Mathematisches Grundwissen - MTA

Mathematisches Grundwissen......................................................................................................................2
Summen und Differenzen ..............................................................................................................................2
Rechnen mit Brüchen ....................................................................................................................................3
Addition und Subtraktion...............................................................................................................................3
Erweitern / Kürzen ........................................................................................................................................3
Multiplikation / Division..................................................................................................................................3
Aufgaben - Rechnen mit Brüchen.................................................................................................................4
Lösungen - Rechnen mit Brüchen ................................................................................................................6
Rechnen mit Termen ......................................................................................................................................8
Vereinfachen durch Ausklammern................................................................................................................8
Multiplikation von Summen ...........................................................................................................................8
Binomische Formeln .....................................................................................................................................9
Bruchterme....................................................................................................................................................9
Aufgaben - Rechnen mit Termen................................................................................................................10
Lösungen - Rechnen mit Termen ...............................................................................................................12
Potenzen und Wurzeln .................................................................................................................................15
Addition und Subtraktion.............................................................................................................................15
Multiplikation ...............................................................................................................................................15
Division........................................................................................................................................................15
Potenzieren .................................................................................................................................................16
Radizieren (Wurzelziehen)..........................................................................................................................16
Aufgaben – Potenzen und Wurzeln ............................................................................................................17
Lösungen – Potenzen und Wurzeln............................................................................................................19
Logarithmen ..................................................................................................................................................22
Logarithmensysteme...................................................................................................................................22
Logarithmengesetze ...................................................................................................................................23
Aufgaben – Rechnen mit Logarithmen .......................................................................................................24
Lösungen – Rechnen mit Logarithmen.......................................................................................................25
Logarithmische Skalierung..........................................................................................................................27
Aufgaben – Logarithmische Skalierung ......................................................................................................29
Lösungen – Logarithmische Skalierung......................................................................................................30
Gleichungen ..................................................................................................................................................31
Äquivalenzumformungen ............................................................................................................................31
Aufgaben – Lineare Gleichungen ...............................................................................................................32
Lösungen – Lineare Gleichungen ...............................................................................................................33
Quadratische Gleichungen..........................................................................................................................35
Aufgaben – einfache quadratische Gleichungen ........................................................................................36
Lösungen – einfache quadratische Gleichungen........................................................................................37
Quadratische Ergänzung ............................................................................................................................38
p-q-Formel (kleine Lösungsformel) .............................................................................................................39
a-b-c-Formel (große Lösungsformel)..........................................................................................................39
Satz von Vieta .............................................................................................................................................40
Linearform der quadratischen Gleichung....................................................................................................40
Aufgaben – quadratische Gleichungen.......................................................................................................41
Lösungen – quadratische Gleichungen ......................................................................................................43
Dreisatz..........................................................................................................................................................47
Einfacher Dreisatz – proportional................................................................................................................47
Umgekehrter Dreisatz – umgekehrt proportional........................................................................................47
Aufgaben – Dreisatz ...................................................................................................................................49
Lösungen Dreisatz ......................................................................................................................................50
Prozentrechnung ..........................................................................................................................................51
Aufgaben Prozentrechnung ........................................................................................................................52
Lösungen Prozentrechnung........................................................................................................................53
Zins- und Zinseszinsrechnung....................................................................................................................54
Aufgaben Zinsrechnung..............................................................................................................................56
Lösungen Zinsrechnung .............................................................................................................................57
Mischungsrechnen .......................................................................................................................................58
Aufgaben Mischungsrechnen .....................................................................................................................59
1
Mathematisches Grundwissen
Summen und Differenzen
•
Gleichartige Summanden werden zusammengefasst.
32 x + 12 y − 4 x − 5 y − 14 x + 2 y
= 14 x + 9 y
•
Das Rechenzeichen vor einer Klammer muss beachtet werden.
+ : Rechenzeichen bleiben erhalten
- : Rechenzeichen kehren sich um
3a + (4a − 2b ) − 8(b − a )
= 3a + 4a − 2b − 8b + 8a
= 15a − 10b
•
Jedes Glied der Summe oder Differenz wird mit dem Faktor multipliziert.
3(2 x − 4 y ) − 4(3 − 4 x − 2 y )
= 6 x − 12 y − 12 + 16 x + 8 y
= 22 x − 4 y − 12
•
Faktoren dürfen vertauscht werden.
8 xy (− 3 x )
= 8(− 3)xxy
= −24 x 2 y
•
Klammern werden von innen nach außen aufgelöst.
9a − [5a − (b − 8a )]
= 9a − [5a − b + 8a ]
= 9 a − 5a + b − 8a
= −4 a + b
2
Rechnen mit Brüchen
Addition und Subtraktion
•
Gleichnamige Brüche werden addiert / subtrahiert, indem man die Zähler addiert / subtrahiert
und den Nenner beibehält.
a)
3 4 3+ 4 7
=
+ =
5 5
5
5
b)
x 2x x − 2x
x
=−
−
=
3 3
3
3
Erweitern / Kürzen
•
Brüche werden erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.
3 3 ⋅ 5 15
=
=
5 5 ⋅ 5 25
•
Brüche werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert.
33 33 ÷ 11 3
=
=
22 22 ÷ 11 2
•
Ungleichnamige Brüche werden zuerst gleichnamig gemacht und dann addiert / subtrahiert.
a)
1 3 1⋅ 5 3 ⋅ 2 5
6 5 + 6 11
+ =
+
=
+
=
=
2 5 2 ⋅ 5 5 ⋅ 2 10 10
10
10
b)
15 3 15 ⋅ 5 3 ⋅ 8 75 24 75 − 24 51
− =
−
=
−
=
=
8 5 8 ⋅ 5 5 ⋅ 8 40 40
40
40
Multiplikation / Division
•
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
3 7 3 ⋅ 7 21
⋅ =
=
8 5 8 ⋅ 5 40
•
Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
3 9 3 4 3⋅ 4 3⋅ 4
1
1
÷ = ⋅ =
=
=
=
8 4 8 9 8⋅9 9⋅8 3⋅ 2 6
oder
3
8 = 3⋅ 4 = 1
9 8⋅9 6
4
3
Aufgaben - Rechnen mit Brüchen
1. Kürzen Sie:
45
=
75
188
=
94
130
=
52
3420
=
1440
2. Erweitern Sie die Brüche auf den vorgegebenen Nenner:
3
=
4 48
7
=
5 40
3
=
8 1000
16
=
35 770
3. Schreiben Sie als Bruch:
3
7
=
11
15
3
=
15
122
1
=
4
9
5
=
33
4. Berechnen Sie und schreiben Sie möglichst als Bruch:
a)
1 2
+ =
2 3
7 5
+ =
8 3
2
19 7
+ =
13 4
b)
9 3
− =
7 5
21 63
−
=
14 9
3 11
3 − =
4 5
3
9
5 +2 =
8
16
5
6
2 −3 =
6
7
5. Berechnen Sie und geben Sie das Ergebnis möglichst als gemischte Zahl an:
2
5 2 3⋅3 + 2 4 ⋅ 6 + 5 2
+
3 +4 + =
+
6 9
3
6
9
3
11 29 2
= +
+
3
6 9
6 ⋅ 11 + 3 ⋅ 29 + 2 ⋅ 2
=
18
66 + 87 + 4
=
18
157
13
=
=8
18
18
als Bruch schreiben
gleichnamig machen (erweitern auf
kleinsten gemeinsamen Nenner)
(Punkt vor Strich beachten!)
2
11 3
2 +5 −
=
5
15 10
1 3 1
4 − − =
2 4 8
17 13 28
−
+
=
18 24 45
2 5 17 2
+ +
− =
9 18 30 15
Gut passende Brüche
zuerst zusammenfassen
und evtl. kürzen.
3
5 17 5
−
+
+
=
20 24 36 18
4
Kleinsten gemeinsamen Nenner finden
1 1 1 1
, , ,
16 18 20 22
Alle Zahlen in Primfaktoren zerlegen und untereinander schreiben - alle Faktoren, die vorkommen
anschließend multiplizieren.
2
2
2
2
2
16
18
20
22
KGN
2
2
2
3
3
2
2
5
2
2
3
3
5
11
11
7920
6. Multiplizieren Sie und kürzen Sie, wenn möglich:
a)
3 1
⋅ =
5 8
7 22
⋅
=
11 3
2
3 3
⋅ =
11 5
b)
3 2
−2 ⋅ =
8 3
− 12 5
⋅3 =
7
9
1 −5
− 18 ⋅
=
2 3
7 − 15
⋅
=
5 14
16 4
: =
9 3
3 3
3 : =
5 2
4
11 − 5
:
=
− 16 2
11
14
2
1
⋅7 =
17 12
7. Dividieren Sie und kürzen Sie, wenn möglich:
a)
7 4
: =
8 3
b)
−
3 12
:
=
4 15
19 − 38
:
=
21 7
11 9
:
=
13 26
2
3
− 8 : −6 =
5
10
8. Vermischte Aufgaben
a)
 3 5  7 9 
 +  −  =
 4 6  8 10 
2
 11 14  3
− 3 − 1 + 1  =
5
 7 3  5
b)
15 4 1  9
2 1
3  :  − +  −1  ⋅ 2 =
2  6 3  4  10
3 4
1 1 2
1 7
6 + ⋅2 −5 :  =
3 6 9
4 8
5
Lösungen - Rechnen mit Brüchen
1. Kürzen Sie:
45 3
=
75 5
188
=2
94
130 5
=
52 2
3420 171 19
=
=
1440 72
8
2. Erweitern Sie die Brüche auf den vorgegebenen Nenner:
3 36
=
4 48
7 56
=
5 40
3 375
=
8 1000
16 352
=
35 770
3. Schreiben Sie als Bruch:
3
7 40
=
11 11
15
3 76
=
15 5
122
1 489
=
4
4
9
5 302
=
33 33
4. Berechnen Sie und schreiben Sie möglichst als Bruch:
a)
1 2 7
+ =
2 3 6
7 5 61
+ =
8 3 24
2
19 7 271
+ =
13 4 52
b)
9 3 24
− =
7 5 35
21 63
11
−
=−
14 9
2
3 11 31
3 − =
4 5 20
3
9 127
5 +2 =
8
16 16
5
6
43
2 −3 = −
6
7
42
5. Berechnen Sie und geben Sie das Ergebnis möglichst als gemischte Zahl an:
2
11 3
5
2 +5 −
=7
5
15 10
6
1 3 1
5
4 − − =3
2 4 8
8
17 13 28
1
−
+
=1
18 24 45
40
2 5 17 2 14
+ +
− =
9 18 30 15 15
3
5 17 5
83
−
+
+
=
20 24 36 18 120
6. Multiplizieren Sie und kürzen Sie, wenn möglich:
a)
3 1 3
⋅ =
5 8 40
7 22 14
⋅
=
11 3
3
2
3 3 15
⋅ =
11 5 11
b)
3 2
19
−2 ⋅ =−
8 3
12
− 12 5
128
⋅3 = −
7
9
21
− 18
1 − 5 185
⋅
=
2 3
6
14
2
1
⋅ 7 = 100
17 12
7 − 15
3
⋅
=−
5 14
2
6
7. Dividieren Sie und kürzen Sie, wenn möglich:
a)
7 4 21
: =
8 3 32
b)
−
3 12
15
:
=−
4 15
16
16 4 4
: =
9 3 3
3 3 12
3 : =
5 2 5
11 − 5 11
:
=
− 16 2
40
11
19 − 38 − 125
:
=
21 7
57
4
11 9
:
= 14
13 26
2
3 4
− 8 : −6 =
5
10 3
8. Vermischte Aufgaben
a)
19
 3 5  7 9 
 +  −  = −
480
 4 6  8 10 
2  195
 11 14  3
− 3 − 1 + 1  =
5
7
 7 3  5
b)
15 4 1  9
2  1 17
3  :  − +  −1  ⋅ 2 =
2  6 3  4  10
3  4 80
1 1 2
1 7  19
6 + ⋅2 −5 :  =
3 6 9
4 8  27
7
Rechnen mit Termen
Term:
Ein mathematischer Ausdruck, in dem Zahlen, Variable, mathematische Zeichen und
Klammern enthalten sein können.
Variable:
Variable sind Buchstaben, die als Platzhalter für Zahlen dienen.
Vereinfachen durch Ausklammern
•
Ausklammern macht aus einer Summe ein Produkt, dies wird auch faktorisieren genannt.
27 x − 27 = 27( x − 1)
8 x + 24 = 8( x + 3)
•
Wird ein negativer Faktor ausgeklammert, muss man die Vorzeichen beachten.
3 2 5
x + x−3
4
8
6
5
24
= − x2 + x −
8
8
8
1
= − 6 x 2 − 5 x + 24
8
−
(
gleichnamig machen
)
ausklammern, Vorzeichen beachten
ab + ac − mb − mc
= a (b + c ) − m(b + c )
= (a − m )(b + c )
Multiplikation von Summen
Jeder Summand der ersten Summe wird mit jedem Summand der zweiten Summe multipliziert.
(x − 2)(x − 5) = x 2 − 5 x − 2 x + 10 = x 2 − 7 x + 10
(x − 2)(x − 3)(2 x + 1)
= (x 2 − 3 x − 2 x + 6 )(2 x + 1)
= (x 2 − 5 x + 6 )(2 x + 1)
= 2 x 3 + x 2 − 10 x 2 − 5 x + 12 x + 6
= 2x3 − 9x 2 + 7 x + 6
8
Binomische Formeln
•
1. Binomische Formel
(a + b )2
•
= a 2 + 2ab + b 2
2. Binomische Formel
(a − b )2
•
= a 2 − 2ab + b 2
3. Binomische Formel
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
Bruchterme
Bei der Lösung von Bruchtermen ist zu beachten:
Durch die Zahl Null darf nicht dividiert werden (der Nenner darf nicht Null werden).
3x − 3
2( x − 1)
Definitionsmenge: D = R \
{1} (Menge der reellen Zahlen außer 1)
Anwendung der Binomischen Formeln:
x 2 + 4x + 4
(x + 2) = (x + 2)(x + 2) = x + 2
=
2
(x + 2 )(x − 2) (x + 2)(x − 2) x − 2
x −4
2
2x − 4
8x
−
x
4x − 8
2( x − 2 )
8x
=
−
x
4( x − 2 )
2( x − 2 )
2x
=
−
x
x−2
2( x − 2 )( x − 2 )
2x 2
=
−
x(x − 2)
x( x − 2 )
=
(
)
2 x 2 − 4x + 4 − 2x 2
x( x − 2 )
2x 2 − 8x + 8 − 2 x 2
x(x − 2)
− 8( x − 1)
=
x( x − 2 )
=
D=R\
{2}
2. Bruch kürzen
Gleichnamig machen – 1. Bruch mit (x-2) erweitern,
2. Bruch mit x erweitern
2. binomische Formel ausrechnen, auf einen Bruch
reduzieren
Klammer auflösen
Ausrechnen und -8 ausklammern
D=R\
{0;2}
9
Aufgaben - Rechnen mit Termen
1. Vereinfachen Sie durch Ausklammern!
a)
7 x + 21x 2
3x 3 + 2 x 2
29 x 2 + 58
4 x 2 + 8 x + 6 y + 12 y 2
b)
9 y − 18
22 − 11x + 110 x 3
3a − (6b − 12c )
15a 2 − (5b + 3)
c)
3 y − 6 x 2 y + 12 y 2
9a 3b 2 c + 3a 2 b 3 c − abc 2
(
15 2ab 2 − 4a 2 b
(
)
) (
4 5 xy + 10 y 2 − 8 5 x 2 y − 10 y
)
2. Formen Sie den Term um durch Multiplizieren und Zusammenfassen!
a)
(x + 2 y )(x + 1)
(2 − 3x )(5 − x )
7 x(2 + x )(3x − 2)
2a 2 (5b + 3c )(a + b − c )
b)
(a + 2b + c )(b − c )a + 6a 2
(
− 2 x( x − y )( x + y ) + 5 x 2 − y 2
)
(2 x + 3)(1 − x )(5 x + 2)
(a b − c )(c a + b )(b c − a )
2
2
2
10
3. Formen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln um!
a)
a 2 + 8ax + 16 x 2
x 2 + 6x + 9
64 p 2 − 81q 2
4a 2 − 12ab + 9b 2
b)
3a 2 − 18ab + 27b 2
− 50 x 2 + 128 y 2
(
)
4 a 2 + b 2 − 8ab
(
4 x( x − 40 y ) − 11xy + 15 y (5 y − 3 x ) + 2 3 y 2 + 70 x 2
c)
)
(2 x + y )2 + (3x + 2 y )2
(4a + 3b )(4a − 3b ) + (6a − 3b )2
(6 p − 2q )2 − ( p − 5q )( p + 5q )
(5 x + 2 y )2 + (5 x − 2 y )2 − (5 x + 2 y )(5 x − 2 y )
4. Vereinfachen Sie die Bruchterme. Geben Sie jeweils die Definitionsmenge an.
a)
b)
1
x 3
8 − x + 
x
2 4
6x
3
3
+
−
x −4 x−2 x+2
2 x − 14
2
+
2
x − 49 x − 7
11 p + 22q p(q + 3) 3 p 2 + 22
+
−
3 pq
q
3p
1
÷ (1 + x )
x −1
3(3 x + 4 ) 9 x 2 + 24 x + 16
÷
x+3
2x + 6
a (a + b )
2
a + a −b
a+b
3
a (a − b )
5
x
x+
8
4 +2x
6x 7
5
− x
32 4
2
11
Lösungen - Rechnen mit Termen
1. Vereinfachen Sie durch Ausklammern!
a)
7 x + 21x 2 = 7 x(1 + 3 x)
3 x 3 + 2 x 2 = x 2 (3 x + 2)
29 x 2 + 58 = 29( x 2 + 2)
4 x 2 + 8 x + 6 y + 12 y 2 = 4 x( x + 2) + 6 y (2 y + 1)
b)
9 y − 18 = 9( y − 2)
22 − 11x + 110 x 3 = 11(2 − x + 10 x 3 ) = 11(2 − x(1 − 10 x 2 ))
3a − (6b − 12c ) = 3a − 6b + 12c = 3(a − 2b + 4c )
(
)
15a 2 − (5b + 3) = 15a 2 − 5b − 3 = 5 3a 2 − b − 3
c)
(
3 y − 6 x 2 y + 12 y 2 = 3 y 1 − 2 x 2 + 4 y
)
9a 3b 2 c + 3a 2 b 3 c − abc 2 = abc(9a 2 b + 3ab 2 − c)
(
)
15 2ab 2 − 4a 2 b = 30ab(b − 2a )
(
) (
)
(
)
(
(
4 5 xy + 10 y 2 − 8 5 x 2 y − 10 y = 20 y ( x + 2 y ) − 40 y x 2 − 2 = 20 y ( x + 2 y ) − 2 x 2 − 2
))
2. Formen Sie den Term um durch Multiplizieren und Zusammenfassen!
a)
(x + 2 y )(x + 1) = x 2 + 2 xy + 2 y + x
(2 − 3x )(5 − x ) = 3x 2 − 17 x + 10
7 x(2 + x )(3 x − 2 ) = 21x 3 + 28 x 2 −28 x
2a 2 (5b + 3c )(a + b − c ) = 10a 3b + 6a 3 c + 10a 2 b 2 − 4a 2 bc − 6a 2 c 2
b)
(a + 2b + c )(b − c )a + 6a 2 = 6a 2 + a 2 b − a 2 c − abc + 2ab 2 −ac 2
(
)
− 2 x( x − y )( x + y ) + 5 x 2 − y 2 = −2 x 3 + 5 x 2 + 2 xy 2 − 5 y 2
(2 x + 3)(1 − x )(5 x + 2) = −10 x 3 − 9 x 2 + 13x + 6
(a b − c )(c a + b)(b c − a ) = −a bc
2
2
2
4
2
+ a 3b 3 c 3 − a 3b 2 + a 2 c 3 + a 2 b 4 c − ab 2 c 4 + abc − b 3 c 2
3. Formen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln um!
12
a)
a 2 + 8ax + 16 x 2 = (a + 4 x )
x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3)
2
2
64 p 2 − 81q 2 = (8 p + 9q )(8 p − 9q )
4a 2 − 12ab + 9b 2 = (2a − 3b )
b)
2
3a 2 − 18ab + 27b 2 = 3(a − 3b )
2
− 50 x 2 + 128 y 2 = −2(5 x + 8 y )(5 x − 8 y )
4(a 2 + b 2 ) − 8ab = (2a − 2b ) = 4(a − b) 2
2
(
)
4x ( x − 40y ) − 11xy + 15y ( 5y − 3x ) + 2 3y 2 + 70x 2 = (12x − 9y ) = 9(4x − 3y)2
c)
(2 x + y )2 + (3x + 2 y )2
2
= 13 x 2 + 16 xy + 5 y 2
(4a + 3b )(4a − 3b ) + (6a − 3b )2
= 4a (13a − 9b )
(6 p − 2q )2 − ( p − 5q )( p + 5q ) = 35 p 2 − 24 pq + 29q 2
(5 x + 2 y )2 + (5 x − 2 y )2 − (5 x + 2 y )(5 x − 2 y ) = 25 x 2 + 12 y 2
4. Vereinfachen Sie die Bruchterme. Geben Sie jeweils die Definitionsmenge an.
(
)
1  2 4 − x2
8
x 3
= − 2x
a) 8 − x +  =
x
x
x
2 4
D = R \ {0}
6x
3
3
6
+
−
=
x −4 x−2 x+2 x−2
D = R \ {2; -2}
2 x − 14
2
4x
+
= 2
2
x − 49 x − 7 x − 49
D = R \ {7; -7}
2
11 p + 22q p(q + 3) 3 p 2 + 22 11 + 9 p
+
−
=
3 pq
q
3p
3q
D=R
p, q ≠ 0
13
b)
1
1
÷ (1 + x ) = 2
x −1
x −1
D = R \ {1; -1}
3(3 x + 4 ) 9 x 2 + 24 x + 16
6
÷
=
x+3
2x + 6
3x + 4
D = R \ {-3; -4/3}
a (a + b )
2
2
2

a + a − b = a + a  = a 2 + a
a
+
b
3
3
3

a (a − b )
D=R
5
x
x+
8
4 + 2 x = 2x − 7


6x 7
5
5
5
− x
32 4
D=R
14
Potenzen und Wurzeln
Eine Potenz ist die Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der Exponent die Anzahl der
Faktoren angibt.
a n = a⋅ a⋅ a ⋅
...
⋅ a = c (n mal a multiplizieren!
n
Addition und Subtraktion
•
Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponent können addiert / subtrahiert werden.
3x 4 − 5 x 2 + 6 x 4 + 3x 2 = 9 x 4 − 2 x 2
Multiplikation
•
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die
Basis beibehält.
a m ⋅ a n = a m+n
•
(− a )n
(− a )n
= an
( )
= −a n = − a n
falls n gerade
falls n ungerade
(− 2)4 = 2 4 = 16
(− 2)3 = −2 3 = −(2 3 ) = −8
Potenzen mit ungleicher Basis und gleichem Exponent werden multipliziert, indem man die
Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
a n ⋅ b n = (ab) n
Division
•
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man den Nenner-Exponenten vom
Zähler-Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
am
a ÷ a = n = a m −n
a
m
n
gilt für m > n
Falls m = n ist, ergibt sich der Exponent 0 und es gilt
am
= a m− m = a 0 = 1
m
a
Ist der Zähler-Exponent kleiner als der Nenner-Exponent, m < n, ergibt sich eine negative Zahl
als Exponent und es gilt:
a −n =
1
an
Ebenso gilt aber auch umgekehrt:
an =
1
a −n
Setzt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das
Vorzeichen.
15
•
Potenzen mit ungleicher Basis und gleichem Exponent werden dividiert, indem man die
Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
an  a 
= 
bn  b 
n
Potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(a )
m n
= a m ⋅n
Radizieren (Wurzelziehen)
Potenzen werden radiziert, indem man den Potenz-Exponenten durch den Wurzel-Exponenten
dividiert und die Basis beibehält.
m
n
am = a n
Quadratwurzel:
2
a =a
1
2
16
Aufgaben – Potenzen und Wurzeln
1. Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie:
(
)
3(a − 2 ) + 7(a − 2 ) − 10(a − 2 )
2
a) 11 y + 7 y − 6 y y − 1
3
3
(
b)
2
)
2
(
)
6 x 4 − x 4 x 3 + y 2 + y ( xy − 4 y )
21a 2 b − 5b a 2 − 4a − 5b(4a + 5)
a 5 ⋅ 3a 2 ⋅ 4a 3
x 2 y ⋅ xy 2 ⋅ x 2 y 2
(2a − 3b )
n −1
⋅ (2a − 3b )
2
 4x   4 
  ⋅ x
 3  3 
n +1
3
(7 xy )3
(7 x )2
c)
28
25
10 8
28
d)
(x − 2)5
(2 − x )4
(x − 2)6
(2 − x )3
(a
(a − 3)2
(a − 3)4
(a
2
)
) (a + b )
− 2ab + b 2
((2a + 3a ) )
5
2 2
4
− b2
2
2
2
− a(− 2 − 3a )
5
Minus ausklammern!
Nur bei ungeraden Exponenten möglich;
2. Ordnen Sie der Größe nach:
16 ⋅ 2 −4
3 ⋅ 10 5
0,35
2 ⋅ 10 −2
0,7 2
0,25 ⋅ 2 5
3. Ergänzen Sie die Tabelle.
10 −3
10 2
10 − x
0,0001
1,8 ⋅ 10 −6
100000
7800
0,1
4. Drücken Sie als 10er-Potenz in der angegebenen Einheit aus!
a) Liter
1µl
7ml
280µl
600ml
3mm
1,4m
1km
1m = 10 3 mm
1mm = 10 3 µm
1µl = 1mm 3
c) Liter
700cm³
1ml = 10 3 µl
1m = 10 2 cm
b) cm
5µm
1l = 10 3 ml
2mm³
7,9m³
6 x 10³mm³
1ml = 1cm 3
17
5. Schreiben Sie als Wurzel!
1
5
3
73
16 6
7a 2
−
3
3
5
6. Schreiben Sie als Potenz!
5
19 3
33 9 2
7
a
a
5
4
5
3
128 + 3 16
4
(a − 2)3
7. Formen Sie um und berechen Sie:
a)
b)
3
2
42
(2 x + 3)
4
81
2 ⋅ 5 25 4 ⋅ 32
48 + 75
4 x 2 − 12 x + 9
3
27
1
2
a − 9a
x
+ 0,25 x + 4 x
9
16a − 2 a
8. Machen Sie den Nenner rational.
a)
5
3
b)
7
20
5+ 3
1− x
5− 3
1+ x
x +1
8
x +1
2 2
x( x − 1) − (1 − x )
x2 −1
5+
2
5
18
Lösungen – Potenzen und Wurzeln
1. Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie:
a)
(
)
(
)
11y3 + 7y 3 − 6y y 2 − 1 = 6y 2y 2 + 1
3(a − 2 ) + 7(a − 2 ) − 10(a − 2 ) = 10(a − 2 )(a − 3)
2
2
(
)
(
6 x 4 − x 4 x 3 + y 2 + y ( xy − 4 y ) = 2 x 4 − 4 y 2 = 2 x 4 − 2 y 2
(
)
)
21a 2 b − 5b a 2 − 4a − 5b(4a + 5) = b(4a + 5)(4a − 5)
b)
a 5 ⋅ 3a 2 ⋅ 4a 3 = 12a 10
x 2 y ⋅ xy 2 ⋅ x 2 y 2 = x 5 y 5
(2a − 3b )n−1 ⋅ (2a − 3b )n+1 = (2a − 3b) 2n
2
3
 4x   4 
 4x 
  ⋅ x =  
 3  3 
 3 
5
8
28
c)
= 2 8−5 = 2 3
5
2
(7 xy )3
(7 x )2
d)
73 ⋅ x3 ⋅ y 3
=
= 7 xy 3
2 2
7 x
(x − 2)5
(2 − x )4
=
(x − 2)6
(2 − x )3
6
(
x − 2)
=
−( x − 2 )3
(a
− (2 − x )
5
(a
2
10 8  10 
=   = 58
8
2
2
(a − 3)2 = 1 = (a − 3)−2
(a − 3)4 (a − 3)2
2
(2 − x )4
((2a + 3a ) )
5
2 2
− a(− 2 − 3a )
5
3
(
x − 2)
=−
)
) (a + b)
−1
4
− b2
− 2ab + b 2
= x−2
2
2
=
= −( x − 2 ) = (2 − x )
3
3
(a + b )4 (a − b )4 = (a + b )2
(a − b )4 (a + b )2
a10 (2 + 3a )
5
=
= a 9 (2 + 3a )
5
a(2 + 3a )
10
19
2. Ordnen Sie der Größe nach:
0,7 2
49
=
100
16 ⋅ 2 −4
0,25 ⋅ 2 5
35
=
10 5
2 ⋅ 10 −2
2
=
100
24
=
24
25
= 23 =
2
2
0,00243
0,02
0,49
1
8
0,35
3 ⋅ 10 5
300000
3. Ergänzen Sie die Tabelle.
10 −4
0,0001
10 2
100
10 −3
0,001
10 − x
1
10 x
1,8 ⋅ 10 −6
0,0000018
10 5
100000
7,8 ⋅ 10 3
7800
10 −1
0,1
4. Drücken Sie als 10er-Potenz in der angegebenen Einheit aus!
a) Liter
1µl =
1
l = 10 −6 l
1000000
280 µl =
7 ml =
280
28
l=
l = 2,8 ⋅ 10 − 4 l
1000000
100000
7
l = 7 ⋅ 10 −3 l
1000
600ml =
6
l = 6 ⋅ 10 −1 l
10
b) cm
5µm =
5
cm = 5 ⋅ 10 − 4 cm
10000
3mm =
1,4m = 140cm = 1,4 ⋅ 10 2 cm
3
cm = 3 ⋅ 10 −1 cm
10
1km = 100000cm = 10 5 cm
c) Liter
700cm 3 = 700ml =
7
l = 7 ⋅ 10 −1 l
10
2mm 3 = 2 µl = 2 ⋅ 10 −6 l
6 ⋅103 mm3 = 6000µl = 6ml = 6 ⋅10 −3 l
7,9m 3 = 7,9 ⋅ 10 3 l
5. Schreiben Sie als Wurzel!
1
3
7 = 7
3
5
6
16 = 16
6
5
3
2
7a = 7 a
3
3
−
3
5
=
1
5
33
20
6. Schreiben Sie als Potenz!
5
3
2
19 3 = 19 5
33 9 2 = 3 ⋅ 9 3
7
4
55
= 7⋅5
−
5
4
a
a
4
(a − 2)3
= a 2 (a − 2 )
−
3
4
7. Formen Sie um und berechen Sie:
a)
3
3
b)
2
4 2 = 3 16 = 23 2
4
(2 x + 3)
3
4
5
24
5
5
8
3
5
4 x 2 − 12 x + 9 = (2 x + 3) (2 x − 3) = 4 x 2 − 9
48 + 75
3
5
3
3
81
2 ⋅ 25 ⋅ 32 = 2 5 ⋅ 2 = 4 5 = 20 ⋅ 5
128 + 16 = 2 ⋅ 64 + 2 ⋅ 8 = 6 2
3
2
3
=
2
3 ⋅ 16 + 3 ⋅ 25 4 3 + 5 3
=
=3 3
3
3
=
27
x
1
1
5
+ 0,25 x + 4 x =
x+
x +2 x =2
x
9
3
2
6
1
a 2 − 9a
16a − 2 a
=
a −3 a
4 a −2 a
= −1
8. Machen Sie den Nenner rational.
a)
5
=
3
b)
5
3
3
(
=
3 (
7
20
)(
3 )(
=
7
5
10
)= (
3)
5+ 3
5+ 3
5+ 3
5−
5−
5+
x( x − 1) − (1 − x )
x −1
2
= x2 −1
8
2 2
5+ 3
2
)
2
x +1
=2 2
x +1
1− x
1+ x
5+
= x +1
(1 − x )
=
2
1− x
2
5
=
5+2
5
=
7
5
5
21
Logarithmen
5 3 = 125
5
3
125
Basis
Exponent
Potenzwert
Ersetzt man Basis, Exponent oder Potenzwert durch x, erhält man folgendes:
Aufgabe
gesucht
Lösungsweg
Ergebnis
53 = x
Potenzwert
Potenzieren
x = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125
x 3 = 125
Basis
Wurzelziehen
x = 3 125 = 5
5 x = 125
Exponent
Logarithmieren
x ist der Logarithmus von 125 zur Basis 5
x = log 5 125
Der Logarithmus ist der Exponent (x), mit dem die Basis (a) potenziert werden muss, um den
Potenzwert (c) zu erhalten.
x ist der Logarithmus von c zur Basis a.
x = log a c
ax = c
Logarithmensysteme
•
logb
Logarithmus zur Basis b
•
lg - dekadischer Logarithmus:
Logarithmus zur Basis 10 (Zehnerlogarithmus)
log10 b = c
lg b = c
!!! Achtung: auf Taschenrechnern Taste „log“ !!!
•
ln – natürlicher Logarithmus
Logarithmus zur Basis e (e = Eulersche Zahl
log e b = c
2,7182818284590452......)
ln b = c
!!! Achtung: auf Taschenrechnern Taste „ln“ !!!
22
Logarithmengesetze
•
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen
Faktoren.
log a (b ⋅ c ) = log a b + log a c
•
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Zähler und
Nenner.
b
log a   = log a b − log a c
c
•
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarithmus der Basis multipliziert mit dem
Exponenten.
( )
log a b c = c ⋅ log a b
log a
•
( b ) = log
1
c
c
a
b =
1
log a b
c
Umrechnung in ein anderes Logarithmensystem
Der Logarithmus von b zur Basis a ist gleich dem Quotienten des dekadischen oder natürlichen
Logarithmus von b (Zähler) und a (Nenner).
log a b =
lg b
lg a
Bsp.:
log 5 125 =
oder
lg 125
=3
lg 5
log a b =
ln b
ln a
(Taschenrechner verwenden)
23
Aufgaben – Rechnen mit Logarithmen
1. Schreiben Sie als Logarithmus.
23 = 8
10 3 = 1000
55 = x
3 x = 81
2. Bestimmen Sie den Logarithmus.
log 2 16
log 5 125
log10 10000
log 2 1024
log 2 0,25
lg 0,01
log −3 − 27
log 5 5
3. Vereinfachen Sie und beachten Sie dabei die Logarithmengesetze:
log 2 12
lg 700
log 3 108
lg 500
log 2 7 5
log 3 5 100
lg 4 1000
log 6
36
5
4. Berechnen Sie ohne Taschenrechner:
log16 8
log 625 5
log100 1000
log 3 243
lg 20 + lg 5
lg 1000
lg 20 − lg 2
ln 100
ln 10
log 2 3 7
log 2 9 + log 2 27
5. Berechnen Sie mit Taschenrechner und runden Sie auf 3 Stellen:
log 3 5
log15 6
lg 5
ln
50
71
log 6 28
7
8
log 7 3 2
lg 15 − lg 3
log 5 3
log 7 4 − log 7 2
log 9 5 + log 9 9
lg 15
24
Lösungen – Rechnen mit Logarithmen
1. Schreiben Sie als Logarithmus.
23 = 8
10 3 = 1000
55 = x
3 x = 81
log 2 8 = 3
lg 1000 = 3
log 5 x = 5
log 3 81 = x
2. Bestimmen Sie den Logarithmus.
log 2 16 = 4
log 5 125 = 3
log10 10000 = 4
log 2 1024 = 10
log 2 0,25 = −2
lg 0,01 = −2
log −3 − 27 = 3
log 5 5 =
1
2 =
4
x = −2
1
10 =
100
x = −2
− 3 x = −27
x
x
5 =5
x=3
x
x=
1
2
1
2
1
2
3. Vereinfachen Sie:
log 2 12 = log 2 (4 ⋅ 3)
= log 2 4 + log 2 3
= 2 + log 2 3
lg 3
lg 2
= 2+
lg 700 = 2 + lg 7
log 2 7 5 = 5 ⋅
lg 4 1000 =
lg 7
lg 2
3
4
log 3 108 = log 3 (27 ⋅ 4 ) = 3 +
log 3 5 100 =
log 6
lg 4
lg 3
lg 500 = 2 + lg 5
2
5 ⋅ lg 3
36
lg 5
= 2−
5
lg 6
4. Berechnen Sie ohne Taschenrechner:
log16 8 =
lg 2 3 3
=
lg 2 4 4
log 625 5 =
1
4
log100 1000 = 1,5
lg 20 + lg 5 = lg 100 = 2
lg 1000
=3
lg 20 − lg 2
ln 100
= log10 100 = 2
ln 10
log 2 3 7
7 log 2 3
7
=
=
2
3
log 2 9 + log 2 27 log 2 3 ⋅ 3
5
(
log 3 243 = 5
)
25
5. Berechnen Sie mit Taschenrechner und runden Sie auf 3 Stellen:
log 3 5 = 0,732
ln
50
= −0,351
71
log 7 3 2 = 0,119
lg 15 − lg 3 = 0,699
log15 6
= 0,947
lg 5
log 6 28 8 = 1,627
log 5 3
= 1,916
log 7 4 − log 7 2
log 9 5 + log 9 9
= 1,473
lg 15
7
26
Logarithmische Skalierung
Bei der logarithmischen Skalierung werden auf der y-Achse die Logarithmen der Funktionswerte
eingetragen. Die tatsächlichen Werte müssen errechnet werden.
Beispiel:
Die Messungen der Standardkurve des Gerinnungsfaktors 8 ergeben folgende Werte:
%
log
sec
100
2
52,8
10
1
74,8
1
0
97,6
Trägt man nun die sec-Werte auf die x-Achse und die %-Werte auf die Y-Achse bei linearer Skalierung, so
erhält man folgende Kurve:
120
100
Die niedrigen %-Werte sind praktisch nicht
ablesbar.
80
60
40
20
0
40
60
80
100
120
Wählt man für die %-Werte eine logarithmische Einteilung (man trägt also den dekadischen Logarithmus
der Prozentwerte ein), ergibt sich diese Grafik:
2,5
Aus der Kurve ist eine Gerade geworden.
Anhand der gemessenen Sekunden kann man
den Logarithmus der Prozente ablesen. Um nun
die richtigen Prozentwerte zu erhalten, berechnet
man:
2
log %
1,5
10 log % = %
1
Bsp.:
Gemessen: 80 s
Abgelesen: 0,76 (log%)
0,5
0
40
50
60
70
80
90
100
110
Berechnet:
10 0,76 ≈ 5,8%
sec
Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung von logarithmischem Papier
Es ergibt sich ebenfalls eine Gerade, aber es entfällt die Berechnung, man kann die Prozentwerte direkt
ablesen.
27
%
100
10
1
40
50
60
70
80
90
100
110
sec
Allerdings muss man die logarithmische Skalierung genau beachten. (Die y-Achse beginnt nicht bei Null
und nach der 10 ist der nächste Hauptteilstrich schon 20. Die Abstände zwischen den Hauptlinien werden
immer kleiner.)
Das Ganze ist natürlich auch umgekehrt möglich, wenn man die Sekunden auf die lineare y-Achse aufträgt
und die Prozentwerte auf die logarithmische x-Achse. Hier beginnt dann die x-Achse bei 1%
110
100
90
80
70
60
50
40
1
10
100
28
Aufgaben – Logarithmische Skalierung
1. Berechnen Sie die y-Werte und tragen Sie die Punkte auf Millimeterpapier und auf einfach
logarithmisches Papier auf.
x
y = 2x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2x
+1
3
2x +1
y=
4
y = 5 − 3x
y=
29
Lösungen – Logarithmische Skalierung
1. Berechnen Sie die y-Werte und tragen Sie die Punkte auf Millimeterpapier und auf einfach
logarithmisches Papier auf.
x
y = 2x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1,33
1,67
2,33
3,67
6,33
11,67
22,33
43,67
86,33
171,67
0,5
0,75
1,25
2,25
4,25
8,25
16,25
32,25
64,25
128,25
4
2
-4
-22
-76
-238
-724
-2182
-6556
-19678
x
2
+1
3
2x +1
y=
4
y = 5 − 3x
y=
Linear:
30
Gleichungen
Gleichungen (oder Ungleichungen) bestehen aus zwei Termen, rechts und links vom Relationszeichen
( =, ≠, <, ≤, >, ≥ ).
Es gelten folgende Definitionen:
•
Grundmenge G:
alle Zahlen, die zum Einsetzen in die Gleichung vorgesehen sind
•
Definitionsmenge D:
alle Elemente der Grundmenge, die für die Unbekannte eingesetzt
werden dürfen
•
Lösungsmenge L:
alle Elemente der Definitionsmenge, die die Gleichung in eine wahre
Aussage überführen
Beispiele:
3 x + 1 = 10
G=N
D=N
L = {3}
x2 = 4
G=R
D=R
L = {2,-2}
1 1
=
x 5
G=R
D = R \ {0}
L = {5}
N = Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, …} Manchmal wird die Null dazugezählt, man schreibt N*.
R = Menge der reellen Zahlen = alle Zahlen mit Dezimaldarstellung
Äquivalenzumformungen
Durch Umformung wird die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert.
Folgende Möglichkeiten gibt es:
•
Auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Term addieren oder
subtrahieren.
•
Beide Seiten mit der gleichen Zahl oder demselben Term multiplizieren.
•
Beide Seiten durch die gleiche Zahl oder denselben Term dividieren.
NICHT erlaubt sind:
Multiplikation mit Null, Division durch Null, Quadrieren beider Seiten u.ä.
31
Aufgaben – Lineare Gleichungen
1. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
4x − 5 = 3
6 − 2 x = 20
9x +
3
1
=5
4
4
16 − 34 x = −1
2. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
3(2 x + 3) − x = 2 x
2
1
1
 
4 x + x  =  2 x +  − x
3
3
 
4−
x − 5 x +1 x − 3
=
−
4
2
3
x 5 3x + 5
− =
−6
18 2
8
3. Die Summe von 5 aufeinander folgenden Zahlen ergibt 385. Berechnen Sie die größte Zahl.
4. Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinander folgenden Zahlen ist 55. Bestimmen Sie die beiden
Zahlen.
5. Bei einem Rechteck ist eine Seite um 10 m länger als die andere. Die längere Seite wird um 25 m
verkürzt, die kürzere um 15 m. Dadurch verkleinert sich der Flächeninhalt um 1000 m². Wie groß war
das ursprüngliche Rechteck?
32
Lösungen – Lineare Gleichungen
1. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
4x − 5 = 3
x=2
9x +
6 − 2 x = 20
x = −7
3
1
=5
4
4
1
x=−
12
16 − 34 x = −1
x=
1
2
2. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
2
3 ( 2x + 3) − x = 2x
1
1
 
4 x + x  =  2 x +  − x
3
3
 
1
x=
9
x = −3
4−
x − 5 x +1 x − 3
=
−
4
2
3
x=9
x 5 3x + 5
− =
−6
18 2
8
x=9
3. Die Summe von 5 aufeinander folgenden Zahlen ergibt 385. Berechnen Sie die größte Zahl.
x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ( x + 4 ) = 385
5 x + 10 = 385
x = 75
Die größte Zahl ist 79 (x+4).
4. Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinander folgenden Zahlen ist 55. Bestimmen Sie die beiden
Zahlen.
(x + 1)2 − x 2
= 55
x 2 + 2 x + 1 − x 2 = 55
2 x = 54
x = 27
Die beiden Zahlen sind 27 und 28.
33
5. Bei einem Rechteck ist eine Seite um 10 m länger als die andere. Die längere Seite wird um 25 m
verkürzt, die kürzere um 15 m. Dadurch verkleinert sich der Flächeninhalt um 1000 m². Wie groß war
das ursprüngliche Rechteck?
x( x + 10 ) − 1000 = ( x − 15)( x − 15)
x + 10 x − 1000 = x − 30 x + 225
40 x = 1225
x = 30,625m
2
x+10 -25
2
x -15
x + 10 = 40,625m
x( x + 10 ) = 1244,14m 2
Die Fläche des ursprünglichen Rechtecks beträgt 1244,14 m².
34
Quadratische Gleichungen
2
Gleichungen, in denen nur x vorkommt, nennt man reinquadratische Gleichungen. Die Lösung erhält
man durch Umformen und Wurzelziehen. Dadurch erhält man zwei Lösungen.
ax 2 − b = 0
|+b
ax = b
2
x2 =
|:a
b
a
x=±
|√
b
a

b
L1 = +

a


b
L2 =  −

a

Beachte: Aus einer negativen Zahl darf man keine Wurzel ziehen!
Einfache quadratische Gleichungen der Form
x 2 + ax = 0 lassen sich durch Ausklammern lösen.
x 2 + ax = 0
x ( x + a ) = 0 Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.
⇒ x1 = 0
⇒ x2 = −a
Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:
ax 2 + bx + c = 0
Wenn man nun beide Seiten durch a dividiert, erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung:
x2 +
b
c
x+ =0
a
a
oder wenn
b
=p
a
und
c
=q
a
x 2 + px + q = 0
35
Aufgaben – einfache quadratische Gleichungen
1. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
x 2 − 36 = 0
5x 2 −
3 x 2 − 75 = 0
125
=0
4
−
3 2 4
x + =0
4
3
3

8 x x +  − 3(20 + x ) − 4 = 0
8

49
− x2 = 0
9
2. Formen Sie die Gleichungen um und lösen Sie nach x auf.
(x + 4)(x − 2) = x(2 − x )
(2 x + 5)(2 x − 5) = 15
15(3 − 2 x ) − (4 x − 5) = 3 x(3 x + 4 ) − 2( x + 2 )
2
(4 x − 3)(x + 2) = (x + 3)(3x − 4)
3. Lösen Sie die Gleichungen durch Ausklammern.
2
x=0
3
x 2 + 4x = 0
x2 −
x 2 − 9x = 0
12 x 2 + 3 x = 0
5 x 2 − 10 x = 0
7 x 2 + 13 x = 0
36
Lösungen – einfache quadratische Gleichungen
1. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
x 2 − 36 = 0
x1 / 2 = ±6
−
5x 2 −
3 x 2 − 75 = 0
x1 / 2 = ±5
3 2 4
x + =0
4
3
x1 / 2 = ±
125
=0
4
x1 / 2 = ±
49
− x2 = 0
9
4
3
x1 / 2 = ±
5
2
3

8 x x +  − 3(20 + x ) − 4 = 0
8

7
3
x1 / 2 = ±2 2
2. Formen Sie die Gleichungen um und lösen Sie nach x auf.
(2 x + 5)(2 x − 5) = 15
(x + 4)(x − 2) = x(2 − x )
x1 / 2 = ±2
x1 / 2 = ± 10
15(3 − 2 x ) − (4 x − 5) = 3 x(3 x + 4 ) − 2( x + 2 )
2
45 − 30 x − 16 x 2 + 40 x − 25 = 9 x 2 + 12 x − 2 x − 4
24 = 25 x 2
x1 / 2 = ±
2
6
5
(4 x − 3)(x + 2) = (x + 3)(3x − 4)
x 2 = −6
L ={ }
3. Lösen Sie die Gleichungen durch Ausklammern.
x 2 + 4x = 0
x ( x + 4) = 0
x1 = 0
x 2 = −4
12 x 2 + 3 x = 0
x1 = 0
x2 = −
1
4
2
x=0
3
x1 = 0
x2 −
x2 =
x 2 − 9x = 0
x1 = 0
x2 = 9
2
3
5 x 2 − 10 x = 0
7 x 2 + 13 x = 0
x1 = 0
x1 = 0
x2 = 2
x2 = −
13
7
37
Quadratische Ergänzung
Um eine quadratische Ergänzung zu machen, formt man die Gleichung so um, dass auf der einen Seite
2
alle x und x stehen und auf der anderen Seite die Zahl ohne x. Nun wird der Koeffizient von x (Zahl, die
bei x steht) zuerst halbiert, dann quadriert und auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Die so
entstandene binomische Formel wir dach x1 und x2 aufgelöst.
Beispiel 1:
| -8
x 2 + 6x + 8 = 0
| +9 (quadratische Ergänzung)
x 2 + 6 x = −8
x 2
+
6 x+9 = −8 + 9
1. Binomische Formel
( x + 3) 2 = 1
( x + 3) 2 = 1
± ( x + 3) = 1
±
( x + 3) = 1
− ( x + 3) = 1
x +3 =1
− x −3 =1
x = 1− 3
− x = 1+ 3
x1 = −2
x 2 = −4
Beispiel 2:
|:2
2 x 2 − 16 x − 40 = 0
| +20
x 2 − 8 x − 20 = 0
| +16 (quadratische Ergänzung)
x 2 − 8 x = 20
x 2 − 8 x
+ 16 = 20 + 16
2. Binomische Formel
±
(x − 4)2 = 36
(x − 4)2 = 36
± (x − 4) = 6
(x − 4) = 6
− (x − 4) = 6
x−4=6
−x+4=6
x = 6+4
x1 = 10
− x = 6−4
x 2 = −2
38
p-q-Formel (kleine Lösungsformel)
Wendet man das Verfahren der quadratischen Ergänzung auf die Normalform der quadratischen
Gleichung an, so erhält man die p-q-Formel:,
x 2 + px + q = 0
x 2 + px + q = 0
x 2 + px = − q
2
x1/ 2 = −
p
 p
±   −q
2
2
2
 p
  − q bezeichnet man als Diskriminante D
2
o
o
2
2
2
p  p

x+  =  −q
2 2

2
Eine quadratische Gleichung hat
o
2
 p  p
x + px +   =   − q
2 2
2
x1/ 2 +
 p 2

Zwei Lösungen, wenn    − q  > 0
 2 



2
 p 

  − q = 0
Eine Lösung, wenn
 2 



2
 p 

Keine Lösung, wenn    − q  < 0
 2 



p
 p
=±   −q
2
2
2
x1 / 2
p
 p
=− ±   −q
2
2
a-b-c-Formel (große Lösungsformel)
ax 2 + bx + c = 0
x1/ 2
− b ± b 2 − 4ac
=
2a
Auch hier gilt: Es gibt
(b
2
)
− 4ac > 0
o
Zwei Lösungen, wenn
o
Eine Lösung, wenn b − 4ac = 0
o
Keine Lösung, wenn b − 4ac < 0
(
2
(
2
)
)
Die Berechnung des Ausdrucks unter der Wurzel gibt Auskunft über die Anzahl der Lösungen und erspart
daher manchmal Rechenarbeit!
39
Satz von Vieta
Wenn man die Lösungen einer quadratischen Gleichung kennt, kann man mit dem Satz von Vieta die
Gleichung rekonstruieren. Dies eignet sich auch zur Lösungskontrolle.
x1 + x2 = − p
x1 ⋅ x2 = q
(x − x1 )(x − x2 ) = x 2 + px + q
Beispiel: x1 = 2
x2 = 3
2+3 = −p
2⋅3 = q
−5 = p
6=q
(x − 2)(x − 3) = 0
x − 3x − 2 x + 6 = 0
2
x 2 − 5x + 6 = 0
Mit Hilfe des Satzes von Vieta lassen sich auch Gleichungen konstruieren, die ganz bestimmte Lösungen
haben.
Beispiel:
Wie lautet die quadratische Gleichung mit der Lösungsmenge
p = − x1 − x 2
q = x1 ⋅ x 2
p = 2 −1
p =1
q = −2
x +x−2=0
2
L = {− 2;1} ?
ist die zur Lösungsmenge gehörende Gleichung.
Linearform der quadratischen Gleichung
Eine weitere Möglichkeit zur Konstruktion von quadratischen Gleichungen sind die Linearfaktoren. Ein
Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist:
Wenn
L = {x1 ; x 2 }
dann gilt:
(x − x1 ) ⋅ (x − x 2 ) = 0
Beispiel:
L = {3;−2}
(x − 3)(x + 2) = 0
x2 − x − 6 = 0
40
Aufgaben – quadratische Gleichungen
1. Lösen Sie die Gleichungen durch quadratische Ergänzung.
x 2 + 10 x + 24 = 0
x 2 + 2x + 8 = 0
x 2 − 7 x + 10 = 0
x 2 + 2 x − 15 = 0
3 x 2 − 6 x − 24 = 0
7 x 2 + 98 x + 231 = 0
6 x 2 − 15 x − 36 = 0
3x 2 − 8 x − 3 = 0
7 x 2 + 66 x + 27 = 0
x2 −
x 5
− =0
6 9
2. Leiten Sie die abc-Formel durch quadratische Ergänzung aus der allgemeinen Form der quadratischen
Gleichung ab.
ax 2 + bx + c = 0
3. Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel. Berechnen Sie zuerst die Diskriminante
 p  2

  − q 

 2 
x 2 + 3x − 4 = 0
x 2 − 3x − 4 = 0
x 2 + 3x + 4 = 0
x 2 − 3x + 4 = 0
x 2 − 6 x − 55 = 0
x 2 + 8 x + 15 = 0
x 2 − 2 x − 143 = 0
x 2 + 3 x − 70 = 0
x 2 − 8 x + 25 = 0
x 2 + 17 x + 72 = 0
4. Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der abc-Formel. Berechnen Sie zuerst den Ausdruck unter der
Wurzel ( b − 4ac ).
2
2 x 2 − 17 x + 30 = 0
4 x 2 + 26 x + 30 = 0
3x 2 − 2 x − 8 = 0
8 x 2 + 10 x − 7 = 0
4 x 2 + x + 10 = 0
3 x 2 + 31x + 36 = 0
2 x 2 − 9 x + 10 = 0
12 x 2 − 25 x + 12 = 0
12 x 2 − x − 1 = 0
10 x 2 + 29 x − 21 = 0
41
5. Berechnen Sie nach dem Satz von Vieta zuerst p und q und erstellen Sie dann die quadratische
Gleichung.
L = {5;−4}
L = {− 13;−2}
L = {11;−5}
L = {21;12}
L = {27;−27}
L = {10;−9}
6. Erstellen Sie die quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.
3 
L =  ;−3
8 
4 3
L= ; 
7 7 
 5
L = 6;− 
 3
 2 5
L =  − ;− 
 3 6
1 2 
L =  ;− 
2 5
 1 1
L = − ; 
 4 2
7. Zerlegen Sie die quadratischen Gleichungen (Polynome) in Linearfaktoren. Es dürfen nur ganze Zahlen
vorkommen.
x 2 − 6x + 8 = 0
x 2 + 2 x − 120 = 0
x 2 − x − 30 = 0
6 x 2 − x − 15 = 0
5 x 2 − 47 x − 88 = 0
22 x 2 − 61x + 15 = 0
Beispiel:
2 3
6 x 2 + 5 x − 6 = 0 hat folgende Lösungen: L =  ;− 
3 2
Die Linearform lautet also:
2 
3

 x −  x +  = 0
3 
2

Um in den Klammern nur ganze Zahlen zu erhalten, multipliziert man jede Klammer mit dem
entsprechenden Nenner, also die erste Klammer mit 3, die zweite Klammer mit 2 und erhält:
(3x − 2)(2 x + 3) = 0
8. Beweisen Sie folgende Annahme: Vermehrt man das Quadrat der Differenz zweier Zahlen um ihr
vierfaches Produkt, so erhält man das Quadrat der Summe der beiden Zahlen.
9. Bestimmen Sie zwei Zahlen, deren Summe 3,4 und deren Produkt -2,4 ist.
10. Zwei Zahlen unterscheiden sich um 5, ihr Produkt beträgt 500. Wie heißen die Zahlen? Gibt es
mehrere Lösungen?
42
Lösungen – quadratische Gleichungen
1. Lösen Sie die Gleichungen durch quadratische Ergänzung.
x 2 + 10 x + 24 = 0
x 2 + 2 x − 15 = 0
L = {− 4;−6}
L = {3;−5}
x 2 − 7 x + 10 = 0
x 2 + 2x + 8 = 0
L = {2;5}
L={ }
3 x 2 − 6 x − 24 = 0
7 x 2 + 98 x + 231 = 0
L = {4;−2}
L = {− 3;−11}
6 x 2 − 15 x − 36 = 0
3x 2 − 8 x − 3 = 0
3

L = 4;− 
2

 1
L = 3;− 
 3
7 x 2 + 66 x + 27 = 0
x 5
− =0
6 9
 2 5
L = − ; 
 3 6
x2 −
 3

L =  − ;−9 
 7

2. Leiten Sie die abc-Formel durch quadratische Ergänzung aus der allgemeinen Form der quadratischen
Gleichung ab.
ax 2 + bx + c = 0
x2 +
b
c
x+ =0
a
a
2
c  b 
b
 b 
x + x+  = − + 
a
a  2a 
 2a 
2
2
2
2
b 
c

 b 
x +
 =  −
2a 
a

 2a 
2
x+
b
c
 b 
=±   −
2a
a
 2a 
x1 / 2 = −
x1 / 2
b
b 2 − 4ac
±
2a
4a 2
b
b 2 − 4ac
=−
±
2a
2a
x1 / 2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
43
3. Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel. Berechnen Sie zuerst die Diskriminante
 p  2

  − q 
 2 

x 2 + 3x − 4 = 0
x 2 − 3x − 4 = 0
x 2 + 3x + 4 = 0
x 2 − 3x + 4 = 0
D = 6,25
D = 6,25
D = −1,75
D = −1,75
L = {1;−4}
L = {− 1;4}
L={ }
L={ }
x 2 − 6 x − 55 = 0
x 2 + 8x + 15 = 0
x 2 − 2 x − 143 = 0
D = 64
D =1
D = 144
L = {11;−5}
L = {−3; −5}
L = {13;−11}
x 2 + 3 x − 70 = 0
x 2 − 8 x + 25 = 0
x 2 + 17 x + 72 = 0
D = 72,25
D = −9
D = 0,25
L = {7;−10}
L={ }
L = {− 8;−9}
4. Lösen Sie die Gleichungen mit Hilfe der abc-Formel. Berechnen Sie zuerst den Ausdruck unter der
(
)
Wurzel ( A = b − 4ac ).
2
2 x 2 − 17 x + 30 = 0
4 x 2 + 26 x + 30 = 0
3x 2 − 2 x − 8 = 0
A = 49
A = 196
A = 100
5 
L =  ;6
2 
 3 
L =  − ;− 5
 2 
4

L = 2;− 
3

8 x 2 + 10 x − 7 = 0
4 x 2 + x + 10 = 0
3 x 2 + 31x + 36 = 0
A = 324
A = −159
A = 529
1 7 
L =  ;− 
2 4
L={ }
 4

L =  − ;−9 
 3

2 x 2 − 9 x + 10 = 0
12 x 2 − 25 x + 12 = 0
12 x 2 − x − 1 = 0
A =1
A = 49
A = 49
 5
L = 2; 
 2
3 4
L= ; 
4 3
1 1 
L =  ;− 
3 4 
10 x 2 + 29 x − 21 = 0
A = 1681
 7 3
L = − ; 
 2 5
44
5. Berechnen Sie nach dem Satz von Vieta zuerst p und q und erstellen Sie dann die quadratische
Gleichung.
L = {5;−4}
L = {− 13;−2}
L = {11;−5}
x − x − 20 = 0
x + 15 x + 26 = 0
x 2 − 6 x − 55 = 0
L = {21;12}
L = {27;−27}
L = {10;−9}
x 2 − 33 x + 252 = 0
x 2 − 729 = 0
x 2 − x − 90 = 0
2
2
6. Erstellen Sie die quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.
3 
L =  ;−3
8 
21
9
x2 + x − = 0
8
8
2
8 x + 21x − 9 = 0
4 3
L= ; 
7 7 
12
x2 − x +
=0
49
49 x 2 − 49 x + 12 = 0
 5
L = 6;− 
 3
13
x 2 − x − 10 = 0
3
2
3 x − 13 x − 30 = 0
2 5
L =  ;− 
3 6
3
5
x2 − x + = 0
2
9
2
18x − 27x + 10 = 0
1 2 
L =  ;− 
2 5
1
1
x2 − x − = 0
10
5
2
10 x − x − 2 = 0
 1 1
L = − ; 
 4 2
1
1
x2 − x − = 0
4
8
2
8x − 2 x − 1 = 0
7. Zerlegen Sie die quadratischen Gleichungen (Polynome) in Linearfaktoren. Es dürfen nur ganze Zahlen
vorkommen.
x 2 − 6x + 8 = 0
x 2 + 2 x − 120 = 0
x 2 − x − 30 = 0
(x − 2)(x − 4) = 0
(x − 10)(x + 12) = 0
(x + 5)(x − 6) = 0
6 x 2 − x − 15 = 0
5 x 2 − 47 x − 88 = 0
22 x 2 − 61x + 15 = 0
5 
3

 x −  x +  = 0
3 
2

(3 x − 5)(2 x + 3) = 0
8

 x + ( x − 11) = 0
5

(5 x + 8)(x − 11) = 0
3 
5

 x −  x −  = 0
11 
2

(11x − 3)(2 x − 5) = 0
45
8. Beweisen Sie folgende Annahme: Vermehrt man das Quadrat der Differenz zweier Zahlen um ihr
vierfaches Produkt, so erhält man das Quadrat der Summe der beiden Zahlen.
(a − b )2 + 4ab = (a + b )2
a 2 − 2ab + b 2 + 4ab = a 2 + 2ab + b 2
a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
9. Bestimmen Sie zwei Zahlen, deren Summe 3,4 und deren Produkt -2,4 ist.
Nach dem Satz von Vieta gilt:
x1 + x 2 = 3,4 =
34 17
=
10 5
17
12
x−
=0
5
5
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
x2 −
Diese Gleichung hat folgende Lösungen:
 3 
L =  − ;4 
 5 
x1 ⋅ x 2 = −2,4 = −
oder
24
12
=−
10
5
5 x 2 − 17 x − 12 = 0
10. Zwei Zahlen unterscheiden sich um 5, ihr Produkt beträgt 500. Wie heißen die Zahlen? Gibt es
mehrere Lösungen?
x( x + 5) = 500
x 2 + 5 x − 500 = 0
Durch Einsetzen in die pq-Formel erhält man folgende Lösungen:
x1 = 20
Es gibt zwei Lösungen und die gesuchten Zahlenpaare sind:
(20 ; 25)
x 2 = −25
und
(-25 ; -20)
46
Dreisatz
Einfacher Dreisatz – proportional
Beim einfachen Dreisatz liegt eine Gesetzmäßigkeit folgender Art vor:
Je mehr A, desto mehr B
Beim Verdoppeln, Verdreifachen, Vervielfachen von A wird auch B verdoppelt, verdreifacht, vervielfacht.
Entsprechende Aufgaben lassen sich in drei Schritten lösen:
1. a Einheiten von A entsprechen b Einheiten von B
oder
a verhält sich zu b wie A zu B oder
a A
=
b B
die Verhältnisse sind gleich!
b
Einheiten von B
a
b
3. c Einheiten von A entsprechen demnach c ⋅ Einheiten von B
a
2. 1 Einheit von A entspricht
Beispiel:
Ein Auto fährt in 3 Stunden 270 km bei konstanter Geschwindigkeit. Wie viele km legt es in 5 Stunden
zurück?
1. Lösungsmöglichkeit: (Dreisatz)
3 Std.
1 Std.
5 Std.
=
=
=
270 km
90 km
450 km
:3
x5
Das Auto legt in 5 Stunden 450 km zurück.
2. Lösungsmöglichkeit: (rechnerisch)
3 zu 5 wie 270 zu x
3 270
=
5
x
270 ⋅ 5
x=
= 450
3
Umgekehrter Dreisatz – umgekehrt proportional
Beim umgekehrten Dreisatz liegt eine Gesetzmäßigkeit folgender Art vor:
Je mehr A, desto weniger B
Beim Verdoppeln, Verdreifachen, Vervielfachen von A wird auch B halbiert, gedrittelt, durch das Vielfache
dividiert.
Dabei ergeben a Einheiten von A mit b Einheiten von B einkonstantes Produkt:
47
aA = bB
Beispiel:
3 Arbeiter brauchen 7 Tage für eine bestimmte Arbeit. Wie lange brauchen 8 Arbeiter für die gleiche
Arbeit (bei einer täglichen Arbeitszeit von 8 Stunden)?
1. Lösungsmöglichkeit: (Dreisatz)
3 Arbeiter
1 Arbeiter
7 Tage
21 Tage
x3
:7
8 Arbeiter
21
Tage = 2 Tage, 5 Stunden
8
2. Lösungsmöglichkeit: (rechnerisch)
3⋅ 7 = 8⋅ x
x=
21
8
48
Aufgaben – Dreisatz
1. 500 Blätter Kopierpapier wiegen 2,4 kg.
a) Wie viel wiegen 20 Blätter?
b) Wie viele Blätter haben ein Gewicht von 144 g?
2. Um einen Weg zu schottern brauchen 6 Bagger 15 Tage. Wie lange brauchen 10 Bagger für die
gleiche Arbeit?
3. Ein Becken wird durch ein Rohr mit einem Querschnitt von 63 cm² in 36 Stunden befüllt. Wie lange
würde es dauern, wenn das Rohr 84 cm² Durchmesser hätte?
4. Der Lebensmittelvorrat einer Schiffsbesatzung von 9 Mann reicht für 24 Tage. Wie lange reicht der
gleiche Vorrat für 12 Mann?
5. Ein Supermarkt bewirbt Nutella im 750 g-Glas als Sonderangebot für 2,99 €. Im Regal steht auch
das normale 400 g-Glas für 1,59 €. Ist das große Glas tatsächlich ein Sonderangebot?
6. Ein 150 g-Becher Joghurt kostet 0,35 €. Im Aktionsangebot erhält man 9 200 g-Becher der gleichen
Sorte für 3,99 €. Wie viel spart man im Vergleich zum Normalpreis?
7. 12 Hennen legen 280 Eier in 20 Tagen. In wie vielen Tagen legen 9 Hennen 340 Eier?
8. Ein 7 m² großes Blech, 5 mm dick, wiegt 313,6 kg. Wie viel wiegt ein 6 mm dickes Blech, das eine
Fläche von 4 m² hat? (Bitte auf ganze kg runden!)
49
Lösungen Dreisatz
1. 500 Blätter Kopierpapier wiegen 2,4 kg.
a) Wie viel wiegen 20 Blätter?
b) Wie viele Blätter haben ein Gewicht von 144 g?
96 g
30 Blätter
2. Um einen Weg zu schottern brauchen 6 Bagger 15 Tage. Wie lange brauchen 10 Bagger für die
gleiche Arbeit?
(indirekter Dreisatz, Produkte sind gleich) 9 Tage
3. Ein Becken wird durch ein Rohr mit einem Querschnitt von 63 cm² in 36 Stunden befüllt. Wie lange
würde es dauern, wenn das Rohr 84 cm² Durchmesser hätte?
(indirekter Dreisatz) 27 Stunden
4. Der Lebensmittelvorrat einer Schiffsbesatzung von 9 Mann reicht für 24 Tage. Wie lange reicht der
gleiche Vorrat für 12 Mann?
(indirekter Dreisatz) 18 Tage
5. Ein Supermarkt bewirbt Nutella im 750 g-Glas als Sonderangebot für 2,99 €. Im Regal steht auch
das normale 400 g-Glas für 1,59 €. Ist das große Glas tatsächlich ein Sonderangebot?
Das 400 g-Glas würde auf 750 g hochgerechnet 2,98 € kosten. Das große Glas ist deshalb kein
Sonderangebot!
6. Ein 150 g-Becher Joghurt kostet 0,35 €. Im Aktionsangebot erhält man 9 200 g-Becher der gleichen
Sorte für 3,99 €. Wie viel spart man im Vergleich zum Normalpreis?
Die gleiche Menge Joghurt kostet normalerweise 4,20 €, man spart also 0,21 €.
7. 12 Hennen legen 280 Eier in 20 Tagen. In wie vielen Tagen legen 9 Hennen 340 Eier?
Pro Tag legt eine Henne 1,167 Eier (zuerst die Eier pro Henne, dann die Eier pro Tag berechnen)
9 Hennen legen also pro Tag 10,5 Eier und brauchen damit für 340 Eier etwa 32,4 Tage (32 Tage,
9 Stunden, 36 Minuten)
8. Ein 7 m² großes Blech, 5 mm dick, wiegt 313,6 kg. Wie viel wiegt ein 6 mm dickes Blech, das eine
Fläche von 4 m² hat? (Bitte auf ganze kg runden!)
1 m² des 5 mm dicken Blechs wiegt 44,8 kg, ein 1 mm dickes Blech würde also 8,96 kg pro m²
wiegen.
4 m² dieses Blechs wiegen damit 35,84 kg, wenn das Blech 6 mm dick ist, wiegt es also 215,04 kg.
50
Prozentrechnung
Prozentsatz p
30%
Grundwert G
von
900€
Prozentwert W
1
= 30 ⋅
⋅ 900€
100
270€
1. Wie viel sind 30% von 900 €?
Gesucht ist der Prozentwert W.
W=
p
⋅G
100
2. 30 % einer Geldsumme sind 270 €. Wie hoch ist die Geldsumme?
Gesucht ist der Grundwert G.
G=
W
⋅100
p
3. Wie viel Prozent von 900 € sind 270 €?
Gesucht ist der Prozentsatz p.
p=
W
⋅100
G
51
Aufgaben Prozentrechnung
1. Ergänzen Sie die freien Felder:
Grundwert G
400
360
360
3265
9000
55
Prozentwert W
250
125
11,781
18,9
228,55
Prozentsatz p
2%
5%
119 %
1,27
61,05
2. Nach der Mehrwertsteuererhöhung von 16 % auf 19 % verteuerten sich folgende Waren:
Schokolade von 0,99 € auf 1,10 €
CD-Rohlinge (50 Stück) von 7,88 € auf 7,99 €
Plasmafernseher von 1199 € auf 1249 €
Wie haben sich die Nettopreise entwickelt wenn man berücksichtigt, dass die Mehrwertsteuer für
Lebensmittel bei 7 % geblieben ist?
3. Nach einer Mieterhöhung von 6 % muss Familie F. nun 556,50 € bezahlen. Wie hoch war die
ursprüngliche Miete?
4. Ein Anlagebetrag von 5000 € wird jährlich mit 4,25 % verzinst. Der Vertrag läuft über 4 Jahre, die
Zinsen werden nicht mitverzinst. Wie viel Geld hat der Kunde am Ende der Laufzeit?
5. Wie viel Geld hat der Kunde aus Aufgabe 4, wenn die Zinsen mitverzinst werden?
52
Lösungen Prozentrechnung
1. Ergänzen Sie die freien Felder:
Grundwert G
400
360
2500
9,9
360
3265
9000
55
Prozentwert W
250
7,2
125
11,781
18,9
228,55
114,3
61,05
Prozentsatz p
62,5
2%
5%
119 %
5,25
7
1,27
111
2. Nach der Mehrwertsteuererhöhung von 16 % auf 19 % verteuerten sich folgende Waren:
Schokolade von 0,99 € auf 1,10 €
CD-Rohlinge (50 Stück) von 7,88 € auf 7,99 €
Plasmafernseher von 1199 € auf 1249 €
Wie haben sich die Nettopreise entwickelt wenn man berücksichtigt, dass die Mehrwertsteuer für
Lebensmittel bei 7 % geblieben ist?
Artikel
Schokolade
CD-Rohlinge
Plasmafernseher
Nettopreis alt
0,93 €
6,79 €
1033,62 €
Nettopreis neu
1,03 €
6,71 €
1049,58 €
Teuerung
10,8 %
- 1,18%
1,54%
3. Nach einer Mieterhöhung von 6 % muss Familie F. nun 556,50 € bezahlen. Wie hoch war die
ursprüngliche Miete?
525 €
4. Ein Anlagebetrag von 5000 € wird jährlich mit 4,25 % verzinst. Der Vertrag läuft über 4 Jahre, die
Zinsen werden nicht mitverzinst. Wie viel Geld hat der Kunde am Ende der Laufzeit?
5850,- €
5. Wie viel Geld hat der Kunde aus Aufgabe 4, wenn die Zinsen mitverzinst werden?
5905,74 €
53
Zins- und Zinseszinsrechnung
Für die Zinsberechnung gibt es verschiedene Möglichkeiten:
Einfache (lineare) Verzinsung
Die Zinsen werden für die gesamte Laufzeit berechnet. Dies geschieht proportional zur Laufzeit, d.h. wenn
die Laufzeit nur 6 Monate beträgt, der jährliche Zinssatz aber 5 % beträgt, werden nur 6 Monate berechnet.
K n = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i)
Exponentielle Verzinsung (Zinseszinsen)
Nach jeder Zinsperiode (z.B. am Ende des Jahres) werden
die Zinsen dem Kapital zugeschlagen und in der nächsten
Zinsperiode mitverzinst. Das Kapital wächst um den
Aufzinsungsfaktor q =1 + i
Kn = K0 ⋅ q
Kn
= Endwert (Kapital nach n Jahren)
K0
= Barwert (Anfangskapital)
i
= Zinssatz
n
= Laufzeit in Jahren
n
oder
K n = K 0 ⋅ (1 + i) n
Unterjährige Verzinsung
Manchmal werden die Zinsen mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen (Halbjährlich, vierteljährlich,
monatlich). Für die Berechnung des unterjährigen Zinssatzes im (m = Anzahl der Zinsperioden) gibt es zwei
Möglichkeiten:
•
Relativer unterjähriger Zinssatz
Der nominelle Jahreszins wird durch die Anzahl der Zinsperioden geteilt. i m =
i
m
Dabei ergibt sich ein höherer Effektivzinssatz.
Beispiel: K0 = 100, i = 12%, n =1
Halbjährlich:
Vierteljährlich:
Monatlich:
•
i2 = 6%
K1 = 100 ⋅1, 06 2 = 112,36
ieff. = 12,36%
i4 = 3%
K1 = 100 ⋅1, 03 = 112,55
ieff. = 12,55%
i12 =1%
K1 = 100 ⋅1, 01 = 112, 68
ieff. = 12,68%
4
12
Konformer unterjähriger Zinssatz
im wird so bestimmt, dass sich derselbe Effektivzinssatz ergibt wie bei jährlicher Verzinsung.
Beispiel: i = 12%
(1 + i m )
m
= 1+ i
2
Halbjährlich:
 1
1 +  = 1,12
 2
Vierteljärlich:
 1
1 +  = 1,12
 4
Monatlich:
1

1 +  = 1,12
 12 
i2 = 0,0583 = 5,83%
4
i4 = 0,0287 = 2,87%
12
i12 = 0,0095 = 0,95%
54
•
Sonderfall: Stetige Verzinsung
Wenn man bei gleichbleibendem Zinssatz die Anzahl der Zinsperioden vergrößert, wird das
Endkapital immer größer. Es gibt allerdings eine Obergrenze.
Beispiel: K0 = 1, i = 100% =1
n
1
Kn
1 ⋅ (1 + 1) = 2
2
2
 1
1 ⋅ 1 +  = 2, 25
 2
4
 1
1 ⋅ 1 +  = 2, 441
 4
12
1 

1 ⋅ 1 +  = 2, 613
 12 
100
1 

1⋅ 1 +

 100 
1000
1 

1⋅ 1 +

 1000 
100 000
1 

1⋅ 1 +

 100000 
1 000 000
1


1⋅ 1 +

 1000000 
4
12
100
= 2, 705
1000
= 2, 717
100000
= 2, 718
1000000
= 2, 71828
Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e = 2,71828…
Diese Art der Verzinsung stellt ein gutes Modell für natürliche Wachstumsvorgänge oder
radioaktiven Zerfall dar.
55
Aufgaben Zinsrechnung
56
Lösungen Zinsrechnung
57
Mischungsrechnen
Bei Mischungsrechnungen werden Konzentrationen und Mengenverhältnisse errechnet, die sich beim
Mischen gelöster Chemikalien, Säuren oder Laugen unterschiedlicher Konzentration ergeben.
Das Mischungskreuz ist eine Methode, mit der man die Mengenanteile berechnen kann, die man benötigt,
um aus zwei Stammlösungen, d. h. Lösungen mit bekannten Konzentrationen, eine Lösung mit einer
bestimmten Zielkonzentration zu erzeugen.
•
Auf der linken Seite des Mischungskreuzes werden die bekannten
Ausgangskonzentrationen der Flüssigkeiten angegeben.
•
An den Kreuzungspunkt schreibt man die gewünschte Zielkonzentration der Mischung.
•
Nun bildet man die Differenz aus der bekannten Konzentration links oben und der
gewünschten Zielkonzentration in der Mitte und notiert das Ergebnis rechts unten.
•
Dann bildet man die Differenz aus der bekannten Konzentration links unten und der
gewünschten Zielkonzentration in der Mitte und schreibt das Ergebnis rechts oben auf.
Die Ergebnisse sind immer positive Zahlen, notfalls wird das Vorzeichen umgekehrt!
Auf der rechten Seite des Mischungskreuzes erhält man dann als Ergebnis die Anteile der
Lösungen, mit denen man die gewünschte Zielkonzentration herstellen kann.
•
Die Mengen der einzelnen Bestandteile kann man mit Hilfe des Dreisatzes errechnen!
Beispiel:
Aus einer 35%igen Säure soll durch Verdünnung mit Wasser 100 ml einer 6%igen Säure hergestellt
werden.
Ausgangskonzentration
Endkonzentration
35%
Anteile der Lösungen
6 Teile (0 – 6)
6%
0%
35 T
1T
= 1000 ml
= 28,57 ml
6T
29 T
= 171,43 ml (35%ige Säure)
= 828,53 ml (Wasser)
29 Teile (35 – 6)
Eine weitere Möglichkeit ist das Berechnen der benötigten Mengen mit Hilfe einer Formel:
p1 ⋅ m1 + p 2 ⋅ m 2 = p ⋅ ( m1 + m 2 )
p = Konzentration der Lösungen
m = Menge
58
Aufgaben Mischungsrechnen
1. Es werden 80 ml eines 70%igen Alkohols benötigt. Sie haben 96%igen Alkohol zur Verfügung. Wie
müssen Sie verdünnen?
2. Aus einem 80%igen und einem 40%igen Alkohol sollen 400 ml eines 50%igen Alkohols angesetzt
werden. Welche Mengen werden benötigt?
3. Sie mischen 430 ml 5%ige Essigsäure mit 200 ml Aqua dest. Welche Konzentration hat die
Mischung?
4. Aus 1000 ml eines 96%igen Alkohols wird durch Zugabe von Wasser 70%iger Alkohol. Wie viel
Wasser müssen Sie zugeben und welche Menge erhalten Sie?
5. 40 l eines 30%igen Alkohols werden mit 60 l eines 20%igen Alkohols gemischt. Wie viel Prozent
Alkohol hat die Mischung?
6. 500 l eines Getränks besteht zu 70% aus Fruchtsaft und wird mit 800 l einer anderen
Getränkesorte gemischt. Die Mischung hat einen Fruchtsaftgehalt von 60%. Wie viel Fruchtsaft
enthält die zweite Sorte?
7. Ein Apotheker will aus 5 l 90%igem Alkohol und 10 l 45%igem Alkohol durch Hinzufügen von
Wasser 42%igen Alkohol herstellen. Wieviel Wasser muss er zusetzen?
8. Aus 37%iger Formaldehydlösung sollen 10 l eines 4%igen Formaldehyds angesetzt werden. Sie
haben 3 Flaschen mit je 500 ml 37%iges Formaldehyd zur Verfügung. Reicht diese Menge?
9. Sie sollen 2000 ml einer 50%igen Schwefelsäure ansetzen. Im Chemikalienschrank stehen 250 ml
80%ige Schwefelsäure und 2500 ml 43%ige Schwefelsäure. Von der 80 %igen Säure werden 120
ml für eine andere Untersuchung benötigt. Wie viel Säure können Sie höchstens ansetzen?
59