Einführung in die Laserprojekte des Praktikums für

Ringvorlesung WS07/08
Einführung in die Laserprojekte
des Praktikums für Fortgeschrittene
Professor Dr. D. von der Linde
Lernziel
Im Fortgeschrittenen-Praktikum werden zwei Projekte angeboten, die sich intensiv mit Lasern
befassen:
- Laser-Grundversuch (Helium-Neon-Laser)
- Dioden-gepumpter Nd-YAG-Laser
Da die meisten Teilnehmer des Praktikums keine Gelegenheit hatten, an einer geeigneten Einführung in die Laserphysik teilzunehmen, sollen hier im Rahmen der Ringvorlesung das notwendigste Laser-Grundlagenwissen angeboten werden.
Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Eine Einführung in Bildern: Absorption, stimulierte und spontane Emission
Zwei-Niveausystem und Ratengleichungen
Helium-Neon Laser
Neodym-YAG-Laser
Niveau-Schematat und Niveau-Verbreiterung
Laser-Resonatore
Transversale Moden
Fabry-Pérot-Interferometer (Etalon)
Literaturempfehlung
Orazio Svelto: „Principles of Lasers“ (Plenum Press, New York, 1998)
2. Zwei-Niveau-System und Ratengleichungen
Wir diskutieren die Wechselwirkung von Licht mit den Atomen des Mediums. Diese Atome
besitzen bekanntlich eine Serie von diskreten Energieniveaus (Muster: Wasserstoff-Atom). Aus
der Vielzahl der Niveaus greifen wir zwei heraus, nämlich die Niveaus mit den Energien E1
und E1, für welche die Bohrsche Frequenzbedingung erfüllt ist:
Die anderen Energieniveaus werden zunächst außer acht gelassen. Wir sprechen dann von einem Zwei-Niveau-Modell oder Zwei-Niveau-System. Die Abb. 2.1 veranschaulicht das ZweiNiveau-Modell. für den Fall von Absorption.
"Beispielatom"
E2
ω = E2- E1
Einfallendes Licht
E1
Frequenz ω
Material
Durchgelassenes Licht
Abb. 2.1: Veranschaulichung der Wechselwirkung von Licht mit einem Material, dessen
Atomen in der Zwei-Niveau-Näherung betrachtet werden.
2.1 Änderungen der Besetzungszahlen
Wir betrachten den Energie-Austausch zwischen dem Strahlungsfeld (Licht) und den AtomenDurch diese Wechselwirkung ändert sich die Anzahl der Atome, die sich im Zustand 1 bzw. im
Zustand 2 befinden. Folgende Größen werden eingeführt:
N: Anzahl(dichte) der Atome; N1: Anzahl(dichte) in E1; N2: Anzahl(dichte) in E2
Änderung der Besetzung des unteren Niveaus (1):
dN1
= − w12 N1 + w21 N 2
dt
(2.1)
Änderung der Besetzung des oberen Niveaus (2):
dN 2
= − w21 N 2 + w12 N1
dt
(2.2)
Die Größen w12 und w21 sind die Übergangsraten zwischen den Niveaus. Diese können mit den
Methoden der quantentheoretischen Störungstheorie (Fermi‘s Goldene Regel) berechnet werden. Für die Übergangsraten gilt w12=w21=w.
2.2 Wirkungsquerschnitt
Die Übergangsate w ist proportional zur Lichtintensität I bzw. zur Photonenflußdichte
N p = I ω . Den Proportionalitätsfaktor in der Beziehung w ~ Np nennt man Wirkungsquerschnitt:
w = σ Np (2.3)
Man kann sich davon überzeugen, daß die physikalische Einheit des Wirkungsquerschnitts σ
die Flächeneinheit ist, also m2 oder cm2. Mit dem Wirkungsquerschnitt kann man die Ratengleichung dann folgendermaßen schreiben:
dN1,2
dt
=  σ N p ( N1 − N 2 )
(2.4)
Wenn man die normierte Besetzungszahldifferenz einführt,
∆=
N1 − N 2
N1 + N 2
(2.5)
so können die Ratengleichungen für N1 und N2 folgendermaßen zusammengefaßte werden:
d∆
= −2σ N p N ∆ (2.6)
dt
2.3 Inversion
Die Größe ∆ kann offensichtlich die Werte -1 ≤ ∆ ≤ 1 annehmen. Im thermischen Gleichgewicht ist das Verhältnis der Besetzungszahlen durch den Boltzmann-Faktor gegeben,
N2
= exp [−( E2 − E1 ) k BT ] < 1 (2.7)
N1
d.h., ∆ ist im Normalfall größer als Null. Wenn sich mehr Atome im oberen als im unteren Zustand befinden, spricht man von Inversion, und ∆ ist negativ. Der Fall ∆ = 0 bedeutet gleiche
Besetzung der Niveaus 1 und 2.
Inversion ist die Voraussetzung für Lichtverstärkung, d.h. für Lasertätigkeit. Um Inversion
herzustellen muß dem System Energie zugeführt werden. In der Laserphysik spricht man auch
vom „Pumpen“ des Systems.
2.4 Änderung der Lichtintensität
Durch Absorption bzw. Emission wird die Intensität des auf die Atome einwirkenden Lichts
verändert. Der „Photonenfluß“ nimmt ab oder zu, je nachdem ob die Atome Licht absorbieren
oder stimuliert emittieren. Die Abb. 2.1 veranschaulicht den Fall der Absorption.
Es ist nicht schwer, eine entsprechende Bilanzgleichung für den Photonenfluß aufstellen. Diese
Gleichung sieht folgendermaßen aus:
dN p
= −σ N p ( N1 − N 2 ) (2.8)
dz
Mit den Gleichungen (6) und (8) kann man die Beschreibung des Energieaustauschs zwischen
dem Licht und den Atomen des Mediums folgendermaßen zusammenfassen:
d∆
= −2σ N p N ∆
dt
dN p
dz
(I )
(2.9)
= −σ N p N ∆ ( II )
2.5 Absorption und Lichtverstärkung
Wir wollen diese Gleichungen noch etwas weiter diskutieren und annehmen, daß „wenig Energie-Umsatz“ stattfindet, d.h. die Besetzung der Energieniveaus ändert sich nur sehr geringfügig, so daß ∆ praktisch konstant ist. Dann kann man Gleichung (II) integrieren und erhält:
N p ( z ) = N p (0) exp(−α z ) (2.10)
mit α = σ N ∆ . Man sieht, daß für ∆ > 0 das Licht abgeschwächt wird und exponentiell mit z
abklingt. Man hat in diesem Falle also Absorption, und die Größe α heißt Absorptionskonstante.
Dagegen nimmt für ∆ < 0 der Photonenfluß exponentiell zu, d.h. wir haben Lichtverstärkung,
genauer, Lichtverstärkung durch stimulierte Emission (LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Die Größe g = -σ N ∆ bezeichnet man in diesem Fall als Verstärkungskoeffizient. Die Abb. 1.5 und 1.6 veranschaulichen die Lichtverstärkung.
2.6 Spontane Emission
Die Gleichung (2) für die Besetzungszahl N2 des oberen Energieniveaus zeigt, daß keine Änderung stattfindet, wenn Np= 0 ist, d.h. wenn kein Licht eingestrahlt wird. Die Lebensdauer des
angeregten Zustands wäre dann unendlich.
Die Beobachtung zeigt aber ein anders Verhalten. Der angeregte Zustand geht „spontan“, d.h.
ohne Einwirkung von Strahlung, in den Grundzustand über. Die Besetzungszahl N2 zerfällt gemäß einem Exponentialgesetz:
N 2 (t ) = N 2 (0) exp(−γ t ) (2.11)
Man spricht in diesem Fall von spontaner Emission, im Gegensatz zur stimulierten Emission,
bei welcher der Übergang in den Grundzustand durch das eingestrahlte Licht verursacht wird.
Die Größe τ = 1/γ ist die Lebensdauer des angeregten Zustands.
Warum kommt die spontane Emission in den Ratengleichungen (1) und (2) nicht vor? Das
liegt daran, daß diese Gleichungen auf der sogenannten „halbklassischen“ Näherung für die
Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Licht und Material beruhen. In dieser Näherung
wird das Material (die Atome) durch die Quantenmechanik beschrieben, das elektromagnetischen Feld (das Licht) hingegen als klassisches Maxwell-Feld (Maxwell-Gleichungen).
Erst wenn man auch das Feld quantisiert, tritt auch die spontane Emission auf.
Ohne vollständige Quantisierung kann man die spontane Emission phänomenologisch berücksichtigen indem man ein entsprechendes Glied in die Ratengleichungen ad hoc aufnimmt.
Dann nimmt die Gleichung (II) die folgende Gestalt an:
d∆
= −2σ N p N ∆ + γ (1 − ∆) dt
(2.12)
2.7 Die Einsteinsche Form der Ratengleichungen
In vielen Lehrbüchern und häufig auch in den Gesprächen mit den Betreuern im Praktikum
wird eine Form der Ratengleichungen diskutiert, die auf Einstein zurückgeht und das Einsteinsche Postulat der stimulierten Emission ins Spiel bringt. Diese Formulierung ist von großer
historischer Bedeutung, aber im den praktischen Gebrauch etwas mühsam. Die Abb. 2.2 zeigt
ein Zwei-Niveau-Schema mit den in den Einstein-Ratengleichungen verwendeten Größen.
2
1
3
E2
A21
B12u(ω)
B21u(ω)
E1
Abb. 2.2:
Das Zwei-Niveau-System zeigt die spontane
Emission (1), die Absorption (2), und die stimulierte Emission (3) mit den entsprechenden
Einstein-Koeffizienten.
Die Ratengleichungen haben folgende Gestalt:
dN 2
= − B21 u (ω) N 2 + B12 u (ω) N1 − A21 N 2
dt
dN1
dN 2
=−
dt
dt
(2.13)
Hier treten die Einstein-Koeffizienten B21 und B12 für stimulierte Emission bzw. Absorption und
der Koeffizient der spontanen Emission A21 auf. Die Funktion u(ω) ist die Energiedichte der
Strahlung bei der Frequenz ω.
Man bekommt die berühmten Einstein-Beziehungen zwischen diesen Koeffizienten, wenn
Gleichgewicht betrachtet wird, d.h. wenn dN2/dt = 0 verlangt wird. Löst man die Gleichung
nach u(ω) auf und berücksichtigt, daß N2/N1 im thermischen Gleichgewicht durch den Boltzmann-Faktor (7) gegeben ist, so erhält man
u (ω) =
A21
B12 exp(ω k BT ) − B21
(2.14)
Ohne stimulierte Emission (B12 = 0) hat man
u (ω) =
A21
exp(− ω k BT ) B12
(2.15)
10
Das ist das Wiensche Strahlungsgesetz. Die Energiedichte des Strahlungsfelds im thermischen
Gleichgewicht gehorcht aber dem Plancksche Strahlungsgesetz
u (ω) =
ω D(ω)
exp(− ω k BT ) − 1
(2.16)
Hier ist D(ω) die Zustandsdichte des Strahlungsfeldes:
D(ω) =
ω3
π2 c
3
(2.17)
Der Vergleich von (2.14) mit dem Planck-Gesetz (2.16) zeigt, daß folgende Beziehungen gelten
müssen:
B21 = B12
(a)
A21
ω3
= ω D(ω) = 2 3
B12
πc
(2.18)
(b)
Das sind die berühmten Einstein-Beziehungen. Die erste Gleichung (a) besagt, daß es stimulierte Emission geben muß und daß die Koeffizienten für stimulierte Emission und für Absorption gleich sind. Die zweite Gleichung (b) stellt einen Zusammenhang zwischen der spontanen
und der stimulierten Emission (bzw. Absorption) her, in den die Zustandsdichte des Strahlungsfeldes eingeht.
2.8 Breite der Energieniveaus
Wegen der spontanen Emission hat der angeregte Zustand 2 eine endliche Lebensdauer τ. Deshalb ist die Energie dieses Zustands nicht scharf definiert, sondern das Niveau hat eine gewisse
Breite ∆E =  γ . Entsprechendes gilt auch für den Zustand 1, wenn dieser nicht der Grundzustand ist.
E2
ω12
∆ω
Abb 2.3:
Verbreiterung der Energieniveaus.
Links: Vernachlässigung der Verbreiterung, scharfe Energieniveaus.
Rechts: Verbreiterte Energieniveaus.
E1
Übergänge zwischen den Niveaus 1 und 2 finden statt, wenn die Frequenz des Lichts in einem
Intervall ∆ω um die Resonanzfrequenz ω = ω12 liegt. Die Frequenzabhängigkeit des Wirkungsquerschnitt ist hat die Gestalt einer glockenförmigen Kurve mit einem Maximum bei ω12 und
einer Breite ∆ω (Abb. 2.4 ).
11
σ(ω)
 ∆ω
ω
ω12
Abb. 2.4:
Frequenzabhängigkeit des Wirkungsquerschnitts. Das Integral der Kurve
heißt integrierter Wirkungsquerschnitt.
Außer der spontanen Emission gibt es noch viele andere Prozesse, welche zu Verbreiterungen
der Energieniveaus und zu Verbreiterungen der Kurve σ(ω) von führen. Man spricht in diesem
Zusammenhang üblicherweise von Linienverbreiterung.
Wichtiger als das Maximum von σ(ω) ist die Fläche unter der Kurve. Man bezeichnet diese
Größe als integrierten Wirkungsquerschnitt:
σint = ∫ σ(ω) d ω (2.19)
2.9 Zusammenfassung zum Thema Absorption/Emission
Hier noch einmal der Zusammenhang einiger der hier besprochenen Größen der Strahlungsphysik:
• Spontane Zerfallsrate des angeregten Zustands γ
• Integrierter Wirkungsquerschnitt σ
• Zustandsdichte des Strahlungsfeldes D(ω)
γ = c D(ω) σint (2.20)
Die spontane Zerfallsrate γ und der Einstein-Koeffizient A12 sind das gleiche. Der integrierte
Wirkungsquerschnitt entspricht den Einstein-Koeffizienten B12 bzw. B21.
12
3. Helium-Neon-Laser
Wir werden jetzt Lasertypen besprechen, die in den FP-Versuchen eingesetzt werden. Im LaserGrundversuch wird ein Gaslaser verwendet, nämlich ein Helium-Neon-Laser (HeNe-Laser)
Drei Aspekte werden kurz angesprochen:
•
• Das laser-aktive Material
• Das Energieniveau-Schema
• Die Herstellung der Inversion („Pumpen“)
3.1 Laseraktives Material
Der HeNe-Laser ist ein Gaslaser, der mit einem Gemisch aus He und Ne, typisch im Verhältnis He : Ne = 5 bis 10, arbeitet. Der Gasdruck beträgt einige Torr. Neon ist das „Laseratom“,
währen Helium nur zum Energieübertrag auf die laseraktiven Neon-Atome dient (siehe weiter
unten).
3.2 Energieniveau-Schema
Die Abbildung 3.1 zeigt ein vereinfachtes Schema für Helium und Neon. Ein relativ stabiles
Energieniveau des Heliums wird durch Elektronenstöße angeregt. Die Energie wird bei Stößen
zwischen He und Ne Atomen auf das als 3s Niveau bezeichnete Niveau des Neons übertragen.
Laserübergänge erfolgen hauptsächlich zwischen den 3s und 2p Niveaus.
Helium
21
Neon
3s
1
2 S
Energy eV
20
3
2
S
0
Collision
He->Ne
Laser transition
632 nm
1
19
19
2p
Electron
Impact
18
17
0
spontaneous
Emission
1s
1
1
S
recombination
impact
0
Abb. 3.1: Energieniveau-Schema des He-N-Lasers (vereinfacht).
13
3s
2
5
632.8 nm
Red
2s
Green
2
5
1523.1 nm
1152.6 nm
1
2p
8
Abb. 3.2:
Diese Detail-Abbildung zeigt die verschiedenen Gruppen von Laserübergängen des He-Lasers
10
Die Abbildung 3.2 zeigt mehr Details der hier besonders interessierenden Laser-Niveaus von
Neon mit den entsprechenden Wellenlängen der verschiedenen Laserübergänge. Gewöhnlich
arbeitet der HeNe-Laser bei der Wellenlänge 633 nm. In dem Praktikumsversuch wird der Laser mit Hilfe geeigneter Frequenzfilter (Doppelbrechendes Filter, Littrow-Filter) auf benachbarte Wellenlängen abgestimmt. Außerdem gibt es noch Laserübergänge im nahen Infrarot-Bereich bei 1152 nm und 1523 nm.
3.3 Pumpen des He-N-Lasers/Herstellen der Inversion
Der He-Ne Laser wird durch eine elektrische Entladung (Glimmentladung) des He-Ne-Gasgemischs angeregt. Die Abbildung 3.3 zeigt ein typisches Beispiel für den Aufbau eines He-Ne
Lasers.
Abb. 3.3: Schematischer Aufbau eines He-Ne-Lasers: Laser-Resonator bestehend aus zwei
Spiegeln; Quarzrohr mit der elektrischen Entladung.
14
Wichtige Merkpunkte zum He-Ne Laser:
•
•
•
•
Diskrete, relativ scharfe Energieniveaus
Elektronenstoßanregung der Heliumatome
Resonanter Energie-Transfer von Helium auf Neon
Entleerung des Lasergrundniveaus (1s) durch Stöße mit der Wand des Laserrohrs
4. Neodymium-YAG Laser
4.1 Laseraktives Material
Der Neodymium-YAG Laser ist ein Festkörper. Das laseraktive Material besteht aus einem
Wirtskristall, Yttrium-Aluminium Granat (Y3Al3O12 , kurz YAG), der mit Neodymium-Ionen
Nd3+ als aktive Zentren dotiert ist. Die Nd-Konzentration entspricht typischerweise etwa 1%
Neodym-Oxid, Nd2O3. In Hochleistungslasern werden „Laserstäbe“ von ca. 10 cm Länge und
etwa 1 cm Durchmesser verendet. Der Laserstab in dem Praktikumsgerät ist allerdings deutlich
kleiner.
4.2 Energieniveau-Schema
Die Abbildung 4.1 zeigt ein vereinfachtes Energieniveau-Schema des Nd3+-Ions in der YAGMatrix.
Abb. 4.1: Energieniveau-Schema von Nd-YAG, vereinfacht
Zwei vom Grundzustand ausgehende Gruppen von Übergängen führen zu den relativ breiten
„Pumpbänder“ (schraffiert). Strahlungslose Übergänge übertragen die Anregungsenergie in das
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obere Laserniveau (4F3/2). Eine wichtige Gruppe von Laserübergängen liegt im nahen InfrarotBereich bei etwa 1.06 µm (Wellenlänge). Strahlungslos Übergäng führen schließlich vom unteren Laserniveau (4I11/2) zurück zum Grundzustand 4I9/2.
Die Aufspaltung des oberen und unteren Laserniveaus ist hier nur angedeutet. Außerdem gibt
es noch weitere Laser-Übergänge, die hier nicht gezeigt werden.
4.3 Herstellen der Inversion (Pumpen)
Der Nd:YAG-Laser wird durch optische Anregung der Bänder bei 0.73 µm und 0.8 µm gepumpt. Dazu werden Blitzlampen (Impulsbetrieb) oder Bogenlampen (Dauerbetrieb) verwendet. In zunehmendem Umfang werden diese Pumpquellen heute durch Halbleiter-Laser ersetzt,
deren Wellenlänge an die Pumpbanden sehr gut angepaßt werden kann. So verwendet unser
Praktikumsgerät einen GaAs-Halbleiter-Laser (λ = 0.8 µm).
Die in Abbildung 4.2 abgebildete Anordnung ist ein Beispiel, wie ein Halbleiter-Laser zum
Pumpen praktisch eingesetzt werden kann.
Abb. 4.2: Schema für Pumpen eines Nd-YAG Lasers durch einen Halbleiter-Laser
Im Gegensatz zu Blitzlampen hat der GaAs-Halbleiter-Laser ein schmales Emissionspektrum
bei etwa 0.8 µm. Diese Emission überlappt ausgezeichnet mit zum Pumpen geeigneten Absorptionbanden von Nd:YAG. Die Abbildung 4.3 zeigt einen Ausschnitt aus diesem Absorptionsspektrum von Nd:YAG.
Abb. 4.3:
Absorptiosspektrum
von Nd: YAG.
Man beachte insbesondere die Absorptionslinien in der Nähe
von
l = 0.8 µm
16
Weitere Bemerkungen zum Nd-YAG-Laser
Es gibt eine Reihe verschiedener Betriebsarten:
• Dauerbetrieb: Leistung bis zu einigen kW.
• Güte-geschalteter Betrieb (Q-switch): Spitzenleistung ca. 100 MW, Impulsdauer ca. 10 ns.
• Modensynchronisierter Betrieb (Mode-locking): Spitzenleistung einige GW, Impulsdauer ca. 20 ps
• Gepulster „Normalbetrieb“: ca. 10 kW für ca. 1 ms.
5. Niveau-Schemata und Niveau-Verbreiterung
5.1 2-Niveau-, 3-Niveau-, 4-Niveau-Laser-Modelle
Das eingangs behandelte Zwei-Niveau-Model hat wenig praktische Bedeutung. Es ist in erster
Linie bei der Diskussion der Emissions- und Absorptionsprozessen von Nutzen.
Die Erweiterung zum Drei-Niveau-Model bezieht zusätzlich zu Emission und Absorption den
Pump-Prozeß mit ein. Kennzeichnend für das Drei-Niveau-Model ist, daß das untere Laserniveau der Grundzustand (niedrigstes Energie-Niveau) des Systems ist. Prototyp eines Lasers,
der mit einem Drei-Niveau-Schema arbeitet ist der Rubin-Laser.
Beim Vier-Niveau-Schema liegt das untere Laser-Niveau oberhalb des Grundzustands des
Systems. Musterbeispiel für ein Vier-Niveau-Schema liegt beim Nd-YAG-Laser vor (siehe
Abb. 4.1). Die Abbildung 5.1 veranschaulicht die drei verschiedenen Modelle.
4
Radiationless Transfer
3
3
Radiationless Transfer
2
spont.
induced
Emission
2
Absorption
spont.
induced
1
Zwei-Niverau- Modell
Absorption
spont.
induced
Emission
1
Drei-Niverau-Modell
1
Relaxation
Emission
2
Vier-Niverau-Modell
Abb. 5.1: Verschiedenen Laser-Modellsysteme.
5.2 Linienverbreiterung und Verstärkungsprofil
Die Laser-Energie-Niveaus sind nicht beliebig scharf definiert, im Gegensatz zur ursprünglichen, vereinfachenden Annahme. Daher ist auch die Übergangsfrequenz ω12 nicht streng definiert, sondern der Übergang besitzt eine gewisse Frequenzbreite Dw. Daher hat zum Beispiel
der Wirkungsquerschnitt für die stimulierte Emission nicht die Gestalt einer Delta-Funktion,
sondern den in der Abbildung 2.4 gezeigten qualitativen Verlauf.
17
5.3 Typen von Linienverbreiterungen
Wir diskutieren im Folgenden ganz kurz die beiden wichtigsten Typen von Frequenzverbreiterungen.
5.3.1 Homogene Verbreiterung
Begriffserklärung: Man spricht von homogener Verbreiterung, wenn der Verbreiterungsmechanismus sich alle Atome in gleicher Weise auswirkt.
Musterbeispiele:
• Endliche Lebensdauer des angeregten Zustands aufgrund der spontanen Emission (Einstein-Koeffizient A11 bzw. γ). Man spricht in diesem Falle von „natürlicher Linienbreite“.
• Stoßverbreiterung: Stöße aller Art begrenzen die Zeit, während der der Zustand der Atome
ungestört bleiben..
Die genannten Verbreiterungsmechanismen führen zu einem sogenannten Lorentz-Profile:
GL (ω) =
1
∆ω 2
π (ω − ω21 )2 + (∆ω 2 )`2
(5.1)
∆ω : Halbwertsbreite der Linie (engl.: full width at half maximum: FWHM).
Natürliche Linienbreite:
Unter bestimmten, eher seltenen Umständen sind außer der natürlichen Verbreiterung keine
anderen Verbreiterungsmechanismen wirksam. Dann liefert die Linienbreite direkt die Lebensdauer des angeregten Zustands τspont:
∆ω = γ = 1
τspont (5.2)
Stoßverbreiterung:
Wenn Stoßverbreiterung vorliegt, liefert die Linienbreite die Stoßfrequenz b.z.w. die Stoßzeit
(mittlere Zeit zwischen Stößen):
∆ω = ν stoß = 1
τstoß (5.3)
5.3.2 Inhomogenen Verbreiterung
Es kann vorkommen, daß sich die Resonanzfrequenzen w12 der verschiedenen Atome etwas
unterscheiden, d. h. man hat es mit eine Verteilung von Resonanzfrequenzen w12(i) zu tun. Das
Linienprofil stellt eine Überlagerung der Profile der einzelnen Atome dar (siehe Abb. 5.2).
Musterbeispiele:
• Doppler-Verbreiterung in Gasen
• Kristallfeld-Verbreiterung in Festkörpern
18
σ(ω)
ω12(i)
ω
ω12(j) , etc.
Abb. 5.2: Erläuterung des Begriffs „inhomogen Verbreiterung“. Das System weist eine Verteilung von Resonanzfrequenzen auf. Die inhomogene Linienbreite ist die Breite
der Frequenzverteilung.
Dopplerverbreiterung
In Gasen besitzen die Atome eine bestimmte Geschwindigkeitsverteilung aufgrund der thermischen Bewegung. Die Resonanzfrequenzen ω21 der Atome erfahren eine Doppler-Verschiebung.
Abb. 5.3:
Dopplereffekt: Die Resonanzfrequenz w12 des
ruhenden Atoms wird um Dw12 verschoben, wenn
dieses sich mit der Geschwindigkeit v bewegt.
θ
Atom v
Photon (k,ω)
Doppler-Verschiebung der Resonanzfrequenz beträgt bekanntlich:
v
∆ω12 = − ω12 cos θ c
(5.4)
θ ist der Winkel zwischen der Geschwindigkeit und der Richtung des k-Vektors des Lichts.
Bei Vorliegen einer Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung ist das Ergebnis der Überlagerung
aller Doppler-verschobener Resonanzfrequenzen ein Gauß-Linienprofil:
GG (ω) = ( π ln 2 )
Δω = ( 8ln 2 )
1
2
1
2
( 2 πΔω ) exp ª¬− ( ω − ω )
(k T
B
0
Mc 2 ) ω0
1
2
1
2
2
Δω) º
¼
(5.5)
Μ ist die atomare Masse. ∆ω ist die Halbwertsbreite der Linie. Sie nimmt mit der
Temperatur T zu.
Beispiel für Dopplerverbreiterung:
Neon,: T = 1000 K, ω0/2π = 0.47 PetaHz (λ = 632 nm):  ∆ν = 2.4 GHz.
19
Die Abbildung 5.4 zeigt die Kurven eines Lorentzprofile gemäß (5.1) und eines Gaussprofils
gemäß (5.5).
Abb. 5.4:
Vergleich zwischen Lorentzprofil und Gaussprofil mit gleicher Halbwertsbreite Dw.
6. Laser-Resonatoren
In den vorigen Abschnitten wurde erklärt, wie Lichtverstärkung zustande kommt. Damit es zur
Lichterzeugung kommt, ist ein weiterer Schritt notwendig, nämlich eine Form von Rückkopplung. Durch Rückkopplung eines Verstärkers kann es zur Selbsterregung kommen, so daß der
Verstärker zum Oszillator wird:
(Licht-) Verstärker + Rückkopplung - (Licht-) Oszillator
Die Selbsterregung von Oszillationen tritt ein, wenn die Verstärkung im Resonator dessen Verluste übertrifft.
6.1 Fabry-Pérot-Resonator
In der Laserphysik wird die Rückkopplung mit Hilfe von optischen Resonatoren zustande gebracht. Der einfachste optische Resonator ist ein Paar paralleler Spiegel (siehe Abbildung 6.1).
hochreflektierender
Spiegel
teildurchlässiger Spiegel
Abb. 6.1: Fabry-Pérot-Resonator
Dieser Resonatortyp heißt Fabry-Pérot-Resonator. Resonator-Verluste treten in erster Linie
durch die Auskopplung von Strahlung an dem teildurchlässigen Resonator-Spiegel auf, aber
auch durch Reflexions- und Streuverluste an den optischen Elementen im Resonator, z. B. an
den Fenstern der Entladungsröhre bei einem He-Ne-Laser. Man spricht von der Laserschwelle,
wenn die Verstärkung gerade die Verluste ausgleicht. Lasertätigkeit tritt ein, wenn die Laserschwelle überschritten wird.
20
Der F-P-Resonator besitzt charakteristische Resonanzfrequenzen. Vereinfacht kann man sich
vorstellen, daß die Resonanzbedingung durch die folgende Forderung gegeben ist. Zwischen
den Spiegel muß durch das Licht eine stehende Wellen aufgebaut werden, d.h. ganzzahlige
Vielfache der Resonanzwellenlängen müssen gerade die Resonatorlänge L ergeben. Für die
möglichen Resonanz-Wellenlängen lm b.z.w -Frequenzen nm ergibt sich daraus:
2L
(6.1)
m
c
(6.2)
νm =
m
2L
Hier sind m ganze Zahlen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von longitudinalen
Moden des Resonators. Die londitudinalen Moden des F.P.-Resonators haben einen konstanten
Frequenz-Abstand ∆ν = c/2L.
λm =
Beispiel:
Resonatorlänge: L = 50 cm (ähnlich wie bei den Praktikums-Geräten)∆ν = c/2L = 300 MHz
6.2 Verstärker-Bandbreite und longitudinale Moden
In vielen praktischen Fällen ist die Bandbreite des Laser-Verstärkers sehr viel größer als der
Abstand der longitudinalen Moden.
Beispiel:
Helium-Neon-Laser: (Doppler-verbreiterte Laserübergänge): ∆νB ≈ einige GHz >> ∆ν
Abbildung: Verstärkerbandbreite und longitudinale Moden
Achtung:
Es treten jetzt häufiger verschiedene Frequenzbreiten auf. Um im Folgenden Verwechselungen
zu vermeiden, sollen jetzt folgende Definitionen gelten:
∆νB Frequenzbandbreite der Verstärkung
∆ν Abstand der longitudinalen Moden (bzw. freier Spektralbereich eines F-P-Etalons)
dν Frequenzbandbreite einer Mode (bzw. Auflösungsvermögen eines F-P-Etalons)
Merkpunkte
• Häufig überdeckt das Verstärkerprofil sehr viele Moden
• Tatsächlich angeregt werden nur die Moden, welche die größte Verstärkung erfahren
• Wegen ∆νB >> ∆ν werden in der Regel viele Moden angeregt. Man spricht dann von MultiMode-Betrieb.
Die Abbildung 6.2 illustriert die Situation beim Multi-Mode-Betrieb. Die Verstärker-Bandbreite des Lasers ∆νB ist hier deutlich größer als der Frequenzabstand ∆ν der longitudinalenModen.
Für mehrere Moden (im gezeigten Fall für drei) ist die Verstärkung größer als die ResonatorVerluste, so daß diese Moden anschwingen können.
21
Resonator modes
Gain g(ν)
Threshold
∆ν
Abb. 6.2: Multi-Moden-Betrieb
Frequency ν
Herstellung des Ein-Moden-Betriebs mit Hilfe von Frequenzfiltern
Wenn man in den Resonator zusätzliche Frequenzfilter einbringt, können unerwünschte Moden
soweit unterdrückt werden, daß nur eine einzige Mode angeregt wird. Man spricht dann von
Ein-Moden-Betrieb (single mode b.z.w. single frequency operation). Abbildung 6.3 zeigt, wie
durch das Einbringen eines Frequenzfilters (z.B. eines so genannten Etalons) unerwünschte
Moden unterdrückt werden und Ein-Moden-Betrieb erzwungen wird.
Resonator modes
Etalon transmission
1
∆ν
Transmission
Gain g(ν)
Threshold
0
Frequency ν
Typen von Frequenzfiltern
•
•
•
•
•
Abb. 6.3: Ein-Moden-Betrieb
Fabry-Pérot-Etalon (besteht aus zwei parallelen Spiegeln wie der F.P. Resonator)
Liot-Filter (Doppelbrechende Platten)
Prismen (z.B. Littrow-Prisma)
Multi-Schicht Filter (Interferenz-Filter)
Beugungsgitter (optische Gitter)
22
6.3 Allgemeine Resonator-Typen
Man kann zum Aufbau von optischen Resonatoren auch sphärische Spiegel verwenden. Dann
gibt es bestimmte Kombinationen von Spiegelkrümmungsradien r1 und r2 und Resonator-Länge
L, die einen stabilen Resonator bilden. In einem stabilen Resonator existieren geschlossenen
Strahlenwege, die den Resonator nicht verlassen. In einem instabilen Resonator entkommen
die Strahlen nach einer gewissen Zahl von Umläufen. Die Abbildung 6.4 zeigt Beispiele von
stabilen Resonatoren.
Plan - Plan
r1= oo
L
r2= oo
Konzentrisch
r1
r2
r 1+ r 2 = L
Konfokal
r1
r2
r 1= r 2 = L
Abb. 6.4: Beispiele für Kombinationen von Krümmungsradien und Resonatorlängen, die
stabile Konfigurationen ergeben
Es gibt eine einfache Regel, welche Kombinationen von r1, r2, und L stabile Resonatoren ergeben. Dazu werden die sogenannten g-Parameter eingeführt:
g1,2 = 1 −
L
r1,2
(6.3)
Man hat: a) Stabilität für 0 ≤ g1g2 ≤ 1 , und b) Instabilität für g1g2 < 0 oder g1g2 > 1.
Abb. 6.5:
Die Grafik zeigt die stabilen Bereiche (schraffiert) und die instabilen Bereiche von Resonatorparametern g1 und g2 gemäß Gleichung (6.3)
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7. Transversale Moden
7.1 Strahlprofile und Phasenfronten
In der Optik argumentieren wir häufig mit „ebenen harmonischen Wellen“, d.h. mit Feldverteilungen vom Typ
E (r, t ) = E0 exp (−i (ωt − k ⋅ r ) ) (7.1)
Ein „Laserstrahl“ kann zwar eine sehr gute Approximation einer ebenen Welle darstellen, jedoch hat der Strahl im Gegensatz zu einer ebenen Welle vom Typ (7.1) eine endliche Ausdehnung quer zur Ausbreitungsrichtung, einen bestimmten Strahldurchmesser und ein wohldefiniertes räumliches Intensitätsprofil.
Rolle der Lichtbeugung
Bei der Ausbreitung eines Laserstrahls spielt die Lichtbeugung eine wichtige Rolle. Die Beugung bewirkt Folgendes (Abb. 7.1).
• Aufweitung des Strahls bei der Ausbreitung
• Krümmung der Wellenfronten (ebene Wellenfronten bleiben nicht eben)
• Abnahme der Intensität mit Abstand von der Strahlachse.
Ebene Welle
k
x
z
Ebene Phasenfronten
Laserstrahl
Sphärische Phasenfronten
Abb. 7.1: Vergleich von ebener Welle und Laserstrahl: Die ebene Welle hat ebene Phasenfronten und ist räumlich unbegrenzt. Der Laserstrahl weitet sich bei der Ausbreitung auf, die Wellenfronten krümmen sich, und die Intensität klingt quer zur
Ausbreitungsrichtung ab.
Berechnung der Strahleigenschaften
Die Feldverteilung in einem optischen Resonator kann z. B. mit Hilfe der Fresnel-HuygensBeugungstheorie berechent werden. Wir diskutieren hier ein wichtiges Ergebnis dieser Theorie,
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nämlich die Feldverteilung des Grundmodus eines konfokalen Resonators.
Die räumliche Verteilung, z.B. des elektrischen Feldes, eines bestimmten Modus wird beschrieben durch eine Funktion
unm ( x, y, z ) (7.2)
Hier ist z die Koordinate in Ausbreitungsrichtung (Achse), x und y sind Koordinaten senkrecht
dazu. Die ganzen Zahlen m und n sind die Modenindizes. Den Grundmodus bekommt man für
m = n = 0. Man spricht dann auch von TEM00-Modus, wobei TEM für „transverse electro-magnetic” steht.
7.2 Der Grundmodus
Die Verteilung für den Grundmodus hat folgende Form:
u00 ( x, y, z ) = E0 ei k z e
(
− x2 + y 2
)
w2 ( z )
e
(
i π x2 + y 2
)
λR ( z )
e
i ψ( z )
↓
↓
↓
↓
1
2
3
4
(7.3)
Man kann in (7.3) vier typische Faktoren unterscheiden:
Faktor 1: z-Abhängigkeit hat die Form einer ebenen Welle in z-Richtung
Faktor 2: Abhängigkeit vom Achsenabstand ist eine Gauß-Funktion („Gauß-Profil“)
Faktor 3: Flächen konstanter Phase sind Kugelflächen (Sphärischer Phasenfaktor)
Faktor 4: z-abhängiger Zusatz-Phasenfaktor
In (7.3) kommen die Funktionen w(z), R(z), und vor, die folgende Bedeutung haben: w(z) ist
der Strahlradius, R(z) der Radius der Phasenfront und ψ(z) die Zusatzphase am Ort z. Diese
Funktionen haben folgend Form:
(
w2 ( z ) = w02 1 + ( 2 z L )
(
R( z ) = z 1 + ( L 2 z )
2
)
2
)
(a)
(b)
ψ( z ) = arctg ( L 2 z )
(c )
w02 = L λ 2 π
(d )
(7.4)
Die Abbildung 7.2 illustriert die dem Grundmodus (TEM00) entsprechende Verteilung im konfokalen Resonator der Länge L.
Überall, d.h. für alle z, besitzt der „Strahl“ ein Gauss-Profil; lediglich der Durchmesser 2w(z)
ändert sich. Die Strahltaille mit dem Durchmesser 2w0 liegt im Zentrum des Resonators. An
den Spiegeln hat sich der Strahl gerade um den Faktor 2 aufgeweitet, d.h. die Querschnittsfläche hat sich verdoppelt.
Im Zentrum des Resonators hat man ebene Wellenfronten, R(0) = ∞ . An den Resonatorspiegel
bei z = ± L/2 sind die Krümmungsradien der Spiegel und die der Wellenfronten gleich, d. h.
R( ± L/2) = L.
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Beam diameter 2w(z)
Radius of curvature of the phase front
Beam waist 2w0
-L/2
0
Abb. 7.2:
Grundmodus des konfokalen
Resonators
L/2
Distance z
Außerhalb des Resonators weitet sich der Strahl gemäß (7.4 a) immer weiter auf. Weit weg
vom Resonatorzentrum (z >> L) gilt näherungsweise R(z) » z, d.h. der Laserstrahl sieht aus
wie ein schmaler Ausschnitt aus einer Kugelwelle, deren Mittelpunkt im Resonatorzentrum
liegt.
Resonatorlänge L = 1 m; Laserwellenlänge λ = 1000 nm
Beispiel: • Durchmesser der Strahlentaille (1/e-Durchmesser) : d 1e =
• Durchmesser auf den Spiegeln: w( z = ± L 2) = 2 w0 ;
d 1e = 0.79 mm
Man beachte: Die Laserstrahlen sind häufig relativ schmal, ganz grob ca. 1 mm
• Divergenzwinkel: Θ∞ = lim 2 w ( z ) z = 2 2λ π L ;
z →∞
Lλ π = 0.56 mm
Θ∞ = 1.6 ×10−3 = 1.6 mrad
Der Divergenzwinkel Θ∞ ist also, wie seine Definition zeigt, der asymptotische Öffnungswinkel des Stahlenkegels.
7.3 Höhere (transversale) Moden
Der Grundmodus (m = n = 0) ist besonders wichtig, u.a. deshalb, weil das zugehörige Strahlprofil eine einfache, glockenförmige Gauß-Kurve ist. Das Profil der höheren Moden ist umso
komplexer, je höher die Modenindizes sind.
Wir wollen hier nur das Strahlprofil der höheren Moden des konfokalen Resonators betrachten
und die Phasenfaktoren, welche die Resonanzfrequenzen der höheren Moden bestimmen, außeracht lassen. Die Feldverteilung hat folgende Form:
umn (x, y, z )  H m
( 2x
) ( 2y
w (z ) H n
)
w (z ) e − ( x
2
+ y 2 ) w2 ( z )
(7.5)
Die Funktionen Hn(x) sind die Hermite-Polynome n-ter Ordnung.
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Die Abbildung 7.3 zeigt einige Beispiele für die Querschnittsverteilung transversaler Moden.
Abb. 7.3: Beispiele für Feldverteilungen transversaler Moden niedriger Ordnung. Die gezeigte TEM01* ist kein reiner Modus, sondern eine Überlagerung.
Merkpunkte
1. Die Modenfunktionen unm der höheren Moden sind Produkte von Hermite-Polynomen mit
einer Gauß-Funktion (und Phasenfaktoren).
2. Die Indizes n und m zählen die Zahl der Knotenlinien ab:
TEM00 Grundmodu
TEM01 Eine Knotenlinie, z.B. in x-Richtung
TEM10 EineKnotenlinie in y-Richtung
TEM11 Je eine Knotenlinie in x- und y-Richtung
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8. Fabry-Pérot-Interferometer (Etalon)
Wir behandeln hier kurz das sogenannte Fabry-Perot-Interferometer, das als Wellenlängen-selektives Element in den Laserversuchen eingesetzt wird. Für diese Anwendung kann man
F-P-Interferometer von besonders einfacher Bauart einsetzen, nämlich eine auf beiden Seiten
mit einem hochreflektierenden Belag beschichtete plan-parallele Glasplatte, wie die Abb. 8.1
zeigt. Für andere Anwendungen, z. B. als hochauflösender Spektralapparat, verwendet man
meistens zwei separate plane oder sphärische Spiegel (z.B. das sogenannte „scanning“ F-PInterferometer, mit dem die longitudinale Modenstruktur im He-Ne Laserversuch beobachtet
wird).
E0
R
R
E1
E2
E3
E4
d
Abb. 8.1: Fabry-Pérot-Etalon: Es besteht aus einer beidseitig mit hoch-reflektierenden
Schichten bedampften plan-parallelen Glasplatte. Das reflektierte und das durchgelassenen Licht ist die Überlagerung der durch vielfache Reflexion entstehenden
Teilstrahlen.
Wie die Abb. 8.1 andeutet, kommt es bei einem F-P-Interferometer zu Vielfach-Interferenzen. Das einfallende Licht wird mehrfach zwischen den Spiegeln hin- und her-reflektiert. Das
durchgelassene Licht ist die Summe durchgelassenen Teilstrahlen, z. B.
Et = ∑ En
2
und I d ∝ Et n
(8.1)
Entsprechendes gilt für das reflektierte Licht.
Durchlässigkeit
Die Durchlässigkeit D ist das Verhältnis der durchgelassenen Intensität Id zur einfallenden Intensität Io. Die Ausführung der Rechnung (8.1) ergibt:
D=
Id
1
=
I o 1 + F sin(δ 2) 2
mit
F=
4R
(1 − R )
2
und δ =
4π
λ
(8.2)
n d + 2δ r
Dabei ist R das Reflexionsvermögen der Spiegelschichten und δ die Phasenverschiebung zwischen sukzessiven transmittierten Teilwellen En. Diese Phasenverschiebung setzt sich zusammen aus dem Beitrag des Laufwegs, 4πnd/λ, und einem Beitrag 2δr, der den Phasensprung an
den beiden Spiegeln berücksichtigt.
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Abb. 8.2: Durchlass-Kurve eines Fabry-Pérot-Interferometers gemäß (8.2) für zwei verschiedenen F-Werte.
Es folgen noch einige weitere Begriffsdefinitionen, die im Zusammenhang mit Fabry-Perot-Interferometern vorkommen.
Freier Spektralbereich
Die Durchlaßkurve des Fabry-Perot-Interferometers weist eine periodische Struktur auf. Bei
der Verwendung als Spektrometer wiederholt sich das Spektrum periodisch mit einem Frequenzintervall ∆ν, dem sogenannten freien Spektralbereich:
∆ν =
c
2nd
(8.3)
Spektrales Auflösungsvermögen
Die Breite der Maxima der Durchlaßkurve dn bestimmt das spektrale Auflösungsvermögen:
δν =
2
Δν
π F
(8.4)
Finess
Man definiert als Finess des F-P-Interferometers die Größe
F=
π F
2
(8.5
)
Dann ist das Auflösungsvermögen gegeben durch
dν = ∆ν / F (8.6)
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Beispiele
1. Glas-Etalon: R = 0.04 (Reflexionsvermögen von optischem Glas); d = 1 cm (Dicke); n = 1,5 (Brechungsindex);
Max. Durchlässigkeit: Dmax =100%; Min. der Durchlässigkeit: Dmin= 85%
Freier Spektralbereich: Dn = c/2nd = 10 GHz
2. Hochreflektierende Platten: R = 0.999 (99.9%);
F = 4R/(1-R)2 =4*106
Finess = 3160
d = 5 cm (Dicke); n = 1 (Brechungsindex der Luft zwischen den Platten)
Max. Durchlässigkeit: Dmax =100%; Min. der Durchlässigkeit: Dmin= 1/(1+F) » 2.5*10-7
Freier Spektralbereich: Dn = c/2nd = 3 GHz
spektrales Auflösung: dn = Dn/Finess = 1 MHz
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