Analytische Geometrie Spatprodukt

Analytische Geometrie
Spatprodukt
David Schmid, Reto Da Forno
Kantonsschule Schüpfheim
Januar 2005
Analytische Geometrie: Das Spatprodukt
1
Das Spatprodukt
Hinweis: Die Vektoren werden aus darstellungstechnischen Gründen unterstrichen.
1.
Definition und Eigenschaften
1.1 Was ist ein Spat?
„Unter einem Spat (Synonyme: Parallelflach, Parallelepiped, Parallelotop) versteht man einen
geometrischen Körper, der aus 6 paarweise kongruenten (deckungsgleichen) und in parallelen
Ebenen liegenden Parallelogrammen besteht. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Kalzit,
chemisch: CaCO3) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelflachs aufweisen.“
(http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelflach)
Skizze:
Abb.1: Skizze eines Spats
1.2 Eigenschaften
Ein Spat besteht aus 12 Kanten.
Von diesen Kanten verlaufen je 4 pararell.
Die Pararellen sind untereinander immer gleich lang.
Quader und Würfel sind Sonderformen des Spats.
1.3 Definition
Mit dem Spatprodukt wird die durch die drei Vektoren aufgespannte Grösse des orientierten Volumens
gemeint.
Das Spatprodukt ist gegeben durch:
Va,b,c = (a x b) * c = (b x c) * a = (c x a) * b = det
ax bx cx
ay by cy
az bz cz
Mit Hilfe des Spatprodukts kann auch das Volumen eines Tetraeders berechnet werden, nämlich
folgendermassen:
1
VTetraeder = /6 (a x b) * c
Die folgende Skizze verdeutlicht, dass ein Spat in sechs gleich grosse Tetraeder aufgeteilt werden
kann:
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1.4 Geometrische Herleitung
Das Volumen eines Spats ist das Produkt seiner Grundseite und Höhe.
Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ist dabei genau der Normalenvektor der Grundfläche des Spats.
Der Betrag des Normalenvektors entspricht genau der Grundfläche.
h = |c| * cos(alpha) = e (a x b) * c
Es folgt:
V = A * h = | a x b | ( e(a x b) * c ) = ( a x b ) * c
1.5 Orientiertes Volumen
Bei einem rechtshändigen Koordinatensystem wird das Volumen mit dem Faktor +1 multipliziert.
Genau umgekehrt geschieht es bei einem linkshändigen Koordinatensystem. Hier wird es mit –1
multipliziert.
Sonderfall: Das Spatprodukt ergibt 0! Das passiert, wenn die Vektoren komplanar (linear abhängig)
sind. Denn wenn die drei Vektoren in der gleichen Ebene liegen, so ist es offensichtlich, dass ihr
Flächeninhalt 0 ergeben muss.
Gesetze: Beim Spatprodukt darf das Kommutativgesetz angewendet werden:
(a x b) * c = a * (b x c)
Bei der Notierung des Spatprodukts kann es auch vorkommen, dass man die Rechenzeichen
weglässt, da man sie bei gewisser Klammerung vertauschen kann:
(a x b) * c = (a, b, c) = [a, b, c]
2.
Die Determinante
2.1 Definition
Die Determinante D einer Matrix ist nichts anderes als eine reelle Zahl.
Sie lässt sich berechnen, indem man die Diagonalprodukte einer 3x3 Matrix aufsummiert:
|A| =
a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32
– a13 · a22 · a31 – a11 · a23 · a32 – a12 · a21 · a33
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Schreibweise: |A|
2.2 Verwendungszweck
Invertierte Matrix:
-1
Eine invertierte (oder inverse) Matrix A von A ist folgendermassen definiert:
-1
A * A = I (Identitäts- oder Einheitsmatrix)
Sie existiert nur dann, wenn die Determinante von A ungleich null ist.
So wie die Eins das neutrale Element der Multiplikation von reellen Zahlen ist, ist die Einheitsmatrix
eben das neutrale Element bei der Matrizenmultiplikation.
A*I=A
Ebenfalls zu beachten gilt, dass die Multiplikation zweier Matrizen gewöhnlich nicht kommutativ ist.
A*B≠B*A
Wozu braucht man denn invertierte (inverse) Matrizen?
Nehmen wir an, die Matrix A müsse mittels der Matrix T transformiert werden. Dies sollte auch ohne
Probleme funktionieren:
A * T = A’
Was aber ist, wenn wir die Transformation rückgängig machen wollen? Dazu brauchen wir die inverse
Matrix von T:
A = (T
–1
) · A’
Wie berechnet man nun die inverse Transformationsmatrix, wenn wir die Komponenten von T
kennen? Dazu brauchen wir eben die Determinante!
Löslichkeit eines linearen Gleichungssystems:
Nehmen wir an, A sei eine 3x3 Matrix und b ein 3D-Vektor:
A·x=b
Dabei ist das Pünktchen zwischen A und x nicht bloss ein Multiplikationszeichen wie wir es von reellen
Zahlen her kennen, sondern eine Matrix-Vektor-Multiplikation. Wenn man nun die einzelnen
Komponenten der Matrix A und des Vektors b hinschreibt, erkennt man, dass es sich um mehrere
Gleichungen handelt: man spricht von einem linearen Gleichungssystem.
Doch wie teilt man durch eine Matrix? Ganz so einfach wie bei reellen Zahlen funktioniert das bei der
Division durch Matrizen nicht. In der Regel löst man dies mit dem Gauss-Algorithmus, doch dieser
liefert nicht immer eindeutige Ergebnisse (z.B. bei der Null-Matrix).
Mithilfe der Determinante kann nun ermittelt werden, ob und wie viele Lösungen es gibt, die zu einer
eindeutigen Lösung führen.
Die Determinante gibt also über die Lösbarkeit einer Gleichung Auskunft.
2.3 Spezialfall
Eine Matrix A heisst dann singulär, wenn dessen Determinante null ist. A ist dann nicht invertierbar.
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3.
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Abstandsprobleme
3.1 Punkt - Gerade
Der Abstand h eines Punktes C von der Geraden gAB ist der Betrags des Vektorprodukts CA x CB
geteilt durch den Betrag des Vektors AB. Mathematisch ausgedrückt sieht das so aus:
( | CA x CB | ) / |AB|
y
A
h
90°
C (0 / 0)
x
B
g
z
3.2 windschiefer Geraden
Zwei Geraden g1 und g2 sind dann windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt besitzen. Mit
dem Abstand zwischen g und h meint man die kürzeste Verbindungslinie, also jene die sowohl zu g1
also auch zu g2 senkrecht steht.
Die Vektoren u, v und w definieren einen Spat. Die Höhe h des Spates steht senkrecht zu beiden
Geraden g1 und g2.
Die Grundfläche des folgenden Spates lässt sich mithilfe des Vektorprodukts ermitteln:
G=|vxu|
V = | (v x u) * w |
Aufgrund der Formel Volumen gleich Grundseite mal Höhe lässt sich h ermitteln:
h = V / G = | (v x u) * w | / | v x u |
Fusspunkte ermitteln:
Gegeben sind zwei Geraden g1 und g2 in der Parameterform. Der Abstand und dessen Richtung lässt
sich leicht ermitteln (vgl. oben). Dann wird eine Ebene erstelle mit dem Abstandsvektor und dem
Richtungs- und Ortsvektor der einen Gerade. Da wir nun eine Ebene und eine Gerade haben, kann
durch gleichsetzen der Ebenen- mit der Geradengleichung der Schnittpunkt bestimmt werden. Dies ist
der erste Fusspunkt. Den zweiten Fusspunkt ermittelt man exakt gleich: wieder ein lineares
Gleichungssystem (diesmal die andere Gerade in die Ebene packen).
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Anhang
Musteraufgabe 1:
gegeben:
gesucht:
Lösung:
2
5
1
Determinante
a11 · a22 · a33
– a13 · a22 · a31
|M1| = -10
Matrix M1
3 4
-2 1
2 3
und Matrix M2
a 1 a
-1 a 1
a -1 a
+ a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32
– a11 · a23 · a32 – a12 · a21 · a33
|M2| = 4a
Musteraufgabe 2:
gegeben:
gesucht:
Lösung:
Punkte A (2 / 3 / 3), B (4 / -1 / 4), C (1 / 1 / -2), D (5 / 1 / 0)
Volumen des Tetraeders TABCD
V(AB, AC, AD) / 6 = 12
Musteraufgabe 3:
gegeben:
gesucht:
Lösung:
Punkte A (2 / 0 / 1), B (-2 / 1 / 2), P (0 / 5 / 6)
Abstand h des Punktes P von der Geraden gAB
AABC = | PA x PB | / 2
h = (AABC * 2) / |AB| = 6
P
A
h
B
g
Musteraufgabe 4:
gegeben:
gesucht:
Lösung:
Ebenengleichungen von E1 : 4x – 2y – z – 12 = 0 und E2 : 2x + 2y – 5z + 24 = 0
a) Abstand der Schnittgeraden vom Ursprung
a) Koordinaten des Fusspunktes
- gegenseitige Lage mittels Determinante bestimmen; wenn beide gleich null sind, dann
sich die Ebenen parallel
- in Parameterform umwandeln (je drei Punkte herausfiltern, daraus den Orts- sowie die
Richtungsvektoren für die Parametergleichung bilden
- lineares Gleichungssystem; 3 Gleichungen, vier Unbekannte
- nun kann die Aufgabe auf Nr. 3 zurückgeführt werden!
Musteraufgabe 5:
gegeben:
Koordinatenform zweier windschiefer Geraden
2
0
1
3
g1 : r = 3 + t 2
und g2 : q =
6 + s -2
5
1
-2
0
gesucht:
a) Abstand h der Geraden
b) Fusspunkt
(vgl. Skizze 3.2)
a) Richtungs- und Ortsvektoren (ergeben zus. auch einen Richtungsvektor) spannen
einen Spat auf
h = V / G = | (v x u) * w | / | v x u | = | (2 / 3 / -6) * (-1 / 3 / -7) | / 7 = | -2 + 9 + 42 | / 7 = 7
b) Lösungsweg siehe 3.2
8
29
F1 (2 / /3 / /6)
17
7
F2 (4 / /3 / - /6)
Lösung:
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4.
6
Quellenverzeichnis
4.1 Internetquellen
http://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt [26.11.04]
http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelflach [26.11.04]
http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/def_en/kap_7/basics/b7_3_1.html [26.11.04]
http://www.formel-sammlung.de/ld-Determinante-387.html [26.11.04]
http://www.ifm.maschinenbau.uni-kassel.de/~lsch/zuTM1_WS045/Vorl2.html [26.11.04]
http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/cd-vektoren/Gerade-Gerade.pdf [20.01.05]
4.2 Abbildungsverzeichnis
Abb. Titelseite und Abb. 1:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/a/a4/Parallelflach.PNG [26.11.04]
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