bsp: Bleistift
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
172
Torsion
Sonderfall der Scherung
M
Verdrillung, klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc.
F
Kreisförmiger Querschnitt:  klein
M   R4
(DM - 6)
M=-D
Hooke, Spiralfeder für Schwingungen
M Drehmoment, R4 bringt "viel Steifigkeit"
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
173
5.6 Beispiele für Flüssigkeiten und Gase
Modellkörper: Ideale Flüssigkeit / Ideales Gas
Eigenschaften :
- Ideale Flüssigkeit : Form unbestimmt, Volumen bestimmt, Moleküle reibungsfrei verschiebbar
- Gas: füllt jedes Volumen aus, Moleküle reibungsfrei verschiebbar
Effekte: statische und dynamische Eigenschaften
5.6.1 Statik
Druck: p = F / A
wie Festkörper, nicht vektoriell, wirkt in alle Richtungen
F in Druckgleichung nimmt wegen Eigengewicht zu ==> Auftrieb
Schweredruck Flüssigkeit
V=Ah
p=mg/A=Vg/A
h
=gh
(DM - 7)
JAVA Applett: Schweredruck in Flüssigkeiten
Folgerungen:
- Flüssigkeitsspiegel horizontal wegen Schwerkraft
- Hydrostatisches Paradoxon:
Schweredruck unabhängig von Gefäßform
(h = const.)
h
p = cons t
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
174
- Kommunizierende Gefäße
h = const.
Falls unterschiedlich: Druckdifferenz bis
h
p = cons t ==>
h=co ns t
Druck ausgeglichen, dann aber h = const.
"nichts" fließt mehr
Ta n k
M e ßr o h r
- Staumauer
p = F/A =  g h
Fh
h
F
Uhren und Wassertiefe – Definitionen sind oft verwirrend !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
175
Kompressibilität
aus Festkörper: Druck bewirkt Volumenabnahme
V
   p
V
Kompressibilität  = 1/K
Phase
(DM - 8)
[] = 1/Pa
 / 1/Pa
Modell
Starrer Körper
fest
10
-11
(inkompressibel)
-9
inkompressibel
flüssig
10
gas
10-4
kompressibel
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
176
Konsequenz aus Kompressibilität
Kolbendruck
p = const
F1
F2
F1 / A1 = F2 / A2
A1
A2
Flüssigkeit
Gas
Modell
Technik
inkompressibel
Hydraulik
kompressibel
Pneumatik Preßluft
Anwendung: Kraftübertragung auch ‚um die Ecke’ wie bei elektr. Strom
beliebig krumme Leitungen, Vorteil gegenüber mechanischem Gestänge
Leitungsdichtigkeit: Hydraulik: kritisch, da Verschmutzung
Preßluft: unkritisch, nur Druckverlust
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
177
Schweredruck Gas
Schweredruck Gas komplizierter als Flüssigkeit wegen Kompressibilität
Säule komrimiert darunterliegendes Gas
kompressibel, T = const:
Barometrische Höhenformel: p = po e-Ch
(DM - 9)
po  100 kPa Druck am Boden
C = 126 1/m
Konstante
real: T  const : Internationale Höhenformel
Wie ist dieses Bild entstanden ?
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
178
Auftrieb
entgegengesetzt Erdanziehungskraft
Fo
oben: kleinere Säule wie unten
FA
rechts-links: hebt sich auf
Fu > Fo
h
Fl
, V
Fr = - Fl
FA = Fu - Fo
= mverdr g
FG=  A h g
Fu
=gV
Newton, Masse verdrängtes Vol
 Dichte, Durchschnittswert
(DM - 10)
FG : FA
Körper
Beispiel
>

sinkt
=

schwebt Mostwaage
<

steigt Gas- , Heißluftballon
Stein
JAVA Applett: Auftriebskraft in Flüssigkeiten
Ein U-Boot vom Boden kann nicht auftauchen da Fu fehlt !
Theoretisch, da in Praxis runder Rumpf
Fo
Fu = 0
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
179
Ideales Gasgesetz
pV=nRT
(DM - 11)
pV=NkT
n : Anzahl Mol, 1 Mol = 22,4 l z.B. 28g N2
R : Gaskonstante 8,3 J/Mol K
N : Anzahl Teilchen
k : Boltzmann Konstante 1,4 10-23 J/K
[T] = K absoluter Nullpunkt : 0 K
Ideales Gas nur Modell für höhere Temepraturen, da für T = 0 das Volumen Null wäre!
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
180
5.6.2 Dynamik
allgemein:
M a s s e fl u ß m
Strömungsfeld
A1
komplex da vektoriell
Ge s ch w . v
A2
Transport von Materie durch Druckdifferenz
analog: Ladung (Strom), Wärme
Hydrodynamik
Vorr: inkompressible Materie, gilt auch für Gase bis ca. 1/3 Schallgeschwindigkeit
Materiestrom
Volumen
V=Avt
Volumenstrom
I = V / t = dV / dt = A v
Massefluß
m=V
Massestrom m' =  A v
aus s = v t
aus m / t
Fluß durch Flächenelement: m' = A  v dA
analog anwendbar auf:
- Ladungen (Strom)
- Wärmetransport
- Diffusion
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
181
Durchfluß durch Röhren
- technisch wichtigster Fall
- Massen- und Volumenerhaltung:
m = const.
- da inkompressibel
V = const.
Kontinuitätsgleichung
v1
A v = const
v2
(DM - 12)
A1
A1 v1 = A2 v2 A groß - v klein und umgekehrt
A2
Bernoulli - Gleichung für horizontale Rohre
parallel zur Erdoberfläche
rechts: langsamer als links wegen
z
Kontinuitätsgleichung
A2, v2
Bernoulli-Gleichung
p2
p1
p + ½  v2 = po = const
A1, v1
x
Epot
(DM - 13)
+ Ekin
Die Bernoulli-Gleichung ist ein Erhaltungsgesetz, welches aus dem Energiesatz folgt.
Druckmessung
Rechts: Anwendung Staudruckmesser bei
dynam. Druck
Gesamtdruck
Flugzeugen
stat. Druck
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
182
Anwendungen der Bernoulli - Gleichung
1. Auslaufen aus Gefäß
p
großes Volumen,
v1
kleiner Ausfluß
1
h = const.
h
2
Druck
v2
p
Ort
Betriebs = Luftdruck
Schweredruck
Dynamischer Druck
1
2
p
p
gh
0
1/2  v1²
1/2  v2²
v1 aus Kontinuitätsgleichung: A1 v1 = A2 v2
 1/2  v2²( A2/A1)2 +  g h = 1/2  v2²
A2 << A1 :
 g h = 1/2  v²
 v  2gh
analog Freier Fall
2. Parfümzerstäuber
pLuft = p + 1/2  v²
v
pL
 p < pLuft
Gewicht Wassersäule vernachlässigt
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
183
Dynamischer Auftrieb
Beispiel : Flügel
po
dyn. FA
Weg länger
v größer --> p kleiner
Folge aus Bernoulli
dyn. Auftrieb aus p = F/A
Strecke länger, damit kein Vakuum hinter
pu
Flügel entsteht müssen beide Teile
gleichzeitig ‘ankommen’ : Kinematik s = v t
Bernoulli:
po + ½  vo2 = pu + ½  vu2
 p = ½  (vo2 - vu2) > 0
Fadyn = cA /2 A v2
(DM - 14)
cA = Auftriebsbeiwert (vgl cW : Widerstandsbeiwert)
Frage zu obiger Skizze: Warum bzw. wie kann ein Flugzeug auf dem Rücken fliegen ?
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
184
Reale Strömungen
mit Reibung zwischen Molekülen
Fälle:
laminar
turbulent
v nimmt zu
rechenbar
‘komplex’
Laminare Strömung in Rohren
Hagen-Poiseuillsches Gesetz
r
Flüssigkeitsstrom I = V / t
R
v
I  p/l R4
(DM - 15)
l : Länge des Rohres
p : Druckabfall entlang l
Folgerung:
- Durchflussvolumen besser durch R- als durch p-Erhöhung steigern, da R4
- Druckabfall in Rohren
Ursache: Reibungsverluste
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
185
Übungsblatt Deformierbare Medien
1. Eine auf einer Platte senkrecht stehende Feder mit der Feder-konstanten D = 100 N/m ist 5 cm
gespannt. Auf Ihr liegt ein Gewicht (50g). Die Feder wird freigegeben, das Gewicht bewegt sich
senkrecht nach oben.
a) Welche Idealisierungen verwenden Sie?
b) Welche Bewegungsformen treten auf?
c) Welche Höhe oberhalb des Ruhezustandes der Feder erreicht das
Gewicht?
25 cm
d) Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht das Gewicht, wo?
2. Ein Flugzeug hat ein Startgewicht von 100t. Wie groß muß die Flü-gelfläche minimal sein, damit
das Flugzeug überhaupt abheben kann?
a) statisch
10 m²
b) dynamisch (vstart = 300 km/h , cA = 0,01)
22000 m²
3. Wie hoch ist die maximale Förderhöhe einer Saugpumpe (vgl. Saugen mit Spritze). Warum
können Bäume höher wachsen?
10 m
4. Eine Feder der Länge L und der Federkonstanten D wird in der Mitte durchtrennt. Die beiden
Hälften werden an ihren losen Enden ideal miteinander verbunden. Wie groß ist die
Federkonstante D dieser 'Parallelschaltung', wenn vorher und nachher um dieselbe Strecke x
gedehnt werden soll?
D = 4D
5. Wie lange kann ein Stahldrahtseil, welches an einem Ende aufge-hängt ist, maximal sein, bevor
es unter seinem Eigengewicht zer-reißt (Zugfestigkeit/Bruchspannung 0,7 kN/mm² , = 7
kg/dm³)?
10 km
6. Vergleichen Sie einen Vollstab mit einem Rohr bzgl. ihres Verhaltens bei Torsion (R = 2 cm).
Bsp. Ri = 1,5cm: 30% weniger Steifigkeit, 56% weniger Gewicht
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
186
6. Wellen (Waves)
Wellen:
- "Schwingungen", welche sich ausbreiten
- räumliche und zeitliche Zustandsänderungen
- Energietransport
Versuche mit mechanischen und optischen Wellen im Internet :
- http://www-pluto.informatik.uni- oldenburg.de/~geo/unterrichtsprojekte/physik/Schwingungen%20und%20Wellen/Wellenmaschine.html,
-
http://wwwfk.physik.uni-ulm.de/www_fk/german/OptikLinks/Optilink.htm
Wer's genau wissen möchte:
z.B. Langkau, Lindström, Schobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg
Anzahl der
Form
Ausbreitung
Bsp
Komponenten
wenige
Schwingung
ortsfest
Pendel
1 Körper
Eigenschwingung
im Körper
Stimmgabel, Hui-Maschine
Fortpflanzung
Schallwellen (Akustik)
'stehende Wellen'
viele
Wellen
Optik (em - Wellen)
Beschreibung:
Schwingung (Oscillation)
Welle
Darstellungsarten:
y
y
1 Ort x
t
t
y
Amplitude an einem Ort zu vielen
Zeitpunkten
1 Zeitpunkt t
Amplitude zu einem Zeitpunkt an
x
vielen Orten
Ausbreitungsrichtung
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
187
Mechanik, Akustik:
Deformation greift auf Nachbarbereich über  Fortschreiten der Deformation  Welle
benötigt Übertragungsmedium z.B. Luft oder Metall
Bsp.:
- Schallwellen, Oberflächenwellen (Wasser)
- Versuch: Stimmgabel Eigenschwingungen  Wellen
Elektrotechnik (Funk), Optik : Elektromagnetische Wellen - funktioniert auch im Vakuum
JAVA Applett: Elektromagnetische Welle
Grundlage (Gleichungen „nur zur Info“)
Wellengleichung
- aus den Maxwellgleichungen
- 3D mit Vektoren


d2 
1 d2 
 
dx2 c2 dt2
(WE - 1)
- c: Ausbreitungsgeschwindigkeit
Problem: Randbedingungen
allgemeine Lösung
 
 x  ct 
(WE - 2)
Gesucht: Funktion mit 2. Ableitung nach Zeit ~ 2. Ableitung nach Weg x
Fälle
(Wellenformen, s.u.):
- Kugelwellen (freie Ausbreitung, z.B. Böller in Luft)
- Ebene Wellen (z.B. Laserstrahl)
- Wellen in Hohlleitern
- ...
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
188
6.1 Ebene Harmonische Wellen
‘einfachste’ Wellen mit kleiner, sinusmodulierter Amplitude sowie einer Richtung und Frequenz
z.B. Laserpointer
Ebene Harmonische Wellen
1D
y = yo sin(t  kx + )
vektoriell
 
 
y  yo sin  t  k  x  

(WE - 3)

mit
Maximalamplitude yo
Kreisfrequenz

2
1
1
;   2 f ; T  ; 
T
f
s
Periodendauer T ; [T] = s
Wellenzahl
y
yo

 2
 1
; k
k
m

Wellenlänge
 ; [] = m
Phase
 (Bogenmaß)
+ : nach links fortschreitend
Periodendauer T
Wellenlänge 
1
tx
Wellental -berg
(gem. DIN)
Ausbreitung 
- : nach rechts fortschreitend
Polarisation: „hier nicht betrachtet“, zum Weiterlesen
Bestimmung von Werten aus Skizze :
- Wellenlänge = 4 (cm)  k 
2
1
 157
0,04 m
m
- Periodendauer = 4 (s)   
2
1
 1,57
4s
s
- Amplitude z.B. : yo = 4 cm (Unterschiedliche Einheiten für Mechanik, Akustik, HF, Licht)
- Wellengleichung : y(t)  4 sin 1,57 t  157 x  (mit den entsprechenden Einheiten)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
189
Frequenz und Wellenlänge sind über die Ausbreitungsgeschwindigkeit verknüpft:
Ausbreitungsgeschwindigkeit (velocity of propagation)
[c] = m/s
c hängt ab von
c=f
(WE - 4)
- Typ akustische- oder em-Wellen
- Medium (z.B. Luft, Wasser, ...)
- Frequenz (Dispersion, z.B. Spektralzerlegung Prisma)
- Wellenart (s.u.)
Bem.: - c ist Materialgröße
- em Welle im Vakuum c o 
1
 300.000 km/s
o  o
- co entspricht max. Geschwindigkeit gem. Relativitätstheorie
- f bleibt konstant nach E = h  , d.h. Wellenlänge 'passt' sich an
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Beispiele
Akustik (Schallgeschwindigkeit)
Luft 330 m/s
Eisen 5000 m/s
Elektromagnetische Wellen
Luft 300.000 km/s
Glas 200.000 km/s
(Lichtgeschwindigkeit)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
190
6.2 Wellenlänge und Frequenz (c = f )
(alle Angaben ca.-Werte)
6.2.1 Akustik
cLuft = 330 m/s
Bezeichnung
Frequenzbereich
Wellenlänge
Infraschall
< 20 Hz
> 15 m
Hörbereich
20 - 20.000 Hz
0,015 - 15 m
Ultraschall
> 20 kHz
< 0,015 m
6.2.2 EM-Wellen
Bezeichnung
cLuft = 300.000 km/s
Frequenz /Hz
Wellenlänge
 - Strahlung
1019
3 10-11 m
Röntgenstrahlung
1017
3 nm
UV
1016
30 nm
5 * 1014
600 nm
Infrarot
1013
30 µm
Mikrowellen
1010
3 cm
UKW
108
3m
KW
107
30 m
MW
106
300 m
LW
105
3 km
sichtbares Licht
sichtbares Licht
Frequenz /1012Hz
Wellenlänge /nm
Blau
630
475
Grün
550
550
Rot
460
650
Farbe
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
191
Zur Info: „Beginn“
Typische Darstellungsweise von Wellen mit mehreren (vielen) Frequenzen: Spektrum
Spektrum :
Energie, Amplitude, Intensität, ... über der Frequenz bzw. Wellenlänge, ggf. logarithmisch
Akustik
Empfindlichkeit des menschlichen Ohres
Übertragungskennlinie Lautsprecher
100 Phon
Ohr: Kurven gleicher Lautstärke
50 Phon
1E+01
1E+00
1E-01
Schallintensität /W/m²
1E-02
1E-03
1E-04
1E-05
1E-06
1E-07
1E-08
1E-09
1E-10
1E-11
1E-12
1E-13
10
100
1000
10000
Frequenz /Hz
Elektrotechnik / Hochfrequenztechnik
Frequenzgang OP - Tiefpass
HF - Spektrum
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
192
Optik
Empfindlichkeit des menschlichen Auges und
LEDs und Laser
Sonnenspektrum
Glühlampe (A) und Normleuchtstoffröhre (D65)
LCD-CCFL
Problem des menschlichen Farbsehens: alle 3 Spektren werden als 'weiß' interpretiert !
Das bedeutet: Im Gegensatz zur 'deterministischen' Technik können hier unterschiedliche
Eingangssignale dasselbe Ausgangssignal, nämlich 'weiß' hervorrufen.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
193
Definitionen bei Spektrallinien, Bandbreiten, ...
Grenzfrequenz Tiefpass (low pass filter)
Ua
Ue
Definition:
1
0,707
Abfall der Amplitude auf das
1
- fache ( 0,7)
2
bzw. um -3 dB des Maximalwertes
fg
Die zugehörige Frequenz wird als
f
Grenzfrequenz fg definiert.
Bandbreite (bandwidth) / Güte
rel. U a
1
Bandbreite B = fgo - fgu
0,707
Amplitudenabfall s.o.
'Güte' Q bei Schwingkreisen etc. mit
Resonanzfrequenz fr : Q 
fr
B
Halbwertsbreite
f gu
fr
f go
m
 go
f
rel. A
1
typisch in der Optik, hier auch Linienbreite
genannt
0,5
teilweise auch Definition mit 1/e bzw. halbe
Fläche der Gesamtkurve
 gu

Zur Info: „Ende“
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
194
6.3 Wellenformen
Kugelwellen
Geometrie
Ebene Wellen

Welle
(weit weg)
Theorie
Beugung
Welleneigenschaften
berücksichtigen
Bsp.
0

kleine Ab-
Strahlen (Geometrische Optik)
Wellencharakter vernachlässigt
messungen
- Sonne
- Laser
- China-Böller (in Luft)
- Sonnenlicht auf Erde
- Wasserwelle’
- Megaphon
- Spalt
Dies sind nur 2 ideale Fälle, es gibt viele weitere
Abstrahlcharakteristik
Formen
Bsp.: Richtfunkantenne
Antenne
Geometrische Dämpfung bei Kugelwellen
I (r ) ~
1
r²
Quellintensität breitet sich kugelförmig aus
Beispiel : I(x = 1m) = 1 ; I(x = 2m) = 0,25
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
195
Es gibt auch noch andere Arten von Wellen:
Wellenausbreitung nach dem Huygensschen Prinzip
Jeder Punkt einer Welle ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Eine neue Wellenfront ergibt sich
aus der Überlagerung aller Kugelwellen. Hiermit lassen sich viele Wellenphänomene wie
Reflexion, Brechung und Beugung in einfacher Weise quantitativ beschreiben.
Wellenfront
bei
sehr
vielen
Kugelwellen
JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
196
6.4 Wellenarten
Longitudinal (Longitudinal)
Transversal (Transversal)
Akustik (Schall) (acoustics)
- em-Wellen (Funk, Licht)
Bsp.
- Seil, Wasser
Ausbreitung
Auslenkung /
„Medium erforderlich“
„geht im Vakuum“
|| (parallel)
 (senkrecht)
Fortpflanzungsrichtung
1 Zeitpunkt
y
niedriger
Seil 2D
hoher Druck
y
x
p
p
N

0
t
x
Normaldruck
y
z
Licht 3D
y = po sin(t + kx) + pN
x
Longitudinalwellen breiten sich als
Ausbreitungsrichtung
'Deformation' aus, die Amplitude
hat dieselbe Richtung wie die
E-Feld synchron und
Ausbreitungsrichtung:
senkrecht zu B-Feld
- Stab nach Anschlagen
Schwingungsrichtung  Polarisation
- Luft als Druckschwankungen
Bsp.: - Polfilter
- H bzw. V-Polarisation
bei SAT-Signalen
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
197
6.5 Wichtige Begriffe und Definitionen der Wellenlehre
(hier vereinfacht für Ebene Wellen, Bezeichnungen und Abkürzungen s.o.):
Intensität
I = y²
Quadrat der Amplitude (immer positiv) in der Optik
Achtung
rel. Wert
Die Frequenz der Intensität ist
(WE - 5)
Intensität
1
0,5
wegen des 'Gleichrichteffektes'
0
scheinbar doppelt so groß wie
0
2
4
-0,5
die der Welle
6
Welle
8
sinx
10
x, t
sinx^2
-1
Superpositionsprinzip
nur kleine Amplituden, sonst nichtlineare Effekte
yr = y1 + y2 + ... =  yi
(WE - 6)
Interferenz Phänomene bei der Überlagerung von Wellen (siehe auch Gangunterschied)
Gangunterschied 
(WE - 7)
 



2
k
Bsp: 2 Wellen gleicher Frequenz und Richtung, 1D
y1 = sin(t - kx)
y
y2 = sin(t - kx + )
yr = y1 + y2 = ?
Rechenregel:
x
sin + sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]
 yr = 2 cos[/2] * sin(t - kx + /2)
Amplitude
*
( hier 90°)
Interferenzterm
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
198
typische Werte
 /°
 /rad
yr

0
0
2
0
90
/2
1,4
/4
180

0
/2
Bei der Überlagerung gelten für Wellen bzgl. Wellenlänge dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für
Schwingungen bzgl. ihrer Phase:
Schwingungen
Wellen m = 0, 1, 2, ...
Gleichphasig
konstruktive Interferenz
  = 0°
=m
Gegenphasig
destruktive Interferenz
  = 180°
 2 m  1
 

 2 
Verstärkung
Auslöschung
(WE - 8)
Anwendung: - Beugung
- Interferometrie (Michelson - Morley, Relativitätstheorie)
- Lärmreduktion mit gegenphasiger Schallerzeugung
JAVA Applett: Interferenz zweier Kreis- oder Kugelwellen
Bsp: Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene
ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 1  2 k1  k2 )
Ir = (y1 + y2)²
P
(binomische Formel)
r1
= y1² + y2² + 2 y1 y2
erst quadrieren, dann summieren !
Q1
(Erklärung auch mit Pythagoras s.u.)
r2
Phasendifferenz
 = (t -kr1) - (t -kr2 +)
= k(r2 - r1)
-  = Gangunterschied
 Ir I1  I2  2 I1 I2 cos 
  


2
2
y1
y2
Q2
unterschiedliche Länge von r1 und r2
Interferenzterm
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
199
Beispiele für Interferenz
Interferenz ebener Wellen
Interferenz zweier radialer Wellen (Wasser)
blau : Wellenberge
Erläuterung der Überlagerungsformel mit Pythogoras (zur Info):
I² = {y1 cos(1) + y2 cos(2)}²
+ {y1 sin(1) + y2 sin(2)}²
= y²1 cos²(1) + 2y1 y2 cos(1) cos(2) +y²2 cos²(2)
rr
r2
+ y²1 sin²(1) + 2y1 y2 sin(1) sin(2) +y²2 sin²(2)
mit sin² + cos² = 1 und sin sin und cos cos
= y²1 + y²2 + 2y1 y2 cos(1 - 2)
r
2
1
1
y1 sin(1)
y1 cos(1)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
200
6.5.1 Überlagerung von Wellen (Superposition)
Parallele Überlagerung: Schwebung
JAVA Applett: Schwebungen
Beachte Einhüllende mit niedrigerer Frequenz
Frequenzverhältnis 9:10
Amplitude
t
Frequenzverhältnis 1:10
Amplitude
Signalfrequenz
Überlagerung
t
Rundfunkübertragung :
- AM : Amplitudenmodulation (s.o.)
- FM : Frequenzmodulation (Sendefrequenz ist amplitudenabhängig)
Vorteil: Signalschwankungen beeinflussen Empfang nicht
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
201
Parallele Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz
Amplitude
Gleiche Phase : Maximale Verstärkung
2
Überlagerung
1
0
0
5
10
15
-1
20
t
-2
Amplitude
Phase 180° (gegenphasig) : Auslöschung
2
Überlagerung
1
0
0
5
10
15
-1
20
t
-2
beliebige Phase
Amplitude
2
Überlagerung
1
0
0
5
10
-1
15
20
t
-2
Bei senkrechte Überlagerung : Lissajous-Figuren, z.B. Oszi im x-y-Betrieb (Normal y-t)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
202
6.6 Reflexion und Brechung (Reflection and Refraction)
Trifft eine Welle an der Grenze eines Medium auf ein anderes so wird sie völlig (z.B. Licht auf
Spiegel) oder teilweise (Licht auf Wasser) reflektiert; der übrige Teil wird gebrochen; oder alles
wird absorbiert (schwarze Oberfläche)
Versuche:
- Reflexion Laserstrahl Spiegel bzw. Leinwand
- Brechung an Plastikplatten
- Echo an Wand
- Laser auf doppelte Fensterglasscheibe ergibt 4 sichtbare Reflexionen
JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Licht / Reflexion und Brechung von Lichtwellen
(Erklärung Prinzip von Huygens)
Bemerkungen:
- Die nachfolgenden Gesetze gelten für akustische und em-Wellen.
- Intensitätsverteilung Reflexion - Brechung kompliziert !
(z.B. Langkau, Lindström, Scobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg)
einfallender
Strahl
Reflexion

c1 n1
'
diffuse
Reflexion
ideal
Intensitätsverteilung
Reflexion
Bsp.: Luft
c 2 n2 > n1
Glas
Brechung

Reflexion und Brechung treten auf, wenn eine Welle auf einen Übergang von einem Medium in ein
anderes trifft. Die Intensitätsverteilung zwischen gebrochenem und reflektiertem Anteil ist nur
mittels exakter Rechnung mit em-Wellen zu erhalten. Die räumliche Verteilung des reflektierten
Anteils hängt von dem Material und der Oberfläche ab, wie z.B. bei Glas, Spiegel oder Leinwand.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
203
6.6.1 Reflexion
Gerichtete Reflexion gilt nur Idealfall z.B. für Spiegel :
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
 = '
(WE - 9)
(Reflexion nur in einer einzigen Richtung sichtbar)
Problem: Intensitätsverteilung bei Reflexion und Brechung (s.u.)
Anwendung Reflexion: Parabolspiegel
Wellenrichtung umkehrbar
verstärkter Empfang von Wellen (em / akustisch)
z.B. Sat-Schüssel, Vogelstimmen-Mikro
Empfänger / Sender
1 m² Antennenfläche  1 cm² Empfängerfläche
Aussenden "gerichteter" Strahlen:
Richtfunk (em), Megaphon,
Autoscheinwerfer, Taschenlampe
weitere:
- Nierenlithotripter (Ellipse)
- Funkwellen: Reflexion an oberen Luftschichten
 Überreichweiten (‘round the world in 0,1s’)
- Katakaustik bei Reflexion an Kreis, z.B. Kaffeetasse
Diffuse Reflexion bei ‚unebenen‘ Grenzflächen
z.B. bei Leinwänden und Papier (Reflexion von
allen Seiten sichtbar) s.u.
Weiterer Reflexionseffekt : Bi-directional Reflection Distribution Function (BRDF) :
Tritt z.B. bei Mähen
(Fußballplatz) auf. Ist ein
größeres Problem bei
Weltraumgestützter
Landwirtschaft-Beobachtung.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
204
6.6.2 Brechung
Versuch:
Reflexion Laserstrahl
Beugung an Plastikplatten
Brechung: Übergang von einem Medium in ein anderes
Reflexion: = '
Lot
n2 > n1 (unten optisch dichter)
c1 > c2 (oben schneller)

s1
c1
s2
Weg s 1 und s 2
in gleicher
Zeit zurückgelegt
in Medium 1 und 2
Wellenfront
n 1 c1
Huygenssches Prinzip:
n2 c2
unterschiedlicher zurückgelegter
Weg in oberem und unteren
Medium in derselben Zeit wegen
c2
unterschiedlicher

Ausbreitungsgeschwindigkeit
Gilt sinngemäß auch für Reflexion !
JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Licht
Snelliussches Brechungsgesetz
n: Brechungsindex (Index of Refraction)

n
sin n2
c

 1
sin
n1
c2


Optik
(WE - 10)
Akustik
( : Dielektrizitätskonstante) : Zusammenhang Optik - ET / hoch- niedrigfrequent
Wellenlängen- bzw. Frequenzabhängigkeit : Dispersion: n = n() = n(f), z.B. Regenbogen
Dielektrizitätskonstante : r = r(f) in der ET
Bsp: Reflexion:
Brechung:
Bild im See, am Fenster, Echo, Reflexion an Fensterglas ca. 4%
Stab ins Wasser, "Knick"
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
205
Medium
Brechungsindex für  = 600 nm
n = cvakuum / cmedium ; n = n()
Glas
1,5
Luft
1,003  nVakuum = 1
Wasser
1,333
Diamant
2,4
Bsp: Luft  Wasser  = 30°   = 22°
zum Weiterlesen : Doppelbrechung (Birefringence)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
206
Totalreflexion (Total Reflectance)
- tritt auf bei Übergang von optisch dichterem in optisch dünneres Medium
- bei einem bestimmten Winkel wird der einfallende Strahl nur noch in der Grenzschicht geleitet
- bei größeren Winkeln tritt der Strahl nicht ins dünnere Medium über  Totalreflexion
Anwendung: Prisma
g
Totalreflexion
45°
dichter n1
dünner n2 < n1
sing 
n2
n1
Totalreflexion für alle   g
Lotwinkel hier 45° > g (38°)
nur Reflexion, keine Brechung, Erklärung: komplexe Wellenoptik
Medium
Grenzwinkel zu Luft
Diamant
23°
Glas
38°
Wasser
49°
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
207
Anwendung der Totalreflexion
Lichtleiter - Glasfaserkabel
nicht, da Totalreflexion
kann auch gebogen werden solange
Totalreflexionsbedingung erfüllt bleibt
10 µm
n1
n2 < n1
‚Sprung‘ des Brechungsindexes
Innen-  typ. 62,5 µm
Achtung: Unterschiedliche Laufzeiten !
‚allmähliche‘ Änderung des Brechungsindexes
 typ. 62,5 µm
‚Sprung‘ des Brechungsindexes,
 typ. 9 µm, deshalb praktisch kein Reflexionseinfluß
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
208
Intensitätsverteilung
Bsp: Durchgang durch Glas
durch-
einfallend
tretend
reflektiert
I
1
Luft
Glas
Luft
reflektiert
absorbiert
reflektiert
(übertrieben dargestellt)
x
Absorption durch Eindringen in Material
I
Intensitätsabnahme bei Ausbreitung in einem
Medium üblicherweise als e-Funktion
Vakuum
absorbierenden
Medium
d
Absorption
 : Absorptionskoeffizient [] = 1/m
d : Eindringtiefe [d] = m
Ageb  Aein  Aref )  ed
(WE - 13)
Der Absorptionskoeffizient ist wellenlängenabhängig :  = ()
Beispiel:
Der menschliche Körper ist für sichtbares Licht undurchdringbar, nicht aber für
Röntgenstrahlung !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
209
Reflexion in Abhängigkeit von der Einfallsrichtung
 n'  n 
senkrechter Einfall : Re flexionsgrad r  

 n'  n 
2
 n'  1
Oberfläche gegen Luft r  

 n'  1
2
typischer Wert Luft - Glas r  0,05 (5%)
schräger Einfall :
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
210
6.6.4 Wellenbetrachtung der Reflexion
Festes Ende (mechanisch) bzw. optisch
Loses Ende (mechanisch) bzw. optisch
dichteres Medium
dünneres Medium
t
t
Phasensprung um 
keine Phasensprung
Wellenknoten
Wellenbauch
Wellenknoten : Amplitude immer Null, auch Schwingungsknoten
Wellenbauch : hier tritt die Maximalamplitude auf, auch Schwingungsbauch genannt
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
211
Versuch: mechanische Transversal-Wellenmaschine (fest: unten festhalten bzw. lose)
hieraus ergeben sich die Gesetze für Wellen in begrenzten Medien.
Eine gute Simulation und Visulisierung in Internet findet sich unter :
http://www.muk.uni-hannover.de/~finke/physlet/waves/wave_refl.html
Zeitlicher Verlauf : Bei T = T/4 ist der Phasensprung um  bei festem Ende zu erkennen
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
212
6.7 Wellen in begrenzten Medien / Stehende Wellen
Def:
Wellen (hier 2) die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das gleiche Medium
durchlaufen überlagern sich zu einer stehenden Welle.
Voraussetzung: Amplitude, Frequenz konstant und feste Phase
Am häufigsten geschieht dies durch Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzfläche; dies gilt
sowohl an dichteren/festen als auch an dünneren/losem Medium/Ende.
Beispielrechnung:
y1 = sin(t - kx)
nach rechts
y2 = sin(t + kx)
nach links
yr = y1 + y2 = 2 coskx sint
Das ist eine Sinusschwingung mit ortsabhängiger Maximal-Amplitude (k = 2 /)
y
sin( t) = 1
2
sin( t) = 0
x
cos(kx) = 0
Wellenknoten
Simulation im Web :
=1

2
-bauch
- http://www.physiknetz.de/special/java/physik/phys/stlwellen.htm
- http://www.schulphysik.de/physik/mech/swell/
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
213
JAVA Applett:
- Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)
- Stehende Längswellen
Was passiert, wenn man beispielsweise eine Saite anzupft ?
Die Phänomene der Eigenschwingung bei festem und losem Ende können sehr schön mit einem
Stab oder Lineal ausprobiert werden.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
214
In einem Medium begrenzter Länge L kann sich eine Stehende Welle (zeitlich und örtlich
konstante Überlagerung einer Welle mit sich selbst) nur ausbilden, wenn nachfolgende
Bedingungen erfüllt sind:
'Enden'
Eigenschwingung
1. Oberwelle
Wellenlänge
(Eigenfrequency))
(Second Harmonic)
(Wave Length)
A
2 freie
W
e
lle
n
b
a
u
c
h
L
Bsp.: Leerrohr
(WE - 14)
-k
n
o
te
n
x
2 feste
Bsp.: Gitarrensaite

1  L ; f1  2f
n 
2L
n1
fn 
c
n
n = 0, 1 , 2
Fest + frei
n 
4L
2n1
fn 
c
n
Bsp.: Blasen über
Sprudelflasche

1 
4
L ; f1  3f
3
Obige 'Bilder' erhält man durch Erfüllen der Randbedingungen (fest, lose) unter Berücksichtigung
von Wellenknoten (Intensitätsminimum) und -bäuchen (Intensitätsmaximum) sowie Einpassen der
Wellenlängen bzw. deren Bruchteilen.
Anwendung: - Musikinstrumente (z.B. Orgelpfeifen, Klavier, Gitarre)
- Optik : Resonator, Laser
- Antennen (z.B. UKW : 100 MHz  3 m  /4-Antenne l = 75 cm)
Warum singen Männer lieber in der Badewanne (L = 1,8 m) , Frauen im WC (L = 1 m) ?
Resonanz mit 2 festen Enden: Männer haben eine tiefere Stimme  größere Wellenlänge
f1 
c ergibt Stehende Welle für Badewanne mit 180 Hz bzw. WC mit 330 Hz, etc.
L
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
215
Warum kann man Musikinstrumente unterscheiden, auch wenn sie alle
denselben Ton (z.B. Kammerton 440 Hz) spielen ?
Die unterschiedliche Verteilung der Oberwellenintensitäten 'macht' den Klang eines
Musikinstrumentes (Skizziert, real keine scharfen Peaks).
rel. Lautstärke
fo
Trompete
2fo
3fo
4fo
rel. Lautstärke
5fo
fo
Horn
2fo
3fo
4fo
Frequenz
Frequenz
rel. Lautstärke
fo
Oboe
2fo
3fo
rel. Lautstärke
4fo
5fo
Frequenz
5fo
fo
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
Clarinette
2fo
3fo
4fo
5fo
Frequenz
216
6.8 Doppler - Effekt (Doppler Effect) (zur Information)
- tritt auf, wenn sich Wellenerreger (Quelle) und Beobachter relativ zueinander bewegen
- Effekt: Frequenzänderung
Versuch: Simulation am PC, bewegte Stimmgabel auf Pendel
JAVA Applett: Doppler-Effekt
Es gibt 2 Fälle
a) Ruhende Quelle, bewegter Beobachter
 v 
fB  fQ 1 B 
 c 
+ : Beobachter nähert sich der Quelle
(WE - 15)
- : Beobachter entfernt sich von Quelle
r uh en de Q ue lle
T : Z e i t zw is ch e n 2 W e ll e n b ä u c h e n

T =
T =
r uh en de r B eo ba ch ter
c
v

b ew e gte r B eo ba ch te r
c + v
Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Doppler Effekt : Ruhende Quelle - Bewegter
2
B entfernt sich
B nähert sich
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Bsp: Zug - Übergangs-Glocke
fQ = 440 Hz (a) ; vB = 30 m/s , c = 330 m/s
 Zug nähert sich: fB = 480 Hz ; Zug entfernt sich: fB = 400 Hz 
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
f = 80 Hz  Terz
217
b) Bewegte Quelle, ruhender Beobachter
fB 
+ : Quelle entfernt sich vom Beobachter
- : Quelle nähert sich zum Beobachter
fQ
v
1 Q
c
(WE - 16)
b e w e g te Q u e lle
ru he n d er B e ob a ch te r
v
pro Zeiteinheit kommen mehr Wellen an als bei ruhender Quelle
Doppler Effekt bei bewegter Quelle ist nichtlinear :
2
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Frequenz relativ zur ausgesandten
Frequenz
Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) Q entfernt sich
Q nähert sich
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
20
Q entfernt sich
Q nähert sich
16
12
8
4
0
1
0
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Bsp: Verkehrs-Radar
fQ = 10 GHz , vQ = 30 m/s , c = 3 108 m/s
Beispiel:

fB = 10,000001 GHz  f = 1 kHz
- Durchbrechen der Schallmauer (s.u.)
- Einsatzfahrzeuge (Martinshorn)
Anwendung: - Geschw. Messung Radar
- Astronomie zur Bestimmung von Planetengeschwindigkeiten
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
218
Obige Gesetze für den Doppler Effekt gelten
- für akustische und em-Wellen
- nur Spezialfall : Quelle und Beobachter auf einer Geraden, einer ruht, anderer bewegt sich!
Doppler-Effekt, falls sich Quelle und Empfänger nicht auf einer Geraden bewegen
v cos  

fB  fQ 1  Q

c


mit  als Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor der Quelle und der Verbindungsgeraden Quelle
– Empfänger.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
219
Machscher Kegel () / Schallmauer (Sonic Barrier)
Bei schnell fliegenden Flugzeugen entsteht der sog. Machsche Kegel, dessen Spitze beim
Durchbrechen der Schallmauer 'durchstoßen' wird, d.h. 'der Schall kommt nicht mehr nach !'
‚Klappt‘ auch im Wasser :
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
220
7. Optik (Optics)
7.1 Anwendung von Reflexion und Brechung in der Optik
Effekt: Reflexion und Brechung  Richtungsumlenkung
Spektralzerlegung durch Dispersion n = n():
gilt auch für Linsen und das Auge  Unschärfe bei Farbbildern !
spektral
zerlegt
weiß
Dispersion
Prisma
Reflexion an Spiegel
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
221
7.1.1 Optische Effekte in der Atmosphäre
Prinzip: wellenlängenabhängige Brechung des Sonnenlichtes (Dispersion)
Himmelsblau
Sonnenauf- / untergang
w
eiß
Luft
w
e
iß
L
u
ft
E
rd
e
Erde
Rayleigh - Streuung (vereinfachende Erklärung)
Regenbogen (Rainbow)
w
e
iß
42°
weiß
Regentropfen
Sonne
rotationssymmetrisch
Hauptregenbogen 42°
1 Reflexion
Nebenbogen 52°
Farbabfolge umgekehrt
2 Reflexionen (intensitätsschwächer)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
222
Regenbogen
Wie ist dieses Bild entstanden ?
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
223
Spektrum des weißen Sonnenlichtes inkl. Treibhausproblematik (CO2)
Spektralzerlegung von weißem Licht
Der rechte und linke Rand (li.) erscheint dunkel, da
das Auge dort relativ unempfindlich ist im
Gegensatz zu Photodioden (re).
Die Spektralzerlegung (d.h. Zerlegung nach 'Frequenzen' - Analogie zur Fouriertransformation)
geht auch mit (optischen) Spalten oder Gittern !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
224
7.2 Geometrische Optik
Definition / Näherung:
- Licht breitet sich strahlenförmig und geradlinig aus,
- 'Licht' besitze keine Welleneigenschaften, d.h.   0
Bsp: Laser und Sonnenlicht erfüllen die Näherung gut
Grenze der Geometrischen Optik:
kleine Abmessungen im Bereich der Wellenlänge, z.B. Spalte
Näherung dicke Linsen (real)  dünne Linsen
Prinzip von Linsen (lens):
durch geschickte Formgebung unter
Anwendung der Brechung (s.o.) werden
nutzbare Effekte erzielt !
Wichtigste Linsenformen
bikonvex
Bikonkav
Sammellinse
Zerstreuungslinse
Zerstreuungslinse
Sammellinse
Symbol
Funktion: (Normalfall)
Umgebung optisch dünner
"
"
dichter
Nur zur Info:
Effekte an Linsen
Erwünscht
Entsteht durch
Abhilfe
Brechung
+
Reflexion
-
Vorder- und Rückseite
Vergütung
Absorption
-
molekulare Absorption
Spezialglas
Streuung
-
Verunreinigungen
Hochreines Glas
Dispersion
-
Material
Spezialglas
Thermische Ausdehnung
-
Material
Spezialglas
Optimierungsmöglichkeiten meist nicht gleichzeitig realisierbar
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
225
Beispiel
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
226
Allgemeine Regeln zur Linsenkonstruktion (DIN 1335)
- Lichtrichtung von links nach rechts
- Gegenstand: y (früher G)
- Bild y' (früher B)
- y-Achse nach oben positiv
- f Brennweite
- F Brennpunkt
- a Gegenstandsweite (früher g)
- a' Bildweite (früher b)
- Lichtweg umkehrbar
Abbildungsgleichung
nur je ein Brechungsindex
1 1 1
 
f a' a
für Linse und Umgebung
(OP - 2)
Abbildungsmaßstab
Abbildungsgleichung
Bildweite a'
10
8
6
Objektiv : Objekt reell,
Bild reell, umgekehrt
4
Objekt virtuell,
Bild reell, aufrecht
2
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
Gegenstandsweite a
-4
-6
Lupe : Objekt reell,
Bild virtuell, aufrecht
-8
normiert auf f = +1
-10
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
227
7.2.1 Sammellinse als Dünne Linse
Kennzeichen: Brennweite f > 0 ; z.B. + 30mm
- Parallelstrahl  F' - (Brennpunkts-) Strahl
Konstruktionsprinzip:
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse behält Richtung bei
Fall
Konstruktion
y'
a<f
optische
F
virtuell,
Lupe
vergrößert,
F'
aufrecht
f
a'
a
y
2f
Beispiel
y
Achse
f < a < 2f
Bild
reell,
F'
Projektor
vergrößert,
F
y'
umgekehrt
f
a'
a
a > 2f
reell,
y
F'
F
2f
Fernrohr
verkleinert,
y'
umgekehrt
f
a
a'
JAVA Applett: Bilderzeugung durch Sammellinsen
Die Linsen sind mit ihrer Form gezeichnet, die Konstruktion vernachlässigt aber ihre Dicke !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
228
7.2.2 Zerstreuungslinse
Kennzeichen f < 0 ; z.B. - 30 mm
Anwendung z.B. Galileisches Fernrohr
Aufrechtes virtuelles Bild ; verkleinert
y'
y
Konstruktionsprinzip:
F'
F
- Parallelstrahl mit Strahl von F (Brennpunkt)
ausgehend
f
a
- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse
unverändert
a'
weiterer Linsentyp: Fresnel-Linsen (flach, z.B. Overhead-Projektor, Campingbus, Leuchtturm)
Links
Strahlengang : Entscheidend für die Wirkung einer Sammellinse ist nicht deren Dicke,
sondern die Oberflächenkrümmung. Im Prinzip stellt die Fresnel-Linse eine konvexe
Sammellinse dar, bei der außerhalb der Mittellinse nur dünne ‚Oberflächenteile‘
verwendet werden
Mitte
Draufsicht
Rechts
Anwendung bei Leuchttürmen als 360° Linse
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
229
7.2.3 Linsensysteme (zur Information)
Zweck Vergrößerung: Mikroskop, Lupe kleine Gegenstände ; Fernrohr kleine Winkel
Limitierung: Beugung (Wellencharakter kann nicht vernachlässigt werden, s.u.)
Lupe (Magnifier)
Vergrößerung der Lupe
v
s
f
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Die Lupe ist das einfachste optische Instrument zur Vergrößerung von Gegenständen, die sich
Endlichen befinden. Am einfachsten wird der Gegenstand in der Brennebene einer Sammellinse
positioniert. Diese Lupenlinse verwandelt dann die Lichtstrahlen von allen Gegenstandspunkten zu
Parallelstrahlen, die von der Augenlinse wieder auf ihre bildseitige Brennebene abgebildet werden.
Damit wir dieses Bild scharf sehen, muß die Augenlinse so akkomodiert sein, daß sich diese
Brennebene gerade auf der Ebene der Retina befindet. D.h. wir stellen unser Auge auf das Sehen
von Gegenstände im Unendlichen ein. Die ist die Ruhestellung des Auges und daher am
wenigsten anstrengend.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
230
Mikroskop (Microscope)
Vergrößerung des Mikroskopes
v
ts
fObjektiv fOkular
mit s als deutliche Sehweite des
unbewaffneten Auges
üblicher Wert : s = 25 cm
Das Mikroskop vergrößert den Sehwinkel.
Bei einem Mikroskop (2* Sammellinse) ist ein Gegenstand sehr nahe am Brennpunkt der sog.
Objektivlinse, es wird ein stark vergrössertes Bild erzeugt. Dieses Bild (Zwischenbild) wird in einer
Ebene im Abstand t vom zweiten Brennpunkt des Okulars erzeugt. Dieses Zwischenbild wird von
der zweiten Linse (Okular) weiterverarbeitet. Das Okular ist so plaziert, dass das von der ersten
Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt wird. Die Strahlen aus der er-sten
Linse, dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie divergent sind. Dies entspricht der Lupen
- Funktion. Das Auge formt wieder ein reelles Bild, das nun aber sehr stark vergrössert ist.
Fernrohr (Telescope)
Vergrößerung des Fernrohres
v
fObjektiv
fOkular
Je größer die Objektivbrennweite und je
kleiner die Okularbrennweite desto
(Keplersches Fernrohr)
größer die Vergrößerung.
JAVA Applett: Keplersches Fernrohr
Annahme : Gegenstände befinden sich im Unendlichen, d.h. die Lichtstrahlen von diesen
Gegenständen erreichen das Fernrohr als Parallelstrahlen. Die Objektivlinse ist eine Sammellinse,
die ein reelles Bild des Gegenstands in ihrer bildseitigen Brennebene entwirft. Dieses
Zwischenbild liegt in der Brennebene der Okkukarlinse.
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
231
7.3 Beugung (Diffraction)
Geometrische Optik: : Wellenausbreitung mit geradlinigen Strahlen
7.3.1 Prinzip
Exp: Laser - Licht geradlinig - Geräteachse - kreisrunder Fleck auf Wand -Schirm
Spalt in Strahlengang
Geom. Optik: kleinerer Fleck aufgrund Abschattung
Spalt verkleinern: Aufweitung mit helle und dunkle Streifen
Beobachtung:
- Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung an Hindernissen
- Licht als Welle
Mathematische Behandlung komplex.
Qualitatives Verständnis: Überlagerungs- und Ausbreitungseigenschaften von Wellen mit
- Superpositionsprinzip
Überlagerung mehrerer Wellen an einem Ort
analog Überlagerung von Schwingungen
I = I1 + I2 + I3 + ...
-Interferenz:
Wechselwirkung einer Welle mit sich selbst
Extremfälle 2 Wellen gleicher Frequenz
- effektiver Gangunterschied  = 0 in Phase  max. Verstärkung
- Einzelamplituden gegenphasig  = /2 : Auslöschung
--Ausbreitung
von Lichtwellen - Huygensches Prinzip:
Bsp: Wasserwellen - hineingeworfener Stein
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
232
Abweichung von Geometrischer Optik
x
 Licht als Welle
xmax
geom.

 optischen Instrumente mit endlichen
Optik
Öffnungsweiten: Beugung beschränkt
0
Beugung
Auflösungsvermögen
a
Spalt
Beugungsart
a, b
Licht
Fresnel
klein
divergent

parallel
a, b < 
ggf. Sammellinsen
Fraunhofer
b
Schirm
Beschreibung
Komplex
Winkel 'einfach'
7.3.3 Fraunhofersche Beugung
7.3.3.1 Einzelspalt
Beugungswinkel 
gebeugte
Wellenfront
A
einfallende
Wellenfront
d
 = BC = d * sin

C
B
Gangunterschied der Randstrahlen

Näherung: Spaltbreite d << Spaltlänge l
nicht gebeugte Wellenfront
JAVA Applett: Beugung von Licht am
Einfachspalt
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
233
Erklärung für die dunklen Stellen

Auslöschung !
A
min
Auslöschung !
d/2
B
C

Huygensches Prinzip:
Oberer und mittlerer sowie mittlerer und
Jeder Punkt im Spalt ist Quelle einer neuen
unterer Strahl sind gegenphasig und
Elementarwelle. Am Hindernis werden die
löschen sich somit aus !
Wellen abgelenkt
Auslöschung bei Abstand d/2  BC =  d.h. Gangunterschied  = /2
BC:  = d sinmin = 1. Minimum
Bsp: d = 10   min  6°
Geometrische Optik d >>  oder   0 Strahlen
weiteren Minima Gangunterschied ganzzahliges Vielfaches von 
Minima (dunkel)
n  = d sinmin
(OP - 3)
Beugungsordnung n = 1, 2, ...
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
234
Beobachtung Versuch :
Zwischen Minima helle Stellen : Maxima

A
Verstärkung !
max
Auslöschung !
d/3
C
B
3
2

Superpositionsprinzip: Gangunterschied zwischen max. Verstärkung und Auslöschung /2
Maxima (hell)
(n + 1/2) = d sinmax
Beugungsordnung n = 0, 1, 2, ...
(OP - 4)
Die Intensität der Beugungsmaxima - noch deren Verlauf können aber (rein geometrisch) nicht
hergeleitet werden. Zu vermuten ist aber ein geringere Helligkeit des 1. Maximums, da sich die
beiden unteren Strahlen auslöschen !
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
235
Beispiel Chip einer- Digitalkamera
- Chip 5 mm breit = 1000 Pixel, d.h. 1 Pixel = 5 µm breit
- Linsendurchmesser d = 5 mm (als Spalt)
- Abstand Linse - CCD : b = 10 mm
- Annahme: Heller Spot in Pixelmitte
- Trifft das 1. Beugungsmaximum ein danebenliegendes Pixel ?
Entspricht der Ort für das erste Maximum (xmax) der Pixelbreite (5 µm) ?
- Geometrie : tan = xmax/b
1. Maximum
1
/2  = d sinmax =d tan für kleine Winkel : 1/2  = d xmax / b
grünes Licht : 0,550 µm /2= 5mm xmax / 10mm
 xmax = 0,55 µm
 d.h. Pixelpitch liegt um einen Faktor von 10 über dem 1. Beugungmaximum !
selbst wenn gebeugtes Licht auf ein benachbartes fällt, wäre die Intensität
max. 5% des durchgehenden Strahles (s.u.). Dies wird relevant, wenn ein Pixel
100% 'hell' und das benachbarte ganz 'dunkel' sein soll, was üblicherweise nur
bei Testbildern vorkommt.
Beugung von polychromatischem Licht
polychromatisch: Licht mit 'vielen' verschiedenen Wellenlängen, z.B. Sonnenlicht
jede Wellenlänge wird an einen anderen Orte gebeugt, d.h. weißes Licht wird ‘farbig’
analog zur Spektralzerlegung durch Dispersion (s.o.)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
236
Intensität
winkelabhängiger Intensitätsverlauf nicht ermittelbar aus den bisherigen Überlegungen
mathematische Herleitung aus Kirchhoffschen Formeln ist komplex, nachfolgend vereinfacht:
z
Berechne die in P ankommende Wellen
(auf '1' normierte Amplitude) :
P
r0
+ d/2
r1 : y1 = sin(t - kr1)
r1

0
ro : yo = sin(t - kro)
 Gangunterschied
Gangunterschied  = z sin
mit z als Koordinate
r1 mit r0 ausgedrückt
- d/2
r1 = sin(t - k{ro + })
r1 = sin(t - kro – k z sin)
Überlagerung aller Elementarwellen des Spaltes:
- Aufsummieren aller Wellen
- für 'sehr viele' Wellen Übergang Summe - Integral :   
(Vgl. Herleitung Integral durch Ober- und Untersummen von Rechtecken)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
237
d
2

d



 2



1 

y   sint  kro  k z sin  dz 
cos t  kro  k z sin 


ksin 
d


  d

2

2

1 
kd
kd




sin   cos   
sin 
cos   
ksin 
2
2




mit cos(-) - cos(+) = 2 sin sin
y
I
2 
 kd

sint  kro  sin sin 
ksin 
 2

 kd

sin sin 
2


 sint  kro   d 
kd
sin
2
sinx
y~ d
x
Geometrische
~
Optik
1
x2
Beugung
5%
kd
d
mit x 
sin 
sin
2

xmax
0
x
Intensitätsverlauf Einzelspalt
2
hyperbolische Abnahme der Helligkeitsmaxima mit 1/x²
 sinx 
I~

 x 
x = 0 nach L'Hopitalscher Regel I = 1
d
x
sin

x entspricht Formel für Minima *  wegen Sinus
(OP - 6)
(I(0)  1)
Zum Weiterlesen: Babinetsches Prinzip
Öffnungen und Hindernisse haben komplementäre Beugungsbilder
Versuch Spalt mit Draht vertauscht
 es ergibt sich dasselbe Beugungsbild,
nur ist 'hell' und 'dunkel' vertauscht
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
238
7.3.3.2 Gitter (Grid)
Versuch:
Einzelspalt - breite Streifen
Gitter: scharfe Punkte,  groß = Hauptmaxima
Verstärkung :Gangunterschied = 
analog Minimum Einzelspalt
A
Verstärkung !
g >> d : Spaltbreite << Spaltabstand
 Spalte = Punktquellen
g
C
max
d
B

Hauptmaxima beim Gitter m = 0, 1, 2, ...
m  = g sinmax
(OP - 7)
durchgehender Strahl m = 0 = Hauptmaximum 0. Ordnung
Anwendung :
- Messung von 
- Strukturuntersuchungen mit Röntgenstrahlung Kristallgitter
Bsp: Gesucht: Beugungswinkel für Maximum 1. Ordnung bzw. Wellenlänge aus Ort
g = 1/500 mm, m = 1 ,  = 500 nm
xmax
  = g sinmax

 max = arcsin(/g) = arcsin(500 10-9 500 10-3)
0
= arcsin(0,25)  0,25
b
 max  15°
Schirm
tanmax = xmax / b und  = g sinmax
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
239
Zum Weiterlesen: Moiré - Streifen
werden erzeugt durch zwei nicht deckungsgleich aufeinanderliegende Gitter
Teilungsmoiré
Die Gitterkonstanten sind leicht
unterschiedlich - also 'verstimmt'.
Wie bei einer niederfrequenten Schwebung
(s.o.) im Zeitbereich tritt hier eine
'niedrigere' Ortsfrequenz auf.
Moiré-Streifenabstand: aM 
g2  g1
g2  g1
am

Verdrehungsmoiré
entstehen, wenn 2 Gitter mit gleicher
Gitterkonstante um den Winkel 
gegeneinander verdreht sind.
Moiré-Streifenabstand: aM 
g

am
Auftreten der Moiré-Streifen bei Bildschirmen mit 'festen' Pixelraster (= Gitter) und Darstellung von
Bildinhalten mit gitterähnlicher Struktur
- 'Pepita' - Anzüge im Fernsehen
- schlechter Abgleich / Einstellung bei LCD-Videobeamern mit Analogeingang
- Digitale Bildaufnahme (Foto, Scanner [Pixel per Inch]) und Wiedergabe (Pixelraster)
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
240
Moire bei sw-Bildern aufgrund
von Rasterung.
Beispiel: Eingescanntes Bild
bei hoher Scan-Auflösung
(links) und bei ScanAuflösung im Bereich der
Druckauflösung (rechts)
Moiré verursacht bei Farbbildern außerdem Farbrauschen
Vergrößert
Original

Bilder mit Digitalkamera von
Bildschirm
Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010
Streifenmuster
241
Zusammenfassung
Fraunhofersche
Einzelspalt
Gitter
Beugung
(viele Spalte / mm)
I
I
Intensitätsverlauf
geometrische Optik
geometrische Optik
Beugung
0
xmax
0
x
xmax
x
2
 sinx 
I~
 ; ( I(0)  1 )
 x 
Formel für Maxima
x

  arctan  max 
 b 
1 

sin     n  
2

 d
n = 1, 2, 3, ...
scharfe, diskrete Maxima
(OP - 2)
sin   n

g
(OP - 3)
g: Abstand Gitterlinien
d: Spaltbreite
b : Abstand Spalt Schirm
Fouriertransformation als Analogie zur optischen Beugung
mathematische Transformation eines
y(t)
Rechtecksignales im Zeitbereich 
| F(f) |
Fouriertransformation
Spaltfunktion im Frequenzbereich
t
f
Beugungsbild eines Spaltes entspricht Fouriertransformation eines Rechteckes mit der
Durchlässigkeit (0 1 0)
Die geometrische Optik erzeugt ein schmales und scharfes Rechteck, hier als Linie dargestellt
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Gegenüberstellung von Fouriertransformation und Beugung
Fourier / Beugung
Zeit- / Ortsbereich
Frequenz- / Wellenlängenbereich
A
A
Rechtecksignal
...
...
Gitter
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge
A
2 Reckeckimpulse
Doppeltspalt
t, x
A
Frequenz, Wellenlänge
A
1 Rechteckpuls
Einzelspalt
t, x
Frequenz, Wellenlänge
Hieraus ist ersichtlich, daß das zugrundeliegende physikalische Prinzip dasselbe ist !
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Bsp: Beugung an Linsen begrenzt das Auflösungsvermögen
Fernrohr auf 2 dicht benachbarte Sterne (Lichtquellen) gerichtet
Beugung führt zur Verbreiterung der Bilder
im Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-Maxima
 nur 1 hellen Fleck ; Analoges gilt für das Mikroskop
Intensität
Beugungsbild zweier
benachbarter Quellen
Überlagerung
Licht zweier
benachbarter
Objekte
z.B. Sterne
Überlagerung in einem verbreiterten
Linse
'Punkt'
Bildebene
praktisch nicht
unterscheidbar !
Fernrohr 2 dicht benachbarte Sterne 2 Lichtquellen
Beugung Verbreiterung der Bilder
Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte ZentralMaxima
 nur 1 hellen Fleck (Mikroskop analog)
Beugungsbild einer Linse
mit 2 Lichtquellen (z.B. Sterne)
‚Rutschen‘ die Lichtquellen enger
zusammen (unten links und rechts)
können Sie nicht mehr
unterschieden (‚aufgelöst‘) werden !
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Anwendung der Beugung
- Messtechnik
- Röntgenuntersuchung (Werkstoffkunde)
Bsp: DNA (Watson-Crick)
Materialuntersuchungen mit Röntgenstrahlen
Voraussetzung: Beugung am Punktgitter
Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz
muß erfüllt sein:
n  = 2 d sin


d
mit n = 1, 2, 3, ...
Laue-Aufnahme von NaCl schwarze Punkte = Interferenzen
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Beispiel für Untersuchungen mit Beugung: Muskel
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Übungsblatt Wellen/Optik
1. Berechnen Sie die erhöhte Eingangsleistung eines Parabolspiegels (A = 1m²) für einen 1cm²
großen Empfänger bei parallel einfallender Strahlung. Wie hoch ist der Gewinn (dB) bei 1W
Leistung. Versuchen Sie die geometrischen Verhältnisse mittels Computer nachzubilden (y=x²,
Tangentensteigung - Reflexionsbedingung).
60dB
2. Zeichnen Sie das Reflexionsbild für einen Halbkreis für senkrecht einfallende parallele Strahlen
(Katakaustik). Gut zu erkennen bei seitlich beleuchteter Kaffetasse.
3. Zeichnen Sie die Winkel für das 1. Maximum eines Einzelspaltes für die Wellenlänge 300nm
500nm und 700nm in Abhängigkeit von der Spaltbreite (0-30mm) auf. Warum wird bei der
Waferbelichtung möglichst kurzwelliges Licht verwendet? Berechnen Sie dies für eine
Leiterbahnbreite = Leiterbahnabstand von 0,5µm und einen „Schirm“abstand (Masken Waferabstand) von 1mm in Abhängigkeit von . Optimierungsmöglichkeiten ?
4. Sie wollen die Wellenlänge von monochromatischem Licht mit einem Gitter bestimmen. Bei
einer Gitterkonstanten von 10000 (Linien/cm) messen Sie im Abstand von 1m hinter dem Gitter
einen Abstand von 0,5m zwischen dem Hauptmaximum und dem 1. Maximum.  ?
477nm
5. Vergegenwärtigen Sie sich die Beugungserscheinungen an einem Doppelspalt ausgehend von
dem Huygensschen Prinzip.
6. Skizzieren Sie einzeln die 3 Fälle für die Sammellinse und vergleichen Sie.
7. Welche Extremfälle treten beim Auftreffen von Licht auf eine keilförmige Platte auf
a) monochromatisch
b) polychromatisch
(Beugung und Keilwinkel vernachlässigen)
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