“Die Zahl regiert das Universum” Pythagoras - Math

“Die Zahl regiert das Universum”
Pythagoras
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Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, WS 2008
Griechische Mathematik
Pythagoras von Samos war ein griechischer Philosoph
und Mathematiker.
Pythagoras vertrat als Philosoph die mystische Lehre
von der Zahl als Urprinzip aller Dinge und von der
harmonischen Ordnung als höchstes kosmologisches
Gesetz.
Pythagoras von Samos
Die griechische Mathematik wird von den Schulen
von Pythagoras und Euklid beherrscht. Die Schule
von Pythagoras baut auf Zahlen auf, d.h. ist arithmetisch, und die Schule von Euklid auf Geometrie.
570­500 v. Chr.
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Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, WS 2008
Griechische Mathematik
Die Entdeckung, dass die Länge der Diagonale eines Quadrats der Länge eins, bezeichnet durch die Zahl √2 , sich nicht als Bruch zweier natürlichen Zahlen schreiben lässt, d.h. dass √2 keine rationale Zahl ist, war ein schwerer Rückschlag für
den Glauben von Pythagoras. Die Pythagoräer waren überzeugt, dass das Universum durch Relationen zwischen natürlichen Zahlen verstanden werden könne. Auf
der einen Seite steht √2 für die Diagonale eines Quadrats der Länge eins, weswe­
gen die Existenz von √2 gesichert scheint. Auf der anderen Seite steht das Prinzip
der pythagoräischen Schule.
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Griechische Mathematik
Euklid war ein griechischer Mathematiker.
Die Entdeckung der irrationalen Natur von √2 führte dazu, dass die pythagoräische Schule sich auflöste und die
Schule von Euklid einflussreicher wurde. Bei dieser Schule,
die auf Geometrie anstatt auf Arithmetik aufbaute, konnte
die irrationale Natur von √2 verarbeitet werden. Für Euklid
war die Diagonale eines Quadrats nur eine geometrische
Größe, die eine bestimmte Länge hatte. Man musste sie
nicht mit der Hilfe von Zahlen ausdrücken.
Euklid von Alexandria
365­300 v. Chr.
In ähnlicher Weise “geometrisierte” Euklid die Arithmetik.
Er zeigte z.B., dass das Produkt a b zweier Zahlen als Fläche
eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b betrachtet
werden kann.
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a
b
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Irrationale Zahlen
Die irrationalen Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche.
Die meisten Funktionswerte der Wurzelfunktionen, logarithmischen Funktionen oder trigonometrischen Funktionen, auch die Zahlen  und e sind
irrationale Zahlen.
1)
Die Kreiszahl
 = 3.141592654 
Die Eulersche Zahl
e = 2,718281828459 
2)
1) http://i032.radikal.ru/0804/82/af2caf626175.jpg
2) http://images.zeit.de/bilder/2007/24/wissen/wissenschaft/euler/euler-artikel.jpg
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Reelle Zahlen
Alle rationalen und irrationalen Zahlen ergeben zusammen die Menge
der reellen Zahlen, ℝ .
Die Menge der reellen Zahlen entspricht anschaulich der Menge aller
Punkte der Zahlengeraden. Die den reellen Zahlen entsprechenden Punkte bedecken die Zahlengerade lückenlos !
Die Menge der reellen Zahlen hat folgende Strukturen und Eigenschaften:
Addition
Multiplikation
Subtraktion (Existenz von additiven Inversen)
Division (Existenz von multiplikativen Inversen)
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Ordnungsrelation
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Reelle Zahlen: Eigenschaften, Intervalle
Kommutativgesetz:
ab=ba,
a ⋅b = b ⋅a
Assoziativgesetz:
a  b   c = a   b  c  ,
Distributivgesetz:
a ⋅ b  c = a⋅ b  a ⋅ c
a ⋅ b  ⋅c = a ⋅ b ⋅ c 
Endliche Intervalle ( a < b ):
1) offenes Intervall
1
a , b = {x | a  x  b}
2) halboffenes Intervall
2
[ a , b ) = {x | a  x  b}
3
3) abgeschlossenes Intervall
a
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b
[a , b] = {x | a  x  b }
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, WS 2008
Reelle Zahlen: Intervalle
3
2
1
a
b
1.
[ a , ∞ ) = {x | a  x  ∞}
2.
a , ∞ = {x | a  x  ∞}
3.
−∞ , b = {x | −∞  x  b }
ℝ = −∞ , ∞
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