Strahlenoptik 1. Hohlspiegel

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KAPITEL E
Strahlenoptik
1. Hohlspiegel
a) Brechung und Reflexion an gekrümmten Oberflächen
Abb. 69: Abbildung durch eine gekrümmte Oberfläche
Brechungs- und Reflexionsgesetz gelten auch für beliebig gekrümmte Oberflächen, wenn
man diese in der Umgebung des Auftreffpunktes durch ihre Tangentialebene ersetzt. Im folgenden betrachten wir den Strahlenverlauf in der Einfallsebene. Die Oberfläche wird in ihr
durch die Schnittkurve f(x) dargestellt, und Reflexion erfolgt an der Tangente. Für ein Bündel
von Strahlen ergibt sich ein neuer Effekt, wenn sich die Steigung über den Bündelquerschnitt
ändert. Dann werden alle Strahlen, die von einem Punkt ausgehen, unterschiedlich abgelenkt
und treffen sich für ein genügend schmales Bündel in einem anderen Punkt, dem sogenannten
Bildpunkt. Zur Konstruktion des reflektierten, bzw. gebrochenen Strahls benötigt man die lineare Näherung der Taylorentwicklung
∆y dy
= , (y − y 0 ) = y / (x o )(x − x 0 )
∆x dx
Zur Beschreibung der Lage des Bildpunktes die quadratische Näherung
(y − y 0 ) = y / (x 0 )∆x + 1 y // (x 0 )∆x 2
2
Die höheren Glieder der Taylorentwicklung sind für die Abbildungsfehler verantwortlich.
b) Exakte Abbildung von einem Punkt in einen zweiten
Abb. 70: Der elliptische Spiegel bildet streng einen Punkt
in einen anderen ab
54
Die Kurve, die alle Strahlen, die von einem Punkt G ausgehen, in einem zweiten Punkt B
sammelt, ist die Ellipse. G und B nennt man die Brennpunkte. Im Raum ist die entsprechende
Fläche das Rotationsellipsoid, das durch Rotation der Ellipse um die Achse entsteht, die die
Brennpunkte verbindet. Für den Sonderfall, daß einer der beiden Punkte ins Unendliche
rückt, degeneriert die Ellipse zur Parabel. Der zweite Punkt ist der Brennpunkt der Parabel
und sein Abstand zum Scheitel der Parabel die Brennweite f. Elliptische Spiegel werden in
blitzlampengepumpten Lasern verwendet. Blitzlampe und Lasermedium befinden sich in den
beiden Brennlinien des zylindrischen Spiegels mit elliptischem Querschnitt.
Abb. 71: Kugel- und Parabolspiegel mit gleicher
Brennweite
c) Kugelspiegel
In manchen Abbildungsproblemen benötigt man tatsächlich eine exakte Punkt-zu-Punkt-Abbildung, wie z.B. in der Astronomie. Oft kann man Ungenauigkeiten hinnehmen zugunsten
Abb. 72: Die Brennweite eines Kugelspiegels für achsennahe Strahlen
der Flexibilität. Hier sind oft Kugelspiegel günstiger.
Bei einem Kreis gilt (s. Abb. 72) MF = FA, so daß MFA ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Für achsenparallele Strahlen, die achsennah verlaufen, ist FA ≈ R/2 (R: Kugelradius). Daher
treffen sich alle achsennahen Strahlen im Brennpunkt F. Die Brennweite ist gleich dem halben Kugelradius
f = R/2
Abb. 73: Die Katakaustik
55
Da man eine beliebige Kurve in der Umgebung eines Punktes S bis zur 2. Ordnung durch den
Krümmungskreis approximieren kann, gilt obige Formel auch für anders geformte Flächen,
wenn man unter R den Krümmungsradius der Kurve versteht.
Für achsenferne Strahlen ist FS<R/2, z.B. für α = 60° ist FS = 0. Die Tatsache, daß sich achsenferne Strahlen nicht in F schneiden, nennt man sphärische Aberration. Die Einhüllende aller Strahlen, die von einer entfernten Lichtquelle ausgehen und an einem Kreis reflektiert
werden, ist die sogenannte Katakaustik, die man als Reflexion in Tassen beobachten kann.
Die sphärische Aberration hat im Strahlenbild die Ursache, daß der Kreis für achsenferne
Strahlen zu weit geneigt ist. Korrigiert man diese Neigung, erhält man eine Parabel, für die
der ursprüngliche Kreis der Krümmungskreis im Scheitel ist. Für achsennahe Strahlen verhalten sich Kreis, Ellipse und Parabel gleich.
Abb. 74: Symmetrie beim Kugelspiegel
d) Schmidt - Teleskop
Ein Kugelspiegel ist symmetrisch um seinen Mittelpunkt M. Daher werden Lichtbündel, die
durch den Mittelpunkt gehen und verschieden geneigt sind, mit gleicher Qualität abgebildet.
Z.B. erscheinen Sterne, die mit einem Kugelspiegel aufgenommen werden, über das ganze
Abb. 75: Schmidt-Teleskop
Gesichtsfeld etwa gleich scharf. Bei einem Parabolspiegel vergrößern sich die Linsenfehler
mit steigender Neigung drastisch, da hier die Symmetrie um den Mittelpunkt fehlt. Sterne erscheinen in den Randbezirken wie Kometen. Man nennt diesen Fehler daher Koma.
Eine Möglichkeit zur Korrektur der sphärischen Aberration ohne Verlust der Zentralsymmetrie bildet das Schmidt - Teleskop. Der Hauptspiegel ist kugelförmig. Zur Korrektur der
Abb. 76: Katzenauge
56
sphärischen Aberration wird im Kugelmittelpunkt eine Linse mit speziellem Profil angebracht, deren optische Dicke zum Rand hin zunimmt, so daß die Wellenfronten in geeigneter
Weise verformt werden, um exakt den Fokus zu treffen.
Das Katzenauge besteht aus einem Glaskörper mit zwei Kugelflächen, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben. Parallele Strahlenbündel werden auf eine verspiegelte Kugelfläche
fokussiert. Dadurch werden Strahlen in die Einfallsrichtung zurückreflektiert. Eine andere
Möglichkeit zur Konstruktion eines Katzenauges besteht in der Reflexion an den drei Flächen
einer Würfelecke.
2. Dünne Linsen
a) Abbildungsgesetz
Für flexible Laboraufbauten werden am häufigsten dünne Linsen mit kugelförmigen Oberflächen eingesetzt. Die Abbildung wird nach dem vorher Gesagten nie exakt, sondern nur in einer gewissen Näherung möglich sein. Wir nehmen an, daß die Krümmungsradien groß gegen
den Linsenradius sind.
Abb. 77: Die Wirkung einer Linse im Strahlenbild
Im Strahlenbild kann man sich die Linse im Querschnitt aus Prismen mit unterschiedlichen
Prismenwinkeln zusammengesetzt denken. Bei einer Sammellinse wählt man die Prismenwinkel so, daß ein paralleles Strahlenbündel in einem Punkt gesammelt wird. Bei Zerstreuungslinsen scheinen sie von einem Punkt zu kommen.
Abb. 78: Wirkung einer Linse im Wellenbild
Im Wellenbild werden dadurch, daß das Licht im Linsenkörper langsamer läuft als in der
Luft, ebene Wellenflächen zu Kugelflächen verformt. Der Brennpunkt liegt im Mittelpunkt
der Kugelflächen.
Abb. 79: Die Ableitung des Abbildungsgesetzes
mit dem Prinzip von Malus
57
Zur Herleitung des Abbildungsgesetzes gehen wir vom Satz von Malus aus. Wir betrachten
zunächst nur drei Strahlen: Einen, der durch die Linsenmitte geht und zwei, die den Rand berühren. Da wir uns auf die Näherung beschränken, in der eine gekrümmte Fläche genügend
genau durch den Krümmungskreis approximiert wird, benötigen wir drei Punkte, um eine
Wellenfläche zu spezifizieren. Wegen der Symmetrie um die Achse benötigen wir sogar nur
zwei Punkte. Wir vergleichen daher die optischen Weglängen von Strahl (1) und (2) in Abb.
79:
L 1 = GSB = g 2 + h 2 + b 2 + h 2
= g 1 + (h/g) + b 1 + (h/b) 2
2
≈ g  1 + 1 (h/g)  + b  1 + 1 (h/b) 2 
2
2
2
Abb. 80: Der Zusammenhang von Krümmungsradius, Linsendicke und Linsengröße
L 2 = GMB = g + b − (d 1 + d 2 ) + n(d 1 + d 2 )
= g + b + (n − 1)(d 1 + d 2 )
Aus der Bedingung L1 = L2 ergibt sich dann
1 + 1 = (n − 1)  d 1 + d 2 
g b
 h2 h2 
Der Zusammenhang von R, h und d ergibt sich nach nebenstehender Abbildung bei Betrachtung des rechtwinkligen Dreiecks
R2 = (R - d)2 + h2
R2 = R2 - 2Rd + d2 + h2
Für wenig gekrümmte Oberflächen kann man d2 gegenüber h2 vernachlässigen
2d = 1
h2 R
Damit erhalten wir die endgültige Form des Abbildungsgesetzes
1+1=1
(1)
g b f
mit
58
1 = (n − 1)  1 + 1 
(2)
 R1 R2 
f
Da wir annehmen, daß alle Kurven durch ihre quadratische Approximation genügend genau
dargestellt werden, gilt die Aussage für alle Strahlen, die durch die Linse gehen. (1) ist das
Abbildungsgesetz für dünne Linsen. Es gibt unterschiedliche Vorzeichenkonventionen. Oben
haben wir die Konvention benutzt, bei der alle gegenstandsseitigen Lagen nach links, alle
bildseitigen nach rechts positiv zählen. Diese Konvention ist für Sammellinsen bequem, da
dann alle Entfernungen positiv sind. Für kompliziertere Systeme ist es bequemer, ein Koordinatenkreuz in die Mitte der Linse zu legen und alle Positionen rechts als positiv, links als negativ zu zählen. Krümmungsradien werden vom Mittelpunkt an gemessen. Dann hat die Abbildungsgleichung (1) die Form:
− 1a + 1/ = 1/
a
f
und für die Linsen
1 = (n − 1)  1 − 1 
 R1 R2 
f/
Zerstreuungslinsen haben negative bildseitige Brennweiten f'.
Für g → ∞ ergibt sich b = f. f ist also die früher definierte Brennweite. Je näher der Gegenstand an die Linse rückt, desto weiter entfernt sich sein Bild. Bei g = 2 f wird b = 2 f. Gegenstand und Bild sind gleich weit von der Linse entfernt und haben den kleinsten gegenseitigen
Abstand. Die Brennweite ist an beiden Seiten der Linse gleich. Größere Brechungsindizes erlauben Linsen mit weniger gekrümmter Oberfläche.
Da es zur Ableitung dieses Gesetzes nur auf die Verzögerung der Wellenfront auf der Achse
ankam, und diese durch n und die Gesamtdicke der Linse gegeben ist, kommt es in dieser Näherung nicht darauf an, wie die Krümmungsradien auf beide Flächen verteilt sind. Zerteilt
man die bikonvexe Linse durch einen ebenen Schnitt in zwei plankonvexe und nennt man
(n-1)/R die Brechkraft einer der Linsen, so erkennt man, daß sich die Brechkräfte dünner Linsen, die nahe zusammenliegen, addieren.
Abb. 81: Ein Strahl geht schräg durch eine Sammellinse
1= 1+ 1
f f1 f2
Abb. 82: Der Winkel α
1/f mißt man in Dioptrie = m-1.
b) Schräger Einfall
59
Bei einer schräg zur Achse einfallenden Welle ändert sich in der Ebene, die in Abb. 81 die
Zeichenebene ist, das Verhältnis 2d/h2, da h kleiner wird. In der anderen Ebene ändert sich
dieses Verhältnis schwach.
D.h. die Brennweite in der Zeichenebene wird etwas kürzer als die in einer senkrecht dazu
stehenden Ebene. h* = h · cos α, d* = d/cos α
Abb. 83: Astigmatismus
Da für kleine Winkel cos α ≈ 1 − α 2 /2 , erhält man
1 ∼ 2d ∼ 1 ∼  1 + 3α 2 
2 
f h 2 cos 3 α 
Solange α so klein ist, daß man α2 vernachlässigen kann, ändert sich nichts. In dieser Näherung ist sin a ≈ tan a und ein ausgedehnter Gegenstand in einer Ebene senkrecht zur Achse der
Gegenstandsebene wird in eine ebenfalls senkrecht zur Achse stehenden Bildebene abgebildet. Bei starker Neigung erhält man in der Zeichenebene von Abb. 83 eine stärkere Brechkraft
als senkrecht dazu.
Wie aus Abb. 83 abzulesen ist, wird ein Punkt in zwei senkrecht zueinander stehende Linien
abgebildet. Diesen Fehler nennt man Astigmatismus. Er tritt auch bei Einfall parallel zur optiAbb. 84: Bildkonstruktion bei dünnen Linsen
schen Achse auf, wenn die Linse in zwei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen unterschiedliche Krümmungsradien aufweist.
c) Bildkonstruktion
Wir setzen voraus, daß die Linse alle Punkte der Gegenstandsebene in die Bildebene abbildet.
Daher genügt es, das Bild eines Punktes des Gegenstandes zu konstruieren. Zur Konstruktion
des Strahlenganges nutzen wir folgende Regeln aus:
α) Strahlen gehen geradlinig durch die Mitte der Linse. In der Mitte verhält sich die Linse wie
eine dünne planparallele Platte.
β) Strahlen, die parallel zur Achse einfallen, schneiden die Achse im Brennpunkt. Parallel zur
Achse vom Gegenstand her einfallende Strahlen treffen den bildseitigen Brennpunkt und
60
umgekehrt. Ein schräg zur Achse laufendes Bündel von parallelen Strahlen sammelt sich
in der Brennebene.
γ) Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten
Hat man mit dieser Konstruktion einen Bildpunkt B zu einem Gegenstandspunkt G gefunden,
so gehen nach Voraussetzung alle Strahlen, die von G ausgehen und die Linse treffen, durch
B. Es ist also nicht notwendig, daß ein Konstruktionsstrahl durch die Öffnung einer tatsächlich vorliegenden Linse geht. Man kann sich die reale Linse durch eine mit größerer Öffnung
ersetzt denken, bei der die Brennpunkte an der gleichen Stelle liegen. Die Größe der Öffnung
Abb. 85: Beispiel für ein virtuelles Bild: Strahlengang
einer Lupe
ändert an den Abbildungseigenschaften im Strahlenbild nichts.
Man zeichnet zunächst 2 Strahlen, die von einem Punkt des Gegenstandes ausgehen und parallel zur Achse durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt Fg oder durch die Linsenmitte lau-
Abb. 86: Beispiel für eine virtuelle Abbildung mit einer
Zerstreuungslinse
fen. Die Strahlen werden bis zur unendlich dünnen und unendlich ausgedehnt gedachten Linse gezeichnet. Die gebrochenen Strahlen ergeben sich nach obigen Regeln. Ihr Schnittpunkt
ist der Bildpunkt, in dem sich alle übrigen von dem betrachteten Punkt ausgehenden Strahlen
treffen. Wenn sich die gebrochenen Strahlen an der Bildseite nicht treffen, muß man sie nach
rückwärts verlängern. Solche verlängerten Strahlen nennt man virtuell und ihren Schnittpunkt
ein virtuelles Bild. Ein virtuelles Bild läßt sich nicht mit einem Schirm auffangen, aber das
Abb. 87: Konstruktion des Strahlenverlaufes bei windschiefen Strahlen
Auge sieht dort ein Bild, wo die ins Auge fallenden Strahlen sich treffen.
Beispiel: Strahlengang einer Lupe
Abb. 88: Querschnitt durch ein menschliches Auge
Beispiel Zerstreuungslinse, f < 0
61
Windschiefe Strahlen konstruiert man, indem man sie durch Brenn- oder Mittelpunktstrahlen
zu einem Parallelstrahlenbündel ergänzt und ausnutzt, daß dieses sich in der Brennebene
sammelt.
3. Einfache optische Geräte
a) Das Auge
Abb. 89: Korrektur von Fehlsichtigkeit
Das Auge gehört eigentlich nicht zu den einfachen optischen Geräten, aber wir müssen einige
seiner Grundfunktionen kennen, um die Arbeitsweise einfacher optischer Geräte zu verstehen. Das Auge arbeitet wie eine Kamera. Die Linsenwirkung wird durch die Hornhaut, die in
ihrer Brennweite verstellbare Linse und den Glaskörper, der das Augeninnere ausfüllt, bewirkt, wobei den Hauptanteil die Hornhaut erzielt. Der Gegenstand wird auf der Netzhaut abgebildet, die die Funktion eines zweidimensionalen Detektorarrays hat und einen Teil der
Bildverarbeitung leistet. Die Detektoren sind in der Lage, einzelne Photonen nachzuweisen.
Abb. 90: Verbesserung der Schärfe durch eine Lochblende
Die einfallende Lichtleistung wird über die Pupillenöffnung reguliert. Beim Fotoapparat würde man f/r die Blendenzahl nennen. Die einfallende Leistung ist proportional zu (r/f)2. Das
Auge kann 15 Zehnerpotenzen an Lichtintensität überbrücken.
Die Regulierung der Empfindlichkeit heißt Adaption, die Regulierung der Brennweite
Akkommodation
Wir beschreiben die Funktion des Auges in erster Näherung als eine Kamera mit Zoomlinse.
Wenn die Brennweite zu lang für das Auge ist, spricht man von Weitsichtigkeit. Dieser Fehler kann durch Erhöhen der Brechkraft, d.h. durch eine zusätzliche Sammellinse korrigiert
Abb. 91: Der Sehwinkel
werden. Im Alter ist dies generell erforderlich, da der Akkommodationsbereich der Linse
nachläßt. Im umgekehrten Fall benötigt man eine Zerstreuungslinse.
62
Eine gewisse Verbesserung der Schärfe läßt sich schon durch eine Verkleinerung der Blendenöffnung erreichen, etwa durch ein gelochtes Papier, das vor das Auge gehalten wird. Das
Scheibchen auf der Retina, das durch Abbildung einer Punktquelle entsteht, wird dadurch
Abb. 92: Wirkungsweise einer Lupe
kleiner. Aus gleichem Grund erhöht sich die Tiefenschärfe einer Kamera durch Verkleinerung
der Blendenöffnung. Das einfachste abbildende System, das z.B. in Frequenzbereichen verwendet wird, in denen es keine Linsen gibt, ist die Lochkamera.
Von einem optischen Instrument erwarten wir, daß es eine Vergrößerung bewirkt oder daß es
die Helligkeit verbessert. Daneben gibt es Geräte, den Kontrast zu verbessern oder Meßvorgänge ausführen zu können.
α
Die Vergrößerung ist v= αm , wobei αo und αm die Sehwinkel ohne und mit Instrument sind.
0
b) Die Lupe
Die Lupe ist eine Sammellinse, die man vor das Auge hält, um nahe Gegenstände zu vergrö-
Abb. 93: Brennglas
ßern. Um den Sehwinkel α zu konstruieren, zeichnen wir zu einem vom Gegenstand ausgehenden Mittelpunktstrahl einen Parallelstrahl, der durch den Mittelpunkt der Augenlinse geht.
Man sieht, daß in Abb. 92 keine Vergrößerung des Sehwinkels vorkommt. Der eigentliche
Nutzen der Lupe besteht nicht in einer Vergrößerung, sondern darin, daß man mit Lupe näher
an einen Gegenstand kommen kann als ohne Lupe. Als Vergrößerung definiert man daher das
Verhältnis von Sehwinkel, unter dem der Gegenstand ohne Lupe erscheint, wenn er sich in
der kleinsten Entfernung vom Auge befindet, die ein bequemes Betrachten zuläßt, zu Sehwinkel ohne Lupe. Diese Entfernung legt man auf s = 25 cm fest und nennt sie die Weite deutlichen Sehens.
c) Das Brennglas
Mit einem Brennglas soll die Leistungsdichte S, z.B. der Sonnenstrahlung, erhöht werden.
Dies kann z.B. bei der Konstruktion eines Sonnenkraftwerkes nützlich sein. Bei der Berechnung von S muß man beachten, daß das Bild der Sonne auf dem Schirm eine endliche Ausdehnung ρ = αf hat. α = 0, 25 = 4 ⋅ 10 −3 rad ist der Winkelradius der Sonne. Das Bild der
63
Sonne kann größer sein als die Linse selbst, d.h. die Leistungsdichte in der Fokalebene kann
geringer sein als auf der Linsenfläche. Die Gesamtleistung P0 auf Schirm und Linse sind
gleich. Das Verhältnis der Leistungsdichten ist dann
2
P0 P0  r  2  r 
SS
=
/
=
= 
 fα 
S L πρ 2 πr 2  ρ 
Bei einem guten Brennglas muß also die Apertur r/f möglichst groß sein.
Abb. 94: Die Helligkeit von Punktstrahlern
Beispiel (wie Archimedes die feindlichen Schiffe vor Syrakus zerstörte):
α
2α = 0, 5 0 (Sonne), α rad = π ≈ 1 , 2αrad = 8 ⋅ 10 −3
grad
180 60
f = 100 m, 2 ρ = f2a = 0, 8m
d) Bemerkung zur subjektiven Helligkeit von Lichtquellen
Wie sich die empfundene Helligkeit einer Lichtquelle mit ihrer Entfernung vom Auge ändert,
hängt davon ab, ob es sich um eine punktförmige oder flächenhafte Lichtquelle handelt. Dabei definieren wir eine punktförmige Lichtquelle als eine solche, deren Bild im Auge so klein
ist, daß jeweils nur ein Detektor anspricht. Werden mehrere Detektoren erregt, nennen wir die
Lichtquelle flächenhaft. Die Helligkeitsempfindung wird durch die Energie pro Detektor
bestimmt.
Wenn P0 die nach allen Seiten (isotrop) ausgestrahlte Leistung der Punktquelle ist, gelangt in
die Linse
P = P0 Ω
4π
wobei Ω = πr 2 /g 2 der Raumwinkel ist, unter dem die Linse von der Lichtquelle her erscheint.
2
P 1 = P 0 πr
g 21 4π
Abb. 95: Die Helligkeit bei Flächenstrahlern
2
P 2 = P 0 πr
g 22 4π
64
Daraus folgt P1/P2 = (g2/g1)2. Die im Auge registrierte Leistung nimmt mit dem Quadrat der
Entfernung der Punktquelle vom Auge ab. Da die gesamte Leistung von einem einzelnen Detektor aufgenommen wird, nimmt die Helligkeit ab. Dies ist der Grund, warum weiter entfernte Sterne dunkler erscheinen als nähere.
Bei Flächenstrahlern wird mit größerer Entfernung das Bild kleiner, d.h. die geringere Leistung, die das Auge aufgrund der größeren Entfernung aufnimmt, verteilt sich auf eine kleinere Fläche
S 2 P 2 /A 2 P 2 A 1
=
=
⋅
S 1 P 1 /A 1 P 1 A 2
A1  y1  2  g2  2
=
= g 
1
A2  y2 
Abb. 96: Strahlengang des Keplerschen
Fernrohres
P2  g1  2
=
P1  g2 
Es folgt S2/S1 = 1. Flächenstrahler erscheinen unabhängig von ihrer Entfernung gleich hell.
Dies beobachtet man etwa bei Neonleuchten in einem Flur.
e) Das Fernrohr
Ein teleskopisches System ist ein Linsensystem, das ein Bündel von parallelen Strahlen wieder in ein Bündel von parallelen Strahlen überführt. Ein solches System wird außer für Fern-
Abb. 97: Strahlengang beim Galilei Fernrohr
rohre zur Strahlaufweitung und in Laserresonatoren verwendet. Wir betrachten das Keplersche und das Galileische Fernrohr (Johannes Kepler, 1571 - 1630; Galileo Galilei, 1514 1642). Beide bestehen aus einer langbrennweitigen Objektivlinse und einer kurzbrennweitigen Okularlinse, wobei bildseitiger Brennpunkt des Objektivs und gegenstandsseitiger
65
Brennpunkt des Okulars zusammenfallen. Beim Keplerschen Fernrohr ist die Brennweite des
Okulars positiv, beim Galileischen negativ. Im übrigen ist der Aufbau analog.
Beim Keplerschen Fernrohr entsteht in der Fokalebene ein reelles Bild, das mit dem Okular
angesehen wird. Die Vergrößerung ergibt sich aus einer geometrischen Betrachtung der Mit-
Abb. 98:
Mikroskops
Strahlengang
des
telpunktstrahlen durch Objektiv und Okular.
α
tan α 2 h h f 1
v= α2 =
= / =
1
tan α 1 f 2 f 1 f2
Die Vergrößerung wird also umso stärker, je länger die Brennweite von Objektiv und je kleiner die von Okular ist. Neben der Vergrößerung spielt die Lichtausbeute (Dämmerungsfaktor)
und der Gesichtfeldwinkel für die Qualität eines Fernrohres eine Rolle.
Beim Galileischen Fernrohr bleibt die Behandlung der Vergrößerung gleich, und es ergibt
sich wie beim Keplerfernrohr
f1
v=
f2
Das Bild ist hier im Gegensatz zum Keplerfernrohr aufrecht, die Länge des Teleskopes ist bei
gleichen Brennweiten kleiner. Ein wesentlicher Nachteil besteht darin, daß der Gesichtsfeld-
Abb. 99: Kondensor
winkel kleiner ist.
f) Das Mikroskop
Das kurzbrennweitige Objektiv bildet den Gegenstand, der sich knapp außerhalb der Brennweite f1 befindet, in ein reelles, vergrößertes Zwischenbild im Abstand l vom Objektiv ab, das
mit dem Okular als Lupe betrachtet wird. Um die Vergrößerung zu bestimmen, muß die Größe von Gegenstand und Bild wie bei der Lupe im Abstand der deutlichen Sehweite s verglichen werden. Die Vergrößerung des Objektivs ist v1 = l/f1 , des Okulars v2 = s/f2.
66
Die Gesamtvergrößerung ist das Produkt
lges = v1 · v2 = ls/f1f2.
Abb. 100: Schlierenaufbau
Die Vergrößerung wird umso größer, je größer l und je kleiner f1 und f2 sind.
g) Der Kondensor
Eine Kondensorlinse wird in der Nähe des abzubildenden Gegenstandes aufgestellt, um die
Intensität des Bildes zu erhöhen, indem sie die Lichtquelle in die eigentliche Abbildungslinse
abbildet.
Abb. 101: Foucaultsche Messerschneidenmethode
Der Kondensor beeinträchtigt die Abbildung selbst praktisch nicht. Die Abbildungseigenschaften des Kondensors brauchen daher nicht besonders gut zu sein. Wichtig ist seine große
Apertur. Ein Strahlengang wie in Abb. 99 wird Hand-in-Hand Abbildung genannt.
Abb. 102: Koordinaten bei der kollinearen Abbildung
67
h) Das Schlierenverfahren
Der Schlierenaufbau dient dazu, Punkte, an denen Licht abgelenkt wird, sichtbar zu machen,
z.B. in Flammen. Der Aufbau ist wieder eine Hand-in-Hand Abbildung, wobei die Schlierenblende dafür sorgt, daß nicht abgelenktes Licht nicht auf den Schirm gelangt. Wird Licht im
Objekt abgelenkt, so geht es an der Schlierenblende vorbei. Die Bildpunkte der Stellen des
Objektes, die eine Ablenkung hervorrufen, erscheinen auf dem Schirm hell.
Ein Spezialfall des Schlierenaufbaus ist die Foucaultsche Messerschneidenmethode zur Überprüfung und Justierung von Hohlspiegeln.
4
a) Die kollineare Abbildung
Die Abbildungstheorie für dünne Linsen ist ein Sonderfall einer allgemeineren
Abbildungstheorie.
Die allgemeinste Abbildung, die Punkte in Punkte, Gerade in Gerade und Ebenen in Ebenen
aus einem kartesischen Raum (ξ, η, ζ) in einen anderen (ξ , η , ζ ) abbildet, ist die kollineare
Abbildung.
a1ξ + b1η + c1ζ + d1
a0 ξ + b0η + c0 ζ + d0
a2ξ + b2η + c2ζ + d2
η/ =
a0 ξ + b0η + c0 ζ + d0
a3 ξ + b3 η + c3ζ + d3
ζ/ =
a0 ξ + b0 η + c0ζ + d0
Diese Transformationen bilden eine Gruppe, in der eine Abbildung ein Element ist, die Hintereinanderausführung die Verknüpfung. Man kann also zwei hintereinander ausgeführte Abbildungen durch eine einzige mit gleichen Grundeigenschaften ersetzen.
Zur Beschreibung optischer Abbildungen interessieren nur weiter eingeschränkte
Abbildungen:
ξ/ =
α) Die Systeme sollen axial symmetrisch sein, d.h. die Abbildungsgesetze für die variablen
η und ζ sollen identisch sein.
β) Punkte, die sich vor der Abbildung an der Achse spiegeln, sollen Spiegelpunkte bleiben,
d.h. aus −η = η s soll folgen -η = η s , ξ = ξ s . Durch Einsetzen dieser Bedingungen in die
allgemeinen Transformationsgleichungen stellt man fest, daß die allgemeinste Transformation, die dies leistet, die Form hat:
68
ξ/ =
a1ξ + d1 /
b2η
, η =
a0ξ + d0
a0ξ + d0
(1)
Der Koordinatenursprung der beiden Systeme liegt also auf der Achse. Die ξ -Position ist
noch beliebig. Alle Größen zählen positiv nach rechts.
b) Brennpunkte
Eine solche Abbildung hat in jedem der beiden Räume einen Brennpunkt. Läßt man ξ → ∞
Abb.103: Geometrie bei der Abbildung mit rationalen
Vorzeichen
a
gehen, wird ξ / = ξ /F / , mit ξ /F / = a 1 , bildseitiger Brennpunkt.
0
d
Andererseits wird für ξ / → ∞, ξ = ξ F , mit ξ F = − a 0 gegenstandsseitiger Brennpunkt.
0
c) Abbildungsgesetz
Bisher wurde über die Koordinatenursprünge der beiden benutzten Systeme keine Aussage
gemacht. Als ausgezeichnete Punkte bieten sich die Brennpunkte an. Wir transformieren daher die Abbildungsgleichungen (1) auf die Brennpunkte:
d
x = ξ − ξF = ξ + a 0
(2)
0
a
x / = ξ / − ξ/F / = ξ / − a 1
0
Einsetzen in Gl. 1 ergibt:
a (x − d 0 /a 0 ) + d 1
a
x/ + a1 = 1
0
a 0 (x − d 0 /a 0 ) + d 0
a 1 x − a 1 d 0 /a 0 + d 1
a0x
a
d − a d /a
= a 1 + 1 a 1x 0 o
0
0
=
Es folgt das Newtonsche Abbildungsgesetz
xx / =
d1a0 − a1d0
a 20
Aus der üblichen Abbildungsgleichung findet man durch Transformation auf die Brennpunkte
xx / = ff /
d) Brennweiten
69
Abb. 104: Hauptebenen
Die Brennweiten f und f' legen wir so fest, daß sich das Newtonsche Abbildungsgesetz ergibt,
und daß die Lateralvergrößerung korrekt beschrieben wird. Bei dünnen Linsen gilt:
y/
x/ = − f
=
−
y
x
f/
(3)
Abb.105: Bildkonstruktion mit Hauptebenen
(y' <0, x', f', y > 0)
Bei der kollinearen Abbildung haben wir nach Gl. 1:
y/ η/
b2
b2
y = η = a0ξ + d0 = a0x
(s. Gl.2)
Durch Vergleich mit Gl. 3 ergibt sich
Abb. 106: Konstruktion der Hauptebene
b
f = − a2
0
aus der Newtonschen Abbildungsgleichung
Abb. 107: Geometrie für den allgemeineren Fall der
Abbildung
70
f =
d1 a0 − a1 d0
a0b2
e) Hauptebenen
Als Hauptpunkte definieren wir nun die Achsenpunkte, bei denen die Lateralvergrößerung 1
wird, als Hauptebenen die Ebenen, die senkrecht zur Achse stehen und diese in den Hauptpunkten schneiden. Die Lage der Hauptebenen folgt dann aus Gl. 3 mit y'/y = 1.
x'H = -f''
xH = -f
In der jetzt adoptierten Vorzeichenkonvention werden alle Größen vom Brennpunkt an nach
rechts positiv gerechnet. Bei positiven Brennweiten hat man dann die Geometrie von
Abb. 104.
f) Bildkonstruktion
Die Bildkonstruktion verläuft dann völlig analog zu der bei dünnen Linsen mit dem einzigen
Unterschied, daß man die ausgezeichneten Strahlen nicht bis zur Linsenebene zeichnet, sondern bis zur Hauptebene und den Auftreffpunkt 1 : 1 auf die zweite Hauptebene überträgt.
Zeichnerisch findet man die Hauptebenen, indem man einen parallel zur Achse einfallenden
Strahl durch das gesamte Linsensystem verfolgt. Dort, wo er die Achse schneidet, ist der
Brennpunkt, wo er den einfallenden Strahl schneidet, ist die Hauptebene der dem Einfallsraum abgewandten Seite.
g) Ungleiche Brechungsindizes im Bild- und Gegenstandsraum
Im allgemeinen unterscheiden sich gegenstands- und bildseitige Brennweite. Bei Linsensystemen oder gekrümmten Grenzflächen zwischen zwei Medien ist dies der Fall, wenn die Brechungsindizes rechts und links verschieden sind. Wir zeigen dies an einer dünnen Linse, die
Abb. 108: Knotenpunkte
wie früher mit dem Satz von Malus behandelt wird.
ng g2 + h2 + nb b2 + h2 = ng g + nb b + l
(l = (n - ng)dg + (n - nb)db)
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ngg(1 - h2/2g2) + nbb(1 + h2/2g2) = ngg +nbb + l
ng nb
g + b = const
Abb. 109: Konstruktion der
Lage der Brennpunkte und
Hauptebenen
Die Brennweiten erhält man für g bzw. b → ∞
ng
n
= const, b = const
fg
fb
Es folgt:
ng nb
=
fg fb
Die Brennweiten verhalten sich wie die Brechungsindizes.
h) Knotenpunkte
Bei der Bildkonstruktion bei einem System mit zwei Hauptebenen kann auch der Mittelpunktstrahl benutzt werden, wenn rechts und links die Brennweiten gleich sind: Man zeichnet
einen Strahl bis zum Hauptpunkt, versetzt ihn zum konjugierten Hauptpunkt mit gleicher
Neigung u gegen die Achse. Im allgemeinen Fall mit unterschiedlichen Brennweiten geht dies
nicht. Die Orte, an denen die Neigung des Strahls gegen die Achse für Strahl und konjugierten Strahl gleich sind, die sogenannten Knotenpunkte, fallen im allgemeinen nicht mit den
Hauptpunkten zusammen.
Def.: Knotenpunkte sind die Achsenpunkte mit u = u'
f tan u = -x' tan u'
xK' = -f, xK = -f'
Der Knotenpunkt K hat den Abstand f' von F, K' den Abstand f von F'. Für n = n' unterscheiden sich Knotenpunkte und Hauptpunkte nicht.
Abb. 110: Die Hauptebenen können bei dicken Linsen auch außerhalb der Linse liegen
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i) Zusammengesetzte Systeme
Mit den im vorigen Abschnitt dargelegten Methoden läßt sich die Lage der Haupt- und
Brennpunkte finden, wenn die der einzelnen Komponenten, die ein System bilden, bekannt
sind. Eine Konstruktionszeichnung zeigt Abb. 109.
−−
Dabei ist F 2 P ein Hilfsstrahl, parallel zum ursprünglichen F'1R, um den weiteren Verlauf des
einfallenden Strahls hinter der zweiten Linse zu konstruieren. Der Zeichnung entnimmt man
h = z
f ;;/ f ;;/
2
h = −z
;;/
l
f1
(f2´, h, l, f1' > 0 ; z, f' < 0)
;;/
f1
l ,
= − ;;/
;;/
f
f2
−f 1 f 2
l
;;/ ;;/
f ;;/ =
Mit l = d − f 1 − f 2 = d − f 1 − f 2 erhält man
;;/
;;/
;;/
1 = 1 + 1 − d
;;/
;;/ ;;/
f ;;/ f ;;/
f2 f1 f2
1
Für d → 0 ergibt sich die bekannte Addition der Brechkräfte.
j) Dicke Linsen
Mit dem obigen Formalismus läßt sich die Lage der Brennpunkte und Hauptebenen bei dikken Linsen berechnen. Man behandelt zunächst eine kugelförmige Oberfläche eines Glaskörpers in der Näherung dünner Linsen. Sie hat nur eine Hauptebene und zwei unterschiedliche
Brennweiten. Die dicke Linse betrachtet man als System zweier solcher Kugelflächen.
Abb. 110 zeigt für einige typische Linsenformen die Lage der Hauptebenen.