Hausaufgaben H2.1. Geometrische Summenformel Beweisen Sie

Hausaufgaben
H2.1. Geometrische Summenformel
n
X
Beweisen Sie: Für a, z ∈ C, z 6= 1 und n ∈ N0 gilt
a · zk = a ·
k=0
1 − z n+1
.
1−z
Lösung:
0+1
“n = 0”: a · z 0 = a = a · 1−z
1−z .
n+1
P
n+1
n+1 = a ·
a · z k = a · 1−z
“n 7→ n + 1”:
1−z + a · z
k=0
1−z n+1 +z n+1 −z n+2
1−z
=a·
1−z (n+1)+1
.
1−z
H2.2. Summenformeln
(a) Zeigen Sie: Der Betrag der komplexen Zahl z =
13
P
(12 + 2ki) ist eine natürliche Zahl.
k=3
(b) Berechnen Sie die Summe
k
60 P
1+i
2
k=4
und schreiben Sie das Ergebnis möglichst ein-
fach.
(c) Spalten Sie vom komplexen Polynom p(z) = z 12 − 1 den Linearfaktor (z − 1) ab.
Lösung:
(a) Es ist z =
13
P
(12+2ki) = 11·12+2i·
P
k=3
13
k=1 k
−
k
= 11·12+2i·
k=1
P2
13·14
2
−
2·3
2
=
44(3 + 4i), wobei im 2. Schritt die arithmetische
Summenformel (siehe Vorlesung)
√
genutzt wurde. Für den Betrag gilt |z| = 44 · 32 + 42 = 44 · 5 ∈ N.
k P
k P
k 60 60 3 P
(1+i)4
(1+i)61
1+i
1+i
1
1+i
−
, wegen der
(b) Es ist
=
−
=
2
2
2
24
261
1− 1+i
k=4
k=0
k=0
2
geometrischen Summenformel (H2.1). Nun gilt (1+i)2 = 2i, so dass (1+i)4 = −22 und
k
60 P
1+i
1+i
1
2
damit (1+i)61 = −230 (1+i). Also
− 212 = 230 (1−i)
(1+i−229 ) =
= 1−i
2
231
k=4
1
1 + i − 229 (1 + i), wegen (1 − i)(1 + i) = 2. Weiter gilt 2301 ·2 1 + i − 229 (1 + i)
230 ·2
= 2130 i − 228 (1 + i) = 2130 − 228 + i(1 − 228 ) = − 14 + i 2130 − 14 .
(c) Wende die geometrische Summenforme H2.1 für n = 11 und a = −1 an:
z 12 −1
z−1
=
11
P
z k = z 11 + z 10 + · · · + z 1 + 1.
k=0
Polynomdivision geht auch.
H2.3. Parallelogrammgleichung und mehr
(a) Zeigen Sie: Für alle z, w ∈ C gilt die “Parallelogrammgleichung”
|z + w|2 + |z − w|2 = 2|z|2 + 2|w|2 .
Geben Sie eine geometrische Interpretation.
(b) Zeigen Sie: Für alle z, w ∈ C, z 6= 0, gilt
|z + w| = |z| + |w| ⇔
w
w
∈R∧ ≥0.
z
z
Lösung:
(a) Es ist
|z + w|2 + |z − w|2 = (z + w)(z + w) + (z − w)(z − w)
= (z + w)(z + w) + (z − w)(z − w)
= zz + ww + wz + zw + zz + ww − wz − zw
= 2|z|2 + 2|w|2 .
Im R2 lassen sich die “Vektoren” z und w als Erzeugende eines Parallelogramms
auffassen. Hierbei repräsentieren (z + w) und (z − w) die beiden Diagonalen. Die
Parallelogrammgleichung besagt: Die Summe der Quadratflächen über den Diagonalen
ist gleich der Summe der Quadratflächen über alle Seiten.
(b) Es ist mit z = reiϕ , w = seiψ
|z + w| = |z| + |w| ⇔ |z + w|2 = (|z| + |w|)2
⇔ |z|2 + |w|2 + wz + zw = |z|2 + |w|2 + 2|z||w|
⇔ wz + zw = 2|z||w|
⇔ Re(zw) = |z||w|, wegen Re(zw) = Re(wz) = Re(zw)
def
def
Z2.1
⇔ Re(zw) = |zw|, wegen |z||w| = rs = |rsei(−ϕ+ψ) | = |re−iϕ seiψ | = |zw|
p
⇔ Im(zw) = 0 ∧ Re(zw) ≥ 0, wegen |zw| = (Re(zw))2 + (Im(zw))2
zw
zw
⇔ zw ∈ R ∧ zw ≥ 0 ⇔
∈R∧ 2 ≥0
2
|z|
|z|
w
w
⇔
∈ R ∧ ≥ 0, wegen Z2.4(h) .
z
z
H2.4. Halbebene
z − 1
≤ 1 gilt. Geben Sie eine geomeBestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, für die z + 1
trische Interpretation.
Lösung:
Es gilt mit der Polardarstellung Z2.2
|z − 1| z − 1 =
≤1
|z + 1|
z + 1
⇔
|z − 1|2 ≤ |z + 1|2
⇔
zz − z − z + 1 ≤ zz + z + z + 1
⇔
− 2Re(z) ≤ 2Re(z) ⇔ 0 ≤ 4Re(z) ⇔ 0 ≤ Re(z).
Also ist E = z ∈ C : z−1
z+1 ≤ 1 = {z ∈ C : 0 ≤ Re(z)} die rechte Halbebene.