Goldener Schnitt - Mathematik ist schön

ERLÄUTERUNGEN ZU DEN KALENDERN „MATHEMATIK IST SCHÖN“
Der goldene
Schnitt
Mathematik ist schön4
Mit dem goldenen Schnitt bezeichnet man das Verhältnis zweier Zahlen (in der Geometrie: zweier
Strecken). Im Englischen sind die Bezeichnungen golden ratio und golden section üblich, aber auch divine
section und divine proportion. Im Französischen spricht man von der nombre d’or, aber auch von der
section dorée.
Bereits EUKLID untersuchte das Zahlenverhältnis des goldenen
Schnitts in den Elementen im Zusammenhang mit dem regelmäßigen
Fünfeck und den PLATONischen Körpern. Die zugehörige Konstruktion
spielt auch bei der Teilung einer Strecke im inneren und äußeren
Verhältnis eine besondere Rolle.
In LUCA PACIOLIs zweiten Buch De divina proportione (Über das
göttliche Verhältnis) aus dem Jahr 1509, das von LEONARDO DA VINCI
illustriert wurde, steht das Zahlenverhältnis im Mittelpunkt. Die
Bezeichnung „Goldener Schnitt“ ist erst seit dem 19. Jahrhundert
üblich.
Zu weiteren historischen Hinweisen sei auf die Wikipedia-Artikel Goldener Schnitt (Golden ratio, Nombre
d’or*), sowie auf die wunderbaren Bücher von HANS WALSER, ALBRECHT BEUTELSPACHER und BERNHARD
PETRI, ALFRED POSAMENTIER und INGMAR LEHMANN, FERNANDO CORBALÁN verwiesen und die unzähligen
Websites zu diesem Thema (s. u.).
*) ausgezeichnet als lesenswerter Artikel
Eine Strecke AB wird durch einen Punkt C im Verhältnis des goldenen
Schnitts geteilt, wenn sich die Länge |AC| der größeren Teilstrecke
(Maior) zur Länge |CB| der kleineren Teilstrecke (Minor) verhält wie
die Länge |AB| der gesamten Strecke zur Länge |AC| der größeren
Teilstrecke.
Mit a = |AC|, b = |CB|, also a + b = |AB| ergibt dies die Verhältnisgleichung
a a+b
.
=
b
a
Dieser Quotient wird üblicherweise mit Φ bezeichnet. Es gilt also die Beziehung:
2
Φ=
a a+b
b
1
1
5

=
= 1+ = 1+ ⇔ Φ² = Φ + 1 ⇔ Φ² − Φ = 1 ⇔  Φ −  =
2
4
b
a
a
Φ


Wegen Φ > 0 folgt: Φ =
5 +1
≈ 1,618
2
Unmittelbar lassen sich einige Eigenschaften dieser goldenen Zahl ablesen:
1
= Φ −1 =
Φ
5 −1
≈ 0,618 ; Φ ² = Φ + 1 ≈ 2,618 sowie
2
Φ ³ = Φ ⋅ Φ ² = Φ ⋅ (Φ + 1) = Φ ² + Φ = (Φ + 1 ) + Φ = 2Φ + 1 ;
Φ 4 = Φ ⋅ Φ ³ = Φ ⋅ (2Φ + 1) = 2Φ ² + Φ = 2 ⋅ (Φ + 1) + Φ = 3Φ + 2 und weiter Φ 5 = 5Φ + 3 ; Φ 6 = 8Φ + 5 ; …
Allgemein gilt für n ≥ 1: Φ n = Φ n −1 + Φ n − 2 und daher Φ n = fn ⋅ Φ + fn −1 ,
wobei f0 = 0, f1 = 1, f2 = 1, f3 = 2, … die Koeffizienten die Zahlen der FIBONACCI-Folge (fn) n ∈ IN sind.
•
Die Koeffizienten der FIBONACCI-Folge treten auch bei den negativen ganzzahligen Potenzen von Φ
–2
–3
–4
auf, also bei den Termen Φ , Φ , Φ , …, nämlich …
Seite 1 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Für das goldene Rechteck mit Seiten der Länge
1 und Φ (oder jeweils Vielfachen davon) gilt eine
besondere Eigenschaft:
Ob ein Rechteck ein goldenes Rechteck ist, kann
man prüfen, indem man es zweifach zeichnet:
horizontal und daneben auch vertikal gedreht.
Nur dann, wenn die Verlängerung der Diagonale
des horizontal gezeichneten Rechtecks genau
durch den oberen rechten Eckpunkt des vertikal
gezeichneten Rechtecks verläuft, handelt es sich
um ein goldenes Rechteck.
Die Diagonale bildet nämlich mit der unten liegenden Seite ein Paar von Strahlen, das von zwei Parallelen
geschnitten wird. Nach dem 2. Strahlensatz gilt für die Abschnitte auf diesen Strahlen:
Φ : (1 + Φ) = 1 : Φ, was man auch als Φ² = Φ + 1 notieren kann.
•
Die Länge der in der Abbildung in Blau gezeichneten Strecke kann man auf zwei Arten mithilfe des
Satzes von PYTHAGORAS berechnen, nämlich …
Um ein goldenes Rechteck zu konstruieren, kann
man wie folgt vorgehen:
Man zeichnet ein Quadrat und verlängert die untere
Grundseite des Quadrats. Dann halbiert man die
untere Grundseite und erhält den Punkt P.
Um P schlägt man einen Kreis mit Radius PR
(R = oberer rechter Punkt des Quadrats).
Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der verlängerten
Grundseite ist der untere rechte Eckpunkt des
goldenen Rechtecks.
Begründung: Für |PR| gilt nach dem Satz des Pythagoras: PR = PQ + QR = ( 21 ) + 1² =
2
PR =
5
4
=
5
2
2
2
2
. Die Gesamtbreite des (neu entstandenen) Rechtecks ist also gleich Φ =
5
4
, also
5 +1
≈ 1,618 .
2
Das neu entstandene Rechteck rechts ist ebenfalls ein goldenes Rechteck.
Durch diese Konstruktion gewinnt man also zu einer gegebenen Strecke eine (längere) Strecke, deren
Maior die ursprünglich gegebene Strecke ist.
Umgekehrt kann man nur bei einem goldenen
Rechteck ein Quadrat abtrennen, so dass dann ein
Rechteck übrig bleibt, das selbst wieder ein
goldenes Rechteck ist.
Hier gilt nämlich wegen 1/Φ = Φ – 1 für das
Verhältnis der Länge der größeren Seite zur Länge
der kleineren Seite:
1 : (Φ – 1) = 1 : 1/Φ = Φ : 1
Seite 2 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Diesen Prozess kann man unendlich oft durchführen: Nach jedem Schritt trennt man ein (möglichst großes)
Quadrat vom goldenen Rechteck ab und erhält wieder ein goldenes Rechteck usw.
Beginnt man mit einem goldenen Rechteck mit den Seitenlängen 1 und Φ , also einem Rechteck mit
Flächeninhalt Φ, dann haben die nacheinander abgetrennten Quadrate die Flächeninhalte
4
6
1, (Φ – 1)² = 1/Φ², 1/Φ , 1/Φ , ….
Die unendliche Summe dieser geometrischen Folge mit Faktor q = 1/Φ² ist gleich Φ, denn
1
=
1− q
1
1−
1
Φ2
=
1
Φ2
Φ +1
Φ +1
1
=
=
=
= 1 + = 1 + (Φ − 1) = Φ
2
2
Φ
Φ
Φ − 1 Φ − 1 (Φ + 1) − 1
Φ2
In die Quadrate kann man jeweils einen ViertelKreisbogen einzeichnen, sodass eine Spirale
entsteht. Das Zentrum dieser Spirale ist ein Punkt,
der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des ersten
und des zweiten goldenen Rechtecks ist. Abschnitte
dieser beiden Diagonalen sind auch Diagonalen in
darauf folgenden kleineren goldenen Rechtecken.
Die beiden Diagonalen schneiden sich orthogonal,
denn für deren Steigungen gilt m1 ∙ m2 = –1:
1
1
1
m1 = −
und m2 =
=
= Φ.
Φ
Φ −1 1
Φ
Die Zerlegung eines goldenen Rechtecks in eine Folge von möglichst großen Quadraten entspricht der
Anwendung des EUKLIDischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT der beiden Seitenlängen des
Rechtecks. Hierzu gehört die Entwicklung eines periodischen Kettenbruchs:
1
Φ = 1+
= [1 ; 1 ]
1
1+
1
1+
1
1+
1 + ...
Diese Kettenbruchentwicklung ergibt sich auch aus der Beziehung Φ ² = Φ + 1 , denn es gilt:
Φ² = Φ + 1 ⇔ Φ = 1+
1
1
und weiter Φ = 1 + = 1 +
Φ
Φ
1
1
1+
Φ
= 1+
1
1+
= ...
1
1+
1
Φ
Die Folge der Quotienten benachbarter FIBONACCI-Zahlen konvergiert gegen Φ, wie man auch an der
Kettenbruch-Entwicklung dieser Brüche ablesen kann (die ersten Folgenglieder sind weggelassen):
3
1
5
= 1 + = [1 ; 2] ; = 1 +
2
2
3
1
1
1+
2
8
= [1 ; 1 , 2] ; = 1 +
5
1
1+
= [1 ; 1 , 1 , 2] ;
1
1+
1
2
13
= 1+
8
1
1+
= [1 ; 1 , 1 , 1 , 2] ;
1
1+
1
1+
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1
2
21
= 1+
13
1
1+
34
= [1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , 2] ;
= 1+
21
1
1+
1
1+
1
1+
1
= [1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2] ; usw.
1
1+
1
1+
2
1
1+
1
1+
1
1+
1
2
Die Konvergenz ist ausgesprochen langsam, da in den Kettenbrüchen nur Einsen auftreten (jeweils vom
letzten Element abgesehen).
Nach dem Approximationssatz von GUSTAV LEJEUNE DIRICHLET (1805 – 1859) existieren zu jeder
p
p
1
irrationalen Zahl α unendlich viele rationale Zahlen
mit α − < 2 . Diese Abschätzung wurde durch
q
q q
ADOLF HURWITZ (1859 – 1919) zu α −
p
<
q
1
verschärft, wobei der Faktor
5 ⋅ q2
5 im Nenner nicht weiter
verbessert werden kann, d. h., ersetzt man in der zuletzt genannten Ungleichung den Faktor 5 im Nenner
durch eine größere Zahl, dann gibt es nur eine endliche Anzahl von rationalen Zahlen, welche die
Bedingung erfüllt.
Die Zahl Φ ist die am schlechtesten durch eine rationale Zahl approximierbare irrationale Zahl.
Betrachtet man die Folge der Quotienten von aufeinanderfolgenden FIBONACCI-Zahlen, dann stellt man fest:
Nur jedes zweite Element erfüllt diese Bedingung, aber das sind ja auch unendlich viele …
Φ−
3
=
2
5 +1 3
− =
2
2
5 −2
= 0,118033988 ... >
2
Φ−
5
=
3
5 +1 5
3 5 −7
− =
= 0,048632677... <
2
3
6
5 ⋅ 32
Φ−
8
=
5
5 + 1 8 5 5 − 11
− =
= 0,018033988 ... >
2
5
10
5 ⋅ 52
Φ−
13
=
8
1
= 0,111803398 ...
5 ⋅ 22
5 + 1 13 4 5 − 9
−
=
= 0,006966011 ... <
2
8
8
1
1
= 0,049690399...
= 0,017888543 ...
1
5 ⋅ 82
= 0,006987712 ...
Eine weitere unendliche Folge mit lauter Einsen hat den Grenzwert Φ, nämlich
Φ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Denn beginnt man mit x = 1 + x und ersetzt dann fortgesetzt für das x unter dem Wurzelzeichen den
Wurzelterm ein, dann ergibt sich nacheinander
x = 1 + 1 + x , x = 1 + 1 + 1 + x , x = 1 + 1 + 1 + 1 + x usw.
Aus x = 1 + x erhält man durch Quadrieren x² = 1 + x, also eine quadratische Gleichung, deren positive
Lösung gleich Φ ist.
Analog erhält man aus dem Ansatz x = 1 − x schrittweise x = 1 − 1 − x , x = 1 − 1 − 1 − x usw.
Aus x = 1 − x ergibt sich durch Quadrieren die quadratische Gleichung x² = 1 – x, deren positive Lösung
1/Φ = Φ – 1 ist. Es gilt also:
1
= 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − ...
Φ
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Der goldene Schnitt und das regelmäßige Fünfeck (Pentagon)
Zeichnet man in ein regelmäßiges Fünfeck mit Seitenlänge s die
beiden Diagonalen ein, die von einem gemeinsamen Eckpunkt
ausgehen, dann wird das Fünfeck in drei gleichschenklige Dreiecke
unterteilt, von denen zwei zueinander kongruent sind.
Das mittlere Dreieck bildet zusammen mit einem Nachbardreieck
ein gleichschenkliges Trapez.
Für gleichschenklige Trapeze gilt allgemein:
k = ½ ∙ (a – c) und h² = b² – k² = b² – ¼ ∙ (a² – 2ac + c²)
e² = h² + (c + k)² = b² – ¼ ∙ (a² – 2ac + c²) + (c + ½ ∙ (a – c))²
= b² – ¼ ∙ (a² – 2ac + c²) + ¼ ∙ (a² + 2ac + c²), also
e² = b² + ac
Für die Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck gilt (wegen d = a = e und s = b = c) demnach:
d² = s² + d ∙ s, also d² – ds = s² ⇔ d ∙ (d – s) = s² ⇔
•
d
s
=
s d −s
d und s teilen sich also im Verhältnis des goldenen Schnitts.
Man kann auch so überlegen:
Für s = 1 folgt aus d² = s² + d ∙ s die Bedingung d² – d = 1, also (d − 21 )² =
d=
•
5
4
und somit
5 +1
=Φ
2
Die Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck sind Φ-mal so lang wie die Seiten des Fünfecks.
Durch die beiden Diagonalen, die von einem gemeinsamen Punkt des regelmäßigen Fünfecks ausgehen,
wird das Fünfeck in ein spitzwinkliges goldenes Dreieck mit den Schenkeln d und der Basis s sowie zwei
stumpfwinklige goldene Dreiecke mit den Schenkeln s und der Basis d unterteilt.
Winkel im regelmäßigen Fünfeck
Die Innenwinkel eines regelmäßigen 5-Ecks haben die Winkelgröße
α = 180° – 360°/5 = 180° – 72° = 108°
Gemäß Winkelsummensatz für Dreiecke ergibt sich dann weiter:
β = ½ ∙ (180° – α) = ½ ∙ (180° – 108°) = 36°
Hieraus ergeben sich dann die übrigen Winkel der Figur in der
Abbildung rechts:
γ = α – 2β = 108° – 2 ∙ 36° = 36° = β und δ = α – β = 108° – 36° = 72°
Statt zu rechnen, kann man auch allgemein so überlegen:
Jedes regelmäßige n-Eck besitzt einen Umkreis. Die Diagonalen, die von einem gemeinsamen Eckpunkt
ausgehen, unterteilen das n-Eck in n – 2 Dreiecke mit zwei gleich langen Grundseiten.
Da alle Peripheriewinkel über gleich langen Sehnen gleich groß sind, müssen auch die beiden hier mit
β und γ bezeichneten Winkel (in dem gemeinsamen Eckpunkt) gleich groß sein.
Seite 5 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Teilstrecken der Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck
Zeichnet man alle fünf Diagonalen ein, dann entstehen insgesamt elf
Teilflächen: fünf goldene stumpfwinklige Dreiecke und fünf goldene
spitzwinklige Dreiecke sowie in der Mitte ein regelmäßiges Fünfeck.
Dabei ergänzen sich ein goldenes spitzwinkliges und ein benachbartes goldenes stumpfwinkliges Dreieck jeweils zu einem größeren
goldenen spitzwinkligen Dreieck (vgl. auch untere Abb.).
Für die Seitenlängen x, y gilt: x + y = s und x + y + x = s + x = d
Mithilfe des 2. Strahlensatzes ergeben sich folgende Verhältnisse:
– in den spitzwinkligen Dreiecken:
x d
= = Φ , also x = Φ ∙ y,
y s
– in den stumpfwinkligen Dreiecken:
s d
= = Φ , also s = Φ ∙ x .
x s
•
Der Abschnitt s auf einer Diagonalen, der sich aus den
Teilstrecken x und y zusammensetzt, wird durch eine andere
Diagonale im Verhältnis des goldenen Schnitts geteilt.
•
Die gesamte Diagonale wird durch eine andere Diagonale in
zwei Teilstrecken s = x + y und x ebenfalls im Verhältnis des
goldenen Schnitts geteilt.
Für die Strecken x, y gilt demnach:
s
= s ⋅ (Φ − 1) ≈ 0,618 ⋅ s und
Φ
x
y=
= x ⋅ (Φ − 1) = s ⋅ (Φ − 1)2 = s ⋅ (2 − Φ ) ≈ 0,382 ⋅ s
Φ
x=
Wie man an der Figur des regelmäßigen Fünfecks mit Diagonalen
ablesen kann, lassen sich jedes
goldene spitzwinklige Dreieck und
jedes goldene stumpfwinklige
Dreieck auch so unterteilen,
dass eine der Teilflächen ein
regelmäßiges Fünfeck ist.
Daher können diese Flächen
selbst wieder beliebig oft weiter
unterteilt werden …
Die Abbildung rechts zeigt eine andere fortgesetzte Unterteilung eines
goldenen spitzwinkligen Dreiecks in ein stumpfwinkliges und ein
spitzwinkliges Dreieck.
Von dem Eckpunkt, der jeweils am stumpfen Winkel von 108° liegt,
kann man einen Kreisbogen schlagen, der die Eckpunkte der jeweils
gegenüberliegenden Basis miteinander verbindet.
Es entsteht eine weitere goldene Spirale.
Einzelne Schritte der fortgesetzten Unterteilung sind den folgenden
Abbildungen zu entnehmen.
Seite 6 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Konstruktionen zum goldenen Schnitt
Es gibt zahlreiche Konstruktionen, mit denen man eine Strecke im Verhältnis des goldenen Schnitts teilen
kann. Oben wurde eine solche im Zusammenhang mit der Konstruktion eines goldenen Rechtecks gezeigt
– dort wurde allerdings eine Strecke (die Seite eines Quadrats) so verlängert, dass die Ausgangsstrecke
Maior der Gesamtstrecke wurde.
Die Konstruktion rechts zeigt, wie eine gegebene Strecke AB
im Verhältnis des goldenen Schnitts geteilt werden kann:
Zu der Strecke AB zeichnet man in B eine Senkrechte, deren
Länge gleich ½ ∙ |AB| ist. Ein Kreis um B mit Radius |BC|
schneidet die Strecke AC in D. Ein Kreis um A mit Radius
|AD| schneidet die Strecke AB in E.
Der Punkt E teilt dann die Strecke AB im Verhältnis des
goldenen Schnitts.
Begründung: Aus |AB| = 1 folgt |BC| = ½. Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
2
AC = AB ² + BC ² = 1 +
AE = AD = AC − CD =
1
4
=
5
4
5
und weiter
2
5 −1
1
1
= Φ − 1 = , also AE : AB = : 1 = 1 : Φ .
2
Φ
Φ
, also AC =
5 1
− =
2
2
Weitere Konstruktionen findet man in den o. a. Büchern sowie auf den Internetseiten. Beispielsweise sind
im Buch von POSAMENTIER und LEHMANN 16 verschiedene Konstruktionen angegeben.
Da sich ein regelmäßges 10-Eck aus zehn gleichschenkligen Dreiecken mit einem spitzem Winkel
von 36° zusammensetzt, gilt zwischen dem
Radius r und der Seite s10 der folgende
Zusammenhang:
s10 =
1
⋅r .
Φ
Ein regelmäßiges 10-Eck kann also wie folgt (mit
Zirkel und Lineal) konstruiert werden:
Man teilt den Kreisradius nach dem goldenen
Schnitt und ermittelt so den Minor des Kreisradius.
Dann wählt man irgendeinen Punkt der Kreislinie
und trägt den Minor 9-mal hintereinander ab
und erhält so die Eckpunkte eines regelmäßigen
10-Ecks.
Verbindet man jeden zweiten der zehn Eckpunkte
des regelmäßigen 10-Ecks miteinander, dann erhält
man ein regelmäßiges 5-Eck.
Seite 7 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
•
Vermischtes
Anregungen für die folgenden Beispiele wurden den o. a. Büchern entnommen, insbesondere dem Buch
von POSAMENTIER und LEHMANN.
Ein nicht-geometrischer Ansatz, die goldene Zahl Φ durch eine unendliche geometrische Reihe
darzustellen, kann wie folgt entwickelt werden. Zunächst betrachtet man Φ² mit
Φ
Φ
1
1
1
1
=
=
= 1+ +
+
+ ...
1
1
Φ −1
Φ Φ² Φ³
1−
Φ
Φ
1
1
1
Hieraus folgt dann: Φ = +
+
+ ...
Φ Φ² Φ³
Φ² = Φ ⋅ Φ =
Zeichnet man in einem goldenen
Rechteck eine Diagonale
zwischen zwei Eckpunkten und
fällt von den anderen Eckpunkten
aus jeweils Lote auf diese
Diagonale, so entsteht ein
Streckenzug aus drei gleich
langen Strecken u, v, w.
Die drei grün unterlegten
Dreiecke in einem beliebigen
Rechteck ABCD sind genau dann
gleich groß, wenn der Punkt P die
Strecke BA im Verhältnis des
goldenen Schnitts teilt und analog
der Punkt Q die Strecke BC.
Zeichnet man in einen Kreis zwei
zueinander kongruente orthogonal liegende Rechtecke, deren
Eckpunkte auf der Kreislinie
liegen, dann ist der Flächeninhalt
der Kreuzfigur maximal, wenn die
beiden Rechtecke goldene
Rechtecke sind.
Zeichnet man unter/über zwei
gegenüberliegenden Seiten eines
Quadrats der Seitenlänge 2 je zwei
Halbkreise mit Radius 0,5, dann passt in
die Mitte der Figur ein Kreis mit Radius
1/Φ.
Der Inkreis des in der Abb. rechts
gezeichneten Dreiecks in einem
Quadrat mit Seitenlänge 2 hat ebenfalls
den Radius 1/Φ.
Man kann zeigen, dass bei der Aufteilung eines spitzwinkligen goldenen
Dreiecks ∆ in ein stumpfwinkliges goldenes Dreieck ∆1 (blau) und ein
spitzwinkliges goldenes Dreieck ∆2 (grün), vgl. Abb. rechts, für die
Flächeninhalte gilt
A∆ : A∆ : A∆ = Φ : 1 :
1
2
1
Φ
Seite 8 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Ein regelmäßiges Zehneck lässt sich
mithilfe von je fünf 36°-144°-Rauten
und 72°-108°-Rauten parkettieren,
z. B. so wie rechts dargestellt.
Haben die Zehneck-Seiten die Seitenlänge 1 LE, dann haben die kürzeren
Diagonalen der 36°-144°-Rauten die
Seitenlänge 1/Φ und die längeren
Diagonalen der 72°-108°-Rauten die
Länge Φ.
Bei der Aufteilung einer Quadratfläche
mit Flächeninhalt 5 in fünf gleich große
Teilflächen ergibt sich:
Das innen liegende Quadrat (weiß) hat
die Seitenlänge 1, und die farbig
ausgefüllten Rechtecke bzw.
symmetrischen Trapeze haben jeweils
die Höhe 1/Φ. Die Seitenlänge der
farbigen Rechtecke beträgt daher Φ;
dies ist auch die Länge der Mittellinie
der farbigen Trapeze.
In der Abbildung rechts ist (in Blau) eine
Strecke der Länge Φ³ dargestellt:
(Φ + 1) + (1 + 1/Φ) = Φ² + Φ = Φ³,
darunter (in Grün) entsprechend Φ :
4
(Φ² + Φ) + (Φ + 1) = Φ³ + Φ² = Φ usw.
4
•
Variationen zum Thema „Kissing Circles“
Mithilfe des Vier-Kreise-Satzes von DESCARTES (oder
elementarer trigonometrischer Überlegungen) wird der Radius
der grün gefüllten Kreise bestimmt:
Für die Radien gilt: r1 = 1 (blau), r2 = Φ – 1 = 1/Φ ≈ 0,618 (gold),
r3 = 2 – Φ = 1/Φ² ≈ 0,382 (orange).
Dann gilt für die zugehörigen Krümmungen:
k1 = –1, k2 = Φ, k3 = Φ² = Φ + 1
Für die Krümmung k4 der grün gefüllten Kreise ergibt sich daher:
k4 = (k1 + k2 + k3 ) ± 2 ⋅ k1k2 + k1k3 + k2k3 , hier
k 4 = (− 1 + Φ + Φ ² ) ± 2 ⋅ − Φ − Φ ² + Φ ³
= (− 1 + Φ + Φ + 1) ± 2 ⋅ − Φ − Φ − 1 + 2Φ + 1 = 2Φ
Der Radius r4 der grün gefüllten Kreise ist also: r4 =
1
1
= ⋅ (Φ − 1) ≈ 0,309 , also halb so groß wie r2.
2Φ 2
Durch Anwendung des VIETA’schen Wurzelsatzes kann man den Radius eines Kreises bestimmen, der den
blauen Außenkreis innen und den gold bzw. den grün gefüllten Kreis außen berührt:
k5 = 2 ⋅ (k1 + k2 + k 4 ) − k3 = 2 ⋅ (− 1 + Φ + 2Φ ) − Φ ² = −2 + 6Φ − Φ − 1 = 5Φ − 3 , also
r5 =
1
≈ 0,1965
5Φ − 3
Seite 9 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Der Radius dieses Kreises kann auch mithilfe der Formel für die
PAPPOS-Kette (Schema vgl. rechts) berechnet werden, die mit
dem orange und dem grün gefüllten Kreis beginnt:
1
rn + 1
=
( n + 1)²
1
(n + 1)²
,
+
−
r0
r − r0
r
wobei hier r = 1 (Radius des äußeren Kreises),
r0 = 1/Φ und r – r0 = 1/Φ², also für n = 1:
1 2²
1
2²
=
+
−
= 4Φ + Φ ² − 4 = 5Φ − 3
1
1
r2
1
Φ Φ²
Für n = 2 ergibt sich dann weiter:
1 3²
1
3²
=
+
−
= 9Φ + Φ ² − 9 = 10Φ − 8
1
1
r3
1
Φ Φ²
und allgemein
(n + 1)²
1
(n + 1)²
+
−
= (n + 1)² ⋅ Φ + Φ ² − (n + 1)²
1
1
rn +1
1
Φ
Φ²
= [(n + 1)² + 1] ⋅ Φ − [(n + 1)² − 1]
1
•
=
Variationen zum Thema „Parkettierung eines Quadrats“
Ein Quadrat soll durch möglichst große Rechtecke eines
vorgegebenen Formats parkettiert werden, und zwar in folgender
Weise: Zunächst zeichnet man ein möglichst großes Rechteck im
vorgegebenen Format ein, dann in die Restfläche wieder ein möglichst
großes Rechteck des Formats usw.
In der Abbildung rechts sind lauter goldene Rechtecke eingetragen,
also Rechtecke mit dem Seitenverhältnis 1 : Φ. Hat das Quadrat die
Seitenlänge 1, dann haben die Rechtecke in der Abbildung rechts die
folgenden Seitenlängen: 1 und 1/Φ (blau), 1/Φ und 1/Φ² (grün), 1/Φ²
und 1/Φ³ (hellblau) usw.
Somit ergibt sich die Gesamtfläche als Grenzwert der geometrischen
Reihe mit Anfangsglied 1/Φ und q = 1/Φ²:
1
1
1
1
1
Φ
Φ
+
+
+ ... =
=
1
Φ² − 1
Φ Φ3 Φ5
1−
Φ²
Φ²
Φ²
Φ²
=
=
=1
Φ ⋅ (Φ ² − 1) Φ ⋅ Φ
Die Parkettierung mit goldenen Rechtecken ist bis
auf eine Streckung mit dem Faktor Φ nichts anderes
als die Parkettierung eines goldenen Rechtecks mit
möglichst großen Quadraten. Im Unterschied zur
Abbildung auf Seite 3 sind die Quadrate bzw.
goldenen Rechtecke jedoch nicht spiralförmig
angeordnet, sondern diagonal.
Seite 10 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
In der nächsten Abbildung wurde eine Parkettierung mit Rechtecken im Format 1 :
2 (DIN)
vorgenommen. Zunächst hat man ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 1/ 2 ≈ 0,707 , dann zwei
1
Rechtecke mit den Seitenlängen 1 −
≈ 0,293 und 2 − 1 ≈ 0,414 ,
2
3
zwei Rechtecke mit den Seitenlängen
− 2 ≈ 0,121 und
2
3 − 2 2 ≈ 0,172 usw. Für die Gesamtfläche ergibt sich hier:
1
2
=
( 2 − 1)
2
+ 2⋅
2
(
( 2 − 1)
4
+ 2⋅
2
+ ...
) ( 2 − 1) + ... = ... = 1
2
2
+ 2 ⋅  2 −1 +

2
4
Die folgenden Abbildungen zeigen die Rechteck-Parkettierungen der Formate 1 :
•
3 , 1 : 1,6 und 1 : 2,5.
Variationen zum Thema „Seiten eines n-Ecks verlängern“
Die folgenden Untersuchungen sind aus einer Knobelaufgabe „Seiten verlängern“ entstanden, die ich als
„Problem des Monats“ für die Schulstufen 8 – 13 gestellt hatte.
Die Aufgabenstellung wird hier dahingehend variiert, dass untersucht wird, welche Eigenschaften sich
ergeben, wenn man verschiedene Vielfache der Seitenlängen betrachtet. Hierbei spielt die Zahl Φ eine
besondere Rolle, vgl. hierzu auch die Ausführungen von HANS W ALSER unter
•
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/VergroessernmitGS/VergroessernmitGS.htm
Verlängert man die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Faktor
(1 + k) zyklisch in dieselbe Richtung und verbindet die Endpunkte der
verlängerten Seiten miteinander zu einem Dreieck, dann hat dieses
Dreieck einen Flächeninhalt, der (k² + k + 1)-mal so groß ist wie der
des Ausgangsdreiecks.
Denn für jedes der grün gefärbten Dreiecke gilt, dass die Grundseite
k-mal so lang ist wie die Grundseite des gelb gefärbten Ausgangsdreiecks und dass die Höhe (1 + k)-mal so lang ist wie die Höhe des
Ausgangsdreiecks.
1
= Φ − 1 ≈ 0,618 , vgl. Abb. links, ergibt sich
Φ
bekanntlich k ∙ (1 + k) = k² + k = 1,
Im Falle k = 21 ⋅ ( 5 − 1) =
d. h., dass jedes der grün gefärbten Dreiecke den gleichen
Flächeninhalt hat wie das gelb gefärbte Ausgangsdreieck.
Die gesamte Figur ist also 4-mal so groß wie das Ausgangsdreieck.
Seite 11 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Im Falle k = 1, also k ∙ (1 + k) = 2, vgl. untere Abb., werden die
Seitenlängen des Ausgangsdreiecks verdoppelt. Der Flächeninhalt der
grün gefärbten Dreiecke ist dann doppelt so groß wie der des gelb
gefärbten Ausgangsdreiecks, und die gesamte Figur ist 7-mal so groß
wie das Ausgangsdreieck.
Verlängert man analog die Seiten eines Quadrats mit dem Faktor
(1 + k) und verbindet die Endpunkte der verlängerten Seiten
miteinander zu einem Quadrat, dann hat dieses Quadrat einen
Flächeninhalt, der (2k² + 2k + 1)-mal so groß ist wie der des
Ausgangsquadrats.
Denn für jedes der grün gefärbten Dreiecke gilt, dass die Grundseite
k-mal so lang ist wie die Grundseite des gelb gefärbten Ausgangsquadrats und die Höhe (1 + k)-mal so lang.
Der Flächeninhalt ist also k ∙ (1 + k)-mal so groß wie der des halben
Ausgangsquadrats, vgl. die Abbildung links.
1
= Φ − 1 ≈ 0,618 , vgl. die folgende erste Abb., ergibt sich 2 ∙ k ∙ (1 + k) = 2,
Φ
d. h., dass jedes der grün gefärbten Dreiecke halb so groß ist wie das gelb gefärbte Ausgangsquadrat.
Im Falle k = 21 ⋅ ( 5 − 1) =
Die gesamte Figur ist also 3-mal so groß wie das Ausgangsquadrat.
Im Falle k = 1, also (2k² + 2k + 1) = 5, vgl. mittlere Abb., werden die Seitenlängen des Ausgangsquadrats
verdoppelt. Daher ist die gesamte Figur 5-mal so groß wie das Ausgangsqudrat (wie man auch erkennt,
wenn man die Seiten des Ausgangsquadrats jeweils um eine halbe Seitenlänge in die entgegengesetzte
Richtung verlängert).
3 −1
≈ 0,366 ergibt sich ein Außenbereich, der genauso groß ist wie
Für k mit 2 ∙ k ∙ (1 + k) = 1, also k =
2
die innen liegende Fläche, vgl. Abb. rechts.
Verlängert man analog die Seiten eines regelmäßigen n-Ecks (n > 4)
mit Seitenlänge s mit dem Faktor (1 + k) und verbindet die Endpunkte
der verlängerten Seiten miteinander zu einem größeren regelmäßigen
n-Eck, dann ist der Sachverhalt etwas komplizierter.
Im regelmäßigen Ausgangs-n-Eck kann man mithilfe der kürzesten
Diagonalen ein stumpfwinkliges Dreieck mit Flächeninhalt A1 abtrennen
(in der Abb. ist ein solches Dreieck in einem regelmäßigen 5-Eck
hellblau gefärbt), das dem graublau gefärbten Dreieck zugeordnet
werden kann. Dessen Flächeninhalt A2 berechnet sich analog zu den
Überlegungen von oben wie folgt aus dem Flächeninhalt A1:
A2 = k ∙ (1 + k) ∙ A1
Seite 12 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Dabei gilt allgemein für A1: A1 = 21 ⋅ s ² ⋅ sin(180° −
360°
n
)=
1
2
°
)
⋅ s ² ⋅ sin( 360
n
Der Flächeninhalt A des regelmäßigen Ausgangs-n-Ecks selbst berechnet sich aus dem Flächeninhalt von
n gleichschenkligen Dreiecken, die man erhält, wenn man den Mittelpunkt des n-Ecks mit den Eckpunkten
verbindet.
s
s
2
°
)
Für die Höhe h dieser gleichschenkligen Dreiecke gilt: tan(180
=
, d. h. h =
,
n
°
h
2 ⋅ tan(180
)
n
also für den Flächeninhalt A der Ausgangsfigur:
A =n⋅
s
n
s²
1
.
⋅s ⋅
= ⋅
°
)
(180n ° )
2
2 ⋅ tan(180
4
tan
n
Um den Faktor zu bestimmen, um den der Flächeninhalt durch die neu hinzugekommenen äußeren
Dreiecke wächst, muss der Anteil von A1 an A ermittelt werden:
A1
=
A
1
2
°
) ⋅ tan(180n ° )
⋅ s ² ⋅ sin( 360
n
n
4
⋅ s²
°
) ⋅ tan(180n ° )
= n2 ⋅ sin( 360
n
Setzt man den Flächeninhalt der Ausgangsfigur mit 1 FE an, dann ergibt sich für den neu hinzukommenden
Flächeninhalt:
°
)⋅ tan(180n ° ) = 2 ⋅ k ⋅ (1 + k ) ⋅ sin(360n ° ) ⋅ tan(180n ° )
Aaußen = n ⋅ k ⋅ (1 + k ) ⋅ n2 ⋅ sin( 360
n
Wegen sin(2α) = 2 ∙ sin(α) ∙ cos(α) folgt allgemein für α = 180°/n:
°
)
Aaußen = 4 ⋅ k ⋅ (1 + k ) ⋅ sin ²(180
n
Für das regelmäßige 5-Eck ergibt sich so:
Aaußen = 4 ⋅ k ⋅ (1 + k ) ⋅ sin ²(36°) = 4 ⋅ k ⋅ (1 + k ) ⋅ (1 − cos ²(36°))
Wegen cos(36°) = ½ ∙ Φ und Φ² = 1 + Φ folgt daher:
Aaußen = 4 ⋅ k ⋅ (1 + k ) ⋅ (1 − 41 Φ ²) = 4 ⋅ k ⋅ (1 + k ) ⋅ (1 − 41 (1 + Φ )) = k ⋅ (1 + k ) ⋅ (3 − Φ )
•
Wenn k = Φ – 1 ≈ 0,618, also k ∙ (k + 1) = 1, dann ist der Außenbereich (3 – Φ) ≈ 1,382-mal so groß
wie das gelb gefärbte regelmäßige 5-Eck, und die Gesamtfigur ist (4 – Φ)-mal so groß wie die
Ausgangsfigur, vgl. Abbildung links.
•
Der Außenbereich ist genauso groß wie die Ausgangsfigur, vgl. mittlere Abbildung, wenn k die folgende
Bedingung erfüllt:
1
7−Φ
also k = − 1 + 7 − Φ ≈ 0,4867 .
k ⋅ (1 + k ) ⋅ (3 − Φ ) = 1 ⇔ k ² + k =
⇔ (k + 21 )² =
3−Φ
12 − 4Φ
2
12 − 4Φ
•
Für k = 1 (vgl. Abb. rechts) ist der Flächeninhalt des Außenbereichs 2 ∙ (3 – Φ) ≈ 2,764-mal so groß wie
das innen liegende regelmäßige 5-Eck.
Seite 13 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Für das regelmäßige Sechseck
als Ausgangsfigur folgt wegen
sin(30°) = 0,5 analog:
Wenn k = Φ – 1 ≈ 0,618, dann ist
der Außenbereich genauso groß
wie die Ausgangsfigur, und für
k = 1 ergibt sich, dass der
Außenbereich doppelt so groß ist
wie das innen liegende Sechseck.
•
Welche besonderen Eigenschaften ergeben sich beim regelmäßigen Achteck [Zehneck, Zwölfeck]?
(
)
Hinweis: sin ²(22,5°) = 41 ⋅ 2 − 2 ; sin ²(18°) =
•
1
16
(
)
⋅ 6 − 2 5 ; sin ²(15°) =
1
4
(
⋅ 2− 3
)
Einige Grafiken zum Knobeln und Nachdenken
Erläutern Sie die rechts
abgebildeten Figuren
Beschreiben Sie die rechts
angedeutete fortgesetzte
Zerlegung eines goldenen
Rechtecks.
Bestimmen Sie die Seitenlängen
und die Flächeninhalte.
Bestimmen Sie die fehlenden
Seitenlängen.
Die Figur rechts kann zu einer
besonderen PYTHAGORAS-Spirale
weiterentwickelt werden.
Seite 14 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Notieren Sie die Beziehungen,
die sich aus den Parkettierungen
eines Quadrats mithilfe von
goldenen Rechtecken ergeben.
Das spitzwinklige goldene Dreieck
kann mithilfe von goldenen
Trapezen parkettiert werden.
Beim goldenen Dreieck gibt es
noch viel zu entdecken …
Seite 15 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017
Hinweise auf weiterführende Literatur
Bei Wikipedia findet man in deutscher (englischer, französischer) Sprache weitere Informationen und
Literatur zu den Stichwörtern
•
Goldener Schnitt (Golden ratio, Nombre d’or*)
•
Goldenes Rechteck (Golden rectangle, –)
*) Auszeichnung als lesenswerter/exzellenter Artikel
Umfangreiche fachliche Informationen findet man auf Wolfram Mathworld unter den Stichwörtern
•
Golden ratio, Golden rectangle (und weiteren damit verbundenen Stichwörtern)
Unter den Websites sind insbesondere die von Hans Walser und von Alexander Bogomolny hervorzuheben:
•
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html
•
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml
Die Anzahl der Bücher zum Thema ist ebenfalls sehr groß. Hier einige Empfehlungen:
•
Walser, Hans (6. Auflage, 2013): Der Goldene Schnitt, EAGLE, Leipzig
•
Beutelspacher, Albrecht (2. Auflage, 1995): Der Goldene Schnitt, Spektrum, Heidelberg
•
Posamentier, Alfred S., Lehmann, Ingmar (2011): The Glorious Golden Ratio, Prometheus Books,
New York
•
von Corbalán, Fernando (2016): Der Goldene Schnitt: Die Mathematische Sprache der Schönheit,
Librero, Kerkdriel (NL)
Seite 16 / 16 – Mathematik ist schön © Heinz Klaus Strick 2017