Zusammengesetzte Bewegungen

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26.11.2013
Zusammengesetzte Bewegungen
Geschwindigkeits- Zeit und Weg- Zeit Diagramme.
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
s
v
v = konstant
s = v⋅t
t
Beispiel:
gegeben:
v = 10 m/s t = 12 s
m
m
s = v ⋅ t = 10 ⋅ 12 s = 10 ⋅ 12 ⋅ ⋅ s = 120 m
s
s
t
gesucht:
s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
s
v
v = a⋅t
s=
a 2
⋅t
2
t
t
Beispiel:
gegeben: a = 3
v = a⋅t = 3
s=
m
s2
t = 6s
gesucht: Geschwindigkeit v, Weg s
m
m
m
⋅ 6 s = 3 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ s = 18
2
s
s
s
1
1 m
1
m
⋅ a ⋅ t 2 = ⋅ 3 2 ⋅ 36 s2 = ⋅ 3 ⋅ 36 ⋅ 2 ⋅ s2 = 54 m
2
2 s
2
s
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02.09.2007 22:20
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Ein Körper mit vorgegebener Anfangsgeschwindigkeit wird beschleunigt.
Aufgabe:
Ein Auto fährt 10 s lang mit der konstanten Geschwindigkeit v0 = 20 m/s.
Dann wird es t = 5 s lang mit a = 1 m/s2 beschleunigt.
Wie groß ist die Endgeschwindigkeit ve?
Welchen Weg s legt das Auto bei diesem Vorgang zurück?
Zeichne das v/t und das s/t- Diagramm für diesen Vorgang.
gegeben :
t 0 = 10 s
t1 = 5s
m
v 0 = 20
s
m
a =1 2
s
Zeit für konstante Geschwindigkeit v 0
Beschleunigungszeit
Anfangsgeschwindigkeit
Beschleunigung
Für die Endgeschwindigkeit nach dem Beschleunigungsvorgang gilt:
m
m
m
m
m
v e = v 0 + a ⋅ t1 = 20 + 1 2 ⋅ 5 s = 20 + 5 = 25
s
s
s
s
s
Der bei diesem Vorgang zurückgelegte Weg beträgt:
1
s = v 0 ⋅ t 0 + v 0 ⋅ t1 + ⋅ a ⋅ t12
2
m
m
1 m
= 20 ⋅ 10 s + 20 ⋅ 5 s + ⋅ 1 2 ⋅ 25 s2 = 200 m + 100 m + 12,5 m = 312,5 m
s
s
2 s
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Weg-Zeit-Diagramm.
v
m
v e = 25
s
m
5
s
v 0 = 20
t 0 = 10 s
t1 = 5 s
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s
12,5 m
100 m
m
s
t
200 m
t 0 = 10 s
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t1 = 5 s
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t
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Verallgemeinerung:
Wird ein Körper, der sich während der Zeit t0 mit der Geschwindigkeit v0 bewegt,
während der Zeit t1 beschleunigt, so gilt:
s
v
a 2
⋅t1
2
ve
a⋅t1
v 0 ⋅t1
v0 ⋅t0
v0
t1
t0
t0
t
v e = v 0 + a ⋅ t1
t1
s = v 0 ⋅ t 0 + v 0 ⋅ t1 +
t
1
⋅ a ⋅ t12
2
Ein Körper mit vorgegebener Anfangsgeschwindigkeit wird verzögert.
Zur Erinnerung: Bei einer beschleunigten Bewegung nimmt die Geschwindigkeit zu.
Bei einer verzögerten Bewegung nimmt die Geschwindigkeit ab.
Bei der gleichmäßig verzögerten Bewegung wirkt eine konstante Beschleunigung der
Bewegung entgegen, der Körper wird langsamer.
Wir können auch sagen, er wird abgebremst.
Aufgabe:
Ein Auto fährt 10 s lang mit der konstanten Geschwindigkeit v0 = 20 m/s.
Dann wird es t = 5 s lang mit a = 1 m/s2 verzögert.
Wie groß ist die Endgeschwindigkeit ve?
Welchen Weg s legt das Auto bei diesem Vorgang zurück ?
Zeichne das v/t und das s/t - Diagramm für diesen Vorgang.
gegeben :
t 0 = 10 s
t1 = 5s
m
v 0 = 20
s
m
a =1 2
s
Zeit für konstante Geschwindigkeit v 0
Verzögerungszeit
Anfangsgeschwindigkeit
Verzögerung
Für die Endgeschwindigkeit nach dem Verzögerungsvorgang gilt:
v e = v 0 − a ⋅ t1 = 20
m
m
m
m
m
− 1 2 ⋅ 5 s = 20 − 5 = 15
s
s
s
s
s
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Der bei diesem Vorgang zurückgelegte Weg beträgt:
1
s = v 0 ⋅ t 0 + v 0 ⋅ t1 − ⋅ a ⋅ t12
2
m
m
1 m
= 20 ⋅ 10 s + 20 ⋅ 5 s − ⋅ 1 2 ⋅ 25 s2 = 200 m + 100 m − 12,5 m = 287,5 m
s
s
2 s
Geschwindigkeits- Zeit- Diagramm
v
Weg-Zeit-Diagramm.
v 0 = 20
5
m
s
m
s
200 m
t
t1 = 5s
12,5 m
100 m
v e = 15
t 0 = 10 s
s
m
s
t 0 = 10 s
t1 = 5s
t
Verallgemeinerung:
Wird ein Körper, der sich während der Zeit t0 mit der Geschwindigkeit
v0 bewegt, während der Zeit t1 abgebremst (verzögert), so gilt:
s
v
a 2
⋅t1
2
a⋅t 1
v 0 ⋅t1
v0
v 0 ⋅t0
ve
t0
t1
t
ve = v0 − a ⋅ t2
t0
t1
s = v 0 ⋅ t 0 + v 0 ⋅ t1 −
t
1
⋅ a ⋅ t12
2
Der Bremsweg.
Wird ein Körper mit vorgegebener Anfangsgeschwindigkeit verzögert, dann gilt:
1
ve = v0 − a ⋅ t2
s = v 0 ⋅ t 0 + v 0 ⋅ t1 − ⋅ a ⋅ t12
2
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Soll ein Körper bis zum Stillstand abgebremst werden, so ist die Endgeschwindigkeit
v e = 0 Es gilt also 0 = v 0 − a ⋅ t1 oder v 0 = a ⋅ t1
Dabei ist t1 die Bremszeit.
v0
a
Das Weg- Zeit- Gesetz für die gleichmäßig beschleunigte (oder verzögerte Bewegung)
a
lautet:
s = ⋅ t2
2
Setzt man in diese Formel für die Zeit t den Ausdruck für t1, dann gilt für das
Weg-Zeit-Gesetz:
t1 =
Für t1 gilt:
a 2 a
a v 0 v 0 v 02
s = ⋅t = ⋅t⋅t = ⋅ ⋅
=
2
2
2 a a 2a
Der Bremsweg hängt also nur von dem Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit
(v0 )2 und der Verzögerung a ab.
Wie groß aber ist die Verzögerung?
Wovon hängt sie ab, wenn ein Auto bremst?
Reibung und Verzögerung.
Versuch: Reibung eines Klotzes, (Haftreibung und Gleitreibung)
Fr ( Reibungskraft)
m
G = m ⋅ g ( Gewichtskraft)
Für die Reibungskraft gilt: Fr = μ ⋅ m ⋅ g
μ = Re ibungszahl ( für trockenen Asphalt gilt die Haftreibungszahl: μ = 0,7 )
m⎞
⎛
g = Erdbeschleunigung ⎜ 9,81 2 ⎟
s ⎠
⎝
Das Newtonsche Kraftgesetz lautet:
Es gilt auch für die Reibungskraft Fr
aus Fr = m ⋅ a und Fr = μ ⋅ m ⋅ g folgt:
F = m⋅a
m ⋅a = μ ⋅m ⋅g ⇒ a = μ ⋅g
Die Verzögerung ist nur von der Reibungszahl und der Erdbeschleunigung abhängig.
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Anhalteweg, Reaktionsweg und Bremsweg.
Viel wichtiger als die Bremszeit ist der Anhalteweg.
Sieht ein Autofahrer plötzlich eine Gefahr, so dass er eine Vollbremsung machen
muss, so geschieht das in folgenden Phasen:
Schrecksekunde (je nach Zustand des Fahrers ) ts = 1s .
Ansprechzeit der Bremse (von der Auslösung bis zur Wirkung) ta = 0,3 s
Bremszeit bis zum Stillstand des Autos ( tb = v0 / a)
Für die Anhaltezeit gilt: Schrecksekunde + Ansprechzeit + Bremszeit.
Für den Anhalteweg gilt: Reaktionsweg + Bremsweg.
Beispiel: Ein Auto fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v = 90 km /h.
Wie groß ist die Anhaltezeit und der Anhalteweg auf trockener Straße?
Anhaltezeit = Schrecksekunde + Ansprechzeit + Bremszeit
v0
ta
1s
0,3 s
=
+
+
μ⋅g
m
25
v0
s
t a = 1 s + 0,3 s +
= 1 s + 0,3 s +
= 1,3 s + 3,63 s = 4, 49 s
m
μ⋅g
0,7 ⋅ 9,81 2
s
Anhalteweg = Re aktionsweg + Bremsweg
sa
=
v 0 ⋅ (t s + t a )
= 25
+
v 02
2⋅μ⋅g
625
m2
s2
m
⋅ 1,3 s +
= 32,5 m + 45,5 m = 78 m
m
s
2 ⋅ 0,7 ⋅ 9,81 2
s
In der Fahrschule verwendet man eine Faustformel für den Anhalteweg.
Es gilt: Anhalteweg = (Tachoanzeige / 10 )2 + 3 mal Tachoanzeige / 10
(in Meter)
Für obiges Beispiel wäre das:
Anhalteweg = ( 90 /10 )2 +3 ⋅ (90/10)= 9 ⋅ 9 + 3 ⋅ 9 = 81 + 27 = 108 m.
Wir sehen, die Faustformel gilt recht gut. Sie gilt aber nur bei trockener Straße, guten
Reifen und Bremsen und bei einem normalen Verhalten des Fahrers.
Deshalb immer mindestens Tachoabstand zum vorderen Fahrzeug halten.
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